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The Boussinesq equation: Lax pair, Bäcklund transformation, symmetry group transformation and consistent Riccati expansion solvability

Liu Ping Xu Heng-Rui Yang Jian-Rong

The Boussinesq equation: Lax pair, Bäcklund transformation, symmetry group transformation and consistent Riccati expansion solvability

Liu Ping, Xu Heng-Rui, Yang Jian-Rong
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  • Received Date:  02 September 2019
  • Accepted Date:  09 December 2019
  • Available Online:  19 December 2019
  • Published Online:  01 January 2020

The Boussinesq equation: Lax pair, Bäcklund transformation, symmetry group transformation and consistent Riccati expansion solvability

    Corresponding author: Liu Ping, liuping49@126.com
  • 1. School of Electronic and Information Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Zhongshan Institute, Zhongshan 528402, China
  • 2. School of Physics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China
  • 3. School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao 334001, China

Abstract: The Boussinesq equation is a very important equation in fluid mechanics and some other disciplines. A Lax pair of the Boussinesq equation is proposed. With the help of the truncated Painlevé expansion, auto-Bäcklund transformation of the Boussinesq equation and Bäcklund transformation between the Boussinesq equation and the Schwarzian Boussinesq equation are demonstrated. Nonlocal symmetries of the Boussinesq equation are discussed. One-parameter subgroup invariant solutions and one-parameter group transformations are obtained. The consistent Riccati expansion solvability of the Boussinesq equation is proved and some interaction structures between soliton-cnoidal waves are obtained by consistent Riccati expansion.

    • 一般来讲, Boussinesq方程可写为

      其中, 下角标xt表示偏微分. Boussinesq方程可以用于描绘浅水波、等离子体、非线性晶格等众多物理现象[1-5].

      由于该方程应用广泛, 一些特殊形式的或者修正的Boussinesq方程被推导出来研究. 例如, “坏”Boussinesq方程(也叫不适定Boussinesq方程)的形式为

      这个方程是在1872年由Boussinesq[1]提出来用于描绘浅水波问题的. Benny和Luke[6]发现这个Boussinesq方程非线性弱散色现象的一般近似. “好”Boussinesq方程的形式为

      这个方程是作为描绘弦的非线性振动模型提出来的, 也可以用于描绘非线性介质材料中的电磁波[7]. 一种修正的Boussinesq方程的形式为

      这个方程也经常被称为“改进的”Boussinesq方程[8], 它由流体力学推导而来, 也可以用于描绘波在磁场中的传播, 并取代“坏”Boussinesq方程.

      很多不同形式的Boussinesq方程, 是方程(1)的特殊形式. 本文旨在研究Boussinesq方程(1)的可积性、对称性和严格解. 在下文中, 如果没有特殊说明, Boussinesq方程指的是方程(1). 论文结构如下: 在第2节中, 从一个简化的Boussinesq方程的Lax对, 推导出Boussinesq方程(1)的一组Lax对; 在第3节, 对Boussinesq方程(1)进行截断的Painlevé展开, 得到Boussinesq方程的Bäcklund变换; 第4节研究了Boussinesq方程的单参数群变换; 第5节讨论了Boussinesq方程的全点李对称性相似解; 第6节应用CRE (consistent Riccati expansion, CRE)方法证明了Boussinesq方程的CRE相容性. Boussinesq方程孤立波-周期波在第7节进行了讨论; 第8节是本文的结论和讨论.

    2.   Boussinesq方程的Lax对
    • $ \alpha = 0 $,$ \beta = 1 $,$ \gamma = {1}/{3} $时, 方程(1)退化成

      为了将方程(1)和方程(5)的变量进行区分, 我们将方程(1)中的变量$ \{u, x, t\} $对应地写成方程(5)中的$ \{v, \chi, \tau\} $. Weiss[9]通过研究方程(5)的painlevé性质, 推出了方程(5)的一组Lax对, 其形式如下

      方程(1)和方程(5)之间存在标度变换

      结合方程(5)的Lax对(6)式以及标度变换, 可以得到方程(1)的Lax对.

      定理1 (Lax对定理)

      Boussinesq方程(1)具有如下形式Lax对:

      这里的λ代表谱函数, φ表示$ \{x, t\} $的任意函数.

    3.   与截断Painlevé展开相关联的Bäcklund变换
    • 截断Painlevé展开法, 是分析非线性系统最有效的方法之一[10-12]. 对Boussinesq方程(1), 可将u展开成

      这里的$ u_0, u_1, u_2 $f都是$ \{x, t\} $的函数, f是奇异流函数. 将(9)式代入到方程(1)中, 所得到的多项式中, f的所有不同阶次的系数都应该为零. 由$ f^{-6} $的系数为零, 可得到

      $ f^{-5} $的系数为零, 可得

      $ f^{-4} $的系数, 容易得到

      将(10)式–(12)式代入到$ f^{-3} $的系数中, 得

      方程(13)在Möbious变换下, 保持形式不变, 因此被称为Schwarzian形式的Boussinesq方程[9].

      将(9)式—(13)式代到方程(1)中, 比较所得方程中$ f^0 $的系数, 可发现$ u_0 $也是Boussinesq方程的一个解, 这表示$ u = u_0 $是Boussinesq方程的一个自Bäcklund变换. 而且, 对以上截断Painlevé展开进行总结, 可得到一个非自Bäcklund变换.

      定理2 (Bäcklund变换定理)

      如果f是Schwarzian形式的Boussinesq方程(13)的解, 那么

      也是Boussinesq方程(1)的解.

      定理3 (Bäcklund变换定理)

      如果f是Schwarzian形式的Boussinesq方程(13)的解, 那么

      也是Boussinesq方程(1)的解.

    4.   单参数群变换
    • $ { \dfrac {6\, \gamma \, {f _{{xx}}}}{\beta }} $代入Boussinesq方程(1)的对称决定性方程, 可发现$ { \dfrac {6\, \gamma \, {f _{{xx}}}}{\beta }} $是Boussinesq方程(1)的一个非局域对称. 为了将传统的点李对称和非局域对称结合在一起, 我们需要建立一个包含Boussinesq方程、Schwarzian形式的Boussinesq方程以及这两个方程的变换关系式的拓展系统, 其形式如下:

      Boussinesq方程的对称$ \sigma^u $也相应地拓展为满足下式的四分量对称$ \{\sigma^u, \sigma^f, \sigma^g, \sigma^h\} $,

      对方程(16), 我们也可以研究它的全点李对称. 基于这个目的, 四分量对称$ \{\sigma^u, \sigma^f, \sigma^g, \sigma^h\} $应该满足Boussinesq方程的线性化的非线性系统. 按照点李对称的方法, 经过计算可得总的对称矢量为

      各个对称矢量为:

      其中, $ \underline{V_1} $,$ \underline{V_5} $表示标度变换, $ \underline{V_2} $表示空间平移不变性, $ \underline{V_3} $代表时间平移不变性, $ \underline{V_4} $与非局域对称关联, 而$ \underline{V_{6}} $则表示相平移不变性.

      由对称矢量(19)式, 可得到六个单参数不变子群:

      从以上六个单参数不变子群, 可到到下列Bäcklund变换定理.

      定理4 (单参数群变换)

      如果$ \{u(x, t), f(x, t), g(x, t), h(x, t)\} $是拓展的Boussinesq系统(16)的一组解, 则下列函数也是拓展的Boussinesq系统(16)的一组解,

    5.   全点李对称相似解
    • 对称性理论是求解偏微分方程的一种有效系统的方法[13-19]. 从对称矢量(19)式, 不仅可以得到单参数不变子群和群不变解, 而且可以得到Boussinesq的相似解和约化方程. 将约化方程的严格解和相似解相结合, 则可以得到所研究系统的严格解. 可得到下列四组非平庸情况.

      情况1 $ C_1\neq 0, C_4\neq 0 $.

      在种情这况, 群不变量可写为

      相似解的形式为

      其中$ \delta = \sqrt{6\, \gamma \, \beta \, {C_{4}}\, {C_{6}} + 9\, \gamma ^{2}\, {C_{5}}^{2}} $, 约化函数$ \{U(\xi), $$ F(\xi) $, $ G(\xi), H(\xi)\} $需要满足相应的约化方程. 这种情况的约化方程非常长, 这里省略不写.

      情况2 $ C_1\neq 0, C_4 = 0 $.

      $ \{\sigma^u, \sigma^f, \sigma^g, \sigma^h\} $包含$ C_4 $, 而$ C_4 $是与非局域对称相关联的, 那么如果令$ C_4 = 0 $, 则相似解会变得更加简化. 这样, 相似解为:

      与情况一相比, 时间和空间的对称性都没有改变, 因此这种情况的群不变量与情况一相同, 仍为

      将(24b)式代入(16d)式和(16e)式, 则变量fg变成:

      将(24b)式代到(16c)式, 可以得到用和F表示的u的表达式, 将(24b)代入到(16b)式, 可以得到F满足的约束方程. 由于这两个式子都很长, 此处省略不写.

      情况3 $ C_1 = 0, C_2\neq 0, C_4\neq 0 $.

      (18)式和(19)式说明空间x和时间t的对称受到$ C_1 $的影响. 当$ C_1 = 0 $时, 群不变量ξ将比情况一和情况二的群不变量简单. 此时, 群不变量变为

      相似解为:

      其中$ F(\xi) $满足

      将(29b)式代到(16c)式, 可得到关于Boussinesq方程的下列Bäcklund变换.

      定理5 (Bäcklund变换定理).

      如果F满足(30)式, 则Boussinesq方程的解为

      情况4 $ C_1 = 0, C_2\neq 0, C_4 = 0 $.

      这种情况下, 拓展系统(16)的相似解为:

      这里, 群不变量ξ

      将(32b)式代入到(16b)式, 可得到$ F(\xi) $满足的约束方程. 将(32b)式代入到(16c)式, 则得到下列定理.

      定理6 (Bäcklund变换定理).

      如果$ F(\xi) $满足(32b)式, 则Boussinesq方程的解可以写为

    6.   Boussinesq方程的CRE相容性
    • 本节将通过CRE (consistent Riccati expansion, CRE)方法来讨论Boussinesq方程的严格解[20]. Riccati方程的形式为

      这里的$ a_0 $, $ a_1 $$ a_2 $是任意常数. Riccati方程的严格解可写为

      其中,

      对于一个偏微分系统

      我们可假设它可以展开为

      这里的$ R(w) $是Riccati方程的严格解. 将(39)式代入到(38)式, 并令$ R^i(w) $的系数为零, 可得:

      如果系统(40)是自洽的, 则展开式(39)式是“CRE”, 且非线性系统(38)是“CRE”相容系统[20].

      为了得到孤立波-周期波碰撞解, 可应用CRE方法. CRE方法可被用于证明一个系统是CRE相容系统, 并可用于寻求非线性系统的碰撞波解. 对Boussinesq方程, u可展开成截断展开的形式:

      这里, $ u_3, \ u_4, \ u_5 $w都是xt的函数, $ R(w) $是Riccati方程的一个解.

      将(35)式和(41)式代入到方程(1)中, 并令$ R(w) $所有阶次的系数为零, 可得

      这里w满足

      通过CRE和CRE相容性的定义, Boussinesq方程显然是一个CRE相容系统. 基于以上讨论, 可得到如下定理:

      定理7 (CRE相容性定理)

      Boussinesq方程是一个CRE相容系统. 如果w是相容性条件(43)式的一个解, 则下列形式的u也是Boussinesq方程的一个解.

      这里的$ R(w) $θ分别满足(36)式和(37)式.

    7.   孤立波-周期波碰撞解
    • 从Boussinesq方程的CRE性质, 可进一步研究Boussinesq方程的严格解. 将(36)式代入到(44)式中可得

      从(45)式可看到, 如果我们想知道u的具体形式, 那么需要先知道w的表达式. 如果w具有如下形式:

      这里$ k_1, k_2, \omega_1, \omega_2, a_3, n $m是常数, $ E_{\pi} $是第三类不完全椭圆积分. 将(46)式代入到(43)式中, 并令$ {\rm sn}({k_{2}}\, x + \omega_2\, t, \, m) $的所有不同阶次的系数为零, 可发现参数应该满足:

      这里$ {a_{4}} = {k_{1}} + {a_{3}}\, {k_{2}} $.

      将(46)式代入到(45)式中, 得:

      其中

      上式中的参数满足(47)式或(48)式.

      图1和图展示了满足约束关系(47)的解(49)式. 图1中的自由参数选为{n = 0.2, m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, $ \omega_2 = 1, \alpha = -0.8, \beta = 1 \} $, 图2中的自由参数选为{n = 0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, $\omega_2 = 1, \alpha = -0.8, \beta = 1 \} $. 图1图2展示了亮孤子和周期波的碰撞行为. 图3展示了图1图2u的密度函数, 图3(a)对应图1, 图3(b)对应图2. 两种情况的周期波和孤立波的方向是一致的, 而碰撞处的形状则不相同.

      Figure 1.  The solution (49) with Formula (47). The free parameters are {n = 0.2, m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, ω2 = 1, α = –0.8, β = 1}.

      Figure 2.  The solution (49) with Formula (47). The free parameters are {n = 0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, ω2 = 1, α = –0.8, β = 1}.

      Figure 3.  The density of u. The parameters of the Fig. (a) are the same as those of Figure 1 and the parameters of the Fig. (b) are the same as those of Figure 2.

      图4图5展示了满足参数限制(48)式的碰撞波解(49)式, 里边的周期波在扭结孤立波上运动, 而不是在常数背景上运动. 图4中的自由参数选为 {n = 0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 = –0.22, $\omega_2 = 1, \alpha = -400, \beta = 80 \} $, 其中(48)式中的m选“+”; 图5中的自由参数选为{n = 0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, ω2 = 0.1,$ \alpha = -14,\; \beta = 6 \} $, 其中(48)式中的m选“–”. 图6展示了图4图5u的密度函数, 图6(a)对应图4, 图6(b)对应图5. 图6清楚地展示了扭结孤立波和周期波的碰撞.

      Figure 4.  The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48). The free parameters are chosen as {n = 0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 = –0.22, ω2 = 1, α = –400, β = 80}.

      Figure 5.  The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48). The free parameters are selected as {n = 0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, ω2 = 0.1, α = –14, β = 6}.

      Figure 6.  The density of u. The Fig. (a) is related to Fig. 4 and the Fig. (b) is corresponding to Fig. 5.

    8.   总结和讨论
    • 本文推导了Boussinesq方程的Lax对, 说明Boussinesq方程是Lax可积模型. 运用截断Painlevé展开法研究了Boussinesq方程, 得到了Boussinesq方程的自Bäcklund变换, 以及Boussinesq方程和Schwarzian形式的Boussinesq方程之间的非自Bäcklund变换. 研究了Boussinesq方程的全点李对称, 得到了单参数群变换和单参数子群不变解. 运用CRE方法研究了Boussinesq方程, 证明了Boussinesq方程是一个CRE相容模型, 得到了Boussinesq方程的孤立波-椭圆余弦波碰撞解. Boussinesq方程广泛地应用于描绘流体动力学、电磁学、等离子体、非线性晶格等物理现象. 它作为一个著名的孤立子方程, 各种各样的激发模式, 以及它在各种物理情景中的应用, 值得不断深入研究.

      感谢楼森岳教授和任博博士的宝贵讨论.

Reference (20)

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