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An integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation

Song Cai-Qin Zhu Zuo-Nong

An integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation

Song Cai-Qin, Zhu Zuo-Nong
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  • In this paper, we introduce an integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation. The Darboux transformation and soliton solutions for this nonlocal integrable equation are constructed.
      Corresponding author: Zhu Zuo-Nong, znzhu@sjtu.edu.cn
    [1]

    Sasa N, Satsuma J 1991 J. Phys. Soc. Jpn 60 409

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    Porsezian K, Nakkeeran K 1996 Phys. Rev. Lett 76 3955

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    Mihalache D, Torner L, Moldoveanu F, Panoiu N C, Truta N 1993 Phys. Rev. E 48 4699

    [4]

    Ghosh S, Kundu A, Nandy S 1999 J. Math. Phys. 40 1993

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    Li Y S, Han W T 2001 Chin. Ann. Math. 22B 171

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    Gilson C, Hietarinta J, Nimmo J, Ohta Y 2003 Phys. Rev. E 68 016614

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    Wright O C 2007 Chaos, Solitons Fractals 33 374

    [8]

    Nimmo J, Yilmaz H 2015 J. Phys. A. Math. Theor. 48 425202

    [9]

    Bandelow U, Akhmediev N 2012 Phys. Rev. E 86 026606

    [10]

    Li Z H, Li L, Tian H P, Zhou G S 2000 Phys. Rev. Lett. 84 4096

    [11]

    Ohta Y 2010 AIP Conference Proceeding 1212 114

    [12]

    Zhao L C, Li S C, Ling L M 2014 Phys. Rev. E 89 023210

    [13]

    Xu T, Li M, Li L 2015 Europhys. Lett. 109 30006

    [14]

    Liu Y K, Li B 2017 Chin. Phys. Lett. 34 010202

    [15]

    Ablowitz M J, Musslimani Z H 2013 Phys. Rev. Lett. 110 064105

    [16]

    Ablowitz M J, Musslimani Z H 2016 Stud. Appl. Math. 139 7

    [17]

    Ji J L, Zhu Z N 2017 Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 42 699

    [18]

    Lou S Y 2018 J. Math. Phys. 59 083507

    [19]

    Yang B, Yang J 2018 Stud. Appl. Math 140 178

    [20]

    Song C Q, Xiao D M, Zhu Z N 2017 J. Phys. Soc. Jpn. 86 054001

    [21]

    Rao J, Cheng Y, He J S 2017 Stud. Appl. Math. 139 568

    [22]

    Rao J, Cheng Y, Porsezian K, Mihalache S, He J S 2020 Physica D 401 132180

    [23]

    Ji J L, Zhu Z N 2017 J. Math. Anal. Appl. 453 973

    [24]

    Ma L Y, Zhu Z N 2016 J. Math. Phys. 57 083507

  • 图 1  可积的逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的孤子解 (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

    Figure 1.  Soliton solutions of integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation (7): (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, $ $\lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

  • [1]

    Sasa N, Satsuma J 1991 J. Phys. Soc. Jpn 60 409

    [2]

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    [3]

    Mihalache D, Torner L, Moldoveanu F, Panoiu N C, Truta N 1993 Phys. Rev. E 48 4699

    [4]

    Ghosh S, Kundu A, Nandy S 1999 J. Math. Phys. 40 1993

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    Zhao L C, Li S C, Ling L M 2014 Phys. Rev. E 89 023210

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    Liu Y K, Li B 2017 Chin. Phys. Lett. 34 010202

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    Ablowitz M J, Musslimani Z H 2013 Phys. Rev. Lett. 110 064105

    [16]

    Ablowitz M J, Musslimani Z H 2016 Stud. Appl. Math. 139 7

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    Ji J L, Zhu Z N 2017 Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 42 699

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    Song C Q, Xiao D M, Zhu Z N 2017 J. Phys. Soc. Jpn. 86 054001

    [21]

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    [22]

    Rao J, Cheng Y, Porsezian K, Mihalache S, He J S 2020 Physica D 401 132180

    [23]

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  • Received Date:  14 December 2019
  • Accepted Date:  21 December 2019
  • Available Online:  24 December 2019
  • Published Online:  01 January 2020

An integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation

    Corresponding author: Zhu Zuo-Nong, znzhu@sjtu.edu.cn
  • 1. College of Sciences, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
  • 2. School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China

Abstract: In this paper, we introduce an integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation. The Darboux transformation and soliton solutions for this nonlocal integrable equation are constructed.

    • 耦合的Sasa-Satsuma系统

      是一个非线性可积系统. 这个系统在约化条件$ R(X, T) = \pm Q^*(X, T) $下转化为经典的Sasa-Satsuma方程[1-14],

      这是一个可积的高阶非线性薛定谔方程. 这个方程可以用来描述光纤中飞秒脉冲的传播[2,3].

      最近, Ablowitz和Musslimani[15]给出了一个逆空间的可积非局部NLS方程,

      这个逆空间的可积非局部NLS方程引起了人们对这类非局部可积非线性系统的极大研究兴趣. 若干逆空间、逆时间或逆空时非局部可积方程被提出并被研究[15-24]. 作者在文献[20]中研究了一个逆空时可积非局部Sasa-Satsuma方程:

      我们注意到这样一个事实: 对于系统(1), 如果做约化$ R(X, T) = Q(-X, -T) $, 则可得到如下逆空时非局部Sasa-Satsuma方程:

      在变换

      下, 逆空时非局部Sasa-Sasuma方程(5)转化为如下形式:

      显然, 方程(7)也可以看作为一个逆空时非局部mKdV型方程. 本文的主要目的是建立逆空时非局部Sasa-Sasuma方程(7)的Darboux变换, 并给出这个方程的孤子解.

    2.   逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的Darboux变换
    • 我们注意到方程(7)可以从系统

      通过约化$ v = u(-x, -t) $而得到. Sasa-Satsuma系统 (8)和耦合系统(1)是等价的. 事实上, 在变换

      下, 这两个系统可以相互转化. 对于耦合Sasa-Satsuma系统 (8)在不同的约束条件下可以化为不同的方程: 当$ v = u $时, 系统 (8)化为mKdV方程; 当$ v = u^* $时, 系统 (8)化为一个复的mKdV型方程即经典的Sasa-Satsuma方程. Sasa-Satsuma方程(8)是Lax可积的. 事实上, 系统 (8)可由如下的线性谱问题

      的可积性条件$ { U}_{t}-{ V}_{x}+{ {UV}}-{ {VU}} = 0 $得到, 其中

      我们用$ { {\varPhi}}(x, t;\lambda_j) $来表示线性谱问题(9)在谱参数$ \lambda = \lambda_j $下的特征向量函数. 令${ {\varTheta}}_j = { {\varPhi}}'(x, t;\lambda_j){ M} $, 那么可以直接验证

      是线性谱问题(9)的伴随问题

      在谱参数$ \lambda = -\lambda_j $下的特征函数, 这里上标$ ' $表示矩阵的转置, 矩阵M

      $ { {\varPhi}}(x, t;\lambda_j) $$ \phi_l(x, t;\lambda_j) $分别简记为$ { {\varPhi}}_j $$ \phi_{j, l} $. 类似于文献[20], 我们可以获得Sasa-Satsuma方程(7)的Darboux变换. 首先给出(8)式的双Darboux变换. 作如下特征函数的变换:

      其中$ { {\eta}}_1 = ({ {\varPhi}}_{1}, { {\varPhi}}_{2}) $,

      则联系于耦合的Sasa-Satsuma系统 (8)的线性谱问题(9)变换为

      其中

      我们期望矩阵$ { P}[1] $与矩阵P有完全相同的结构. 可以验证如果矩阵$ { P}[1] $中的$ u[1], v[1] $与矩阵P中的$ u, v $有如下关系:

      其中$ { S} = { {\eta}}_1{ {\varOmega}}({ {\eta}}_1, { {\eta}}_1)^{-1}{ {\eta}}_1'{ M} $, 则矩阵$ { P}[1] $与矩阵P有完全相同的结构, 即方程(8)的双Darboux变换被获得. 值得指出的是如果取约化$ v = u^* $, 耦合Sasa-Satsuma方程(8)约化为经典的Sasa-Satsuma方程. 我们在变换(13)式中取$ \lambda_2 \!=\! -\lambda_1^* $及特征函数$ { {\varPhi}}_2 = \Big(\phi^*_2(x, t;\lambda_1), \phi^*_1(x, t;\lambda_1), \phi^*_3(x, t;\lambda_1)\Big)' $, 那么变换后(16)式的势函数满足$ v[1] = u[1]^* $, 其表达式与文献[5,7,8]中得到的经典Sasa-Satsuma方程的势函数变换关系相同.

      如果令矩阵P中的$ v = u(-x, -t) $并选取适当的参数使得$ S_{23} = S_{13}(-x, -t) $, 那么$ { P}[1] $中的$ v[1] $就等于$ u[1](-x, -t) $. 从而$ u[1] $u的关系实质上就是逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的Bäcklund变换. $ u[1] $是这个逆空时非局部Sasa-Satsuma方程的解.

      进一步, 可以给出耦合Sasa-Satsuma系统 (8)的n次双Darboux变换. 令

      其中$ { R} = ({ {\eta}}_1, { {\eta}}_2, \cdots, { {\eta}}_n) $并且

      其中$ { {\eta}}_k = ({ {\varPhi}}_{2 k-1}, { {\varPhi}}_{2 k}) $,

      变换后位势函数$ u[n] $$ v[n] $可以由矩阵$ { P}[n] $与矩阵P之间的关系

      给出. 设$ { a}, { b} $是一个$ 2 n $阶行向量, 那么根据等式关系

      可以得到

      其中$ { r}_l = (\phi_{1, l}, \phi_{2, l}, \cdots, \phi_{2 n-1, l}, \phi_{2 n, l}), \; l = 1, 2, 3 $. 需要指出, 文献[5]给出了Sasa-Satsuma方程(即方程(8)中取$ v = u^* $)的Darboux变换, 但没有给出高阶Darboux变换. 这里给出了Sasa-Satsuma系统 (8)的高阶双Darboux变换. 在约化$ v = u^* $下, 取$ \lambda_{2 j} = -\lambda_{2 j-1}^* $及特征函数${ {\varPhi}}_{2 j} = $$ \Big(\phi^*_2(x, t;\lambda_{2 j-1}), \phi^*_1(x, t; \lambda_{2 j-1}), \phi^*_3(x, t;\lambda_{2 j-1})\Big)' $, 即可获得Sasa-Satsuma方程的高阶Darboux变换.

    3.   逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的解
    • 借助于Darboux变换, 我们将构造方程(7)的解. 方程(7)有指数形式的解$ u = r{\rm e}^{\kappa(x-(\kappa^2+6 r^2)t)} $, 其中rκ是任意的实数. 特别地, $ u = 0 $是一个解. 解对应的线性谱问题得到在谱参数$ \lambda = \lambda_j $时的特征函数为

      用Darboux变换, 获得$ u[1] $$ v[1] $如下:

      其中

      显然, 要得到逆空时非局部方程(7)的解, 需要选择适当的参数, 使得$ v[1] = u[1](-x, -t) $. 经过分析, 我们发现在如下几种参数情况下:

      (1) $ \alpha_1 = \alpha_2 = \beta_1 = \beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $;

      (2) $ \alpha_1 = -\alpha_2 = \beta_1 = -\beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $;

      (3) $ \alpha_1 = \beta_1 = 1, \alpha_2 = \beta_2 = 0, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $;

      (4) $ \alpha_1 = \alpha_2 = -\beta_1 = -\beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $;

      (5) $ \alpha_1 = -\alpha_2 = -\beta_1 = \beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $

      Figure 1.  Soliton solutions of integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation (7): (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, $ $\lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

      $ v[1] = u[1](-x, -t) $. 从而逆空时非局部方程(7)的解被构造. 对于情形(1)—(3), 有$ u(x, t) = u(-x, -t) $, 而对于情形(4)—(5)有$ u(x, t) = -u(-x, -t) $. 我们给出了对应于情形(1)—(3)的解$ u(x, t) $的图, 如图1所示.

      值得指出, 经典的Sasa-Satsuma方程有一个显著的特征, 即存在双峰孤波解. 对于逆空时非局部可积方程(4), 我们也给出了类似的双峰孤波解. 但对于本文研究的逆空时非局部可积方程(7), 并没有发现这样的双峰孤波解的存在. 从这个意义上说, 逆空时非局部可积方程(4)和方程(7)确有不同的性质. 逆空时非局部可积方程(7)值得进一步研究.

Reference (24)

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