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Full reversal symmetric multiple soliton solutions for integrable systems

Lou Sen-Yue

Full reversal symmetric multiple soliton solutions for integrable systems

Lou Sen-Yue
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  • Multiple soliton solutions are fundamental excitations. There are many kinds of equivalent representations for multiple soliton solutions such as the Hirota forms, Wronskian and/or double Wronskian expressions and Phaffian representations. Recently, in the studies of multi-place nonlocal systems, we find that there are a type of novel but equivalent simple and elegant forms to describe multiple soliton solutions for various integrable systems. In this paper, we mainly review novel types of expressions of multiple soliton solutions for some kinds of nonlinear integrable systems. Meanwhile, some completely new expressions for the Sawada-Kortera equations, the asymmetric Nizhnik-Novikov-Veselov system, the modified KdV equation, the sine-Gordon equation, the Ablowitz-Kaup-Newell-Segue system and the completely discrete H1 equation are firstly given in this paper. New expressions usually possess explicit full reversal symmetries including parity, time reversal, soliton initial position reversal and charge conjugate reversal. These kinds of explicitly symmetric forms are very useful and convenient in the studies on the nonlinear physical problems such as the multi-place nonlocal systems and the resonant structures.
      Corresponding author: Lou Sen-Yue, lousenyue@nbu.edu.cn
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  • Received Date:  31 July 2019
  • Accepted Date:  26 September 2019
  • Available Online:  05 December 2019
  • Published Online:  01 January 2020

Full reversal symmetric multiple soliton solutions for integrable systems

    Corresponding author: Lou Sen-Yue, lousenyue@nbu.edu.cn
  • School of Physical Science and Technology, Ningbo University, Ningbo 315211, China

Abstract: Multiple soliton solutions are fundamental excitations. There are many kinds of equivalent representations for multiple soliton solutions such as the Hirota forms, Wronskian and/or double Wronskian expressions and Phaffian representations. Recently, in the studies of multi-place nonlocal systems, we find that there are a type of novel but equivalent simple and elegant forms to describe multiple soliton solutions for various integrable systems. In this paper, we mainly review novel types of expressions of multiple soliton solutions for some kinds of nonlinear integrable systems. Meanwhile, some completely new expressions for the Sawada-Kortera equations, the asymmetric Nizhnik-Novikov-Veselov system, the modified KdV equation, the sine-Gordon equation, the Ablowitz-Kaup-Newell-Segue system and the completely discrete H1 equation are firstly given in this paper. New expressions usually possess explicit full reversal symmetries including parity, time reversal, soliton initial position reversal and charge conjugate reversal. These kinds of explicitly symmetric forms are very useful and convenient in the studies on the nonlinear physical problems such as the multi-place nonlocal systems and the resonant structures.

    • 自从孤立波的发现[1]、孤立子(孤子)概念的提出[2]和反散射方法的建立[3]以来, 孤子在物理学的各个分支如流体物理[4]、等离子体物理[5]、光纤物理[6]、光学[7-10]、复杂系统和复杂网络[11]、量子场论和粒子物理[12]、引力理论[13]、玻色爱恩斯坦凝聚[14]、大气和海洋物理[15]等等起着非常重要的作用.

      求解可积系统的多孤子解有很多方法, 如广田(Hirota)法[16]、达布(Darboux)变换法[17]、反散射方法[3]、对称性方法[18]等等. 通常使用不同的方法得到的多孤子解表面上可以是很不一样的. 如Hirota方法得到的指数函数形式的组合求和解和Phaffian解及达布变换方法得到的朗斯基或双朗斯基解等等. 而要证明这些看起来不同的表达式的等价性也往往不是显然的, 也因此经常误导一些作者声称得到了“新”的孤子解. 对于众所周知的可积系统, 要声称得到新解必须非常慎重. 对于单孤子解, 各种非线性模型的单孤子解绝大多数的文献都采用紧致简洁的双曲函数形式, 因此很多著名专家如Hirota和Toda及我国的陈登远[19]等都期望能用双曲函数来简洁地表达多孤子解, 但是这一期望直到我们的工作[15,20]发表前一直没有被实现.

      自然界隐含着各种各样的对称性, 如时空平移不变性、标度不变性、空间转动不变性、宇称反演(空间反演)不变性等等. 因此, 描述物理基本规律的方程都自然地包含了这些反映自然规律的不变性质. 然而, 作为非线性可积系统的最基本的非线性激发, 现有的多孤子解却往往没有把它们具有的对称性反映出来. 最近, 在文献[20]中我们把多孤子解的全反演(包括时空反演、所有孤子的初始位置反演、电荷共轭反演、位相反演和场反演等)对称性明显地体现在了新的表达式中.

      本文第2节我们首先综述给出Korteweg de-Vries(KdV)型方程的多孤子解的Hirota形式并将它改写成具有明显的全反演对称表达式. 在相应的子节中我们给出KdV方程、Toda方程、Kadomtsev-Petviashvilli (KP)方程(包括KdV方程和Boussinesq方程)、(1 + 1维和2 + 1维) Sawada-Kotera (SK)方程、非对称Nizhnik-Novikov-Veselov (NNV)等对应方程的具有明显的全反演对称性的多孤子解. 在第3节我们综述给出修正KdV (MKdV)和sine-Gordon (sG)型方程的多孤子解的Hirota形式以及具有明显的全反演对称表达式. 特别给出MKdV方程和sG方程的一个新的具有明显全反演对称性的多孤子解. 第4节中, 我们给出散焦型非线性薛定谔(NLS)方程多孤子解的具有明显全反演对称(包括电荷共轭对称)的表达式. 对于聚焦型NLS方程, 具有显式的时空反演对称性和电荷共轭对称性的表达式比Hirota形式更为复杂. 因此, 本文不作直接讨论. 在第5节中, 我们直接给出Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS)系统多孤子解的一种新表达式: 范德蒙-朗斯基行列式形式. 同时指出该新形式包含的全反演对称性. 本文第6节, 我们在重新定义全离散的双曲函数后, 写下全离散势KdV系统($ H_1 $)的具有明显的全反演对称多孤子解. 最后一节是总结和讨论.

    2.   KdV-KP-Toda型多孤子解的新型表达式
    • KdV-KP-Toda型方程文献中简单地称之为KdV型方程[21]. 其一般的多孤子解(N-孤子解)的Hirota形式可以统一地写为

      其中关于μ的求和是关于$ \mu_i = 0, \ 1, \ i = 1, \ 2,\ \ldots, \ N $的各种可能组合的求和, $ \xi_j $

      $ x_i, \ i = 1, \ 2, \ \cdots, \ d, $可以是连续的或离散的空间和时间变量. ${ x}_{0 j} $代表第j个孤子的任意初始位置向量. 对于给定的模型$ {k}_{ji} $要满足相应的色散关系, $ \exp(\theta_{jl}) $要满足三孤子存在条件. (1)中的F满足所谓的Hirota双线性方程

      (4)式中Hirota双线性算子$ D_{\vec {x}} $定义为

      文献[21]对各种可能存在三孤子的$ P(D_{{x}}) $作了完整的分类.

      从(1)和(2), 我们可以看到时空平移不变性(任意初始位置向量)外, 我们并不能看到其它对称性. 为了找到明显的全反演不变的多孤子解表达式, 我们可以利用(1)和(2)的下述的显然的对称性,

      其中$ \beta, \ K, \ \varOmega $$ X_0 $为任意常数. 利用对称性(6), 重新定义任意的孤子初始位置向量, 将$ \xi_j $重写为

      则(1)和(2)可以重新改写为

      其中关于$ \nu = \{\nu_1, \ \nu_2, \ \cdots, \ \nu_N\} $的求和必须对所有$ \nu_i = 1, \ -1, \ i = 1, \ 2\ \cdots, \ N $的非对偶组合求和. 由于(9)中的双曲函数是偶函数, 所以ν$ -\nu $产生的是一样的贡献, 所以我们称ν$ -\nu $是互为对偶的. 在(9)中的与组合ν相关的常数$ K_{\nu} $与模型的多孤子存在条件相关. 下面各子节我们列出具体的KdV-KP-Toda型多孤子解的具有全反演对称性的具体表达式.

    • 对于KdV方程

      多孤子解为

      其中

      从(11)可以看出, KdV方程的多孤子解(11)具有显然的全反演(时空反演$ \{x, t\}\rightarrow \{-x, -t\} $和孤子初始位置反演$ \{x_{0 j}, t_{0 j}\}\rightarrow \{-x_{0 j}, -t_{0 j}\} $)变换下的不变性. 换句话说KdV方程的多孤子解(11)是在全反演变换

      下不变的.

      两地非局域KdV系统(也称作是Alice-Bob KdV(ABKdV)系统)

      具有如下性质

      其中$ KdV $由(10)定义. 许多具体的$ \Delta(A, \ B) $可在文献(如[20])中找到. 由于(11)的全反演变换不变性, 因此

      是任意ABKdV系统(14)的PT(P宇称, T时间反演)不变解.

    • 对于KP方程(包括KdV方程$ u_y = 0 $和Boussinesq方程$ u_t = 0 $)

      多孤子解为

      其中

      从(18)可知, KP方程的多孤子解(18)是在全反演变换(13)下不变的.

      两地非局域KP系统(Alice-Bob KP(ABKP)系统)

      是具有如下性质

      的非局域系统, 其中KP由(17)定义. 一些具体的$ \Delta(A, \ B) $可在文献(如[20])中找到. 由于(18)的全反演变换不变性, 因此

      是任意ABKP系统(20)的PT (P宇称, T时间反演)不变解.

    • 为了将多孤子解写成统一的形式, 对于Toda系统我们采用下述等价形式

      其中差分算子E定义为

      Toda方程(23)的全反演对称多孤子解为

      其中

      从(25)可知, Toda方程的多孤子解(25)是在全反演变换(13)下不变的.

      两地非局域Toda系统(Alice-Bob Toda(ABT)系统)

      是具有如下性质

      的非局域系统, 其中Toda由(23)定义. 具体的$ \Delta(A, \ B) $的例子可在文献(如文献[20])中找到. 由于(25)的全反演变换不变性, 因此

      是任意ABToda系统(27)的PPn (P宇称, Pn离散变量n的反演)不变解.

    • 关于(2 + 1)-维的SK方程

      的全反演对称多孤子解为

      其中($ k_{ij}\equiv k_i-\nu_i\nu_jk_j $)

      从(31)可知, SK方程的多孤子解(31)是在全反演变换(13)下不变的.

      (1 + 1)-维的SK系统的多孤子解可以简单地在(2 + 1)-维的结果中取$ l_j = 0 $使得$ u_y = 0, \ v = 0 $即可.

      两地非局域SK系统(Alice-Bob SK(ABSK)系统)

      是具有如下性质

      的非局域系统, 其中SK由(30)定义. 由于(31)的全反演变换不变性, 因此

      是任意ABSK系统(33)的PT不变解.

    • 非对称的NNV方程

      的全反演对称多孤子解为

      其中

      从(37)可知, 非对称NNV方程的多孤子解(37)是在全反演变换(13)下不变的.

      两地非局域非对称NNV系统(Alice-Bob ANNV(ABANNV)系统)

      是具有如下性质

      的非局域系统, 其中ANNV由(36)定义. 由于(37)的全反演变换不变性, 因此

      是任意ABANNV系统(39)的PT不变解.

    3.   MKdV-sG型多孤子解的新型表达式
    • MKdV-sG型方程在传统文献中通常分为MKdV型和sG型两种类型的方程[21]. 其实从多孤子解的表达式可知, 这两种类型可以归结为同一种类型. 实际上人们都知道, MKdV方程的势形式和sG方程是属于同一个可积梯队的. MKdV-sG型方程的多孤子解的Hirota形式可以统一地写为[19] ($ {\rm i}\equiv \sqrt{-1} $)

      其中关于μ的求和是关于$ \mu_i = 0, \ 1, \ i = 1, \ 2\ \cdots, \ N $的各种可能组合的求和, $ \xi_j $

      $ x_i, \ i = 1, \ 2, \ \cdots, \ d, $可以是连续的或离散的空间和时间变量. $ {x}_{0 j} $代表第j个孤子的任意初始位置向量. 对于给定的模型$ {k}_{ji} $要满足相应的色散关系, $ \exp(\theta_{jl}) $要满足三孤子存在条件. (42)式中的$ F_{\pm} $满足所谓的Hirota双线性方程[21]

      其中Q是偶函数, P可以是偶函数(sG)也可以是奇函数(MKdV). 如果P是奇函数, (45)和(46)式通过转动变换可以等价地写为

      在文献[21]中, Hietarinta对各种可能的三孤子存在条件对PQ作了完整的分类.

      为了找到MKdV-sG系统的明显的全反演不变的多孤子解表达式, 可以利用(42)和(43)式的下述显然的对称性,

      其中$ \beta, \ K, \ \varOmega $$ X_0 $为任意常数, M为任意整数. 利用对称性(49), 类似于KdV型的情况, 重新定义任意的孤子初始位置向量, 解(42)和(43)可以等阶地改写为

      其中关于$ \nu = \{\nu_1, \ \nu_2, \ \ldots, \ \nu_N\} $的求和必须对所有$ \nu_i = 1, \ -1, \ i = 1, \ 2\ \ldots, \ N $的非对偶组合求和. 在(50)中的与组合ν相关的常数$ K_{\nu} $与模型的多孤子存在条件相关. 在表达式(50)中显然的全反演对称变换包含了时空反演$ {x}\rightarrow -{x} $, 孤子初始位置反演$ {x}_{0 j}\rightarrow -{x}_{0 j} $, 电荷共轭反演$ i\rightarrow -i $以及场反演$ u\rightarrow -u $. 实际上, 波向量$ {k}_j $为实的话, 解(50)也是实的. 所以对于实的$ {k}_j $, 解(50)可以进一步改写成实形式,

      其中关于$ \nu_o $$ \nu_e $的求和分别是关于ν的非对偶的奇排列和偶排列求和. 奇(偶)排列定义为排列$ \nu_i = 1, \ -1, \ i = 1, \ 2\ \ldots, \ N $中具有奇(偶)数个$ \nu_i = 1 $.

      下面各子节我们列出一些具体的MKdV-sG型多孤子解的具有全反演对称性的具体表达式.

    • 对于修正KdV方程

      的多孤子解由(50)或(51)给出, 其中第j个孤子的行波变量$ \eta_j $和分布系数(相互作用常数)$ K_{\nu} $

      任意的具有性质$ \Delta(A, \ A) = MKdV $的两地MKdV系统

      的PT群不变多孤子解具有与(50)或(51)相同的形式, 但(53)中的$ x_{0 j} $$ t_{0 j} $都必须为零.

    • 对于sG方程

      的多孤子解由(50)或(51)给出, 其中第j个孤子的行波变量$ \eta_j $和分布系数(相互作用常数)$ K_{\nu} $

      任意的具有性质$ \Delta(A, \ A) = sG $的两地sG系统

      的PT群不变多孤子解具有与(50)或(51)相同的形式, 但(56)中的$ x_{0 j} $$ t_{0 j} $都应取为零.

    4.   NLS方程多孤子解的新型表达式
    • 对应于非线性薛定谔(NLS)方程

      存在散焦($ \sigma = -1 $)和聚焦($ \sigma = 1 $)两种完全不同的情况, 需要区别对待. 由于聚焦NLS方程的双曲函数表达式过于复杂, 我们不在本文讨论这种形式, 而仅仅处理散焦NLS方程的新型孤子解.

      散焦($ \sigma = -1 $) NLS系统(58)的多孤子解的Hirota形式为[19]

      其中孤子行波变量为

      相互作用常数为

      $ \alpha, \ \xi_{0 j}, \ \theta_{j}, \ j = 1, \ 2, \ \ldots, \ N $$ \phi_0 $为任意常数. (59)中的关于μ的求和是对所有可能组合$ \mu_j = 0, \ 1, \ j = 1, \ 2, \ \ldots, \ N $的求和.

      类似于KdV-KP-Toda型方程的情况, 多孤子解(59)可以重新改写成全反演对称形式,

      其中关于ν的求和是对所有可能的非对偶组合$ \nu_j = 1, -1, \ j = 1, \ 2, \ \cdots, \ N $求和. 表达式(62)中的孤子行波变量$ \eta_j $及相互作用常数$ K_{\nu} $

      $ \theta_j, \ x_{0 j}, \ t_{0 j}, \ \alpha $ and $ \phi'_0 $为任意实常数.

      由于解(62)的全反演(时空反演, 孤子初始位置和初始位相反演, 电荷共轭反演)不变性, 任意的具有性质$ \Delta(A, \ A) = NLS(\sigma = -1) $的两地NLS系统

      的PTC (C为电荷共轭, 即复共轭)群不变多孤子解具有与(62)相同的形式, 但(63)中的$ x_{0 j} $$ t_{0 j} $和初始位相$ \phi'_0 $都应取为零.

      聚焦NLS系统多孤子解的Hirota形式虽然没有显式的简单的全反演对称形式, 但是这一对称性还是隐含着的[15].

    5.   AKNS系统多孤子解的新型表达式
    • AKNS系统

      是最重要的数学物理模型之一, 除了著名的局域的NLS方程是其最基本的约化($ v = u^* $)外, 很多非局域NLS方程也是其对称性约化[15,22,23]. AKNS的严格解已经为很多研究者用很多方法研究过[24,22]. 其多孤子解可以用双朗斯基行列式表示[22]. 为了较为明显地显示多孤子解的全反演对称性, 我们可以将AKNS系统(65)的双朗斯基行列式解等价地改写成下述范德蒙-朗斯基行列式形式($\{u, v\}\rightarrow $$ \{u_{M, N}, v_{M, N}\} $):

      其中$ e_j = (-1)^j\exp[k_j(x-x_{0 j})-{\rm i} k_j^2(t-t_{0 j})] $,

      矩阵(67)的前n行是范德蒙矩阵形式, 后m行是朗斯基矩阵形式, 因此我们称解为范德蒙-朗斯基行列式解.

      可以证明AKNS的范德蒙-朗斯基行列式解(66)具有下述全反演变换下的不变性:

      为了明显看出不变性(68), 这里我们列出一些小的$ M, N $解的具体形式

      解(69)—(74)在全反演变换(68)下的不变性是显然的.

    6.   全离散系统多孤子解的新型表达式
    • 前面几节讨论的全反演对称形式的结果也可以在全离散形式下实现. 本文我们仅仅讨论全离散势KdV系统($ H_1 $)的

      全反演对称形式. $ H_1 $方程(75)中,

      p, q为任意常数.

      $ H_1 $方程的多孤子解可以用Phaffian来表示[25]

      其中$ a = \sqrt{p} $, $ b = \sqrt{q} $,

      $ \rho_i^{\pm} $$ k_i $任意常数.

      为了看出明显的全反演变换不变性, 我们引入全离散双曲函数,

      这样定义的双曲函数满足连续双曲函数的加法公式:

      可以证明在上述双曲函数定义下, $ H_1 $方程(75)的多孤子解可以重写为

      其中

      显然(81)是全反演变换

      下不变的. 这一不变性很容易用来求解非局域$ H_1 $系统的多孤子解.

    7.   结论和讨论
    • 本文既综述了最近我们在研究非局域系统的P-T-C群不变的多孤子解时新发现的很多局域可积系统(KdV、KP、Toda、MKdV、sG、Boussinesq和NLS系统等等)的具有全反演对称性的多孤子表达式, 也给出了一些公开发表的文献中尚未出现过的局域可积系统新的全反演对称性的表达式. 如, (2 + 1)维和(1 + 1)维SK方程的解(31), 非对称NNV方程的解(37), 修正KdV和sG方程多孤子解(50), AKNS的范德蒙-朗斯基解(66), 全离散势KdV系统($ H_1 $系统)的多孤子解(81)都是文献中尚未出现过的新结果.

      当前在非线性系统求解方向有一些重要的热门课题, 如各种共振解(呼吸子、怪波(瞬子)、团块解(lump)、帐篷解(Dromion)、网格解和孤子分子等等)的寻求和分类及多地非局域系统的求解等等. 多孤子解的不同形式在寻求各种共振孤子时可以体现出不同的优点[28], 初步的研究表明本文提出的新的形式会提供极大的方便甚至给出新的共振激发模式. 在多地非局域系统的求解研究中, 对很多非局域系统, 全反演对称形式的多孤子解会自然地得到这些系统群不变多孤子解, 对于对称性破缺解的求解也非常有用并可揭示非局域系统的很多新的物理, 如经典禁戒、非线性激发结构改变和相变等等[26,27]. 与本文相关的还有很多没有得到解决的问题, 有的仅仅只是一个开始, 值得在以后的研究中进一步深入和扩展.

      感谢李玉奇老师的各种有益讨论, 特别是在AKNS系统的范德蒙-朗斯基解表达式中的建设性意见.

Reference (28)

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