具有(<inline-formula><tex-math id="M1">\begin{document}$ 2 m+1 $\end{document}</tex-math></inline-formula>)次非线性项和时空变系数的广义(<inline-formula><tex-math id="M2">\begin{document}$ n+1 $\end{document}</tex-math></inline-formula>)维薛定谔方程的相似变换和精确解

王岗伟; 谭子轩

doi:10.7498/aps.74.20250225

摘要
薛定谔型方程是一类十分重要的微分方程. 高维及变系数薛定谔型方程的研究具有一定的价值和意义. 本文利用相似变换推导了($ n+1 $)维($ 2m+1 $)次变系数非线性薛定谔方程的一类新的孤子解, 给出了系数之间满足的关系. 并利用定态薛定谔方程的解, 得到了($ n+1 $)维($ 2m+1 $)次变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解. 最后, 对于特殊的情况, 给出了明暗孤立子解的图像, 并系统分析了孤子解的空间结构和传播特性.

关键词:
(n+1)维(2m+1)次非线性薛定谔方程 /

相似变换 /

精确解
Abstract
Schrödinger-type equations represent a fundamentally important class of differential equations. The study of high-dimensional and variable-coefficient Schrödinger-type equations is of significant theoretical and practical value, providing critical insights into the dynamics of complex wave phenomena. In this paper, we employ similarity transformations to derive a novel class of soliton solutions for the ($ n+1 $)-dimensional ($ 2m+1 $)th-order variable-coefficient nonlinear Schrödinger equation. By extending similarity transformations from lower-dimensional equations to higher dimensions, we establish the intrinsic relationships among the equation’s coefficients. Furthermore, utilizing the solutions of the stationary Schrödinger equation and applying the balancing-coefficient method, we construct both bright and dark soliton solutions for the ($ n+1 $)-dimensional ($ 2m+1 $)th-order variable-coefficient nonlinear Schrödinger equation. Finally, for specific cases, we present graphical representations of the bright and dark soliton solutions and conduct a systematic analysis of their spatial structures and propagation characteristics. Our results reveal that bright solitons exhibit a single-peak structure, while dark solitons form trough-like profiles, further confirming the stability of soliton wave propagation.

Keywords:
(n+1)-dimensional (2m+1)-th nonlinear Schrödinger equation /

Similarity transformations /

Exact solutions
文章全文

施引文献
图 1 方程(29)的一种明孤子解, 展示的图像为$ |u|^2 $. 其中$ x_1\in[-10, 10] $, $ t\in[0, 10] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $.　(a) 三维图; (b) 相位图

Fig. 1. Bright soliton solution of Eq.(29), shown as $ |u|^2 $, where $ x_1\in[-10, 10] $, $ t\in[0, 10] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. (a) 3-dimensional image; (b) Phase image.

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 方程(29)的一种明孤子解, 展示的图像为$ |u|^2 $. 其中$ x_1\in[-10, 10] $, $ t\in[3, 5] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. 　(a) 三维图; (b) 相位图

Fig. 2. Bright soliton solution of Eq.(29), shown as $ |u|^2 $, where $ x_1\in[-10, 10] $, $ t\in[3, 5] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. (a) 3-dimensional image; (b) Phase image.

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 方程(30)的一种暗孤子解, 展示的图像为$ |u|^2 $. 其中 $ x\in[-10, 10] $, $ t\in[0, 10] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. 　(a) 三维图; (b) 相位图

Fig. 3. Dark soliton solution of Eq.(30), shown as $ |u|^2 $, where $ x_1\in[-10, 10] $, $ t\in[0, 10] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. (a) 3-dimensional image; (b) Phase image.

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 方程(30)的一种暗孤子解, 展示的图像为$ |u|^2 $. 其中 $ x\in[-10, 10] $, $ t\in[0, 2] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. 　(a) 三维图; (b) 相位图

Fig. 4. Dark soliton solution of Eq.(30), shown as $ |u|^2 $, where $ x_1\in[-10, 10] $, $ t\in[0, 2] $, $ x_2=-3, x_3 = 2 $. (a) 3-dimensional image; (b) Phase image.

下载: 全尺寸图片幻灯片

[1]	Zhong M, Malomed B A, Yan Z 2024 Phys. Rev. E 110 014215 Google Scholar
[2]	Malomed B A 2024 Chaos (Woodbury, N.Y.) 34 022102 Google Scholar
[3]	Kudryashov N A, Nifontov D R, Biswas A 2024 Phys. Lett. A 528 130037 Google Scholar
[4]	Wang T Y, Zhou Q, Liu W J 2022 Chin. Phys. B 31 020501 Google Scholar
[5]	Lü X, Zhu H W, Yao Z Z, Meng X H, Zhang C, Zhang C Y, Tian B 2008 Ann. Phys. 323 194755
[6]	公睿智, 王灯山 2023 物理学报 72 100503 Google Scholar Gong R Z, Wang D S 2023 Acta Phys. Sin. 72 100503 Google Scholar
[7]	Pérez-García V M, Pardo R 2009 Physica D 238 135261
[8]	Dinh V D 2022 Nonlinear Anal. 214 112587 Google Scholar
[9]	Rizvi S T R, Seadawy A R, Farah N, Ahmad S 2022 Chaos, Solitons Fractals 159 112128 Google Scholar
[10]	Yang Z, Zhong W P, Belić, M R 2023 Phys. Lett. A 465 128715 Google Scholar
[11]	Djelah G, Ndzana F I I, Abdoulkary S, English L Q, Mohamadou A 2024 Phys. Lett. A 518 129666 Google Scholar
[12]	饶继光, 陈生安, 吴昭君, 贺劲松 2023 物理学报 72 104204 Google Scholar Rao J G, Chen S A, Wu Z J, He J S 2023 Acta Phys. Sin. 72 104204 Google Scholar
[13]	孙斌, 赵立臣, 刘杰 2023 物理学报 72 100501 Google Scholar Sun B, Zhao L C, Liu J 2023 Acta Phys. Sin. 72 100501 Google Scholar
[14]	裴一潼, 王锦坤, 郭柏灵, 刘伍明 2023 物理学报 72 100201 Google Scholar Pei Y T, Wang J K, Guo B L, Liu W M 2023 Acta Phys. Sin. 72 100201 Google Scholar
[15]	温嘉美, 薄文博, 温学坤, 戴朝卿 2023 物理学报 72 100502 Google Scholar Wen J M, Bo W B, Wen X K, Dai C Q 2023 Acta Phys. Sin. 72 100502 Google Scholar
[16]	楼森岳, 郝夏芝, 贾曼 2023 物理学报 72 100204 Google Scholar Lou S Y, Hao X Z, Jia M 2023 Acta Phys. Sin. 72 100204 Google Scholar
[17]	Rao J, Mihalache D, Ma M, He J 2024 Phys. Lett. A 493 129244 Google Scholar
[18]	杨佳奇, 刘文军 2023 物理学报 72 100504 Google Scholar Yang J Q, Liu W J 2023 Acta Phys. Sin. 72 100504 Google Scholar
[19]	廖秋雨, 胡恒洁, 陈懋薇, 石逸, 赵元, 花春波, 徐四六, 傅其栋, 叶芳伟, 周勤 2023 物理学报 72 104202 Google Scholar Liao Q Y, Hu H J, Chen M W, Shi Y, Zhao Y, Hua C B, Xu S L, Fu Q D, Ye F W, Zhou Q 2023 Acta Phys. Sin. 72 104202 Google Scholar
[20]	Wang G 2016 Appl. Math. Lett. 56 5664
[21]	Zhang J, Wang G 2025 Appl. Math. Lett. 159 109286 Google Scholar

[1]	张丽香, 刘汉泽, 辛祥鹏. 广义（3+1）维Zakharov-Kuznetsov方程的对称约化、精确解和守恒律. 物理学报, doi: 10.7498/aps.66.080201
[2]	李凯辉, 刘汉泽, 辛祥鹏. 一类高阶非线性波方程的李群分析、最优系统、精确解和守恒律. 物理学报, doi: 10.7498/aps.65.140201
[3]	刘勇, 刘希强. 变系数Whitham-Broer-Kaup方程组的对称、约化及精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.63.200203
[4]	王振立, 刘希强. Kaup-Kupershmidt方程的非局域对称及新的精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.63.180205
[5]	李宁, 刘希强. Broer-Kau-Kupershmidt方程组的对称、约化和精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.62.160203
[6]	曾文丽, 马松华, 任清褒. (2+1)维 Bogoyavlenskii-Schiff 系统的精确解和孤子激发. 物理学报, doi: 10.7498/aps.61.110508
[7]	雷军, 马松华, 方建平. (3+1)维Jimbo-Miwa方程的精确解及局域激发. 物理学报, doi: 10.7498/aps.60.120507
[8]	杨征, 马松华, 方建平. (2+1)维 Zakharov-Kuznetsov 方程的精确解和孤子结构. 物理学报, doi: 10.7498/aps.60.040508
[9]	钱存, 王亮亮, 张解放. 变系数非线性Schrödinger方程的孤子解及其相互作用. 物理学报, doi: 10.7498/aps.60.064214
[10]	李帮庆, 马玉兰. (G′/G)展开法和(2+1)维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov系统的新精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.58.4373
[11]	套格图桑, 斯仁道尔吉. 构造变系数非线性发展方程精确解的一种方法. 物理学报, doi: 10.7498/aps.58.2121
[12]	套格图桑, 斯仁道尔吉. 辅助方程构造带强迫项变系数组合KdV方程的精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.57.1295
[13]	吴国将, 张苗, 史良马, 张文亮, 韩家骅. 扩展的Jacobi椭圆函数展开法和Zakharov方程组的新的精确周期解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.56.5054
[14]	毛杰健, 杨建荣. 变系数广义KdV方程新的类孤波解和精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.56.5049
[15]	智红燕, 王　琪, 张鸿庆. (2+1) 维Broer-Kau-Kupershmidt方程一系列新的精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.54.1002
[16]	刘成仕, 杜兴华. 耦合Klein-Gordon-Schr?dinger方程新的精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.54.1039
[17]	曾昕, 张鸿庆. (2+1)维Boussinesq方程的Backlund变换与精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.54.1476
[18]	黄定江, 张鸿庆. 扩展的双曲函数法和Zakharov方程组的新精确孤立波解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.53.2434
[19]	龙超云, 陈明伦, 蔡绍洪. 一类n维非球谐振子势的精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.52.1858
[20]	石玉仁, 吕克璞, 段文山, 洪学仁, 赵金保, 杨红娟. 组合KdV方程的显式精确解. 物理学报, doi: 10.7498/aps.52.267

计量

文章访问数: 470
PDF下载量: 18
被引次数: 0

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

搜索

留言板

具有($ 2 m+1 $)次非线性项和时空变系数的广义($ n+1 $)维薛定谔方程的相似变换和精确解

Similarity transformations and exact solutions of the generalized ($ n+1 $)-dimensional Schrödinger equation with ($ 2 m+1 $)-th order nonlinear terms and spatiotemporally varying coefficients

摘要

Abstract

文章全文

施引文献

计量

作者中心

审稿中心

关于期刊

关于我们

搜索

留言板

具有($ 2 m+1 $)次非线性项和时空变系数的广义($ n+1 $)维薛定谔方程的相似变换和精确解

Similarity transformations and exact solutions of the generalized ($ n+1 $)-dimensional Schrödinger equation with ($ 2 m+1 $)-th order nonlinear terms and spatiotemporally varying coefficients

摘要

Abstract

文章全文

施引文献

计量

出版历程

作者中心

审稿中心

关于期刊

关于我们