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Coherent state phase estimation based on digital nonlinear phase-locked loop

Xu Han Chen Shu-Xin Wu Hao Chen Kun Hong Lei

Coherent state phase estimation based on digital nonlinear phase-locked loop

Xu Han, Chen Shu-Xin, Wu Hao, Chen Kun, Hong Lei
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  • The navigation mechanism of obtaining phase parameters based on quantum theory can break through the limitation of classical physical limit to navigation accuracy. In order to achieve the accurate estimation of the coherent state phase, it is usually assumed that the local oscillator phase must be orthogonal to the coherent state phase in the method of quantum homodyne detection. However, the coherent state phase is unknown and the hypothesis cannot be guaranteed to be correct in practice. In this paper we design a nonlinear phase-locked loop to solve the problem. Firstly, in order to obtain the Wigner distribution for a coherent state, we start with the Wigner distribution for the vacuum state and analyze the noise characteristics according to Wigner distribution of coherent state, then the output of homodyne detection is derived. Secondly, in order to avoid introducing errors in theory, caused by linearization and cope with the limiting requirement between local oscillator phase and coherent state phase in the phase tracking of coherent state, we design an orthogonal simplex cubature Kalman filter (OSCKF) algorithm to achieve the function of the nonlinear phase-locked loop. The algorithm converges by updating the state of the local oscillator phase multiple times, and then, the accurate coherent phase is obtained. Finally, according to the design of the phase-locked loop, we observe the data of homodyne detection and then verify the correctness of the OSCKF algorithm. The simulation results show that the OSCKF can converge to the real phase after observing 200 sampled data and the accuracy is higher than extended Kalmn filter (EKF) and cubature Kalman filter (CKF), and the real phase can be obtained under different local oscillator phase. In conclusion, the nonlinear phase-locked loop based on OSCKF algorithm breaks the limitation of traditional way in which the initial local oscillator phase is required to be orthogonal to the coherent state phase, and effectively avoid the linearization error and improve the anti-nonlinear ability. It is very significant in theory and application .
      Corresponding author: Wu Hao, wuhaostudy@163.com
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  • 图 1  数字零拍锁相环

    Figure 1.  Digital homodyne phase-lock loop.

    图 2  基于OSCKF算法的量子非线性数字锁相环

    Figure 2.  Digital quantum nonlinear phase-lock loop based on OSCKF algorithm.

    图 3  零拍数据示意图

    Figure 3.  Homodyne data schematic diagram.

    图 4  不同初始本振相位下所提方法的性能

    Figure 4.  Performance comparison of phase-locked loop in different local oscillator phase.

    图 5  各算法误差收敛曲线

    Figure 5.  Convergence curve of various algorithms.

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Publishing process
  • Received Date:  28 August 2018
  • Accepted Date:  29 September 2018
  • Available Online:  27 August 2019
  • Published Online:  01 February 2019

Coherent state phase estimation based on digital nonlinear phase-locked loop

    Corresponding author: Wu Hao, wuhaostudy@163.com
  • Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi'an 710077, China

Abstract: The navigation mechanism of obtaining phase parameters based on quantum theory can break through the limitation of classical physical limit to navigation accuracy. In order to achieve the accurate estimation of the coherent state phase, it is usually assumed that the local oscillator phase must be orthogonal to the coherent state phase in the method of quantum homodyne detection. However, the coherent state phase is unknown and the hypothesis cannot be guaranteed to be correct in practice. In this paper we design a nonlinear phase-locked loop to solve the problem. Firstly, in order to obtain the Wigner distribution for a coherent state, we start with the Wigner distribution for the vacuum state and analyze the noise characteristics according to Wigner distribution of coherent state, then the output of homodyne detection is derived. Secondly, in order to avoid introducing errors in theory, caused by linearization and cope with the limiting requirement between local oscillator phase and coherent state phase in the phase tracking of coherent state, we design an orthogonal simplex cubature Kalman filter (OSCKF) algorithm to achieve the function of the nonlinear phase-locked loop. The algorithm converges by updating the state of the local oscillator phase multiple times, and then, the accurate coherent phase is obtained. Finally, according to the design of the phase-locked loop, we observe the data of homodyne detection and then verify the correctness of the OSCKF algorithm. The simulation results show that the OSCKF can converge to the real phase after observing 200 sampled data and the accuracy is higher than extended Kalmn filter (EKF) and cubature Kalman filter (CKF), and the real phase can be obtained under different local oscillator phase. In conclusion, the nonlinear phase-locked loop based on OSCKF algorithm breaks the limitation of traditional way in which the initial local oscillator phase is required to be orthogonal to the coherent state phase, and effectively avoid the linearization error and improve the anti-nonlinear ability. It is very significant in theory and application .

1.   引 言
  • 相位估计是导航控制、图像处理、大气波导、混沌通信等领域的关键问题之一[14]. 例如, 在测角定位系统中, 对相位信息估计的精确度直接决定了波达角等参数获取的精度. 然而, 经典相位的精度在理论上有不可逾越的界限, 成为制约各类参数获取精度的瓶颈.

    近年来, 随着量子技术的发展, 尤其是对连续变量量子相位测量的研究, 利用相干态相位信息获取相关参数, 有望获得超越经典理论极限的精度[57]. 目前, 已有研究通常是将相干态通过量子零拍探测器, 并建立基于相干态光场强度与其相位相关统计量的函数关系来进行相位估计[8,9], 这能够有效提高相位估计精度[10,11]. Wiseman[12]提出量子反馈测量方案, 即对量子零拍探测器的本振相位进行反馈控制, 从而实现近似正则测量, 并得到了验证[13]. 随后, Berry等[14]提出了相干态光场和压缩态光场连续变化相位的自适应测量跟踪方法, 证明了在相位跟踪中反馈测量优于非反馈测量. Tsang等[15]设计了自适应零拍线性锁相环对实时相位和瞬时频率进行测量, 并且在此基础上将非线性方程进行一阶泰勒展开, 利用卡尔曼-布什滤波实现了相位的实时跟踪[16,17]. 上述方法均是在本振光相位与待测光场相位正交的前提下能够达到标准量子极限, 如果信号为相位压缩态光场, 其相位测试精度能够突破标准量子极限. 然而对于导航信号来说, 相干态相位是未知的, 即使利用自适应锁相环对本振相位进行调整, 也并不能保证本振相位与相干态相位完全正交, 因此利用上述方法进行线性化处理时, 虽然能简化相位估计过程, 但也会不可避免地引入线性化误差, 并且在调整本振相位时带来了时延, 难以保证波达角等参数的实时获取, 这对于导航系统来说显然不合理.

    为此, 本文在传统自适应反馈线性化连续锁相环的基础上, 设计了一种基于正交单纯形容积卡尔曼滤波的数字非线性锁相环来实现相干态相位的精确估计. 首先分析相干态相位的量子零拍探测输出模型, 然后利用AD变换将测量信息进行数字化处理, 再引入数据处理模块, 得到相位估计的数字锁相环框架. 设计数字锁相环的原因在于: 一是导航领域中所需的各类参数信息不一定是连续的, 因而无需估计连续的相位信息; 二是进行数字化更利于锁相环的实现与算法迭代; 三是可以避免连续数据隐藏的缺陷对模型的影响, 使模型更加稳定. 数据处理中, 为避免线性化误差, 采用基于容积准则[18,19]的非线性滤波算法. 在标准容积准则的基础上, 利用正则单纯形[20]来构建容积公式, 提高后验密度的数值积分精度; 然后根据考虑非线性对滤波的影响, 进一步利用正交矩阵将单纯形容积点进行变换, 调整非线性高阶项的影响, 从而避免局部采样效应, 得到正交单纯形容积卡尔曼滤波(OSCKF). 一方面, 上述方法避免了因本振光相位与信号相位无法完全正交引起的误差, 更易于处理且稳定性更好; 另一方面, OSCKF能够有效避免各类误差, 提高量子相位估计精度.

2.   非线性量子锁相环设计
  • 本文利用Wigner函数推导相干态相位在量子零拍探测的输出模型. 为了得到相干态的Wigner函数, 先分析真空态的Wigner函数. 定义正交分量场$x \equiv \dfrac{1}{2}\left( {a + {a^ + }} \right)$, $y \equiv \dfrac{1}{{2{\rm{i}}}}\left( {a - {a^ + }} \right)$, 式中, $a$${a^ + }$分别是光子湮灭算符与光子产生算符. 由不确定度原理知, $x$$y$的标准偏差满足$\Delta x\Delta y \geqslant \displaystyle\frac{1}{4}$.

    记真空态的正交分量分别为${x_0}$${y_0}$, 则其Wigner函数可表示为

    从(1)式可以看出, ${x_0}$${y_0}$的方差均为$\dfrac{1}{4}$, 标准偏差$\Delta {x_0}\Delta {y_0} = \dfrac{1}{4}$, 可见真空态是最小不确定度态. 具有平均相位$\phi $的相干态$\left| \alpha \right\rangle $在相空间中可通过沿相位调制${x_0}$方向平移真空态得到, 其Wigner函数具体可以写为:

    零拍输出的正交场分量为$\eta = \dfrac{1}{2}\left( {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi }}a +\right.$$ \left.{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}{a^ +} \right)$, 其中$a$是相干态$\left| \alpha \right\rangle $的湮灭算符. 用正交分量可表示为$a = x + {\rm{i}}y$, 根据(1)式和(2)式, 可用真空态的正交分量表示为

    则零拍输出$\eta $可写为

    式中${z_0} = {x_0}\cos \left( {\phi - \varphi } \right) - {y_0}\sin \left( {\phi - \varphi } \right)$. 由(1)式知, 真空态的正交场分量服从零均值的高斯分布, 其统计分布与相位$\phi - \varphi $不相关, 则${z_0}$的统计特性服从高斯分布.可以看出, 正是${z_0}$引入了不确定性, 真空波动被分离到了${z_0}$中. 将${z_0}$处理成高斯噪声, 则(6)式变成高斯噪声环境下的参数估计问题, 经典估计技术能够很好地解决该问题. 首先将本振光的相位做${\text{π}/2}$偏置, 令$\varphi = {\varphi _{\rm{f}}} + \dfrac{\text{π}}{2}$, 这里定义${\varphi _{\rm{f}}}$为本振相位, 则(6)式可重写为

    式中${z_0}' = {x_0}\sin \left( {\phi - {\varphi _{\rm{f}}}} \right) + {y_0}\cos \left( {\phi - {\varphi _{\rm{f}}}} \right)$, 与${z_0}$具有相同的统计特性. 之后将不再区分${z_0}$${z_0}'$, 统一记作高斯噪声${z_0}$. 在文献[16,17]中, 对(7)式线性化前均做了一个假设, 即

    由此, 将(7)式进行线性近似可以得到

    如果本振相位${\varphi _{\rm{f}}}$与相干态相位$\phi $较为接近, 则该假设成立, 利用上述线性化模型进行相位估计能够得到较好的结果. 然而对于导航系统来说, 目标的位置并不确定, 也就是说难以找到相干态相位$\phi $的准确大小. 因此无法保证本振相位${\varphi _{\rm{f}}}$与相位$\phi $满足上述假设条件. 如果本振相位与相干态相位相差过大, 则会引入较大的线性化误差, 甚至导致相位估计失败.

  • 在量子零拍探测基础上, 本节建立非线性锁相环框架, 与传统线性锁相环不同的是, 这里采用AD变换引入非线性数据处理方法. 该锁相环能够突破传统方法中本振相位需要接近相干态相位的限制要求, 并避免线性化带来的误差, 进而实现相位的精确估计.

    本文将非线性锁相环进行离散化的原因在于: 在导航系统中, 对各类参数的需求不一定连续, 得到的量测信息通常也是离散的, 因此通过AD采样得到足够的量测信息, 即可通过估计的手段得到所需参数. 离散化还可以将数据中隐藏的缺陷得以解决, 使模型结果更加稳定. 例如, 数据中的极端值是影响模型效果的一个重要因素. 极端值导致模型参数过高或过低, 或导致模型被虚假现象“迷惑”, 把原来不存在的关系作为重要模式来处理[21]. 而离散化处理可以有效地减弱极端值和异常值的影响. 此外, 离散化还有利于数值计算与算法迭代, 增强了物理可实现性.

    设计的锁相环模型如图1所示. 由真空态进行平移和相位调制得到相干态, 其中${ D}(\left| \alpha \right|)$表示位移算符, $\exp ({\rm{i}} \phi )$表示相位调制, 然后将相干态通过初始本振相位为$\varphi $的量子零拍探测器得到输出$\eta $, 接着进行AD采样, 将所得数据送入数据处理模块(SP)中, 在数据处理后将更新的本振相位反馈给量子零拍探测器, 再重复此过程, 最终能够得到更为精确的估计结果.

    Figure 1.  Digital homodyne phase-lock loop.

    在所得锁相环框架的基础上, 在SP模块设计一种针对非线性模型的算法进行数据处理, 从而实现锁相环对相干态相位估计的功能. 因此, 所设计算法的好坏也会影响锁相环的相位估计性能.

3.   基于正交单纯形容积准则的量子相位估计算法
  • 得到数字零拍锁相环框架后, 问题就转化为将零拍数据离散化, 进而利用SP模块实现相干态相位估计. 对于离散非线性估计问题, 通常将非线性模型线性化, 并采用扩展卡尔曼滤波(EKF), 然而从(9)式可知, 量测模型是三角函数, 其非线性程度较高, 因此采用EKF会违背局部线性假设, 从而造成较大的线性化误差, 甚至导致滤波发散. 为此, 这里引入正交单纯形容积卡尔曼滤波(OSCKF)方法, 利用正交单纯形三阶球面径向容积准则, 计算相位信息对应的后验密度, 从而在不进行非线性模型泰勒展开、不引入线性化误差的前提下实现对相位$\phi $的精确实时估计.

  • 在SP模块中, 分别建立状态方程和量测方程为

    其中状态向量${{ \phi} _k}$$k$时刻的相位信息, 状态转移矩阵${F} = 1$, 这里假定不含过程噪声, 即${{ v}_k} = 0$. 量测方程中, ${\eta _k}$$k$时刻量子零拍探测的量测值$h\left( {{{ \phi} _k}} \right) = \left| \alpha \right|\sin \left( {{{ \phi} _k} - {\varphi _{\rm{f}}}} \right)$, ${w_k}$为量测噪声, 服从均值为零的高斯白噪声.

    CKF利用三阶球面径向容积准则进行数值积分, 从而近似后验密度对应的高维积分[22]. 其容积点可表示为${\xi _j} = \sqrt {{n_\phi }} {\left[ {{array}{*{20}{c}} {{{I}_{{n_\phi }}}}&{- {{I}_{{n_\phi }}}} {array}} \right]_j}$, 其中${{I}_{{n_\phi }}}$${n_\phi }$维单位矩阵, ${\left[ \cdot \right]_j}$代表矩阵$\left[ \cdot \right]$的第$j$列, $j = 1,2, \cdots ,2{n_\phi }$. 在本问题中, 滤波过程如下.

    1) 时间更新

    由于系统的状态模型是线性的, 因此其预测状态${\hat \phi _{k\left| {k - 1} \right.}}$和预测协方差${{P}_{k\left| {k - 1} \right.}}$可直接表示为:

    2) 测量更新

    ${{P}_{k\left| {k - 1} \right.}}$进行柯西分解${{P}_{k\left| {k - 1} \right.}} = {{S}_{k\left| {k - 1} \right.}}{S}_{k\left| {k - 1} \right.}^{\rm{T}}$, 得到容积点${\phi _{j,\left. k \right|k - 1}}$

    3) 根据观测方程传播容积点

    分别计算预测测量值${\hat {{\eta }}_{k\left| {k - 1} \right.}}$, 信息协方差矩阵${P}_{\eta \eta ,\left. k \right|k - 1}^{}$, 互协方差矩阵${{P}_{\phi \eta ,\left. k \right|k - 1}}$和卡尔曼增益${K_k}$,

    状态向量更新为

    协方差矩阵更新为

  • 考虑${n_\phi }$维正则单纯形, 可建立三阶球面单纯形容积准则[22], 其容积点可表示为

    式中${{\alpha }_j} \!=\! {\left(\! {{\alpha _{j,1}},{\alpha _{j,2}}, \!\ldots \!,{\alpha _{j,{n_\phi }}}} \!\right)^{\rm{T}}}$($j \!=\! 1,2, \cdots ,$$ {n_\phi } \!+\! 1$), 其中

    为进一步提高滤波精度, 需要分析非线性对滤波的影响. 无迹卡尔曼滤波 (UKF)中, 尺度因子可以用来调节非线性对滤波的影响, 而基于容积准则的滤波方法没有相应的可调参数, 且容积点对称而无中心点, 这样均值估计与容积点之间有一定距离, 容易导致非局部采样效应[23], 进而影响滤波精度.

    事实上, 假设${A}$为正交矩阵, 则将容积采样点进行正交变换后, 其仍然符合数值积分公式. 也就是说, 可以利用正交变换来调节高阶项对滤波的影响. 于是问题就转化为构建合适的正交矩阵, 使得变换后的单纯形容积点能够有效降低高阶干扰项对滤波的影响.

    构建${n_\phi } \times {n_\phi }$正交矩阵${B} = \left[ {{{B}_1},{{B}_2}, \cdots ,{{B}_{{n_\phi }}}} \right]$, ${{B}_j} = {\left( {{\beta _{j,1}},{\beta _{j,2}}, \cdots ,{\beta _{j,{n_\phi }}}} \right)^{\rm T}}$, 其中

    式中$r = 1,2, \cdots ,\max \left\{ {p \in \mathbb{Z}|p \leqslant {n_\phi }/2} \right\}$, 如果${n_\phi }$为奇数, 则${\beta _{j,{n_\phi }}} = {\left( { - 1} \right)^j}/\sqrt {{n_\phi }} $.

    将单纯形容积点列利用正交矩阵${B}$进行变换, 得到正交单纯形容积点

    式中${\gamma }=\left( {{{\gamma }_1},{{\gamma }_2}, \ldots ,{{\gamma }_{2{n_\phi } + 2}}} \right)$, ${{\alpha }_j} =\left({\alpha _{j,1}},{\alpha _{j,2}}, \cdots,\right.$$\left.{\alpha _{j,{n_\phi }}} \right)^{\rm{T}}$, $j = 1,2, \ldots ,2{n_\phi } + 2$.

    这样, 就能利用正交变换来减小非线性影响程度, 从而提高滤波精度. 将(25)式中新的容积点及其权重代入(12)—(21)式中, 即可得到OSCKF算法.

    根据图1和(12)—(21)式, 得到完整的基于量子相位测量的非线性锁相环结构, 如图2所示.

    Figure 2.  Digital quantum nonlinear phase-lock loop based on OSCKF algorithm.

    图2所示, 首先输入一个本振相位, 通过OSCKF算法迭代解算出相干态相位${\phi _k}$, 然后将本振相位设为${\phi _k}$, 再解算相干态相位${\phi _{k + 1}}$, 不断重复该过程, 本振相位将会逐渐逼近相干态相位, 从而实现锁相环的功能. 需要强调的是, 该方法并没有要求本振相位初始值接近相干态相位, 也能实现相干态相位的精确估计.

4.   实验验证与分析
  • 由于相干态经过零拍探测后可看作是经典信号加上高斯噪声[16], 且主要考察锁相环的有效性, 为此, 在实验验证过程中, 将采用直接模拟经过零拍后的经典信号, 取代构建真实物理实验平台的方法. 假设系统中相干态平均相位$\phi = {{\rm{\pi }}/3}$, 量测噪声服从均值为0, 方差${\sigma ^2} = {10^{ - 6}}$的高斯分布. 则当初始本振相位$\varphi = 0$时, 连续对1000个采样数据进行观察, 由(9)式可得零拍数据, 如图3所示, 图中测量值的抖动是由于噪声即真空波动引起的.

    Figure 3.  Homodyne data schematic diagram.

    为了验证所提方法即使在不满足初始本振相位接近相干态相位的条件下, 也能精确估计相干态相位, 分别设置7个不同的初始本振相位进行实验, 每次实验仿真次数为200次, 取每次仿真第100次本振相位更新值作为最终相干态相位估计值, 计算200次仿真结果的平均误差为

    其中L为实验仿真次数, ${\hat \phi _{i,100}}$为每次实验第100次迭代后的估计值. 实验结果如图4所示.

    Figure 4.  Performance comparison of phase-locked loop in different local oscillator phase.

    图4所示, 在其他条件相同的情况下, 不同初始本振相位下的相位估计结果相差并不大, 其中最高平均误差和最低平均误差只相差0.0016, 这说明所提方法的相位估计精度并没有受到初始本振相位设置的影响, 突破了传统自适应反馈量子相位测量需要保证本振相位和真实相位相差不大的限制.

    为验证基于OSCKF算法的数字非线性锁相环的精确性, 利用EKF以及CKF算法实现锁相环相位估计, 并将结果进行对比. 定义平均均方根误差为

    其中${\hat \phi _{k,j}}$为第$j$次仿真$k$次迭代的相位估计值, L为Monte-Carlo次数.

    为保证比较的合理性, 假定各算法的初始条件相同, 将Monte-Carlo实验仿真次数L和每次实验迭代次数$k$设为100次. 令${w_k} \propto N(0,{10^6})$, 初始协方差$P = 2$, 本振相位$\varphi = {\rm{0}}$. 各算法的收敛曲线如图5所示.

    Figure 5.  Convergence curve of various algorithms.

    图5可以看出, 随着迭代次数的增加, 所有算法的相位估计误差都趋于收敛. 其中 EKF将非线性模型线性化, 虽然处理方式简单, 但会引入较大的线性化误差, 因此收敛速度和最终精度均低于基于容积准则的方法, 而OSCKF算法由于引入了单纯形容积准则, 且利用正交变换进一步调节了非线性对滤波的影响, 因此比传统CKF算法精度更高. 此外, 从仿真实验发现, 采用EKF进行相位估计结果容易发散, 这说明EKF方法稳定性较差. 本文所提方法稳定性相对更好, 且能更快收敛, 与EKF方法相比, 平均误差降低了60%. 此外, 本文的状态模型是线性的, 而所设计的锁相环对于高非线性状态模型, 尤其是导航中的高非线性运动状态, 有望获得更好的效果. 因此, 设计非线性数字锁相环, 并采用正交单纯形容积准则, 不仅能够突破本振相位需要接近相干态相位的限制要求, 更能有效避免线性化误差, 提高相干态相位估计精度.

5.   结 论
  • 在利用量子零拍探测对相干态相位进行估计时, 对本振相位和相干态相位有严格限制要求. 如果本振相位不满足接近相干态相位的假设条件, 则非线性测量模型在进行线性化时会造成较大的误差. 针对该问题, 设计了一种数字非线性锁相环, 并提出OSCKF算法实现了锁相功能. OSCKF算法利用球面径向容积准则做数值计算近似高维积分, 可以有效避免模型线性化带来的误差, 同时减小了由于量测模型的高非线性带来的局部采样效应对精度的影响. 从仿真实验结果可以得出该锁相环算法利用不满足假设条件的本振相位也能得到相干态相位, 且数值稳定, 误差更小, 能够实现相干态相位的精确估计, 实用性更好. 下一步, 将在此锁相环精确估计的基础上, 实现对连续变化量子相位的精确跟踪, 并对噪声为非高斯的情况做进一步的研究.

Reference (23)

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