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附加球面相位引致Airy光束在单轴晶体传输时的两次镜像演化

朱开成 梁瑞生 易亚军 刘伟慈 朱洁

附加球面相位引致Airy光束在单轴晶体传输时的两次镜像演化

朱开成, 梁瑞生, 易亚军, 刘伟慈, 朱洁
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  • 利用单轴晶体光束传输理论, 求得了具有附加球面相位Airy光束在单轴晶体中的传输公式. 数值模拟计算结果表明, 线偏振附加球面相位Airy光束在晶体中传输时仍为线偏振, 但不是传输不变的. 粗略地讲, 具有附加球面相位的Airy光束在晶体中传输时, 近场是传输不变的; 而在由晶体寻常与非寻常折射率和球面半径共同确定的两个特定传输距离处, 传输光束转换成了取向不同的Gaussian-Airy光束, 且高斯依赖的束宽度敏感地与截断因子相关; 而当光束依次穿过此两位置时光斑花样先后相对于两横向轴平面做镜像演化, 且镜像演化顺序也与晶体寻常和非寻常折射率相对大小密切相关, 其总的效果是远场强度花样能恢复原样但花样取向产生了关于对过横平面二、四象限平分平面的镜像演化. 这些结果表明, 通过恰当选择晶体材料(即折射率)和附加球面相位的半径R, 可以调控光束花样的形状、取向及表征各向异性材料的相关性质.
      通信作者: 朱洁, jiezh_16@163.com
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  • 图 1  金红石晶体中不同传输距离处的光场强度分布, 其他参数分别为Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1

    Fig. 1.  Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1

    图 2  金红石晶体时不同传输距离处的光束强度分布, 其他参数分别为Nw = 1, a = b = 0.1, δ = 1

    Fig. 2.  Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 1, a = b = 0.1, δ = 1.

    图 3  淡红银矿晶体时不同传输距离处的光束强度分布, 其他参数分别为Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1

    Fig. 3.  Intensity distributions of the Airy beams in proustite crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1.

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-18
  • 修回日期:  2020-02-03
  • 刊出日期:  2020-05-05

附加球面相位引致Airy光束在单轴晶体传输时的两次镜像演化

  • 1. 广州工商学院电子信息工程系, 广州 510850
  • 2. 中南大学物理与电子学院, 长沙 410083
  • 3. 贵州理工学院理学院, 贵阳 550003
  • 通信作者: 朱洁, jiezh_16@163.com

摘要: 利用单轴晶体光束传输理论, 求得了具有附加球面相位Airy光束在单轴晶体中的传输公式. 数值模拟计算结果表明, 线偏振附加球面相位Airy光束在晶体中传输时仍为线偏振, 但不是传输不变的. 粗略地讲, 具有附加球面相位的Airy光束在晶体中传输时, 近场是传输不变的; 而在由晶体寻常与非寻常折射率和球面半径共同确定的两个特定传输距离处, 传输光束转换成了取向不同的Gaussian-Airy光束, 且高斯依赖的束宽度敏感地与截断因子相关; 而当光束依次穿过此两位置时光斑花样先后相对于两横向轴平面做镜像演化, 且镜像演化顺序也与晶体寻常和非寻常折射率相对大小密切相关, 其总的效果是远场强度花样能恢复原样但花样取向产生了关于对过横平面二、四象限平分平面的镜像演化. 这些结果表明, 通过恰当选择晶体材料(即折射率)和附加球面相位的半径R, 可以调控光束花样的形状、取向及表征各向异性材料的相关性质.

English Abstract

    • 自1987年实验产生了贝塞尔光束的无衍射光后, 无衍射光在理论研究和实践应用中都得到了众多学者的广泛关注. 无衍射光是自由空间标量波动方程的一组特殊解, 对其研究成了一个经久不衰的研究主题. Airy光束是另一类典型的完全无衍射(无形变)束类, 这类光束是Berry和Balazs[1]在1979 年以Airy函数作为初值条件获得的一维含时薛定谔方程的严格解, 并称之为Airy波包, 他们也证明该波包解是一维含时薛定谔方程的惟一非平凡无衍射解. 2007年, Siviloglou等[2,3]于实验中首次成功地实现了Airy光束, 并且证实了这类光束能保持长距离无衍射传输且有横向加速的奇特现象.

      因为Airy光束具有无衍射、自恢复或自愈性以及可控的自弯曲弹道轨迹传输等奇异特性, 因此吸引了人们极大的研究兴趣, 目前人们设计了多种方案, 有些在实验中也成功地实现了Airy光束[4-9]. 许多基于Airy光束令人兴奋的应用被先后提出并得以实现, 典型的例子包括光子弹、弯曲等离子体通道产生、光路由、光互联及图像信号传输等[10-13]. 特别地, 由于Airy光束在自由空间传输时表现出可以沿弯曲路径传输的奇异性质, 自然勾起了人们对Airy光束在各种介质中传输性质研究的兴趣. 目前, Airy光束在自由空间、大气湍流及各种介质中的传输动力学行为都有广泛而深入的研究[14-29]. 实际上, 激光束在各向异性介质中的传输一直是有意义的研究主题, 而单轴晶体是典型的各向异性介质, 而且在诸如光偏振器、振幅或相位调制器设计与制造中具有重要作用. 近些年, 涡旋Airy光束、Airy-Gaussian光束等在单轴晶体中的传输性质演化已被广泛而深入地探讨[30-37], 特别地, Deng课题组[38-40]详细讨论了具有相位一阶、二阶啁啾的Airy-Gaussian光束或涡旋Airy光束在单轴晶体中的传播, 揭示出了 一些有趣的演变性质.

      本文将讨论附加球面相位的Airy光束在单轴晶体中的传播, 基于求得的解析传输表达式, 运用数值方法分析附加球面相位的Airy光束通过单轴晶体传播时球面相因子的影响.

    • 设光束传输的方向与单轴晶体的光轴垂直. 不失一般性, 设z轴为光束传输方向, 于是单轴晶体介电常数张量ε可表示为[38-40]

      ${ {\varepsilon}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n_{\rm{e}}^{\rm{2}}}&0&0 \\ 0&{n_{\rm{o}}^2}&0 \\ 0&0&{n_{\rm{o}}^2} \end{array}} \right), $

      其中none分别是寻常光波与非常光波的折射率.

      设具有附加球面相位的Airy光束沿z轴传输(z > 0), 是沿x方向偏振的线偏振光, 在z = 0处的场分布形式为[8,9]

      $\begin{split} \; & \left( {\begin{aligned} {{E_x}\left( {{x_0},{y_0}} \right)} \\ {{E_y}\left( {{x_0},{y_0}} \right)} \end{aligned}} \right) = \left( {\begin{aligned} 1 \\ 0 \end{aligned}} \right){E_0}Ai\left( {\frac{{{x_0}}}{{{w_x}}}} \right)Ai\left( {\frac{{{y_0}}}{{{w_y}}}} \right)\\ & \qquad \qquad \times\exp \left[ {\frac{{a{x_0}}}{{{w_x}}} + \frac{{b{y_0}}}{{{w_y}}} - \frac{{{\rm{i}}k\left( {x_0^2 + y_0^2} \right)}}{{2R}}} \right],\end{split}$

      其中wxwy分别是xy方向特征主斑宽度的参数; abxy方向截断参数; $k = {{2{\text{π}}} / \lambda }$是波数, $\lambda $是单色光波长; R是附加球形波面半径. 为简化起见, 下面将取表征强度参数E0 = 1. 实际中最简单直接实现这种附加球面相位Airy光束的方法是用相应Airy光束通过一个无像差薄透镜, 这时R就是透镜焦距. R > 0或R < 0分别对应于会聚或发散球面相位, 本文仅讨论R > 0情形. 通过相位调制实现光束整形是非常有效和常用的手段之一[41-44].

      在傍轴近似下, 光场复振幅在正交穿过单轴晶体中传播时的演化可表示为 [38-40]

      $\begin{split}&{E_x}\left( {x,y,z} \right)\\ =\;& \frac{{{\rm{i}}k{n_{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}}z}}\exp \left( {{\rm{i}}k{n_{\rm{e}}}z} \right){\iint_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{x_0}{\rm{d}}{y_0}} } {E_x}\left( {{x_0},{y_0},0} \right)\\ & \times\exp \left\{ {\frac{{{\rm{i}}k\left[ {n_{\rm{o}}^2{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} + n_{\rm{e}}^2{{\left( {y - {y_0}} \right)}^2}} \right]}}{{2z{n_{\rm{e}}}}}} \right\},\end{split}$

      $\begin{split} & {E_y}\left( {x,y,z} \right) \\ =\;& \frac{{{\rm{i}}k{n_o}}}{{2{\text{π}}z}}\exp \left( {{\rm{i}}k{n_{\rm{o}}}z} \right){\iint_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{x_0}{\rm{d}}{y_0}} } {E_y}\left( {{x_0},{y_0},0} \right)\\ & \times\exp \left\{ {\frac{{{\rm{i}}k{n_{\rm{o}}}\left[ {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_0}} \right)}^2}} \right]}}{{2z}}} \right\}.\end{split}$

      于是, 将(2)式代入(3)式并进行适当的变量变换后可得到:

      $ {E_y}\left( {x,y,z} \right) = 0, $

      $\begin{split} & {E_x}\left( {x,y,z} \right) \\=\;& - \frac{{{\rm{i}}{N_w}{n_{\rm{o}}}}}{{{\text{π}} {z_R}}}\exp \left[ {{\rm{i}}k{n_{\rm{e}}}z + \frac{{{\rm{i}}{N_w}\left( {n_{\rm{o}}^2x_w^2 + n_{\rm{e}}^2y_w^2} \right)}}{{{n_{\rm{e}}}{z_R}}}} \right]\\ &\times {\iint_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{x}'_0}{\rm{d}}{{y}'_0}} } Ai\left( {\delta {{x}'_0}} \right)Ai\left( {{{y}'_0}} \right)\\ &\times \exp \left[{\rm{i}}{\varOmega _x}x_0^{\prime2} + {\rm{i}}{\varOmega _y}y_0^{\prime2} + \left( {a\delta - \frac{{2{\rm{i}}{N_w}n_{\rm{o}}^{\rm{2}}{x_w}}}{{{n_{\rm{e}}}{z_R}}}} \right){{x}'_0}\right. \\ &+ \left.\left( {b - \frac{{2{\rm{i}}{N_w}{n_{\rm{e}}}{y_w}}}{{{z_R}}}} \right){{y}'_0} \right]\\ = \; & P\left( {x,y,z} \right){U_x}\left( {x,z} \right){U_y}\left( {y,z} \right),\\[-10pt] \end{split}$

      其中, ${\varOmega _x} = {N_w}\left( {\dfrac{{n_{\rm{o}}^2}}{{{z_R}{n_{\rm{e}}}}} - 1} \right)$, ${\varOmega _y} = {N_w}\left( {\dfrac{{{n_{\rm{e}}}}}{{{z_R}}} - 1} \right)$, $\delta = \dfrac{{{w_y}}}{{{w_x}}}$, ${N_w} = \dfrac{{{\text{π}}w_y^2}}{{\lambda R}}$, ${z_R} = \dfrac{z}{R}$是以球面半径R为单位的纵向标度传输距离, qw = q/wy (q = x, y) 是横向标度坐标, 而

      $\begin{split}{U_x}\left( {x,z} \right) = \;& \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{x}'_0}} Ai\left( {\delta {{x}'_0}} \right) \exp \bigg[ {\rm{i}}{\varOmega _x}x_0^{\prime2} \\ & \!-\! {\rm{i}}\left( {\frac{{2{N_w}n_{\rm{o}}^2{x_w}}}{{{n_{\rm{e}}}{z_R}}}\! +\! {\rm{i}}a\delta } \right){{x}'_0} \bigg],\end{split}$

      $\begin{split}{U_y}\left( {y,z} \right) =\; & \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{y}'_0}} Ai\left( {{{y}'_0}} \right)\exp \bigg[ {\rm{i}}{\varOmega _y}y_0^{\prime 2}\\ & - {\rm{i}}\left( {\frac{{2{N_w}{n_{\rm{e}}}{y_w}}}{{{z_R}}} - {\rm{i}}b} \right){{y}'_0} \bigg],\end{split}$

      $\begin{split} & P(x,y,z) = - \frac{{{\rm{i}}{N_w}{n_{\rm{o}}}{E_0}}}{{{\text{π}}{z_R}}} \\ & \qquad \times \exp \bigg[ {\rm{i}}k{n_{\rm{e}}}z + \frac{{{\rm{i}}{N_w}\left( {n_{\rm{o}}^{\rm{2}}x_w^2 + n_{\rm{e}}^{\rm{2}}y_w^2} \right)}}{{{n_{\rm{e}}}{z_R}}} \bigg].\end{split}$

      显然这光束仍是x方向的线偏振光束, 而且场的复振幅对xy的依赖关系是可分的.

      根据(7)式, 因在横平面${z_{\rm{n}}} \!= \!{{Rn_{\rm{o}}^{\rm{2}}} / {{n_{\rm{e}}}}}$Ωx = 0, 利用[45]

      $\int_{ - \infty }^\infty {Ai\left( x \right)} {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}ux}}{\rm{d}}x = \exp \left( {{{{\rm{i}}{u^3}} / 3}} \right),$

      得到

      $\begin{split} \;& {U_x}\left( {x,{z_{\rm n}}} \right) \\ =\; & \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{{x}'_0}} Ai\left( {\delta {{x}'_0}} \right) \exp \left[ { - {\rm{i}}\left( {2{N_w}{x_w} + {\rm{i}}a\delta } \right){{x}'_0}} \right] \\ =\; & \frac{1}{\delta }\exp \left[ {\frac{{\rm{i}}}{{3{\delta ^3}}}{{\left( {2{N_w}{x_w} + {\rm{i}}a\delta } \right)}^3}} \right]\\ \sim\; & \frac{1}{\alpha }\exp \left( { - \frac{{4a\delta }}{{{\alpha ^3}}}N_w^2x_w^2} \right). \end{split} $

      a ≠ 0时在此特定横平面上强度随x的分布具有高斯函数形式, 如a = 0时在此特定横平面上强度是均匀的(无限能量的). 而当$z \ne {{Rn_{\rm{o}}^{\rm{2}}} / {{n_{\rm{e}}}}}$时对应Ωx ≠ 0, 运用数学关系[45]:

      $Ai\left( x \right) = \frac{1}{{2{\text{π}}}}\int_{ - \infty }^\infty {\exp \left( {\frac{{{\rm{i}}{t^3}}}{3} + {\rm{i}}xt} \right)} {\rm{d}}t,$

      $\begin{split} &\int_{ - \infty }^\infty {\exp \left( { - {\rm{i}}a{x^2} - {\rm{i}}\beta x} \right)} {\rm{d}}x \\ =\; & \sqrt {\frac{{\text{π}}}{{\left| a \right|}}} \exp \left[ {\frac{{{\rm{i{\text{π}} }}}}{4}{\mathop{\rm sgn}} \left( a \right) + \frac{{{\rm{i}}{\beta ^2}}}{{4a}}} \right]{\rm{,}}\\ &\qquad {\rm{for\; real }}\;a \ne 0,\end{split}$

      将方程(7)完成对${x'_0}$ 积分后得

      $\begin{split} & {U_x}\left( {x,z} \right) = \\ & \frac{1}{{2{\text{π}}}}\sqrt {\frac{{\text{π}}}{{\left| {{\varOmega _x}} \right|}}}\exp \bigg[- \frac{{\rm{i}}}{{4{\varOmega _x}}}{{\left( {\frac{{2{\text{π}}{N_w}n_{\rm{o}}^2{x_w}}}{{{n_{\rm{e}}}{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}a\delta } \right)}^2} \\ & + \frac{{{\rm{i{\text{π}} }}}}{4}{{\rm sgn}} \left( {{\varOmega _x}} \right) \bigg]\int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}u} \exp \left[\frac{{{\rm{i}}{u^3}}}{3} - \frac{{{\rm{i}}{\delta ^2}}}{{4{\varOmega _x}}}{u^2}\right. \\ & + \left.\frac{{{\rm{i}}\delta }}{{2{\varOmega _x}}}\left( {\frac{{2{\text{π}} {N_w}n_{\rm{o}}^{\rm{2}}{x_w}}}{{{n_e}{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}a\delta } \right)u\right],\\[-18pt] \end{split}$

      再次应用[45]

      $\begin{split} &\int_{ - \infty }^\infty {\exp \left[ {{\rm{i}}\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + y{t^2} + xt} \right)} \right]} {\rm{d}}t\\ =\; &2{\text{π}}\exp \left[ {{\rm{i}}\left( {\frac{{2{y^2}}}{3} - x} \right)y} \right]Ai\left( {x - {y^2}} \right),\end{split}$

      最终有

      $\begin{split} & {U_x}\left( {x,z} \right) \\ =\; & {I_0}\exp \left[- \frac{{\rm{i}}}{{4{\varOmega _x}}}{{\left( {\frac{{2{N_w}n_{\rm{o}}^2{x_w}}}{{{n_{\rm{e}}}{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}a\delta } \right)}^2} \right.\\ & \left.+ \frac{{{\rm{i}}{\delta ^3}}}{{8\varOmega _x^2}}\left( {\frac{{2{N_w}n_{\rm{o}}^2{x_w}}}{{{n_{\rm{e}}}{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}a\delta } \right)\right]\\ & \times Ai\left[ {\frac{\delta }{{2{\varOmega _x}}}\left( {\frac{{2{N_w}n_{\rm{o}}^{\rm{2}}{x_w}}}{{{n_{\rm{e}}}{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}a\delta } \right) - \frac{{{\delta ^4}}}{{16\varOmega _x^2}}} \right], \end{split}$

      其中 ${I_{0 x}} = \sqrt {\dfrac{{\text{π}}}{{\left| {{\varOmega _x}} \right|}}} \exp \left[ {\dfrac{{{\rm{i{\text{π}} }}}}{4}{\rm{sgn}} \left( {{\varOmega _x}} \right) - \dfrac{{{\rm{i}}{\delta ^6}}}{{96\varOmega _x^3}}} \right]$. 除相位因子外, 它仍有有限能量(截断) Airy光束形式.

      类似地, 在横平面${z_{\rm{f}}} = {n_{\rm{e}}}R$上有

      $\begin{split} {U_y}\left( {x,{z_{\rm{f}}}} \right) ={}& \exp \left[ {\frac{{\rm{i}}}{{\rm{3}}}{{\left( {2{N_w}{y_w} + {\rm{i}}b} \right)}^3}} \right]\\ \sim{}& \exp \left( { - 4bN_w^2x_w^2} \right),\end{split}$

      b ≠ 0时在此特定平面上强度对y的依赖具有高斯分布形式. 而$z \ne {n_{\rm{e}}}R$时为

      $\begin{split} & {U_y}\left( {y,z} \right) \\ =\; & {I_{0y}}\exp \left[- \frac{{\rm{i}}}{{4{\varOmega _y}}}{{\left( {\frac{{2{N_w}{n_{\rm{e}}}{y_w}}}{{{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}b} \right)}^2}\right.\\ &\left. + \frac{{\rm{i}}}{{8\varOmega _y^2}}\left( {\frac{{2{N_w}{n_{\rm{e}}}{y_w}}}{{{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}b} \right)\right]\\ & \times Ai\left[ {\frac{1}{{2{\varOmega _y}}}\left( {\frac{{2{N_w}{n_{\rm{e}}}{y_w}}}{{{z_{\rm{f}}}}} + {\rm{i}}b} \right) - \frac{1}{{16\varOmega _y^2}}} \right], \end{split}$

      ${I_{0 y}} = \sqrt {\dfrac{{\text{π}}}{{\left| {{\varOmega _y}} \right|}}} \exp \left[ {\dfrac{{{\rm{i{\text{π}} }}}}{4}{\rm{sgn}} \left( {{\varOmega _y}} \right) - \dfrac{{\rm{i}}}{{96\varOmega _y^3}}} \right]$.

      因此, 我们求得了具有附加球面相位的Airy光束沿光轴正交方向入射进单轴各向异性晶体中传输时场复振幅在不同横平面上的分布解析表达式, 据此可讨论不同横平面上光束的强度分布或相位分布演变性质.

    • 基于前节的解析结果, 可以对具有附加球面相位的Airy光束垂直于单轴晶体光轴的传输场强度分布$I\left( {x, y, z} \right) = {\left| {{E_x}\left( {x, y, z} \right)} \right|^2}$演化进行数值计算, 计算中取a = bδ = 1 (即wx = wy). 数值计算表明, 一般而言具有附加球面相位的Airy光束在正交穿过晶体光轴传输时不再是传输不变的.

      图1给出了在金红石晶体中传输时的光场强度分布, 金红石晶体的寻常光和非寻常光折射率分别为no = 2.616, ne = 2.903. 数值结果表明, 在${z_{\rm{n}}} = {{Rn_{\rm{o}}^{\rm{2}}} / {{n_{\rm{e}}}}}$ ≈ 2.357R以及${z_{\rm{f}}} = {n_{\rm{e}}}R$= 2.903R处(注意这里${z_{\rm n}} < {z_{\rm{f}}}$), Airy光束强度分布I (x, y, z) ($I\left( {x, y, z} \right) = {\left| {{E_x}\left( {x, y, z} \right)} \right|^2}$)的傍斑只出现在一个方向上, 另一个方向的傍斑已经完全消失, 如图1中用z = znz = zf所标示者. 另外, 由方程(11), (16)—(18)式可知, 在此两位置光束复振幅对一个横向坐标的依赖具有Gaussian形式, 而对另一个横向坐标的依赖仍然为Airy函数形式, 即演变成了Gaussian-Airy束[46]. 而且截断参数特征了Gaussian分布宽度, 截断参数愈大, 分布愈窄, 这由(11)式和(17)式可直接看出.

      图  1  金红石晶体中不同传输距离处的光场强度分布, 其他参数分别为Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1

      Figure 1.  Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1

      再者, 在穿过这两个位置时, 光斑花样有镜像演化[26], 如在穿过zn时, 其场强分布花样对y平面成镜像演化, 而在穿过zf后, 对x平面产生镜像演化, 从而总的变化是相对于平分二、四象限的平面(x+y = 0的平面)镜像演化. 进一步计算表明, 在远场其场强分布花样形式上恢复了原始花样, 但花样的取向不同, 如图1z = 1.5zf处的强度花样是z = 0处的花样相对于平分二、四象限的平分平面的镜像演化的结果. 实际上, 具有附加球面相位的Airy光束正交穿过单轴晶体传输时在znzf处镜像演化是可以理解的, 因为对于有限截断参数的Airy光束, 导致了单轴晶体中衍射表达式(16)式和(18)式的因子ΩxΩy出现符号变化.

      图2给出了其他参数与图1相同而复合参数Nw = 1的情况, 主要讨论了在znzf区间传输时光场强度分布不断调整的过程, 在临近zn时“点”状旁斑被压缩融合, 到zn处时成为条状分布, 穿过zn后条状条纹重新分裂生成点状旁斑, 图2中标识为z = 0.93zn, zn和1.07zn的强度分布清楚地展示了这些. 在zf附近演化行为也是类似的(取向除外). 此外, 计算表明在这种光束能量调整中也伴随了主斑中央位置的移动, 只要对比图2图1z = 0处的光斑情况就可看出这点, 且主斑移位大小反比于Nw. 再者, Nw对具有附加球面相位Airy光束传输的影响似乎还表现在光斑的大小方面, 计算表明Nw = 1时的演变情况与图1给出的Nw = 100时的类似, 只是在同样传输距离处光斑的大小反比于Nw.

      图  2  金红石晶体时不同传输距离处的光束强度分布, 其他参数分别为Nw = 1, a = b = 0.1, δ = 1

      Figure 2.  Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 1, a = b = 0.1, δ = 1.

      实际上, 对不同的单轴晶体介质, 具有附加球面相位的Airy光束在其中传输的近场和远场表现了相似的行为, 只是依单轴晶体none的相互关系, 其对轴平面镜像演化的次序是不同的. 如对淡红银矿晶体其no = 2.979, ne = 2.711, 即no > ne, 因而有zf < zn. 这时光束先穿过zf后首先关于x轴镜像演化, 再在穿过zn后出现对y轴的镜像演化, 当然最后总的效果仍是相对于过二、四象限平分平面的镜像演化, 如图3所示. 因此, 应用不同的单轴晶体这一光束展现了不同的演化性质, 这一特征有可能在确定晶体性质(如折射率大小关系)方面具有应用. 且就作者所知, 这一结果还未见有文献报道过.

      图  3  淡红银矿晶体时不同传输距离处的光束强度分布, 其他参数分别为Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1

      Figure 3.  Intensity distributions of the Airy beams in proustite crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1, δ = 1.

      最后应当指出, 这种Airy光束附加相因子的另一类似情况是名为“啁啾(chirped)”的相因子, 由Zhang等[26]首先讨论了具有线性、平方啁啾Airy光束在平方势介质中的传输问题, 发现了周期反转(inversion)现象; 随后, 有研究者就一阶、二阶啁啾Airy光束在自由空间及介质中的传输问题[47-52], 以及具有啁啾的光涡Airy光束和Airy-Gaussian光束在晶体中的传输问题[38-40]进行了探讨, 但没有讨论Airy光束的相关问题, 也没有关于本文中发现的在两个位置依次发生的镜像演化现象的报道[38-40]. 再者, 在束宽度wy = 200 μm, 光波长λ = 500 nm, Nw = 100, R ≈ 2.5 mm时, 为了观察到本文得到的结果, 要求晶体厚度约为3R ≈ 8.0 mm, 这在实际中应是可实现的.

    • 本文基于光束在各向异性介质中的傍轴矢量传输理论, 导出了附加球面相位的Airy光束垂直于各向异性单轴晶体光轴的传输公式, 并利用该表达式进行了数值模拟计算与分析, 研究了附加球面相位的有限能量Airy光束垂直于晶体光轴的传输特性. 研究结果表明, 线偏振附加球面相位的Airy光束在晶体中传输时仍为线偏振, 但不再是传输不变的. 粗略地讲, 具有附加球面相位的Airy光束在晶体中传输时, 近场是传输不变的, 远场时强度花样能恢复原样但花样取向产生了关于过二、四象限平分平面的镜像演化. 特别地, 在传输距离${z_{\rm{n}}} = $$ {{Rn_{\rm{o}}^2} / {{n_{\rm{e}}}}}$${z_{\rm{f}}} = {n_{\rm{e}}}R$处, 光束转换成了Gaussian-Airy束, 且在穿过此两位置时光斑花样先后有相对于两横向轴平面的镜像演化, 且镜像演化顺序密切与晶体寻常和非寻常折射率相关. 在临近zfzn处及其间范围内, 光场光斑花样不断从Airy光束的“点”状旁斑调整到线状旁斑最后再调整到“点”状旁斑, 调整过程中还伴有主光斑的位移. 最后, 附加球面相位的半径调控了zfzn附近范围的光斑大小及主斑位移大小. 这些结果表明Airy光束除了在自由空间传播时表现无衍射、自恢复或自愈性以及可控的自弯曲弹道轨迹传输等奇异特性外, 具有附加球面相位因子的Airy光束在各向异性介质中传播时会呈现光斑花样形状变化及取向镜像演变的新特性, 这些新特性丰富了对Airy光束在各向异性介质中传播的新认识, 并有可能在确定单轴晶体寻常与非寻常光折射率的相互关系及需要光斑花样或花样取向变化的场合找到应用[53,54].

      最后, 本文中讨论的结果可直接拓广到更一般的非球面二次相因子情形. 如前所述, 光斑形状变化或取向镜像演变的发生位置znzf是由晶体折射率和二次相因子系数共同决定的, 球面二次相因子与非球面二次相因子的区别只是两系数相同或不同而已. 因此非球面二次相因子只会导致本文结果出现的位置不同而不会导致本文所得结果的消失, 从而给光束性质的调控提供了更多可能性.

参考文献 (54)

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