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光场高阶光子关联的分析与测量

郭龑强 王李静 王宇 房鑫 赵彤 郭晓敏

光场高阶光子关联的分析与测量

郭龑强, 王李静, 王宇, 房鑫, 赵彤, 郭晓敏
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  • 利用双Hanbury Brown-Twiss探测系统理论分析并在实验上精确测量了不同光场的高阶光子关联g(n) (n > 2). 探测系统通过四个单光子计数模块, 探测分析光子时间关联的联合分布概率. 在理论上, 考虑实际探测系统背景噪声和系统效率的影响, 分析研究了热态、相干态、压缩真空态和Fock态的三阶及四阶光子关联的结果, 及其随光场入射光强、压缩参数及光子数的变化. 并在实验中研究了探测系统分辨时间和计数率对相干态和热态的三阶及四阶光子关联的影响. 在分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s时, 准确测量得到在零延迟处热态的三阶及四阶光子关联, 相对理论值的统计偏差分别为0.3%和0.8%. 此外还测量得到了不同延迟时间下热态的高阶光子关联的结果. 实验表明综合对各种影响因素的分析可精确测量光场的高阶光子关联, 该方法在量子关联成像及光场特性分析中有着重要的应用.
      通信作者: 郭晓敏, guoxiaomin@tyut.edu.cn
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  • 图 1  双HBT装置理论模型. B0, B1, B2, B3: 分束器; D1, D2, D3, D4: 探测器. 带括号的字母L, N, K等表示各路分光的光子数

    Fig. 1.  Theoretical model of double HBT scheme. B0, B1, B2, B3: Beamsplitter; D1, D2, D3, D4: Detector. The letters in parentheses L, N, K, et al, denote the photon numbers of splitting light paths, respectively.

    图 2  单模热光场的 (a) 三阶光子关联$g_{\rm{T}}^{(3)}$和 (b) 四阶光子关联$g_{\rm{T}}^{(4)}$随平均光子数$\alpha $的变化

    Fig. 2.  (a) Third-order, and (b) fourth-order photon correlations $g_{\rm{T}}^{(3)}$ and $g_{\rm{T}}^{(4)}$ of single-mode thermal state versus the mean photon number $\alpha $.

    图 3  压缩真空态的 (a) 二阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(2)}$, (b) 三阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(3)}$和(c) 四阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(4)}$随压缩因子r的变化

    Fig. 3.  (a) Second-order, (b) third-order, and (c) fourth-order photon correlations of single-mode squeezed vacuum state versus the squeezing parameter r.

    图 4  Fock态的三阶(蓝色空心方块)和四阶(红色实心圆圈)光子关联随光子数的变化结果 (a) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.5$; (b) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$

    Fig. 4.  The third-order (blue hollow square) and fourth-order (red solid circle) photon correlations of Fock state versus the photon number: (a) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.5$; (b) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$.

    图 5  实验装置原理图(ISO, 隔离器; HWP, 半波片; PBS, 偏振分束器; M1, M2, 反射镜; L, 光学透镜; RGGD, 旋转的毛玻璃; BS1, BS2, BS3, 分束器; D1, D2, D3, D4, 单光子计数模块SPCM; DAS, 数据采集系统)

    Fig. 5.  Schematic illustration of the experimental setup (ISO, isolator; HWP, half-wave plate; PBS, polarized beam splitter; M1, M2, mirror; L, optical lens; RGGD, rotating ground glass disk; BS1, BS2, BS3, beam splitter; D1, D2, D3 and D4, single photon counting module, SPCM; DAS, data acquisition system).

    图 6  热态和相干态的 (a) 三阶光子关联、(b) 四阶光子关联随计数率的测量结果, 探测器分辨时间为210 ns. 图中红色和蓝色实线分别为热态与相干态高阶光子关联的理想值

    Fig. 6.  Measured (a) third-order and (b) fourth-order photon correlations of thermal state and coherent state versus the counting rate for resolution time of 210 ns. The red and blue solid lines are the ideal results of the high-order photon correlations of thermal state and coherent state.

    图 7  热态和相干态的 (a) 三阶光子关联、(b) 四阶光子关联随分辨时间的测量结果, 计数率为80 kc/s. 图中红色和蓝色实线分别为热态与相干态高阶光子关联的理想值

    Fig. 7.  Measured (a) third-order and (b) fourth-order photon correlations of thermal state and coherent state versus the resolution time for counting rate of 80 kc/s. The red and blue solid lines are the ideal results of the high-order photon correlations of thermal state and coherent state.

    图 8  热态的三阶光子关联随延迟时间的变化, 分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s. 蓝点表示实验结果, 黑色实线为理论拟合(a) τ2 = 0 μs; (b) τ2 = –10 μs; (c) τ2 = 10 μs. 其中图(a)零延迟处的峰值为$5.98_{ - 0.018}^{ + 0.018}$

    Fig. 8.  Measured third-order photon correlation of thermal state versus delay times for resolution times of 210 ns and counting rate of 80 kc/s. The blue dots and black solid curves are the experimental and theoretical results, respectively: (a) τ2 = 0 μs; (b) τ2 = –10 μs; (c) τ2 = 10 μs. The peak value of g(3) in Fig. (a) is $5.98_{ - 0.018}^{ + 0.018}$.

    图 9  (a) τ3 = 0 μs, (b) τ3 = –10 μs, (c) τ3 = 10 μs 时, 全时延条件下热态的四阶光子关联, 图(a)中零延迟处的峰值为$23.8_{ - 0.19}^{ + 0.19}$

    Fig. 9.  The fourth-order photon correlations of thermal state at complete time delays for (a) τ3 = 0 μs, (b) τ3 = –10 μs, (c) τ3 = 10 μs. The peak value of g(4) in Fig. (a) is $23.8_{ - 0.19}^{ + 0.19}$.

    图 10  热态的四阶光子关联g(4)(τ1, τ2, τ3)随延迟时间τ1变化的测量结果, 分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s. 圆点表示实验结果, 黑色实线为理论拟合

    Fig. 10.  Measured fourth-order photon correlation of thermal state versus delay time τ1 for resolution times of 210 ns and counting rate of 80 kc/s. The dots are the experimental results, and the black solid curves are the theoretical fittings.

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-03-02
  • 修回日期:  2020-05-13
  • 上网日期:  2020-06-06
  • 刊出日期:  2020-09-05

光场高阶光子关联的分析与测量

  • 1. 太原理工大学物理与光电工程学院, 新型传感器与智能控制教育部重点实验室, 太原 030024
  • 2. 密码科学技术国家重点实验室, 北京 100878
  • 3. 山西大学光电研究所, 量子光学与光量子器件国家重点实验室, 太原 030006
  • 通信作者: 郭晓敏, guoxiaomin@tyut.edu.cn

摘要: 利用双Hanbury Brown-Twiss探测系统理论分析并在实验上精确测量了不同光场的高阶光子关联g(n) (n > 2). 探测系统通过四个单光子计数模块, 探测分析光子时间关联的联合分布概率. 在理论上, 考虑实际探测系统背景噪声和系统效率的影响, 分析研究了热态、相干态、压缩真空态和Fock态的三阶及四阶光子关联的结果, 及其随光场入射光强、压缩参数及光子数的变化. 并在实验中研究了探测系统分辨时间和计数率对相干态和热态的三阶及四阶光子关联的影响. 在分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s时, 准确测量得到在零延迟处热态的三阶及四阶光子关联, 相对理论值的统计偏差分别为0.3%和0.8%. 此外还测量得到了不同延迟时间下热态的高阶光子关联的结果. 实验表明综合对各种影响因素的分析可精确测量光场的高阶光子关联, 该方法在量子关联成像及光场特性分析中有着重要的应用.

English Abstract

    • 光场光子关联的分析与测量是表征光场量子特性的重要方法, 并在量子信息及量子成像等方面有着潜在应用[1]. 光场光子关联的研究起源于20世纪50年代的Hanbury Brown和Twiss(HBT)实验[2], 其关于光子关联的发现奠定了早期量子光学的基础. 与一阶相位干涉不同的是, HBT实验采用两个不同时空点、相互独立的光电探测器测量光场的二阶强度关联. 随后Glauber[3]在1963年提出描述光场相干性的量子理论, 为进一步理解和探索光子关联特性提供了必要的理论基础[4]. 近年来, 随着光子探测技术的快速发展, 单光子探测作为一种高灵敏的光学测量技术[5], 已经迅速发展并应用到量子信息[6-8]和量子计量[9,10]等领域中. 单光子计数模块(single-photon counting module, SPCM)由于相对较高的探测效率、灵敏度及低的暗计数, 是目前应用最为广泛的单光子探测器之一, 成为了量子密钥分发[11-13]、单光子源制备[14-16]、非经典性的判别与增强[17,18]等研究中优选的探测装置.

      现有研究表明, 光场二阶光子关联g(2)(τ)在零延迟(τ = 0)处的极大值可以用来判别不同光场, 特别是当光场呈现反聚束效应(g(2)(τ) ≥ g(2)(0))且亚泊松分布的计数统计(g(2)(0) < 1)时, 表明光场的非经典特性[19,20]. 相反地, 当光场呈现聚束效应(g(2)(τ) ≤ g(2)(0))且玻色爱因斯坦分布(g(2)(0) > 1)时, 表明光场的非相干或光子的不可区分性[21-24]. 当g(2)(τ) = g(2)(0) = 1时[25], 光场呈现为稳定的相干态. 于是, 利用双探测器的HBT方案分析光场的二阶相干度已被广泛应用于空间干涉[26]、高效单光子探测[27,28]、时空鬼成像[29-36]等研究中. 然而, 光场的更高阶光子关联g(n) (n > 2)含有非高斯散射过程等信息[37], 同时光场的三阶光子关联g(3)和四阶光子关联g(4)可反映光子统计分布的偏度和峭度, 通过二阶光子关联g(2)不足以揭示光场的上述特性. 随着探测系统性能的提升, 更多通道探测成为可能, 光场的三阶光子关联g(3)和四阶光子关联g(4)也成为了验证和获取激子极化激元和原子凝聚体[38,39]、微腔激光场[40]、量子[41]和经典[42]光场所包含新的量子统计信息的有效手段. 在实验过程中, 测量系统的探测效率[43,44]、分辨时间和入射光强的计数率[45]等也是重要的影响因素. 但是, 综合考虑各种影响因素准确测量得到不同光场的高阶关联仍是难题.

      本文通过扩展的HBT探测方案, 即由四个SPCM构建双HBT系统, 分析测量不同光场的高阶光子关联. 在理论上, 考虑实际SPCM探测系统的效率和背景影响, 利用双HBT模型研究了热态、相干态、压缩真空态和Fock态的三阶和四阶光子关联, 分析不同光场的高阶光子光联随入射强度、压缩参数及光子数的变化. 在实验上, 测量确定最佳探测系统分辨时间和计数率, 精确探测得到热态和相干态的高阶光子关联, 与理论值符合良好. 同时还在不同延迟时间条件下, 测量了热态的三阶和四阶光子关联, 表明该双HBT探测方案可应用于光场高阶光子关联的精确测量及量子统计特性的研究.

    • 四个相同的SPCM组成的双HBT理论模型如图1所示. 当光子数分布为Pin(n)的光场$|\psi\rangle$入射时, 考虑系统的总效率$\eta $, 该效率包括传输效率、收集效率及探测系统的量子效率, 由分束器B0模拟, 其余部分不再受效率影响. 同时考虑背景噪声$|\beta\rangle$的影响, 背景噪声$|\beta\rangle$相对入射光场$|\psi\rangle$较弱, 主要来源于探测系统的暗计数和背景辐射, 其光子数分布服从泊松分布$P_{\rm in}(n)=\gamma^{n}{\rm exp}{(-\gamma)}/n!$, 其中$\gamma = {\left| \beta \right|^2}$. 随后光场经过三个50/50无损分束器B1, B2, B3, 到达四个单光子探测器D1, D2, D3, D4.

      图  1  双HBT装置理论模型. B0, B1, B2, B3: 分束器; D1, D2, D3, D4: 探测器. 带括号的字母L, N, K等表示各路分光的光子数

      Figure 1.  Theoretical model of double HBT scheme. B0, B1, B2, B3: Beamsplitter; D1, D2, D3, D4: Detector. The letters in parentheses L, N, K, et al, denote the photon numbers of splitting light paths, respectively.

      入射光场经过分束器B0后, 引入总的系统探测效率, 光子数分布可表示为

      ${P_{{\rm{tr}}}}(m) = \sum\limits_{n = m}^\infty {{P_{{\rm{in}}}}(n)\frac{{n!{\eta ^m}{{(1 - \eta )}^{(n - m)}}}}{{m!(n - m)!}}} , $

      考虑系统效率后的光场与背景噪声在分束器B1处混合, 光子数分布演变为

      ${P_{{\rm{mix}}}}(L) = \sum\limits_{m = 0}^L {\frac{{{\gamma ^{(L - m)}}}}{{(L - m)!}}} {{\rm{e}}^{ - \gamma }}{P_{{\rm{tr}}}}(m),$

      其中$\gamma $代表背景噪声的平均光子数, L为到达分束器B1的光子数. 于是经过B1, N个光子透射, 同时LN个光子被反射. 随后, 透射的N个光子到达B2, K个光子经过B2, 透射到达探测器D1, 同时NK个光子被反射到达探测器D2. 经过B1另一路被反射的LN个光子到达B3, 通过B3后, M个反射光子到达D3, LN M个透射光子到达D4.

      四个探测器D1, D2, D3, D4探测到光子数联合分布概率可以写成$P (K, N-K, M, L-N-M)$. 由于每个单光子探测器, 即SPCM, 在一个死时间周期内只能响应一次, 因此联合分布概率共有16种. 同时由于三个分束器为50/50的分束且四个探测器的探测性能相同, 无串扰, 因此最终只有以下5种不同的光子分布概率:

      $\begin{split} & P(1,1,1,1)\\ ={}& \sum\limits_{L = 4}^\infty {{P_{{\rm{mix}}}}(L)} \sum\limits_{N = 2}^{L - 2} {\sum\limits_{K = 1}^{N - 1} {\sum\limits_{M = 1}^{(L - N) - 1} {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2L}}} } }\\ & \times\frac{{L!}}{{K!\left( {N - K} \right)!M!\left( {\left( {L - N} \right) - M} \right)!}},\end{split}\tag{3a}$

      $\begin{split} & P(0,1,1,1) \\ =\;& P(1,0,1,1) = P(1,1,0,1) = P(1,1,1,0) \\ =& \sum\limits_{L = 3}^\infty {{P_{{\rm{mix}}}}\left( L \right)} \sum\limits_{N = 2}^{L - 1} {\sum\limits_{K = 1}^{N - 1} {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\left( {2L} \right)}}} } \\ & \times\frac{{L!}}{{K!\left( {N - K} \right)!\left( {L - N} \right)!}},\\[-15pt] \end{split} \tag{3b}$

      $\begin{split} \; & P(1,0,0,1) = P(1,1,0,0) = P(0,0,1,1) \\ =\;& P(0,1,1,0) = P(1,0,1,0) = P(0,1,0,1) \\ =\;& \sum\limits_{L = 2}^\infty {{P_{{\rm{mix}}}}\left( L \right)} \sum\limits_{N = 1}^{L - 1} {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\left( {2L} \right)}}} \frac{{L!}}{{N!\left( {L - N} \right)!}}, \end{split}\tag{3c}$

      $\begin{split} & P(0,1,0,0) = P(0,0,1,0) = P(0,0,0,1) \\ ={}& P(1,0,0,0) = \sum\limits_{L = 1}^\infty {{P_{{\rm{mix}}}}\left( L \right){{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2L}}} , \end{split}\tag{3d}$

      $P(0,0,0,0) = {P_{{\rm{mix}}}}\left( 0 \right).\tag{3e}$

      选取双HBT模型中任意三个探测器即可分析计算得到光场的三阶光子关联, 同样地, 考虑所有四个探测器即可得到四阶光子关联:

      $ \begin{split} & {g^{\left( 3 \right)}} = \frac{{\left\langle {{n_1}{n_2}{n_3}} \right\rangle }}{{\left\langle {{n_1}} \right\rangle \left\langle {{n_2}} \right\rangle \left\langle {{n_3}} \right\rangle }} \\ ={}& \frac{{\displaystyle\sum\limits_{{n_1}{n_2}{n_3}} {\left( {{n_1}{n_2}{n_3}} \right)P\left( {{n_1},{n_2},{n_3}} \right)} }}{{{{\left[ {\dfrac{1}{{{ {C}} _4^1}}\left\langle n \right\rangle } \right]}^3}}} = \frac{{P\left( {1,1,1} \right)}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{4}\left\langle n \right\rangle } \right]}^3}}}, \end{split} $

      $\begin{split} & {g^{\left( 4 \right)}} = \frac{{\left\langle {{n_1}{n_2}{n_3}{n_4}} \right\rangle }}{{\left\langle {{n_1}} \right\rangle \left\langle {{n_2}} \right\rangle \left\langle {{n_3}} \right\rangle \left\langle {{n_4}} \right\rangle }} \\ ={}& \frac{{\displaystyle\sum\limits_{{n_1}{n_2}{n_3}{n_4}} {{n_1}{n_2}{n_3}{n_4}P({n_1},{n_2},{n_3},{n_4})} }}{{{{\left[ {\dfrac{1}{4}\left\langle n \right\rangle } \right]}^4}}} = \frac{{P\left( {1,1,1,1} \right)}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{4}\left\langle n \right\rangle } \right]}^4}}},\end{split} $

      式中$\left\langle n \right\rangle $为入射光场总的平均光子数, 表示如下:

      $\left\langle n \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^\infty {nP\left( n \right)} = 4{P_4} + 3{P_3} + 2{P_2} + {P_1} + 0{P_0},$

      其中 Pi (i = 0, 1, 2, 3, 4) 为四个单光子探测器同时探测到i个光子的联合分布概率.

    • 当入射光场为单模热态时, 其光子数分布服从玻色-爱因斯坦分布${P_{{\rm{in}}, T}}\left( n \right) = {{{{\left( \alpha \right)}^n}}/{{{\left( {1 + \alpha } \right)}^{n + 1}}}}$, 其中$\alpha = {\left\{ {\exp \left[ {{{\hbar \omega }/{({k_{\rm{B}}}T)}}} \right] - 1} \right\}^{ - 1}}$为平均光子数, 该单模热态是一种典型的非相干光场. 在理想情况下, 单模热态的高阶光子关联的极大值为${g^{(n)}} = n!$. 根据(1)式—(3)式, 可以推导出基于双HBT模型的光子联合分布概率和平均光子数, 从而得到单模热态的三阶及四阶光子关联如下:

      $\begin{split} g_{\rm{T}}^{\left( 3 \right)} ={}& 64\bigg(1 - \dfrac{4}{{4 + 3\eta \alpha }}{{\rm{e}}^{{{ - 3\gamma }/4}}} - \dfrac{{12}}{{4 + \eta \alpha }}{{\rm{e}}^{{{ - \gamma }/4}}} \\ & + \dfrac{6}{{2 + \eta \alpha }}{{\rm{e}}^{{{ - \gamma }/2}}}\bigg) \bigg(4 - \dfrac{{16{{\rm{e}}^{{{ - \gamma }/4}}}}}{{4 + \eta \alpha }}\bigg)^{-3}, \end{split}$

      $\begin{split} g_{\rm{T}}^{\left( 4 \right)} ={}& 256\bigg( 1 - \dfrac{{16}}{{4 + 3\eta \alpha }}{{\rm{e}}^{{{ - 3\gamma }/4}}} - \dfrac{{16}}{{4 + \eta \alpha }}{{\rm{e}}^{{{ - \gamma }/4}}} \\ & + \dfrac{{12}}{{2 + \eta \alpha }}{{\rm{e}}^{{{ - \gamma }/2}}} + \dfrac{1}{{1 + \eta \alpha }}{{\rm{e}}^{ - \gamma }} \bigg)\\ &\times \bigg( {4 - \dfrac{{16{{\rm{e}}^{{{ - \gamma }/4}}}}}{{4 + \eta \alpha }}} \bigg)^{-4}. \end{split}$

      图2为单模热光场的三阶光子关联(图2(a))和四阶光子关联(图2(b))随入射光场平均光子数$\alpha $的变化情况, 此处同时考虑了实际SPCM在852 nm处的探测效率不高于50%[17]. 图中红色实线对应背景噪声$\gamma = 0$、系统探测效率$\eta = 0.5$时单模热态高阶光子关联的结果, 蓝色虚线和绿色点线分别对应$\gamma = 0.001$, $\eta = 0.5$$\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$时高阶光子关联的结果. 在理想情况下, 单模热态的三阶光子关联值为6, 四阶光子关联值为24. 但是在背景噪声$\gamma $和探测效率$\eta $的影响下, 高阶光子关联的值随着平均光子数的增加先增大后缓慢减小. 这是由于在入射光场较弱或平均光子数较小时, 背景噪声对高阶光子关联的测量结果影响较大, 而平均光子数过大时, 由于SPCM不能响应多光子从而造成多光子信息丢失的增加, 强的入射光场对最终测量结果的影响增大, 导致最终高阶光子关联逐渐偏离理论值. 可以看出, 高阶光子关联的探测需综合考虑系统效率、入射光强和背景噪声的影响, 在系统探测效率较高($\eta = 0.5$)、入射光强及背景噪声较小时, 热态的高阶光子关联结果与理论值更加接近.

      图  2  单模热光场的 (a) 三阶光子关联$g_{\rm{T}}^{(3)}$和 (b) 四阶光子关联$g_{\rm{T}}^{(4)}$随平均光子数$\alpha $的变化

      Figure 2.  (a) Third-order, and (b) fourth-order photon correlations $g_{\rm{T}}^{(3)}$ and $g_{\rm{T}}^{(4)}$ of single-mode thermal state versus the mean photon number $\alpha $.

      当入射光场为相干态$\left| \alpha \right\rangle $时, 光场的光子数分布服从泊松分布. 理想状态下, 相干态的高阶光子关联${g^{(n)}} = 1$. 根据(1)式—(3)式, 可以得到${P_{{\rm{in}}, C}}\left( n \right) = {{{\alpha ^n}{{\rm{e}}^{ - \alpha }}}/{n!}}$基于双HBT装置的光子分布概率和平均光子数, 从而推导出相干态的高阶光子关联为:

      $g_{\rm{C}}^{\left( 3 \right)} = g_{\rm{C}}^{\left( 4 \right)} = 1,$

      表明相干态的高阶光子关联与系统的探测效率和背景噪声无关, 与理想值一致.

      压缩真空态是一种光子数分布服从超泊松分布的典型量子态, 可以表示为$\left| \xi \right\rangle = \hat S\left( \xi \right)\left| 0 \right\rangle $, 其中压缩算符为$\hat S\left( \xi \right) = \exp \left( {{{{\xi ^*}{{\hat \alpha }^2}}/2} - {{\xi {{\hat \alpha }^{ + 2}}}/2}} \right)$, 压缩参数为$\xi = r\exp \left( {{\rm{i}}\theta } \right)$, $r = \left| \xi \right|$, 光子数分布表示为[46]

      ${P_{{\rm{in,SVS}}}}\left( {2n} \right) = \frac{{{{\tanh }^{2n}}r\left( {2n} \right)!}}{{\cosh r{{\left( {n!{2^n}} \right)}^2}}}.$

      同时, 压缩真空态的平均光子数可表示为$\left\langle {{n_{{\rm{sq}}}}} \right\rangle = {\sinh ^2}r$. 根据上述双HBT模型的理论分析, 可知理想情况下的高阶光子关联可以由光子数分布和平均光子数推导得到, 表达式如下:

      $g_{{\rm{SVS}}}^{\left( 2 \right)} = 2 + \frac{{{{\cosh }^2}r}}{{{{\sinh }^2}r}},$

      $g_{{\rm{SVS}}}^{\left( 3 \right)} = 6 + \frac{{9{{\cosh }^2}r}}{{{{\sinh }^2}r}},$

      $g_{{\rm{SVS}}}^{\left( 4 \right)} = 24 + \frac{{9{{\cosh }^4}r}}{{{{\sinh }^4}r}} + \frac{{72{{\cosh }^2}r}}{{{{\sinh }^2}r}}.$

      可以看出, 理想情况下压缩真空态的高阶光子关联只与压缩因子 r 有关. 同样地, 由(1)式—(3)式, 可以推导出基于双HBT测量的压缩真空态的高阶相干度. 此处省略推导公式, 给出数值模拟的结果, 如图3所示.

      图  3  压缩真空态的 (a) 二阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(2)}$, (b) 三阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(3)}$和(c) 四阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(4)}$随压缩因子r的变化

      Figure 3.  (a) Second-order, (b) third-order, and (c) fourth-order photon correlations of single-mode squeezed vacuum state versus the squeezing parameter r.

      图3(a)图3(c)分别为压缩真空态的二阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(2)}$、三阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(3)}$和四阶光子关联$g_{{\rm{SVS}}}^{(4)}$随压缩因子r的变化情况, 同样考虑实际探测效率和背景条件. 图中红色实线对应压缩态高阶光子关联的理想值, 即(11)式—(13)式的结果, 蓝色虚线和绿色点线分别对应背景噪声$\gamma = 0.001$、系统探测效率$\eta = 0.5$$\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$时的结果. 由图3可以看出, 压缩真空态的高阶光子关联比热态对应的值更大, 这是因为只包含偶数光子分布的压缩态光场的光子聚束效应更加强烈. 当压缩真空态的压缩因子r增大时, 基于双HBT方案得到的高阶光子关联结果逐渐接近理想值, 并且高阶光子关联逐渐减小. 原因是压缩真空态的聚束效应随着压缩因子的增加而减弱. 与热态结果相似的是, 系统背景噪声的存在同样会导致探测结果小于理想值, $\eta = 0.5$的结果较$\eta = 0.1$时更接近理想值, 需要综合系统效率、背景噪声及入射光强各种影响因素, 获得与理想值接近的高阶光子关联. 同时, 由图3可知, 更高阶光子关联相比于二阶光子光联变化范围更大, 即对背景噪声、系统效率及压缩强度变化更为敏感, 表明可利用更加灵敏的高阶关联测量获得辐射光场相干性及光子关联等更多的量子特性, 并有利于提升量子关联测量中的精确度.

      当入射光场为Fock态$\left| n \right\rangle $时, 光子数分布服从${P_{{\rm{in, F}}}}\left( n \right) = 1$, 即在Fock态$\left| n \right\rangle $中只有n个光子. 由(1)式—(3)式可以推导出基于双HBT测量的Fock态的高阶光子关联. 考虑系统的整体效率和背景噪声, 得到如下Fock态$\left| n \right\rangle $的三阶和四阶光子关联:

      $g_{\rm{F}}^{\left( 3 \right)} = \frac{{{{64}^n}{{\rm{e}}^{3\gamma /4}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{16}^n}\left[ {3{{\rm{e}}^{\gamma /2}}{{\left( {\eta - 4} \right)}^n} - 3{{\rm{e}}^{\gamma /4}}{2^n}{{\left( {\eta - 2} \right)}^n} + {{\left( {3\eta - 4} \right)}^n}} \right]}}{{{{\left[ {{4^n}{{\rm{e}}^{\gamma /4}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{\left( {\eta - 4} \right)}^n}} \right]}^3}}},$

      $g_{\rm{F}}^{\left( 4 \right)} = \frac{{{4^{4n}}{{\rm{e}}^\gamma } + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{4^{3n + 1}}\left[ {{{\rm{e}}^{3\gamma /4}}{{\left( {\eta - 4} \right)}^n} - 3{{\rm{e}}^{\gamma /2}}{2^{n - 1}}{{\left( {\eta - 2} \right)}^n} + {{\rm{e}}^{\gamma /4}}{{\left( {3\eta - 4} \right)}^n} - {4^{n - 1}}{{\left( {\eta - 1} \right)}^n}} \right]}}{{{{\left[ {{4^n}{{\rm{e}}^{\gamma /4}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{\left( {\eta - 4} \right)}^n}} \right]}^4}}}.$

      图4是Fock态的高阶光子关联在背景噪声及探测效率的影响下随光子数n的变化情况. 蓝色空心方块为三阶光子关联, 红色实心圆圈为四阶光子关联的结果, 图4(a)中背景噪声$\gamma = 0.001$、系统探测效率$\eta = 0.5$, 图4(b)$\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$. 由图4可以看出, 系统效率η = 为0.5时, Fock态的高阶关联的结果整体大于$\eta $为0.1时的结果. 这是由于当背景噪声较小时, 受背景影响不大, 高阶光子关联结果主要受系统效率影响, 随着系统效率的升高, 探测光子数n较大的Fock态时, SPCM会出现对多光子信息的丢失, 测得光场的反聚束效应减弱[41]. 而当背景噪声增大, 泊松分布的背景开始影响Fock态的高阶光子关联结果, 此时应适度增加系统探测效率, 并综合探测系统对多光子事件缺失的影响, 可保证对一定光子数n范围内, Fock态高阶光子关联的有效探测.

      图  4  Fock态的三阶(蓝色空心方块)和四阶(红色实心圆圈)光子关联随光子数的变化结果 (a) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.5$; (b) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$

      Figure 4.  The third-order (blue hollow square) and fourth-order (red solid circle) photon correlations of Fock state versus the photon number: (a) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.5$; (b) $\gamma = 0.001$, $\eta = 0.1$.

    • 采用双HBT方案测量光场高阶光子关联的实验装置如图5所示. 激光光源为单模半导体激光器, 工作波长为852 nm. 输出光束通过光隔离器(isolator, ISO), 到达由半波片(half-wave plate, HWP)和偏振分束器(polarized beam splitter, PBS)组成的光强控制组件. 随后通过单模保偏光纤对激光束进行耦合和过滤. 经过衰减器后, 进入光场调制组件, 即会聚的光场被一个旋转的毛玻璃(rotating ground glass disc, RGGD)调制, 产生热态光场. 调制后的光束通过一个小孔和干涉滤波片, 到达双HBT探测系统. 入射光场被三个50/50分束器(BS1, BS2和BS3)分成四路, 最终耦合进入四个SPCM: D1, D2, D3和D4 (SPCM-AQR-15, PerkinElmer Optoelectronics). 每个SPCM入射的最大光子计数率为5 × 106 counts/s, 在852 nm处的量子效率约为50%, 暗计数小于60 counts/s. 考虑背景辐射和暗计数系统, 总的背景噪声约为$\gamma = 0.001$. 最终SPCM探测得到的信号进入数据采集系统(data acquisition system, DAS, P7888, Fastcomtec GmbH)进行处理.

      图  5  实验装置原理图(ISO, 隔离器; HWP, 半波片; PBS, 偏振分束器; M1, M2, 反射镜; L, 光学透镜; RGGD, 旋转的毛玻璃; BS1, BS2, BS3, 分束器; D1, D2, D3, D4, 单光子计数模块SPCM; DAS, 数据采集系统)

      Figure 5.  Schematic illustration of the experimental setup (ISO, isolator; HWP, half-wave plate; PBS, polarized beam splitter; M1, M2, mirror; L, optical lens; RGGD, rotating ground glass disk; BS1, BS2, BS3, beam splitter; D1, D2, D3 and D4, single photon counting module, SPCM; DAS, data acquisition system).

      SPCM探测系统的计数率和分辨时间会直接影响被测光场的光子关联. 因此, 研究分辨时间和计数率对光场高阶光子关联的影响是非常有必要的. 下文将利用热态和相干态来观测其影响.

    • 在不同计数率和分辨时间条件下, 分别测量了热态和相干态的高阶光子关联. 图6表示探测系统的分辨时间固定210 ns时, 热态和相干态的三阶光子关联g(3)(图6(a))和四阶光子关联g(4)(图6(b))随计数率变化的测量结果. 红色圆形表示热态的高阶光子关联测量结果, 蓝色三角表示相干态高阶光子关联的结果. 在计数率较小或较大时, 热态的实验结果与理论预期偏差较大. 这是由于在计数率较低时, 受到杂散光和背景噪声的影响, 难以获取足够的光子群聚信息, 并且受背景噪声及采样样本数不足的影响较大, 使得测量统计波动增大, 导致标准差较大. 相反, 当计数率较大时, 多光子事件显著增多, 且SPCM不能分辨响应多光子, 造成对多光子事件的丢失, 从而造成计数率过小和过大这两种情况都不能准确地反映光场本质. 相干光的高阶光子关联从0增加至1后基本保持恒定. 由图6可知, 在计数率为80 kc/s时, 测量得到的光场三阶及四阶光子关联与理论值最为接近.

      图  6  热态和相干态的 (a) 三阶光子关联、(b) 四阶光子关联随计数率的测量结果, 探测器分辨时间为210 ns. 图中红色和蓝色实线分别为热态与相干态高阶光子关联的理想值

      Figure 6.  Measured (a) third-order and (b) fourth-order photon correlations of thermal state and coherent state versus the counting rate for resolution time of 210 ns. The red and blue solid lines are the ideal results of the high-order photon correlations of thermal state and coherent state.

      图7为探测系统的计数率约在80 kc/s时, 热态和相干态的三阶光子关联g(3)(图7(a))和四阶光子关联g(4)(图7(b))随分辨时间变化的测量结果. 图中红色圆形表示热态的高阶光子关联, 蓝色三角表示相干态高阶光子关联的测量结果. 在分辨时间较小时(小于探测系统的死时间), 热光和相干光的高阶光子关联都为0, 随着分辨时间的增大, 在高于系统死时间后热光的高阶光子关联迅速增加到理论值附近. 随着分辨时间继续增大, 高阶光子关联都趋向于1. 当分辨时间远大于热光场的相干时间后, 热光场可以看作过渡到泊松分布的平稳光场. 由图7可知, 在分辨时间为210 ns时, 测量得到的光场三阶及四阶光子关联与理论值最为接近.

      图  7  热态和相干态的 (a) 三阶光子关联、(b) 四阶光子关联随分辨时间的测量结果, 计数率为80 kc/s. 图中红色和蓝色实线分别为热态与相干态高阶光子关联的理想值

      Figure 7.  Measured (a) third-order and (b) fourth-order photon correlations of thermal state and coherent state versus the resolution time for counting rate of 80 kc/s. The red and blue solid lines are the ideal results of the high-order photon correlations of thermal state and coherent state.

    • 在探测系统的分辨时间为210 ns、计数率为80 kc/s的条件下, 测量分析了热态的高阶光子关联g(3)(τ1, τ2)和g(4)(τ1, τ2, τ3)随延迟时间变化的结果. 图8中蓝点为热态的g(3)(τ1, τ2)随延迟时间τ1变化的测量结果, 图8(a)对应τ2 = 0的情况, 当τ1 = 0即零延迟处, 峰值g(3)(0)为$5.98_{ - 0.018}^{ + 0.018}$, 相对理论值3! = 6的统计偏差为0.3%. 图8(b)τ2 = –10 μs, 当τ1 = 0或τ1 = –10 μs时, g(3)的值均为2. 图8(c)τ2 = 10 μs时情况与图8(b)中的结果类似, 峰值出现在τ1 = 0或τ1 = 10 μs. 同时根据实验条件参数, 对测量结果进行了理论拟合, 如图8中黑色实线所示.

      图  8  热态的三阶光子关联随延迟时间的变化, 分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s. 蓝点表示实验结果, 黑色实线为理论拟合(a) τ2 = 0 μs; (b) τ2 = –10 μs; (c) τ2 = 10 μs. 其中图(a)零延迟处的峰值为$5.98_{ - 0.018}^{ + 0.018}$

      Figure 8.  Measured third-order photon correlation of thermal state versus delay times for resolution times of 210 ns and counting rate of 80 kc/s. The blue dots and black solid curves are the experimental and theoretical results, respectively: (a) τ2 = 0 μs; (b) τ2 = –10 μs; (c) τ2 = 10 μs. The peak value of g(3) in Fig. (a) is $5.98_{ - 0.018}^{ + 0.018}$.

      为了更全面地研究热态的四阶光子关联随延迟时间的变化, 测量了全时延条件下热态的四阶光子关联结果, 如图9所示。图9(a)图9(c)分别对应τ3 = 0 μs, τ3 = –10 μs和 τ3 = 10 μs. 图9(a)中峰值对应${\tau _1} = {\tau _2} = {\tau _3} = 0$的情况, 此时g(4)(0)的值为$23.8_{ - 0.19}^{ + 0.19}$, 相对理论值4!=24的统计偏差为0.8%. 在图9中, 当三个延迟时间各不相等且都不为零时, 四路光子在不同的时延到达, g(4)的值为1; 当有一个延迟时间为0或有两个延迟时间相等时, 两路光子同时到达, g(4)的值为2; 当两路光子同时到达, 且另两路光子在另一延迟时间同时到达, 则g(4)的值为4; 当两个延迟时间相等并且为0或三个延迟时间相等时, 三路光子同时到达, g(4)的值为6.

      图  9  (a) τ3 = 0 μs, (b) τ3 = –10 μs, (c) τ3 = 10 μs 时, 全时延条件下热态的四阶光子关联, 图(a)中零延迟处的峰值为$23.8_{ - 0.19}^{ + 0.19}$

      Figure 9.  The fourth-order photon correlations of thermal state at complete time delays for (a) τ3 = 0 μs, (b) τ3 = –10 μs, (c) τ3 = 10 μs. The peak value of g(4) in Fig. (a) is $23.8_{ - 0.19}^{ + 0.19}$.

      与三阶光子关联的结果类似, 图10为热态的g(4)(τ1, τ2, τ3)随延迟时间τ1变化的测量结果, 图10(a)图10(c)对应τ3 = 0, 图10(d)图10(f)对应τ3 = –10 μs, 图10(g)图10(i)对应τ3 = 10 μs, 每个τ3的取值下分析了τ2 = 0, –10, 10 μs三种不同的情况. 图10中的黑色实线为相应实验条件下的理论结果. 图10(a)中峰值对应${\tau _1} = {\tau _2} = {\tau _3} = 0$的情况, 此时g(4)(0)的测量极大值为23.8. 由图10可以看到g(4)的峰值变化规律与图9的结果保持一致. 结果表明, 热态光场在零延迟时间附近光子的聚束效应最强, n个光子同时到达的概率约为n个光子在不同时间到达概率的 n! 倍.

      图  10  热态的四阶光子关联g(4)(τ1, τ2, τ3)随延迟时间τ1变化的测量结果, 分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s. 圆点表示实验结果, 黑色实线为理论拟合

      Figure 10.  Measured fourth-order photon correlation of thermal state versus delay time τ1 for resolution times of 210 ns and counting rate of 80 kc/s. The dots are the experimental results, and the black solid curves are the theoretical fittings.

    • 基于双HBT方案, 考虑系统的整体效率和背景噪声, 从理论上分析了热态、相干态、压缩真空态和Fock态的三阶及四阶光子关联的结果. 受探测效率和背景噪声的影响, 热态的高阶光子关联随入射光场平均光子数的增大先增大后缓慢减小. 相干态的高阶关联恒定为1, 不受系统探测效率和背景噪声的影响. 对于压缩真空态, 高阶关联随压缩因子的增大而减小, 但高阶光子关联值的变化幅度远大于热态, 这是由于压缩真空态的聚束效应更强. 随着Fock态光子数的增加, 其高阶光子关联由0逐渐增加至趋于1.

      同时在实验上, 考虑计数率和分辨时间的影响, 利用双HBT装置测量了热态和相干态的三阶和四阶光子关联. 随着探测器计数率和分辨时间的增加, 热态的高阶关联先增大到接近理论值, 后减小为1, 相干态的高阶光子关联从0增加至1后基本保持不变. 通过测量不同系统分辨时间和计数率对相干态和热态的三阶及四阶光子关联的影响, 得出在分辨时间为210 ns, 计数率为80 kc/s时, 系统能够精确测量热态的高阶光子关联. 在此条件下, 测量得到热态三阶和四阶光子关联在零延迟处, 相对理论值6和24的统计偏差分别为0.3%和0.8%. 另外, 测量得到了不同延迟时间条件下热态的三阶和四阶光子关联的结果. 本文研究表明, 综合对系统效率、背景噪声、计数率及分辨时间各种影响因素的分析, 可精确测量光场的高阶光子关联, 该方法将在鬼成像、光场相干性分析及保密通信等领域提供关键技术支持.

参考文献 (46)

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