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圆柱型光纤螺线圈轨道角动量模式

赵超樱 范钰婷 孟义朝 郭奇志 谭维翰

圆柱型光纤螺线圈轨道角动量模式

赵超樱, 范钰婷, 孟义朝, 郭奇志, 谭维翰
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  • 传统的沿z轴光纤传输光线的轨道角动量(orbital angular momentum, OAM)光束的制备方法共同之处都是从内部结构着想, 光束的主光线基本上不变, 只是波面在变. 但要获得携带高$m\hbar $的光有一定的难度. 针对上述问题, 本文建立以波面不变, 光束主光线变化为基础的理论框架, 利用微分几何理论验证不沿z轴圆柱型光纤螺线圈传输的光线可以携带高$m\hbar $ OAM的理论设想. 研究发现: 利用流动坐标$(\alpha ,\beta ,\gamma )$计算光线在绕圆柱体的光纤中传输时光纤截面的衍射分布图呈现涡旋特征, 有高阶OAM模式. 当$\theta = {\theta _0}$时, 圆柱形轨道光纤过渡到直线轨道光纤. 计算光线沿直线传输时光纤截面的衍射分布图是Airy斑, 即圆孔衍射斑, 无高阶OAM模式.
      通信作者: 赵超樱, zchy49@hdu.edu.cn
    • 基金项目: 国家级-基于雪崩电离的磁阻效应及其机理研究(11504074)
    [1]

    Poynting J H 1909 Proc. R. Soc. London Ser. A 82 560

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    柯熙政, 王姣著 2018 涡旋光束的产生、传输、检测及应用 (第1版) (北京: 科学出版社) 第194—196页

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    Born M, Wolf E 2001 Principles of Optics (7th Ed.) (Cambridge: World publishing Corporation) pp640–642

  • 图 1  (a) 光沿圆柱型螺线圈传输; (b) OAM光场分布图; (c) 几何相位

    Fig. 1.  (a) Fiber propagation along cylindrical spiral wave-guide; (b) OAM light field distribution, (c) berry phase.

    图 2  $k = 2$, $\psi (z) = {\rm{0}}{\rm{.5}}$时, (a) 路径矢量s, (b) 线动量密度P, (c) 角动量密度M的变化曲线

    Fig. 2.  (a) Path vector s; (b) linear momentum density P; (c) angular momentum density M with $k = 2$, $\psi (z) = {\rm{0}}{\rm{.5}}$.

    图 3  直线光纤传播, 光场分布是圆孔衍射斑

    Fig. 3.  There is no higher-order OAM mode in the cross section of the optical fibers propagating in a straight line, and the optical field distribution is a circular aperture diffraction spot.

    图 4  圆柱形光纤传播有高阶OAM模式 (a) $m = {\rm{1}}$; (b) $m = {\rm{2}}$; (c) $m = {\rm{4}}$; (d) $m = {\rm{16}}$

    Fig. 4.  The optical fiber cross section propagating in cylin-drical shape has a high-order OAM mode with: (a) $m = {\rm{1}}$; (b) $m = {\rm{2}}$; (c)$m = {\rm{4}}$; (d) $m = {\rm{16}}$.

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    Fu C L, Liu S, Wang Y, Bai Z Y, He J, Liao C R, Zhang Y, Zhang F, Yu B, Gao S C, Li Z H, Wang Y P 2018 Opt. Lett. 43 1786

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    [16] 李铁, 谌娟, 柯熙政, 吕宏. 大气信道中单光子轨道角动量纠缠特性的研究. 物理学报, 2012, 61(12): 124208. doi: 10.7498/aps.61.124208
    [17] 柯熙政, 谌娟, 杨一明. 在大气湍流斜程传输中拉盖高斯光束的轨道角动量的研究. 物理学报, 2014, 63(15): 150301. doi: 10.7498/aps.63.150301
    [18] 范榕华, 郭邦红, 郭建军, 张程贤, 张文杰, 杜戈. 基于轨道角动量的多自由度W态纠缠系统. 物理学报, 2015, 64(14): 140301. doi: 10.7498/aps.64.140301
    [19] 陈理想, 张远颖. 光子高阶轨道角动量制备、调控及传感应用研究进展. 物理学报, 2015, 64(16): 164210. doi: 10.7498/aps.64.164210
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-06-29
  • 修回日期:  2019-12-20
  • 刊出日期:  2020-03-01

圆柱型光纤螺线圈轨道角动量模式

  • 1. 杭州电子科技大学理学院, 杭州 310018
  • 2. 山西大学光电研究所, 量子光学与光量子器件国家重点实验室, 太原 030006
  • 3. 上海大学光纤研究所, 上海 201800
  • 4. 上海大学物理系, 上海 200444
  • 通信作者: 赵超樱, zchy49@hdu.edu.cn
    基金项目: 国家级-基于雪崩电离的磁阻效应及其机理研究(11504074)

摘要: 传统的沿z轴光纤传输光线的轨道角动量(orbital angular momentum, OAM)光束的制备方法共同之处都是从内部结构着想, 光束的主光线基本上不变, 只是波面在变. 但要获得携带高$m\hbar $的光有一定的难度. 针对上述问题, 本文建立以波面不变, 光束主光线变化为基础的理论框架, 利用微分几何理论验证不沿z轴圆柱型光纤螺线圈传输的光线可以携带高$m\hbar $ OAM的理论设想. 研究发现: 利用流动坐标$(\alpha ,\beta ,\gamma )$计算光线在绕圆柱体的光纤中传输时光纤截面的衍射分布图呈现涡旋特征, 有高阶OAM模式. 当$\theta = {\theta _0}$时, 圆柱形轨道光纤过渡到直线轨道光纤. 计算光线沿直线传输时光纤截面的衍射分布图是Airy斑, 即圆孔衍射斑, 无高阶OAM模式.

English Abstract

    • 由真空中Maxswell方程组可知光是一种含动量和能量的电磁波. 动量又可分为线动量和角动量, 其中角动量又包括由偏振性决定的自旋角动量(spin angular momentum, SAM)和由光场空间分布决定的轨道角动量(orbital angular momentum, OAM)两类. 早在1909年, Poynting[1]就已经从理论上预言了光波含有SAM. 直到1936年, Beth[2]将线偏振光变换为圆偏振光, 检测波片显示的反冲扭矩, 第一次通过实验证实了光子具有SAM(携带$ \pm \hbar $). 直到1992年, Allen等[3]才首次从实验上观察到了携带不同OAM信息的Laguerre-Gaussian (LG)模式的光. 它是一种具有螺旋型波前结构的特殊光场, 其螺旋相位取决于OAM态拓扑荷l. 通常SAM只能构建出一个二维Hilbert空间, 而具有无穷大拓扑荷l的OAM却可以构建出一个高维Hilbert空间. 在量子纠缠态操控、超分辨成像以及高维量子信息编码等领域都有重要的应用前景. 极大地提高光纤[4,5]和空间光调制器[6]中的量子通信、成像和传感能力. 目前实验上制备OAM光束的常用方法有: 螺旋相位板[7]、q板[8]、空间光调制器产生的全息图[9]、集成的角动量光栅[10,11]以及特殊设计的超表面[12]等. 螺旋相位板和q板只能产生单一OAM模式的光. 空间光调制器产生的全息图虽然可以产生OAM模式叠加态的光, 但是由于体积大而无法集成在芯片上. 集成的角动量光栅和超表面只能产生少量OAM模式叠加态的光. 若想获得较多OAM模式叠加态的光, 需要增加OAM模式数, 超表面的结构设计必然会变得很复杂. 想要得到携带高$m\hbar $的OAM光子, 上述实验方法都存在一定的难度. 2016年, Niederriter等[13]首次通过双模保偏光纤制备出了OAM模式. 由于携带OAM模式的光束在自由空间中传输易受干扰, 传输距离很短, 最初普遍认为光纤不能传输OAM模式. 直到2012年, Bozinovic等[4]首次演示了涡旋光纤可以传输OAM模式. 2018年, Chen等[14]首次演示了光子集成芯片的波导也可以传输OAM模式. 2017年, Zhang等[15]探测出了极微弱光场条件下的涡旋光场. 2018年, Fu等[16]准确地测出了OAM模式光场的相对相位分布. 2017年, Zhou等[17]首次通过螺旋光子晶体光纤制备出了高阶OAM模式. 2019年, Pan等[18]首次把复用的概念和光学OAM自由度相结合, 利用复用光学OAM的不同模式来大幅度增加连续变量量子通信体系纠缠容量. 同年, Zhou等[19]通过硅波导顶部的叠加全息叉光栅耦合平面内波导模式到平面外自由空间OAM模式, 设计出了超小型宽带极化硅OAM芯片, 其可望在高维量子通信系统中得到进一步的应用. 接着, Wang等[20]利用相对论强度的圆偏振光与固体靶相互作用产生高强度的携带OAM的表面高次谐波, 并揭示其物理本质是光从SAM转化为OAM. 最近, Fang等[21]利用具有“螺旋”特性的OAM光束作为光学全息过程中的信息载体, 在实验上实现了超宽带的光学全息过程, 利用OAM光进行全息编码方面的应用. 综上所述, LG光束以及后来的旋转柱面镜, 都是关注于改变波面的相位. 这些做法从方向上来说, 是对的, 但要得到高$m\hbar $的光, 有难度. 这些做法的共同之处都是从内部结构着想. 而光束的主光线基本上是不变的, 只是波面在变. 这就促使我们从另一个角度来思考如何获得携带高$m\hbar $的OAM光子, 建立以波面不变, 光束主光线变化为基础的理论框架, 成熟的光纤波导技术允许这样思考问题. 本文介绍了一种利用光纤沿圆柱螺旋波导传播产生高$m\hbar $的OAM模的新方法, 应用微分几何的曲线公式解析求解OAM模式. 研究结果可以进一步拓展到绕纺垂型轨道光纤传输的光线的轨道角动量的情况.

    • 自由空间沿z轴传输的近轴Gaussian 光束满足如下的Maxwell方程:

      ${\nabla ^2}{E} = \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}{E}}}{{\partial t}},$

      令电场矢量${E} = u(x, y, z){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}(kz - \omega t)}}{x}$, 将其代入(1)式并取近似${{{\partial ^2}u}/{\partial {z^2}}} \simeq {\rm{0}}$, 其中$u(x, y, z)$是椭圆Gaussian光束的相对场强, 椭圆轴分别在xy两个方向, xx方向的复数线性极化矢量. (1)式变为

      $\left( {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} - 2{\rm{i}}k\frac{\partial }{{\partial z}}} \right)u = 0,$

      其中$\omega $是角频率, c是光速, $k = {\omega/c} = {{2{\text{π}}}/\lambda }$是波数, $\lambda $是真空中的波长.

      在光纤中传输的光束即近轴Gaussian光束[22],

      $\begin{split} & u(x,y,z) = {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left[ {p(z) + \frac{k}{{2q(z)}}({x^2} + {y^2})} \right]}},\\ &{{\rm{e}}^{{\rm{i}}p(z)}} = \frac{{{w_0}}}{{w(z)}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\psi (z)}},\;\frac{1}{{q(z)}} = \frac{1}{{R(z)}} - {\rm{i}}\frac{\lambda }{{{\text{π}} {w^2}(z)}},\end{split}$

      其中${w_{\rm{0}}}$是光束的光腰半径, ${z_{\rm{R}}} = {{kw_0^2}/2} = {{{\text{π}}w_0^2}/\lambda }$是Rayleigh长度, $w(z) = {w_0}\sqrt {1 + {{{z^2}}/{z_{\rm{R}}^2}}} $是光斑尺寸参数, $\psi (z) = {\rm{arc}}{{\tan [z}/{{z_{\rm{R}}}}}]$是光束的Gouy相位, 仅随${z/{{z_{\rm{R}}}}}$缓慢变化. $R(z) \!=\! z[1 \!+\! ({{z_{\rm{R}}^2}/{{z^2}}})]$是Gaussian光束波前的曲率半径. $q(z)$是复数曲率半径.

      光波本质上是电磁波, Allen等[23]推导出了光场的线动量密度:

      $\begin{split} {P} =\; & {\varepsilon _0}({E} \times {B}) = {\varepsilon _0}({{E}^*} \times {B} + {E} \times {{B}^*})/{\rm{2}}\\ = \;&{\rm{i}}\omega {\varepsilon _0}({u^{\rm{*}}}\nabla u - u\nabla {u^{\rm{*}}})/{\rm{2}} + k\omega {\varepsilon _{\rm{0}}}{\left| u \right|^2} z \\ & + {\phi }\sigma \omega {\varepsilon _0}\partial {\left| u \right|^2}/({\rm{2}}\partial r), \end{split}$

      这里E是光波的电场分量, B是光波的磁场分量, $ {E} \times {B}$的分量垂直于光波传输的方向. ${\varepsilon _0}$是真空介电常数, u为光波的复振幅, ${u^{\rm{*}}}$为光波的复共轭, $\left| u \right|$是光波的复振幅的模. 对于平面波, 线动量与传播方向同向. 对于涡旋光束, 横向线动量分量实际上可以表征角动量的大小. 前两项Poynting矢量的方位分量引起含螺旋相位波前的OAM空间光束, 每个光子携带一个$l\hbar $的OAM模式. 最后一项包含的自旋可以将线偏振光转换成圆偏振光, 这导致与SAM关联的Poynting矢量多出一项. $\sigma $描述光的偏振度, 每个光子携带一个$\sigma \hbar $的SAM模式. 左手圆偏振光($\sigma = 1$)的每个光子携带$\hbar $的SAM, 右手圆偏振光($\sigma = - 1$)的每个光子携带$ - \hbar $的SAM.

      对于线偏振($\sigma = 0$), (4)式可写为

      ${P} = {\rm{i}}\omega {\varepsilon _0}{{({u^*}\nabla u - u\nabla {u^*})}/{\rm{2}}} + k\omega {\varepsilon _0}{\left| u \right|^2}{z}.$

      以LG光束为例, 在LG模式下制备出的圆偏振光的角动量密度为

      ${M} = {\varepsilon _0}\left[ {{r} \times ({E} \times {B})} \right] = {r} \times {P}.$

      $w(z)$光束的半径和坐标r都很小时, 可以采用几何光学亦即光线近似. 此时LG模式中的$r \to 0$, 否则便是发散的. 这样便有

      ${P} = {\left| u \right|^2}{z}/c,{M} = 0.$

      (7)式表明: 一束沿着z方向传输的光线, 线动量密度也沿z方向, 而角动量密度M为零.

    • 光波在光纤中传输, 当光轴是z轴, 光纤沿着z轴传输, 光纤传输的是高斯光束. 电场矢量不随波矢量的变化而变化. 在极坐标系中, r是极径. $\phi $是极角, 则有$x = r\cos \phi $, $y = r\sin \phi $. 如果光线不是沿着z方向传输而是沿一条曲线传输, 情况又会是怎样的呢?当光轴不是z轴, 光纤沿着以a为半径的圆柱体螺线圈上绕行, 有${x_0} = a\cos [\psi (z){k_z}z]$, ${y_0} = a\sin [\psi (z){k_z}z]$, 其中${k_z} = {k/{\sqrt {2{\psi ^2}(z) + 1} }}$. 螺旋型波前结构的光场的电矢量方向时刻随着波矢方向改变(图1(a)), 绕z轴形成一个圆锥形(图1(b)). 携带空间信息的OAM光束会产生一个额外的几何相位$\phi $, 几何相位使极化长轴方向倾斜一个角度.

      图  1  (a) 光沿圆柱型螺线圈传输; (b) OAM光场分布图; (c) 几何相位

      Figure 1.  (a) Fiber propagation along cylindrical spiral wave-guide; (b) OAM light field distribution, (c) berry phase.

      将(3)式中的变量稍做修正后便是在圆柱面上绕行的光纤中传输光束的解,

      $\begin{split} & u(r,\phi ,z) \\ =\;& {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left\{ {p(z) + \frac{k}{{2q(z)}}[{{(x - {x_0})}^2} + {{(y - {y_0})}^2}]} \right\}}} \\ =\;& {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left\{ {p(z) + \frac{k}{{2q(z)}}[{{(r - a)}^2} + 2ar(1 - \cos [\phi - \psi (z){k_z}z])]} \right\}}}\\ =\;& {{\rm{e}}^{ - \frac{\lambda }{{{\text{π}} {w^2}(z)}}\left\{ {{{(r - a)}^2} + 4ar{{\sin }^2}\left[ {\frac{{\phi - \psi (z){k_z}z}}{2}} \right]} \right\}}}\\ &\times{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left\{ {p(z) + \frac{k}{{2R(z)}}\left[{{(r - a)}^2} + 4ar{{\sin }^2}\left[\frac{{\phi - \psi (z){k_z}z}}{2}\right]\right]} \right\}}}. \end{split}$

      设光线的光路可用矢量${s}(z)$表示,

      $\begin{split}{s}(z) \;&= {i}{s_{{x}}}(z) + {j}{s_{{y}}}(z) + {k}{s_{{z}}}(z) \\ \;&= {i}\cos [\psi (z){k_{{z}}}z] + {j}\sin [\psi (z){k_{{z}}}z] + {k}{k_{{z}}}z,\end{split}$

      其中${k_{\rm{z}}} = {k/{\sqrt {2{\psi ^{\rm{2}}}(z) + 1} }}$.

      线性动量密度P

      $\begin{split} {P}(z) =\; & {i}\frac{\partial }{{\partial z}}{s_{{x}}}(z) + {j}\frac{\partial }{{\partial z}}{s_{{y}}}(z) + {k}\frac{\partial }{{\partial z}}{s_{{z}}}(z) \\=\; & {i}{P_{{x}}}(z) + {j}{P_{{y}}}(z) + {k}{P_{{z}}}(z)\\ = \; & - {i}\psi (z){k_{{z}}}\sin [\psi (z){k_{{z}}}z] \\ & + {j}\psi (z){k_{{z}}}\cos [\psi (z){k_{{z}}}z] + {k}{k_{{z}}}, \end{split}$

      角动量密度M与计算轴的选取有关,

      $\begin{split} {M}(z) =\; & {s}(z) \times {P}(z) = {i}{M_{{x}}}(z) + {j}{M_{{y}}}(z) + {k}{M_{{z}}}(z)\\ = \; &{i}({k_{{z}}}\sin [\psi (z){k_{{z}}}z] - z\psi (z)k_{{z}}^{{2}}\cos [\psi (z){k_{{z}}}z]) \\ & + {j}(z\psi (z)k_{{z}}^{{2}}\sin [\psi (z){k_{{z}}}z]\\ & - {k_{{z}}}\cos [\psi (z){k_{{z}}}z]) + {k}\psi (z){k_{{z}}}.\\[-10pt] \end{split}$

      绕圆柱体转动的光纤传输的线偏振光的螺旋曲线如图2所示[24].

      图  2  当$k = 2$, $\psi (z) = {\rm{0}}{\rm{.5}}$时, (a) 路径矢量s, (b) 线动量密度P, (c) 角动量密度M的变化曲线

      Figure 2.  (a) Path vector s; (b) linear momentum density P; (c) angular momentum density M with $k = 2$, $\psi (z) = {\rm{0}}{\rm{.5}}$.

    • 根据微分几何理论, 线偏振光入射, 偏振方向沿着圆柱轴向. 绕圆柱体螺线方程可表示为

      $\begin{split} &{r} = \{ a\cos \theta,a\sin \theta,b\theta \} ,\\ &{r}' = \{ - a\sin \theta,a\cos \theta,b\} ,\end{split}$

      其中a是短轴, b是长轴. ${r}'$是圆柱螺线切线方向的向量, 即曲线的切向量, 且满足${r}' \ne {\rm{0}}$. 直线$a = 0$, ${r} = {\rm{\{ }}0, 0, b\theta {\rm{\} }}$为圆柱体螺线轨道的特例. 引进光学程长s (微分方程称之为自然参数), 亦即曲线的长度. 将圆柱螺线r化为自然参数s表示, 有$\theta = \tilde ks$, $\tilde k = {{\rm{1}}/{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$, 所以从$\theta = {\rm{0}}$开始计算圆柱螺线弧长为

      $s = \int_0^\theta {\left\| {{r}'} \right\|} {\rm{d}}\theta = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \theta ,$

      该值由曲线本身决定, 与曲线的坐标表示和参数选择都无关. 绕一圈的曲线长度为$s = 2{\text{π}}\sqrt {{a^2} + {b^2}} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} $. 令$\xi = {a/{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \phi $, $\eta = {b/{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \phi = $ const, 且满足${\xi ^2} + {\eta ^2} = 1$. 这里几何相位$\phi $是一个固定角(图1(c)).

      采用流动坐标$(\alpha , \beta , \gamma )$计算光线沿光纤圆柱形轨道传播时的OAM大小. 下面研究曲线${{r}}'$的弯曲度, 圆柱型轨道光纤的单位切向量场${\alpha }$可表示为

      ${\alpha } = {{r}^\prime }/\left\| {{{r}^\prime }} \right\| = \{ - \xi \sin \theta,\xi \cos \theta ,\eta \} ,$

      注意到${\alpha }$始终沿着曲线运动的方向.

      ${\alpha }$垂直的主法向量场${\beta }$,

      ${\beta } \!=\! ({\rm{d}}{\alpha }/{\rm{d}}s)/\left\| {{\rm{d}}{\alpha }/{\rm{d}}s} \right\| \!=\! \{ - \cos \theta, - \sin\theta ,0\} ,$

      这里${\beta }$的方向不随${\alpha }$改变, 总是垂直于${\alpha }$.

      ${\alpha }$${\beta }$相互垂直的副法向量场${\gamma }$,

      ${\gamma } = {\alpha } \times {\beta } = \{ \eta \sin \theta , - \eta \cos \theta ,\xi \} ,$

      即单位矢量${\alpha }$, ${\beta }$, ${\gamma }$构成一个相互垂直的活动坐标系, 也称为Forenet标架. 由(16)式知Forenet标架构成右手系[24].

      $\begin{split} & {\rm{d}}{\alpha }/{\rm{d}}s = \kappa (s){\beta },\\ &{\rm{d}}{\beta }/{\rm{d}}s = - \kappa (s){\alpha } + \tau (s){\gamma },\\ &{\rm{d}}{\gamma }/{\rm{d}}s = - \tau (s){\beta },\end{split}$

      其中$\kappa (s)$, $\tau (s)$分别为曲线的曲率与绕度.

      ${E_y}$, ${H_x}$, ${H_z}$分别看成${\alpha }$, ${\beta }$, ${\gamma }$. (17)式满足TE模式理论[25,26], 其中方程(2)相当于Maxwell方程组的$\nabla \times {H} = \partial {E}/c\partial t$. 而方程(1)和(3)相当于Maxwell方程组的$\nabla \times {E} = - \partial {H}/c\partial t$.

      对于上述圆柱型曲线来说, 曲率和绕度分别为

      $\kappa (s) = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = \xi \tilde k,\;\;\tau (s) = \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} = \eta \tilde k.$

      对于直线来说, 曲率变为

      $\kappa (s) = \xi k = {\rm{0}}.$

      将绕圆柱体螺线(12)式写为如下形式:

      ${r} = {r_\alpha }{\alpha } + {r_\beta }{\beta } + {r_\gamma }{\gamma } = \eta b\theta {\alpha } - a{\beta } + \xi b\theta {\gamma },$

      其中${r_\alpha } = {r} \cdot {\alpha } = \eta b\theta $, ${r_\beta } \!=\! {r} \cdot {\beta } \!=\! - a$, ${r_\gamma } \!=\! {r} \cdot {\gamma } \!=\! $$ \xi b\theta $.

      曲线的切向量变为

      ${r'} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = s{\alpha },$

      其中

      $\begin{split}&\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}({r_\alpha }{\alpha }) = \eta b({\alpha } + \theta \xi {\beta }), \\ &\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}({r_\beta }{\beta }) = a(\xi {\alpha } - \eta {\gamma }), \\ & \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}({r_\gamma }{\gamma }) = \xi b({\gamma } - \eta \theta {\beta }).\end{split}$

      根据Einstein方程$m{v} = \hbar k$和OAM的定义${{L}_\alpha } = {r} \times {p}$, 则有

      $\begin{split}{{L}_\alpha }/(\hbar k) \; &= {r_\gamma }{\gamma } \times \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}({r_\gamma }{\gamma }) = \xi b\theta {\gamma } \times \xi b({\gamma } - \eta \theta {\beta }) \\ &= - \xi b\theta {\gamma } \times \eta \theta {\beta } = \xi \eta b{\theta ^2}{\alpha },\end{split}$

      $\begin{split}{{L}_\alpha }/\hbar \; & = k{r_\gamma }{\gamma } \times \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}({r_\gamma }{\gamma }) = \xi \eta b{\theta ^2}k{\alpha }\\ & = {(\eta \theta )^2}ka{\alpha } = m{\alpha },\;m = {(\eta \theta )^2}ka.\end{split}$

      (22)式中的角动量即绕光纤半径为$\rho $的轨道角动量. 线偏振光的方向为副法线$\gamma $方向, 角动量方向即切线$\alpha $方向. 关于OAM光纤输出的检测, 采用衍射法检测涡旋光相位, 即用显微镜观察光纤端面的相位分布[27].

      现考虑线偏振光沿着光纤从切线方向输出观察它的衍射图. 当然衍射屏与输出端面有一定的距离. 输出点选在$\theta = {\theta _0}$左边为绕圆柱体的轨道, 输出点选在$\theta = {\theta _0}$右边为直线轨道. 在$\theta = {\theta _0}$两侧轨道角动量${{L}_\alpha }/\hbar $是连续的,

      $\begin{split}{{L}_\alpha }/\hbar\; & = {(\eta \theta )^2}ak{\alpha } = \int_0^\theta {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}} {(\eta \theta )^2}ak{\alpha }{\rm{d}}\theta \\ & = \int_0^{{\theta _{\rm{0}}}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\theta }}} {(\eta \theta )^2}ak{\alpha }{\rm{d}}\theta = {(\eta {\theta _{\rm{0}}})^2}ak{\alpha }.\end{split}$

      将(23)式应用于${\theta _0}$的两侧, 当$\theta > {\theta _0}$时, 这段变为直线$a = 0$, 故沿直线轨道传输的光纤的轨道角动量${{{{L}_{\rm{\alpha }}}}/\hbar }$即(22)式所示.

      光纤绕圆柱体传输是指主光线, 光纤直径不变, 光波在光纤内传输, 都是按照Bessel光束传输. 但是在直线光纤输出, 所以只须考虑直线光纤Bessel光束就可以了. 光纤内的波面输出截面近似为平面波. 圆柱型轨道光纤过渡到直线轨道光纤后, 直线光纤内光场的解析解可表示为${{\rm{J}}_m}({{{s_n}r}/\rho }){{\rm{e}}^{{\rm{i}}m\theta }}$, ${s_n}$为Bessel函数的零点, 当$r = \rho $时, 光场为零. 当$\rho \gg \lambda $时, 光场在截面的分布可近似为${{\rm{J}}_m}({{{s_n}r}/\rho }){{\rm{e}}^{{\rm{i}}m\theta }} $$ \cong {{\rm{e}}^{{\rm{i}}m\theta }} $, 由截面点$(r\cos [\theta ], r\sin [\theta ])$至像面p$(w\cos [\varphi ], w\sin [\varphi ])$的衍射积分可写为[28]

      $\begin{split} U(p)\; & = \int_0^\rho \left( {\int_0^{2{\text{π}} } {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left\{ {\frac{{2{\text{π}} rw}}{{\lambda l}}\cos [\theta - \varphi ] + {\rm{i}}m\theta } \right\}}}r{\rm{d}}r{\rm{d}}\theta } } \right)\\ & = \int_0^\rho {{{\rm{J}}_m}} \left( {\frac{{2{\text{π}} rw}}{{\lambda l}}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{i}}m\varphi }}r{\rm{d}}r.\end{split} $

      $m = 0$时, 便是Airy积分

      $\begin{split} & U(p) = \int_0^\rho {{{\rm{J}}_0}} \left( {\frac{{2{\text{π}} rw}}{{\lambda l}}} \right)r{\rm{d}}r = \frac{{{{\rm{J}}_1}(\kappa )}}{\kappa },\\ & \kappa = \frac{{2{\text{π}} \rho w}}{{\lambda l}},\;w = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\end{split}$

      式中l表示光纤截面至像面的距离, x, y分别表示光纤截面至像面的坐标. $\kappa = 1.22{\text{π}}$对应像面第一个零点, 即${{2{\text{π}}\rho w}/{(\lambda l}}) = 1.22{\text{π}}$, 故第一个暗斑位于${w/l} = 0.6{\rm{1}}{\lambda/\rho }$. 当${\lambda/\rho } = {\rm{0}}{\rm{.1}}$时, 有${w/l} = 0.06{\rm{1}}$. 图3图4${w/l} = 0.06{\rm{1}}\sqrt {{x^2} + {y^2}} $, m = 0, 1, 2, 4, 16的衍射图. 图3为直线光纤, 光场分布是Airy斑, 即圆孔衍射斑.

      图  3  直线光纤传播, 光场分布是圆孔衍射斑

      Figure 3.  There is no higher-order OAM mode in the cross section of the optical fibers propagating in a straight line, and the optical field distribution is a circular aperture diffraction spot.

      图  4  圆柱形光纤传播有高阶OAM模式 (a) $m = {\rm{1}}$; (b) $m = {\rm{2}}$; (c) $m = {\rm{4}}$; (d) $m = {\rm{16}}$

      Figure 4.  The optical fiber cross section propagating in cylin-drical shape has a high-order OAM mode with: (a) $m = {\rm{1}}$; (b) $m = {\rm{2}}$; (c)$m = {\rm{4}}$; (d) $m = {\rm{16}}$.

      图4可以看出: 圆柱型传播的光纤截面有高阶OAM模式, 光场分布呈现涡旋特征. 当m = 2时, 圆环的内环很小, 随着m逐渐增大到4, 圆环的内环逐渐增大, 整个光束的半径也逐渐增大; 当m较小时, 输出的光束体现出一定的均匀性与对称性; 当m逐渐增加到16时, 输出的光束体现出一定的不均匀性与不对称性. 这区别于一般利用LG光束来实现涡旋光的方法, 因为LG光束主光线是走直线的. 而我们是利用主光线不走直线而是走曲线得到的OAM, 最终实现高$m\hbar $的涡旋光.

    • 如果光线不是沿着z方向传输而是沿一条曲线传输, 研究光纤在圆柱螺旋波导中的传播. 利用微分几何关系从理论上验证了当光纤在以a为半径的圆柱面上绕行时可以获得携带高阶OAM模式的涡旋光束的设想. 当$\theta = {\theta _0}$时, 直线传播的光纤截面无高阶OAM模式, 光场分布是Airy斑, 即圆孔衍射斑. 当$\theta > {\theta _0}$时, 圆柱形传播的光纤截面有高阶OAM模式, 光场分布呈现涡旋特征. 采用化学气相沉积法和旋转拉丝工艺研制光纤, 并将其绕成抗扰动性强的光纤螺线环, 用于产生高阶OAM模式的光束. 进一步探索OAM光束的产生效率和纯度、OAM光束模斑大小和拓扑荷数以及光纤螺线环的结构参数与OAM模式数之间的关系. 在此基础上, 可以进一步研究光纤芯径、光纤缠绕圈数和螺距、圆柱形传播的光纤截面的光场分布以及光纤高阶非线性色散效应等参数对携带空间信息的高阶OAM模式传输特性的影响.

参考文献 (28)

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