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利用双色激光场下阈上电离谱鉴别H32+ 两种不同分子构型

周旭聪 石尚 李飞 孟庆田 王兵兵

利用双色激光场下阈上电离谱鉴别H32+ 两种不同分子构型

周旭聪, 石尚, 李飞, 孟庆田, 王兵兵
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  • 我们最近证明, 利用红外和深紫外双色激光场, SF6分子的结构信息可以通过其电离谱上的相干条纹获得[arXiv,1912.08499(2019)]. 在本文中, 我们利用该方法考察了两种不同几何结构的分子离子H32+ 在激光场中的直接阈上电离(ATI)过程. 通过与单色激光场中电离谱的比较发现, 双色激光场的电离谱可以分辨分子的不同几何结构. 由相干条件导出的公式可以很好地解释直接ATI动能谱和动量谱中的干涉条纹. 此外, 还发现通过改变分子核间距或改变激光强度可以改变电离谱的形状. 由此可以推断, 双色激光场诱导的ATI谱具有鉴别分子不同构型的能力, 对复杂分子的几何结构成像具有一定的参考意义.
      通信作者: 王兵兵, wbb@aphy.iphy.ac.cn
    • 基金项目: 国家级-国家自然科学基金(11474348)
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    Zhang K, Chen J, Hao X L, Fu P, Yan Z C, Wang B, 2013 Phys. Rev. A. 88 043435

  • 图 1  H32+分子的几何构型 (a)线形构型; (b)三角形构型. 核间距为r0 = 2.0 a.u.

    Fig. 1.  Geometrical configurationof H32+ at internuclear distance r0 = 2.0 a.u.: (a) Linear molecule; (b) triangular molecule.

    图 2  在单色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子角分辨直接ATI能谱 (a)线形; (b)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u.

    Fig. 2.  Angle-resolved direct ATI spectra of H32+molecular ions at internuclear distance r0 = 2.0 a.u. by monochromatic linearly polarized laser fields: (a) Linear; (b) triangular.

    图 3  在双色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子角分辨直接ATI能谱 (a)线形; (b)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u., ${t_{c{q_2}}} = {\omega _1}{t_0} ({q_2} = 1, 2)$

    Fig. 3.  Angle-resolved direct ATI spectra of H32+molecular ions at internuclear distance r0 = 2.0 a.u. by bichromatic linearly polarized laser fields: (a) Linear; (b) triangular. Here, ${t_{c{q_2}}} = {\omega _1}{t_0} ({q_2} = 1, 2)$.

    图 4  在双色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子在XZ平面的动量谱 (a)线形; (b)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u.

    Fig. 4.  The direct ATI momentum spectra of H32+molecular ions at internuclear distance r0 = 2.0 a.u. by bichromatic linearly polarized laser fields: (a) Linear; (b) triangular.

    图 5  在双色线性偏振激光场下两种几何构型的H32+分子不同的核间距条件下角分辨直接ATI能谱 (a−c)线形; (b−f)三角形. (a), (d)核间距为r0 = 1.0 a.u., (b), (e)核间距为r0 = 2.0 a.u., (c), (f)核间距为r0 = 3.0 a.u.

    Fig. 5.  Angle-resolved direct ATI spectra for linear (a−c) and triangular (b−f) H32+molecular ions by bichromatic linearly polarized laser field with r0 = 1.0 a.u. (a, d), r0 = 2.0 a.u. (b, e), r0 = 3.0 a.u. (c, f).

    图 6  在双色线性偏振激光场下两种几何构型的H32+分子不同激光强度条件下角分辨直接ATI能谱 (a−c)线形; (b−f)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u., (a), (d)激光强度为${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{12}}$ W/cm2, (b), (e)${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{13}}$ W/cm2, (c), (f)${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{14}}$ W/cm2

    Fig. 6.  Angle-resolved direct ATI spectra for linear (a−c) and triangular (b−f) H32+molecular ions with r0 = 2.0 a.u. by bichromatic linearly polarized laser fields. The intensity of laser fields are${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{12}}$ W/cm2 (a, d), ${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{13}}$ W/cm2 (b, e), ${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{14}}$ W/cm2 (c, f), respectively.

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-01-03
  • 修回日期:  2020-02-11

利用双色激光场下阈上电离谱鉴别H32+ 两种不同分子构型

  • 1. 山东师范大学物理与电子科学学院, 济南 250358
  • 2. 中国科学院物理研究所, 光物理实验室, 北京 100190
  • 3. 中国科学院大学, 北京 100049
  • 通信作者: 王兵兵, wbb@aphy.iphy.ac.cn
    基金项目: 国家级-国家自然科学基金(11474348)

摘要: 我们最近证明, 利用红外和深紫外双色激光场, SF6分子的结构信息可以通过其电离谱上的相干条纹获得[arXiv,1912.08499(2019)]. 在本文中, 我们利用该方法考察了两种不同几何结构的分子离子H32+ 在激光场中的直接阈上电离(ATI)过程. 通过与单色激光场中电离谱的比较发现, 双色激光场的电离谱可以分辨分子的不同几何结构. 由相干条件导出的公式可以很好地解释直接ATI动能谱和动量谱中的干涉条纹. 此外, 还发现通过改变分子核间距或改变激光强度可以改变电离谱的形状. 由此可以推断, 双色激光场诱导的ATI谱具有鉴别分子不同构型的能力, 对复杂分子的几何结构成像具有一定的参考意义.

English Abstract

    • 因为成像分子的几何结构能够帮助我们更直观的去理解微观世界, 从而促进了物理化学、材料科学和生物科学的发展, 对于科学家而言探测分子的内部结构一直以来是比较重要的研究课题. 然而, 与原子相比, 分子内部结构相对来说更为复杂, 通过普通的实验方法来获取它的结构信息是困难的. 随着激光技术的发展, 尤其是超强超快激光的出现, 为研究相关的超快动力学过程提供了一种前所未有的探测工具. 在最近几十年, 利用飞秒超快激光激发分子产生许多强场高阶非线性超快现象, 比如阈上电离(ATI)[1,2], 高阶阈上电离(HATI)[3-6], 高次谐波(HHG)[7,8]和非序列双电离(NSDI)[9,10]等等. 因为在这些过程中被激发的分子能够发射出与他们的内部结构相关的光谱或电子谱, 故通过提取这些光谱或电子谱我们能够对分子结构进行成像.

      最近, Meckl等[11]测量了在线偏振激光场下N2和O2分子的隧穿电子和弹性散射电子的三维动量谱, 并且获取了有关分子电子轨道和核位置的相关信息. Huisman等[12]通过利用直接电离和散射电子波包之间的干涉提出对分子外部轨道全息成像的方案. H32+作为最简单的三原子分子离子, 无论是在理论上还是实验上, 它的外场动力学已经被广泛地研究. Lötstedt 等[13]通过改变激光脉冲的载波包络相位来选择H32+解离之后最终与电子结合的质子. 元凯军等[14]利用双色圆偏振阿秒UV激光脉冲对H32+分子的多中心光电离过程进行研究, 发现在分子框架下的光电子动量分布的干涉图案能够反映电场的螺旋和对称性.

      上述大多数研究都是基于时域理论, 它所需要的计算时间比较长. 最近, 我们基于频域理论考察了双色激光场下利用ATI谱对复杂的SF6分子进行成像, 并得到该分子的键长信息[15]. 频域理论是基于非微扰量子电动力学的方法, 首次被郭东升等[16]提出, 随后被成功运用到HHG[17]、HATI[18-19]及NSDI[20]过程中. 尤其, Fu等[21]利用高次谐波产生过程证明了在强场物理中时域和频域理论之间的对应关系. 这里, 我们将利用该方法来探索在强激光场下对H32+两种不同的几何结构进行成像.

      在本文中, 我们主要关注直接ATI过程[22,23]. 首先, 给出H32+的两种几何构型, 见图1, 其中图1(a)表示的是线形构型, 图1(b)表示的三角形构型. 然后, 得到在单色激光场下H32+分子的直接ATI角分辨能谱, 并分析了两种构型下的能谱特点. 之后, 我们在单色激光的基础上增加了一束线偏振激光, 研究H32+分子在双色激光场下的直接ATI谱, 发现不同分子构型存在不同的干涉条纹, 并详细给出了干涉条纹的原因. 此外, 我们通过改变激光场的强度和核间距比较了H32+分子的三角形构型和线形构型的角分辨光电子能谱的不同. 最后, 我们给出了结论, 在双色激光场下的直接ATI能谱拥有鉴别H32+不同分子构型的能力, 这将对复杂分子的结构成像具有一定的参考意义.

      图  1  H32+分子的几何构型 (a)线形构型; (b)三角形构型. 核间距为r0 = 2.0 a.u.

      Figure 1.  Geometrical configurationof H32+ at internuclear distance r0 = 2.0 a.u.: (a) Linear molecule; (b) triangular molecule.

    • 我们考虑H32+分子在线偏振激光场下的电离过程中, 其中激光场的偏振方向是沿着Z轴. 这里我们使用的是原子单位且分子-光子体系是独立和能量守恒的, 三原子分子与激光体系的哈密顿量可以写为

      $H = {H_0} + U + V,$

      其中, ${H_0} = \dfrac{{{{\left( { - {\rm{i}}\nabla } \right)}^2}}}{2} + \omega {N_a}$表示的是电子-光子能量算符, ${N_{{a_{}}}}$表示的频率为$\omega $的激光场的光子数算符${N_a} = \dfrac{1}{2}({a^ + }a + a{a^ + })$, 这里的$a$ and ${a_{}}^ + $表示的是光场的湮灭和产生算符. U代表了分子的库仑势, 电子和光子的相互作用势V可以表示为

      $V = - \frac{1}{2}[\left( { - {\rm{i}}\nabla } \right) \cdot {{A}}({{r}}) + {{A}}({{r}}) \cdot \left( { - {\rm{i}}\nabla } \right)] + \frac{{{{A}}{{({{r}}{\rm{)}}}^2}}}{2},$

      其中: ${{A}}({{r}})$为激光场矢势, 表示为${{A}}({{r}}) =$$ g(\hat {{\varepsilon}} {{\rm{e}}^{i{{k}} \cdot {{r}}}}a + c.c.)$, $g = {(2\omega {V_\gamma })^{ - 1/2}}$, ${V_\gamma }$为光场的归一化体积. 光场的偏振矢量定义为$\hat {{\varepsilon}} = {\hat {{\varepsilon}} _x}\cos (\xi /2) +$$ i{\hat {{\varepsilon}} _y}\sin (\xi /2) $, 其中$\xi $表示激光场的偏振度, 比如$\xi = {\text{π}}/2$对应的是圆偏振, $\xi = 0$对应的是线偏振[24].

      体系的初态可以表示为$\left| {{\psi _{\rm{i}}}} \right\rangle = {\varPhi _{\rm{i}}}({{r}}) \otimes \left| {{n_{\rm{i}}}} \right\rangle $, 对应于哈密顿量$H{}_0 + U$的本征态, 其本征能量为${E_{\rm{i}}} = - {E_{\rm{B}}} + \left({n_{\rm{i}}} + \dfrac{1}{2}\right)\omega $, 其中${\varPhi _{\rm{i}}}({{r}})$表示的是具有结合能${E_{\rm{B}}}$的分子电子的基态波函数, $\left| {{n_{\rm{i}}}} \right\rangle $表示的是光场的Fock 态. 体系的末态可以表示为$\left| {{\psi _{\rm{f}}}} \right\rangle = \left| {{\psi _{{{{P}}_{\rm{f}}}, n}}_{_{\rm{f}}}} \right\rangle $, 用量子化的Volkov 态来表示, 它可以表示为[25]

      $\begin{split}\left| {{\psi _{{{{P}}_{\rm{f}}},{n_{\rm{f}}}}}} \right\rangle =\;& {V_{\rm{e}}}^{ - 1/2}\mathop \sum \limits_{j = - {n_{\rm{f}}}}^\infty {\rm{e}}^{i[{{{p}}_{\rm{f}}}{\rm{ + (}}{u_{\rm{p}}} - j){{k}}] \cdot {{r}}}\\ & \times{{\rm{J}}_j}{({\zeta _{\rm{f}}},\eta,{\phi _\xi })^*}{\rm{e} ^{ - ij({\phi _\xi } + \frac{\theta }{2})}}\left| {{n_{\rm{f}}} + j} \right\rangle,\end{split}$

      其中: ${V_{\rm{e}}}$表示的是归一化体积; ${{{p}}_{\rm{f}}}$为电离电子的末态动量; ${u_{\rm{p}}} = {U_{\rm{p}}}/\omega $, 其中${U_{\rm{p}}}$表示在激光场中电子的有质动力势能; ${{k}}$为激光场的光子动量. 末态的总能量为${E_{{{{P}}_{\rm{f}}}, {n_{\rm{f}}}}} = \dfrac{{{{{P}}_{\rm{f}}}^2}}{2} + \left({n_{\rm{f}}} + \dfrac{1}{2}\right)\omega + {u_{\rm{p}}}\omega $, 其中${n_{\rm{f}}}$表示激光场的光子数. 广义贝塞尔函数${{\rm{J}}_j}({\zeta _{\rm{f}}}, \eta, {\phi _\xi })$可以表示为

      ${{\rm{J}}_j}({\zeta _{\rm{f}}},\eta,{\phi _\xi }) = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{J_{ - j - 2m}}({\zeta _{\rm{f}}}){J_m}(\eta )} {{\rm{e}}^{2im{\phi _\xi }}},$

      其中,

      $\begin{aligned} &{\zeta _{\rm{f}}} = 2\sqrt {\frac{{{u_{{{\rm{p}}_{}}}}}}{{{\omega _1}}}} \left| {{{{p}}_{\rm{f}}} \cdot \hat \varepsilon } \right|,\;\;\eta = \frac{1}{2}{u_{\rm{p}}}\cos \xi,\\ &{\phi _\xi } = {\tan ^{ - 1}}[({P_z}/{P_x})\tan (\xi /2)],\end{aligned}$

      ${P_z}({P_x})$表示动量在Z(X) 轴上的分量. 因此, 在单色激光场下的直接ATI的跃迁矩阵元能够被写成

      ${T_{\rm{d}}} = \left\langle {{\psi _{\rm{f}}}\left| V \right|{\psi _{\rm{i}}}} \right\rangle = {V_{\rm{e}}}^{ - 1/2}{\rm{[(}}{u_{\rm{p}}} - j)\omega ]{{\rm{J}}_j}({\zeta _{\rm{f}}},\eta,{\phi _\xi }){\varPhi _{\rm{i}}}({{{P}}_{\rm{f}}}),$

      其中$j = {n_{\rm{i}}} - {n_{\rm{f}}}$表示的是从激光场中吸收的光子数.

      上述公式都是基于单色激光场的情况. 当激光场变为双色激光场时, 哈密顿量仍然可以用$H = {H_0} + U + V$表示, 但在双色激光场条件下电子-光子能量算符变为

      ${H_0} = \frac{{{{\left( { - {\rm{i}}\nabla } \right)}^2}}}{2} + {\omega _1}{N_{{a_1}}} + {\omega _2}{N_{{a_2}}},$

      电子和激光的相互作用势变为

      $\begin{split}V =\;& - \frac{1}{2}\{ \left( { - {\rm{i}}\nabla } \right) \cdot [{{{A}}_1}({{r}}) + {{{A}}_2}({{r}})] + [{{{A}}_1}({{r}}) + {{{A}}_2}({{r}})] \\ & \times \left( { - {\rm{i}}\nabla } \right)\} + \frac{1}{2}[{{{A}}_1}{({{r}})^2} + {{{A}}_2}{({{r}})^2}].\\[-10pt] \end{split}$

      体系的初态变为$\left| {{\psi _{\rm{i}}}} \right\rangle = {\varPhi _{\rm{i}}}({{r}}) \otimes \left| {{l_1}} \right\rangle \otimes \left| {{l_2}} \right\rangle $, 末态变为

      $\begin{split} \left| {{\psi _{{{{P}}_{\rm{f}}}}}_{,{m_1},{m_2}}} \right\rangle = & {V_{\rm{e}}}^{ - 1/2}\exp [{\rm{i}}({{{P}}_{\rm{f}}} + {u_{{{\rm{p}}_1}}}{{{k}}_{{1}}} + {u_{{{\rm{p}}_2}}}{{{k}}_2}) \cdot {{r}}] \\ & \times \mathop \sum \limits_{{q_1} = - {m_1},{q_2} = - {m_2}}^\infty {\Im _{{q_1},{q_2}}}{(\zeta )^*} \\ & \times \exp \{ - {\rm{i}}[{q_1}({{{k}}_1} \cdot {{r}} + {\phi _1}) \\ & + {q_2}({{{k}}_2} \cdot {{r}} + {\phi _2})]\} \left| {{m_1} + {q_1},{m_2} + {q_2}} \right\rangle \end{split} .$

      最终, 在双色激光场条件下直接ATI跃迁矩阵元可以表示为[26]

      $\begin{split}{T_{\rm{d}}}& = \left\langle {{\psi _{\rm{f}}}\left| V \right|{\psi _{\rm{i}}}} \right\rangle \\ &= {V_{\rm{e}}}^{ - 1/2}[({u_{{{\rm{p}}_1}}} \!-\! {q_1}){\omega _1} \!+\! ({u_{{{\rm{p}}_2}}} \!- \!{q_2}){\omega _2}]{\Im _{{q_1},{q_2}}}({\zeta _{\rm{f}}}){\Phi _{\rm{i}}}({{{P}}_{\rm{f}}}), \end{split}$

      其中${q_1}$(${q_2}$) 表示从IR(XUV)激光场中吸收的光子数. 此时广义贝塞尔函数表示为

      $\begin{split}{\Im _{{q_1},{q_2}}}(\zeta ) =& \mathop \sum \limits_{{q_3}{q_4}{q_5}{q_6}} {J_{ - {q_1} + 2{q_3} + {q_5} + {q_6}}}\\ & \times({\zeta _1}){{\rm{J}}_{ - {q_2} + 2{q_4} + {q_5} - {q_6}}}({\zeta _2}){{\rm{J}}_{ - {q_3}}}({\zeta _3})\\ & \times{{\rm{J}}_{ - {q_4}}}({\zeta _4}){{\rm{J}}_{ - {q_5}}}({\zeta _5}){{\rm{J}}_{ - {q_6}}}({\zeta _6}), \end{split}$

      其中函数宗量为${\zeta _{}} \equiv ({\zeta _1}, {\zeta _2}, {\zeta _3}, {\zeta _4}, {\zeta _5}, {\zeta _6})$,

      $ \begin{split} &{\zeta _1} = 2\sqrt {\frac{{{u_{{{\rm{p}}_1}}}}}{{{\omega _1}}}} \left| {{{{p}}_{\rm{f}}} \cdot {{\hat \varepsilon }_1}} \right|,\; {\zeta _2} = 2\sqrt {\frac{{{u_{{{\rm{p}}_2}}}}}{{{\omega _2}}}} \left| {{{{p}}_{\rm{f}}} \cdot {{\hat \varepsilon }_2}} \right|,\\ & {\zeta _3} = \frac{1}{2}{u_{{{\rm{p}}_{\rm{1}}}}}\cos {\xi _1},\; {\zeta _4} = \frac{1}{2}{u_{{{\rm{p}}_{\rm{2}}}}}\cos {\xi _2},\\ & {\zeta _5} = 2\frac{{\sqrt {{u_{{{\rm{p}}_{\rm{1}}}}}{u_{{{\rm{p}}_{\rm{2}}}}}{\omega _1}{\omega _2}} }}{{{\omega _1} + {\omega _2}}},\; {\zeta _6} = 2\frac{{\sqrt {{u_{{{\rm{p}}_{\rm{1}}}}}{u_{{{\rm{p}}_2}}}{\omega _1}{\omega _2}} }}{{{\omega _1} - {\omega _2}}}. \end{split} $

      我们假设激光场的初始相位都为0°, 分子波函数是由氢原子1 s轨道的线性组合而成. 因此, 对于线形构型的分子而言, 在动量空间下的基态波函数表示为

      ${\varPhi _{{\rm{linear}}}}({{P}}) = {({\text{π}}\alpha )^{ - 3/4}}{C_1} {{\rm{e}}^{ - ({{{P}}^2}/2\alpha )}}[1 + 2\cos ({{{P}}_z} \cdot {r_0})],$

      其中, $\alpha = 2{E_{\rm{B}}}$. 而对于三角形构型的H32+, 动量空间的波函数为

      $\begin{split} {\varPhi _{{\rm{triangular}}}}({{P}}) =& {({\text{π}}\alpha )^{ - 3/4}}{C_2} {{\rm{e}}^{ - ({{{P}}^2}/2\alpha )}}\\ &\times{{\rm{e}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{6}i{{{P}}_z}{r_0}}}\left[\frac{1}{{{{\rm{e}}^2}}} + 2\cos ({{{P}}_x} \cdot {r_0})\right], \end{split}$

      其中, $\alpha = 2{E_{\rm{B}}}$, ${C_1}$${C_2}$分别为线形构型和三角形构型分子的原子轨道组合系数.

    • 图1表示H32+分子两种不同的几何构型. 对于线形构型而言, 3个原子都是沿着Z轴, 中间的原子位于坐标轴的原点. 而三角形构型是位于XZ平面, 其中, 一个原子位于Z轴, 剩余的两个原子之间的连线平行于X轴, 三角形分子的中心位于坐标原点. 这里, 我们假设在任意两个原子之间的核间距是保持不变的, 即r0 = 2.0 a.u..

      首先计算单色线偏振激光场下H32+分子的光电子角分辨的直接ATI能谱. 如图2所示, 横轴表示的是电离电子的出射方向与Z轴之间的夹角θf, 纵轴表示的是电离电子的动能. 分子的电离势为${E_{\rm{B}}} = 29.376$ eV, 激光场的频率为$\omega = 1.55$eV, 场强为$I = 1.0 \times {10^{13}}$W/cm2.

      图  2  在单色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子角分辨直接ATI能谱 (a)线形; (b)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u.

      Figure 2.  Angle-resolved direct ATI spectra of H32+molecular ions at internuclear distance r0 = 2.0 a.u. by monochromatic linearly polarized laser fields: (a) Linear; (b) triangular.

      图2中可以看出, 光谱是关于角度π/2对称的, 而且随着角度越靠近π/2处, 出射电子的能量变得越低. 仔细观察H32+分子两种不同构型下的ATI光谱没有发现形状上的不同. 这很容易理解, 因为ATI过程是多光子电离过程, 其中分子能够吸收多于它自身电离所需要的光子数. 在直接ATI过程中电子能够被直接电离而不发生回碰过程. 因此, 可以得出结论, 在单色线性偏振激光场下角分辨直接ATI能谱对分子的几何结构是不敏感的. 接下来, 将进一步研究在双色激光场下角分辨ATI能谱. 双色激光场的频率为${\omega _1} = 1.55$ eV, ${\omega _2} = 50{\omega _1}$, 场强为${I_1}{\rm{ = }}{I_2}{\rm{ = }}1.0 \times {10^{13}}$W/cm2.

      图3表示的是在双色线性激光场下两种不同几何构型的H32+分子的角分辨直接ATI能谱. 首先, 我们发现两种不同构型下的ATI光谱都呈现出两个关于π/2对称的平台结构, 其中, 第一个平台的电离几率要远大于第二个平台的电离几率. 每一个平台都有一定的宽度分布, 它是由贝塞尔函数${{\rm{J}}_{ - q1}}({\zeta _1}, {\zeta _3})$决定的, 可以表示为

      图  3  在双色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子角分辨直接ATI能谱 (a)线形; (b)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u., ${t_{c{q_2}}} = {\omega _1}{t_0} ({q_2} = 1, 2)$

      Figure 3.  Angle-resolved direct ATI spectra of H32+molecular ions at internuclear distance r0 = 2.0 a.u. by bichromatic linearly polarized laser fields: (a) Linear; (b) triangular. Here, ${t_{c{q_2}}} = {\omega _1}{t_0} ({q_2} = 1, 2)$.

      $\begin{split}{{\rm{J}}_{ - q1}}({\zeta _1},{\zeta _3}) =& \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2}{\rm{d}}t\exp \{ {\rm{i}}[{\zeta _1}\sin ({\omega _1}t)\\ & + {\zeta _3}\sin (2{\omega _1}t) + {q_1}{\omega _1}t]\} ,\end{split}$

      其中, $T = 2{\text{π}}/{\omega _1}$. ${q_1}$表示的是吸收的IR光子数. 另一方面, IR激光场可以看作是经典激光场, ${{{A}}_{{\rm{cl}}}}(t) = {\hat \varepsilon _1}{E_1}/{\omega _1}\cos ({\omega _1}t)$表示的是激光的矢势, ${E_1}$表示的是IR激光场的振幅, ${\hat \varepsilon _1}$表示的是激光偏振的方向. 因此, 电子在IR激光场的经典行为可以表示为

      $\begin{split} {S_{{\rm{cl}}}}({{{p}}_{\rm{f}}},t) =& \frac{1}{2}\int_0^t {{\rm{d}}{t'}} {[{{p}} + {{{A}}_{{\rm{cl}}}}({t'})]^2} \\ =& \left(\frac{1}{2}{{{p}}_{\rm{f}}}^2 + {U_{{\rm{p}}1}}\right)t + 2\sqrt {\frac{{{u_{{\rm{p}}1}}}}{{{\omega _1}}}} \sin ({\omega _1}t){{{p}}_{\rm{f}}} \\ &\times {{\hat \varepsilon }_1} + \frac{1}{2}{u_{{\rm{p}}1}}\sin (2{\omega _1}t),\\[-15pt] \end{split}$

      其中${U_{{\rm{p}}1}} = {E_1}^2/(4{\omega _1}^2)$表示的是电子在IR激光场的有质动力势. (13)式变为

      ${J_{ - q1}}({\zeta _1},{\zeta _3}) = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {{\rm{d}}t\exp \{ {\rm{i}}f(t)\} },$

      其中$f(t) = {S_{{\rm{cl}}}}({{{p}}_{\rm{f}}}, t) - ({q_2}{\omega _2} - {I_{\rm{p}}})t$. 利用鞍点近似, 鞍点${t_0}$满足${f^\prime }(t) = 0$, 由此得到能量守恒关系

      $\frac{1}{2}{[{{{p}}_{\rm{f}}} + {{{A}}_{{\rm{cl}}}}({t_0})]^2} = {q_2}{\omega _2} - {I_{\rm{P}}},$

      其中, ${q_2}$表示吸收的 XUV 光子数. 最终, 我们能够得到电离电子的最终能量为

      $\begin{split}{E_{\rm{f}}} =& \left[\sqrt {2{U_{{\rm{p}}1}}{{\cos }^2}({\omega _1}{t_0}){{(\cos {\theta _{\rm{f}}})}^2} + {q_2}{\omega _2} - {I_{\rm{P}}} - 2{U_{{\rm{p}}1}}}\right. \\ &- \left.\sqrt {2{U_{{\rm{p}}1}}} \cos ({\omega _1}{t_0})(\cos {\theta _{\rm{f}}})\right]^2.\\[-13pt]\end{split} $

      (17)式给出了不同的${q_2}$值的直接ATI能谱的开始曲线和截断曲线, 如图3中的实线所示. 另一方面, 对于H32+分子两种不同构型下的ATI能谱中存在不同的干涉条纹, 如图3所示. 通过仔细分析(8)式中的直接ATI跃迁矩阵元, 我们发现造成这些干涉条纹的主要原因是由于${\Phi _{\rm{i}}}({{{P}}_{\rm{f}}})$项的作用.

      接下来, 我们重点关注为(11)式和(12)式表示的不同构型的分子波函数. 对于线形构型的H32+而言, 在ATI能谱中的干涉条纹满足相消干涉条件, $1 + 2\cos ({{{P}}_z} \cdot {{{r}}_0}) = 0$, 也就是

      ${{{P}}_z} \cdot {{{r}}_0} = \frac{{2{\text{π}}}}{3} + 2n{\text{π}},{\text{或}}\frac{{4{\text{π}}}}{3} + 2n{\text{π}} , (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdot \cdot \cdot ). $

      因此, 电离电子的能量可以表示为

      $\begin{split} &E = \frac{{{{{P}}^2}}}{2} = \frac{{{{(\dfrac{{2{\text{π}}}}{3} + 2n{\text{π}})}^2}}}{{2 {{\cos }^2}\theta {r_0}^2}},{\text{或}}\dfrac{{{{\left(\dfrac{{4{\text{π}}}}{3} + 2n{\text{π}}\right)}^2}}}{{2 {{\cos }^2}\theta {r_0}^2}},\\ & (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots ). \end{split}$

      与线形分子类似, 当分子构型为三角形构型时, 干涉条纹曲线满足条件为

      $\frac{1}{{{{\rm{e}}^2}}} + 2\cos ({{{P}}_x} \cdot {{{r}}_0}) = 0,$

      电子的最终能量可以表示为

      $\begin{split}E =& \frac{{{{{P}}^2}}}{2} = \frac{{{{\left[\arccos\left( - \dfrac{1}{{2{e^2}}}\right) +2n{\text{π}}\right]}^2}}}{{2 {{\sin }^2}\theta {r_0}^2}}\\ & \times (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots). \end{split}$

      我们发现相消公式(17)式(如图3(a)中的黑色虚线所示)和(19)式(如图3(b)中的黑色虚线所示)得到的相干条纹与数值计算的ATI谱中的干涉条纹相符合.

      我们进一步计算了在双色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子在XZ平面的动量谱. 我们发现XZ平面的动量谱呈现两个半环状结构, 而且关于${{{P}}_z} = 0$对称. 其中, 内部的半环状结构的电离几率要大于外部半环状结构的电离几率. 除此之外, 对于不同的几何构型, 动量谱呈现出不同的干涉条纹形状. 为了解释其中的原因, 我们详细分析了不同的构型下的分子波函数.

      对于线形分子而言, (18)式满足干涉条件, 通过进一步推导, 我们能够给出电子动量在Z方向分量的干涉曲线公式${{{P}}_z} = \dfrac{{\text{π}}}{3}+n{\text{π}}, \dfrac{{2{\text{π}}}}{3}+n{\text{π}}(n = 0, $$ \pm 1, \pm 2, \cdots)$(如图4(a)中的黑色虚线所示), 它和干涉条纹符合得很好. 当H32+分子为三角形构型时, 通过推导(20)式可以得到${{{P}}_x} = \dfrac{{\arccos ( - 1/(2{{\rm{e}}^2}))}}{2}$ (如图4(b)中的黑色虚线所示), 可见干涉曲线与动量谱中的干涉条纹也是符合的. 另外, 当${{{P}}_x} = 2.8$a.u.时, 图4(a)图4(b)中的动量谱也存在干涉条纹, 这里的干涉条纹是来自原子本身, 与我们本文中所讨论的分子结构无关. 因此, 综上所述, 我们能够给出在直接ATI动量谱中的干涉条纹的预测公式.

      图  4  在双色线性偏振激光场下两种不同几何构型的H32+分子在XZ平面的动量谱 (a)线形; (b)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u.

      Figure 4.  The direct ATI momentum spectra of H32+molecular ions at internuclear distance r0 = 2.0 a.u. by bichromatic linearly polarized laser fields: (a) Linear; (b) triangular.

      在前文中, 我们已经推导出不同情况的干涉条纹公式, 现在我们改变分子的核间距和激光场的强度来观察ATI谱的变化. 如图5所示, 随着分子核间距的增大, 干涉曲线向下移动, 根据前文所得到的(18)式和(20)式很容易理解, 当核间距r0增大时, 为了满足干涉条件, Pz的值将变得更小. 另外, 根据(19)式和(21)式得到的干涉曲线公式去模拟不同核间距下ATI谱中的干涉条纹, 发现它们符合得很好. 图6表示的是在不同的激光强度条件下H32+分子两种不同的分子构型的角分辨直接ATI能谱. 研究发现, 随着激光强度的不断提高, 相干条纹的位置保持不变, 但是出射电子的能量因为XUV激光场的作用而变得更大. 正如我们所知道的, 在双色激光场的作用下, IR激光能够拓宽直接ATI谱的宽度, 而XUV激光能够提高分子的电离几率[24]. 通过以上的讨论, 我们发现根据满足干涉条件推导出的相消干涉公式能够描述ATI谱中的干涉条纹. 而且, 对于双色激光场下的角分辨直接ATI能谱, 它对分子的构型、分子之间的核间距以及激光场的强度都是很敏感的. 因此, 利用双色ATI能谱我们能够鉴别区分H32+分子的两种不同几何构型.

      图  5  在双色线性偏振激光场下两种几何构型的H32+分子不同的核间距条件下角分辨直接ATI能谱 (a−c)线形; (b−f)三角形. (a), (d)核间距为r0 = 1.0 a.u., (b), (e)核间距为r0 = 2.0 a.u., (c), (f)核间距为r0 = 3.0 a.u.

      Figure 5.  Angle-resolved direct ATI spectra for linear (a−c) and triangular (b−f) H32+molecular ions by bichromatic linearly polarized laser field with r0 = 1.0 a.u. (a, d), r0 = 2.0 a.u. (b, e), r0 = 3.0 a.u. (c, f).

      图  6  在双色线性偏振激光场下两种几何构型的H32+分子不同激光强度条件下角分辨直接ATI能谱 (a−c)线形; (b−f)三角形. 核间距为r0 = 2.0 a.u., (a), (d)激光强度为${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{12}}$ W/cm2, (b), (e)${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{13}}$ W/cm2, (c), (f)${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{14}}$ W/cm2

      Figure 6.  Angle-resolved direct ATI spectra for linear (a−c) and triangular (b−f) H32+molecular ions with r0 = 2.0 a.u. by bichromatic linearly polarized laser fields. The intensity of laser fields are${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{12}}$ W/cm2 (a, d), ${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{13}}$ W/cm2 (b, e), ${I_1} = {I_2} = 1.0 \times {10^{14}}$ W/cm2 (c, f), respectively.

    • 本文中, 我们从理论上分别研究了H32+分子两种不同几何构型在单色激光场和双色激光场下的角分辨直接ATI能谱, 针对不同的情况我们给出了详细的分析. 结果表明在双色线性偏振激光场下的直接ATI能谱相对于单色激光场下的直接ATI能谱对分子的几何结构更加敏感. 并且, 在双色激光场条件下, 直接ATI能谱针对不同的几何结构呈现出不同的干涉条纹. 我们利用鞍点近似给出了能谱中的每个平台的开始和截止曲线. 此外, 对于双色线偏振激光场, 我们推导出不同几何结构的角分辨直接ATI能谱的相干曲线公式, 并且相干公式携带了相关的分子结构的信息. 因此, 在双色激光场下的角分辨直接ATI能谱能够区分同一分子的不同几何结构, 这为将来成像大的复杂分子提供了一种新颖的工具.

参考文献 (26)

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