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交错跃迁Hofstadter梯子的量子流相

刘彪 周晓凡 陈刚 贾锁堂

交错跃迁Hofstadter梯子的量子流相

刘彪, 周晓凡, 陈刚, 贾锁堂
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  • 为玻色Hofstadter梯子模型引入交错跃迁, 来扩展模型支持的量子流相. 基于精确对角化和密度矩阵重整化群计算发现, 无相互作用时, 系统中包含横流相、涡旋相和纵流相; 横流相来自均匀跃迁时Hofstadter梯子模型的Meissner相, 纵流相是交错跃迁时才可见的流相. 强相互作用极限下系统的超流区也包含横流相、纵流相和涡旋相, 但存在更多的相变级数; 超流区的横流相、纵流相之间存在相变但Mott区的不存在, 把Mott区的“横、纵流相”称为Mott-均匀相, 在Mott区只存在均匀相和涡旋相. 跃迁的交错会压缩涡旋相存在的区域, 使Mott区最终只剩下均匀相; 跃迁的交错不仅能驱动Mott-超流相变, 还使磁通的改变也能够驱动系统的Mott-超流相变. 对这一系统的研究丰富了磁通系统中的量子流相, 同时为研究拓扑流特性提供了模型支持.
      通信作者: 周晓凡, xiaofanlaohu@163.com ; 陈刚, chengang971@163.com
    • 基金项目: 国家级-国家重点研发计划(2017YFA0304203)
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  • 图 1  哈密顿量中跃迁项示意图.

    Fig. 1.  Sketch of the hopping term of the Hamiltonian.

    图 2  (a) 用来识别相变的基态能导数的突变, 数据取自${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$; (b) 无相互作用相图; (c1)−(c3) 区分三种相的流图案. 图中箭头表示流, 点表示密度, 箭头的方向和粗细代表流的方向和强度, 点的大小表示密度的大小, 箭头的粗细和点的大小都已经除以当组最大的流或密度归一. 数据取自${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$, $\phi /{\text{π}} = $0.1, 0.6, 0.9, 精确对角化

    Fig. 2.  (a) Singularities in derivative of ground state energy indicate phase transitions. Data is from ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$; (b) phase diagram for non-interacting case; (c1)−(c3) the current pattern used to distinguish the 3 phases. Direction and thickness of an arrow indicate the direction and strength of the current on the plotted bond. The strengths are normalized by the strongest local current. The sizes of the points indicate the density strengths and are normalized by the largest density. The current patterns are from ED calculations for $\phi /{\text{π}} = 0.1, \;0.6, \;0.9$ when ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$.

    图 3  (a) 无相互作用时扫描$\phi $计算出的最近邻内积, 数据取自${t_1}/K = 1, \;{t_2}/K = 0.3$; (b) 保持${t_1}/K = 1$, 逐渐改变${t_2}/K$时, 横流相和纵流相的态和${t_1}/K = {t_2}/K = 1$时态的内积; (c) 一般的, 系统在$\phi = {\text{π}}$处整个流图案的流会逆转方向, 交错跃迁会让流换向以一阶相变的形式进行, 数据取自${t_1}/K = 1$

    Fig. 3.  (a) Nearest overlaps from ED calculations. Data is from ${t_1}/K = 1, {t_2}/K = 0.3$; (b) when ${t_1}/K = 1$, as ${t_2}/K$ decays, the overlap with ${t_1}/K = {t_2}/K = 1$ state decays from 1 smoothly; (c) generally all local currents in the system reverse sign in $\phi = {\text{π}}$. The staggered hopping makes the process the first order phase transition. Data is from ${t_1}/K = 1$.

    图 4  (a) ${t_1}/K = 1, {t_2}/K = 0.3$强相互作用极限(HCB)相图, $n = N/(2 L)$为填充; (b) 该相图中三个相对应的纠缠熵分布与拟合结果, $\phi /{\text{π}} = 0.3, 0.64, 0.8$分别取自横流相、涡旋相和纵流相. 散点是有限尺寸系统计算的纠缠熵(S), 实线和中心荷(c)是将散点用公式(7)拟合的结果. 交错跃迁导致了纠缠熵空间分布的起伏. 数据取自周期边界, $L = 64$, $N = 12$; (c) 横流相-纵流相相变时横向手性流和纵向手性流的突变, 突变后二者强弱交换; 数据取自$L = 64, N = 25$, 在手性流的计算中为了减小开边界带来的边界效应, 只截取了中间$L/2$部分; (d) 横流相-涡旋相-纵流相相变; 扫描$\phi $时, 最近邻内积进入涡旋相时会突变, 并且数值上类似于无相互作用时一样振荡; 数据取自$N = 4$

    Fig. 4.  (a) Phase diagram for HCB when ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$, $n = N/(2 L)$; (b) VN entropy and the corresponding fitted central charge for three phases in the phase diagram above. $\phi /{\text{π}} = 0.3, 0.64, 0.8$ are from horizontal current, vortex and vertical current phase respectively. The points are VN entropy data in PBC finite system. Solid lines and central charge are fitted from formula (7). The staggered hopping has made the VN entropy also staggered. Data is from $L = 64$, $N = 12$; (c) horizontal current phase to vertical current phase transition for$L = 64, N = 25$. The average horizontal current and average vertical current will swap their strong and weak relations in the transition point. In order to reduce the boundary effect in average currents, we used the$L/2$part in the middle of the ladder; (d) horizontal current to vortex and vortex to vertical current phase transition. The nearest overlap shows that in horizontal and vertical current phases the ground state changes smoothly, and numerically oscillates in the vortex phase. Data is from$N = 4$.

    图 5  (a) $n = 0.25$相图, ${t_1}/K = 1$, 虚线圈出的是vortex相; (b) 相图中均匀相与涡旋相是用量化的流的周期2不均匀性区分的, 数据取自${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.9$; (c) ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$$n = 0.25$ Mott线, 系统基态平缓地从横流相变成纵流相, 这个过程中流图案一直是周期为2

    Fig. 5.  (a) Phase diagram for$n = 0.25$filling when${t_1}/K = 1$; (b) the homogenous phase and vortex phase are distinguished from the inhomogeneity of densities and currents. Data is from ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.9$;(c) the $n = 0.25$ Mott line for ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$. The average vertical current surpasses the average horizontal current smoothly, during the process the current patterns have perfect periodicity of 2 and the density is homogenous.

    表 1  在有代表性的区域取点, 精确计算中心荷(c)来验证各个流相的存在, 系统取周期边界来减小纠缠熵振荡, $L = 64-100$, ${t_1}/K = 1$

    Table 1.  PBC central charges (c) are accurately checked in several points in typical regions, $L = 64-100$, ${t_1}/K = 1$.

    $\left( {{t_2}/K, \;\phi /{\text{π}}} \right)$Region in phase diagramc
    $0.9$$0.1$$\varDelta = 0$not vortex$1.00$
    $0.9$$0.8$$\varDelta = 0$vortex$2.00$
    $0.85$$0.5$$\varDelta > 0$not vortex$0.01$
    $0.85$$0.6125$$\varDelta > 0$vortex$0.98$
    $0.8$$0.975$$\varDelta = 0$not vortex$1.02$
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-25
  • 修回日期:  2020-02-10

交错跃迁Hofstadter梯子的量子流相

  • 1. 山西大学激光光谱研究所, 量子光学与光量子器件国家重点实验室, 太原 030006
  • 2. 山西大学, 极端光学协同创新中心, 太原 030006
  • 3. 山东师范大学物理与电子科学学院, 光场调控及应用中心, 济南 250358
  • 通信作者: 周晓凡, xiaofanlaohu@163.com ; 陈刚, chengang971@163.com
    基金项目: 国家级-国家重点研发计划(2017YFA0304203)

摘要: 为玻色Hofstadter梯子模型引入交错跃迁, 来扩展模型支持的量子流相. 基于精确对角化和密度矩阵重整化群计算发现, 无相互作用时, 系统中包含横流相、涡旋相和纵流相; 横流相来自均匀跃迁时Hofstadter梯子模型的Meissner相, 纵流相是交错跃迁时才可见的流相. 强相互作用极限下系统的超流区也包含横流相、纵流相和涡旋相, 但存在更多的相变级数; 超流区的横流相、纵流相之间存在相变但Mott区的不存在, 把Mott区的“横、纵流相”称为Mott-均匀相, 在Mott区只存在均匀相和涡旋相. 跃迁的交错会压缩涡旋相存在的区域, 使Mott区最终只剩下均匀相; 跃迁的交错不仅能驱动Mott-超流相变, 还使磁通的改变也能够驱动系统的Mott-超流相变. 对这一系统的研究丰富了磁通系统中的量子流相, 同时为研究拓扑流特性提供了模型支持.

English Abstract

    • 打破时间反演对称性的准一维梯子系统因其与量子霍尔效应[1]、拓扑绝缘体[2-4]间的联系, 并作为实现手性流[5]的最小系统, 近年来在凝聚态物理和冷原子量子模拟实验中备受关注. 冷原子实验中用超晶格、数码微镜分离[6]从高维晶格中分离晶格[7-13], 以及基于一维系统用原子内态构建人造维度来构建梯子系统[14-18]; 使用运动光场、激光辅助跃迁[7]或拉曼光驱动内态耦合[14]实现人造磁通[19], 以此来模拟磁场下的梯子系统. 实验中观察到手性边界态[15], 淬火演化中手性流的产生过程[7], 以及Meissner相到涡旋相的流相相变[8].

      Hofstadter梯子模型是描述准一维梯子晶格中均匀磁通下全同粒子物理的紧束缚模型. 作为Hofstadter模型[20-22]的准一维情形, 它能用研究一维系统的理论工具来求解, 以展示其强相互作用时的多体物理. 使用玻色化[23]解析方法和密度矩阵重整化群[24-26](DMRG)数值方法, 能展示Hofstadter梯子在玻色或费米强相互作用时会产生类似二维情形[27-30]的分数霍尔态[31-33]. 玻色强相互作用时, 除了超流区, 甚至Mott绝缘体也会产生Meissner和涡旋流相[34-36]. 流是系统存在磁通时出现的物理量, Meissner流以正对着相反的流出现在梯子的边界上, 涡旋流以局部旋涡的形式出现在梯子的内部和边界上, 两种流都具有手性来抵抗外磁场, 并在超导体中有对应的物理现象[37-39]. Meissner和涡旋流相存在于Hofstadter梯子的无相互作用、超流、Mott全部的相区中, 是模型中极为广泛的性质, 然而人们在Hofstadter梯子模型中对流相的研究仅限于这两种, 所以证明在Hofstadter梯子中引入交错跃迁能产生更丰富的流相, 从而为流相的广泛研究提供模型支持.

      交错跃迁是将Hofstadter梯子长方向的跃迁幅度从均匀的改成${t_1}, {t_2}$交错的(如图1), 把均匀跃迁改成交错跃迁来自SSH模型[40,41]的启发, 这样做能否在模型中产生新的拓扑效应还是未知的, 但能产生更多的流相却是已知的. 我们使用精确对角化[42]和密度矩阵重整化群理论地分析了${t_1} \geqslant {t_2}$无相互作用和强相互作用的情形, 观察到交错的跃迁强度会使Meissner相和涡旋相流的图案变形, 产生新的流图案, 结合相变行为分出的相区域, 将新的相叫作横流相、纵流相和涡旋相, 这些流相广泛存在于交错跃迁时的无相互作用和强相互作用超流区. 交错跃迁时Mott区的流相拥有很独特的流特征和相变特征, 将其称为Mott-均匀相, 通过探讨Mott-均匀相从均匀跃迁到交错跃迁的过渡过程, 发现交错跃迁对Mott相、超流相和涡旋相的存在都有显著影响.

      图  1  哈密顿量中跃迁项示意图.

      Figure 1.  Sketch of the hopping term of the Hamiltonian.

    • 交错跃迁的Hofstadter梯子的哈密顿量为

      $\begin{split} H =\;& - {t_1}\sum\limits_{l{\rm{odd}}} \left({{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{odd}} + 1;L}^ + {{{a}}_{l{\rm{odd}};L}}\right. \\ &+ \left.{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{odd}} + 1;R}^ + {{{a}}_{l{\rm{odd}};R}} + h.c.\right)\\ & - {t_2}\sum\limits_{l{\rm{even}}}\left({{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{even}} + 1;L}^ + {{{a}}_{l{\rm{even}};L}}\right. \\ &+ \left.{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{even}} + 1;R}^ + {{{a}}_{l{\rm{even}};R}} + h.c.\right)\\ &- K\sum\limits_l {\left( {{{a}}_{l;R}^ + {{{a}}_{l;L}} + h.c.} \right)} \\ & + \left( {U/2} \right)\sum\limits_l {\sum\limits_{u = L,R} {{{{n}}_{l;u}}\left( {{{{n}}_{l;u}} - 1} \right)} } . \end{split} $

      其中, a${{{a}}^ + }$为玻色产生湮灭算符; l为梯子横栏数; 下标$l{\rm{odd}}$, $l{\rm{even}}$分别为奇数、偶数横栏数. ${t_1}, {t_2}$为奇偶键的跃迁系数, ${t_1} = {t_2}$为均匀跃迁, ${t_1} \ne {t_2}$为交错跃迁, 均匀跃迁时模型为标准的Hofstadter梯子. 哈密顿量前三项为跃迁项(图1), 第四项为玻色排斥相互作用项.

      流是描述模型中各种相的关键物理量[33], (1)式中各个键上的流定义为

      $ \begin{split} & {{{{j}}_{l{\rm{odd}} + 1,l{\rm{odd}};L,L}} = {\rm{i}}{t_1}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{odd}} + 1;L}^ + {{{a}}_{l{\rm{odd}};L}} + h.c.,}\\ & {{{{j}}_{l{\rm{odd}} + 1,l{\rm{odd}};R,R}} = {\rm{i}}{t_1}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{odd}} + 1;R}^ + {{{a}}_{l{\rm{odd}};R}} + h.c.,}\\ &{{{{j}}_{l{\rm{even}} + 1,l{\rm{even}};L,L}} = {\rm{i}}{t_2}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{even}} + 1;L}^ + {{{a}}_{l{\rm{even}};L}} + h.c.,}\\ &{{{{j}}_{l{\rm{even}} + 1,l{\rm{even}};R,R}} = {\rm{i}}{t_2}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi /2}}{{a}}_{l{\rm{even}} + 1;R}^ + {{{a}}_{l{\rm{even}};R}} + h.c.,}\\ &{{{{j}}_{l,l;R,L}} = {\rm{i}}K{{a}}_{l;R}^ + {{{a}}_{l;L}} + h.c..}\\[-10pt] \end{split} $

      交错跃迁时模型中出现的相在腿间都会有流, 所以均匀跃迁时的腿间是否有流的分相依据不再适用, 需要使用流和密度空间分布均匀性来区分基态是否是涡旋态. 下面定义流的周期2不均匀性、密度不均匀性. 流图案沿着梯子长方向周期为2, 即在各个元胞中一样分布时周期2不均匀性为0, 密度在所有格点相等时密度不均匀性为0, 二者分别量化为

      $ \begin{split} & {\sum\limits_{u = L,R} {\left( {{\rm{var}} \{ \left\langle {{{{j}}_{l{\rm{odd}} + 1,l{\rm{odd}};u,u}}} \right\rangle \} + {\rm{var}} \{ \left\langle {{{{j}}_{l{\rm{even}} + 1,l{\rm{even}};u,u}}} \right\rangle \} } \right)} ,}\\ & {{\rm{var}} \{ \left\langle {{{{n}}_{l;u}}} \right\rangle \} .}\\[-10pt] \end{split} $

      其中$u = L, R$, ${\rm{var}} $是方差, $\{ \} $是集合. 流有为2的周期性的相被定义为流均匀的相, 密度全格点均匀的相定义为密度均匀的相, 这两个性质在系统中是共生的, 没有这两种均匀性的相则是涡旋相. 最后, 为了区分均匀相中存在的两种相, 还需要定义平均流, 分别为横向手性流${j_{c//}}$和纵向手性流${j_{c \bot }}$:

      $ \begin{split} {j_{c//}}\; &= \frac{1}{L}\left(\sum\limits_l {\left\langle {{{{j}}_{l + 1,l;L,L}}} \right\rangle } - \sum\limits_l {\left\langle {{{{j}}_{l + 1,l;R,R}}} \right\rangle }\right) \\ &= \frac{2}{L}\frac{{\partial \left\langle {{H}} \right\rangle }}{{\partial \phi }},\\ {j_{c \bot }}\; &= \frac{1}{L}\left( {\sum\limits_{l{\rm{odd}}} {\left\langle {{{{j}}_{l{\rm{odd}},l{\rm{odd}};R,L}}} \right\rangle } - \sum\limits_{l{\rm{even}}} {\left\langle {{{{j}}_{l{\rm{even}},l{\rm{even}};R,L}}} \right\rangle } } \right). \end{split} $

    • 无相互作用($U = 0$)时, 可以将哈密顿量(1)傅里叶变换到动量空间, 得到动量空间哈密顿量:

      $H = \sum\limits_k {{{a}}_k^ + {H_k}{{{a}}_k}} ,$

      (5)式中, ${{a}}_k^ + = \left( {{{a}}_{k;{\rm{odd}};L}^ +, {{a}}_{k;{\rm{even}};L}^ +, {{a}}_{k;{\rm{odd}};R}^ +, {{a}}_{k;{\rm{even}};R}^ + } \right)$, ${{a}}_{k;\sigma ;u}^ + = \left( {1/\sqrt M } \right)\sum\limits_{l\sigma } {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}kl}}{{a}}_{l\sigma ;u}^ + } $, $\sigma $${\rm{odd}}$${\rm{even}}$, uLR, M为元胞数,

      ${{{H}}_k} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{A_k}}&{ - K}&0 \\ {A_k^*}&0&0&{ - K} \\ { - K}&0&0&{{B_k}} \\ 0&{ - K}&{B_k^*}&0 \end{array}} \right), $

      其中${A_k} = - {t_1}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi /2}} - {t_2}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\phi /2}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}k}}$, ${B_k} = - {t_1}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\phi /2}} - $${t_2}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi /2}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}k}} $.

      根据基态能突变的相变行为(图2(a)), 可以将系统分为三个相: 横流相、涡旋相和纵流相, 分别对应最低能带最小值的不同k位置(图2(b)). 横、纵流态的流分布都具有2的周期, 体密度全格点均匀分布, 横流相横向的流强于纵向的流, 纵流相纵向的流强于横向的流; 涡旋相的流分布不具有为2的周期性(图2(c1)图2(c3)). 横流相和纵流相的基态不简并, 涡旋相的基态是二重简并的. 横流相到涡旋相的相变和纵流相到涡旋相的相变都是二阶相变, 其基态能对参数二阶导不连续. 能引起这些相变的, 可以是交错跃迁, 也可以是磁通$\phi $或者腿间跃迁系数K.

      图  2  (a) 用来识别相变的基态能导数的突变, 数据取自${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$; (b) 无相互作用相图; (c1)−(c3) 区分三种相的流图案. 图中箭头表示流, 点表示密度, 箭头的方向和粗细代表流的方向和强度, 点的大小表示密度的大小, 箭头的粗细和点的大小都已经除以当组最大的流或密度归一. 数据取自${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$, $\phi /{\text{π}} = $0.1, 0.6, 0.9, 精确对角化

      Figure 2.  (a) Singularities in derivative of ground state energy indicate phase transitions. Data is from ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$; (b) phase diagram for non-interacting case; (c1)−(c3) the current pattern used to distinguish the 3 phases. Direction and thickness of an arrow indicate the direction and strength of the current on the plotted bond. The strengths are normalized by the strongest local current. The sizes of the points indicate the density strengths and are normalized by the largest density. The current patterns are from ED calculations for $\phi /{\text{π}} = 0.1, \;0.6, \;0.9$ when ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$.

      横流相、涡旋相和纵流相之间的相变还可用最近邻内积$\left| {\left\langle {{{\psi _1}}} / {{{\psi _2}}} \right\rangle } \right|$来断定, 最近邻内积是数值上连续均匀扫描模型参数、计算基态时, 最相邻参数基态间内积的模(文中内积的模简称为内积). 如图3(a)所示, 发生相变时, 基态之间的最近邻内积也会突变, 系统进入涡旋相后最近邻内积会突变为0并振荡, 最近邻内积能找到和手性流计算能够得到一致的相变临界点. 此外, 内积能说明交错跃迁时态的起源. 接近Meissner的基态与Meissner态内积接近1而没有突变, 并且之后缓缓变小(图3(b)), 结合此时横向手性流的平缓变化, 说明此区域从${t_1} = {t_2}$${t_1} \ne {t_2}$没有相变, 横流相是均匀跃迁(${t_1} = {t_2}$)时的Meissner相渐变过来的. Meissner态连续变化的过程从观察到的流图案上可以理解为${t_2}$减小时通过梯子长方向的流受到阻隔, 为了依旧能抵抗外磁场, 流改从横栏间经过形成横流态. 同样的推理能说明纵流态是从均匀跃迁时$\phi = {\text{π}}$处的单个点渐变过来的, 但事实上这个态以前没有被关注过, 是交错跃迁(${t_1} \ne {t_2}$)扩大了其相区域才使我们注意到它. 另外, 磁通$\phi $经过${\text{π}}$时, 流的方向会反向翻转, 和均匀跃迁时的平缓过渡不同的是, 交错跃迁时的流反向过程是剧烈的一阶相变过程(图3(c)).

      图  3  (a) 无相互作用时扫描$\phi $计算出的最近邻内积, 数据取自${t_1}/K = 1, \;{t_2}/K = 0.3$; (b) 保持${t_1}/K = 1$, 逐渐改变${t_2}/K$时, 横流相和纵流相的态和${t_1}/K = {t_2}/K = 1$时态的内积; (c) 一般的, 系统在$\phi = {\text{π}}$处整个流图案的流会逆转方向, 交错跃迁会让流换向以一阶相变的形式进行, 数据取自${t_1}/K = 1$

      Figure 3.  (a) Nearest overlaps from ED calculations. Data is from ${t_1}/K = 1, {t_2}/K = 0.3$; (b) when ${t_1}/K = 1$, as ${t_2}/K$ decays, the overlap with ${t_1}/K = {t_2}/K = 1$ state decays from 1 smoothly; (c) generally all local currents in the system reverse sign in $\phi = {\text{π}}$. The staggered hopping makes the process the first order phase transition. Data is from ${t_1}/K = 1$.

    • 有相互作用时, 交错跃迁会产生更为丰富的多体物理效应. 使用DMRG方法计算强相互作用极限$U \to \infty $(hard core Boson, HCB)下系统的基态, 归纳其全部的量子相. 接下来先展示交错跃迁时的量子相, 再展示其中Mott区域独特的量子相从均匀跃迁到交错跃迁的过渡过程.

    • 选取${t_1}/K = 1, \;{t_2}/K = 0.3$来展示交错跃迁时的量子相, 相图见图4(a). 此情形下$n = 0.25$的倍数填充会产生Mott相, 其余填充为超流相. 超流相之中也分为横流相、纵流相和涡旋相, 对应流和密度的特征和无相互作用时一样. 超流区的中部出现了一个三相汇聚的区域, 靠近$n = 0$的区域横流相需通过涡旋相再到达纵流相, 接近$n = 0.25$的区域横流相直接相变成纵流相. 有趣的是, 横流相直接相变成纵流相的边界在数值上是一条很精确的直线, 此区域内不论填充是多少, 系统在相同的$\phi $处发生横流相-纵流相相变.

      图  4  (a) ${t_1}/K = 1, {t_2}/K = 0.3$强相互作用极限(HCB)相图, $n = N/(2 L)$为填充; (b) 该相图中三个相对应的纠缠熵分布与拟合结果, $\phi /{\text{π}} = 0.3, 0.64, 0.8$分别取自横流相、涡旋相和纵流相. 散点是有限尺寸系统计算的纠缠熵(S), 实线和中心荷(c)是将散点用公式(7)拟合的结果. 交错跃迁导致了纠缠熵空间分布的起伏. 数据取自周期边界, $L = 64$, $N = 12$; (c) 横流相-纵流相相变时横向手性流和纵向手性流的突变, 突变后二者强弱交换; 数据取自$L = 64, N = 25$, 在手性流的计算中为了减小开边界带来的边界效应, 只截取了中间$L/2$部分; (d) 横流相-涡旋相-纵流相相变; 扫描$\phi $时, 最近邻内积进入涡旋相时会突变, 并且数值上类似于无相互作用时一样振荡; 数据取自$N = 4$

      Figure 4.  (a) Phase diagram for HCB when ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$, $n = N/(2 L)$; (b) VN entropy and the corresponding fitted central charge for three phases in the phase diagram above. $\phi /{\text{π}} = 0.3, 0.64, 0.8$ are from horizontal current, vortex and vertical current phase respectively. The points are VN entropy data in PBC finite system. Solid lines and central charge are fitted from formula (7). The staggered hopping has made the VN entropy also staggered. Data is from $L = 64$, $N = 12$; (c) horizontal current phase to vertical current phase transition for$L = 64, N = 25$. The average horizontal current and average vertical current will swap their strong and weak relations in the transition point. In order to reduce the boundary effect in average currents, we used the$L/2$part in the middle of the ladder; (d) horizontal current to vortex and vortex to vertical current phase transition. The nearest overlap shows that in horizontal and vertical current phases the ground state changes smoothly, and numerically oscillates in the vortex phase. Data is from$N = 4$.

      有相互作用时可以用中心荷(central charge)识别不同的相. 中心荷描述了无能隙模式(gapless mode)的数目, 可以从基态的纠缠熵(Von Neumann entropy)分布中拟合得到[43-45], 为了减小纠缠熵的额外振荡对拟合效果的影响, 根据文献[46]将振荡解释为切割处的跃迁能量, 改进拟合公式:

      $\begin{split}S(j) =\; & \frac{c}{6}\ln \left[ {d(j)} \right] + A{t_j}\left\langle {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi /2}}{b_{L;j}}{b_{L;j + 1}}\right. \\ &+ \left.{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi /2}}{b_{R;j}}{b_{R;j + 1}} + h.c.\right\rangle + B,\end{split}$

      其中$d(j) = \left( {L/{\text{π}}} \right)\sin ({\text{π}}j/L)$, c为中心荷, $A, \;B$为待定常数, L为系统一分为二左边的长度, S为对应的纠缠熵, 开边界时公式的前导是$c/6$, 周期边界时是$c/3$. DMRG计算纠缠熵比计算局域量需要更大的态数(如开边界时态数达到了800); 模型中使用更大的系统尺寸能发现中心荷会趋于变成整数. 将DMRG得到的纠缠熵分布数据用上述公式拟合(如图4(b)), 得到超流区的横流相$c = 1$, 涡旋相$c = 2$, 纵流相$c = 1$, 这和均匀跃迁时超流-Meissner相$c = 1$, 超流-涡旋相$c = 2$的结果是类似的.

      超流区横流相-纵流相之间的相变和涡旋相到横、纵流相之间的相变呈现不同的相变类型. 横流相直接相变成纵流相时, 手性流(正比于基态能量的一阶导)会直接突变, 因此这是一阶相变(图4(c)); 进出涡旋相时, 系统会发生二阶相变. 不论Mott还是超流, 和无相互作用时一样, 在交错跃迁、$\phi $越过${\text{π}}$时的流换向都会以一阶相变的形式进行. 另外, 内积的计算表明, 超流-横流态是从超流-Meissner态平缓形变过来的. 但是纵流区靠近流换向相变处DMRG难以收敛, 涡旋相区域基态会振荡, 难以证明这两个相起源于均匀跃迁时的相.

      图4(a)的相图中, Mott和超流是通过在巨正则系综中扫描$n(u)$[36]得到的, $n = N/\left( {2 L} \right)$, u是化学势. 但交错跃迁时$n(u)$曲线不再有能识别相变的突变(cusp), 只能使用平均手性流或者最近邻内积(图4(d))得到各种流相的相边界, 后二者得到的相边界是一致的. 另外在$0.25 \leqslant n \leqslant 0.5$的区域内, 相和图4(a)中的相大致关于$n = 0.25$线镜像对称, 但相边界稍微有左移. 我们也对${t_1}/K = 1,$${t_2}/K = 0.5 $时的相图进行了同样的计算, 所得的相一致, 只是相边界有移动.

    • 接下来论述交错跃迁较强时的Mott相, 再展示其是如何从均匀跃迁时过渡而来的. 均匀跃迁时, Mott线出现在$n = 0.5$的整数倍填充上, 其$n = 0.5$ Mott线上存在Mott-Meissner相和Mott-涡旋相. 但交错跃迁时的Mott态与之相比很奇怪: ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$相图中$n = 0.25$ Mott线上不包含涡旋相, 和均匀跃迁时不同, 这条线上只存在一个相, 这个相中心荷为0, 流和密度均匀; 另外从流的图案和相变特征来看, 这个Mott相不分横、纵流相, 其基态从横流态不经相变地变成前面定义的纵流态(图5(c)), 这也和交错跃迁时的超流区不同, 令人不解. 因此改变${t_1}, {t_2}$的差, 观察这条Mott线是如何从均匀跃迁时转变过来的.

      图  5  (a) $n = 0.25$相图, ${t_1}/K = 1$, 虚线圈出的是vortex相; (b) 相图中均匀相与涡旋相是用量化的流的周期2不均匀性区分的, 数据取自${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.9$; (c) ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$$n = 0.25$ Mott线, 系统基态平缓地从横流相变成纵流相, 这个过程中流图案一直是周期为2

      Figure 5.  (a) Phase diagram for$n = 0.25$filling when${t_1}/K = 1$; (b) the homogenous phase and vortex phase are distinguished from the inhomogeneity of densities and currents. Data is from ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.9$;(c) the $n = 0.25$ Mott line for ${t_1}/K = 1$, ${t_2}/K = 0.3$. The average vertical current surpasses the average horizontal current smoothly, during the process the current patterns have perfect periodicity of 2 and the density is homogenous.

      转变过程涉及超流(SF)-Mott相变, 需要引入物理量电荷能隙$\varDelta $(chargegap), 电荷能隙是系统产生粒子-空穴对所需的能量[47], 超流-Mott相变能用电荷能隙是否为0展示. 在热力学极限下, 超流区电荷能隙为0, Mott区非0. 将有限尺寸DMRG得到的电荷能隙外推到热力学极限, 通过观察电荷能隙发现, 取$n = 0.25$填充, 系统在${t_1}, {t_2}$差别大时为Mott相, ${t_1}, {t_2}$差别小时为超流相, 交错跃迁的变强导致了超流到Mott的相变(图5(a)). 交错跃迁越强电荷能隙越大, 这和无相互作用时能带能隙的经验是一致的[48]. 是否是涡旋相是用第2节(3)式中流的周期2均匀性来衡量的(图5(b)). 涡旋相只存在于交错跃迁弱的区域, 而交错跃迁足够强, 如之前论述的${t_1}/K = 1, \;{t_2}/K = 0.3$时, 系统将不存在涡旋相. 尽管超流区中横、纵流相间以一阶相变分隔, 但在Mott区二者间不存在相变(如图5(c)), 所以将Mott区的这些均匀相称为Mott-均匀相.

      由于数值上难以用电荷能隙得到清晰的Mott-超流相边界, 进一步通过取散点计算中心荷来确定$n = 0.25$ Mott、超流模糊边界两边各种流相的存在. 我们发现$\varDelta $小的深处的均匀相$c = 1$, $\varDelta $大的深处的均匀相$c = 0$, $\varDelta $大的深处的涡旋相$c = 1$, $\varDelta $小的深处的涡旋相$c = 2$(表1), 这和均匀跃迁时的超流-Meissner、Mott-Meissner、Mott-涡旋相、超流-涡旋相的中心荷[36]规律—即各种流相在Mott中的中心荷比在超流中少1—是一致的. 系统在超流区存在横、纵流相, 涡旋相的基础上, 在Mott区额外分出了Mott-均匀, Mott-涡旋相. $n = 0.25$情形中, 交错跃迁弱时改变磁通$\phi $, 系统存在丰富的相变行为, 其中改变磁通能引起Mott-超流相变, 还是均匀跃迁时不存在的现象. 但交错跃迁强时, 系统就只剩下Mott-均匀相, 改变$\phi $不再产生相变了.

      $\left( {{t_2}/K, \;\phi /{\text{π}}} \right)$Region in phase diagramc
      $0.9$$0.1$$\varDelta = 0$not vortex$1.00$
      $0.9$$0.8$$\varDelta = 0$vortex$2.00$
      $0.85$$0.5$$\varDelta > 0$not vortex$0.01$
      $0.85$$0.6125$$\varDelta > 0$vortex$0.98$
      $0.8$$0.975$$\varDelta = 0$not vortex$1.02$

      表 1  在有代表性的区域取点, 精确计算中心荷(c)来验证各个流相的存在, 系统取周期边界来减小纠缠熵振荡, $L = 64-100$, ${t_1}/K = 1$

      Table 1.  PBC central charges (c) are accurately checked in several points in typical regions, $L = 64-100$, ${t_1}/K = 1$.

    • 研究交错跃迁时Hofstadter梯子模型的流相, 着重关注系统与均匀跃迁时的不同. 无相互作用时, 系统会产生横流相、纵流相、涡旋相三种相, 横流相、纵流相是跃迁变得交错的过程中态连续变化产生的. 强相互作用时超流区也分为这些相, 但拥有更丰富的相变类型; 以$n = 0.25$为例来展示交错跃迁时的Mott相, 发现涡旋相仅仅存在于交错跃迁弱的区域, 交错跃迁的变强会渐渐压缩涡旋相存在的区域, 导致最终产生的Mott区不包含涡旋相; 这个Mott区不存在相变来区分横流相、纵流相, 因此叫作Mott-均匀相; 交错跃迁除了本身能驱动Mott-超流相变外, 还使系统改变磁通时能驱动Mott-超流相变. 对这一模型的研究丰富了流相的种类, 为手性流的进一步的研究提供了基础.

参考文献 (48)

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