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一簇金刚石晶格上S 4模型的相变

尹训昌 刘万芳 马业万 孔祥木 闻军 章礼华

一簇金刚石晶格上S 4模型的相变

尹训昌, 刘万芳, 马业万, 孔祥木, 闻军, 章礼华
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出版历程
  • 收稿日期:  2018-07-07
  • 修回日期:  2018-11-29
  • 上网日期:  2019-08-27
  • 刊出日期:  2019-02-01

一簇金刚石晶格上S 4模型的相变

  • 1. 安庆师范大学物理与电气工程学院, 安庆 246011
  • 2. 曲阜师范大学物理工程学院, 曲阜 273165
  • 通信作者: 尹训昌, yxc0212@163.com ; 孔祥木, kongxm@mail.qfnu.edu.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11604002)、 安徽省自然科学基金 (批准号: 1708085MA10, 1808085MA20)和安徽高校自然科学重点项目(批准号: KJ2018A0366, gxyq2017027)资助的课题.

摘要: 采用重整化群和累积展开的方法, 研究了一簇金刚石晶格上${S^4}$模型的相变, 求得了系统的临界点. 结果表明: 当分支数$m \,= \,2$$m > {\rm{1}}2$时, 该系统只存在一个Gauss不动点${K^ * }\, =\, {b_2}/2$, $u_2^ * \,= \,0$; 当分支数${\rm{3}} \leqslant m \leqslant {\rm{1}}2$时, 该系统不仅有Gauss不动点, 还存在一个Wilson-Fisher不动点, 并且后一个不动点对系统的临界特性产生决定性的影响.

English Abstract

    • 相变是凝聚态物理学中的一个重要研究领域, 它是自然界中的一种普遍现象, 如人们熟知的水的气态和液态转变就属于相变. 根据自旋模型的自旋取值不同, 可分为离散型和连续型两种不同的模型. 离散模型只能取一些分离的有限数值, Ising模型和Potts模型是两种最有代表性的离散模型. 而连续模型则允许在整个实数空间取连续值, 如${S^4}$模型和Gauss模型. 起初人们主要研究具有平移对称性的平移对称晶格上自旋模型的相变, 随着研究的逐渐深入, 人们对具有高度自相似性的分形晶格产生了浓厚的兴趣. 20世纪80年代, Gefen等[14]率先研究了几种简单有规分形上离散模型的相变, 求得了一系列有意义的结论. 此后, 分形晶格上的相变问题得到了越来越多的重视, 出现了许多有趣的成果[521]. 1999年, 孔祥木等[13]研究了金刚石晶格(2DH)上Gauss模型的相变, 得到了该系统的临界点. 前人的研究发现: 分形晶格上的Ising模型只有当分形维数大于或等于2时才存在有限温度的相变; 分形晶格上的Gauss模型存在有限温度的相变, 临界点数值的变化依赖于分形维数; 分形晶格上${S^4}$模型总是存在一个Gauss不动点, Wilson-Fisher不动点是否出现主要取决于分形维数的数值. 本文主要研究具有m个分支数目的金刚石晶格(mDH)上${S^4}$模型的相变, 和Gauss模型相比较, ${S^4}$模型具有一个很大的优点, 即增加了一个表示四次方项的参数, 它更加接近自然界中的真实铁磁系统. 因此, 研究${S^4}$模型的相变问题可以更好地解释自然界中的相变. 采用实数空间重整化群变换并结合累积展开的方法, 我们研究了一簇金刚石晶格上${S^4}$模型的相变.

    • 为了便于理解, 我们以两个分支的金刚石晶格(2DH)为例阐述mDH的生成过程. 它的构造过程见图1, 先定义由两个格点和一个键组成的图形作为一个基元(即$n = 0$级), 再把6个基元依次排列形成一个生成元(即$n = 1$级), 然后生成元的每一个键再用生成元本身替换, 这样的步骤一直重复下去, 最后得到的晶格为金刚石晶格. 用同样的方法, 可以得到mDH晶格. 该晶格属于非均匀分形, 即格点上的配位数因格点的位置不同而不同. 它的分形维数和分岔度分别为${d_{\rm{f}}} = {\rm{1}} + \ln m/\ln {\rm{3}}$$R = \infty $. 本文研究的金刚石晶格本质上是由迭代产生的具有自相似性的分形晶格, 只不过从外形上看与金刚石的形状相类似, 我们形象地把它简称为金刚石晶格, 它不同于固体物理中的具有周期性的金刚石晶格.

      图  1  金刚石晶格的构造过程

      Figure 1.  Constructional procedure of diamond lattice.

      mDH晶格上${S^4}$模型的约化的有效哈密顿量为

      $H = K\sum\limits_{\left\langle { ij } \right\rangle } {{s_i}{s_j}} - \sum\limits_i {\frac{{{b_i}}}{2}s_i^2} - \sum\limits_i {{u_i}s_i^4} , $

      其中参数$K$表示格点自旋${s_i}$${s_j}$之间的约化相互作用, ${b_i}$表示格点$i$位置上的Gauss分布常数, 参数${u_i}$代表格点$i$位置上的四次方项相互作用. 为了求解此种晶格上的相变, 假设Gauss分布常数${b_i}$和四次方项相互作用${u_i}$取决于格点$i$的配位数${q_i}$, 即满足等式

      ${b_i}/{b_j} = {u_i}/{u_j} = {q_i}/{q_j}.$

    • 为了方便描述, 选取mDH晶格的生成元来说明重整化群过程(图2). 为了避免混淆, 重整化群变换前后的格点位置用不同的字母和数字来表示, 且每个格点上的配位数与格点的位置相关. 通过分析可知, ${q_a} = {m^n}$, ${q_b} = {\rm{2}}m$, ${q_i} = {q_{i'}} =2\;(i = i' =1,$$2, \cdots, m)$. 根据(1)式, 生成元的有效哈密顿量写为

      图  2  mDH晶格的重整化群过程

      Figure 2.  The renormalization group procedure of mDH lattice.

      $H = {H_0} + V, $

      其中

      $\begin{aligned} {H_0} =\; & K\sum\limits_{i = 1}^m {({s_i}{{s'}_i} + {s_a}{s_i} + {s_b}{{s'}_i})} - \dfrac{{{b_2}}}{2}\sum\limits_{i = 1}^m (s_i^2 + S_{i'}^{'2}) \\ &- \dfrac{{{b_{{m^n}}}}}{2} \frac{{s_a^2}}{{{m^{n - 1}}}} - \dfrac{{{b_{2m}}}}{2}\frac{{s_b^2}}{2}\\ & -{u_{{m^n}}}\dfrac{{s_a^4}}{{{m^{n - 1}}}} - {u_{2m}}\frac{{s_b^4}}{2}, \end{aligned}$

      $V = - {u_2}\sum\limits_{i = 1}^m {{\rm{(}}s_i^4 + s_i^{'4}{\rm{)}}} .$

      为了便于区分, (4)式中用${s'_a}$${s'_b}$分别表示图2中格点$a'$$b'$位置上的自旋变量, 通过一次重整化群变换消约掉内部格点$1,2, \cdots, m$$1',2',\cdots, m'$后, 系统的配分函数形式保持不变, 这个过程写为

      $\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } \exp (H) = P\exp (H'),$

      其中大写字母P表示一个与格点自旋无关的重整化群变换常数, 而$H'$则代表变换后的有效哈密顿量.

      为了方便计算, 把有效哈密顿量分解成${H_0}$$V$两个表达式, 并把表达式$V$看作${H_0}$的微扰进行计算. 根据正则系统配分函数的定义, 容易得到

      $Z = \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{d}}{s_a}{\rm{d}}{s_b}} \int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } {{\rm{e}}^{{H_0} + V}}.$

      下面定义部分迹$(PT)$

      $(PT) = \int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } {{\rm{e}}^{{H_0} + V}}.$

      重新改写(8)式为

      $\begin{aligned}(PT) & = \int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}\frac{{{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } }_2}{{\rm{e}}^{{H_0} + V}}}}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}}} \\ & = \int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s'}_i}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}{\left\langle {\left. {{{\rm{e}}^V}} \right\rangle } \right._0}, \end{aligned}$

      其中

      ${\left\langle \cdots \right\rangle _0} = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s}_i'}} } \left( \cdots \right){{\rm{e}}^{{H_0}}}}}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s}_i'}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}}}.$

      (10)式称为累积平均.

      因为$V$是一个十分小的微扰项, 做级数展开为

      ${\left\langle {{{\rm{e}}^V}} \right\rangle _0} = {{\rm{e}}^{{{\left\langle V \right\rangle }_0} + \left( {1/2} \right)(\left\langle {{V^2}} \right\rangle{_0} - \left\langle V \right\rangle _0^2) + \cdots }}.$

      把(11)式代入(9)式, 部分迹改写为

      $(PT) = \int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s}_i'}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}{{\rm{e}}^{{{\left\langle V \right\rangle }_0} + \left( {1/2} \right)({{\left\langle {{V^2}} \right\rangle }_0} - \left\langle V \right\rangle _0^2) + \cdots }}.$

      消约掉内部格点$1,2, \cdots, m$$1',2', \cdots, m'$的自旋后, 该系统的有效的哈密顿量重新写为

      $H' = \ln (PT) = {H'_0} + {\left\langle V \right\rangle _0} + \frac{1}{2}\Big({\left\langle {{V^2}} \right\rangle _0} - \left\langle V \right\rangle _0^2\Big).$

      根据 (12)式得到

      $\begin{split}{H'_0} & = \ln \left(\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s}_i'}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}\right) \\ & = {k_{11}}{s_a}{s_b} + {k_{12}}(s_a^2 + s_b^2) + {k_{13}}(s_a^4 + s_b^4),\end{split}$

      其中

      ${k_{{\rm{1}}1}} = \frac{{m{K^3}}}{{b_2^2 - {K^2}}},$

      ${k_{{\rm{1}}2}} = \frac{{m{b_2}(b_2^2 - 3{K^2})}}{{4({K^2} - b_2^2)}},$

      ${k_{{\rm{1}}3}} = - \frac{{m{u_2}}}{2}.$

      利用(5)式和(10)式, 计算得到

      $\begin{split} {\left\langle V \right\rangle _0} & = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s}_i'}} } \left( { - {u_2}\sum\limits_{i = 1}^m {(s_i^4 + s_i'^{4})} } \right){{\rm{e}}^{{H_0}}}}}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\prod\limits_1^m {{\rm{d}}{s_i}{\rm{d}}{{s}_i'}} } {{\rm{e}}^{{H_0}}}}}\\ & = {k_{21}}{s_a}{s_b} + {k_{22}}(s_a^2 + s_b^2) + {k_{23}}(s_a^4 + s_b^4) ,\end{split} $

      其中

      ${k_{{\rm{2}}1}} = - \frac{{24m{b_2}{K^3}(b_2^2 - {b_2}K){u_2}}}{{{{({b_2} - K)}^4}{{({b_2} + K)}^3}}},\quad\quad\quad $

      ${k_{{\rm{2}}2}} = - \frac{{{\rm{6}}m{K^2}(b_2^2 - {b_2}K)(b_2^2 + {K^2}){u_2}}}{{{{({b_2} - K)}^4}{{({b_2} + K)}^3}}},$

      ${k_{{\rm{2}}3}} = - \frac{{m{K^4}(b_2^4 + {K^4}){u_2}}}{{{{(b_2^2 - {K^2})}^4}}}.\quad \quad \quad\quad\quad $

      应用(5), (10)和(15)式, 可以得到

      ${\kern 1pt} \quad \frac{1}{2}(\left\langle {{V^2}} \right\rangle - \left\langle V \right\rangle _0^2) \!=\! {k_{{\rm{3}}1}}{s_a}{s_b} + {k_{{\rm{3}}2}}(s_a^2 + s_b^2) + {k_{{\rm{3}}3}}(s_a^4 + s_b^4), $

      式中

      $ \begin{array}{l} {k_{{\rm{3}}1}} = [{\rm{48}}m{K^3}(19b_2^6 - 38b_2^5K + 30b_2^4{K^2} - 22b_2^3{K^3} + 13b_2^2{K^4} - 4{b_2}{K^5} + 2{K^6})u_2^2]/[{({b_2} - K)^7}{({b_2} + K)^5}],\\ {k_{{\rm{3}}2}} = [24m{K^2}({\rm{8}}b_2^{\rm{7}} - {\rm{16}}b_2^{\rm{6}}K + {\rm{25}}b_2^{\rm{5}}{K^2} - {\rm{34}}b_2^{\rm{4}}{K^3} + {\rm{24}}b_2^{\rm{3}}{K^4} - {\rm{1}}4b_2^{\rm{2}}{K^5} + {\rm{7}}{b_2}{K^6})u_2^2]/[{({b_2} - K)^7}{({b_2} + K)^5}],\\ {k_{{\rm{33}}}} = [{\rm{1}}2m{b_2}{K^4}({\rm{7}}b_2^{\rm{6}} - {\rm{7}}b_2^5K + {\rm{4}}b_2^4{K^2} - {\rm{4}}b_2^3{K^3} + 1{\rm{7}}b_2^2{K^4} - {\rm{17}}{b_2}{K^5})u_2^2] /[{({b_2} - K)^7}{({b_2} + K)^5}]. \end{array} $

      通过 (13)—(16)式, 经过重整化群变换后, 得到系统的有效的哈密顿量为

      $\begin{aligned} H' =\, & ({k_{11}} + {k_{21}} + {k_{31}}){s_a}{s_b} + ({k_{12}} + {k_{22}} + {k_{32}}) \\ & \times (s_a^2 + s_b^2) + ({k_{13}} + {k_{23}} + {k_{33}}) \times (s_a^4 + s_b^4). \end{aligned}$

      为了满足重整化群变换前后系统的有效哈密顿量形势保持一致的特点, 对自旋变量进行重新标度, 定义${s'_i} = \xi {s_i}\;(i = a,b)$, 自旋变量重新标度后系统的有效哈密顿量为

      $\begin{split} H' =& K'{{s}_a'}{{s}_b'} - \frac{{{b_{{m^{n - 1}}}}}}{2}\frac{{s_a^2}}{{{m^{n - 1}}}} \\ &- \frac{{{b_2}}}{2}\frac{{s_b^2}}{2} - {{u}_{{m^{n - 1}}}'}\frac{{s_a^4}}{{{m^{n - 1}}}} - {{u}_2'}\frac{{s_b^4}}{2} \end{split}, $

      其中

      $\xi = \sqrt { - \frac{{\rm{4}}}{{{b_{\rm{2}}}}}({k_{12}} + {k_{22}} + {k_{32}})} ,$

      $K' = ({k_{11}} + {k_{21}} + {k_{31}})/{\xi ^2},\quad\quad\!\!$

      $u' = - 2({k_{13}} + {k_{23}} + {k_{33}})/{\xi ^4}.$

      (20)式和(21)式为该系统重整化群变换的递推关系.

    • 根据上面得到的递推关系, 通过计算得到下面的结果: 1)在mDH晶格的分支数表$m = 2$$m > {\rm{1}}2$两种情况下, 该晶格上的${S^4}$模型只存在一个不动点, 即Gauss不动点${K^ * } = {b_2}/2$, $u_2^ * = 0$; 2)当mDH晶格的分支数满足${\rm{3}} \leqslant m \leqslant {\rm{1}}2$时, 该晶格上的${S^4}$模型不但有Gauss不动点, 而且还发现一个Wilson-Fisher不动点, 不同的分支数m所对应的Wilson-Fisher不动点的数值如表1所列. 根据重整化群的标度变换理论, 可以计算出当分支数满足${\rm{3}} \leqslant m \leqslant {\rm{1}}2$时, Wilson-Fisher不动点附近关联长度的临界指数$\nu $的数值(表1).

      $m$${K^ * }/{b_2}$$u_2^ * /b_2^2$$\nu $
      3$0.484$$0.017$0.465
      4$0.508$$0.012$0.465
      5$0.515$$0.010$0.467
      6$0.518$$0.009$0.471
      7$0.520$$0.008$0.477
      8$0.521$$0.007$0.485
      9$0.521$$0.006$0.489
      10$0.520$$0.005$0.497
      11$0.517$$0.004$0.488
      12$0.512$$0.002$0.506

      表 1  mDH晶格上${S^4}$模型的Wilson-Fisher不动点和关联长度$\nu $的数值

      Table 1.  Wilson-Fisher fixed point of ${S^4}$ model on mDH lattices and the value of correlation length $\nu $.

    • 应用实空间重整化群和累积展开的方法, 研究了mDH晶格上${S^4}$模型的相变, 得到了如下结论: 1)当分支数$m = 2$$m > {\rm{1}}2$, 即分形维数${d_{\rm{f}}} = {\rm{1}}{\rm{.63}}$${d_{\rm{f}}} > {\rm{3}}{\rm{.26}}$时, 该系统只存在Gauss不动点${K^ * } = {b_2}/2$, $u_2^ * = 0$, 其临界点与该晶格上Gauss模型的临界点相同, 表明这两个系统属于同一个普适类; 2)当分支数符合${\rm{3}} \leqslant m \leqslant {\rm{1}}2$, 即分形维数${\rm{2}} \leqslant {d_{\rm{f}}} \leqslant {\rm{3}}{\rm{.26}}$时, 该晶格上的${S^4}$模型同时存在Gauss不动点和Wilson-Fisher不动点, 并且后一个不动点对系统的临界特性的影响起主导作用. 进一步研究发现, mDH晶格上${S^4}$模型的临界点的个数取决于分形维数, 这与平移对称晶格上的${S^4}$模型的相变依赖于空间维数十分类似.

参考文献 (21)

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