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环形势阱中自旋-轨道耦合旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态

李吉 刘斌 白晶 王寰宇 何天琛

环形势阱中自旋-轨道耦合旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态

李吉, 刘斌, 白晶, 王寰宇, 何天琛
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  • 研究了在环形势阱中自旋-轨道耦合旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态结构. 探索了自旋-轨道耦合作用和旋转效应对基态的影响. 结果发现, 在环形势阱下, 基态结构呈现环形分布的half-skyrmion链. 调节自旋-轨道耦合强度, 不仅可以改变体系内half-skyrmion数量, 而且能够调控half-skyrmion环形排列的对称性. 随着旋转频率增大, 体系从平面波相转化为环形对称排列的half-skyrmion链相, 最后过渡到三角格子的half-skyrmion相. 讨论了自旋相互作用和势阱形状对基态的影响. 自旋-轨道耦合强度和旋转频率作为体系的调控参数, 可用于控制不同基态相间的转化.
      通信作者: 何天琛, 471925407@qq.com
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  • 图 1  环形势阱中不同自旋-轨道耦合强度下铁磁87Rb BEC基态粒子数密度分布(第1, 2, 3列)和相位分布(第4, 5, 6列). 改变自旋-轨道耦合强度, 可以调控体系中half-skyrmion数量以及环形排列的对称性 (a) $\kappa = 0.4$; (b) $\kappa = 0.8$; (c) $\kappa = 1.2$; (d) $\kappa = 3$. 该图其余模拟参数选为${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.2$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$ω = 2π × 250 Hz

    Fig. 1.  Ground state of the rotating ferromagnetic BEC of 87Rb for the different spin-orbit coupling strengths under the toroidal trap. The first, second and third columns show the particle number densities. The fourth, fifth and sixth columns show phase distributions. Changing the strength of spin-orbit coupling can control the number of half-skyrmion in the system and the symmetry of half-skyrmion with circular distribution. The parameters are set as follows: (a) $\kappa = 0.4$; (b) $\kappa = 0.8$; (c) $\kappa = 1.2$; (d) $\kappa = 3$. And the rest of parameters are ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.2$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$ and ω = 2π × 250 Hz.

    图 2  不同旋转频率对基态的影响. 随着旋转频率增大, 体系从平面波相转化为环形对称排列的half-skyrmion链相. 第1, 2, 3列描述粒子数密度分布; 第4, 5, 6列表示对应的相位分布 (a) $\varOmega = 0.1$; (b) $\varOmega = 0.2$; (c) $\varOmega = 0.6$; (d) $\varOmega = 0.9$. 该图其余模拟参数选为 ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ω = 2π × 250 Hz

    Fig. 2.  Effects of the different rotation frequency on ground state. With the increase of rotation frequency, the system transforms from plane wave phase to half-skyrmion chain phase with circular symmetry arrangement. The first, second and third columns are the particle number densities. The fourth, the fifth and the sixth columns are the corresponding phase distributions. The parameters are set as follows: (a) $\varOmega = 0.1$; (b) $\varOmega = 0.2$; (c) $\varOmega = 0.6$; (d) $\varOmega = 0.9$. And the other parameters are ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ and ω = 2π × 250 Hz.

    图 3  不同自旋非相关作用和自旋相关作用对基态的影响. 随着自旋非相关作用强度增加, half-skyrmion分布从环形单层排列转化为环形双层排列. 不同自旋相关相互作用对half-skyrmion的数目影响微弱, 仅仅使half-skyrmion环形排列变得更规则 (a1) ${\lambda _0} = $ 1200, ${\lambda _2} = - 32$; (a2) ${\lambda _0} = 4600$, ${\lambda _2} = - 32$; (b1) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 12$; (b2) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 9{\rm{6}}$. 该图其余模拟参数选为 $\varOmega = 0.6$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ω = 2π × 250 Hz

    Fig. 3.  Effects of the different spin-independent and spin-dependent interactions on ground state. Increasing the strength of spin-independent interaction can induce the transition of half-skyrmion distribution from a circular monolayer arrangement to a circular bilayer arrangement. The influence of different spin-dependent interaction on the number of half-skyrmion is weak, which only makes the ring arrangement of half-skyrmion more regular. The parameters are set as follows: (a1) ${\lambda _0} = 1200$, ${\lambda _2} = - 32$; (a2) ${\lambda _0} = $ 4600, ${\lambda _2} = - 32$; (b1) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 12$; (b2) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 9{\rm{6}}$. And the other parameters are $\varOmega = 0.6$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ and ω = 2π × 250 Hz.

    图 4  不同势阱宽度和势阱高度对基态的影响. 改变势阱宽度和高度, 可以调控half-skyrmion链的环形分布. 基态粒子数密度分布如1, 2, 3列所示; 对应相位分布如4, 5, 6列所示 (a1) ${V_0} = 300$, $\sigma = 0.8$; (a2) ${V_0} = 300$, $\sigma = 4$; (b1) ${V_0} = 60$, $\sigma = 2$; (b2) ${V_0} = {\rm{6}}00$, $\sigma = 2$. 该图其余模拟参数选为${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.6$, $\kappa = 0.4$ω = 2π × 250 Hz

    Fig. 4.  Effects of the width and the central height of the toroidal potential on ground state. The ring distribution of half-skyrmion chain can be controlled by changing the width and height of potential well. The particle number densities of ground state are shown in the first, second and third columns. The corresponding phase distributions are shown in the fourth, fifth and sixth columns. The parameters are set as follows: (a1) ${V_0} = 300$, $\sigma = 0.8$; (a2) ${V_0} = 300$, $\sigma = 4$; (b1) ${V_0} = 60$, $\sigma = 2$; (b2) ${V_0} = {\rm{6}}00$, $\sigma = 2$. And the other parameters are ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.6$, $\kappa = 0.4$ and ω = 2π × 250 Hz.

    图 5  不同基态的自旋结构 (a) 对应图2(a)的自旋构型; (b) 对应图1(b)的自旋构型; (c) 对应图2(c)的自旋构型; (d) 对应图2(d)的自旋构型. 图中圆圈区域表示一个half-skyrmion结构. 自旋密度平均值变化范围从–1(蓝色) 到 1(红色)

    Fig. 5.  The spin texture of the ground state: (a) Spin texture corresponding to the Fig. 2(a); (b) spin texture corresponding to the Fig. 1(b); (c) spin texture corresponding to the Fig. 2(c); (d) spin texture corresponding to the Fig. 2(d). The circle region in the graph represents a half-skyrmion structure. Values of the spin density are from –1 (blue) to 1 (red).

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-03-12
  • 修回日期:  2020-04-21
  • 上网日期:  2020-05-09
  • 刊出日期:  2020-07-01

环形势阱中自旋-轨道耦合旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态

  • 1. 太原师范学院物理系, 晋中 030619
  • 2. 山西能源学院基础部, 晋中 030600
  • 3. 中国科学院物理研究所, 北京凝聚态物理国家研究中心, 北京 100190
  • 通信作者: 何天琛, 471925407@qq.com
    基金项目: 省部级-山西省高等学校科技创新项目(Grant Nos. 2019L0813, 2019L0785, 2019L0808)

摘要: 研究了在环形势阱中自旋-轨道耦合旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态结构. 探索了自旋-轨道耦合作用和旋转效应对基态的影响. 结果发现, 在环形势阱下, 基态结构呈现环形分布的half-skyrmion链. 调节自旋-轨道耦合强度, 不仅可以改变体系内half-skyrmion数量, 而且能够调控half-skyrmion环形排列的对称性. 随着旋转频率增大, 体系从平面波相转化为环形对称排列的half-skyrmion链相, 最后过渡到三角格子的half-skyrmion相. 讨论了自旋相互作用和势阱形状对基态的影响. 自旋-轨道耦合强度和旋转频率作为体系的调控参数, 可用于控制不同基态相间的转化.

English Abstract

    • 光势阱中的碱金属原子气体由于受到光偶极力作用, 原子能够被束缚在所有的超精细能态上, 这将形成具有自旋自由度的原子气体及旋量玻色-爱因斯坦凝聚体(BEC)[1,2]. 旋量BEC由于内部自旋自由度的释放为人们提供了更多的机遇去研究各种有趣的拓扑激发[3-21]. 在理论方面, Li等[5,6]在旋量BEC系统中给出了精确孤波解和畴壁解, 并详细讨论了该系统中孤波和畴壁的性质. Zhao等[7]在旋量BEC中发现了非均匀形式的自旋畴现象. Isoshima等[8]在旋量BEC中探讨了量子自旋涡旋的性质. 一些研究者详细讨论了旋量BEC体系性质以及其中可能存在的拓扑激发类型[9-11]. 考虑带有旋转的旋量BEC, 人们发现该体系存在无芯涡旋、轴对称涡旋以及非轴对称涡旋[12,13]. Mizushima等[14]在铁磁相互作用下的旋转BEC中发现了奇异性质的涡旋格子相. Schweikhard等[15]在研究涡旋格子动力学过程中发现涡旋格子之间可以发生相干现象. Ji等[16]在旋转BEC动力学过程中观察到半量子数涡旋的出现. 实验方面, Stenger等[17]在旋量BEC中首次发现了自旋畴壁. Seo等 [18,19]观察到了半量子数涡旋并进一步研究了半量子数涡旋间的碰撞动力学. Mizushima等[20]在旋转铁磁BEC中发现Mermin-Ho涡旋及对应自旋空间下的整数skyrmion. 2016年, Orlova等[21]在具有拉比耦合的旋量BEC中得到了skyrmion类型的涡旋格子. 近年来, 在凝聚态领域中自旋-轨道耦合的研究受到了人们广泛关注. 这种耦合效应对于拓扑绝缘体和自旋霍尔效应的产生起到了关键作用. 固体材料由于本身材料参数的局限性, 导致固体体系中自旋-轨道耦合强度的调控性很微弱. 而超冷原子的量子多体系统在实验上是精确可调的, 因而该体系中自旋-轨道耦合强度的调控性很强, 许多研究者已经在超冷原子气体中给出了实现人造自旋-轨道耦合的实验结果和理论方案[22-34]. 由于人造自旋-轨道耦合BEC可以实现原子内部自旋和原子质心运动的耦合, 因而为探索新奇量子态提供了更多可能性[35-39]. Wang等[35]发现在无外势BEC中自旋-轨道耦合能够诱导平面波相和条纹相. 如果考虑束缚外势, 体系将出现新的拓扑激发, 例如half-skyrmion[36]、分数涡旋[37]、skyrmion格子[38]. 此外考虑具有偶极相互作用的BEC体系, 自旋-轨道耦合可以导致量子准晶相的出现[39]. 进一步考虑旋转与自旋-轨道耦合的双重效应, Liu等[40]研究了该体系对应的基态相图, 发现旋转频率与自旋-轨道耦合强度的增强更有利于half-skyrmion的产生. Liu等[41]也研究了旋转效应下自旋-轨道耦合BEC中的涡旋激发, 发现在强自旋-轨道耦合下, 各个超精细能态上的涡旋形成涡旋组, 同时绕凝聚体中心形成花瓣状涡旋斑图.

      最近, 环形外势阱中BEC的研究正成为人们越来越关注的问题, 这将为探索超流和对称性破缺等现象提供一个全新的量子平台[42-47]. Capuzzi等[42]发现了环形势阱中BEC的涡旋阵列. Benakli等[43]讨论了环形势阱中BEC的角动量态等性质. 一些研究者在环形势阱中的BEC体系发现了伴随超流的有趣现象, 例如量子涡旋动力学[44]、环形分布的三角涡旋格子[45]、以及BEC的持续流等现象[46]. Abad等[47]在环形势阱偶极BEC体系中观察到了对称破缺现象. 如果在环形势阱的前提下, 考虑自旋-轨道耦合效应, 环形势阱是否对该体系性质有影响? 2017年, Zhang等[48]研究了环形势阱中两分量自旋-轨道耦合BEC的基态性质, 发现基态呈现可调控的条纹相、交替排列的条纹相、以及反向平面波相. Wang等[49]详细讨论了旋转环形势阱中两分量自旋-轨道耦合BEC的基态结构. 进一步, Wang等[50]研究了旋转环形势阱中反铁磁自旋-轨道耦合BEC的基态相图. 然而, 在环形势阱下的铁磁BEC体系中, 自旋-轨道耦合和旋转效应共同作用是否会导致新奇量子态和自旋构型.

      本文将研究环形势阱下自旋-轨道耦合作用和旋转频率对铁磁BEC基态的影响. 研究结果表明, 在环形势阱中, 自旋-轨道耦合可以诱导体系出现环形分布的half-skyrmion链. 调节自旋-轨道耦合强度, 不仅可以改变体系内half-skyrmion数量, 而且能够调控half-skyrmion环形排列的对称性. 进一步调节旋转频率, 结果显示随着旋转频率增大, 体系发生从平面波相向环形对称排列的half-skyrmion链相的转化, 最后转变为三角格子的half-skyrmion相. 此外, 还讨论了自旋相互作用和势阱高度、宽度参数对基态的影响. 最后给出了不同基态的自旋构型.

    • 考虑环形势阱中具有自旋-轨道耦合和旋转的铁磁BEC体系, 在平均场近似下, 哈密顿量可写为[40,41,50]

      $\begin{split} H = \; &\int {{{\rm{d}}^2}} {{r}}\bigg( {{{{\varPsi}}^+}\left[ {\frac{{ - {\hbar ^2}{\nabla ^2}}}{{2m}} + V(r) + {\nu _{\rm{soc}}} - \varOmega '{L_z}} \right]{{\varPsi}} } \\ &+ \bigg\{\frac{{{c_0}}}{2}{n^2} + \frac{{{c_2}}}{2} \big[{{({n_1} - {n_{ - 1}})}^2} \\ & + 2|\varPsi _1^ * {\varPsi _0} + \varPsi _0^ * {\varPsi _{ - 1}}{|^2}\big]\bigg\}\bigg),\\[-15pt] \end{split} $

      其中${{\varPsi}} = {[{\varPsi _1}({ r}), {\varPsi _{\rm{0}}}({ r}), {\varPsi _{ - 1}}({ r})]^{\rm{T}}}$是BEC的序参量, 体系总粒子数为$N = \int {{{\rm{d}}^2}} { r}{{ \varPsi} ^ + }{ \varPsi}$, 总粒子数密度$n = \displaystyle\sum\nolimits_m {{n_m}} $, 其中${n_m} = |{\varPsi _m}(r){|^2}$$m = 0, \pm 1$. 哈密顿量第一项描述粒子的动能, $\hbar $为普朗克常量, m为选取${}^{{\rm{87}}}{\rm{Rb}}$原子质量. 二维环形外势[44-47]可以表示为$V(r) = {V_{\rm{h}}}\exp ({{ - 2{r^2}} / {w_0^2}}) + {{m{\omega ^2}{r^2}} / 2}$, 其中${r^2} = {x^2} + {y^2}$, ${V_{\rm{h}}}$表示势阱高度参量, ${w_0}$表示势阱宽度参量, $\omega $表示各向同性简谐外势频率. ${{F}} = {({{{F}}_x}, {{{F}}_y}, {{{F}}_z})^{\rm{T}}}$为自旋为1的矩阵矢量, 其中${{{F}}_x}$, ${{{F}}_y}$${{{F}}_z}$$3 \times 3$的泡利矩阵. ${\nu _{\rm{soc}}} \!=\! - {\rm{i}}\hbar ({\kappa _x}{F_x}{\partial _x} \!+\! {\kappa _y}{F_y}{\partial _y})$表示自旋-轨道耦合项, ${\kappa _x}$${\kappa _y}$描述自旋-轨道耦合强度. ${\kappa _x} = {\kappa _y} = \kappa $表示各向同性自旋-轨道耦合, 对于各向异性自旋-轨道耦合情况为${\kappa _x} \ne {\kappa _y}$. 本文主要考虑各向同性自旋-轨道耦合. $\varOmega '$为旋转频率, ${L_z} = - {\rm{i}}\hbar (x{\partial _y} - y{\partial _x})$z方向的轨道角动量. 相互作用项的耦合参量${c_0} = 4{\text{π}} {\hbar ^2}({a_0} +2{a_2}) / {3 m}$${c_2} = {{4{\text{π}} {\hbar ^2}({a_2} - {a_0})} / {3 m}}$, 其中${a_0}$${a_2}$为两体作用的散射长度. 自旋为1的BEC基态和动力学过程可以通过下述的无量纲化耦合非线性方程组描述:

      $\begin{split} {\rm{i}}\frac{{\partial {\psi _1}}}{{\partial t}} =\;& \Big[ - \frac{1}{2}{\nabla ^2} + V + {\rm{i}}\varOmega (x{\partial _y} - y{\partial _x}) + {\lambda _0}\rho \\ & + {\lambda _2}({\rho _1} + {\rho _0} - {\rho _{ - 1}})\Big] {\psi _1}\\ & + \kappa ( - {\rm{i}}{\partial _x} - {\partial _y}){\psi _0} + {\lambda _2}\psi _{ - 1}^ * \psi _0^2, \end{split} $

      $ \begin{split} {\rm{i}}\frac{{\partial {\psi _0}}}{{\partial t}} =\; & \Big[- \frac{1}{2}{\nabla ^2} + V + {\rm{i}}\varOmega (x{\partial _y} - y{\partial _x}) + {\lambda _0}\rho \\ & + {\lambda _2}({\rho _1} + {\rho _{ - 1}}) \Big]{\psi _0} + \kappa ( - {\rm{i}}{\partial _x} + {\partial _y}){\psi _1} \\ & + \kappa ( - {\rm{i}}{\partial _x} - {\partial _y}){\psi _{ - 1}} + 2{\lambda _2}{\psi _1}{\psi _{ - 1}}\psi _0^ * , \end{split} $

      $ \begin{split} {\rm i}\frac{{\partial {\psi _{ - 1}}}}{{\partial t}} = \; & \Big[ - \frac{1}{2}{\nabla ^2} + V + {\rm i}\Omega (x{\partial _y} - y{\partial _x}) + {\lambda _0}\rho \\ & + {\lambda _2}({\rho _0} + {\rho _{ - 1}} - {\rho _1})\Big]{\psi _{ - 1}}\\ & + \kappa ( - i{\partial _x} + {\partial _y}){\psi _0} + {\lambda _2}\psi _1^ * \psi _0^2, \end{split} $

      其中, ${\psi _j} = {N^{ - {1 / 2}}}{a_h}{\varPsi _j}$($j = 0, \pm 1$)描述凝聚体原子分布在各个超精细能态上的无量纲化宏观波函数, 波函数满足归一化条件$\displaystyle \int {{{\rm{d}}^2}} r{\psi ^ + }\psi = 1$. 无量纲化二维环形外势可以表示为$V = {V_0}\exp({{ - 2{r^2}} / {{\sigma ^2}}}) + {{{r^2}} / 2}$, 其中${r^2} = {x^2} + {y^2}$, ${V_0}$表示无量纲化势阱高度参量, $\sigma $表示无量纲化势阱宽度参量. 旋转项中$\varOmega $代表无量纲旋转频率. $\rho = {\rho _1} + {\rho _0} + {\rho _{ - 1}}$表示总粒子数密度, ${\rho _j} = |{\psi _j}{|^2}(j = 0, \pm 1)$. 无量纲化相互作用强度分别为${\lambda _0} = {{4{\text{π}} N({a_0} + 2{a_2})} / {(3{a_{\rm{h}}}}})$${\lambda _2} = {{4{\text{π}} N({a_2} - {a_0})} / {(3{a_{\rm{h}}})}}$, 其中${a_2} = (100.4 \pm 0.1){a_{\rm{B}}}$${a_0} = (101.8 \pm 0.2){a_{\rm{B}}}$, ${a_{\rm B}}$是玻尔半径. 无量纲化自旋-轨道耦合强度为$\kappa $. 谐振子势的特征长度为${a_{\rm{h}}} = \sqrt {{\hbar / {m\omega }}} $. 在数值计算过程中, 长度、时间、能量、自旋-轨道耦合强度的单位分别为$\sqrt {{\hbar / {m\omega }}} $, ${\omega ^{ - 1}}$, $\hbar \omega $, $\sqrt {{{\hbar \omega } / m}} $. 通过求解方程(2)—(4), 利用虚时演化方法得到体系基态[40,41,48-51], 其中空间离散采用傅里叶谱方法, 时间迭代采用向前向后欧拉迭代法. 数值离散网格为$480 \times 480$, 对应实际计算体系为$24 \times 24 a_h^2$.

    • 首先固定环形外势的势阱高度、宽度参数以及旋转频率, 讨论自旋-轨道耦合效应对体系基态的影响. 图1显示不同自旋-轨道耦合强度下基态粒子数密度和相位分布. 第1, 2, 3列表示自旋 ${m_F} = 1$, ${m_F} = 0$${m_F} = - 1$分量的粒子数密度分布, 第4, 5, 6列分别对应不同自旋组分的相位分布. 从相位图中可以看到相位值大小的变化, 从蓝色逐渐变化到红色, 描述相位值从$ - {\text{π}} $${\text{π}} $的增大. 当考虑弱自旋-轨道耦合$\kappa = 0.4$, 对于铁磁BEC系统, 自旋-轨道耦合与自旋交换相互作用之间的双重效应导致体系呈现平面波相, 平面波相对应的相位变化趋势如图1(a)相位图中逆时针方向. 此外由于有旋转势的存在, 凝聚体各个自旋组分在平面波的背景下都会出现涡旋, 如图1(a)前三列所示. ${m_F} = 1$${m_F} = - 1$分量表现为非轴对称涡旋, ${m_F} = 0$分量表现为轴对称涡旋. 如果将每个分量相同位置处的一个涡旋看作一个元胞组合, 这个元胞组合在自旋纹理中实际上都对应一个half-skyrmion, 因此我们也称此时的基态为环形排列的对称half-skyrmion, 下文将详细讨论. 进一步增大自旋-轨道耦合强度$\kappa = 0.8$, 如图1(b)所示, 体系中half-skyrmion数量增多并呈现八角对称排列, 这一结果不同于在简谐外势中的情况. 之前的研究证实简谐外势中增加自旋-轨道耦合强度, 体系内的half-skyrmion分布对称性几乎没有变化[40]. 我们的结果证实在环形势阱中调节自旋-轨道耦合强度能够改变体系中half-skyrmion对称性. 继续将自旋-轨道耦合增强到$\kappa = 1.2$, 发现凝聚体中half-skyrmion数量进一步变多, 此时呈现十角对称排列分布, 如图1(c)所示. 最后在强自旋-轨道耦合$\kappa = 3$作用下, 凝聚体中half-skyrmion数量依然保持增多, 而此时half-skyrmion呈现径向多层的对称排列, 如图1(d)所示. 在环形势阱中, 通过改变自旋-轨道耦合强度, 可以调控体系中half-skyrmion数量以及对称性, 实现了体系中half-skyrmion分布模式从环形单层式对称排列到环形多层式规则排列的转变. 这一结果从物理角度不难理解, 一方面随着原子自旋和原子质心运动的耦合增强, 体系内自旋结构将发生频繁翻转, 导致体系内half-skyrmion数量逐渐增多; 另一方面, 自旋-轨道耦合和环形势阱的共同作用会改变体系内half-skyrmion分布的对称性.

      图  1  环形势阱中不同自旋-轨道耦合强度下铁磁87Rb BEC基态粒子数密度分布(第1, 2, 3列)和相位分布(第4, 5, 6列). 改变自旋-轨道耦合强度, 可以调控体系中half-skyrmion数量以及环形排列的对称性 (a) $\kappa = 0.4$; (b) $\kappa = 0.8$; (c) $\kappa = 1.2$; (d) $\kappa = 3$. 该图其余模拟参数选为${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.2$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$ω = 2π × 250 Hz

      Figure 1.  Ground state of the rotating ferromagnetic BEC of 87Rb for the different spin-orbit coupling strengths under the toroidal trap. The first, second and third columns show the particle number densities. The fourth, fifth and sixth columns show phase distributions. Changing the strength of spin-orbit coupling can control the number of half-skyrmion in the system and the symmetry of half-skyrmion with circular distribution. The parameters are set as follows: (a) $\kappa = 0.4$; (b) $\kappa = 0.8$; (c) $\kappa = 1.2$; (d) $\kappa = 3$. And the rest of parameters are ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.2$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$ and ω = 2π × 250 Hz.

      进一步, 固定自旋-轨道耦合强度大小, 研究不同旋转频率对系统基态性质的影响. 当旋转频率很小时, 体系没有出现任何拓扑缺陷, 基态呈现平面波相[35], 如图2(a)所示. 尽管系统此时考虑了旋转效应, 但旋转频率小于能够产生拓扑缺陷的临界值, 此外旋转势的作用也小于自旋-轨道耦合对体系的作用, 所以仅有平面波相出现. 继续增大旋转频率, 基态结构呈现六角对称排列的half-skyrmion, 如图2(b)所示. 较大的旋转频率会导致half-skyrmion数目增多, 此外这些拓扑缺陷呈现双层径向排布, 外层的缺陷数目多于内层, 如图2(c)所示. 当旋转频率很大时, 如图2(d)所示, 越来越多的half-skyrmion出现在体系中, 同时它们形成三角格子排列方式, 这是因为拓扑缺陷以三角格子排布时对应体系能量最低态, 体系最稳定.

      图  2  不同旋转频率对基态的影响. 随着旋转频率增大, 体系从平面波相转化为环形对称排列的half-skyrmion链相. 第1, 2, 3列描述粒子数密度分布; 第4, 5, 6列表示对应的相位分布 (a) $\varOmega = 0.1$; (b) $\varOmega = 0.2$; (c) $\varOmega = 0.6$; (d) $\varOmega = 0.9$. 该图其余模拟参数选为 ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ω = 2π × 250 Hz

      Figure 2.  Effects of the different rotation frequency on ground state. With the increase of rotation frequency, the system transforms from plane wave phase to half-skyrmion chain phase with circular symmetry arrangement. The first, second and third columns are the particle number densities. The fourth, the fifth and the sixth columns are the corresponding phase distributions. The parameters are set as follows: (a) $\varOmega = 0.1$; (b) $\varOmega = 0.2$; (c) $\varOmega = 0.6$; (d) $\varOmega = 0.9$. And the other parameters are ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ and ω = 2π × 250 Hz.

      紧接着固定自旋-轨道耦合强度和旋转频率, 研究不同自旋非相关和自旋相关相互作用对基态的影响. 图3(a1)图3(a2)分别显示了不同自旋非相关相互作用下基态粒子数密度和相位的分布, 当相互作用强度较小时, 发现half-skyrmion沿着环形凝聚体以单层排列, 如图3(a1)所示. 当相互作用增强, 凝聚体表面分布面积增大, 由于在旋转条件下, 凝聚体中出现的拓扑缺陷数目与凝聚体分布面积成线性关系, 另一方面相互作用增强也可以改变体系内的磁序分布, 因此将导致凝聚体中拓扑缺陷的增多. 从图3(a2)可以看出, 围绕环形凝聚体分布的half-skyrmion数目增多, 并且以环形双层排列. 图3(b1)图3(b2)分别显示不同自旋相关相互作用下基态粒子数密度和相位分布. 对比发现, 调节不同大小的自旋相关相互作用对half-skyrmion的数目和分布模式影响微弱, 仅仅使half-skyrmion的环形空间排布变得更规则.

      图  3  不同自旋非相关作用和自旋相关作用对基态的影响. 随着自旋非相关作用强度增加, half-skyrmion分布从环形单层排列转化为环形双层排列. 不同自旋相关相互作用对half-skyrmion的数目影响微弱, 仅仅使half-skyrmion环形排列变得更规则 (a1) ${\lambda _0} = $ 1200, ${\lambda _2} = - 32$; (a2) ${\lambda _0} = 4600$, ${\lambda _2} = - 32$; (b1) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 12$; (b2) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 9{\rm{6}}$. 该图其余模拟参数选为 $\varOmega = 0.6$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ω = 2π × 250 Hz

      Figure 3.  Effects of the different spin-independent and spin-dependent interactions on ground state. Increasing the strength of spin-independent interaction can induce the transition of half-skyrmion distribution from a circular monolayer arrangement to a circular bilayer arrangement. The influence of different spin-dependent interaction on the number of half-skyrmion is weak, which only makes the ring arrangement of half-skyrmion more regular. The parameters are set as follows: (a1) ${\lambda _0} = 1200$, ${\lambda _2} = - 32$; (a2) ${\lambda _0} = $ 4600, ${\lambda _2} = - 32$; (b1) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 12$; (b2) ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 9{\rm{6}}$. And the other parameters are $\varOmega = 0.6$, ${V_0} = 300$, $\sigma = 2$, $\kappa = 0.4$ and ω = 2π × 250 Hz.

      接下来分析不同势阱宽度和势阱高度对基态的影响. 当势阱宽度很小时, 系统内凝聚体靠近体系中心区域分布, 其中的half-skyrmion沿着中心径向排列, 如图4(a1)所示. 对于势阱宽度较大的情况, 如图4(a2)所示. 对应环形凝聚体中half-skyrmion形成环形单层排布模式, 但它们的数目并没有发生明显变化, 这是因为调节势阱宽度仅仅改变凝聚体形状, 而其中的拓扑缺陷只发生空间排布上的改变. 图4(b1)图4(b2)分别描述不同势阱高度下基态粒子数密度和相位分布. 对比发现势阱高度的变化几乎不会导致half-skyrmion数目的改变.

      图  4  不同势阱宽度和势阱高度对基态的影响. 改变势阱宽度和高度, 可以调控half-skyrmion链的环形分布. 基态粒子数密度分布如1, 2, 3列所示; 对应相位分布如4, 5, 6列所示 (a1) ${V_0} = 300$, $\sigma = 0.8$; (a2) ${V_0} = 300$, $\sigma = 4$; (b1) ${V_0} = 60$, $\sigma = 2$; (b2) ${V_0} = {\rm{6}}00$, $\sigma = 2$. 该图其余模拟参数选为${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.6$, $\kappa = 0.4$ω = 2π × 250 Hz

      Figure 4.  Effects of the width and the central height of the toroidal potential on ground state. The ring distribution of half-skyrmion chain can be controlled by changing the width and height of potential well. The particle number densities of ground state are shown in the first, second and third columns. The corresponding phase distributions are shown in the fourth, fifth and sixth columns. The parameters are set as follows: (a1) ${V_0} = 300$, $\sigma = 0.8$; (a2) ${V_0} = 300$, $\sigma = 4$; (b1) ${V_0} = 60$, $\sigma = 2$; (b2) ${V_0} = {\rm{6}}00$, $\sigma = 2$. And the other parameters are ${\lambda _0} = 3200$, ${\lambda _2} = - 32$, $\varOmega = 0.6$, $\kappa = 0.4$ and ω = 2π × 250 Hz.

      最后我们讨论不同基态的自旋结构, 定义自旋平均值为[51]

      $\begin{split} & {F_x} = {{[\psi _1^ * {\psi _0} + \psi _0^ * ({\psi _1} + {\psi _{ - 1}}) + \psi _{ - 1}^ * {\psi _0}]} / {\sqrt 2 }},\\ & {F_{{y}}} = {{{\rm i}[ - \psi _1^ * {\psi _0} + \psi _0^ * ({\psi _1} - {\psi _{ - 1}}) + \psi _{ - 1}^ * {\psi _0}]} / {\sqrt 2 }},\\ & {F_z} = |{\psi _1}{|^2} - |{\psi _{ - 1}}{|^2}. \end{split}$

      计算拓扑荷公式$Q \!=\! \dfrac{1}{{4{\text{π}} }}\displaystyle\iint { s}\left( {\dfrac{{\partial { s}}}{{\partial x}} \!\times\! \dfrac{{\partial s}}{{\partial y}}} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y$. 拓扑荷密度表示为$\rho \!=\! \dfrac{ s}{{4{\text{π}} }} \cdot \dfrac{{\partial { s}}}{{\partial x}} \!\times\! \dfrac{{\partial { s}}}{{\partial y}}$. 图5(a)表示对应于图2(a)的自旋构型, 此时旋转频率很小, 环形凝聚体中没有出现拓扑缺陷对应的自旋构型. 图5(b)是对应图1(b)的自旋构型, 通过计算体系中每个拓扑缺陷对应的拓扑荷为0.5, 这样的自旋结构被称为half-skyrmion, 从图5(b)中可以看出, 环形凝聚体中有8个对称排列的half-skyrmion. 图5(c)是对应于图2(c)的自旋构型, 由于旋转频率的增加, 环形体系中出现的half-skyrmion数目增多, 并且呈现环形双层排列. 图5(d)是对应于图2(d)的自旋构型, 对于特别大的旋转频率, 体系内half-skyrmion形成三角格子分布, 此时对应的格子态的能量更低更稳定.

      图  5  不同基态的自旋结构 (a) 对应图2(a)的自旋构型; (b) 对应图1(b)的自旋构型; (c) 对应图2(c)的自旋构型; (d) 对应图2(d)的自旋构型. 图中圆圈区域表示一个half-skyrmion结构. 自旋密度平均值变化范围从–1(蓝色) 到 1(红色)

      Figure 5.  The spin texture of the ground state: (a) Spin texture corresponding to the Fig. 2(a); (b) spin texture corresponding to the Fig. 1(b); (c) spin texture corresponding to the Fig. 2(c); (d) spin texture corresponding to the Fig. 2(d). The circle region in the graph represents a half-skyrmion structure. Values of the spin density are from –1 (blue) to 1 (red).

    • 本文研究了环形势阱中具有自旋-轨道耦合和旋转的铁磁BEC基态结构. 结果表明: 不同于简谐势阱情况, 环形势阱下, 凝聚体基态结构表现为环形分布的half-skyrmion链. 调节自旋-轨道耦合强度, 不仅可以改变体系内half-skyrmion数量, 而且能够调控half-skyrmion环形排列的对称性. 调节旋转频率可以实现基态相之间的转化, 体系从平面波相转化为环形对称排列的half-skyrmion链相, 最后转变为三角格子的half-skyrmion相. 同时讨论了自旋相互作用和势阱形状对基态性质的影响. 未来的工作可以考虑环形外势阱中其他形式的自旋-轨道耦合体系, 例如各向异性自旋-轨道耦合BEC和高维形式的自旋-轨道耦合BEC等[52-54], 此时基态结构对应的相图将更加丰富. 也可以考虑环形势阱中具有梯度磁场和自旋-轨道耦合的BEC系统[55,56], 由于磁场梯度强度和自旋-轨道耦合强度之间相互竞争, 将对凝聚体的基态性质、动力学稳定性产生显著影响. 此外, 在环形势阱中, 可以研究费米凝聚体中的超流和超固现象[57,58]. 环形势阱中的BEC作为一种重要的量子平台, 不仅开辟了研究新奇量子相的新方向, 而且对于丰富基态相图发挥了关键作用.

参考文献 (58)

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