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空频复用光纤中四波混频过程的解析分析方法

万峰 武保剑 曹亚敏 王瑜浩 文峰 邱昆

空频复用光纤中四波混频过程的解析分析方法

万峰, 武保剑, 曹亚敏, 王瑜浩, 文峰, 邱昆
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  • 空分复用(SDM)与波分复用(WDM)的结合有效提升了光纤通信系统的容量, 其中光纤的非线性影响不可忽视. 本文将光纤四波混频作用过程由WDM频域推广到模分复用(MDM)空间域, 第一次给出抽运消耗情形下空频域四波混频的统一解析表达式. 通过数值计算非简并四波混频耦合模方程的幅度和相位演化特性, 验证了解析分析方法的正确性. 讨论了解析解在多波耦合方程简化、大规模并行相位运算器设计以及快速非线性补偿等方面的应用.
      通信作者: 武保剑, bjwu@uestc.edu.cn
    • 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 61671108, 61505021)资助的课题.
    [1]

    Ellis A D, Zhao J, Cotter D 2010 J. Lightwave Technol. 28 423

    [2]

    Ellis A D, McCarthy M E, Khateeb M A Z A, Sorokina M, Doran N J 2017 Adv. Opt. Photonics 9 429

    [3]

    Richardson D J, Fini J M, Nelson L E 2013 Nat. Photonics 7 354

    [4]

    Li G, Bai N, Zhao N, Xia C 2014 Adv. Opt. Photonics 6 413

    [5]

    Mizuno T, Takara H, Sano A, Miyamoto Y 2016 J. Lightwave Technol. 34 582

    [6]

    郑兴娟, 任国斌, 黄琳, 郑鹤玲 2016 物理学报 65 064208

    Zheng X J, Ren G B, Huang L, Zheng H L 2016 Acta Phys. Sin. 65 064208

    [7]

    Rademacher G, Ryf R, Fontaine N K, Chen H, Essiambre R, Puttnam B J, Luís R S, Awaji Y, Wada N, Gross S, Riesen N, Withford M, Sun Y, Lingle R 2018 J. Lightwave Technol. 36 1382

    [8]

    Kitayama K, Diamantopoulos N 2017 IEEE Commun. Mag. 55 163

    [9]

    Nazemosadat E, Lorences-Riesgo A, Karlsson M, Andrekson P A 2017 J. Lightwave Technol. 35 2810

    [10]

    姚殊畅, 付松年, 张敏明, 唐明, 沈平, 刘德明 2013 物理学报 62 144215

    Yao S C, Fu S N, Zhang M M, Tang M, Shen P, Liu D M 2013 Acta Phys. Sin. 62 144215

    [11]

    Essiambre R J, Kramer G, Winzer P J, Foschini G J, Goebel B 2010 J. Lightwave Technol. 28 662

    [12]

    Mumtaz S, Essiambre R J, Agrawal G P 2013 J. Lightwave Technol. 31 398

    [13]

    Suibhne N M, Ellis A D, Gunning F C G, Sygletos S 2013 39th European Conference and Exhibition on Optical Communication London, UK, September 22−26, 2013 p882

    [14]

    Essiambre R J, Mestre M A, Ryf R, Gnauck A H, Tkach R W, Chraplyvy A R, Sun Y, Jiang X, Lingle Jr R 2013 IEEE Photonics Technol. Lett. 25 539

    [15]

    Rademacher G, Petermann K 2016 J. Lightwave Technol. 34 2280

    [16]

    Trichili A, Zghal M, Palmieri L, Santagiustina M 2017 IEEE Photonics J. 9 1

    [17]

    Marhic M E 2013 J. Opt. Soc. Am. B 30 62

    [18]

    曹亚敏, 武保剑, 万峰, 邱昆 2018 物理学报 67 094208

    Cao Y M, Wu B J, Wan F, Qiu K 2018 Acta Phys. Sin. 67 094208

    [19]

    Poletti F, Horak P 2008 J. Opt. Soc. Am. B 25 1645

    [20]

    Ferreira F, Jansen S, Monteiro P, Silva H 2012 IEEE Photonics Technol. Lett. 24 240

    [21]

    Antonelli C, Shtaif M, Mecozzi A 2016 J. Lightwave Technol. 34 36

    [22]

    Rademacher G, Warm S, Petermann K 2012 IEEE Photonics Technol. Lett. 24 1929

    [23]

    Agrawal G P 2005 Nonlinear Fiber Optics (New York: Academic Press) pp195−211

    [24]

    Xiao Y, Essiambre R J, Desgroseilliers M, Tulino A M, Ryf R, Mumtaz S, Agrawal G P 2014 Opt. Express 22 32039

    [25]

    Brehler M, Schirwon M, Göddeke D, Krummrich P M 2017 J. Lightwave Technol. 35 3622

    [26]

    Hu X, Wang A, Zeng M, Long Y, Zhu L, Fu L, Wang J 2016 Sci. Rep. 6 32911

    [27]

    Wang A, Hu X, Zhu L, Zeng M, Fu L, Wang J 2015 Opt. Express 23 31728

    [28]

    Gui C, Wang J 2014 Sci. Rep. 4 7491

    [29]

    Wang J, Yang J Y, Huang H, Willner A E 2013 Opt. Express 21 488

    [30]

    Wang J, Yang J, Wu X, Willner A E 2012 J. Lightwave Technol. 30 2890

    [31]

    Wang J, Nuccio S R, Yang J Y, Wu X, Bogoni A, Willner A E 2012 Opt. Lett. 37 1139

    [32]

    Tsang M, Psaltis D, Omenetto F G 2003 Opt. Lett. 28 1873

    [33]

    Mateo E F, Zhou X, Li G 2011 Opt. Express 19 570

  • 图 1  非简并FWM过程中导波光的模式与频谱分布

    Fig. 1.  Mode and frequency distribution in the non-degenerate FWM process.

    图 2  相位失配因子对$\Delta {f_1}$$\Delta {f_2}$的依赖

    Fig. 2.  Dependency of phase mismatching factor on $\Delta {f_1}$ and $\Delta {f_2}$.

    图 3  解析解与数值结果的比较 (a)闲频光功率; (b)闲频光相位

    Fig. 3.  Comparison of analytical and numerical results: (a) Idler output power; (b) idler output phase.

    图 4  (a) FWM转移能量在不同相位失配$\Delta \beta $随光纤长度L的变化; (b) 相位匹配度$\mu $$\Delta \beta $的变化

    Fig. 4.  (a) FWM energy transfer $q(z)$ of different $\Delta \beta $ with fiber length L; (b) variation of phase matching parameter $\mu $ with $\Delta \beta $.

    图 5  输出闲频光相位${\varphi _4}$与输入初相位运算${\varphi _{10}} + $${\varphi _{20}} - {\varphi _{30}}$之间的关系

    Fig. 5.  Dependence of output idler phase ${\varphi _4}$ on the initial phase operation of ${\varphi _{10}} + {\varphi _{20}} - {\varphi _{30}}$.

    图 6  输入信号SNR与输出信号SNR的关系

    Fig. 6.  Input signal SNR vs. output signal SNR.

    图 7  基于FWM解析解的非线性补偿框图

    Fig. 7.  Block diagram of nonlinear compensation based on the analytic solution for FWM effect.

    表 1  模场的归一化交叠积分参数

    Table 1.  Normalized overlap integral parameters of mode fields.

    模场分布flmnp/fLP01/arb.units
    4束光都为LP011.000
    4束光都为LP11a或LP11b0.747
    2束光为LP01模、2束光为LP11a或LP11b0.496
    2束光为LP11a模、2束光为LP11b0.249
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  • [1]

    Ellis A D, Zhao J, Cotter D 2010 J. Lightwave Technol. 28 423

    [2]

    Ellis A D, McCarthy M E, Khateeb M A Z A, Sorokina M, Doran N J 2017 Adv. Opt. Photonics 9 429

    [3]

    Richardson D J, Fini J M, Nelson L E 2013 Nat. Photonics 7 354

    [4]

    Li G, Bai N, Zhao N, Xia C 2014 Adv. Opt. Photonics 6 413

    [5]

    Mizuno T, Takara H, Sano A, Miyamoto Y 2016 J. Lightwave Technol. 34 582

    [6]

    郑兴娟, 任国斌, 黄琳, 郑鹤玲 2016 物理学报 65 064208

    Zheng X J, Ren G B, Huang L, Zheng H L 2016 Acta Phys. Sin. 65 064208

    [7]

    Rademacher G, Ryf R, Fontaine N K, Chen H, Essiambre R, Puttnam B J, Luís R S, Awaji Y, Wada N, Gross S, Riesen N, Withford M, Sun Y, Lingle R 2018 J. Lightwave Technol. 36 1382

    [8]

    Kitayama K, Diamantopoulos N 2017 IEEE Commun. Mag. 55 163

    [9]

    Nazemosadat E, Lorences-Riesgo A, Karlsson M, Andrekson P A 2017 J. Lightwave Technol. 35 2810

    [10]

    姚殊畅, 付松年, 张敏明, 唐明, 沈平, 刘德明 2013 物理学报 62 144215

    Yao S C, Fu S N, Zhang M M, Tang M, Shen P, Liu D M 2013 Acta Phys. Sin. 62 144215

    [11]

    Essiambre R J, Kramer G, Winzer P J, Foschini G J, Goebel B 2010 J. Lightwave Technol. 28 662

    [12]

    Mumtaz S, Essiambre R J, Agrawal G P 2013 J. Lightwave Technol. 31 398

    [13]

    Suibhne N M, Ellis A D, Gunning F C G, Sygletos S 2013 39th European Conference and Exhibition on Optical Communication London, UK, September 22−26, 2013 p882

    [14]

    Essiambre R J, Mestre M A, Ryf R, Gnauck A H, Tkach R W, Chraplyvy A R, Sun Y, Jiang X, Lingle Jr R 2013 IEEE Photonics Technol. Lett. 25 539

    [15]

    Rademacher G, Petermann K 2016 J. Lightwave Technol. 34 2280

    [16]

    Trichili A, Zghal M, Palmieri L, Santagiustina M 2017 IEEE Photonics J. 9 1

    [17]

    Marhic M E 2013 J. Opt. Soc. Am. B 30 62

    [18]

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    Cao Y M, Wu B J, Wan F, Qiu K 2018 Acta Phys. Sin. 67 094208

    [19]

    Poletti F, Horak P 2008 J. Opt. Soc. Am. B 25 1645

    [20]

    Ferreira F, Jansen S, Monteiro P, Silva H 2012 IEEE Photonics Technol. Lett. 24 240

    [21]

    Antonelli C, Shtaif M, Mecozzi A 2016 J. Lightwave Technol. 34 36

    [22]

    Rademacher G, Warm S, Petermann K 2012 IEEE Photonics Technol. Lett. 24 1929

    [23]

    Agrawal G P 2005 Nonlinear Fiber Optics (New York: Academic Press) pp195−211

    [24]

    Xiao Y, Essiambre R J, Desgroseilliers M, Tulino A M, Ryf R, Mumtaz S, Agrawal G P 2014 Opt. Express 22 32039

    [25]

    Brehler M, Schirwon M, Göddeke D, Krummrich P M 2017 J. Lightwave Technol. 35 3622

    [26]

    Hu X, Wang A, Zeng M, Long Y, Zhu L, Fu L, Wang J 2016 Sci. Rep. 6 32911

    [27]

    Wang A, Hu X, Zhu L, Zeng M, Fu L, Wang J 2015 Opt. Express 23 31728

    [28]

    Gui C, Wang J 2014 Sci. Rep. 4 7491

    [29]

    Wang J, Yang J Y, Huang H, Willner A E 2013 Opt. Express 21 488

    [30]

    Wang J, Yang J, Wu X, Willner A E 2012 J. Lightwave Technol. 30 2890

    [31]

    Wang J, Nuccio S R, Yang J Y, Wu X, Bogoni A, Willner A E 2012 Opt. Lett. 37 1139

    [32]

    Tsang M, Psaltis D, Omenetto F G 2003 Opt. Lett. 28 1873

    [33]

    Mateo E F, Zhou X, Li G 2011 Opt. Express 19 570

  • [1] 姚殊畅, 付松年, 张敏明, 唐明, 沈平, 刘德明. 基于少模光纤的模分复用系统多输入多输出均衡与解调 . 物理学报, 2013, 62(14): 144215. doi: 10.7498/aps.62.144215
    [2] 姜珊珊, 刘艳, 邢尔军. 低差分模式时延少模光纤的有限元分析及设计. 物理学报, 2015, 64(6): 064212. doi: 10.7498/aps.64.064212
    [3] 余胜, 刘焕章, 刘胜帅, 荆杰泰. 基于四波混频过程和线性分束器产生四组份纠缠. 物理学报, 2020, 69(9): 090303. doi: 10.7498/aps.69.20200040
    [4] 杨 磊, 李小英, 王宝善. 利用光纤中自发四波混频产生纠缠光子的实验装置. 物理学报, 2008, 57(8): 4933-4940. doi: 10.7498/aps.57.4933
    [5] 李述标, 武保剑, 文峰, 韩瑞. 高非线性光纤中四波混频的磁控机理研究. 物理学报, 2013, 62(2): 024213. doi: 10.7498/aps.62.024213
    [6] 苗向蕊, 高士明, 高 莹. 基于光纤四波混频效应的新型组播方法. 物理学报, 2008, 57(12): 7699-7704. doi: 10.7498/aps.57.7699
    [7] 王彦斌, 侯静, 陆启生, 彭杨, 陈子伦, 熊春乐. 长脉冲抽运光子晶体光纤四波混频和超连续谱的理论研究. 物理学报, 2011, 60(1): 014201. doi: 10.7498/aps.60.014201
    [8] 惠战强, 张建国. 基于光子晶体光纤中双抽运四波混频效应的非归零到归零码型转换实验研究. 物理学报, 2013, 62(8): 084209. doi: 10.7498/aps.62.084209
    [9] 李建设, 李曙光, 赵原源, 韩颖, 陈海良, 韩晓明, 周桂耀. 在远离光子晶体光纤零色散波长的正常色散区入射飞秒脉冲产生四波混频及孤子效应的实验研究. 物理学报, 2014, 63(16): 164206. doi: 10.7498/aps.63.164206
    [10] 李建设, 李曙光, 赵原源, 刘强, 范振凯, 王光耀. 在单零色散微结构光纤中一次抽运同时发生两组四波混频的实验观察. 物理学报, 2016, 65(21): 214201. doi: 10.7498/aps.65.214201
    [11] 尹经禅, 肖晓晟, 杨昌喜. 基于光纤四波混频波长转换和色散的慢光实验研究. 物理学报, 2010, 59(6): 3986-3991. doi: 10.7498/aps.59.3986
    [12] 邵钟浩. 具有非均匀零色散波长光纤中的四波混频. 物理学报, 2001, 50(1): 73-78. doi: 10.7498/aps.50.73
    [13] 胡明列, 王清月, 栗岩峰, 王 专, 柴 路, 张伟力. 飞秒激光在双折射微结构光纤中模式控制的四波混频效应的实验研究. 物理学报, 2005, 54(9): 4411-4415. doi: 10.7498/aps.54.4411
    [14] 惠战强, 张建国. 基于光子晶体光纤中四波混频效应的单到双非归零到归零码型转换. 物理学报, 2012, 61(1): 014217. doi: 10.7498/aps.61.014217
    [15] 郑兴娟, 任国斌, 黄琳, 郑鹤玲. 少模光纤的弯曲损耗研究. 物理学报, 2016, 65(6): 064208. doi: 10.7498/aps.65.064208
    [16] 张燕君, 高浩雷, 付兴虎, 田永胜. 少模光纤的不同模式布里渊散射特性. 物理学报, 2017, 66(2): 024207. doi: 10.7498/aps.66.024207
    [17] 肖亚玲, 刘艳格, 王志, 刘晓颀, 罗明明. 基于少模光纤的全光纤熔融模式选择耦合器的设计及实验研究. 物理学报, 2015, 64(20): 204207. doi: 10.7498/aps.64.204207
    [18] 王瑜浩, 武保剑, 郭飚, 文峰, 邱昆. 基于非线性光纤环形镜的少模脉冲幅度调制再生器. 物理学报, 2020, 69(7): 074202. doi: 10.7498/aps.69.20191858
    [19] 罗雪雪, 陶汝茂, 刘志巍, 史尘, 张汉伟, 王小林, 周朴, 许晓军. 少模光纤放大器中的准静态模式不稳定实验研究. 物理学报, 2018, 67(14): 144203. doi: 10.7498/aps.67.20180140
    [20] 薛艳茹, 田朋飞, 金娃, 赵能, 靳云, 毕卫红. 基于少模长周期光纤叠栅的模式转换器. 物理学报, 2019, 68(5): 054204. doi: 10.7498/aps.68.20181674
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出版历程
  • 收稿日期:  2018-12-03
  • 修回日期:  2019-04-02
  • 上网日期:  2019-06-01
  • 刊出日期:  2019-06-05

空频复用光纤中四波混频过程的解析分析方法

  • 电子科技大学信息与通信工程学院, 光纤传感与通信教育部重点实验室, 成都 611731
  • 通信作者: 武保剑, bjwu@uestc.edu.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 61671108, 61505021)资助的课题.

摘要: 空分复用(SDM)与波分复用(WDM)的结合有效提升了光纤通信系统的容量, 其中光纤的非线性影响不可忽视. 本文将光纤四波混频作用过程由WDM频域推广到模分复用(MDM)空间域, 第一次给出抽运消耗情形下空频域四波混频的统一解析表达式. 通过数值计算非简并四波混频耦合模方程的幅度和相位演化特性, 验证了解析分析方法的正确性. 讨论了解析解在多波耦合方程简化、大规模并行相位运算器设计以及快速非线性补偿等方面的应用.

English Abstract

    • 近年来, 波分复用(wave division multiplexing, WDM)通信系统传输容量已逐渐逼近非线性香农极限[1,2]. 为满足通信容量不断提高的需求, 空分复用(space division multiplexing, SDM)应运而生, 已成为备受关注的技术之一[3-7]. SDM主要应用形式是与当前的WDM系统相结合, 构成空频复用传输系统, 使通信容量得到大幅提升. 因此, 以少模光纤等为代表的模分复用(mode division multiplexing, MDM)技术成为光通信领域中研究的热点[8,9]. 利用光纤中各导波模式之间的正交性, 可构建MDM传输系统[10].

      在WDM系统中, 四波混频(four wave mixing, FWM)等光纤非线性效应会严重影响通信传输的性能, 相关理论不断完善[11]. 近年来, MDM系统的非线性效应也开始受到关注. 2013年, Mumtaz等[12]建立了少模或多芯光纤中的非线性传输模型, 并通过该模型研究了114 Gb/s信号在少模光纤中传输1000 km的通信性能. 同年, Mumtaz等[13]和Essiambre等[14]通过实验验证了少模光纤中模间FWM效应, 证明在大频率间隔(THz)和较大模式色散条件下也能满足相位匹配条件. 文献[15]提出了MDM系统中高斯噪声非线性理论模型, 将信道间非线性作用近似为高斯噪声处理, 研究非线性对空频复用光纤传输系统的影响. 2017年, Trichili等[16]给出了小信号条件下空频耦合模方程的近似解, 分析了少模相敏参量放大过程, 该理论不适用于抽运消耗的情形.

      时域光纤非线性演化方程的一般处理方法是采用分步傅里叶方法数值求解, 而在准连续波情形下也可以得到解析解[17]. 解析解能更好地反映非线性过程的参数依赖关系, 最近我们给出了单模高非线性光纤中简并和非简并FWM闲频光幅度和相位的统一解析表达式, 证明了非相敏放大(phase insensitive amplify, PIA)模式下闲频光相位与输入光初始相位之间的关系, 揭示了FWM相位加减混合运算器的工作原理[18]. MDM光纤系统的非线性比单模情形复杂, 自相位调制、交叉相位调制、四波混频等非线性项的系数均与模场交叠因子相关, 目前的理论研究主要集中在数值模拟或基于特定场景的半解析模型上, 精确的解析分析方法还未有报道[12,19-22].

      本文详细推导了空频域FWM耦合模方程的精确解析解, 并采用数值方法验证了解析结果的正确性. 所得解析解适用于具有抽运消耗的情形, 可用于分析WDM, MDM以及它们的联合复用系统中光纤非线性效应对光场幅度和相位的影响. 最后, 讨论了解析分析方法在多波耦合方程简化、大规模并行相位运算器设计以及快速非线性补偿等方面的应用.

    • 利用少模光纤并采用WDM技术, 可实现光场的空频复用传输. 在单模光纤中, FWM过程发生在具有不同频率的相同模式之间; 在模式复用系统中, 具有相同或不同频率的模式之间也会发生FWM. 因此, 空频复用系统中的非线性耦合方程会更加复杂. 为了使推导过程更加清晰, 本文考虑准连续线偏振导波光的非简并FWM过程. 空频域复用系统中导波光的光场复振幅${A_l}$(l = 1—4)满足如下FWM耦合方程组:

      $\begin{split} \frac{{{\rm{d}}{A_1}}}{{{\rm{d}}z}} =\; &\frac{{{\rm{i}}{\omega _1}}}{c}\left[{f_{1111}}{\left| {{A_1}} \right|^2}{A_1} + 2{f_{1122}}{\left| {{A_2}} \right|^2}{A_1} \right.\\ &\left. + 2{f_{1133}}{\left| {{A_3}} \right|^2}{A_1} + 2{f_{1144}}{\left| {{A_4}} \right|^2}{A_1}\right. \\ &\left. + 2{f_{1234}}{A_2}^*{A_3}{A_4}{{\rm e}^{{\rm{i}}\Delta \beta z}} \right], \\ \frac{{{\rm{d}}{A_2}}}{{{\rm{d}}z}} =\;& \frac{{{\rm{i}}{\omega _2}}}{c}\left[{f_{2222}}{\left| {{A_2}} \right|^2}{A_2} + 2{f_{2211}}{\left| {{A_1}} \right|^2}{A_2}\right. \\ &\left. + 2{f_{2233}}{\left| {{A_3}} \right|^2}{A_2} + 2{f_{2244}}{\left| {{A_4}} \right|^2}{A_2} \right.\\ &\left. + 2{f_{2134}}{A_1}^*{A_3}{A_4}{{\rm e}^{{\rm{i}}\Delta \beta z}}\right], \\ \frac{{{\rm{d}}{A_3}}}{{{\rm{d}}z}} =\;& \frac{{{\rm{i}}{\omega _3}}}{c}\left[{f_{3333}}{\left| {{A_3}} \right|^2}{A_3} + 2{f_{3311}}{\left| {{A_1}} \right|^2}{A_3} \right.\\ &\left. + 2{f_{3322}}{\left| {{A_2}} \right|^2}{A_3} + 2{f_{3344}}{\left| {{A_4}} \right|^2}{A_3} \right. \\ &\left. + 2{f_{3412}}{A_4}^*{A_1}{A_2}{{\rm e}^{{\rm{ - i}}\Delta \beta z}}\right], \\ \frac{{{\rm{d}}{A_4}}}{{{\rm{d}}z}} =\; & \frac{{{\rm{i}}{\omega _4}}}{c}\left[{f_{4444}}{\left| {{A_4}} \right|^2}{A_4} + 2{f_{4411}}{\left| {{A_1}} \right|^2}{A_4} \right.\\ &\left. + 2{f_{4422}}{\left| {{A_2}} \right|^2}{A_4} + 2{f_{4433}}{\left| {{A_3}} \right|^2}{A_4}\right. \\ &\left. + 2{f_{2134}}{A_3}^*{A_1}{A_2}{{\rm e}^{{\rm{ - i}}\Delta \beta z}}\right], \end{split} $

      式中c为真空中光速, z表示少模光纤的长度; ${\omega _l}$(l = 1—4)为各导波光的角频率, 导波光之间满足能量守恒关系, 即${\omega _4} + {\omega _3} - {\omega _2} - {\omega _1} = 0$; 相位失配因子$\Delta \beta = {\beta _4} + {\beta _3} - {\beta _2} - {\beta _1}$, 其中${\beta _l}$(l = 1—4)为各导波光的传播常数. 归一化横向模场分布${F_{l, m, n, p}}(x, y)$的交叠积分为

      $\begin{split} {f_{lmnp}} =\; &\iint {{n_2}(x, y){F_l}}{F_m}F_n^*F_p^*{\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{ }}\\ & (l, m, n, p = 1, 2, 3, 4), \end{split} $

      式中${n_2}(x, y)$为光纤的非线性折射率参量, F为归一化模场分布函数. 当所有涉及的模场交叠积分均相同, 且光频率间隔较小时, 非线性系数可以统一表示为${\gamma _{{\rm{NL}}}} \approx {{{n_2}{k_0}} / {{A_{{\rm{eff}}}}}}$, 此时(2)式可化为单模光纤情形[23], 其中${k_0}$为真空中导波光波数, ${A_{{\rm{eff}}}} = {\left[ {\displaystyle\iint {{{\left| F \right|}^4}{\rm{d}}x{\rm{d}}y}} \right]^{ - 1}}$为模场面积.

      将光场复振幅表示为${A_l} = \sqrt {{P_l}} {\rm{exp}}$$({\rm{i}}{\varphi _l})$的形式, 其中${P_l}$ (l = 1—4)为光功率, ${\varphi _l}$ (l = 1—4)为各导波光的相位. 因此, 对复振幅方程(1)式的求解可转换为实数场分量的求解. 将复振幅的表示代入(1)式, 得到功率演化的方程如下:

      $\begin{gathered} \frac{{{\rm{d}}{P_1}}}{{{\rm{d}}z}} = - \frac{{{\omega _1}}}{c}{f_{1234}}4\sqrt {{P_1}{P_2}{P_3}{P_4}} \sin \theta , \\ \frac{{{\rm{d}}{P_2}}}{{{\rm{d}}z}} = - \frac{{{\omega _2}}}{c}{f_{1234}}4\sqrt {{P_1}{P_2}{P_3}{P_4}} \sin \theta , \\ \frac{{{\rm{d}}{P_3}}}{{{\rm{d}}z}} = \frac{{{\omega _3}}}{c}{f_{1234}}4\sqrt {{P_1}{P_2}{P_3}{P_4}} \sin \theta , \\ \frac{{{\rm{d}}{P_4}}}{{{\rm{d}}z}} = \frac{{{\omega _4}}}{c}{f_{1234}}4\sqrt {{P_1}{P_2}{P_3}{P_4}} \sin \theta , \\ \end{gathered} $

      式中$\theta = \Delta \beta z + {\varphi _3}(z) + {\varphi _4}(z) - {\varphi _1}(z) - {\varphi _2}(z)$, 且满足关系

      $\begin{split} \;& \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}z}} =\Delta \beta + \frac{{{\rm{d}}{\varphi _4}}}{{{\rm{d}}z}} + \frac{{{\rm{d}}{\varphi _3}}}{{{\rm{d}}z}} - \frac{{{\rm{d}}{\varphi _1}}}{{{\rm{d}}z}} - \frac{{{\rm{d}}{\varphi _2}}}{{{\rm{d}}z}} \\ =\;& \Delta \beta + {O_4} + {O_3} - {O_2} - {O_1}+ \frac{{{f_{1234}}}}{c}\\ & \times 2\sqrt {{P_1}{P_2}{P_3}{P_4}} \cos \theta \left(\frac{{{\omega _4}}}{{{P_4}}} + \frac{{{\omega _3}}}{{{P_3}}} - \frac{{{\omega _2}}}{{{P_2}}} - \frac{{{\omega _1}}}{{{P_1}}}\right), \\ \end{split} $

      式中参数${O_1}$, ${O_2}$, ${O_3}$, ${O_4}$与四个光波的功率、频率分布以及模场归一化交叠积分有关, 即

      $\begin{gathered} {O_1}\! =\! {\omega _1}\left({f_{1111}}{P_1}\! + \!2{f_{1122}}{P_2}\! +\! 2{f_{1133}}{P_3} \!+\! 2{f_{1144}}{P_4}\right)/c, \\ {O_2} \!=\! {\omega _2}({f_{2222}}{P_2} \!+ \!2{f_{2211}}{P_1} \!+ \!2{f_{2233}}{P_3}\! + \!2{f_{2244}}{P_4})/c, \\ {O_3} \!= \!{\omega _3}({f_{3333}}{P_3}\! +\! 2{f_{3311}}{P_1} \!+\! 2{f_{3322}}{P_2}\! +\! 2{f_{3344}}{P_4})/c, \\ {O_4} \!=\! {\omega _4}({f_{4444}}{P_4} \!+ \!2{f_{4411}}{P_1}\! +\! 2{f_{4422}}{P_2} + 2{f_{4433}}{P_3})/c. \\ \end{gathered} $

      显然, (5)式中的参数包括了多模光纤中不同频率和模式的光场作用, 体现了多模光纤中导波光的空域和频域耦合特性. 与单模光纤情形相比, 多模光纤中四波混频耦合模方程的非线性系数发生了改变, 各项的非线性系数之间不再保持固定的大小关系, 而是取决于耦合光场的模场分布. (4)式也与单模情形的表达式不同, 不能直接利用单模光纤的推导过程进行解析求解, 因此这种非线性系数的变化增加了推导解析解的难度.

      下面, 本文通过变量代换方法, 将模式和频率的依赖性包含到相关参量中, 推导多模光纤中FWM功率和相位的解析表达式. 令${P_i} = {\omega _i}{Q_i}{\rm{ }}$(i = 1—4)和$\gamma = \dfrac{{{f_{1234}}}}{c}\sqrt {{\omega _1}{\omega _2}{\omega _3}{\omega _4}} $, 则(3)式—(5)式可重新表示为

      $\begin{split} \frac{{{\rm{d}}{Q_1}}}{{{\rm{d}}z}} =\; &\frac{{{\rm{d}}{Q_2}}}{{{\rm{d}}z}} = - \frac{{{\rm{d}}{Q_3}}}{{{\rm{d}}z}} \\=\;& - \frac{{{\rm{d}}{Q_4}}}{{{\rm{d}}z}} = - 4\gamma \sqrt {{Q_1}{Q_2}{Q_3}{Q_4}} \sin \theta, \end{split} $

      $\begin{split} \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}z}} =\;& \Delta \beta \!+\! ({o_4}\! +\! {o_3} \!-\! {o_2}\! -\! {o_1}) \! +\! 2\gamma \sqrt {{Q_1}{Q_2}{Q_3}{Q_4}}\\& \times \cos \theta \left( {\frac{1}{{{Q_4}}} + \frac{1}{{{Q_3}}} - \frac{1}{{{Q_2}}} - \frac{1}{{{Q_1}}}} \right),\end{split} $

      式中空频域耦合参量${o_1}$, ${o_2}$, ${o_3}$, ${o_4}$表示为

      $ \begin{split} {o_1} =\;& {\omega _1}({f_{1111}}{\omega _1}{Q_1} + 2{f_{1122}}{\omega _2}{Q_2}\\ & + 2{f_{1133}}{\omega _3}{Q_3} + 2{f_{1144}}{\omega _4}{Q_4})/c,\\ {o_2} =\;& {\omega _2}(2{f_{2211}}{\omega _1}{Q_1} + {f_{2222}}{\omega _2}{Q_2}\\ & + 2{f_{2233}}{\omega _3}{Q_3} + 2{f_{2244}}{\omega _4}{Q_4})/c,\\ {o_3} =\;& {\omega _3}(2{f_{3311}}{\omega _1}{Q_1} + 2{f_{3322}}{\omega _2}{Q_2}\\ & + {f_{3333}}{\omega _3}{Q_3} + 2{f_{3344}}{\omega _4}{Q_4})/c,\\ {o_4} =\;& {\omega _4}(2{f_{4411}}{\omega _1}{Q_1} + 2{f_{4422}}{\omega _2}{Q_2}\\ & + 2{f_{4433}}{\omega _3}{Q_3} + {f_{4444}}{\omega _4}{Q_4})/c. \end{split} $

      由(6)式可知, 各导波光之间存在如下关系:

      $\begin{split} {Q_1} = {Q_{10}} - q(z), \\ {Q_2} = {Q_{20}} - q(z), \\ {Q_3} = {Q_{30}} + q(z), \\ {Q_4} = {Q_{40}} + q(z), \end{split} $

      其中${Q_{i0}} = {P_{i0}}/{\omega _i} \;{\rm{ (}}i = 1, 2, 3, 4)$, 与导波光的初始功率有关, $q(z)$表示FWM的转移能量. $q(z)$的物理意义可由(9)式加以分析, 即$q(z) = \Delta {Q_i} = \Delta {P_i}/{\omega _i} = $$\Delta {P_i}{T_i}/({\omega _i}{T_i}) = \Delta {E_i}/(2{\rm{π}})$, 其中${T_i}$为光波相位周期, ${E_i} = {P_i}{T_i}$为一个周期的能量. 由(6)式—(9)式可知, $q(z)$满足如下方程:

      $\begin{split} & \frac{{{\rm{d}}q}}{{{\rm{d}}z}} =4\gamma \sqrt {{Q_1}{Q_2}{Q_3}{Q_4}} \sin \theta \\ =\;& \pm\! 4\gamma \sqrt {{Q_1}{Q_2}{Q_3}{Q_4}(1\! -\! {\cos}^2\theta )} \!=\! \pm 2\sqrt {f(q)} ,\end{split} $

      式中

      $\begin{split} f(q) =\;& 4{\gamma ^2}({Q_{10}} \!- \!q)({Q_{20}}\! -\!q)({Q_{30}} \!+ \!q)({Q_{40}} \!+\! q) \\ &- \frac{1}{4}{\left[ {{I_0} - \Delta \beta q - K(q)} \right]^2},\end{split} $

      其中${I_0} = 4\gamma \sqrt {{Q_{10}}{Q_{20}}{Q_{30}}{Q_{40}}} \cos {\theta _0}$为积分常数, 由初始输入的各光波功率和相位确定, ${\theta _0} = {\varphi _{40}} + $$ {\varphi _{30}} - {\varphi _{20}} - {\varphi _{10}}$; 参数$K(q)$是转移能量参数q的二次多项式, 其系数R1R4由多模光纤的各模场交叠积分和频率共同确定, 具体可表示为

      $\begin{split} K(q) =\;& ({R_1}{Q_{10}} + {R_2}{Q_{20}} + {R_3}{Q_{30}} + {R_4}{Q_{40}})q \\ &+ \frac{1}{2}({R_4} + {R_3} - {R_2} - {R_1}){q^2}, \end{split} $

      $\left\{ \begin{split} {R_1} = \;&\frac{1}{c}\left( {{\omega _4}2{f_{4411}}{\omega _1} + {\omega _3}2{f_{3311}}{\omega _1}} \right.\\ &\left. { - {\omega _2}2{f_{2211}}{\omega _1} - {\omega _1}{f_{1111}}{\omega _1}} \right),\\ {R_2} =\;& \frac{1}{c}\left( {{\omega _4}2{f_{4422}}{\omega _2} + {\omega _3}2{f_{3322}}{\omega _2}} \right.\\ &\left. { - {\omega _2}{f_{2222}}{\omega _2} - {\omega _1}2{f_{1122}}{\omega _2}} \right),\\ {R_3} = \;&\frac{1}{c}\left( {{\omega _4}2{f_{4433}}{\omega _3} + {\omega _3}{f_{3333}}{\omega _3}} \right.\\ &\left. { - {\omega _2}2{f_{2233}}{\omega _3} - {\omega _1}2{f_{1133}}{\omega _3}} \right),\\ {R_4} = \;&\frac{1}{c}\left( {{\omega _4}{f_{4444}}{\omega _4} + {\omega _3}2{f_{3344}}{\omega _4}} \right.\\ &\left. { - {\omega _2}2{f_{2244}}{\omega _4} - {\omega _1}2{f_{1144}}{\omega _4}} \right). \end{split} \right. $

      下面根据(10)式和(11)式求出转移能量参数q随光纤长度z的变化关系, 进而给出功率和相位的解析表达式.

    • 由(11)式可知, $f(q)$是关于转移能量参数q的四次多项式, 在初始条件确定的情况下, 可以表示为$f(q) = C_0^2(q - {\eta _1})(q - {\eta _2})(q - {\eta _3})(q - {\eta _4})$的形式, 其中${\eta _1} < {\eta _2} < {\eta _3} < {\eta _4}$是满足$f(q) = 0$的、依次按照从小到大的顺序排列的四个根, ${C_0}^2$表示$f(q)$最高次项的系数. 于是(10)式可以进一步表示为

      $z = \int_0^q {\frac{{{\rm{d}}q'}}{{2\xi \sqrt {f(q')} }}}, $

      式中$\xi = {\rm{sign} }(\sin{\theta _0})$, 依赖于输入光波的初始相位关系.

      我们的目的是得到输出功率的解析表示, 即转移能量参数$q(z)$随长度z演化的表达式. 当初始条件给定时, (14)式能够表示为第一类椭圆积分. 根据第一类椭圆积分与雅可比椭圆函数${\rm{sn}}(\mu , k)$之间的互逆运算关系, FWM转移能量参数$q(z)$的解析表达式为[17]

      $q\left( z \right) = {\eta _1} + ({\eta _2} - {\eta _1}){\left[1 - \eta \cdot {\rm{s}}{{\rm{n}}^2}\left( {\frac{{z - {Z_0}}}{{{Z_c}}}, k} \right)\right]^{ - 1}}, $

      式中

      $\begin{split} \eta =& \;{{\left( {{\eta _3} - {\eta _2}} \right)} / {\left( {{\eta _3} - {\eta _1}} \right)}}, \\ k =&\; \sqrt {{{\eta \left( {{\eta _4} - {\eta _1}} \right)} / {\left( {{\eta _4} - {\eta _2}} \right)}}} , \\ {Z_c} =& \xi /\sqrt {{C_0}\left( {{\eta _3} - {\eta _1}} \right)\left( {{\eta _4} - {\eta _2}} \right)} , \\ {Z_0} =&\; - \xi {Z_c} \cdot {\rm{F}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\sqrt {{{{\eta _2}} / {\left( {\eta {\eta _1}} \right)}}} } \right), k} \right), \end{split}$

      其中F为第一类椭圆积分. 根据(9)式和(15)式, 多模光纤中导波光的功率演化规律可解析地表示为

      $\begin{split} {P_1}(z) = {P_{10}} - {\omega _1}q(z), \\ {P_2}(z) = {P_{20}} - {\omega _2}q(z), \\ {P_3}(z) = {P_{30}} + {\omega _3}q(z), \\ {P_4}(z) = {P_{40}} + {\omega _4}q(z). \end{split} $

      (15)式—(17)式描述了空频复用多模光纤FWM作用中导波光的光功率演化规律, 也适用于单模光纤的情形, 其中参数${\eta _1}$$ \eta_4$计及了空频耦合作用.

      根据非简并FWM过程所满足的频率关系$ {\omega _1} +$$ {\omega _2} = {\omega _3} + {\omega _4}$, 由(17)式可知, 光波沿光纤传播时${P_1}(z) \!+\! {P_2}(z) \!+\! {P_3}(z) \!+\! {P_4}(z) = {P_{10}} \!+\! {P_{20}} \!+\! {P_{30}} $$ \, +{P_{40}}$, 即总功率始终保持不变, 符合FWM作用过程中能量守恒的条件, 一定程度上表明了我们理论推导的正确性.

    • 由(4)式可知, 导波光的相位与$q(z)$相关, 即相位的解析解可以由$q(z)$的解析式推导得到. 为简单起见, 本文以闲频光的相位${\varphi _4}$为例, 将${o_4}$$K(q)$分别表示为${o_4} = A + Bq$$K(q) = Cq + D{q^2}$的形式, 其中A, B, C, D由(8)式、(12)式和(13)式给出. 则相位${\varphi _4}$的演化方程为

      $\begin{split} \frac{{{\rm{d}}{\varphi _4}}}{{{\rm{d}}z}} = \;&{o_4} + \frac{{{I_0} - \Delta \beta q - K(q)}}{{2({Q_{40}} + q)}} \\ =\; &a + bq + \frac{c}{{d - q}}. \end{split} $

      式中参数a, b, c, d表示如下:

      $\left\{ \begin{split} &a = A + \frac12 ({{D{Q_{40}} - \Delta \beta - C}}), \\ & b = \left(B - {D}/{2}\right), \\ & c = - \frac12 ({{{I_0} + (\Delta \beta + C){Q_{40}} - DQ_{40}^2}}), \\ & d = - {Q_{40}}. \\ \end{split} \right.$

      (18)式具有如下通解形式[17]:

      ${\varphi _4} = \varphi _{40}^ * + \left( {a + b{\eta _1} + \frac{c}{{d - {\eta _1}}}} \right)z + {\phi _{\rm I}} + {\phi _\Pi }, $

      式中积分常数$\varphi _{40}^ * $与输入导波光初始相位关系可通过解析方法确定[18], 本文将通过数值计算方法得到同样的结果. 其中${\varphi _{\rm I}}$${\varphi _\Pi }$均与导波光的初始条件有关, 可用第三类椭圆积分表示为:

      $ \begin{split} {\phi _{\rm I}} ={}& b{Z_c}\left( {{\eta _2} - {\eta _1}} \right)\big\{ \Pi \left[ {\eta , {\sin}^{ - 1}\left( {{\rm{sn}}\left( {{u_Z}, k} \right)} \right), k} \right] \\ & - \Pi \left[ {\eta ,{\sin}^{ - 1}\left( {{\rm{sn}}\left( {{u_0}, k} \right)} \right), k} \right] \big\}, \end{split} $

      $ \begin{split}{\phi _\Pi } \;& = \frac{{c{Z_c}\left( {{\eta _2} - {\eta _1}} \right)}}{{\left( {d - {\eta _1}} \right)\left( {d - {\eta _2}} \right)}}\\ &\times \bigg\{ \Pi \left[ {\eta \frac{{\left( {d - {\eta _1}} \right)}}{{\left( {d - {\eta _2}} \right)}},{{\sin }^{ - 1}}\left( {{\rm{sn}}\left( {{u_Z},k} \right)} \right),k} \right]\\ & - \Pi \left[ {\eta \frac{{\left( {d - {\eta _1}} \right)}}{{\left( {d - {\eta _2}} \right)}},{{\sin }^{ - 1}}\left( {{\rm{sn}}\left( {{u_0},k} \right)} \right),k} \right] \bigg\},\end{split} $

      ${u_Z} = {{\left( {z - {Z_0}} \right)} / {{Z_c}}}, $

      ${u_0} = - {{{Z_0}}/ {{Z_c}}}.$

      类似于闲频光相位解析解的推导过程, 也可以得到其他导波光相位的解析表达式.

      (20)式—(24)式给出了多模光纤中导波光场相位演化的解析解, 尽管形式上与单模光纤的解析解类似, 但其中涉及的诸多参量如A, B, C, D以及${\eta _1}$$\eta_4$等有所不同.

      需指出的是, 上述相位的解析解是在$q(z)$单调区间内得到的. 事实上, 随着光纤长度z的增加, $q(z)$的演化具有周期震荡特性, 在(10)式符号改变的位置$q(z)$的单调性也发生改变, 此时相位解析解出现奇异(相位跳变). 此外, 在$z=0$的初始位置, 由于$q(z)=0$, 当没有闲频光输入时$f(q) = 0$, 相位的解析解也存在奇异性. 因此, 需单独分析各单调区间的情况, 并考虑$q(z)$周期变化对相位的累积影响, 有关相位的完整表示在文献[17]中已有详细的讨论.

    • 下面利用解析解来分析多模光纤中非简并FWM过程, 并采用数值方法直接对空频复用FWM耦合模方程(1)式进行求解, 来验证上述解析解的正确性. 令两个抽运光的频率为${f_1}$${f_2}$, 探测光为${f_3}$, 产生的闲频光频率为${f_4}$, 它们的模场分布对应于两个模群的三个线偏振模${\rm{L}}{{\rm{P}}_{01}}$, ${\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{11a}}}}$${\rm{L}}{{\rm{P}}_{11{\rm{b}}}}$, 具体的模场分布和频率分配如图1所示. 结合文献[9,24]给出的少模光纤的参数, 选择参考频率${f_0}$为194.81 THz, 传输光纤长度为4.5 km; 简并模${\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{11a}}}}$${\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{11b}}}}$具有相同的传播常数, 差模群时延(DMGD)$\beta _1^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{11}}} - \beta _1^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{01}}}$ = 100 ps/km, 对应的色散参量为$\beta _2^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{01}}}$ = –24.3 ps2/km和$\beta _2^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{11}}}$ = –23.03 ps2/km, 并且假定所有模式具有相同的色散斜率.

      图  1  非简并FWM过程中导波光的模式与频谱分布

      Figure 1.  Mode and frequency distribution in the non-degenerate FWM process.

      对(1)式进行求解, 首先要知道导波光场的交叠积分${f_{lmnp}}$和相位失配$\Delta \beta $. 文献[9,24]已给出模场归一化交叠积分的参数${f_{lmnp}}/{f_{{\rm{LP01}}}}$, 如表1所列, 其中${f_{{\rm{LP01}}}}$${\rm{L}}{{\rm{P}}_{01}}$模的交叠积分. 下面通过优化导波光的频率分布, 尽可能满足相位匹配条件$\Delta \beta \approx$$ 0$. 选择参考频率${f_0} = {f_1}$, 则相位失配因子$\Delta \beta $

      模场分布flmnp/fLP01/arb.units
      4束光都为LP011.000
      4束光都为LP11a或LP11b0.747
      2束光为LP01模、2束光为LP11a或LP11b0.496
      2束光为LP11a模、2束光为LP11b0.249

      表 1  模场的归一化交叠积分参数

      Table 1.  Normalized overlap integral parameters of mode fields.

      $\begin{split} \!\;& \Delta \beta ={\beta ^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{11{\rm{b}}}}}} + {\beta ^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{01}}}} - {\beta ^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{01}}}} - {\beta ^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{11{\rm{a}}}}}}\\ =\;& (\beta _1^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{11}}}}}\! -\! \beta _1^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{01}}}}})\! \left( {\Delta {f_2}\!{\rm{ + }}\!\Delta {f_1}} \right) \!+\! \frac{1}{2}(\beta _2^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{11}}}}} \!+\! \beta _2^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{01}}}}})\\ &\times \Delta {f_1}^2 + \beta _2^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{11}}}}}\Delta {f_1}\Delta {f_2}. \end{split}$

      根据(25)式, 可画出相位失配随$\Delta {f_1}$$\Delta {f_2}$变化的情况, 如图2所示. 优化频率参数$\Delta {f_1}$$\Delta {f_2}$的取值, 可使相位匹配失配$\left|\Delta \beta \right|$取到最小. 由图2可知, $\left|\Delta \beta \right|$$\Delta {f_2}$的改变更加敏感. 选择$\Delta {f_1}$ = 0.13 THz和$\Delta {f_2}$ = 0.33 THz, 使$\left|\Delta \beta \right|$ = 0. 则参与FWM过程的导波光频率为${f_1}$ = 194.81 THz, ${f_2}$ = 195.14 THz, ${f_3}$ = 194.68 THz, ${f_4}$= 195.27 THz.

      图  2  相位失配因子对$\Delta {f_1}$$\Delta {f_2}$的依赖

      Figure 2.  Dependency of phase mismatching factor on $\Delta {f_1}$ and $\Delta {f_2}$.

      根据上述计算参数, 用四阶龙格库塔法对(1)式进行数值求解[25], 相同参数也代入解析式(15)式—(17)式和(20)式—(24)式, 分别得到闲频光的功率和相位随长度z的变化曲线, 如图3所示, 其中抽运1的功率为0.5 W, 抽运2的功率为0.35 W, 输入探测光功率分别为0.01, 0.05和0.1 W. 由图3(a)可知, 闲频光输出功率的解析解和数值计算结果完全相同, 探测光输入功率越大, 输出闲频光功率达到饱和所需的光纤长度越短. 再结合图3(b)可知, 在功率单调变化的区间内, 闲频光相位的解析解与数值结果也非常符合, 探测光输入功率越大, 相位随光纤长度的变化也越大. 由图3(b)可知, 无闲频光输入时, 相位在光纤输入端出现了跳变, 计算时闲频光功率取了一个很小的值(如10–10 W). 实际上, 由于噪声的存在, 闲频光输入会从噪声中产生, 解析解的条件自动得到满足, 因此在应用中并不会受到限制. 总之, 在解析式的适 用范围内, 本文得到的解析解与数值结果完全 一致.

      图  3  解析解与数值结果的比较 (a)闲频光功率; (b)闲频光相位

      Figure 3.  Comparison of analytical and numerical results: (a) Idler output power; (b) idler output phase.

      上述结果表明, 合理设计光纤结构和优化输入参数, 少模光纤中仍可发生高效的模间FWM, 同时实现模式和波长转换功能.

    • 与数值计算方法相比, 解析分析方法更加便捷. 本文给出的空频复用FWM解析解适用范围更加广泛, 可快速分析少模光纤中的FWM效应, 也可以用于拟合模场交叠积分等. 下面讨论解析解在多波耦合方程简化、大规模并行相位运算器设计以及快速非线性补偿等方面的新型应用.

    • 在级联FWM中, 特别是在空频复用多模光纤中, 多组FWM过程可能同时发生, 需用多波耦合方程组加以描述. 每个耦合方程对应一个特定模式和频率的光波, 并涉及与其他导波光的FWM耦合项, FWM耦合项数随着导波光数目的增加指数增长, 将导致传统分步傅里叶算法的计算效率急剧下降. 此时可利用本文给出的解析解计算FWM耦合项的贡献大小并筛选出起主要作用的耦合项, 从而简化多波问题的分析和研究.

      下面利用本文得到的多模FWM解析解, 给出多波耦合项的具体筛选过程. 图4(a)是在不同相位失配下, 由本文解析式计算得到的转移能量参数$q(z)$随光纤长度变化的曲线, 可以看出, FWM转移能量的极大值${q_p}$$\Delta \beta $密切相关. 定义一个相位匹配度参数$\mu (\Delta \beta )$

      图  4  (a) FWM转移能量在不同相位失配$\Delta \beta $随光纤长度L的变化; (b) 相位匹配度$\mu $$\Delta \beta $的变化

      Figure 4.  (a) FWM energy transfer $q(z)$ of different $\Delta \beta $ with fiber length L; (b) variation of phase matching parameter $\mu $ with $\Delta \beta $.

      $\mu (\Delta \beta ) = \frac{{{q_p}(\Delta \beta )}}{{{q_{\max }}}}, $

      式中${q_p}(\Delta \beta )$表示$q(z)$的极大值是相位失配$\Delta \beta $的函数, 它不依赖于光纤长度; ${q_{\max }}$为完全相位匹配时FWM的最大转移能量[17], 即${q_{\max }} = \min ({P_{{\rm{pump}}1}}/ $${\omega _{{\rm{pump}}1}},{P_{{\rm{pump}}2}}/{\omega _{{\rm{pump}}2}})$. 显然, 相位匹配度参数描绘了不同相位失配因子下FWM耦合项的贡献大小. 利用FWM的解析解, 可画出相位匹配度$\mu $$\Delta \beta $的变化曲线, 如图4(b)所示. 若所计算的FWM耦合项的实际相位失配因子处于$\mu $${\mu _{\rm{c}}}$的范围, 则该FWM耦合项的贡献不能忽略, 即保留该耦合项, 其中${\mu _{\rm{c}}}$为临界值, 如可取${\mu _{\rm{c}}}$ = 0.05; 否则该FWM耦合项可忽略, 从而达到简化多波FWM耦合方程的目的.

    • 由多模光纤解析解的相位关系(20)式可知, 对于没有闲频光输入的非相敏情形, 输出闲频光相位可为如下形式:

      ${\varphi _4} = \varphi _{40}^* + \Delta \varphi , $

      式中$\varphi _{40}^*$为积分常数, $ \Delta \varphi = \left( {a + b{\eta _1} + \dfrac{c}{{d - {\eta _1}}}} \right) \times $$z +{\phi _{\rm I}} + {\phi _\Pi }$依赖于光纤长度z. 本文通过对(1)式进行数值计算的方式, 得到多模光纤中输出闲频光相位${\varphi _4}$与输入初相位运算(${\varphi _{10}} + {\varphi _{20}} - {\varphi _{30}}$)的关系, 如图5所示, 可以看出它们之间具有固定的相移$\Delta \varphi $ = 0.5236 rad, 它不依赖于输入导波光的初相位. 进一步地, 由(27)式可知, 输出相位积分常数$\varphi _{40}^*$满足运算关系$\varphi _{40}^* = {\varphi _{10}} + {\varphi _{20}} - {\varphi _{30}}$, 此式揭示了FWM相位运算器的本质.

      图  5  输出闲频光相位${\varphi _4}$与输入初相位运算${\varphi _{10}} + $${\varphi _{20}} - {\varphi _{30}}$之间的关系

      Figure 5.  Dependence of output idler phase ${\varphi _4}$ on the initial phase operation of ${\varphi _{10}} + {\varphi _{20}} - {\varphi _{30}}$.

      图1所示的模间FWM过程为例, 利用解析解计算少模光纤相位运算器的性能. 将三路四进制数字序列调制到频率为$f_1^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{11{\rm{a}}}}}$, $f_2^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{01}}}}}$$f_3^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{{\rm{01}}}}}$的导波光场上, 生成QPSK光信号, 同时叠加一个零均值的高斯白噪声; 经过少模光纤传输后在频率$f_4^{{\rm{L}}{{\rm{P}}_{11{\rm{b}}}}}$处产生闲频光, 最后由光接收机进行相位解调. 输出闲频光的信噪比(SNR)随输入SNR的变化如图6所示, 可以看出, 输出闲频光的SNR与输入导波光的SNR成正比, 该相位运算器会导致约1.6 dB的SNR劣化.

      图  6  输入信号SNR与输出信号SNR的关系

      Figure 6.  Input signal SNR vs. output signal SNR.

      由上述分析可知, 利用本文的解析表达式可实现少模光纤中数字相位运算器的设计, 以及其他全光数字运算功能[26-31]. 并且, 若将数字运算序列分别调制到几个模式上, 利用MDM的FWM过程也能够实现多路全光相位运算, 换句话说, 通过设计优化少模高非线性光纤的参数, 可设计空频域复用系统的多通道相位运算器.

    • 数字后向传播算法(digital back propagation, DBP)是目前光通信系统中重要的非线性补偿算法之一[32], 它基于分步傅里叶算法反向计算出原始信号, 以补偿实际传输中的非线性损伤. 将DBP算法直接用于少模光纤系统的计算复杂度会更高[33], 我们提出利用FWM解析解的逆运算来对少模传输系统进行非线性补偿的方法, 一个算法处理流程如图7所示. 首先, 通过训练序列得到通信链路的非线性响应, 并采用遗传算法或二分法对解析式中的非线性参量进行估计; 然后在实际补偿中, 根据解析解对应的逆函数方程, 利用不动点迭代法对接收信号运算, 得出发送端的幅度信息. 最后, 采用相似的方式恢复出发送信号的相位, 从而实现少模光纤非线性的补偿.

      图  7  基于FWM解析解的非线性补偿框图

      Figure 7.  Block diagram of nonlinear compensation based on the analytic solution for FWM effect.

      本文提出的非线性补偿算法适用于空频复用光传输系统, 它通过解析解逆函数法对接收到的信号进行反向运算, 其解析特性决定了算法本质上是单步运算过程, 不会随传输距离的增加提升复杂度, 相比DBP基于长度的分步傅里叶迭代计算, 具有先天的低复杂度优势. 算法的具体实现过程与分析, 将会另文发表.

      本文在连续波的条件下得到了多模光纤FWM的解析解, 连续光模型有助于简化分析过程. 例如, 在忽略群速色散的条件下, 可以采用连续或准连续光来分析脉冲光在少模光纤中的传输特性, 也可用于计算通信系统的信噪比等统计性能; 此外, 周期性光脉冲可以视为不同频率连续光波的合成, 即使存在群速色散, 仍可利用上述解析解进行计算分析. 值得强调的是, 利用FWM的解析解可以有效分析导波光在少模光纤中的非线性幅度和相位转移特性, 可为少模多电平全光再生器设计提供理论指导.

    • 详细推导了空频复用系统中非简并FWM闲频光幅度和相位的解析表达式, 并通过数值仿真验证了解析解的正确性. 讨论了解析分析法的三个新型应用. 1)根据FWM的解析解, 通过引入相位匹配度参数来筛选级联FWM多波耦合方程的耦合项, 为简化空频域多波耦合问题提供了理论方法; 2)将解析解和数值计算结果相结合, 揭示了非相敏FWM相位运算器的物理本质, 解析式为空频复用系统的相位运算器设计提供了理论依据; 3)提出了基于解析解的非线性补偿方法, 可用于少模传输系统, 与传统DBP算法相比, 解析法具有低复杂度的优势.

参考文献 (33)

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