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一个可积的逆空时非局部Sasa-Satsuma方程

宋彩芹 朱佐农

一个可积的逆空时非局部Sasa-Satsuma方程

宋彩芹, 朱佐农
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  • 本文给出了一个可积的逆空时(逆空间-逆时间)非局部Sasa-Satsuma方程. 建立了这个方程的Darboux变换, 并且构造了这个逆空时非局部方程在零背景条件下的孤子解.
      通信作者: 朱佐农, znzhu@sjtu.edu.cn
    • 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11671255, 11801367)资助的课题
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    Liu Y K, Li B 2017 Chin. Phys. Lett. 34 010202

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    [22]

    Rao J, Cheng Y, Porsezian K, Mihalache S, He J S 2020 Physica D 401 132180

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    Ji J L, Zhu Z N 2017 J. Math. Anal. Appl. 453 973

    [24]

    Ma L Y, Zhu Z N 2016 J. Math. Phys. 57 083507

  • 图 1  可积的逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的孤子解 (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

    Fig. 1.  Soliton solutions of integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation (7): (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, $ $\lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

  • [1]

    Sasa N, Satsuma J 1991 J. Phys. Soc. Jpn 60 409

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    Ghosh S, Kundu A, Nandy S 1999 J. Math. Phys. 40 1993

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-14
  • 修回日期:  2019-12-21
  • 上网日期:  2019-12-24
  • 刊出日期:  2020-01-01

一个可积的逆空时非局部Sasa-Satsuma方程

  • 1. 上海理工大学理学院, 上海 200093
  • 2. 上海交通大学数学科学学院, 上海 200240
  • 通信作者: 朱佐农, znzhu@sjtu.edu.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11671255, 11801367)资助的课题

摘要: 本文给出了一个可积的逆空时(逆空间-逆时间)非局部Sasa-Satsuma方程. 建立了这个方程的Darboux变换, 并且构造了这个逆空时非局部方程在零背景条件下的孤子解.

English Abstract

    • 耦合的Sasa-Satsuma系统

      $ \begin{split} & {\rm i} Q_{T}+\frac{Q_{XX}}{2}+Q^2R\\ \, & + {\rm i}\left[Q_{XXX}+9QRQ_X+3Q^2R_X\right] = 0,\\ &{\rm i}R_{T}-\frac{R_{XX}}{2}-QR^2\\ \, & +{\rm i}\left[R_{XXX}+9QRR_X+3R^2Q_X\right] = 0, \end{split} $

      是一个非线性可积系统. 这个系统在约化条件$ R(X, T) = \pm Q^*(X, T) $下转化为经典的Sasa-Satsuma方程[1-14],

      $ \begin{split} & {\rm i}Q_{T}+\frac{1}{2}Q_{XX}\pm |Q|^2Q\\ \, & +{\rm i} \left[Q_{XXX}\pm 9|Q|^2Q_X\pm 3|Q|^2Q^*_X)\right] = 0, \end{split} $

      这是一个可积的高阶非线性薛定谔方程. 这个方程可以用来描述光纤中飞秒脉冲的传播[2,3].

      最近, Ablowitz和Musslimani[15]给出了一个逆空间的可积非局部NLS方程,

      $ {\rm i}q_t(x,t)+q_{xx}(x,t)\pm 2q^2(x,t)q^{*}(-x,t) = 0. $

      这个逆空间的可积非局部NLS方程引起了人们对这类非局部可积非线性系统的极大研究兴趣. 若干逆空间、逆时间或逆空时非局部可积方程被提出并被研究[15-24]. 作者在文献[20]中研究了一个逆空时可积非局部Sasa-Satsuma方程:

      $ u_t+u_{xxx}\pm (9 uu_xu^*(-x,-t)+3u^2(u^*(-x,-t))_x) = 0. $

      我们注意到这样一个事实: 对于系统(1), 如果做约化$ R(X, T) = Q(-X, -T) $, 则可得到如下逆空时非局部Sasa-Satsuma方程:

      $ \begin{split} & {\rm i}Q_{T}+\frac{Q_{XX}}{2}+Q^2Q(-X,-T)\\ \, & +{\rm i} \bigg[Q_{XXX} +9QQ(-X,-T)Q_X\bigg. \\\, & + \left. 3Q^2\frac{\partial Q(-X,-T)}{\partial X}\right] = 0.\end{split}$

      在变换

      $\begin{split} & u(x,t) = Q(X,T)\exp\left\{\frac{-{\rm i}}{6}(X-\frac{T}{18})\right\}, \\ &t = T, x = X-\frac{T}{12} \end{split}$

      下, 逆空时非局部Sasa-Sasuma方程(5)转化为如下形式:

      $ u_{t}+u_{xxx}+9uu(-x,-t)u_x+3u^2\frac{\partial u(-x,-t)}{\partial x} = 0. $

      显然, 方程(7)也可以看作为一个逆空时非局部mKdV型方程. 本文的主要目的是建立逆空时非局部Sasa-Sasuma方程(7)的Darboux变换, 并给出这个方程的孤子解.

    • 我们注意到方程(7)可以从系统

      $ \begin{split} & u_{t}+u_{xxx}+9uvu_x+3u^2v_x = 0,\\ & v_{t}+v_{xxx}+9uvv_x+3v^2u_x = 0, \end{split} $

      通过约化$ v = u(-x, -t) $而得到. Sasa-Satsuma系统 (8)和耦合系统(1)是等价的. 事实上, 在变换

      $ \begin{split} & u(x,t) = Q(X,T){\rm exp}\left\{\frac{-{\rm i}}{6}\left( {X - \frac{T}{{18}}} \right)\right\},\\ & v(x,t) = R(X,T){\rm exp}\left\{\frac{{\rm i}}{6}\left( {X - \frac{T}{{18}}} \right)\right\},\\ & t = T,\; \; x = X-\frac{T}{12} \end{split} $

      下, 这两个系统可以相互转化. 对于耦合Sasa-Satsuma系统 (8)在不同的约束条件下可以化为不同的方程: 当$ v = u $时, 系统 (8)化为mKdV方程; 当$ v = u^* $时, 系统 (8)化为一个复的mKdV型方程即经典的Sasa-Satsuma方程. Sasa-Satsuma方程(8)是Lax可积的. 事实上, 系统 (8)可由如下的线性谱问题

      $ \begin{split}\, & { {\varPhi}}_x = { U}{ {\varPhi}},\quad { U} = {\rm i}\lambda { {\sigma}}_3 +{ P}, ~ { {\varPhi}}_t = { V}{ {\varPhi}}, \\ \, & { V} = 4{\rm i}\lambda^3 { {\sigma}}_3+4 \lambda^2 { P}+2{\rm i} \lambda({ P}^2+{ P}_x){ {\sigma}}_3\\ & \qquad +{ P}_x{ P}-{ {PP}}_x-{ {P}}_{xx}+2{ {P}}^3 \\[-10pt]\end{split} $

      的可积性条件$ { U}_{t}-{ V}_{x}+{ {UV}}-{ {VU}} = 0 $得到, 其中

      $ { P} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&u\\ 0&0&v\\ { - v}&{ - u}&0 \end{array}} \right),\;\;\;{{ {\sigma}} _3} = {\rm{diag}}(1,1, - 1). $

      我们用$ { {\varPhi}}(x, t;\lambda_j) $来表示线性谱问题(9)在谱参数$ \lambda = \lambda_j $下的特征向量函数. 令${ {\varTheta}}_j = { {\varPhi}}'(x, t;\lambda_j){ M} $, 那么可以直接验证

      $ { {\varTheta}}_j = (\phi_2(x,t,\lambda_j),\phi_1(x,t,\lambda_j),\phi_3(x,t,\lambda_j)) $

      是线性谱问题(9)的伴随问题

      $ { {\varTheta}}_x = -{ {\varTheta}} { U}, \; { {\varTheta}}_t = -{ {\varTheta}} { V} $

      在谱参数$ \lambda = -\lambda_j $下的特征函数, 这里上标$ ' $表示矩阵的转置, 矩阵M

      $ M = \left( \begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right). $

      $ { {\varPhi}}(x, t;\lambda_j) $$ \phi_l(x, t;\lambda_j) $分别简记为$ { {\varPhi}}_j $$ \phi_{j, l} $. 类似于文献[20], 我们可以获得Sasa-Satsuma方程(7)的Darboux变换. 首先给出(8)式的双Darboux变换. 作如下特征函数的变换:

      $ \begin{array}{c} { {\varPhi}}[1] = { T}{ {\varPhi}} = { {\varPhi}}-{ {\eta}}_1{ {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\eta}}_1)^{-1}{ {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\varPhi}}), \end{array} $

      其中$ { {\eta}}_1 = ({ {\varPhi}}_{1}, { {\varPhi}}_{2}) $,

      $\begin{split} & { {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\eta}}_1) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \dfrac{{ {\varTheta}}_{1}{ {\varPhi}}_{1}}{-2\lambda_{1}} & \dfrac{{ {\varTheta}}_{1}{ {\varPhi}}_{2}}{-\lambda_{1}-\lambda_{2}} \\ \dfrac{{ {\varTheta}}_{2}{ {\varPhi}}_{1}}{-\lambda_{2}-\lambda_{1}} & \dfrac{{ {\varTheta}}_{2} { {\varPhi}}_{2}}{-2\lambda_{2}}\end{array}} \right),\\ & { {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\varPhi}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \dfrac{{ {\varTheta}}_{1}{ {\varPhi}}}{-\lambda_{1}-\lambda} \\ \dfrac{{ {\varTheta}}_{2}{ {\varPhi}}}{-\lambda_{2}-\lambda} \end{array}} \right). \end{split}$

      则联系于耦合的Sasa-Satsuma系统 (8)的线性谱问题(9)变换为

      $ \begin{array}{l} { {\varPhi}}[1]_x = { U}[1]{ {\varPhi}}[1],\quad { {\varPhi}}_x = { V}[1]{ {\varPhi}}[1], \end{array} $

      其中

      $ \begin{split} { U}[1] =\,& {\rm i} \lambda { {\sigma}}_3 +{ P}[1],\\ { V}[1] =\, & 4{\rm i}\lambda^3 { {\sigma}}_3+4 \lambda^2 { P}[1]+2{\rm i} \lambda({ P}[1]^2+{ P}[1]_x){ {\sigma}}_3\\ & +{ P}[1]_x{ P}[1]-{ P}[1]{ P}[1]_x-{ P}[1]_{xx}+2{ P}[1]^3. \end{split} $

      我们期望矩阵$ { P}[1] $与矩阵P有完全相同的结构. 可以验证如果矩阵$ { P}[1] $中的$ u[1], v[1] $与矩阵P中的$ u, v $有如下关系:

      $ u[1] = u-2{\rm i}S_{13}, v[1] = v-2{\rm i}S_{23}, $

      其中$ { S} = { {\eta}}_1{ {\varOmega}}({ {\eta}}_1, { {\eta}}_1)^{-1}{ {\eta}}_1'{ M} $, 则矩阵$ { P}[1] $与矩阵P有完全相同的结构, 即方程(8)的双Darboux变换被获得. 值得指出的是如果取约化$ v = u^* $, 耦合Sasa-Satsuma方程(8)约化为经典的Sasa-Satsuma方程. 我们在变换(13)式中取$ \lambda_2 \!=\! -\lambda_1^* $及特征函数$ { {\varPhi}}_2 = \Big(\phi^*_2(x, t;\lambda_1), \phi^*_1(x, t;\lambda_1), \phi^*_3(x, t;\lambda_1)\Big)' $, 那么变换后(16)式的势函数满足$ v[1] = u[1]^* $, 其表达式与文献[5,7,8]中得到的经典Sasa-Satsuma方程的势函数变换关系相同.

      如果令矩阵P中的$ v = u(-x, -t) $并选取适当的参数使得$ S_{23} = S_{13}(-x, -t) $, 那么$ { P}[1] $中的$ v[1] $就等于$ u[1](-x, -t) $. 从而$ u[1] $u的关系实质上就是逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的Bäcklund变换. $ u[1] $是这个逆空时非局部Sasa-Satsuma方程的解.

      进一步, 可以给出耦合Sasa-Satsuma系统 (8)的n次双Darboux变换. 令

      $ { {\varPhi}}[n] = { {\varPhi}}-{ {RW}}^{-1}{ {\varOmega}}, $

      其中$ { R} = ({ {\eta}}_1, { {\eta}}_2, \cdots, { {\eta}}_n) $并且

      $\begin{split} & { W} = \left(\!\!\! \begin{array}{*{20}{c}} { {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\eta}}_1) & { {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\eta}}_2) &\cdots &{ {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\eta}}_n) \\ { {\varOmega}}({ {\eta}}_2,{ {\eta}}_1) & { {\varOmega}}({ {\eta}}_2,{ {\eta}}_2) & \cdots & { {\varOmega}}({ {\eta}}_2,{ {\eta}}_n) \\ \vdots& \vdots& \ddots & \vdots \\ { {\varOmega}}({ {\eta}}_n,{ {\eta}}_1) & { {\varOmega}}({ {\eta}}_n,{ {\eta}}_2) &\cdots& { {\varOmega}}({ {\eta}}_n,{ {\eta}}_n) \end{array}\!\!\!\right), \\ & { {\varOmega}} = \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} { {\varOmega}}({ {\eta}}_1,{ {\varPhi}}) \\ { {\varOmega}}({ {\eta}}_2,{ {\varPhi}}) \\ \vdots \\ { {\varOmega}}({ {\eta}}_n,{ {\varPhi}}) \end{array} \!\right), \\[-35pt] \end{split}$

      其中$ { {\eta}}_k = ({ {\varPhi}}_{2 k-1}, { {\varPhi}}_{2 k}) $,

      $\begin{split} & { {\varOmega}}({ {\eta}}_k,{ {\eta}}_l) = \left(\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} \dfrac{{ {\varTheta}}_{2k-1}{ {\varPhi}}_{2l-1}}{-\lambda_{2k-1}-\lambda_{2l-1}} & \dfrac{{ {\varTheta}}_{2k-1} { {\varPhi}}_{2l}}{-\lambda_{2k-1}-\lambda_{2l}} \\ \dfrac{{ {\varTheta}}_{2k}{ {\varPhi}}_{2l-1}}{-\lambda_{2k}-\lambda_{2l-1}} & \dfrac{{ {\varTheta}}_{2k}{ {\varPhi}}_{2l}}{-\lambda_{2k}-\lambda_{2l}} \end{array}}\!\!\! \right), \\ &\varOmega({ {\eta}}_k,{ {\varPhi}}) = \left(\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}}\dfrac{{ {\varTheta}}_{2k-1}{ {\varPhi}}}{-\lambda_{2k-1}-\lambda} \\ \dfrac{{ {\varTheta}}_{2k}{ {\varPhi}}}{-\lambda_{2k}-\lambda}\end{array}}\!\!\!\right).\end{split}$

      变换后位势函数$ u[n] $$ v[n] $可以由矩阵$ { P}[n] $与矩阵P之间的关系

      $ { P}[n] = { P}+{\rm i}[{ {RW}}^{-1}{ R}'{ M},{ {\sigma}}_3] $

      给出. 设$ { a}, { b} $是一个$ 2 n $阶行向量, 那么根据等式关系

      $ { a}W^{-1}{ b}' = \frac{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} W & { b}' \\ -{ a} & 0 \end{array}} \right|}{|W|}, $

      可以得到

      $\begin{split} & u[n] = u-2{\rm i}\frac{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { W} & { r}'_3 \\ -{ r}_1 & 0 \end{array}} \right|}{|W|},\\ & v[n] = v-2{\rm i}\frac{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { W} & { r}'_3 \\ -{ r}_2 & 0 \end{array}} \right|}{|{ W}|}, \end{split}$

      其中$ { r}_l = (\phi_{1, l}, \phi_{2, l}, \cdots, \phi_{2 n-1, l}, \phi_{2 n, l}), \; l = 1, 2, 3 $. 需要指出, 文献[5]给出了Sasa-Satsuma方程(即方程(8)中取$ v = u^* $)的Darboux变换, 但没有给出高阶Darboux变换. 这里给出了Sasa-Satsuma系统 (8)的高阶双Darboux变换. 在约化$ v = u^* $下, 取$ \lambda_{2 j} = -\lambda_{2 j-1}^* $及特征函数${ {\varPhi}}_{2 j} = $$ \Big(\phi^*_2(x, t;\lambda_{2 j-1}), \phi^*_1(x, t; \lambda_{2 j-1}), \phi^*_3(x, t;\lambda_{2 j-1})\Big)' $, 即可获得Sasa-Satsuma方程的高阶Darboux变换.

    • 借助于Darboux变换, 我们将构造方程(7)的解. 方程(7)有指数形式的解$ u = r{\rm e}^{\kappa(x-(\kappa^2+6 r^2)t)} $, 其中rκ是任意的实数. 特别地, $ u = 0 $是一个解. 解对应的线性谱问题得到在谱参数$ \lambda = \lambda_j $时的特征函数为

      $\begin{split} & \phi_{j1} = \alpha_j {\rm e}^{\theta_j},\;\; \phi_{j2} = \beta_j {\rm e}^{\theta_j},\;\; \phi_{j3} = {\rm e}^{-\theta_j}, \\ & \theta_j = {\rm i}\lambda_j(x+4\lambda_j^2t). \end{split} $

      用Darboux变换, 获得$ u[1] $$ v[1] $如下:

      $ u[1] = 4{\rm i}(\lambda_1+\lambda_2)\frac{g_1}{h},\; \; v[1] = 4{\rm i}(\lambda_1+\lambda_2)\frac{g_2}{h}, $

      其中

      $ \begin{split} h =\,& -2\lambda_1\lambda_2\left(1-2\alpha_1\beta_1{\rm e}^{4\theta_1}-2\alpha_2\beta_2 {\rm e}^{4\theta_2}\right.\\ & +4(\alpha_2\beta_1+\alpha_1\beta_2){\rm e}^{2(\theta_1+\theta_2)} \\ &+\left. 2{\rm e}^{4(\theta_1+\theta_2)}(\alpha_2^2\beta_1^2+\alpha_1^2\beta_2^2)\right)\\ &+(1+2\alpha_1\beta_1{\rm e}^{4\theta_1})(1+2\alpha_2\beta_2{\rm e}^{4\theta_2})(\lambda_1^2+\lambda_2^2),\\ g_1 = \,& (\alpha_1\lambda_1 {\rm e}^{2\theta_1}-\alpha_2\lambda_2 {\rm e}^{2\theta_2})(\lambda_1-\lambda_2)\\ &+2(\beta_1\alpha_2\lambda_1-\beta_2\alpha_1\lambda_2)(\alpha_2\lambda_1{\rm e}^{2\theta_2} \\ &-\alpha_1\lambda_2{\rm e}^{2\theta_1}){\rm e}^{2(\theta_1+\theta_2)},\\ g_2 = \,& (\beta_1\lambda_1 {\rm e}^{2\theta_1}-\beta_2\lambda_2 {\rm e}^{2\theta_2})(\lambda_1-\lambda_2)\\ &+2(\beta_1\alpha_2\lambda_1-\beta_2\alpha_1\lambda_2)(\beta_2\lambda_1{\rm e}^{2\theta_2} \\ &-\beta_1\lambda_2{\rm e}^{2\theta_1}){\rm e}^{2(\theta_1+\theta_2)}.\\[-10pt] \end{split} $

      显然, 要得到逆空时非局部方程(7)的解, 需要选择适当的参数, 使得$ v[1] = u[1](-x, -t) $. 经过分析, 我们发现在如下几种参数情况下:

      (1) $ \alpha_1 = \alpha_2 = \beta_1 = \beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $;

      (2) $ \alpha_1 = -\alpha_2 = \beta_1 = -\beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $;

      (3) $ \alpha_1 = \beta_1 = 1, \alpha_2 = \beta_2 = 0, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $;

      (4) $ \alpha_1 = \alpha_2 = -\beta_1 = -\beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $;

      (5) $ \alpha_1 = -\alpha_2 = -\beta_1 = \beta_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $

      图  1  可积的逆空时非局部Sasa-Satsuma方程(7)的孤子解 (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

      Figure 1.  Soliton solutions of integrable reverse space-time nonlocal Sasa-Satsuma equation (7): (a) α1 = α2 = β1 = β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \lambda_1 = {\rm i}, \lambda_2 = -{\rm i}/2 $; (b) α1 = –α2 = β1 = –β2 = $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, $ $\lambda_1 = 1+{\rm i}, \lambda_2 = 1-{\rm i} $; (c) α1 = β1 = 1, α2 = β2 = 0 $\lambda_2 = {\rm i}, \lambda_1 = \dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lambda_2 $

      $ v[1] = u[1](-x, -t) $. 从而逆空时非局部方程(7)的解被构造. 对于情形(1)—(3), 有$ u(x, t) = u(-x, -t) $, 而对于情形(4)—(5)有$ u(x, t) = -u(-x, -t) $. 我们给出了对应于情形(1)—(3)的解$ u(x, t) $的图, 如图1所示.

      值得指出, 经典的Sasa-Satsuma方程有一个显著的特征, 即存在双峰孤波解. 对于逆空时非局部可积方程(4), 我们也给出了类似的双峰孤波解. 但对于本文研究的逆空时非局部可积方程(7), 并没有发现这样的双峰孤波解的存在. 从这个意义上说, 逆空时非局部可积方程(4)和方程(7)确有不同的性质. 逆空时非局部可积方程(7)值得进一步研究.

参考文献 (24)

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