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优化抽运空间分布实现连续变量超纠缠的纠缠增强

李娟 李佳明 蔡春晓 孙恒信 刘奎 郜江瑞

优化抽运空间分布实现连续变量超纠缠的纠缠增强

李娟, 李佳明, 蔡春晓, 孙恒信, 刘奎, 郜江瑞
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  • 超纠缠近年来受到人们广泛的关注, 其在量子信息和量子通信领域具有非常重要的作用. 在Liu等(2014 Phys. Rev. Lett. 113 170501)的工作中, 他们利用二类相位匹配的非简并光学参量放大器获得了约1.00 dB的同时具有轨道角动量和自旋角动量纠缠的连续变量超纠缠态. 在此基础上, 本文通过进一步分析抽运模式与下转换模式间的纠缠关系, 优化了抽运空间构造. 实验结果表明, 相比Liu等利用高斯基模做抽运场, 使用优化的抽运模式时轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的不可分度分别提高了96.2%和96.3%, 最终将超纠缠态的纠缠度提高到了(4.00 ± 0.02) dB, 为连续变量超纠缠态的进一步应用奠定了基础.
      通信作者: 刘奎, liukui@sxu.edu.cn
    • 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11674205)、国家自然科学基金重点项目(批准号: 91536222)、国家重点研发计划(批准号: 2016YFA0301404)、山西省高等学校创新人才支持计划和山西省1331工程资助的课题.
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    Taylor M A, Janousek J, Daria V, Knittel J, Hage B, Bachor H, Bowen W P 2013 Nat. Photon. 7 229

  • 图 1  抽运模式分别为${\rm{LG}}_0^0$模(绿色)、${\rm{LG}}_1^0$模(红色)以及最佳抽运模式${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}}$模(蓝色)三种情况下, 纠缠不可分度随归一化抽运功率$p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$变化的理论曲线(所取参数为${\eta _{{\rm{esc}}}} = 1$, $\varOmega = 0$)

    Fig. 1.  Theoretical inseparability against normalized pump power $p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$ for three pump modes, ${\rm{LG}}_0^0$ (green solid line), ${\rm{LG}}_1^0$ (red solid line) and the optimal pump mode ${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}}$ (blue solid line) under ideal conditions. The parameters are ${\eta _{{\rm{esc}}}} = 1$, $\varOmega = 0$.

    图 2  实验装置图, 其中, RC, 三镜环形腔; DBS, 双色分束器; HWP, 半波片; PBS, 偏振分束器; PZT, 压电陶瓷; DP, 道威棱镜; MC, 模式转换器; FQ-PM, 四象限相位片; KTP, KTiOPO4晶体; ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$ MC, ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$模式转换器; SA, 频谱分析仪; BHD, 平衡零拍测量装置

    Fig. 2.  Experimental setup. RC, three-mirror ring cavity; DBS, dichroic beamsplitter; HWP, half wave plate; PBS, polarizing beamsplitter; PZT, piezoelectric transducer; DP, Dove Prism; MC, mode converter; FQ-PM, four-quadrant phase mask; KTP, KTiOPO4 crystal; ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$ MC, ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$ mode converter; SA, spectrum analyzer; BHD, balanced homodyne detector.

    图 3  ${\rm{LG}}_0^0$模做抽运场的纠缠测量结果 (a1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的振幅关联噪声谱; (a2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的相位关联噪声谱; (b1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的振幅关联噪声谱; (b2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的相位关联噪声谱; 黑线(2), SNL; 图(a1)和(b1)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle,$ $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 图(a2)和(b2)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i}},{\rm{H01}}}} - } \right.} \right.$ $\left. {\left. {{{\hat P}_{{\rm{s}},{\rm{H01}}}}} \right)} \right\rangle, \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $

    Fig. 3.  Measured quantum correlations using the ${\rm{LG}}_0^0$ mode: (a1) Amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (a2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (b1) amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes; (b2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes. (a1) and (b1) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle,$ $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $. (a2) and (b2) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $. Trace2 (black line), SNL.

    图 4  ${\rm{LG}}_1^0$模做抽运场纠缠测量结果 (a1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的振幅关联噪声谱; (a2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的相位关联噪声谱; (b1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的振幅关联噪声谱; (b2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的相位关联噪声谱; 黑线(2), SNL; 图(a1)和(b1)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle ,$ $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 图(a2)和(b2)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i}},{\rm{H01}}}} - } \right.} \right.$ $\left. {\left. {{{\hat P}_{{\rm{s}},{\rm{H01}}}}} \right)} \right\rangle,\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $

    Fig. 4.  Measured quantum correlations with ${\rm{LG}}_1^0$ pumping : (a1) Amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (a2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (b1) amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes; (b2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes. (a1) and (b1) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle,$ $ \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle$. (a2) and (b2) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $. Trace2 (black line), SNL.

    图 5  不同抽运模式下, 轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的不可分度 (a)轨道角动量纠缠; (b)自旋角动量纠缠; 蓝线(1)和红线(2)分别对应${\rm{LG}}_0^0$模和${\rm{LG}}_1^0$模做抽运的结果; 不可分度低于2表示存在纠缠

    Fig. 5.  Experimental measurement of inseparability for the orbital angular momentum and spin angular momentum with different pump mode: (a) Orbital angular momentum; (b) spin angular momentum. Blue line (1) and red line (2) respectively represent the results using the ${\rm{LG}}_0^0$ mode and ${\rm{LG}}_1^0$ mode. Values below 2 indicate entanglement.

    表 1  不同抽运模式下的耦合系数

    Table 1.  Coupling coefficient with different pump modes.

    抽运模式
    ${\rm{LG}}_0^0$${\rm{LG}}_1^0$${\rm{LG}}_2^0$${1 / 3}{\rm{LG}}_0^0 + {2 / 3}{\rm{LG}}_1^0$
    耦合系数${\varGamma _{{\rm{0}}p}}$${1 / 2}$${1 / {\sqrt 2 }}$00${{\sqrt 3 } / 2}$
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出版历程
  • 收稿日期:  2018-08-31
  • 修回日期:  2018-11-04
  • 上网日期:  2019-03-23
  • 刊出日期:  2019-03-01

优化抽运空间分布实现连续变量超纠缠的纠缠增强

  • 山西大学光电研究所, 量子光学与光量子器件国家重点实验室, 极端光学协同创新中心, 太原 030006
  • 通信作者: 刘奎, liukui@sxu.edu.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11674205)、国家自然科学基金重点项目(批准号: 91536222)、国家重点研发计划(批准号: 2016YFA0301404)、山西省高等学校创新人才支持计划和山西省1331工程资助的课题.

摘要: 超纠缠近年来受到人们广泛的关注, 其在量子信息和量子通信领域具有非常重要的作用. 在Liu等(2014 Phys. Rev. Lett. 113 170501)的工作中, 他们利用二类相位匹配的非简并光学参量放大器获得了约1.00 dB的同时具有轨道角动量和自旋角动量纠缠的连续变量超纠缠态. 在此基础上, 本文通过进一步分析抽运模式与下转换模式间的纠缠关系, 优化了抽运空间构造. 实验结果表明, 相比Liu等利用高斯基模做抽运场, 使用优化的抽运模式时轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的不可分度分别提高了96.2%和96.3%, 最终将超纠缠态的纠缠度提高到了(4.00 ± 0.02) dB, 为连续变量超纠缠态的进一步应用奠定了基础.

English Abstract

    • 量子纠缠作为量子光学和量子信息领域的一种重要资源, 被广泛应用于量子通信[1,2]、量子计量[3]和量子计算[4]等方面. 近年来, 多个自由度同时纠缠的超纠缠[5]引起了研究者的密切关注, 这种多自由度的超纠缠可以用来对信息进行并行传输和处理, 增加光子携带的信息量, 提高量子通信的信道容量以及量子计算的速度, 在多通道量子信息、超密集编码[6,7]以及量子计算[8,9]等方面具有广泛的应用前景.

      超纠缠态光场的研究开始于分离变量领域. 从2005年Barreiro等[10]在实验上第一次获得了超纠缠, 到2018年Wang等[11]制备了18 bit超纠缠, 分离变量超纠缠已经获得了许多重大进展. 近年来连续变量超纠缠也受到了广泛关注. 2009年, Coutinho dos Santos等[12]提出在非简并光学参量放大器(non-degenerate optical parametric amplifier, NOPA)中可以产生同时具有自旋角动量和轨道角动量纠缠的连续变量超纠缠态光场. 2014年, Liu等[13]利用NOPA产生了同时具有自旋和轨道角动量纠缠的连续变量超纠缠态.

      然而, 在实验上所产生的连续变量超纠缠的纠缠度较低, 难以使连续变量超纠缠态在量子通信等方面得到真正的应用, 因此如何提高超纠缠态的纠缠度至关重要. 对于连续变量量子纠缠的增强已有很多方案和实验报道, 如通过加减光子、量子催化等非高斯操作的线性放大技术[14-16]可以实现连续变量纠缠增强, 但这种方案具有一定的概率性, 无法实现纠缠的确定性增强. 通过级联光学参量振荡过程、四波混频等非线性过程[17,18]可以实施纠缠的确定性增强, 但现有的光学参量振荡增强方案只是针对基模纠缠光场, 而对于具有空间结构的超纠缠态光场的纠缠增强还没有相关的研究. 由于超纠缠态光场包含空间高阶横模纠缠, 它的纠缠产生和增强与抽运场和下转换场的模式匹配[19]有很大的关系. 2006年, Lassen等[20]在理论上分析了抽运场和下转换场间的模式重叠, 给出了产生${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模压缩态的最佳抽运模式. 2017年, Guo等[21]利用二类相位匹配的光学参量振荡器产生${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模纠缠态, 通过优化抽运模式将其不可分度提高了53.5%. 本文通过进一步分析更为复杂的超纠缠态产生过程中抽运场与下转换场间的模式依赖关系, 找出了最佳的抽运模式以及不同抽运场与纠缠的依赖关系, 并进一步在实验上得到了验证, 提高了超纠缠态的纠缠度.

    • 系统的哈密顿量[12,22]可表示为

      $\begin{split}\hat H = & {\rm{i}}\hbar {\varepsilon _{\rm{p}}}(\hat a_{\rm{p}}^\dagger - {\hat a_{\rm{p}}}) + {\rm{i}}\hbar \chi \varGamma \\ &\times({\hat a_{\rm{p}}}\hat a_{{\rm{i}},1}^\dagger \hat a_{{\rm{s,}} - 1}^\dagger - \hat a_{\rm{p}}^\dagger {\hat a_{{\rm{i}},1}}{\hat a_{{\rm{s}}, - 1}} \\ &+ {\hat a_{\rm{p}}}\hat a_{{\rm{i}}, - 1}^\dagger \hat a_{{\rm{s}},1}^\dagger - \hat a_{\rm{p}}^\dagger {\hat a_{{\rm{i}}, - 1}}{\hat a_{{\rm{s}},1}}).\end{split}$

      由系统的哈密顿量可得内腔场朗之万方程为

      $\begin{split} & {{\dot {\hat a}}_{\rm{p}}} = {\varepsilon _{\rm{p}}} - {\gamma _{\rm{p}}}{{\hat a}_{\rm{p}}} - \chi \varGamma {{\hat a}_{{\rm{i}},1}}{{\hat a}_{{\rm{s}}, - 1}} - \chi \varGamma {{\hat a}_{{\rm{i}}, - 1}}{{\hat a}_{{\rm{s}},1}},\\ & {{\dot {\hat a}}_{{\rm{i}}, \pm 1}} = - \gamma {'_{{\rm{i}}, \pm 1}}{{\hat a}_{{\rm{i}}, \pm 1}} \!+\! \chi \varGamma {{\hat a}_{\rm{p}}}\hat a_{{{\rm s}, \mp 1}}^\dagger \!+\! \sqrt {2{\gamma _{{\rm{i}}, \pm 1}}} \hat b_{{\rm{i}}, \pm 1}^{{\rm{in}}} \\ & \quad \quad \quad + \sqrt {2{\mu _{{\rm{i}}, \pm 1}}} \hat c_{{\rm{i, \pm 1}}}^{{\rm{in}}},\\ & {{\dot {\hat a}}_{{\rm s}, \pm 1}} = - \gamma {'_{{\rm s}, \pm 1}}{{\hat a}_{{\rm s}, \pm 1}} + \chi \varGamma {{\hat a}_{\rm{p}}}\hat a_{{{\rm i}, \mp 1}}^\dagger \\ & \quad \quad \quad + \sqrt {2{\gamma _{{\rm s}, \pm1}}} \hat b_{{\rm{s, \pm 1}}}^{{\rm{in}}} + \sqrt {2{\mu _{{\rm s}, \pm 1}}} \hat c_{{\rm{s, \pm 1}}}^{{\rm{in}}}, \end{split}$

      式中${\hat a_{\rm{p}}}$${\hat a_{_{j,l}}}$分别表示抽运场和下转换场的湮灭算符($j = {\rm{i}},{\rm{s}}$表示闲置场和信号场, $l = \pm 1$表示拉盖尔高斯模的轨道角动量量子数); ${\varepsilon _{\rm{p}}}$表示抽运参数, 正比于注入抽运场的振幅; ${\gamma _{\rm{p}}}$表示抽运场的总损耗率; ${\gamma _{_{j,l}}}$${\mu _{_{j,l}}}$分别表示下转换场在输出耦合镜的透射损耗和其他额外损耗, $\gamma {'_{j,l}} = {\gamma _{_{j,l}}} + {\mu _{_{j,l}}}$表示总损耗率; $\hat b_{_{j,l}}^{{\rm{in}}}$表示输入的信号场和闲置场; $\hat c_{_{j,l}}^{{\rm{in}}}$表示真空耦合噪声; $\chi $表示非线性耦合系数; 且假设${\gamma _{\rm{p}}} = 1$, ${\gamma _{_{j,l}}} = \gamma $, ${\mu _{_{j,l}}} = \mu $, $\gamma {'_{j,l}} = \gamma '$; $\varGamma $表示三个内腔场的耦合系数, 即

      $\varGamma = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\nu ^{\rm{p}}}({{r}}){\mu ^{\rm{s}}}^ * ({{r}}){\mu ^{\rm{i}}}^ * ({{r}})} {\rm{d}}{{r}},$

      其中${\nu ^{\rm{p}}}({{r}})$, ${\mu ^{\rm{s}}}({{r}})$${\mu ^{\rm{i}}}({{r}})$分别表示抽运场、信号场和闲置场的空间分布.

      由于下转换过程必须保证能量和轨道角动量守恒, 一个抽运光子湮灭, 就会有两种可能的通道产生一对下转换光子: 信号光子是${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模(${\rm{LG}}_0^1$模), 闲置光子是${\rm{LG}}_0^1$模(${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模), 因此, 抽运场的角动量值为零.

      当系统处于参量缩小状态时, 输出信号场和闲置场的关联噪声可以表示为

      ${V_{{{\hat X}_{{\rm{s}}, \pm 1}} + {{\hat X}_{{\rm{i,\mp1}}}}}} = {V_{{{\hat P}_{_{{\rm{s,}} \pm {\rm{1}}}}} - {{\hat P}_{{\rm{i,\mp1}}}}}} = 1 - {\eta _{{\rm{esc}}}}\frac{{4\sigma }}{{{{(1 + \sigma )}^2} + {\varOmega ^2}}}, $

      则纠缠不可分判据为

      $V = {\rm{2}} - {\eta _{{\rm{esc}}}}\frac{{8\sqrt {{{{p_{{\rm{re}}}}} / {{p_{{\rm{th}}}}}}} }}{{{{(1 + \sqrt {{{{p_{{\rm{re}}}}} / {{p_{{\rm{th}}}}}}} )}^2} + {\varOmega ^2}}} < 2, $

      其中, ${\eta _{{\rm{esc}}}} = {\gamma / {\gamma '}}$是NOPA的输出耦合效率, $\varOmega = {\omega / \gamma }'$是归一化分析频率, $\sigma = \sqrt {{{{p_{{\rm{re}}}}} / {{p_{{\rm{th}}}}}}} $是归一化抽运功率, ${p_{{\rm{re}}}}$是实际抽运功率, ${p_{{\rm{th}}}} = {{\gamma {'^2}} / {({\chi ^2}}}{\varGamma ^2})$是阈值抽运功率.

      因为下转换场的产生与抽运模式和下转换模式间的模式匹配有密切的关系, 不同的抽运空间分布会导致不同的非线性效率和抽运阈值, 从而影响最终纠缠的输出. 对于角动量值为零的抽运光场, 其横向分布可展开为一系列拉盖尔高斯模, 即 ${\nu ^{\rm{p}}}({{r}}) = \sum\nolimits_{p = 0}^\infty {{c_p}{v_{0p}}} ({{r}})$, 其中${\nu _{0p}}({{r}})$表示$l = 0$p为任意整数的拉盖尔高斯光束的横向分布, ${c_p}$是相应的叠加系数.

      当下转换场为${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模时, 空间分布分别表示为${\mu _1}({{r}})$${\mu _{ - 1}}({{r}})$, 其耦合系数为

      $\varGamma = \sum\limits_{p = 0}^\infty {{c_p}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\nu _{0p}}({{r}})\mu _{_1}^ * ({{r}})\mu _{_{ - 1}}^ * ({{r}})} {\rm{d}}{{r}}} = \sum\limits_{p = 0}^\infty {{c_p}{\varGamma _{0p}}}, $

      其中${\varGamma _{0p}}$表示$l = 0$p为任意整数的拉盖尔高斯光束与下转换场的耦合系数. 表1所列是不同抽运模式下的耦合系数, 可以看出有3种不同的抽运模式可供选择: ${\rm{LG}}_0^0$模(基模高斯光束)、${\rm{LG}}_1^0$模以及${\rm{LG}}_0^0$模和${\rm{LG}}_1^0$的叠加模式${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}} = {1 / 3}{\rm{LG}}_0^0 + {2 / 3}{\rm{LG}}_1^0$, 叠加模式的耦合系数最大, 为最佳抽运模式.

      抽运模式
      ${\rm{LG}}_0^0$${\rm{LG}}_1^0$${\rm{LG}}_2^0$${1 / 3}{\rm{LG}}_0^0 + {2 / 3}{\rm{LG}}_1^0$
      耦合系数${\varGamma _{{\rm{0}}p}}$${1 / 2}$${1 / {\sqrt 2 }}$00${{\sqrt 3 } / 2}$

      表 1  不同抽运模式下的耦合系数

      Table 1.  Coupling coefficient with different pump modes.

      图1给出了抽运场分别为${\rm{LG}}_0^0$模、${\rm{LG}}_1^0$模以及最佳抽运模式${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}}$三种情况下, 纠缠不可分度随归一化抽运功率的理论变化曲线. 根据耦合系数计算可得, 用${\rm{LG}}_0^0$模抽运产生下转换${\rm{LG}}_0^0$模时, 抽运阈值为$p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}{\rm{ = }}{{\gamma {'^2}} / {{\chi ^2}}}$. 当使用${\rm{LG}}_0^0$模抽运产生下转换${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模时, 其阈值$p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to \pm 1} = {\rm{4}}p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$. 因此当抽运功率达到$p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$时, ${\rm{LG}}_0^0$模会开始振荡而无法获得${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模最大纠缠的输出. 当用${\rm{LG}}_1^0$模抽运产生下转换${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模时, 其阈值$p_{{\rm{th}}}^{10 \to \pm 1}{\rm{ = 2}}p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$, 由于${\rm{LG}}_1^0$模不会抽运产生${\rm{LG}}_0^0$模, 因此${\rm{LG}}_0^0$模不会在腔内振荡, 只要有足够的抽运功率就可获得${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模最大纠缠的输出. 当选择${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}}$抽运时, 阈值为$ p_{{\rm{th}}}^{{\rm{opt}} \to \pm 1} =$$ {{{\rm{4}}p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}} / {\rm{3}}}$, 由于${\rm{LG}}_0^0$模占总抽运功率的1/3, 因此最佳抽运模式中${\rm{LG}}_0^0$模所占最大功率为${{{\rm{4}}p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}} / 9}$, 此时不会激发${\rm{LG}}_0^0$模的振荡, 且相比${\rm{LG}}_1^0$模抽运, ${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模最大纠缠的获得所用抽运功率更低. 虽然${\rm{LG}}_0^0$模和${\rm{LG}}_1^0$模的叠加模式是最理想的抽运模式, 但是其制备比较复杂, 所以实验上使用${\rm{LG}}_1^0$抽运模式来获得最佳的纠缠.

      图  1  抽运模式分别为${\rm{LG}}_0^0$模(绿色)、${\rm{LG}}_1^0$模(红色)以及最佳抽运模式${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}}$模(蓝色)三种情况下, 纠缠不可分度随归一化抽运功率$p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$变化的理论曲线(所取参数为${\eta _{{\rm{esc}}}} = 1$, $\varOmega = 0$)

      Figure 1.  Theoretical inseparability against normalized pump power $p_{{\rm{th}}}^{{\rm{00}} \to {\rm{00}}}$ for three pump modes, ${\rm{LG}}_0^0$ (green solid line), ${\rm{LG}}_1^0$ (red solid line) and the optimal pump mode ${\rm{L}}{{\rm{G}}_{\rm{opt}}}$ (blue solid line) under ideal conditions. The parameters are ${\eta _{{\rm{esc}}}} = 1$, $\varOmega = 0$.

    • 图2是产生连续变量超纠缠态的实验装置. 全固态双波长激光器输出1080 nm的红外光和540 nm的绿光. 其中红外光首先经过一个三镜环形腔, 将光束的空间模式裁剪为${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模, 然后经过分束镜分成两束, 其中较弱的一部分${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模(2 mW)以45°偏振从KTP1晶体的前端面注入NOPA中, 作为种子光. 540 nm的基模高斯光束从三镜环形腔出来后再经过模式转换器(mode converter, MC)输出${\rm{LG}}_1^0$模, 和${\rm{LG}}_0^0$模分别作为NOPA的抽运场. MC的具体装置如图2(b)所示: 一束540 nm的基模高斯光束经过特殊设计的四象限相位片(相邻象限之间相位相差${\text{π}}$, 与${\rm{H}}{{\rm{G}}_{11}}$模相位分布一致), 使得基模高斯光束的横向分布趋近于${\rm{H}}{{\rm{G}}_{11}}$模的横向分布. 输出光再通过滤波腔, 输出光束质量较高的${\rm{H}}{{\rm{G}}_{11}}$模. 产生的${\rm{H}}{{\rm{G}}_{11}}$模再匹配进入两柱面镜组成的${{\text{π}} / 2}$模式转换器[23]中(柱透镜焦距为f = 10 cm, 两柱透镜间隔$\sqrt {\rm{2}} f$), 从而产生本实验上所需的${\rm{LG}}_1^0$模.

      图  2  实验装置图, 其中, RC, 三镜环形腔; DBS, 双色分束器; HWP, 半波片; PBS, 偏振分束器; PZT, 压电陶瓷; DP, 道威棱镜; MC, 模式转换器; FQ-PM, 四象限相位片; KTP, KTiOPO4晶体; ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$ MC, ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$模式转换器; SA, 频谱分析仪; BHD, 平衡零拍测量装置

      Figure 2.  Experimental setup. RC, three-mirror ring cavity; DBS, dichroic beamsplitter; HWP, half wave plate; PBS, polarizing beamsplitter; PZT, piezoelectric transducer; DP, Dove Prism; MC, mode converter; FQ-PM, four-quadrant phase mask; KTP, KTiOPO4 crystal; ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$ MC, ${{\text{π}}/ {\rm{2}}}$ mode converter; SA, spectrum analyzer; BHD, balanced homodyne detector.

      与文献[13]不同, 本文中的NOPA腔采用半整块腔的结构, 以降低内腔损耗, 提高超纠缠的输出质量. NOPA腔由一个${\rm{\alpha }}$切割的二类KTP晶体(KTP1, 作为参量晶体)和一个曲率半径为50 mm的平凹腔镜组成. KTP1晶体前端镀有1080 nm和540 nm双高反膜, 作为NOPA的输入镜, 另一面镀双增透膜. 平凹镜对1080 nm的红外有5%的透射率, 对540 nm镀有减反膜, 作为输出镜. 由于像散效应[24]的影响, 四个模式${\rm{L}}{{\rm{G}}_{{\rm i},0}}^1,{\rm{L}}{{\rm{G}}_{{\rm s},0}}^1,{\rm{L}}{{\rm{G}}_{{\rm i},0}}^{ - 1},$$ {\rm{L}}{{\rm{G}}_{{\rm s},0}}^{ - 1}$不能同时在腔内共振. 为了使四个模式能在腔内同时共振, 如图2(c)所示, 在NOPA腔内放置一个与KTP1晶体相同的晶体(KTP2, 作为补偿晶体), 且两晶体z轴相正交, 并在两个晶体之间插入一个与晶体z轴成45°夹角的1080 nm半波片用来对Gouy相移进行相位补偿, 实现四个模式同时共振. 通过对两块晶体单独控温, 进一步优化NOPA的偏振简并与空间简并.

      利用PZT1将抽运光和种子光的相对位相锁到参量缩小状态, 此时NOPA产生了${\rm{LG}}_0^1$模和${\rm{LG}}_0^{ - 1}$模的纠缠, 等同于输出了${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的明亮纠缠态和${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的真空纠缠态[23,25], 利用双色分束器将产生的纠缠光和抽运光分开. 输出的纠缠光束再经过PBS分为偏振相互垂直的两部分, 每一部分都包含${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模和${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模, 再分别进入两对平衡零拍探测装置进行探测.

      在探测部分, 把从红外三镜环形腔出来的另一部分${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模分为两部分, 其中一束光经过道威棱镜转化为${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模, 两束光分别作为${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模纠缠和${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模纠缠的本底光. 通过PZT2锁定纠缠光与本底光的相对位相为0或${{\text{π}} / 2}$时, 分别测其正交振幅分量或正交位相分量, 然后对这两对平衡零拍进行联合测量, 就可以获得正交振幅之间和正交位相之间的关联噪声谱.

    • 分别使用${\rm{LG}}_0^0$模和${\rm{LG}}_1^0$模作为抽运场, 在3 MHz处对纠缠进行测量, 结果如图3图4所示. 图中横轴表示扫描时间, 纵轴是归一化到散粒噪声极限(shot noise limit, SNL)的噪声功率. 黑线(2)为SNL, 实验上通过挡住纠缠光获得, 红线(1)和蓝线(3)分别为低于和高于SNL的噪声谱. 谱仪的分辨率带宽为300 kHz, 视频带宽为390 Hz.

      图  3  ${\rm{LG}}_0^0$模做抽运场的纠缠测量结果 (a1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的振幅关联噪声谱; (a2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的相位关联噪声谱; (b1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的振幅关联噪声谱; (b2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的相位关联噪声谱; 黑线(2), SNL; 图(a1)和(b1)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle,$ $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 图(a2)和(b2)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i}},{\rm{H01}}}} - } \right.} \right.$ $\left. {\left. {{{\hat P}_{{\rm{s}},{\rm{H01}}}}} \right)} \right\rangle, \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $

      Figure 3.  Measured quantum correlations using the ${\rm{LG}}_0^0$ mode: (a1) Amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (a2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (b1) amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes; (b2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes. (a1) and (b1) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle,$ $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $. (a2) and (b2) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $. Trace2 (black line), SNL.

      图  4  ${\rm{LG}}_1^0$模做抽运场纠缠测量结果 (a1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的振幅关联噪声谱; (a2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的相位关联噪声谱; (b1) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的振幅关联噪声谱; (b2) ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的相位关联噪声谱; 黑线(2), SNL; 图(a1)和(b1)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle ,$ $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 图(a2)和(b2)中, 红线(1), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i}},{\rm{H01}}}} - } \right.} \right.$ $\left. {\left. {{{\hat P}_{{\rm{s}},{\rm{H01}}}}} \right)} \right\rangle,\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; 蓝线(3), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $

      Figure 4.  Measured quantum correlations with ${\rm{LG}}_1^0$ pumping : (a1) Amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (a2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$ modes; (b1) amplitude correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes; (b2) phase correlation noise of ${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$ modes. (a1) and (b1) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle,$ $ \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle$. (a2) and (b2) Trace1 (red line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $; Trace3 (blue line), $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle , \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $. Trace2 (black line), SNL.

      当抽运场用${\rm{LG}}_0^0$模时, 图3(a1)给出了${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模的振幅和关联$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s}},\rm{H01}}}} \right)} \right\rangle $为(−1.84 ± 0.02) dB, 以及振幅差关联$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H0}}1}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle $为(3.30 ± 0.02) dB; 图3(a2)给出了相位差关联$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H}}01}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle $为(−2.12 ± 0.02) dB, 以及相位和关联$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H}}01}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle $为(3.68 ± 0.02) dB. 改变本底场为${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模时, 测量了${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的纠缠噪声谱. 其中, 图3(b1)给出了振幅和关联$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H}}10}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle $为(−1.93 ± 0.02) dB, 以及振幅差关联$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat X}_{{\rm{s,H1}}0}}} \right)} \right\rangle $为(3.89 ± 0.02) dB; 图3(b2)给出了相位差关联 $ \left\langle{\Delta ^2}\left( {{\hat P}_{{\rm{i,H}}10}} - \right.\right.$$\left.\left.{{\hat P}_{{\rm{s,H10}}}} \right)\right\rangle $为(−2.57 ± 0.02) dB, 以及相位和关联 $\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat P}_{{\rm{s,H1}}0}}} \right)} \right\rangle $为(4.45 ± 0.02) dB. 根据Duan等[26]和Simon[27]提出的连续变量不可分判据, 可得

      $\begin{split} & \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H0}}1}}} \right)} \right\rangle + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H0}}1}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle \\ = \; &{\rm{1}}{\rm{.27}} \pm 0.02 < 2,\\ &\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H}}10}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H}}10}}} \right)} \right\rangle + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H}}10}}} \right)} \right\rangle \\ = \; &{\rm{1}}{\rm{.19}} \pm 0.02 < 2, \end{split}$

      这表明了${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模和${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模的信号场和闲置场之间都是纠缠的.

      当抽运场用${\rm{LG}}_1^0$模时, 得到了图4的测量结果: 对于${\rm{H}}{{\rm{G}}_{01}}$模, 获得了(−3.07 ± 0.02) dB的振幅和关联以及(−3.04 ± 0.02) dB的相位差关联; 对于${\rm{H}}{{\rm{G}}_{10}}$模, 获得了(−3.10 ± 0.02) dB的振幅和关联以及(−3.20 ± 0.03) dB的相位差关联, 其连续变量不可分判据为

      $\begin{split} & \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H01}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H01}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H01}}}}} \right)} \right\rangle \\ =\; &{\rm{0}}{\rm{.99}} \pm 0.02 < 2,\\ &\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{{\rm{i,H10}}}} + {{\hat X}_{{\rm{s,H10}}}}} \right)} \right\rangle + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{{\rm{i,H10}}}} - {{\hat P}_{{\rm{s,H}}10}}} \right)} \right\rangle \\ =\; & {\rm{0}}{\rm{.97}} \pm 0.02 < 2. \end{split}$

      参照文献[13], NOPA输出的两个轨道角动量模${\hat a_{ + 1}}$${\hat a_{ - 1}}$之间的纠缠判据为

      $\begin{split} V({\hat a_{ + 1}},{\hat a_{ - 1}}) = & \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{ + 1}} + {{\hat X}_{ - 1}}} \right)} \right\rangle \\ & + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{ + 1}} - {{\hat P}_{ - 1}}} \right)} \right\rangle < 2,\end{split} $

      其中${\hat a_l} = {{({{\hat X}_l} + {\rm i}{{\hat P}_l})} / {\sqrt 2 }}$代表拉盖尔高斯模, $ {\hat X_l} =$$ {{\sum\nolimits_j {({{\hat X}_{j,\rm{H01}}} \mp {{\hat P}_{j,\rm{H10}}})} } / {\sqrt 2 }}$, ${\hat P_l} = \sum\nolimits_j ({{\hat P}_{j,\rm{H01}}} \pm {{\hat X}_{j,\rm{H10}}}) /$$ {\sqrt 2 } ( j = {\rm{i}},{\rm{s}};l = \pm 1)$. 同时, 考虑到腔输出两个偏振即信号场${\hat a_{\rm{s}}}$和闲置场${\hat a_{\rm{i}}}$, 其纠缠判据为

      $V({\hat a_{\rm{s}}},{\hat a_{\rm{i}}}) = \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat X}_{\rm{i}}} + {{\hat X}_{\rm{s}}}} \right)} \right\rangle + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{{\hat P}_{\rm{i}}} - {{\hat P}_{\rm{s}}}} \right)} \right\rangle < 2,$

      其中, ${\hat X_j} = {{\left( {{{\hat X}_{j,\rm{H01}}} + {{\hat X}_{j,\rm{H10}}}} \right)} / {\sqrt 2 }}$, ${\hat P_j} = \left({{\hat P}_{j,\rm{H01}}} +\right.$$\left.{{\hat P}_{j,\rm{H10}}}\right)/ {\sqrt 2 }$. 当同时满足(9)和(10)式时, 表示NOPA的输出场为连续变量超纠缠态.

      图5为实验上获得的在抽运模式分别为${\rm{LG}}_0^0$模式(蓝线)和${\rm{LG}}_1^0$模式(红线)的情况下, 轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的不可分度. 可知当抽运场用${\rm{LG}}_0^0$模时, $V({\hat a_{ + 1}},{\hat a_{ - 1}}) = 1.21 \pm 0.02 < 2$, $V({\hat a_{\rm{s}}},{\hat a_{\rm{i}}}) = 1.2{\rm{3}} \pm 0.02 < 2$, 超纠缠态的纠缠度为(2.10 ± 0.02) dB; 当抽运场用${\rm{LG}}_1^0$模时, $ V({\hat a_{ + 1}},{\hat a_{ - 1}}) $$=0.97 \pm 0.02 < 2$, $V({\hat a_{\rm{s}}},{\hat a_{\rm{i}}}) = 0.98 \pm 0.02 < 2$, 超纠缠态的纠缠度为(3.10 ± 0.02) dB, 可以明显看出通过优化抽运空间分布, 提高了超纠缠态的纠缠度.

      图  5  不同抽运模式下, 轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的不可分度 (a)轨道角动量纠缠; (b)自旋角动量纠缠; 蓝线(1)和红线(2)分别对应${\rm{LG}}_0^0$模和${\rm{LG}}_1^0$模做抽运的结果; 不可分度低于2表示存在纠缠

      Figure 5.  Experimental measurement of inseparability for the orbital angular momentum and spin angular momentum with different pump mode: (a) Orbital angular momentum; (b) spin angular momentum. Blue line (1) and red line (2) respectively represent the results using the ${\rm{LG}}_0^0$ mode and ${\rm{LG}}_1^0$ mode. Values below 2 indicate entanglement.

      由于最后测量到的关联噪声会受到各种非理想效率的影响, 总的测量效率是${\eta _{{\rm{total}}}} = {\eta _{{\rm{prop}}}}{\eta _{{\rm{phot}}}}{\eta _{{\rm{hd}}}} = $$0.85 \pm 0.02$, 其中${\eta _{{\rm{prop}}}} = 0.96 \pm 0.02$是光的传输效率, ${\eta _{{\rm{phot}}}} = 0.92 \pm 0.02$是光电二极管的量子效率, ${\eta _{{\rm{hd}}}} = 0.96 \pm 0.02$是信号场和本底场在平衡零拍探测中的空间重叠效率. 考虑到探测效率, 当抽运场用${\rm{LG}}_1^0$模时, $V({\hat a_{ + 1}},{\hat a_{ - 1}}) = 0.{\rm{79}} \pm 0.02$, $V({\hat a_{\rm{s}}},{\hat a_{\rm{i}}}) = $$0.80 \pm 0.02$, 实际NOPA腔输出的纠缠度为(4.00 ± 0.02) dB. 而文献[13]获得了约1.00 dB的超纠缠输出, 其$V({\hat a_{{\rm{ + 1}}}},{\hat a_{{\rm{ - 1}}}}) = 1.55 \pm 0.06$, $V({\hat a_{\rm{s}}},{\hat a_{\rm{i}}}) = 1.57 \pm $0.11. 与此相比, 本文中使用${\rm{LG}}_1^0$模做抽运场时轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的不可分度分别提高了96.2%和96.3%, 纠缠度从约1.00 dB提高到了(4.00 ± 0.02) dB.

    • 连续变量超纠缠态同时具有空间及偏振的纠缠特性, 对于高维量子信息[28]及多维度量子测量[29]具有重要意义. 本文在NOPA内产生了同时具有轨道角动量纠缠和自旋角动量纠缠的连续变量超纠缠态. 通过研究抽运场与下转换场模式之间的匹配问题, 优化抽运空间构造, 最终将超纠缠态的纠缠度提高到了(4.00 ± 0.02) dB, 为连续变量超纠缠态进一步在多通道及高维量子信息方案中的应用奠定了基础. 本方法同样也可扩展到分离变量领域, 有望提高超纠缠产生的效率和纯度.

参考文献 (29)

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