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## Growing two-dimensional manifold of nonlinear maps based on generalized Foliation condition

Li Hui-Min, Fan Yang-Yu, Sun Heng-Yi, Zhang Jing, Jia Meng
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• #### 摘要

主要研究非线性映射函数双曲不动点的二维流形计算问题. 提出了推广的Foliation条件, 以此来衡量二维流形上的一维流形轨道的增长量, 进而控制各子流形的增长速度, 实现二维流形在各个方向上的均匀增长. 此外, 提出了一种一维子流形轨道的递归插入算法, 该算法巧妙地解决了二维流形面上网格点的插入、前像搜索, 以及网格点后续轨道计算问题, 同时插入的轨道不必从初始圆开始计算, 避免了在初始圆附近产生过多的网格点. 以超混沌三维Hnon映射和具有蝶形吸引子的Lorenz系统为例验证了算法的有效性.

#### Abstract

In this paper we present an algorithm of computing two-dimensional (2D) stable and unstable manifolds of hyperbolic fixed points of nonlinear maps. The 2D manifold is computed by covering it with orbits of one-dimensional (1D) sub-manifolds. A generalized Foliation condition is proposed to measure the growth of 1D sub-manifolds and eventually control the growth of the 2D manifold along the orbits of 1D sub-manifolds in different directions. At the same time, a procedure for inserting 1D sub-manifolds between adjacent sub-manifolds is presented. The recursive procedure resolves the insertion of new mesh point, the searching for the image (or pre-image), and the computation of the 1D sub-manifolds following the new mesh point tactfully, which does not require the 1D sub-manifolds to be computed from the initial circle and avoids the over assembling of mesh points. The performance of the algorithm is demonstrated with hyper chaotic three-dimensional (3D) Hnon map and Lorenz system.

#### 作者及机构信息

###### 1. 西北工业大学电子信息学院, 西安 710072
• 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 60872159)资助的课题.

#### Authors and contacts

###### 1. School of Electronics and Information, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China
• Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 60872159).

#### 参考文献

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#### 施引文献

•  [1] Xu, Liu C X, Yang T 2010 Acta Phys. Sin. 59 131 (in Chinese) [许, 刘崇新, 杨韬 2010 物理学报 59 131] [2] Johnson M E, Jolly M S, Kevrekidis I G 1997 Numer. Algorithms. 14 125 [3] Guckenheimer J, Worfolk P 1993 Kluwer Academic Publishers 241 [4] Henderson M E 2005 SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 4 832 [5] Krauskopf B, Osinga H M 1999 Chaos 9 768 [6] Krauskopf B, Osinga H M, Doedel E J, Henderson M E, Guckenheimer J, Vladimirsky A, Dellnitz M, Junge O 2005 Bifur. Chaos. Appl. Sci. Engrg. 15 763 [7] Guckenheimer J, Vladimirsky A 2004 SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3 232 [8] Li Q D, Yang X S 2010 Acta Phys. Sin. 59 1416 (in Chinese) [李清都, 杨晓松 2010 物理学报 59 1416] [9] Jia M, Fan Y Y, Li HM2010 Acta Phys. Sin. 59 7686 (in Chinese) [贾蒙, 樊养余, 李慧敏 2010 物理学报 59 7686] [10] Li Q D, Yang X S 2010 Acta Phys. Sin. 59 1416 (in Chinese) [李清都, 杨晓松 2010 物理学报 59 1416] [11] Hobson D 1991 J. Comput. Phys. 104 14 [12] You Z, Kostelich E J, Yorke J A 1991 Int. J. Bifurc. Chaos Appl. Sci. Eng. 1 605 [13] Sim′o C 1989 Benest D, Froeschlé C (eds.) Les Méthodes Modernes de la Mécanique Céleste 285 [14] Parker T S, Chua L O 1989 Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems (Berlin: Springer) [15] Krauskopf B, Osinga H M 1998 J. Comput. Phys. 146 406 [16] England J P, Krauskopf B, Osinga H M 2004 SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3 161 [17] Krauskopf B, Osinga H M 1998 Int. J. Bifurc. Chaos 8 483 [18] Krauskopf B, Osinga H M 1999 Chaos. 9 768 [19] Dellnitz M, Hohmann A 1997 Numer. Math 75 293 [20] Li Q D, Zhou L, Zhou HW2010 Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications(Natural Science Edition) 22 339 (in Chinese) [李清都, 周丽, 周红伟 2010 重庆邮电大学学报(自然科学版) 22 339] [21] Palis J, Melo W D 1982 Geometric Theory of Dynamical Systems (New York: Springer-Verlag) [22] Gonchenko S V, Ovsyannikov I I, Simo C, Turaev D 2005 Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 15 3493
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##### 出版历程
• 收稿日期:  2011-03-21
• 修回日期:  2011-04-10
• 刊出日期:  2012-01-05

## 基于广义Foliation条件的非线性映射二维流形计算

• 1. 西北工业大学电子信息学院, 西安 710072
基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 60872159)资助的课题.

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