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To further explore the complex dynamical behaviors in coexisting attractors, a fourth-order chaotic system with four types of coexisting attractors and four unstable equilibrium points is constructed in this paper. The dynamic behavior of the new system is analyzed by means of phase trajectory diagram, time domain waveform diagram, Poincaré map, Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram. The experimental results show that as the parameters change, the system exhibits rich dynamic behaviors such as stable points, period-doubling bifurcations, coexisting bifurcation modes, and chaotic crises. When the system parameters and memristive parameters change, it is found that the system has different types of coexisting attractors, such as the coexistence of two periodic attractors, the coexistence of two single-scroll chaotic attractors, the coexistence of two double-scroll chaotic attractors, the coexistence of two point attractors. In particular, the system also has the rotation phenomenon of coexisting attractors. Finally, a nonlinear feedback controller is designed, which can make the new system achieve chaos synchronization in a short time. The phase diagram captured by the field-programmable gate array (FPGA) hardware platform is consistent with the numerical simulation results, which proves the feasibility of the system.
1. 引 言
混沌是一种自然界中普遍存在的物理现象, Lorenz在研究天气预报系统时发现了该现象并提出了著名的Lorenz混沌系统[1]. 学者们以此系统为基础, 相继提出了Chen系统[2]、Lü系统[3]、Bao系统[4]等, 极大地促进了混沌系统的研究和发展. 混沌系统因其复杂无序的性质被广泛应用于保密通信[5,6]、图像加密[7,8]、同步控制[9,10] 等领域. 1971年, 蔡少棠[11]首次提出忆阻器的概念, Strukov等[12]于2008年制造出了第一个忆阻器的实物, 验证了蔡少棠教授的猜想. 学者们利用忆阻器优良的非线性特性, 构建出了具有更加复杂动力学行为的四阶, 五阶和更高阶的混沌系统, 并发现了多翼混沌吸引子[13,14]、隐藏吸引子[15,16]和共存吸引子[17,18]等不同种类的吸引子. 其中, 共存吸引子是由不同的状态变量初值将系统引向不同的吸引子, 形成多吸引子共存的多稳态现象. 共存吸引子可分为对称共存吸引子和非对称共存吸引子, 它使得系统运行轨迹变得不可预测, 从而更适用于信息安全领域, 因此对共存吸引子的研究具有重要的意义.
目前, 从构建混沌系统的角度来说, 构建具有共存吸引子的混沌系统主要有3种方法. 第1种是在三维系统中加入状态反馈控制器. 鲜永菊等[19]将反馈控制器引入至三维混沌系统的第3个方程中, 构建了一个只有一个平衡点的四维超混沌系统, 该系统具有至少12种吸引子共存类型. 李木子等[20]提出了一个含有两个反馈项的新五维超混沌系统, 该系统不存在任何平衡点, 即可以产生隐藏共存吸引子. 第2种是利用忆阻器替代混沌电路中的元器件或直接引入到混沌电路. 闵富红等[21]利用两个双曲函数型忆阻器分别替代蔡氏电路的蔡氏二极管和电阻, 构建了一个具有多稳态特性的混沌电路. Ma等[22]设计了一个含有两个忆阻器的混沌电路, 该电路具有无穷多个平衡点, 并且可产生7种不同类型的吸引子. 第3种是将忆阻器引入到现有的混沌系统. Bao等[23]提出了一个具有4个线平衡点的忆阻混沌系统, 该系统可表现出无穷多个吸引子共存的超级多稳态现象. Yu等[24]将一个二次非线性磁控忆阻器作为反馈项, 提出了一种具有不同类型共存吸引子的五阶混沌系统. 李晓霞等[25]将一个磁控忆阻器引入到四维Lü混沌系统, 构建了一个具有超级多稳定性的五维超混沌系统. 秦铭宏等[26]将三次型磁控忆阻器引入三维混沌, 构建了一个具有无穷多共存吸引子的新四维混沌系统, 验证了系统状态变量的震荡幅度与初始值密切相关.
尽管具有共存吸引子的混沌系统已有文献报道, 但呈现旋转共存吸引子的混沌系统目前研究尚少. 本文结合之前学者的研究思路, 在三维混沌系统的基础上引入状态反馈控制器和磁控忆阻器, 构建了一个新四阶混沌系统. 该系统可以产生四种类型共存吸引子, 并且能够产生两种情况的旋转共存吸引子. 最后基于SOPC (System-on-a-Programmable-Chip)技术建立硬件实现平台, 物理实现了该系统, 验证了新系统的可行性.
2. 新四阶混沌系统的构建
2.1 系统模型
忆阻器是一种无源两端元器件, 描述了磁通量
φ 和电荷q 的关系, 本文选取文献[27]提出的磁控忆阻器模型:{˙φ=u,i=W(φ)u,W(φ)=a1+b1φ2, (1) 其中,
φ 为磁通量,u 为施加在忆阻器两端的电压,i 为流过忆阻器两端的电流,W(φ) 为磁通控制忆阻器的忆导函数, 正实数a1,b1 为忆阻内部参数. 当a1=1,b1=0.02 时, 对模型(1)施加正弦激励电压v(t)=Vmsin(2\pi t) , 忆阻器的磁滞回线如图1所示. 当输入电压Vm=2 V 时, 输入频率f 分别为0.01, 0.02和0.03 Hz时忆阻器的磁滞回线见图1(a); 当输入频率f=0.01 V 时, 输入电压Vm 分别为1.5, 2.0和2.5 V时忆阻器的磁滞回线见图1(b).Chen等[28]提出了一个特殊的三维自治二次类Lorenz混沌系统, 该系统具有两个稳定的结焦点, 其状态方程为
{˙x=a(y−x),˙y=−cy−xz,˙z=−b+xy, (2) 其中
x, y, z 为状态变量,a, b, c 表示系统参数. 当系统参数固定为a=10, b=100, c=11.2 , 且初始条件为(0.98, −1.82, −0.49) 时, 系统(2)可以显示一个类Lorenz混沌吸引子.通过在系统(2)第2个方程的右侧添加一个反馈控制器
w , 同时增加磁控型忆导W(φ) 与y 的乘积作为非线性项, 构建了一个新的四阶混沌系统, 其状态方程为{˙x=a(y−x),˙y=−cy−xz+dw−hWy,˙z=−b+xy,˙w=xz−ew, (3) 式中,
x,y,z 为系统状态变量,a,b,c,d,e,h 为系统参数. 当系统参数固定为a=6, b=41, c=1, d=0.5, e=10, h=1.1 , 初始值为(2, 2, 0.01, 0.01) 时, 系统(3)呈现双涡卷混沌吸引子, 如图2所示. 计算系统的4个Lyapunov指数分别为LE1=0.595, LE2=−0.155, LE3=−6.685和 LE4=−12.240 , 其Kaplan-Yorke分数维DL=3.99 , 显然系统(3)有1个正的Lyapunov指数, 且4个指数之和小于0, 说明新构建的系统是混沌的. 同时, 发现新系统关于y 轴对称, 其对称性可从(x,y,z,w)→(−x,y,−z,−w) 的不变性证实.
图 2 混沌吸引子各平面相图 (a) x-y平面; (b) x-z平面; (c) y-z平面; (d) y-w平面Fig. 2. Phase portraits of chaotic attractor: (a) x-y plane; (b) x-z plane; (c) y-z plane; (d) y-w plane.2.2 平衡点和稳定性分析
令(3)式的右侧等于0, 计算其平衡点:
{a(y−x)=0,−cy−xz+dw−hWy=0,−b+xy=0,xz−ew=0. (4) 为了便于讨论, 取
a=6, b=41, c=1, d=0.5, e=10, h=1.1 , 求解出系统具有4个平衡点, 分别为P1=(6.403, 6.403, −2.254, −1443), P2=(6.403, 6.403, −102.972, −65.933), P3=(−6.403, −6.403, −2.254, 1.443), P4=(−6.403, −6.403, −102.972,65.933). 由于增加了系统的平衡点, 也为产生多共存吸引子提供了可能. 非零平衡点
P1 ,P3 对称的分布在z 轴的两侧, 平衡点P2 ,P4 的情况相同. 因为两组平衡点均关于z 轴对称且都是方程的解, 具有相同的性质, 因此只需分别讨论平衡点P1 和P2 .在平衡点
P1 处, 系统对应的雅可比矩阵J为J=[−66002.254−2.146−6.4030.9076.4036.40300−2.25406.403−10]. (5) 求解其特征方程
det , 得到相应的特征根为\left\{ \begin{aligned} &{\lambda _{1,2}} = 0.463 \pm 7.055{\text{i,}} \\ &{\lambda _3} = - 10.741, ~~ {\lambda _4} = - 8.331. \end{aligned} \right. (6) 因为
{\lambda _1} 和{\lambda _2} 是一对含正实部的共轭复根,{\lambda _3} 和{\lambda _4} 都是负实数, 因此平衡点{P_1} 是一个不稳定的鞍焦点. 同理, 可求得系统在平衡点{P_2} 处的4个特征根分别为{\lambda _1} = - 104.808 ,{\lambda }_{2, 3}=-4.651\pm 9.635\text{i}, {\lambda }_{4}=0.372 . 其中,{\lambda _1} 是负实数,{\lambda _2} 和{\lambda _3} 是一对具有负实部的共轭复根,{\lambda _4} 为正实数, 因此平衡点{P_2} 和{P_4} 均为三维空间的一个鞍点. 综上, 系统(3)的4个平衡点均为不稳定平衡点.系统(3)的耗散度
\nabla V 计算如下:\begin{split} \nabla V =\;& \frac{{\partial \dot x}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot y}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot z}}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot w}}{{\partial w}} \\ =\;& - a - c - h({a_1} + {b_1}{w^2}) - e . \end{split} (7) 当取参数
a = 6, \,b = 41, \,c = 1, \,e = 10,\,h = 1.1 , 满足\nabla V < 0 , 表明系统(3)是耗散的.2.3 时域波形图和庞加莱截面图
取参数
a = 6, \,b = 41, \,c = 1, \,d = 0.5, \,e = 10, h = 1.1 , 初始值为(2, {\text{ }}2, {\text{ }}0.01, {\text{ }}0.01) , 采用四阶龙格-库塔(ODE45)算法对系统(3)求解, 可得系统状态变量x, {\text{ }}y, {\text{ }}z, {\text{ }}w 的时域波形如图3(a)所示, 可以看出新系统为非周期系统. 系统(3)在z = 0 上的庞加莱映射如图3(b)所示, 图3(b)存在无数个具有分形结构的密集点, 表明系统具有复杂的动力学行为.
图 3 系统的时域波形图和庞加莱截面 (a)时域波形图; (b)在z = 0 Fig. 3. Time domain waveforms and Poincaré cross section of the system: (a) Time domain waveforms; (b) Poincaré map onz = 0 3. 系统动力学分析
3.1 依赖系统参数变化的动力学行为
本节利用相轨迹图、Lyapunov指数谱、分岔图、动力学地图等分析方法研究系统(3)的动力学行为.
首先选择
a 作为变化参数, 设置b = 41,{\text{ }}c = 1, {\text{ }}d = 0.5, {\text{ }}e = 10, {\text{ }}h = 1.1 , 初始值为{Y_1} = (2, {\text{ }}2, {\text{ }}0.01,{\text{ }}0.01) 和{Y_2} = ( - 2, {\text{ }} - 2, {\text{ }}0.01, {\text{ }} - 0.01) , 状态变量y 随参数a 在区间(0, {\text{ }}50) 变化的分岔图和Lyapunov指数谱如图4所示, 其中蓝色轨线对应初始值{Y_1} , 红色轨线对应初始值{Y_2} . 当a \in (0, {\text{ }}2.4) 时, 4个李氏指数均小于0, 此时系统呈现点吸引子共存. 在a = 2.7 处, 系统进入周期状态, 随后经正向倍周期分岔进入窄共存混沌区域带. 在该混沌区域中存在若干大小不一的周期窗口, 系统表现出2个周期1吸引子共存, 2个周期2吸引子共存的现象, 如图5(a)和图5(b)所示. 在a = 11.86 附近, 系统由混沌危机状态进入周期状态. 而在a\in (34.6, 35) 时, 计算系统的4个李氏指数分别为{\text{LE}}_{1}=0.105, {\text{LE}}_{2}=-0.322, {\text{LE}}_{3}=-8.735, {\text{LE}}_{4}= -38.460 , 其中有1个指数大于0, 系统表现出单涡卷混沌吸引子共存的现象, 如图5(c)所示. 当a > 35 时,{\text{L}}{{\text{E}}_1} 在0值上下波动, 系统的吸引子在共存混沌和共存周期1之间频繁切换. 当a = 50 时,{\text{L}}{{\text{E}}_1} = 0, {\text{ L}}{{\text{E}}_{2, 3, 4}} < 0 , 此时系统呈现另一种类型的周期1吸引子共存, 如图5(d)所示.
图 4 随系统参数a Fig. 4. Chaotic dynamics varying with system parametersa 
图 5 取a Fig. 5. The phase diagram of different values in x-y plane: (a) Coexistence period 1 attractor coexistence (a = 3); (b) coexistence period 2 attractor coexistence (a = 3.2); (c) coexisting single scroll chaotic attractor (a = 34.93); (d) coexistence period 1 attractor coexistence (a = 50).选取
b \in (10, {\text{ }}80) , 初始条件为{Y_1} = (2, {\text{ }}2, {\text{ }}0.01, {\text{ }}0.01) 和{Y_2} = ( - 2, {\text{ }} - 2, {\text{ }}0.01, {\text{ }} - 0.01) , 绘制出系统状态变量y 随参数b 变化的分岔图和Lyapunov指数谱如图6所示, 其中蓝色轨线对应初始值Y1, 红色轨线对应初始值{Y_2} . 由图6(a)可以看出: 随着参数b 的不断增大, 系统(3)呈现出了不同运动状态的吸引子共存行为. 系统以共存周期行为开始, 先后经历了倍周期分岔、切分岔和逆倍周期分岔等方式, 在周期状态和混沌状态中切换, 并最终稳定在周期状态.
图 6 随系统参数b Fig. 6. Chaotic dynamics varying with system parametersb 在这里选取了4个典型的
b 值来模拟系统的动力学行为, 其中包括周期1吸引子共存、周期2吸引子共存、双涡卷混沌吸引子共存以及单涡卷混沌吸引子共存的现象, 分别如图7(a)—(d)所示. 综合上述分析, 可以看出: 相较于系统(2), 由于忆阻非线性项和反馈项的引入, 新构建的系统(3)确实表现出更复杂的动力学行为.
图 7 取b Fig. 7. Phase diagram of different values of parameterb 图8描绘了参数
a 和参数b 变化时系统(3)的动力学特征, 红色区域表示周期状态, 蓝色区域表示混沌状态. 从a = 0 开始, 纵向观察动力学地图的颜色变化, 系统(3)一开始处于周期状态. 当a = 2.2 时, 从红色(周期)变为蓝色(混沌), 在a\in (2.3, 35.3) 区间中, 有成片的蓝色区域包含细长红色(周期)小区域, 说明系统(3)存在混沌与周期共存的状态. 特别地, 在红色区域内还存在几个线状和点状的蓝色区域, 说明系统(3)在混沌和周期之间多次转换.3.2 依赖忆阻参数变化的动力学行为
分别选取初始值为
{Y_1} = (2, {\text{ }}2, {\text{ }}0.01, {\text{ }}0.01) 和{Y_2} = ( - 2, {\text{ }} - 2, {\text{ }}0.01, {\text{ }} - 0.01) , 系统状态变量y 随参数{a_1} 变化的分岔图和Lyapunov指数谱如图9所示, 其中蓝色轨线对应初始值Y1, 红色轨线对应初始值Y2. 由图9可以看出, 随着参数{a_1} 的增大, 系统先经倍周期分岔由周期态进入混沌态, 然后经逆倍周期分岔又由混沌态回到周期, 在周期区间也夹杂着窄的混沌区间. 而且系统还存在着周期吸引子共存、单涡卷混沌吸引子共存以及点吸引子共存等多稳态现象(详见表1和图10).
图 9 随系统参数{a_1} Fig. 9. Chaotic dynamics varying with system parameters{a_1} 表 1 不同{a_1} Table 1. Types and figure numbers of coexisting attractors under different{a_1} 参数 {a_1} 运动状态 图9 –3.51 周期4 (a) –3.30 单涡卷混沌 (b) –3.23 单涡卷混沌 (c) –2.73 周期1 (d) –2.72 周期1 (e) –2.75 双涡卷混沌 (f) –2.38 周期2 (g) 1.60 混沌 (h) 3.01 稳定点 (i) 
图 10 不同{a_1} Fig. 10. Phase diagram of different values of parameter{a_1} 特别地, 从图10(b)—(e)可见, 随着
a{}_1 的增大, 出现了两种情况的共存吸引子旋转现象, 一对单涡卷混沌吸引子旋转, 一对周期1吸引子旋转. 旋转是指对吸引子进行翻转或对折, 从而改变吸引子原来的位置. 在吸引子发生旋转的现象中, 不仅出现由于系统参数改变引起的旋转, 也存在由于系统初值改变引起的旋转. 这一现象在以往的文献中并不常见, 可见引入忆阻作为非线性项后丰富了系统的动力学行为.4. 系统的非线性反馈控制设计
4.1 理论分析
随着混沌控制的研究发展, 学者们尝试采用不同的混沌控制方法如: 线性和非线性反馈控制法[29,30]、自适应控制法[31]和脉冲控制法[32]等去实现混沌系统的同步. 本文采用非线性反馈控制法, 研究具有不同初值, 相同参数的两个新四阶混沌系统之间的同步问题, 具体实现思路是: 首先将(3)式的混沌系统作为驱动系统, (3)式的复制系统作为响应系统, 然后将非线性反馈控制器
\mu = {[{\mu _1}, {\mu _2}, {\mu _3},{\mu _4}]^{\text{T}}} 施加在响应系统上, 通过非线性反馈控制器消除驱动系统和响应系统的误差, 以达到混沌同步的目的.驱动系统方程:
\left\{ \begin{aligned} &{{\dot x}_1} = a({y_1} - {x_1}), \\ &{{\dot y}_1} = - c{y_1} - {x_1}{z_1} + d{w_1} - hW{y_1}, \\ &{{\dot z}_1} = - b + {x_1}{y_1}, \\ &{{\dot w}_1} = {x_1}{z_1} - e{w_1}. \\ \end{aligned} \right. (8) 响应系统方程:
\left\{ \begin{aligned} &{{\dot x}_2} = a({y_2} - {x_2}) + {\mu _1}, \\ &{{\dot y}_2} = - c{y_2} - {x_2}{z_2} + d{w_2} - hW{y_2} + {\mu _2}, \\ &{{\dot z}_1} = - b + {x_2}{y_2} + {\mu _3}, \\ &{{\dot w}_1} = {x_2}{z_2} - e{w_2} + {\mu _4}. \\ \end{aligned} \right. (9) 为了获得实现驱动系统和响应系统同步的控制器, 定义两个系统的状态误差变量为
\left\{ \begin{aligned} &{e_1} = {x_2} - {x_1}, ~~ {e_2} = {y_2} - {y_1}, \\ &{e_3} = {z_2} - {z_1},~~ {e_4} = {w_2} - {w_1}. \\ \end{aligned} \right. (10) \left\{ \begin{aligned} &{{\dot e}_1} = a({e_2} - {e_1}) + {\mu _1}, \\ &{{\dot e}_2} = - c{e_2} + d{e_4} - {x_2}{z_2} + {x_1}{z_1} - hW{e_2} + {\mu _2}, \\ &{{\dot e}_3} = {x_2}{y_2} - {x_1}{y_1} + {\mu _3}, \\ &{{\dot e}_4} = - e{e_4} + {x_2}{y_2} - {x_1}{z_1} + {\mu _4}. \\ \end{aligned} \right. (11) 由上可得, 可通过设置适当的控制向量
\mu 使误差系统(11)在原点处稳定, 从而实现驱动系统(8)式与响应系统(9)式的混沌同步. 选择控制器为\left\{ \begin{aligned} &{\mu _1} = - a{e_2}, \\ &{\mu _2} = - d{e_4} + {x_2}{z_2} - {x_1}{z_1} + hW{e_2}, \\ &{\mu _3} = - {x_2}{y_2} + {x_1}{y_1} - k{e_3}, \\ &{\mu _4} = - {x_2}{y_2} + {x_1}{z_1}, \\ \end{aligned} \right. (12) 其中,
k 表示反馈控制增益, 将(12)式控制函数代入误差系统(11)可得\left\{ \begin{aligned} &{{\dot e}_1} = - a{e_1},~~ {{\dot e}_2} = - c{e_2}, \\ & {{\dot e}_3} = - k{e_3},~~ {{\dot e}_4} = - e{e_4}. \end{aligned} \right. (13) 为了求解反馈增益
k 的取值范围, 构建Lyapunov函数如下:V(e) = \frac{1}{2}(e_1^2 + e_2^2 + e_3^2 + e_4^2) , (14) 式中,
V(e) 为正定函数. 结合(13)式, 对(14)式沿误差e 求导可得:\begin{split} \dot V(e) =\;& {e_1}{{\dot e}_1} + {e_2}{{\dot e}_2} + {e_3}{{\dot e}_3} + {e_4}{{\dot e}_4} \\ =\;& - ae_1^2 - ce_2^2 - ke_3^2 - ee_4^2, \end{split} (15) 式中,
a, {\text{ }}c, {\text{ }}e 均为正值, 故当k > 0 时, 必有\dot V(e) < 0 , 即\dot V(e) 为负定函数. 根据Lyapunov稳定性定理, 误差系统(11)以指数速率收敛到平衡点处, 即对于任意给定初值, 均存在\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } ||(e, t)|| = 0 , 使驱动系统(8)式与响应系统(9)式达到同步.4.2 数值模拟
本节通过在Matlab上进行数值仿真, 验证驱动系统(8)式与响应系统(9)式在非线性反馈控制器下是否达到同步. 首先, 选取系统参数为
a =6 ,\,b = 41 ,\,c = 1 ,\,d = 0.5, \,e = 10 ,\,h = 1.1, \,k = 1,\,{a_1} = 1 ,{b_1} = 0.01 , 驱动系统(8)式的初始值为{x_1}(0) = 2, {\text{ }}{y_1}(0)\, =\, 2,{\text{ }}{z_1}(0)\, = \,0.01, {\text{ }}{w_1}(0) \,=\, 0.01 , 响应系统(9)式的初始值为{x_2}(0) = 3, {\text{ }}{y_2}(0) = 3, {\text{ }}{z_2}(0) =1.01, {\text{ }}{w_2}(0) =1.01 , 步长设为0.02, 仿真的同步误差收敛曲线如图11所示, 可以看出两个初值不同的系统在控制器作用下, 误差{e_1}, {\text{ }}{e_2}, {\text{ }}{e_3}, {\text{ }}{e_4} 在1 s前均已稳定在零点, 即驱动系统(8)式与响应系统(9)式实现了混沌同步.
图 11 混沌同步的误差收敛曲线 (a){e_1} {e_2} {e_3} {e_4} Fig. 11. Error convergence curve of chaotic synchronization: (a){e_1} {e_2} {e_3} {e_4} 5. FPGA硬件实现
SOPC是一种基于FPGA的实现方案, 系统的实现以AC620 FPGA开发板为核心, 如图12所示. 选用的FPGA为ED4 CE10 F17, SDRAM为W9812 g6 KH-6, 大小为128 M, DAC为双通道14位AD9767. 系统利用QuartusⅡ 17.1软件定制开发, 搭建SOPC系统完成硬件设计.
选取系统参数:
a = 6, {\text{ }}b = 41, {\text{ }}c = 1, {\text{ }}d = 0.5, {\text{ }}e =10, {\text{ }}h = 1.1 , 迭代步长\Delta t = 0.001 , 采用Euler法对系统(3)进行离散化处理, 得到的差分方程如下:\left\{ \begin{split} & x(n + 1) = x(n) + \Delta t(ay(n) - ax(n)), \\ &y(n + 1) = y(n) + \Delta t\big(- by(n) - x(n)z(n) \\ &\qquad\qquad\;\;+ cw(n)-hy(n)\big(a_1 \\ &\qquad\qquad\;\;+ b_1w(n)w(n)\big)\big), \\ &z(n + 1) = z(n) + \Delta t( - d+ x(n)y(n)), \\ &w(n + 1) = w(n) + \Delta t(x(n)z(n)- ew(n)). \end{split} \right. (16) 利用C语言编程, 将量化后的数据经DAC转换后输出到示波器, 结果如图13所示. 可以看出硬件实现结果与数值仿真相图基本一致, 验证了系统(3)的可实现性.
图 13 FPGA硬件实现系统相图 (a) x-y平面; (b) x-z 平面; (c) y-z 平面; (d) y-w平面Fig. 13. Realization of memristive chaotic attractor by FPGA hardware: (a) x-y plane; (b) x-z plane; (c) y-z plane; (d) y-w plane.6. 结 论
将忆阻非线性项和状态反馈控制器引入三维自治二次类Lorenz混沌系统, 构建了一个新四阶混沌系统. 通过数值分析发现该系统随着参数变化具有两个周期吸引子共存、两个单涡卷混沌吸引子共存、两个双涡卷混沌吸引子共存等多稳态现象, 同时还发现了共存的旋转吸引子. 其次, 设计了一个非线性反馈控制器, 实现了混沌系统的自同步. 最后, 通过FPGA硬件平台实现该系统, 实验结果与数值仿真结果保持一致, 验证了系统的可行性, 下一步将研究该系统在信息安全中的应用.
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[13] Wang M J, Deng Y, Liao X H, Li Z J, Ma M L, Zeng Y C 2019 Int. J. Nonlin. Mech. 111 149
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[14] 徐昌彪, 何颖辉, 吴霞, 莫运辉 2020 哈尔滨工业大学学报 52 92
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Xu C B, He Y H, Wu X, Mo Y H 2020 J. Harbin Eng. Univ. 52 92
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[15] Hu H Y, Cao Y H, Hao J, Li X J, Mou J 2022 Multimed. Tools Appl. 82 4343
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[16] Guo Z G, Wen J J, Mou J 2022 Mathematics 11 1
[17] 鲜永菊, 莫运辉, 徐昌彪, 吴霞, 何颖辉 2020 华南理工大学学报(自然科学版) 48 32
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Xian Y J, Mo Y H, Xu C B, Wu X, He Y H 2020 J. Huanan Ligong Univ. (Nat. Sci.) 48 32
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[18] 王徐盱, 张宏昊, 赖强 2021 电子元件与材料 40 1208
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Wang X X, Zhang H H, Lai Q 2021 Electron. Components Mater. 40 1208
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[19] 鲜永菊, 扶坤荣, 徐昌彪 2021 振动与冲击 40 15
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Xian Y J, Fu K R, Xu C B 2021 J. Vibr. Shock 40 15
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[20] 李木子, 许荣今, 岳立娟 2021 东北师大学报(自然科学版) 53 120
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Li M Z, Xu R J, Yue L J 2021 J. Dongbei Shida Univ. (Nat. Sci.) 53 120
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[21] 闵富红, 王珠林, 曹戈, 王恩荣 2018 电子学报 46 9
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Min F H, Wang Z L, Cao G, Wang E R 2018 Acta Electronica Sin. 46 9
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[24] Yu F, Liu L, Qian S, Li L X, Huang Y Y, Shi C Q, Cai S, Wu X M, Du S C, Wan Q Z 2020 Complexity 2020 1
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[25] 李晓霞, 郑驰, 王雪, 曹樱子, 徐桂芝 2022 哈尔滨工业大学学报 69 163
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Li X X, Zheng C, Wang X, Cao Y Z, Xu G Z 2022 J. Harbin Eng. Univ. 69 163
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[26] 秦铭宏, 赖强, 吴永红 2022 物理学报 71 160502
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[29] 孙克辉, 汪艳, 刘璇 2013 电路与系统学报 18 500
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Sun K H, Wang Y, Liu X 2013 J. Circuits Syst. 18 500
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[30] 陈志盛, 孙克辉, 张泰山 2005 物理学报 6 2580
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Chen Z S, Sun K H, Zhang T S 2005 Acta Phys. Sin. 6 2580
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[31] 付景超, 张中华 2016 控制与决策 31 1707
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Fu J C, Zhang Z H 2016 Control Decision 31 1707
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[32] 毛北行, 王东晓, 卜春霞 2012 华中师范大学学报(自然科学版) 46 297
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Mao B X, Wang D X, Bu C X 2012 J. Cent. Chin. Normal Univ. (Nat. Sci.) 46 297
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期刊类型引用(4)
1. 尚磊，刘林锋，杨忠保. 一种四维超混沌金融系统分析及图像加密. 数学的实践与认识. 2025(01): 186-199 . 
百度学术2. 邓迎军，荣海媚，周钦君，孙智鹏，张博. 一种具有超级多稳态的忆阻混沌系统及其在电力图像加密中的应用. 机电工程技术. 2024(08): 191-196 . 百度学术3. 张红伟，付常磊，潘志翔，丁大为，王金，杨宗立，刘涛. 分数阶忆阻Henon映射的可控多稳定性及其视频加密应用. 物理学报. 2024(18): 44-59 . 百度学术4. 杨阳，张俊芳，万怡华. 隐藏吸引子的新四维超混沌系统及多通道同步. 电子测量技术. 2024(15): 23-29 . 百度学术其他类型引用(0)
-
图 1 忆阻器的磁滞回线
Figure 1. Hysteresis loop of memristor.
图 2 混沌吸引子各平面相图 (a) x-y平面; (b) x-z平面; (c) y-z平面; (d) y-w平面
Figure 2. Phase portraits of chaotic attractor: (a) x-y plane; (b) x-z plane; (c) y-z plane; (d) y-w plane.
图 3 系统的时域波形图和庞加莱截面 (a)时域波形图; (b)在
z = 0 截面上的Poincaré截面Figure 3. Time domain waveforms and Poincaré cross section of the system: (a) Time domain waveforms; (b) Poincaré map on
z = 0 plane
图 4 随系统参数
a 变化的混沌动力学 (a)分岔图; (b) Lyapunov指数谱Figure 4. Chaotic dynamics varying with system parameters
a : (a) Bifurcation diagram; (b) Lyapunov exponential spectra.
图 5 取
a 的不同值在x-y平面的相位图 (a)周期1吸引子共存(a = 3); (b)周期2吸引子共存(a = 3.2); (c)单涡卷混沌吸引子共存(a = 34.93); (d)周期1吸引子共存 (a = 50)Figure 5. The phase diagram of different values in x-y plane: (a) Coexistence period 1 attractor coexistence (a = 3); (b) coexistence period 2 attractor coexistence (a = 3.2); (c) coexisting single scroll chaotic attractor (a = 34.93); (d) coexistence period 1 attractor coexistence (a = 50).
图 6 随系统参数
b 变化的混沌动力学 (a)分岔图; (b) Lyapunov指数谱Figure 6. Chaotic dynamics varying with system parameters
b : (a) Bifurcation diagram; (b) Lyapunov exponential spectrum.
图 7 取
b 的不同值在x-y平面的相位图 (a) 周期1吸引子共存(b = 10); (b) 周期2吸引子共存(b = 20.5); (c) 双涡卷混沌吸引子共存(b = 62); (d) 单涡卷吸引子共存(b = 70)Figure 7. Phase diagram of different values of parameter
b on x-y plane: (a) Coexisting period 1 attractor coexistence (b = 10); (b) coexisting period 2 attractor coexistence (b = 20.5); (c) coexisting double scroll chaotic attractor coexistence (b = 62); (d) coexisting single-scroll attractors coexistence (b = 70).
图 8 参数a和b的动力学地图
Figure 8. Dynamic map of parameters a and b.
图 9 随系统参数
{a_1} 变化的混沌动力学 (a) 分岔图; (b) Lyapunov指数谱Figure 9. Chaotic dynamics varying with system parameters
{a_1} : (a) Bifurcation diagram; (b) Lyapunov exponential spectrum.
图 10 不同
{a_1} 值在x-y平面的相位图Figure 10. Phase diagram of different values of parameter
{a_1} on x-y plane.
图 11 混沌同步的误差收敛曲线 (a)
{e_1} ; (b){e_2} ; (c){e_3} ; (d){e_4} Figure 11. Error convergence curve of chaotic synchronization: (a)
{e_1} ; (b){e_2} ; (c){e_3} ; (d){e_4} .
图 12 FPGA实现设备
Figure 12. FPGA implementation equipment.
图 13 FPGA硬件实现系统相图 (a) x-y平面; (b) x-z 平面; (c) y-z 平面; (d) y-w平面
Figure 13. Realization of memristive chaotic attractor by FPGA hardware: (a) x-y plane; (b) x-z plane; (c) y-z plane; (d) y-w plane.
-
[1] Tucker W 1999 Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics 328 1197
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Liu S, Wei Y P, Liu J Y, Zhang G P 2020 J. Cent. Chin. Normal Univ. (Nat. Sci.) 54 36
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Zhuang Z B, Li J, Liu J Y, Chen S Q 2020 Acta Phys. Sin. 69 50
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[9] 吴庆庆, 郑雅婷, 李涛 2014 中国科技论文 9 130
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