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W波段带状注扩展互作用速调管放大器的理论研究与数值模拟

曾造金 马乔生 胡林林 蒋艺 胡鹏 雷文强 马国武 陈洪斌

W波段带状注扩展互作用速调管放大器的理论研究与数值模拟

曾造金, 马乔生, 胡林林, 蒋艺, 胡鹏, 雷文强, 马国武, 陈洪斌
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  • 带状注扩展互作用速调管具有高峰值功率和高平均功率的特点, 是一种具有广泛应用前景的电真空器件. 基于电子流振荡理论, 在小信号条件下推导了纵向模式为2π模的三间隙谐振腔的电子负载电导和电子负载电纳的表达式, 分析了等离子体频率、间隙宽度和相邻间隙中心之间的距离等参数对电子负载电导和电子负载电纳的影响. 根据理论分析结果, 结合三维电磁仿真软件完成了一款工作于W波段的带状注扩展互作用速调管放大器的模拟设计. 电子注横截面尺寸为4 mm × 0.32 mm时, 在工作电压为19.5 kV, 电流为3.5 A, 输入功率为1 W, 轴向引导磁场为0.85 T的条件下, 频率94.47 GHz处得到输出功率为5773 W, 增益为37.6 dB, 电子效率为8.46%, 3 dB带宽约140 MHz.
      通信作者: 陈洪斌, 17721915695@163.com
    • 基金项目: 国家重点研发计划(批准号: 2018YFC0115001)资助的课题
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  • 图 1  三间隙谐振腔2π模场示意图

    Fig. 1.  Simplified E-field of 2π mode in three-gap cavity.

    图 2  归一化电子负载电导Geff3/G0βeL的关系

    Fig. 2.  Geff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    图 3  归一化电子负载电导Geff3/G0βeL的关系

    Fig. 3.  Geff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    图 4  归一化电子负载电导Geff3/G0与渡越角βed的关系

    Fig. 4.  Geff3/G0 versus βed of three-gap cavity.

    图 5  归一化电子负载电纳Beff3/G0βeL的关系

    Fig. 5.  Beff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    图 6  归一化电子负载电纳Beff3/G0βeL的关系

    Fig. 6.  Beff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    图 7  归一化电子负载电纳Beff3/G0与渡越角βed的关系

    Fig. 7.  Beff3/G0 versus βed of three-gap cavity.

    图 8  两种理论计算的Gb/G0βeL的关系

    Fig. 8.  Gb/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    图 9  两种理论计算的Bb/G0βeL的关系

    Fig. 9.  Bb/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    图 10  带状注扩展互作用速调管高频结构仿真模型

    Fig. 10.  model of the sheet beam extended interaction klystron.

    图 11  归一化电子负载电导Geff3/G0与间隙直流渡越角βed和相邻间隙中心之间的直流渡越角βeL的关系

    Fig. 11.  Geff3/G0 versus βed and βeL of three-gap cavity.

    图 12  归一化缩减等离子体频率与工作电压的关系

    Fig. 12.  Fp versus U of three-gap cavity.

    图 13  电子负载电导与工作电压的关系

    Fig. 13.  Gb versus U of three-gap cavity.

    图 14  各模式Ez沿轴向的分布 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

    Fig. 14.  Ez versus axial distance of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

    图 15  各间隙中心Ez沿y轴的分布 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

    Fig. 15.  Ez versus y axial of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

    图 16  各间隙中心Ez沿x轴的分布 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

    Fig. 16.  Ez versus x axial of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

    图 17  各模式Qt与电压U的关系 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

    Fig. 17.  Qt versus U of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

    图 18  带状注速调管高频结构y-z剖面图及电子轨迹

    Fig. 18.  y-z section plane of the extended interaction cavity and particle trajectories.

    图 19  带状注速调管高频结构x-z剖面图及电子轨迹

    Fig. 19.  x-z section plane of the extended interaction cavity and particle trajectories.

    图 20  瞬时输入功率波形

    Fig. 20.  Waveform of input microwave.

    图 21  前三腔调制电流基频分量沿轴向的分布

    Fig. 21.  Fundamental modulated current amplitude versus axial distance.

    图 22  输出腔入口处调制电流波形

    Fig. 22.  Waveform of current at the entry of output cavity.

    图 23  电子能量分布随轴向距离的变化

    Fig. 23.  Kinetic energy distribution vs. axial distance.

    图 24  瞬时输出功率波形

    Fig. 24.  Instantaneous waveform of output microwave.

    图 25  输出功率频谱

    Fig. 25.  Spectrum of output microwave.

    图 26  输出功率和电子效率与输入微波频率的关系

    Fig. 26.  Output power and efficiency versus input microwave frequency.

    图 27  输出功率和电子效率与输入微波功率的关系

    Fig. 27.  Output power and efficiency versus input microwave power.

    表 1  W波段带状注扩展互作用速调管高频结构参数

    Table 1.  Structural parameters of W-band sheet beam extended interaction klystron amplifier.

    谐振腔纵向工作模式谐振频率/GHz固有品质因数Q0外观品质因数Qext起始位置/mm
    输入腔2π模94.525626270
    中间腔12π模94.565553.04
    中间腔22π模94.565556.08
    输出腔2π模94.525626279.22
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    [17] 薛智浩, 刘濮鲲, 杜朝海, 李铮迪. W波段螺旋波纹波导回旋行波管注波互作用的非线性分析. 物理学报, 2012, 61(17): 170201. doi: 10.7498/aps.61.170201
    [18] 薛智浩, 刘濮鲲, 杜朝海. W波段螺旋波纹波导回旋行波管注波互作用的非线性分析. 物理学报, 2014, 63(8): 080201. doi: 10.7498/aps.63.080201
    [19] 郭建华, 喻胜, 李宏福, 张天钟, 雷朝军, 李想, 张颜颜. 回旋速调管注波互作用瞬态非线性理论与模型研究. 物理学报, 2011, 60(9): 090301. doi: 10.7498/aps.60.090301
    [20] 陈姝媛, 阮存军, 王勇. 带状注速调管多间隙扩展互作用输出腔等效电路的研究. 物理学报, 2014, 63(2): 028402. doi: 10.7498/aps.63.028402
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-06-12
  • 修回日期:  2019-10-08
  • 刊出日期:  2019-12-01

W波段带状注扩展互作用速调管放大器的理论研究与数值模拟

  • 中国工程物理研究院应用电子学研究所, 绵阳 621900
  • 通信作者: 陈洪斌, 17721915695@163.com
    基金项目: 国家重点研发计划(批准号: 2018YFC0115001)资助的课题

摘要: 带状注扩展互作用速调管具有高峰值功率和高平均功率的特点, 是一种具有广泛应用前景的电真空器件. 基于电子流振荡理论, 在小信号条件下推导了纵向模式为2π模的三间隙谐振腔的电子负载电导和电子负载电纳的表达式, 分析了等离子体频率、间隙宽度和相邻间隙中心之间的距离等参数对电子负载电导和电子负载电纳的影响. 根据理论分析结果, 结合三维电磁仿真软件完成了一款工作于W波段的带状注扩展互作用速调管放大器的模拟设计. 电子注横截面尺寸为4 mm × 0.32 mm时, 在工作电压为19.5 kV, 电流为3.5 A, 输入功率为1 W, 轴向引导磁场为0.85 T的条件下, 频率94.47 GHz处得到输出功率为5773 W, 增益为37.6 dB, 电子效率为8.46%, 3 dB带宽约140 MHz.

English Abstract

    • 毫米波的波长介于微波和红外光波之间, 相较于微波, 毫米波具有频带宽、分辨率高等特点, 与红外光波相比, 毫米波穿透云雾的能力更强, 因此毫米波具有广泛的应用前景[1,2]. W波段是毫米波频段一个重要的大气传输窗口, 广泛应用于导弹精确制导、高分辨率成像系统、云雨测量雷达、空间碎片探测、地球物理探测等领域[3,4]. 扩展互作用速调管具有结构简单、高增益、高效率等特点, 尤其适合在毫米波频段工作[5,6]. 由于高频结构尺寸和工作频率的共度效应, 传统扩展互作用速调管由低频段向毫米波段扩展时, 高频结构尺寸减小, 空间电荷效应更加显著, 大密度电流在电子注通道中的稳定传输极其困难, 这是限制扩展互作用速调管的输出功率水平的一个主要原因.

      俄罗斯学者Kovalenko在1938年首次提出了带状注速调管的概念[7], 带状注是将传统圆形电子注沿一维扩展形成, 它可以突破传统圆形注扩展互作用速调管尺寸共度效应对电子注通道的限制 [8]. 相同的工作电流条件下, 带状注的电流密度比圆形注小, 空间电荷效应较弱, 从而降低了对聚焦磁场的需求. 在相同的电流密度条件下, 带状注具有比圆形注更大的电流, 从而可以提高器件的输出功率. 此外, 带状注扩展互作用速调管比传统圆形注扩展互作用速调管的高频结构尺寸更大, 击穿的风险更小, 能够承受的峰值功率和平均功率更高. 因此带状注扩展互作用速调管极具潜力, 近年来成为国内外电真空器件方向科研工作者的重点研究方向.

      国外研究W波段带状注扩展互作用速调管的主要有美国的美国海军研究实验室(NRL)、加利福尼亚大学戴维斯分校(UC Davis)、斯坦福直线加速器中心(SLAC)等机构. 其中NRL于2014年研制了峰值输出功率为7.7 kW的带状注扩展互作用速调管, 对应的输入信号频率为94.23 GHz, 电压为21.3 kV, 电流为4.2 A, 增益为18.9 dB[9,10]. UC Davis于2017年报道了其研制的W波段带状注扩展互作用速调管, 峰值功率为56 kW, 脉宽为1 μs, 增益大于43 dB[11,12]. 在此基础上, UC Davis通过降低电压和电流设计了连续输出为10 kW的W波段带状注扩展互作用速调管, 实验中在20 ms脉宽内实现输出功率为10 kW, 增益大于17 dB, UC Davis正在继续改进冷却结构, 以增加带状注扩展互作用速调管的工作脉宽[12].

      国内研究W波段带状注扩展互作用速调管的主要有中国科学院电子学研究所、电子科技大学、中国工程物理研究院应用电子学研究所等单位. 其中中国科学院电子学研究所完成了W波段带状注扩展互作用速调管的设计, 仿真得到的输出功率为69 kW, 效率为24%, 增益为37 dB, 3 dB带宽为100 MHz, 并于2012年完成了束管的焊接和测试, 当电子注电压为20—82 kV时, 发射电流为0.5—4.27 A, 在长度为100 mm的漂移通道内流通率大于98%, 但未见后续高频管实验报道[7]. 2019年电子科技大学报道了其研制的W波段带状注扩展互作用速调管振荡器, 电压为47.2 kV, 电流为2.1 A时, 实验得到峰值输出功率为6 kW, 在工作占空比20%时平均功率为1.2 kW[13].

      本文基于电子流振荡理论, 在小信号条件下推导了纵向模式为2π模的三间隙谐振腔的电子负载电导和电子负载电纳的表达式, 分析了等离子体频率、间隙宽度和相邻间隙中心之间的距离等参数对电子负载电导和电子负载电纳的影响. 基于理论分析结果, 设计了一款工作于W波段的带状注扩展互作用速调管放大器, 输入信号频率为94.47 GHz时仿真得到输出功率为5773 W, 3 dB带宽约为140 MHz.

    • 电子负载是表征电子注对高频场作用效果的物理量, 由两部分组成, 一部分表征电子注与高频场之间相互转化的净能量, 另一部分表征电子注与高频场之间瞬时转换, 但在整周期内净值为零的能量[14]. 已有很多学者根据运动学理论和能量守恒定律分析了多间隙谐振腔中电子注与高频场之间的能量交换过程, 并推导出了多间隙谐振腔的电子负载电导的表达式[15-24]. 但这些结论并未考虑如下两方面: 一是没有考虑空间电荷的影响; 二是忽略了间隙之间的漂移通道, 对于纵向模式为2π模式的多间隙谐振腔, 漂移通道长度通常数倍于间隙宽度, 忽略漂移通道对电子注和高频场之间相互作用的影响会造成较大误差.

      运动学理论和空间电荷波理论是分析群聚问题的两种主要理论体系. 其中, 运动学理论没有考虑空间电荷效应的影响, 因此只适用于电荷密度极小的情形[25-27]; 空间电荷波理论由于在分析中做了小振幅的假设, 不适用于大的交变电流的情形[28,29]. 美国的Webster[25]在运动学理论的基础上提出了考虑到空间电荷本身排斥力的修正理论, 称为“去聚理论”, 前苏联的Кацман在“去聚理论”的基础上, 采用不同的数学方法, 提出了突出电子振动过程的运动微分方程, 在此基础上形成了“电子流振荡理论”, 这种理论的优点是便于分析多次群聚的问题, 并且可以把群聚过程和换能过程用统一的数学形式予以描述[30,31]. “电子流振荡理论”在运动学理论和空间电荷波理论之间进行了折中, 它在电荷密度较大的情况下, 与空间电荷波理论一致, 但“电子流振荡理论”的小信号及电子无超越假设, 使它不适用于群聚参数较大时的情形[31].

      对于工作模式的选择, 横向模式选择基模, 对于纵向模式, 采用π模工作时, 相邻间隙的间距比较小, 有利于减小谐振腔的尺寸和速调管的小型化. 同时由于高频尺寸的减小, 减弱了电子注的散焦, 有利于电子注流通率的提高. 采用2π模工作模式时, 相邻间隙的间距比π模的大, 有利于提高谐振腔的特性阻抗和散热. 对于W波段扩展互作用速调管, 当电子注为圆形注时, 国际上通常采用π模, 当电子注为带状注时, 国际上通常采用2π模, 主要是考虑到带状注扩展互作用速调管功率很大, 采用2π模工作更有利于速调管的散热, 使谐振腔的尺寸更大, 也更有利于机械加工、调频结构和冷却系统的设计. 因此本文W波段带状注扩展互作用速调管的谐振腔采用2π模.

      为了简化分析, 做如下假设: 1)正离子完全中和, 即空间中没有直流电场; 2)各个间隙均为有栅间隙, 并且假设电场在横截面上均匀分布, 只在纵向上变化, 且间隙电场为均匀场; 3)电子注无限大; 4)电子无超越现象; 5)各个谐振腔之间的漂移管通道对于高频场完全截止. 纵向模式为2π模的三间隙谐振腔的电场分布可用图1近似表示.

      图  1  三间隙谐振腔2π模场示意图

      Figure 1.  Simplified E-field of 2π mode in three-gap cavity.

      设定第一个间隙的入口处坐标为0, 那么电子在第n (n = 1, 2, 3)间隙t时刻感受的电场可表示为

      $\begin{split} &{E_n} = {E_{\rm{m}}}\sin \left[ {\omega t + \left( {n - 1} \right) \cdot 2{\text{π}}} \right],\\ &\left( {n - 1} \right)L \leqslant z \leqslant \left( {n - 1} \right)L + d, \end{split}$

      式中, Em为间隙电场幅值; d为间隙宽度; L为相邻间隙中心的距离; ω = 2πf, f为三间隙谐振腔的谐振频率; zt时刻电子在第n个间隙中的位置.

    • 设电子注直流电压为U0, 电流为I0, 电子初始速度为ν0, 电子质量为m, 电子电荷量为e, 真空中介电常数为ε0. 假设在小信号条件下, 电子在第一个间隙中的渡越角与直流渡越角之间相差一个极小量δ1, 即

      $\omega \left( {t - {t_0}} \right) = \varphi - {\varphi _0} = {\theta _1} + {\delta _1},{\delta _1} \ll {\theta _1},$

      式中, φt时刻电场的相位; t0为电子进入第一个间隙的时刻; φ0 = ωt0为电子进入第一个间隙时电场的相位; θ1 = ωz1/ν0, z1t时刻电子在第一个间隙中的位置.

      基于电子流振荡方程, 由文献[31]可知

      ${\delta _1} = \frac{\alpha }{{2{\theta _0}}}\!\!\left[ {\sin \omega t - \sin \left( {\omega t \!-\! {\theta _1}} \right) \!-\! \cos \left( {\omega t \!- \!{\theta _1}} \right)\frac{{\sin p{\theta _1}}}{p}}\!\right],$

      式中, α = Um/U0为间隙电压幅值与直流电压的比值, Um = Emd; ${\omega _{\rm{p}}} = p\omega = \sqrt {{{{\rm{e}}{I_0}}/ {m{\nu _0}{\varepsilon _0}}}} $为等离子体振荡角频率; θ0 = βed为电子通过间隙的直流渡越角, βe = ω/ν0为电子的纵向传播常数.

      电子离开第一个间隙时的速度交变分量[31]

      ${\widetilde \nu _1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right. = \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\left[ {\cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right)} \right],$

      式中τ1为电子离开第一个间隙的时间.

      第一个间隙出口处的对流电流交变分量[31]

      ${\widetilde i_1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right. = \frac{{\alpha {I_0}}}{{2{\theta _0}}}\!\!\left[\!{ - \cos \left( {{\varphi _0}\!+\!{\theta _0}} \right)\!+\!\cos {\varphi _0}\!-\!\sin {\varphi _0}\frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}}\!\right].$

      第一个间隙产生的感应电流[31]

      $\begin{split} & {\widetilde i_{{\rm ind},1}} \\ = \,& \frac{1}{{{\theta _0}}}\int_0^{{\theta _0}} {{{\widetilde i}_1}{\rm{d}}{\theta _1}} = \frac{{{U_{\rm{m}}}{G_0}}}{{2\theta _0^2}}\\ & \times \Bigg[\!\!\left( {2\! -\! \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\sin {\theta _0} \!-\! \cos p{\theta _0}\cos {\theta _0} \!- \!\cos {\theta _0}} \right)\!\sin \omega t \Bigg. \\ & +\!\!\! \Bigg.\left(\!\!{\sin {\theta _0}\cos p{\theta _0}\! +\! \sin {\theta _0}\! -\! \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\cos {\theta _0}\! - \!{\theta _0}}\!\! \right)\cos \omega t \Bigg] \\ = \,& {U_{\rm{m}}}{G_{{\rm b} 1}}\sin \omega t + {U_{\rm{m}}}{B_{{\rm b} 1}}\cos \omega t ,\\[-12pt] \end{split}$

      式中, Gb1为第一个间隙的电子负载电导, Bb1为第一个间隙的电子负载电纳.

      由(6)式可得

      $\frac{{{G_{{\rm b} 1}}}}{{{G_0}}} = \frac{1}{{2\theta _0^2}}\!\!\left(\!{2 \!- \!\frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\sin {\theta _0} \!-\! \cos p{\theta _0}\cos {\theta _0} \!-\! \cos {\theta _0}}\!\right),$

      $\frac{{{B_{{\rm b} 1}}}}{{{G_0}}} = \frac{1}{{2\theta _0^2}}\!\!\left(\!{\sin {\theta _0}\cos p{\theta _0}\! +\! \sin {\theta _0} \!-\! \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\cos {\theta _0} \!-\! {\theta _0}}\!\right).$

    • 在漂移空间没有外加场, 电子在漂移空间中做匀速运动, 运动方程为

      $\begin{split}{z_{11}}= \, & {\widetilde \nu _1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right.\left( {t - {\tau _1}} \right) + d \\ =\, & \left\{ {{\nu _0} + \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\left[ {\cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right)} \right]} \right\}\\ &\times\left( {t - {\tau _1}} \right) + d,\;d \leqslant {z_{11}} < L,\\[-12pt]\end{split}$

      式中z11为电子在第一个漂移段的位置.

      同样假设电子在第一个漂移段的实际渡越角和直流渡越角之间相差一个微小量δ11, 则

      $\omega \left( {t - {\tau _1}} \right) = \varphi - {\varphi _1} = {\theta _{11}} + {\delta _{11}},\;{\delta _{11}} \ll {\theta _{11}}, $

      式中, φ1 = ωτ1为电子进入漂移段的相位, θ11 = ω(z11d)/ν0.

      将(10)式代入(9)式可得

      $\begin{split} {\delta _{11}} =\, & - \frac{\alpha }{{2{\theta _0}}}{\theta _{11}}\big[ \cos p{\theta _0}\cos \left( {\omega t - {\theta _{11}} - {\theta _0}} \right) \\ & - \cos \left( {\omega t - {\theta _{11}}} \right) \big].\end{split}$

      根据电荷守恒定律可得第一个漂移段中的对流电流为

      $\begin{split}{i_{11}}\, & = {I_0} + {\widetilde i_{11}} = {i_1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right.\frac{{{\rm{d}}{\tau _1}}}{{{\rm{d}}t}}\\ &= \left( {{I_0} + {{\widetilde i}_1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right.} \right)\frac{{{\rm{d}}\omega {\tau _1}}}{{{\rm{d}}\omega t}} \\ &= \left( {{I_0} + {{\widetilde i}_1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right.} \right)\left( {1 - \frac{{{\rm{d}}{\delta _{11}}}}{{{\rm{d}}\omega t}}} \right).\end{split}$

      式中${\widetilde i_{11}}$为对流电流交变分量.

      因为在小信号条件下α $\ll $ 1, 忽略α, δ1, δ11的二次及以上项, 可得第一个漂移段出口处的对流电流为

      $ \begin{split} & {i_{11}}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right. \! \\ =& \frac{{\alpha {I_0}}}{{2{\theta _0}}}\left\{\!\cos {\varphi _0} \!- \!\cos \left( {{\varphi _0}\! +\! {\theta _0}} \right) \!-\! \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\sin {\varphi _0}\right.\\ &+\!\!\bigg. \left( {{\beta _{\rm e}}L \!-\! {\theta _0}} \right)\left[ {\sin \left( {{\varphi _0} \!+\! {\theta _0}} \right) \!- \!\cos p{\theta _0}\sin {\varphi _0}} \right] \!\!\bigg\}, \end{split}$

      式中τ11为电子离开第一个漂移段的时间.

    • 第二个间隙中的电子流振荡方程[31]

      $ \frac{{{\rm{d}^2}\widetilde{\nu_2}}}{{\rm{d}{t^2}}} + \omega _{\rm{p}}^{\rm{2}}{\widetilde \nu _{_2}} = \frac{e}{{m{\varepsilon _0}}}{\widetilde{i_t}}_{_{\rm{2}}}, ~~L \leqslant {z_2} \leqslant L + d, $

      式中, ${\widetilde{\nu _{_2}}}$为电子速度的交变分量, ${\widetilde{i_t}}_{_2}$为全电流的交变分量, z2t时刻电子在第二个间隙中的位置.

      假设全电流是任意已知的周期性函数, 可用傅里叶级数表示为[31]

      ${\widetilde{i_t}}_2 = {I_0}\sum\limits_{{n_2} = 1}^\infty {{\gamma _{2{n_2}}}\cos \left( {{n_2}\omega t + {\varphi _{2{n_2}}}} \right)} .$

      在非强流电子注情况下, 一般有p $\ll $ 1, 忽略p的二次及以上项, 令$n_2^2 - {p^2} \approx n_2^2$, 将(15)式代入(14)式可得通解[31]

      $\begin{split} {\widetilde \nu _2} =\, & {A_2}\cos {\omega _{\rm{p}}}\left( {t - {\tau _{11}}} \right) + {B_2}\sin {\omega _{\rm{p}}}\left( {t - {\tau _{11}}} \right)\\ & - {p^2}{\nu _0}\sum\limits_{{n_2} = 1}^\infty {\frac{{{\gamma _{2{n_2}}}}}{{n_2^2}}\cos \left( {{n_2}\omega t + {\varphi _{2{n_2}}}} \right)} .\end{split}$

      由初始条件${\widetilde \nu _2}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right. = {\widetilde \nu _1}\left| {_{t = {\tau _1}}} \right.$和运动方程[31]:

      $\frac{{{\rm{d}}{{\widetilde \nu }_2}}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right. = \frac{e}{m}{\widetilde E_2}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right. = \frac{e}{m}{E_{\rm{m}}}\sin \omega {\tau _{11}},$

      可得

      $\begin{split} {\widetilde \nu _2} =\, & \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\left[\cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) \right.\\ &+\left.\cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right)\right]\cos {\omega _{\rm{p}}}\left( {t - {\tau _{11}}} \right) \\ & - \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\cos \omega t. \end{split}$

      同样假设电子在第二个间隙中的渡越角与直流渡越角之间相差一个极小量δ2, 即

      $\omega \left( {t - {\tau _{11}}} \right) = \varphi - {\varphi _{11}} = {\theta _2} + {\delta _2},~~{\delta _2} \ll {\theta _2},$

      式中, φ11 = ωτ11为电子进入第二个间隙时电场的相位, θ2 = (z2L)/ν0.

      由(18)和(19)式可得电子离开第二个间隙时的速度交变分量

      $\begin{split} {\widetilde \nu _2}\left| {_{t = {\tau _2}}} \right. =\, & \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\left\{\left[ \cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right)\right.\right. \\ &+\left.\cos \left( {\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L\right)\right]\cos p{\theta _0} \\ &-\left. \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \right\},\end{split}$

      式中τ2为电子离开第二个间隙的时间.

      由(20)式可得t时刻电子在第二个间隙中的位置

      $\begin{split} \, &{z_2}= \int_{{\tau _{11}}}^t {\left( {{\nu _0} + {{\widetilde \nu }_2}} \right){\rm{d}}t} + L \\ =\, & {\nu _0}\left( {t - {\tau _{11}}} \right) + \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\Big\{ \frac{1}{{{\omega _{\rm{p}}}}}\left[\cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0}\right. \\ & - \left.\cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \right]\sin p{\theta _2} \\ & - \frac{1}{\omega }\sin \left( {{\varphi _0} \!+\! {\beta _{\rm{e}}}L\! +\! {\theta _2}} \right) \!+\! \frac{1}{\omega }\sin \left( {{\varphi _0} \!+ \!{\beta _{\rm{e}}}L} \right)\Big\} + L. \end{split}$

      由(19)和(21)式, 并忽略α, δ2的二次及以上项可得

      $\begin{split} {\delta _2} =\, & \frac{\alpha }{{2{\theta _0}}}\Big\{ - \left[\cos p{\theta _0}\cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2}}\right)\right. \\&\left. - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {\omega t - {\theta _2}} \right) \right] \\ & \times \frac{{\sin p{\theta _2}}}{p}+ \sin \omega t - \sin \left( {\omega t - {\theta _2}} \right)\Big\}.\\[-15pt] \end{split}$

      由电荷守恒定律可求出第二个间隙中任意处的对流电流

      $\begin{split}{i_2} \,&= {I_0} + {\widetilde i_2} = {i_{11}}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right.\frac{{{\rm{d}}{\tau _{11}}}}{{{\rm{d}}t}} = {i_{11}}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right.\frac{{{\rm{d}}\omega {\tau _{11}}}}{{d\omega t}}\\ &= {i_{11}}\left| {_{t = {\tau _{11}}}} \right.\left( {1 - \frac{{{\rm{d}}{\delta _2}}}{{{\rm{d}}\omega t}}} \right),\\[-17pt] \end{split}$

      式中${\widetilde i_2}$为对流电流交变分量.

      将(2), (10), (19)和(22)式代入(23)式, 并忽略α, δ1, δ11, δ2的二次及以上项可得

      $\begin{split} {\widetilde i_2} =\, & \frac{{\alpha {I_0}}}{{2{\theta _0}}}\left\{ - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2}} \right) - \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2}} \right) - \cos \omega t \right.\\ & - \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0}\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2}} \right) + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {\omega t - {\theta _2}} \right) \\ & + \left.\left[ { - \cos p{\theta _0}\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2}} \right) + \sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _2} + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {\omega t - {\theta _2}} \right)} \right]\frac{{\sin p{\theta _2}}}{p}\right\} . \end{split} $

      第二个间隙出口处的对流电流交变分量为

      $\begin{split} {\widetilde i_2}\left| {_{t = {\tau _2}}} \right. =\, & \frac{{\alpha {I_0}}}{{2{\theta _0}}}\Big\{ \cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \\ & + \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\left[ { - \sin {\varphi _0} - \cos p{\theta _0}\sin {\varphi _0} + \sin \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right)} \right] \\ & + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\left[ { - \cos p{\theta _0}\sin {\varphi _0} + \sin \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right)} \right]\Big\} . \end{split} $

      根据感应电流定理, 当间隙上电场为均匀场时, 感应电流的交变分量是间隙内对流电流交变分量的平均值, 可得

      $\begin{split} {\widetilde i_{{\rm{ind}},2}} = \, &\frac{1}{{{\theta _0}}}\int_0^{{\theta _0}} {{{\widetilde i}_2}{\rm{d}}{\theta _2}} = \frac{{{U_{\rm{m}}}{G_0}}}{{2\theta _0^2}}\Big\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\left[ {2\cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\left( {1 + \cos p{\theta _0}} \right) - \cos \left( {\omega t - {\theta _0}} \right)} \right] \\ & + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\left\{ {\cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) + \left[ {\cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)} \right]\cos p{\theta _0}} \right\} \\ & + \left[ {2\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \sin \left( {\omega t - {\theta _0}} \right) - \sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0}} \right]\cos p{\theta _0} + 2\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \\ & - 2\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + 2\sin \omega t - {\theta _0}\cos \omega t - \sin \left( {\omega t - {\theta _0}} \right)\Big\} \\ =\,& {U_{\rm{m}}}{G_{{\rm{b}}2}}\sin \omega t + {U_{\rm{m}}}{B_{{\rm{b}}2}}\cos \omega t, \\[-10pt] \end{split} $

      式中, Gb2表示第二个间隙的电子负载电导, Bb2表示第二个间隙的电子负载电纳.

      $\begin{split} \frac{{{G_{{\rm{b}}2}}}}{{{G_0}}} =\, & \frac{1}{{2\theta _0^2}}\Big\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\left[ {2\sin {\beta _{\rm{e}}}L - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\left( {1 + \cos p{\theta _0}} \right) - \sin {\theta _0}} \right] \\ &+ \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\left\{ {\sin {\beta _{\rm{e}}}L - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \left[ {\sin {\beta _{\rm{e}}}L - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)} \right]\cos p{\theta _0}} \right\} \\ &- \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} - \cos {\theta _0}\cos p{\theta _0} + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L \\ & - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) + 2 - \cos {\theta _0}\Big\}, \end{split}$

      $\begin{split} \frac{{{B_{{\rm{b}}2}}}}{{{G_0}}} = \;&\frac{1}{{2\theta _0^2}}\left\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\left[ {2\cos {\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\left( {1 + \cos p{\theta _0}} \right) - \cos {\theta _0}} \right]\right. \\ & +\left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\left\{ {\cos {\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \left[ {\cos {\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)} \right]\cos p{\theta _0}} \right\} \\ & + \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} + \sin {\theta _0}\cos p{\theta _0} - 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L \\ & +\bigg. 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - {\theta _0} + \sin {\theta _0}\bigg\} . \end{split} $

    • 在漂移空间没有外加场, 电子在漂移空间中做作匀速运动, 运动方程为

      $\begin{split} {z_{21}} =\,& {\widetilde \nu _2}\left| {_{t = {\tau _2}}} \right.\left( {t - {\tau _2}} \right) + L + d \\ =\, & \Big({\nu _0} + \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\big\{ \left[ {\cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right)} \right]\cos p{\theta _0} \\ & - \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\big\}\Big)\left( {t - {\tau _2}} \right) + L + d, ~~L + d \leqslant {z_{21}} < 2L, \end{split} $

      式中z21表示电子在第二个漂移段的位置.

      同样假设电子在第二个漂移段的实际渡越角和直流渡越角之间相差一个微小量δ21, 即

      $\omega \left( {t - {\tau _2}} \right) = \varphi - {\varphi _2} = {\theta _{21}} + {\delta _{21}},{\delta _{21}} \ll {\theta _{21}},$

      式中, φ2 = ωτ2为电子进入漂移通道的相位, θ21 = ω(z21Ld)/ν0.

      采用与第一个漂移段相同的推导过程, 可得第二个漂移段出口处对流电流为

      $\begin{split} & {i_{21}}\left| {_{t = {\tau _{21}}}} \right. \\ =\, &{I_0} + \frac{{\alpha {I_0}}}{{2{\theta _0}}}\Big(( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} )\big\{ \big[ \!-\! \cos p{\theta _0}\sin {\varphi _0} \!-\! \sin {\varphi _0} \\ &+ \sin \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \big]\cos p{\theta _0} \\ & + \sin \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) + \sin \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right)\big\} \\ & + \cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \\ & -\cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \\ & + \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}\big[ - \sin {\varphi _0} - \cos p{\theta _0}\sin {\varphi _0} \\ & + \sin \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \big]\Big), \\[-17pt] \end{split} $

      式中τ21为电子离开第二个漂移段的时间.

    • 第三个间隙中电子流振荡方程

      $\frac{{{{\rm{d}}^2}\widetilde {{\nu _3}}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \omega _p^2{\widetilde \nu _{_3}} = \frac{e}{{m{\varepsilon _0}}}{\widetilde{i_t}}_{_{\rm{3}}}{\rm{, ~~2}}L \leqslant {z_3} \leqslant 2L + d,$

      式中, ${\widetilde{\nu _{_3}}}$表示电子速度的交变分量, ${\widetilde{i_t}}_{_3}$表示全电流的交变分量, z3表示t时刻电子在第三个间隙中的位置.

      通解为

      $\begin{split} {\widetilde \nu _{{\rm{3}}}} ={}& {A_3}\cos {\omega _{\rm{p}}}\left( {t - {\tau _{21}}} \right) + {B_3}\sin {\omega _{\rm{p}}}\left( {t - {\tau _{21}}} \right) \\ & - {p^2}{\nu _0}\sum\limits_{{n_3} = 1}^\infty {\frac{{{\gamma _{2{n_3}}}}}{{n_3^2}}\cos \left( {{n_3}\omega t + {\varphi _{3{n_3}}}} \right)}. \end{split} $

      由初始条件${\widetilde \nu _3}\left| {_{t = {\tau _{21}}}} \right. = {\widetilde \nu _2}\left| {_{t = {\tau _2}}} \right.$和运动方程

      $\frac{{{\rm{d}}{{\widetilde \nu }_3}}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{t = {\tau _{21}}}} \right. = \frac{e}{m}{\widetilde E_3}\left| {_{t = {\tau _{21}}}} \right. = \frac{e}{m}{E_{\rm{m}}}\sin \omega {\tau _{21}},$

      可得

      $\begin{split} {\widetilde \nu _3} =\, & \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}} \big\{ \big[ \cos p{\theta _0}\cos {\varphi _0} - \cos \left( {{\varphi _0} + {\theta _0}} \right) \\ & + \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \big]\cos p{\theta _0} \\ & - \cos \left( {{\varphi _0} + {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \\ & + \cos \left( {{\varphi _0} + 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right)\big\} \cos {\omega _{\rm{p}}} ({t - {\tau _{21}}}) \\ & - \frac{{\alpha {\nu _0}}}{{2{\theta _0}}}\cos \omega t. \end{split} $

      采用与第二个间隙相同的推导过程, 可得电子注在第三个间隙上产生的感应电流为

      $\begin{split} {\widetilde i_{{\rm{ind}},3}} =\,& \frac{1}{{{\theta _0}}}\int_0^{{\theta _0}} {{{\widetilde i}_3}{\rm{d}}{\theta _3}} \\ =\, & \frac{{\alpha {I_0}}}{{2{\theta _0}}}\bigg\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}[ - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right)\cos p{\theta _0}\bigg.\\ & - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right) + 2\cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) \\ & - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) - \cos \left( {\omega t - {\theta _0}} \right)] \\ & + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)[\cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} + 2\cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right)\cos p{\theta _0} \\ & - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right)\cos p{\theta _0} \\ & - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) \\ & - \cos \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) + \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right) - \cos \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)] \\ & - \sin \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right){\cos ^3}p{\theta _0} + 2\sin \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} \\ &+ 2\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right)\cos p{\theta _0} - \sin \left( {\omega t - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} - \sin \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\sin \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L} \right) \\ & - \sin \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {\omega t - 2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + 2\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L} \right) - 2\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \\ & - \bigg.\sin \left( {\omega t - {\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) - {\theta _0}\cos \omega t + 2\sin \omega t - \sin \left( {\omega t - {\theta _0}} \right)\bigg\}={U_{\rm{m}}}{G_{{\rm{b}}3}}\sin \omega t + {U_{\rm{m}}}{B_{{\rm{b}}3}}\cos \omega t,\\[-15pt]\end{split} $

      式中, Gb3表示第三个间隙的电子负载电导, Bb3表示第三个间隙的电子负载电纳.

      由(36)式可得

      $ \begin{split} \frac{{{G_{{\rm{b}}3}}}}{{{G_0}}} =\, & \frac{1}{{2\theta _0^2}}\Big\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}[ - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} \\ & - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L + 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) \\ & - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \sin {\theta _0}] \\ & + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)[\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} + 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} \\ & - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + \sin {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} \\ & - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + \sin {\beta _{\rm{e}}}L - \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \sin 2{\beta _{\rm{e}}}L - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)] \\ & - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^3}p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} \\ & - \cos {\theta _0}\cos p{\theta _0} - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \\ & + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) + 2 - \cos {\theta _0}\Big\}, \end{split} $

      $ \begin{split} \frac{{{B_{{\rm{b}}3}}}}{{{G_0}}} =\, & \frac{1}{{2\theta _0^2}}\bigg\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}[ - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0}\bigg.\\ &- \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\\ & - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - \cos {\theta _0}]\\ & + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)[\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0}\\ &- \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + \cos {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0}\\ & - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + \cos {\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \cos 2{\beta _{\rm{e}}}L - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)] \\ &+ \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^3}p{\theta _0} - 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} + \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0}\\ & + \sin {\theta _0}\cos p{\theta _0} + \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} - 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L + \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) \\ & - 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L + 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - {\theta _0} + \sin {\theta _0} \bigg\} . \end{split} $

      若假设三间隙谐振腔的等效电压Ueff3 = 3Um, 根据能量守恒定理可得

      $\frac{1}{2}U_{{\rm{eff3}}}^2{G_{{\rm{eff3}}}} = \frac{1}{2}U_{\rm m} ^2{G_{{\rm b} 1}} + \frac{1}{2}U_{\rm m} ^2{G_{{\rm b} 2}} + \frac{1}{2}U_{\rm m} ^2{G_{{\rm b} 3}},$

      $\frac{1}{2}U_{{\rm{eff3}}}^2{B_{{\rm{eff3}}}} = \frac{1}{2}U_{\rm m} ^2{B_{{\rm b} 1}} + \frac{1}{2}U_{\rm m} ^2{B_{{\rm b} 2}} + \frac{1}{2}U_{\rm m} ^2{B_{{\rm b} 3}},$

      式中, Geff3表示三间隙谐振腔的等效电子负载电导, Beff3表示三间隙谐振腔的等效电子负载电纳.

      由(7), (27), (37)和(39)式可得

      $\begin{split} \frac{{{G_{{\rm{eff3}}}}}}{{{G_0}}} =\, & \frac{1}{{2\theta _0^2}}\bigg\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}[ - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0}\bigg.\\ &- 2\sin \left( {{\beta _e}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} - 2\sin 2{\beta _e}L\cos {\theta _0} + 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L - 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\\ & + 4\sin {\beta _{\rm{e}}}L - 3\sin {\theta _0}]\\ & + \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)[\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos {\theta _0}\cos p{\theta _0} \\ &+ 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} - 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0}\\ & - \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \sin 2{\beta _{\rm{e}}}L - 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + 2\sin {\beta _{\rm{e}}}L]\\ & - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^3}p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0}\\ & - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 4\cos {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} - 3\cos {\theta _0}\cos p{\theta _0} - 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos {\theta _0}\\ &- \bigg.4\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L + 4\cos {\beta _{\rm{e}}}L - 3\cos {\theta _0} + 6\bigg\} . \end{split} $

      由(8), (28), (38)和(40)式可得

      $\begin{split} \frac{{{B_{{\rm{eff3}}}}}}{{{G_0}}} =\, & \frac{1}{{2\theta _0^2}}\bigg\{ \frac{{\sin p{\theta _0}}}{p}[ - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} \bigg.\\ &- 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L - 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos {\theta _0} - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\\ &+ 4\cos {\beta _{\rm{e}}}L - 3\cos {\theta _0}]\\ &+ \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)[ - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} + \cos 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} - 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos {\theta _0}\cos p{\theta _0}\\ &+ 2\cos 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0}\\ & - \cos \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + \cos 2{\beta _{\rm{e}}}L - 2\cos \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + 2\cos {\beta _{\rm{e}}}L]\\ & + \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^3}p{\theta _0} - 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L{\cos ^2}p{\theta _0} + 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right){\cos ^2}p{\theta _0} \\ &+ \sin \left( {2{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right)\cos p{\theta _0} - 4\sin {\beta _{\rm{e}}}L\cos p{\theta _0} + 3\sin {\theta _0}\cos p{\theta _0} + 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\cos {\theta _0} - 2\sin 2{\beta _{\rm{e}}}L\\ &+\bigg. 4\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L - {\theta _0}} \right) + 2\sin \left( {{\beta _{\rm{e}}}L + {\theta _0}} \right) - 4\sin {\beta _{\rm{e}}}L + 3\sin {\theta _0} - 3{\theta _0}\bigg\} . \end{split} $

      上述推导基于无限大电子注, 对于有限截面的电子注, 可以用等离子体频率缩减因子F来表示空间电荷力减小的程度. 将ωp代以缩减等离子体频率ωq = p = Fpω, 即将(41)和(42)式中p替换为Fp就可以应用到有限截面电子注的情况[31].

    • 固定间隙直流渡越角βed = π, 则不同归一化等离子体频率p条件下三间隙谐振腔的归一化等效电子负载电导Geff3/G0与相邻间隙中心的直流渡越角βeL的关系曲线如图2所示. 由图2可见, 随着βeL增加, 在某段范围内电子注从谐振腔高频场吸收能量, 在某些情况下电子注则交出能量给高频场, 电子注与高频场交换之间的能量随βeL的变化呈现振荡特性. 这是因为βeL决定了电子注与各个间隙高频场之间的同步情况, βeL在一定范围内取值时, 电子注通过三间隙谐振腔的总体效果是电子注从高频场吸收能量, 在其他情况下, 电子注通过三间隙谐振腔的总体效果是电子注交出能量给高频场, 导致电子注与高频场之间交换的能量随βeL的变化呈现振荡特性. 此外还可以看出, 存在一个最佳的βeL, 使电子注与高频场之间交换的能量最大. 由图2还可以得知, 随着等离子体频率的增大, 电子注与高频场之间交换的能量极值越小, 因为等离子频率越大意味着空间电荷效应越大, 说明空间电荷力削弱了电子注与高频场之间的相互作用, 即空间电荷力对电子的群聚产生了阻碍作用. 归一化等离子体频率越大, 忽略空间电荷效应引起的误差就越大.

      图  2  归一化电子负载电导Geff3/G0βeL的关系

      Figure 2.  Geff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

      固定归一化等离子体频率p = 0.1, 不同间隙直流渡越角βed条件下三间隙谐振腔的归一化等效电子负载电导Geff3/G0与相邻间隙中心的直流渡越角βeL的关系曲线如图3所示. 由图3可知, 不同βed条件下电子注与高频场之间交换的能量随βeL的变化均呈现振荡特性, 不同βed对应的最大能量交换的最佳βeL不同, βed越大, 最大能量交换对应的βeL越小. 这是因为βed越大, 为了保证电子注与高频场达到最佳同步, βeL就应该越小.

      图  3  归一化电子负载电导Geff3/G0βeL的关系

      Figure 3.  Geff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

      固定归一化等离子体频率p = 0.1, 不同相邻间隙中心的直流渡越角βeL条件下三间隙谐振腔的归一化等效电子负载电导Geff3/G0与间隙直流渡越角βed的关系曲线如图4所示. 由图4不仅可以看出不同βeL条件下电子注与高频场之间交换的能量随βed的变化同样呈现振荡特性, 还可以看出不同βeL条件下电子注与高频场之间交换的能量极值不同, 说明并非对于任何βeL值都能够找到一个βed, 使电子注与高频场之间的相互作用最强, 因此需要慎重选择间隙宽度d和漂移段长度L.

      图  4  归一化电子负载电导Geff3/G0与渡越角βed的关系

      Figure 4.  Geff3/G0 versus βed of three-gap cavity.

      固定间隙直流渡越角βed = π, 不同归一化等离子体频率p条件下三间隙谐振腔的归一化等效电子负载电纳Beff3/G0与相邻间隙中心的直流渡越角βeL的关系曲线如图5所示. 因为电子负载电纳Beff3 > 0时, 电子注对谐振腔呈现电容性, 引入电子注后谐振腔谐振频率降低, 电子负载电纳Beff3 < 0时, 电子注对谐振腔呈现电感性, 引入电子注后谐振腔谐振频率升高. 由图5可知, 随着βeL增加, 在某段范围内引入电子注后谐振腔谐振频率升高, 在某些情况下谐振腔谐振频率降低, 表现出振荡特性.

      图  5  归一化电子负载电纳Beff3/G0βeL的关系

      Figure 5.  Beff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

      固定归一化等离子体频率p = 0.1, 不同间隙直流渡越角βed条件下三间隙谐振腔的归一化等效电子负载电纳Beff3/G0与相邻间隙中心的直流渡越角βeL的关系曲线如图6所示. 由图6可以看出, 不同βed条件下电子注对谐振腔谐振频率的影响不同, 因为电子负载电纳Beff3从物理上对应的是电子注与高频场之间交换的在正周期内为零的无功功率, 不同βed条件下电子注与高频场的互作用强度不同, 因此这部分无功功率不同, 电子注对谐振腔谐振频率的影响不同.

      图  6  归一化电子负载电纳Beff3/G0βeL的关系

      Figure 6.  Beff3/G0 versus βeL of three-gap cavity.

      固定归一化等离子体频率p = 0.1, 不同相邻间隙中心的直流渡越角βeL条件下三间隙谐振腔的归一化等效电子负载电纳Beff3/G0与间隙直流渡越角βed的关系曲线如图7所示. 由图4图7可以看出, 在考虑的范围内, 相同条件下影响βeL对电子负载电导Geff3的影响比电子负载电纳Beff3影响比大.

      图  7  归一化电子负载电纳Beff3/G0与渡越角βed的关系

      Figure 7.  Beff3/G0 versus βed of three-gap cavity.

      将本文采用电子流振荡理论计算得到的电子负载与文献[32]中采用空间电荷波理论计算的电子负载进行对比, 间隙数为三间隙, 单间隙直流渡越角为π, 结果如图8图9所示. 由图8图9可以看出, 当等离子体频率因子p = 0时, 两种理论均简化成一种理论, 即运动学理论. 这三种理论计算的归一化电子负载电导Geff3/G0随相邻间隙中心的直流渡越角βeL的变化趋势一致, 当βeL很小时, 三种理论计算的电子负载电导差别很小, 因为此时电子通过谐振腔后主要产生速度调制, 还没有达到很好的密度调制, 电子注与高频场之间的能量交换与空间电荷效应的关系还不是十分明显. 当βeL增大到一定值时, 电子注在谐振腔中不仅产生了速度调制, 而且产生了密度调制, 密度调制使得空间电荷力对电子注群聚的影响更大, 进而影响电子注与高频场之间的能量转换. 而且电子注密度越大(即p越大), 空间电荷效应越明显, 三种理论计算得到的电子负载相差越大. 同时这种差别随着βeL的增大而加剧, 因为βeL越大电子注在谐振腔中的群聚程度越高, 空间电荷效应的影响就更大. 从图8图9还可以看出, 当电流调制程度很小时, 相较于运动学理论, 电子流振荡理论的计算结果更接近空间电荷波理论的结果. 当电流调制程度较大时, 相较于空间电荷波理论, 电子流振荡理论的计算结果更接近运动学理论的结果. 因此电子流振荡理论在运动学理论和空间电荷波理论之间进行了折中, 它在电荷密度较大的情况下, 与空间电荷波理论一致. 当然这些结论的前提是群聚参数不太大并且电流密度不是很大(1 – p2 ≈ 1).

      图  8  两种理论计算的Gb/G0βeL的关系

      Figure 8.  Gb/G0 versus βeL of three-gap cavity.

      图  9  两种理论计算的Bb/G0βeL的关系

      Figure 9.  Bb/G0 versus βeL of three-gap cavity.

    • W波段带状注扩展互作用速调管高频结构PIC仿真模型如图10所示, 高频结构由输入腔、中间腔1、中间腔2和输出腔组成, 四个谐振腔均为三间隙哑铃型谐振腔, 横向工作模式均为TM110模, 纵向工作模式均为2π模, 高频结材料选择弥散无氧铜, 考虑到W波段谐振腔加工粗糙度的影响, 电导率设置为2.8 × 107 S/m. 设定电子注电压为19.5 kV, 电流为3.5 A, 工作中心频率为94.52 GHz, 输入微波功率为1 W, 电子注通道尺寸为5.5 mm × 0.4 mm, 电子注尺寸为4 mm × 0.32 mm, 电子注聚焦磁场为0.85 T均匀磁场[9,10]. 由AJDISK计算程序可得到Fp = 0.0266, 代入 (41)式, 可得电子负载归一化电子负载电导Geff3/G0随间隙直流渡越角βed和相邻间隙漂移段直流渡越角βeL的变化情况, 如图11所示. 由图11可知, 当βed = 1.1π, βeL = 2π时, 电子负载电导达到最大值, 此时对应的间隙宽度为0.46 mm, 相邻间隙漂移段长度为0.84 mm.

      图  10  带状注扩展互作用速调管高频结构仿真模型

      Figure 10.  model of the sheet beam extended interaction klystron.

      图  11  归一化电子负载电导Geff3/G0与间隙直流渡越角βed和相邻间隙中心之间的直流渡越角βeL的关系

      Figure 11.  Geff3/G0 versus βed and βeL of three-gap cavity.

    • 带状注扩展互作用速调管谐振腔的设计原则是使纵向电场沿横向分布尽可能均匀, 并且由文献[33]可知纵向电场在各个间隙的幅值越接近, 谐振腔的特征阻抗越大, 越有利于注波互作用, 因此设计时同时要使各个间隙的纵向电场幅值尽量相等. 在设计中间腔时, 使各个间隙的纵向电场幅值基本相等的方法是先扫描谐振腔各个参数对纵向电场在横向和纵向的分布均匀性的影响大小, 然后优化各个参数, 使纵向电场在横向和纵向的分布尽量均匀. 对于输入输出腔, 与中间腔不一样, 由于耦合孔和输入输出波导的存在, 破坏了结构的对称性, 使纵向电场在横向和纵向的分布极不均匀, 严重影响了纵向电场在横向和纵向的均匀性, 在设计中同样扫描了带耦合孔和标准波导孔的输入输出腔各个参数对纵向电场在横向和纵向分布的均匀性, 最终采用的方法是改变耦合孔对应的另一边耦合槽的尺寸, 使谐振腔两端的耦合槽采用不对称结构, 从而使纵向电场分布尽量均匀. 优化后间隙宽度为0.21 mm, 相邻间隙中心的距离为0.78 mm. 图12为优化后三间隙谐振腔归一化缩减等离子体频率Fp与电压U的关系, 图13为电子负载电导仿真结果与理论计算结果在不同电压条件下的对比, 此时包括电流等其他参数保持不变, 由图12可知归一化缩减等离子体频率随工作电压增大而降低, 这与缩减等离子体频率的定义相符. 电磁仿真软件计算电子负载电导Gb的公式为[34]

      图  12  归一化缩减等离子体频率与工作电压的关系

      Figure 12.  Fp versus U of three-gap cavity.

      图  13  电子负载电导与工作电压的关系

      Figure 13.  Gb versus U of three-gap cavity.

      ${G_{\rm{b}}} = \frac{{{Q_0} - {Q_{\rm{H}}}}}{{\left( {{R/ Q}} \right){Q_0}{Q_{\rm{H}}}}},$

      式中, Q0为谐振腔的固有品质因子, QH为加载电子注后谐振腔的品质因子, R/Q为谐振腔特征阻抗.

      图13可见, 在考虑的工作电压范围内, 仿真与理论计算得到的电子负载电导都随工作电压的增大而减小, 变化趋势一致, 但与绝对值存在一定差别. 经分析, 理论计算值与仿真计算值之间的差别主要由以下两点导致: 一是理论计算时假设纵向电场沿横向不变, 而实际纵向电场沿横向其中一个方向近似不变, 但在另一个方向则并非均匀; 二是理论计算时假设漂移段中没有电场, 实际上由于电子注通道的影响, 漂移段中存在不可忽略的电场, 这部分电场也会影响电子注与高频场之间的能量转换. 这些因素同样会影响dL的最佳组合值, 因为纵向电场在横向的一个方向的不均匀, 与圆形注谐振腔类似, 与纵向电场均匀分布的结果相比, 只需要在横向进行平均求值即可得纵向电场不均匀时电子注与高频场之间的能量大小, 它们之间仅相差一个系数, 这个系数只与漂移管通道的高度和电子注的高度有关, 理论上不会影响dL的最佳组合值. 第二个因素中漂移段存在不可忽略的电场, 会影响dL的最佳组合值, 这是因为在漂移段中电子注与高频场之间仍会发生相互作用, 相当于间隙的宽度有所增加, 所以理论计算得到的d值会比实际需要的d值大一些.

      输入腔和输出腔的匹配设计极为重要, 输入腔与微波源的匹配性能决定了微波功率馈入的有效性, 匹配不好会使输入腔反射大, 降低速调管增益. 输出腔与负载的匹配性能决定了带状注扩展互作用速调管产生的微波功率能否有效传输给负载, 匹配不好时甚至可能破坏速调管的正常工作状态. 从标准波导馈入功率为Pin时, 在谐振腔间隙上建立的电压为[34]

      ${V_{{\rm{gap}}}} = \sqrt {\frac{{8{P_{{\rm{in}}}}\left( {{R / Q}} \right){Q_{{\rm{ext}}}}}}{{\left( {1 + {{{Q_{{\rm{ext}}}}} / {{Q_{\rm{a}}}}}} \right) + {{\left[ {{Q_{{\rm{ext}}}}\left( {{{{f_{{\rm{in}}}}} / {{f_0}}} - {{{f_0}} / {{f_{{\rm{in}}}}}}} \right)} \right]}^2}}}},$

      式中, fin为输入信号的频率; f0为输入腔的谐振频率; R/Q为谐振腔的特征阻抗; Qext为输入腔开耦合孔导致的损耗; Qa为谐振腔的全部损耗, 包括谐振腔的固有损耗Q0和引入电子注的损耗Qb,

      ${Q_{\rm{a}}} = \frac{{{Q_{\rm{0}}} + {Q_{\rm{b}}}}}{{{Q_0}{Q_{\rm{b}}}}}.$

      电子注引起的损耗Qb由下式确定[34]:

      ${Q_{\rm{b}}} = \frac{1}{{{G_{\rm{b}}}\left( {{R / Q}} \right)}}.$

      根据三维电磁仿真软件计算结果可得R/Q = 23.8 Ω, Q0 = 562, 当电压为19.5 kV, 电流为3.5 A时, Qb = –5402, 由(44)式可知, 当Qext = Qa = 627时输入端反射最小.

      最终设计的带状注扩展互作用速调管高频结构谐振腔参数和位置如表1所列.

      谐振腔纵向工作模式谐振频率/GHz固有品质因数Q0外观品质因数Qext起始位置/mm
      输入腔2π模94.525626270
      中间腔12π模94.565553.04
      中间腔22π模94.565556.08
      输出腔2π模94.525626279.22

      表 1  W波段带状注扩展互作用速调管高频结构参数

      Table 1.  Structural parameters of W-band sheet beam extended interaction klystron amplifier.

    • 带状注扩展互作用速调管的稳定性分析极为重要, 多间隙腔可能发生自激振荡的模式主要是高次模式和与工作模式同一通带的非工作模式. 由于高次模式与工作模式频率间隔大, 比较容易避免[35], 而与工作模式同一通带的非工作模式一般与工作模式频率间隔小, 不容易避免, 因此预判与工作模式同一通带的非工作模式是否会发生自激十分重要.

      与工作模式同一通带的各模式纵向电场沿轴向的分布如图14所示, 由图14可以看出, 各个谐振腔的工作模式在各个间隙的幅值基本相等, 达到了设计的目标. 图15为各模式纵向电场沿y轴的分布, 由图15可知, 由于耦合孔的影响, 输入腔和输出腔的中间间隙纵向电场沿y轴方向不均匀, 其余两个间隙纵向电场沿方向基本均匀, 中间腔各个间隙纵向电场沿y轴方向很均匀, 有利于注波互作用. 各模式纵向电场沿x轴方向的分布如图16所示, 由图16可见, 在电子注通道内, 通道中心纵向电场最小, 通道边缘纵向电场最大, 显然, 电子注通道越小, 通道中心和通道边缘的纵向电场差别越小.

      图  14  各模式Ez沿轴向的分布 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

      Figure 14.  Ez versus axial distance of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

      图  15  各间隙中心Ez沿y轴的分布 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

      Figure 15.  Ez versus y axial of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

      图  16  各间隙中心Ez沿x轴的分布 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

      Figure 16.  Ez versus x axial of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

      谐振腔发生自激振荡的根本原因是电子注交出能量给高频场, 同时这部分能量大于高频场在相同时间内损耗的能量, 各模式高频场的总损耗为[34]

      $\frac{1}{{{Q_{\rm t}}}} = \frac{1}{{{Q_0}}} + \frac{1}{{{Q_{\rm{b}}}}} + \frac{1}{{{Q_{{\rm{ext}}}}}}.$

      Qt > 0时, 表示电子注吸收了高频场能量, 或者电子注交出能量给高频场, 但交出的能量不足以弥补由于腔壁和耦合孔等造成的损耗, 此时模式不会发生自激振荡. 当Qt < 0时, 表示电子注交出能量给高频场, 且交出的能量大于腔壁和耦合孔等造成的损耗, 此时模式会自激振荡.

      各谐振腔与工作模式同一通带的各模式总品质因子与工作电压的关系如图17所示, 根据图17可知, 在工作电压附近, 各模式的总品质因子均大于零, 表明各模式不会发生自激振荡.

      图  17  各模式Qt与电压U的关系 (a)输入腔; (b)中间腔1; (c)中间腔2; (d)输出腔

      Figure 17.  Qt versus U of each mode: (a) Input cavity; (b) middle cavity 1; (c) middle cavity 2; (d) output cavity.

    • 根据上述设计结果, 利用三维电磁仿真软件完成了W波段带状注扩展互作用速调管高频结构的粒子模拟. 仿真结果如图18图25所示. 图18图19为电子注在不同剖面的轨迹图, 由图18图19可见, 电子注在达到输出腔时实现了良好的群聚, 电子注与输出腔间隙上的高频场相互作用后, 将能量交换给高频场, 电子注群聚被破坏. 输入腔端口处功率波形如图20所示, 由图20可知, 馈入功率大部分被输入腔和电子注吸收, 有小部分功率反射. 电子注通过输入腔后, 产生了一部分基频分量, 当电子注进入中间腔时, 中间腔使群聚电流进入非线性区, 使得群聚电流基频分量急剧增大, 基频分量调制深度最大值为1.23, 调制电流在输出腔入口处的波形和沿轴向的分布如图21图22所示. 图23为电子能量分布沿轴向的分布, 可以看出, 随着轴向距离的增大, 电子的速度零散增加, 当电子注与输出腔高频场互作用后, 大部分电子被减速, 少部分电子被加速, 总体而言电子注失去能量, 这些能量一部分用于维持输出腔高频场, 一部分在输出腔腔壁上损耗掉, 一部分通过耦合孔传输到负载. 输入微波功率为1 W, 频率为94.52 GHz条件下, 得到其功率为5259.5 W, 增益为37.2 dB, 电子效率为7.7%. 由图25可见, 输出功率频谱单一, 没有寄生模式产生.

      图  18  带状注速调管高频结构y-z剖面图及电子轨迹

      Figure 18.  y-z section plane of the extended interaction cavity and particle trajectories.

      图  19  带状注速调管高频结构x-z剖面图及电子轨迹

      Figure 19.  x-z section plane of the extended interaction cavity and particle trajectories.

      图  20  瞬时输入功率波形

      Figure 20.  Waveform of input microwave.

      图  21  前三腔调制电流基频分量沿轴向的分布

      Figure 21.  Fundamental modulated current amplitude versus axial distance.

      图  22  输出腔入口处调制电流波形

      Figure 22.  Waveform of current at the entry of output cavity.

      图  23  电子能量分布随轴向距离的变化

      Figure 23.  Kinetic energy distribution vs. axial distance.

      图  24  瞬时输出功率波形

      Figure 24.  Instantaneous waveform of output microwave.

      图  25  输出功率频谱

      Figure 25.  Spectrum of output microwave.

      输出功率Pout和电子效率η与输入信号频率fin的关系如图26所示, 由图26可知, 输入信号频率小于94.47 GHz时, 输出功率和电子效率随着输入信号频率的增加而增大, 当输入信号频率大于94.47 GHz时, 输出功率和电子效率随着输入信号频率的增加而减小. 最大输出功率对应输入信号频率为94.47 GHz, 此时, 输出功率为5773 W, 增益为37.6 dB, 电子效率为8.46%. 这个频率与谐振腔的冷腔频率相差约50 MHz, 电子注对谐振腔频率的影响是导致产生这个频率差别的其中一种原因. 此外, 根据图26可以得出带状注扩展互作用速调管的3 dB带宽约140 MHz.

      图  26  输出功率和电子效率与输入微波频率的关系

      Figure 26.  Output power and efficiency versus input microwave frequency.

      输出功率Pout和电子效率η与输入信号功率Pin的关系如图27所示, 由图27可以看出, 当输入信号功率在1 W以下时, 输出功率和电子效率与输入信号功率呈正相关关系, 当输入信号功率在1 W以上时, 输出功率和电子效率与输入信号功率呈负相关关系. 这是因为当输入信号功率较小时, 电子注达到最佳调制所需的距离很长, 电子注达到输出腔时还未实现最好的调制效果, 当输入信号功率较大时, 电子注达到最佳调制的距离很短, 在达到输出腔前已经达到最好调制效果, 在输出腔处已经过群聚, 导致输出功率和电子效率随着输入信号功率的增加而减小.

      图  27  输出功率和电子效率与输入微波功率的关系

      Figure 27.  Output power and efficiency versus input microwave power.

    • 基于电子流振荡理论, 研究了电子注在工作于纵向2π模式的三间隙带状注谐振腔中的运动过程, 分析了弱流情况下空间电荷效应、间隙宽度和相邻间隙漂移段长度对电子注和高频场之间能量交换的影响以及电子注对谐振腔谐振频率的影响. 结果表明, 空间电荷力减弱了电子注与高频场之间的相互作用, 电子注和高频场之间交换的能量和电子注对谐振腔谐振频率的改变均随间隙宽度和相邻间隙漂移段长度的增加呈振荡特性, 存在一个最佳的间隙宽度和相邻间隙漂移段长度, 使注波互作用效果最强. 值得注意的是, 对于不同间隙宽度, 改变相邻间隙漂移段长度时电子注和高频场之间交换的能量极值不同, 因此间隙宽度的选择很重要. 理论推导虽然考虑了空间电荷效应, 但是其基于有栅间隙假设, 而实际谐振腔间隙并非有栅间隙, 并且电子注通道使纵向电场沿横向也变得不均匀, 因此下一步工作需要考虑这两点分析注波互作用. 基于理论分析, 结合三维电磁仿真软件完成了W波段带状注扩展互作用速调管高频结构的设计, 并对注波互作用过程进行了模拟. 电子注横截面尺寸为4 mm × 0.32 mm时, 在工作电压为19.5 kV, 电流为3.5 A, 输入功率为1 W, 轴向引导磁场为0.85 T的条件下, 频率94.47 GHz处得到输出功率为5773 W, 增益为37.6 dB, 电子效率为8.46%, 3 dB带宽约140 MHz, 为W波段带状注扩展互作用速调管的研制奠定了基础.

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