搜索

x

留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

弱Soret效应混合流体对流系统的分岔与非线性演化

郑来运 赵秉新 杨建青

弱Soret效应混合流体对流系统的分岔与非线性演化

郑来运, 赵秉新, 杨建青
PDF
HTML
导出引用
导出核心图
  • 混合流体Rayleigh-Bénard(RB)对流是研究非平衡耗散系统的自组织斑图及非线性动力学特性的典型模型. 本文利用高精度数值方法模拟了底部均匀加热的矩形腔体中混合流体RB对流, 研究了具有极微弱Soret效应(分离比$\psi=-0.02$)的混合流体对流的分岔特性及斑图的形成和演化, 给出了分岔曲线图. 获得了行波交替闪动的Blinking状态、局部行波对流和定常对流(SOC)三种稳定状态, 讨论了状态之间的过渡. 研究发现从Blinking状态到局部行波对流状态的过渡存在迟滞现象, 过渡时行波频率、对流振幅和对流传热Nusselt数等均有明显的跳跃. 在Blinking状态存在的Rayleigh数区间下界附近, 外部施加的不对称初始扰动是形成该状态的诱因. 随着Rayleigh数增大, 临界SOC状态经过多次分岔并形成多个具有不同波数的SOC状态后过渡为混沌状态.
      通信作者: 赵秉新, zhao_bx@nxu.edu.cn
    • 基金项目: 国家级-国家自然科学基金(11662016)
    [1]

    Cross M C, Hohenberg P C 1993 Rev. Mod. Phys. 65 851

    [2]

    Moses E, Fineberg J, Steinberg V 1987 Phys. Rev. A 35 2757

    [3]

    Heinrichs R, Ahlers G, Cannell D S 1987 Phys. Rev. A 35 2761

    [4]

    Fineberg J, Moses E, Steinberg V 1988 Phys. Rev. Lett. 61 838

    [5]

    Kolodner P, Surko C M 1988 Phys. Rev. Lett. 61 842

    [6]

    Barten W, Lücke M, Kamps M, Schmitz R 1995 Phys. Rev. E 51 5636

    [7]

    Barten W, Lücke M, Kamps M 1991 Phys. Rev. Lett. 66 2621

    [8]

    Barten W, Lücke M, Kamps M, Schmitz R 1995 Phys. Rev. E 51 5662

    [9]

    Batiste O, Net M, Mercader I, Knobloch E 2001 Phys. Rev. Lett. 86 2309

    [10]

    Batiste O, Knobloch E 2005 Phys. Rev. Lett. 95 244501

    [11]

    Ning L Z 2006 Rayleigh-Bénard convection in a binary fluid mixture with and without lateral flow (Xi’an: Northwest A&F University Press) pp41–56

    [12]

    李国栋, 黄永念 2007 物理学报 56 4742

    Li G D, Huang Y N 2007 Acta Phys. Sin. 56 4742

    [13]

    宁利中, 齐昕, 周洋, 余荔 2009 物理学报 58 2528

    Ning L Z, Qi X, Zhou Y, Yu L 2009 Acta Phys. Sin. 58 2528

    [14]

    Mercader I, Batiste O, Alonso A, Knobloch E 2011 J. Fluid Mech. 667 586

    [15]

    Mercader I, Batiste O, Alonso A, Knobloch E 2013 J. Fluid Mech. 722 240

    [16]

    王涛, 田振夫, 葛永斌 2011 水动学研究与进展(A辑) 26 41

    Wang T, Tian Z F, Ge Y B 2011 Chin. J. Hydrodyn. 26 41

    [17]

    Watanabe T, Iima M, Nishiura Y 2012 J. Fluid Mech. 712 219

    [18]

    Taraut A V, Smorodin B L, Lücke M 2012 New J. Phys. 14 093055

    [19]

    赵秉新 2012 水动力学研究与进展(A辑) 27 264

    Zhao B X 2012 Chin. J. Hydrodyn. 27 264

    [20]

    Shevtsova V, Gaponenko Y A, Sechenyh V, Melnikov D E, Lyubimova T, Mialdun A 2015 J. Fluid Mech. 767 290

    [21]

    Lyubimova T, Zubova N, Shevtsova V 2018 Microgravity Sci. Tec. 31 1

    [22]

    Alonso A, Mercader I, Batiste O 2018 Phys. Rev. E 97 023108

    [23]

    Smorodin B L, Ishutov S M, Myznikova B I 2017 Microgravity Sci. Technol. 30 95

    [24]

    Zhao B X, Tian Z F 2015 Phys. Fluids 27 074102

    [25]

    Mercader I, Batiste O, Alonso A, Knobloch E 2019 Phys. Rev. E 99 023113

    [26]

    Lyubimova T, Zubova N 2017 Int. J. Heat Mass Transfer 106 1134

    [27]

    宁利中, 刘爽, 宁碧波, 袁喆, 王新宏, 田伟利, 渠亚伟 2018 水动力学研究与进展(A辑) 33 515

    Ning L Z, Liu S, Ning B B, Tian W L, Qu Y W 2018 Chin. J. Hydrodyn. 33 515

    [28]

    宁利中, 徐泊冰, 宁碧波, 袁喆, 田伟利 2019 水动力学研究与进展(A辑) 34 93

    Ning L Z, Xu B B, Ning B B, Yuan Z, Tian W L 2019 Chin. J. Hydrodyn. 34 93

    [29]

    宁利中, 余荔, 袁喆, 周洋 2009 中国科学: 物理学 力学 天文学 39 746

    Ning L Z, Yu L, Yuan Z, Zhou Y 2009 Sci. Sin.-Phys. Mech. Astron. 39 746

    [30]

    宁利中, 王娜, 袁喆, 李开继, 王卓运 2014 物理学报 63 104401

    Ning L Z, Wang N, Yuan Z, Li K J, Wang Z Y 2014 Acta Phys. Sin. 63 104401

    [31]

    Qin Q, Xia Z A, Tian Z F 2014 Int. J. Heat Mass Transfer 71 405

    [32]

    Tian Z F, Liang X, Yu P X 2011 Int. J. Numer. Meth. Een. 88 511

    [33]

    Strogatz S H 1994 Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (New York: Perseus Books Publishing LLC) pp58–60

    [34]

    Dangelmayr G, Knobloch E, Wegelin M 1991 EPL-Europhys. Lett. 16 723

  • 图 1  对流模型示意图

    Fig. 1.  Sketch of the two-dimensional convection model

    图 2  $ \psi=-0.02 $时Nusselt数$ Nu-1 $关于Rayleigh数r的分岔曲线. SOC$ _n $表示具有n个涡卷的SOC状态

    Fig. 2.  (a) Bifurcation diagram for $ \psi=-0.02 $. (b) close-up view of the part of the bifurcation diagram delimited by the straight dashed lines depicted in (a). Where SOC$ _n $ represents the SOC solutions with n rolls

    图 3  $ r=1.015 $时 (a) 流场时空结构, (b) $ w(0.13\varGamma, 0.5) $的时间序列和(c)功率谱密度

    Fig. 3.  (a) Spatio-temporal structure, (b) the time series of $ w(0.13\varGamma, 0.5) $ and (c) power spectral density for $ r=1.015 $

    图 4  $ r=1.015 $时, 两个观测点处垂向速度w随时间的发展

    Fig. 4.  The time series of the vertical velocity w at two monitoring points (a) $ (0.13\varGamma, 0.5) $ and (b) $ (0.87\varGamma, 0.5) $ for $ r=1.015 $

    图 5  $ r=1.0171 $时, Blinking状态与LTW状态流场典型波形和浓度场的比较

    Fig. 5.  Comparison of the lateral profiles and concentration fields between the Blinking and LTW states at $ r=1.0171 $: (a) The lateral profile and (c) concentration field of the Blinking state; (b) The lateral profile and (d) concentration field of the LTW state

    图 6  (a)闪动频率$ \omega_1 $和(b)行波频率$ \omega_2 $随Rayleigh数的变化

    Fig. 6.  The variation of (a) blinking frequency $ \omega_1 $ and (b) oscillation frequency $ \omega_2 $ as a function of the Rayleigh number

    图 7  Blinking和LTW状态的$ Nu-1 $r的变化情况. (b)为(a)中虚线标注矩形区域的局部放大

    Fig. 7.  The variation of $ Nu-1 $ of the Blinking and LTW states as a function of r. (b) Close-up view of the part delimited by the straight dashed lines depicted in (a)

    图 8  LTW状态的流场结构

    Fig. 8.  Structures of the flow field of LTW state: (a) Spatio-temporal structure; (b) a large-scale concentration current; (c) a transient structure of the concentration field

    图 9  $ r=1.13 $时流场时空发展和典型时刻的瞬时结构

    Fig. 9.  The spatio-temporal development and transient structures of the flow field at typical times for $ r=1.13 $

    图 10  $ r=1.13 $时 (a)$ Nu-1 $M的变化及(b)观测点处垂向速度的时间序列

    Fig. 10.  The variation of (a) $ Nu-1 $, M, and (b) the vertical velocity at the monitoring points for $ r=1.13 $

    图 11  $ r=1.13 $时SOC$ _{12} $状态的流场结构

    Fig. 11.  The structure of flow field for the SOC$ _{12} $ state at $ r=1.13 $: (a) The lateral profile on the horizontal centerline of the cavity; (b) the streamlines and the structure of the associated temperature field; (c) the structure of the concentration field

    图 12  SOC$ _{12} $状态Nusselt数随Rayleigh数的变化

    Fig. 12.  The variation of $ Nu $ with r for the SOC$ _{12} $ state

    表 1  分离比$ \psi = -0.10 $和–0.02时, 各状态临界Rayleigh数的比较

    Table 1.  Comparison of critical Rayleigh numbers for each state, $ \psi = -0.10 $ and $ -0.02 $

    $ \psi $ $ r_{\rm c} $ $ r_{\rm {sn}}^{\rm {SOC}} $ $ r_{\rm {start}}^{\rm {BTW}} $ $ r_{\rm {start}}^{\rm {LTW}} $ $ r^* $
    –0.10 1.111 1.062 1.089 1.145
    –0.02 1.035 1.008 1.013 1.0172 1.022
    下载: 导出CSV
  • [1]

    Cross M C, Hohenberg P C 1993 Rev. Mod. Phys. 65 851

    [2]

    Moses E, Fineberg J, Steinberg V 1987 Phys. Rev. A 35 2757

    [3]

    Heinrichs R, Ahlers G, Cannell D S 1987 Phys. Rev. A 35 2761

    [4]

    Fineberg J, Moses E, Steinberg V 1988 Phys. Rev. Lett. 61 838

    [5]

    Kolodner P, Surko C M 1988 Phys. Rev. Lett. 61 842

    [6]

    Barten W, Lücke M, Kamps M, Schmitz R 1995 Phys. Rev. E 51 5636

    [7]

    Barten W, Lücke M, Kamps M 1991 Phys. Rev. Lett. 66 2621

    [8]

    Barten W, Lücke M, Kamps M, Schmitz R 1995 Phys. Rev. E 51 5662

    [9]

    Batiste O, Net M, Mercader I, Knobloch E 2001 Phys. Rev. Lett. 86 2309

    [10]

    Batiste O, Knobloch E 2005 Phys. Rev. Lett. 95 244501

    [11]

    Ning L Z 2006 Rayleigh-Bénard convection in a binary fluid mixture with and without lateral flow (Xi’an: Northwest A&F University Press) pp41–56

    [12]

    李国栋, 黄永念 2007 物理学报 56 4742

    Li G D, Huang Y N 2007 Acta Phys. Sin. 56 4742

    [13]

    宁利中, 齐昕, 周洋, 余荔 2009 物理学报 58 2528

    Ning L Z, Qi X, Zhou Y, Yu L 2009 Acta Phys. Sin. 58 2528

    [14]

    Mercader I, Batiste O, Alonso A, Knobloch E 2011 J. Fluid Mech. 667 586

    [15]

    Mercader I, Batiste O, Alonso A, Knobloch E 2013 J. Fluid Mech. 722 240

    [16]

    王涛, 田振夫, 葛永斌 2011 水动学研究与进展(A辑) 26 41

    Wang T, Tian Z F, Ge Y B 2011 Chin. J. Hydrodyn. 26 41

    [17]

    Watanabe T, Iima M, Nishiura Y 2012 J. Fluid Mech. 712 219

    [18]

    Taraut A V, Smorodin B L, Lücke M 2012 New J. Phys. 14 093055

    [19]

    赵秉新 2012 水动力学研究与进展(A辑) 27 264

    Zhao B X 2012 Chin. J. Hydrodyn. 27 264

    [20]

    Shevtsova V, Gaponenko Y A, Sechenyh V, Melnikov D E, Lyubimova T, Mialdun A 2015 J. Fluid Mech. 767 290

    [21]

    Lyubimova T, Zubova N, Shevtsova V 2018 Microgravity Sci. Tec. 31 1

    [22]

    Alonso A, Mercader I, Batiste O 2018 Phys. Rev. E 97 023108

    [23]

    Smorodin B L, Ishutov S M, Myznikova B I 2017 Microgravity Sci. Technol. 30 95

    [24]

    Zhao B X, Tian Z F 2015 Phys. Fluids 27 074102

    [25]

    Mercader I, Batiste O, Alonso A, Knobloch E 2019 Phys. Rev. E 99 023113

    [26]

    Lyubimova T, Zubova N 2017 Int. J. Heat Mass Transfer 106 1134

    [27]

    宁利中, 刘爽, 宁碧波, 袁喆, 王新宏, 田伟利, 渠亚伟 2018 水动力学研究与进展(A辑) 33 515

    Ning L Z, Liu S, Ning B B, Tian W L, Qu Y W 2018 Chin. J. Hydrodyn. 33 515

    [28]

    宁利中, 徐泊冰, 宁碧波, 袁喆, 田伟利 2019 水动力学研究与进展(A辑) 34 93

    Ning L Z, Xu B B, Ning B B, Yuan Z, Tian W L 2019 Chin. J. Hydrodyn. 34 93

    [29]

    宁利中, 余荔, 袁喆, 周洋 2009 中国科学: 物理学 力学 天文学 39 746

    Ning L Z, Yu L, Yuan Z, Zhou Y 2009 Sci. Sin.-Phys. Mech. Astron. 39 746

    [30]

    宁利中, 王娜, 袁喆, 李开继, 王卓运 2014 物理学报 63 104401

    Ning L Z, Wang N, Yuan Z, Li K J, Wang Z Y 2014 Acta Phys. Sin. 63 104401

    [31]

    Qin Q, Xia Z A, Tian Z F 2014 Int. J. Heat Mass Transfer 71 405

    [32]

    Tian Z F, Liang X, Yu P X 2011 Int. J. Numer. Meth. Een. 88 511

    [33]

    Strogatz S H 1994 Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (New York: Perseus Books Publishing LLC) pp58–60

    [34]

    Dangelmayr G, Knobloch E, Wegelin M 1991 EPL-Europhys. Lett. 16 723

  • [1] 宁利中, 余荔, 周洋, 齐昕. 混合流体Rayleigh-Benard行波对流中的缺陷结构. 物理学报, 2009, 58(4): 2528-2534. doi: 10.7498/aps.58.2528
    [2] 宁利中, 王娜, 袁喆, 李开继, 王卓运. 分离比对混合流体Rayleigh-Bénard对流解的影响. 物理学报, 2014, 63(10): 104401. doi: 10.7498/aps.63.104401
    [3] 宁利中, 胡彪, 宁碧波, 田伟利. Poiseuille-Rayleigh-Bnard流动中对流斑图的分区和成长. 物理学报, 2016, 65(21): 214401. doi: 10.7498/aps.65.214401
    [4] 孙东科, 朱鸣芳, 杨朝蓉, 潘诗琰, 戴挺. 强制对流和自然对流作用下枝晶生长的数值模拟. 物理学报, 2009, 58(13): 285-S291. doi: 10.7498/aps.58.285
    [5] 姚熊亮, 叶曦, 张阿漫. 行波驱动下空泡在可压缩流场中的运动特性研究. 物理学报, 2013, 62(24): 244701. doi: 10.7498/aps.62.244701
    [6] 姜泽辉, 张峰, 郭波, 赵海发, 郑瑞华. 受振颗粒“毛细”系统中的对流与有序化. 物理学报, 2010, 59(8): 5581-5587. doi: 10.7498/aps.59.5581
    [7] 石玉峰, 许庆彦, 柳百成. 对流作用下枝晶形貌演化的数值模拟和实验研究. 物理学报, 2011, 60(12): 126101. doi: 10.7498/aps.60.126101
    [8] 蔡启舟, 陈立亮, 龙文元, 吕冬兰, 夏春, 潘美满. 强迫对流影响二元合金非等温凝固枝晶生长的相场法模拟. 物理学报, 2009, 58(11): 7802-7808. doi: 10.7498/aps.58.7802
    [9] 林茂杰, 常健, 吴宇昊, 徐山森, 魏炳波. 电磁悬浮条件下液态Fe50Cu50合金的对流和凝固规律研究. 物理学报, 2017, 66(13): 136401. doi: 10.7498/aps.66.136401
    [10] 石兰芳, 朱敏, 周先春, 汪维刚, 莫嘉琪. 一类非线性发展方程孤立子行波解. 物理学报, 2014, 63(13): 130201. doi: 10.7498/aps.63.130201
    [11] 丁 武, 郝建红. 行波管放大器中辐射场的极限环振荡和混沌. 物理学报, 2003, 52(4): 906-910. doi: 10.7498/aps.52.906
    [12] 冯朝文, 蔡理, 杨晓阔, 康强, 彭卫东, 柏鹏. 单电子晶体管与金属氧化物半导体混合电路构造的一维离散混沌系统研究. 物理学报, 2012, 61(8): 080503. doi: 10.7498/aps.61.080503
    [13] 张 维, 周淑华, 任 勇, 山秀明. Turbo译码算法的分岔与控制. 物理学报, 2006, 55(2): 622-627. doi: 10.7498/aps.55.622
    [14] 陈章耀, 毕勤胜. Jerk系统耦合的分岔和混沌行为. 物理学报, 2010, 59(11): 7669-7678. doi: 10.7498/aps.59.7669
    [15] 李群宏, 闫玉龙, 杨丹. 耦合电路系统的分岔研究. 物理学报, 2012, 61(20): 200505. doi: 10.7498/aps.61.200505
    [16] 康祝圣, 胡文, 包伯成, 许建平. 含指数项广义平方映射的分岔和吸引子. 物理学报, 2009, 58(3): 1420-1431. doi: 10.7498/aps.58.1420
    [17] 黄晨, 陈龙, 毕勤胜, 江浩斌. 机动车协商模型与分岔特性研究. 物理学报, 2013, 62(21): 210507. doi: 10.7498/aps.62.210507
    [18] 刘洪臣, 王云, 苏振霞. 单相三电平H桥逆变器分岔现象的研究. 物理学报, 2013, 62(24): 240506. doi: 10.7498/aps.62.240506
    [19] 宋晓红, 林圣路. 外电场中Li原子回归谱的分岔效应. 物理学报, 2003, 52(7): 1611-1616. doi: 10.7498/aps.52.1611
    [20] 黄永念, 李国栋. 双组分混合流体中Eckhaus不稳定调谐的行波对流. 物理学报, 2007, 56(8): 4742-4748. doi: 10.7498/aps.56.4742
  • 引用本文:
    Citation:
计量
  • 文章访问数:  625
  • PDF下载量:  32
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-04
  • 修回日期:  2019-12-27
  • 刊出日期:  2020-04-05

弱Soret效应混合流体对流系统的分岔与非线性演化

  • 1. 宁夏大学机械工程学院, 银川 750021
  • 2. 宁夏大学数学统计学院, 银川 750021
  • 3. 宁夏科学工程计算与数据分析重点实验室, 银川 750021
  • 通信作者: 赵秉新, zhao_bx@nxu.edu.cn
    基金项目: 国家级-国家自然科学基金(11662016)

摘要: 混合流体Rayleigh-Bénard(RB)对流是研究非平衡耗散系统的自组织斑图及非线性动力学特性的典型模型. 本文利用高精度数值方法模拟了底部均匀加热的矩形腔体中混合流体RB对流, 研究了具有极微弱Soret效应(分离比$\psi=-0.02$)的混合流体对流的分岔特性及斑图的形成和演化, 给出了分岔曲线图. 获得了行波交替闪动的Blinking状态、局部行波对流和定常对流(SOC)三种稳定状态, 讨论了状态之间的过渡. 研究发现从Blinking状态到局部行波对流状态的过渡存在迟滞现象, 过渡时行波频率、对流振幅和对流传热Nusselt数等均有明显的跳跃. 在Blinking状态存在的Rayleigh数区间下界附近, 外部施加的不对称初始扰动是形成该状态的诱因. 随着Rayleigh数增大, 临界SOC状态经过多次分岔并形成多个具有不同波数的SOC状态后过渡为混沌状态.

English Abstract

    • 非平衡系统在远离热平衡态时就会产生复杂的自组织时空结构, 对其机理和稳定性等的研究是目前涉及非平衡现象科学技术问题的重要课题之一[1]. 混合流体Rayleigh-Bénard(RB)对流作为研究非平衡耗散系统自组织斑图及非线性动力学特性的一个典型系统, 近年来得到了广泛的关注. 由于温度和浓度场之间的Soret耦合效应, 混合流体RB对流中的斑图结构比单组分流体中更为有趣和复杂. 特别令人关注的是具有负分离比($ \psi < 0 $)的混合流体中发生在对流临界点附近的对流状态, 这里$ \psi $值表征了Soret耦合效应的强度, 其符号决定了混合流体的行为. $ \psi < 0 $表示热对浮力的贡献和浓度对浮力的贡献彼此相对, 导致系统经历亚临界Hopf分岔并最终发展成为各种可能的对流状态. 早期的实验研究取得了很多重要的成果, 如首次观察到了局部行波对流状态(localized traveling wave, LTW)[2,3]和行波左右交替闪动的Blinking状态[4,5]等, 这些原始发现对之后的研究工作具有重要的意义, 但其机理并不十分清楚. 为了深入理解和探讨复杂流动斑图及其非线性特性, 人们开展了基于流体力学基本方程组或其扰动方程组的直接数值摸拟研究, 分析了行波对流状态(traveling wave, TW)的参数依赖性[6], 解释了LTW漂移缓慢的原因[7,8], 讨论了Blinking状态以及“重复过渡”状态(repeated transients)的起源以及长高比的影响[9], 也获得了局部定常对流(localized stationary overturning convection, LSOC)[10]、摆动行波对流(undulation TW, UTW)[11]和含缺陷行波对流[12,13]等有趣的流动斑图. 近年来, Mercader等[14]在中等长高比的腔体中, 采用不同的边界条件观察到了多种LSOC对流结构及其多重稳定现象, 并发现当上壁面边界改变时奇宇称LSOC状态整体以一定的速度移动, 且速度大小依赖于Biot数[15]. 王涛等[16]采用高阶紧致差分方法求解涡量-流函数型的扰动方程, 模拟了矩形长腔内LTW的形成过程. Watanabe等[17]和Taraut等[18]模拟了大长高比矩形腔体内LTW状态之间以及与LSOC状态碰撞的情形, 发现碰撞后的对流结构完全依赖于碰撞前LTW状态的特性. 赵秉新[19]对水平流作用下具有正的小分离比的混合流体行进波对流进行了模拟研究, 讨论了物性参数对流动的影响. 最近, Shevtsova等[20]介绍了在国际空间站进行的实验结果, 与模拟结果进行了对比, 反驳了微重力环境总是影响扩散控制过程的推测, 并讨论了实验装置上下壁面温度不均匀对Soret效应的影响[21]; Alonso等[22]模拟了准垂直圆柱体内具有正Soret系数的混合流体对流, 重点讨论了小倾角对斑图形成的影响; Smorodin等[23]通过线性稳定性分析, 研究了高频振动下水平层中混合流体的对流, 分析了振动强度和方向对空间周期行波解的影响; 学者们还模拟研究了流体参数和长宽比[24]、实验装置的倾斜角度[25]对流动的影响, 讨论了从上向下加热的负分离比混合流体对流的开始和非线性状态[26], 以及分离比和长高比对缺陷结构的影响[27,28].

      可是, 关于混合流体对流中解的分岔及流动沿着分岔图上部分支的演化过程则研究比较少. 文献[24]利用固壁边界条件对矩形腔体内分离比为$ \psi = -0.1 $的混合流体进行了模拟研究, 给出了解的分岔图; 文献[29,30]对 $ \psi = -0.2 $和–0.6的混合流体进行数值模拟, 获得了几种行波解. 对于极微弱分离比下混合流体对流中解的分岔及沿分岔分支演化过程的研究则鲜见报道. 综合前人研究成果, 我们知道: 在微弱分离比下, 系统中存在Blinking状态和repeated transients等弱非线性对流结构; 在$ \psi\leqslant -0.1 $的情形下, 系统沿弱非线性分支从Blinking到LTW对流过渡时对流振幅发生了很大的跳跃, 且存在迟滞现象[11], 但对于如$ -0.04\leqslant $$\psi\leqslant -0.01 $的极弱分离比, 人们并没有发现迟滞现象, 认为过渡是光滑的[5]. 造成这种差异的原因之一是从Blinking分支到LTW分支的跳动可能很小, 实验无法观察到[11]; 另一方面, 考虑到数值方法的低分辨率, 数值模拟中可能将其归结为一种数值误差[8]. 本文利用文献[19,24]中的高精度高分辨率数值方法求解流体力学基本方程组, 对极弱分离比$ \psi = -0.02 $下混合流体RB对流进行直接数值模拟, 给出解的分岔图, 并探讨系统沿着非线性分支出现的各种行波对流斑图及其演化过程.

    • 一薄层双流体混合物(如酒精与水)封入长为 L, 高为 d的矩形腔体之中(长高比记为 $ \varGamma = L/d $), 如图1所示, 考虑二维区域$ (x, z)\in[0, L]\times [0, d\,] $上的对流运动. 整个装置处在一个均匀的重力场 $ {{g}} = -g{ e}_z $中, g 为重力加速度, 方向竖直向下, $ { e}_z $z 方向的单位矢量. 腔体底部和顶部表面都保持均匀一致的温度$ T_{\rm {hot}} $$ T_{\rm {col}} $, 且$ T_{\rm {hot}} > T_{\rm {col}} $. 二者之间存在温度差 $ \Delta T = T_{\rm {hot}}-T_{\rm {col}} $, 它由一个反映浮力与黏性对比的特征量Rayleigh数$ Ra = \dfrac{\alpha gd^{3}\Delta T}{\kappa\nu} $来表征. 这里$ \alpha $是热膨胀系数, $ \kappa $是热扩散系数, $ \nu $是动力黏性系数. 随着$ Ra $ 的增大, 浮力效应突出, 当$ Ra $ 增大到临界值时, 系统中便发生了对流运动.

      图  1  对流模型示意图

      Figure 1.  Sketch of the two-dimensional convection model

      基于布辛涅斯克(Boussinesq)假设, 选取d, $ d^{2}/\kappa $, $ \kappa/d $$ \rho_{0}\kappa^{2}/{d^{2}} $ 分别为长度、时间、速度和压力的特征尺度进行无量纲化, 并定义无量纲温度和无量纲浓度如下

      $ \theta = \frac{T-T_{0}}{\Delta T}, \quad c = \frac{\beta}{\alpha}\frac{C-C_{0}}{\Delta T},$

      其中下标为0的量是对应物理量的平均值, 则描述该问题的无量纲控制方程组为[24]:

      $\nabla \cdot {{v}} = 0 \tag{1a},$

      $ \frac{\partial {{v}}}{\partial t}+({{v}}\cdot \nabla ){{v}} = Pr\nabla^{2}{{v}}-\nabla p+RaPr(\theta+c){{e}}_{z} \tag{1b}, $

      $ \frac{\partial \theta}{\partial t}+({{v}}\cdot \nabla)\theta = \nabla^{2}\theta \tag{1c}, $

      $ \frac{\partial c}{\partial t}+({{v}}\cdot \nabla)c = Le(\nabla^{2}c-\psi\nabla^{2}\theta) \tag{1d}, $

      其中$ {{v}}(u, w), \theta, c, p, t $分别为速度场, 温度, 浓度, 压力和时间; 方程组中除Rayleigh数$ Ra $外, 还包含了其他三个无量纲参数, 即

      $Pr = \frac{\nu}{\kappa},\; \; Le = \frac{D}{\kappa}, \; \; \psi = -\frac{\beta}{\alpha}S_{T}C_{0}(1-C_{0}), $

      分别为Prandtl数, Lewis数和分离比. 其中$ S_{T} $为Soret系数, $ \beta $D分别是体积膨胀系数和溶质扩散系数. 对于纯流体, Rayleigh-Bénard对流系统初始不稳定的临界Rayleigh数是 $ Ra^{0}_{\rm c} = 1708 $, 为方便起见, 通常采用约化的Rayleigh数$ r = Ra/Ra^{0}_{\rm c} $作为控制参数. 在室温下, 酒精与水混合液的 Lewis数 $ Le $在0.01附近, Prandtl数介于$ 5—20 $之间. 分离比 $ \psi $是表征流体非线性特性的参数, 表示温度场对浓度场的Soret耦合效应. 对于室温下酒精与水的混合物, $ \psi $值介于$ -0.5—0.2 $时, 实验容易控制[6]. 本文选取与文献[6-8]研究行波对流TW和LTW时相同的参数, 即$ Pr = 10, Le = 0.01 $, 考虑极微弱负分离比$ \psi = -0.02 $, 对长高比$ \varGamma = 12 $的腔体中对流情况进行直接数值模拟.

      求解方程组时必须给出合理的边界条件. 腔体所有壁面为无滑移, 浓度不可穿透; 上下壁面恒温, 左右壁面绝热. 相应边界条件的表达式如下: