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Kirchhoff弹性杆动力学建模的分析力学方法

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Methods of analytical mechanics for dynamics of the Kirchhoff elastic rod

Xue Yun, Liu Yan-Zhu, Chen Li-Qun
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• 摘要

以杆的横截面为研究对象，讨论了其自由度，给出了截面虚位移定义，并定义变分和偏微分运算对独立坐标服从交换关系. 给出了曲面约束的基本假设，讨论了约束对截面自由度的影响以及加在虚位移上的限制方程. 从D'Alembert原理出发结合虚功原理，建立了弹性杆动力学的D'Alembert-Lagrange原理，当杆的材料服从线性本构关系时，化作Euler-Lagrange形式、Nielsen形式和Appell形式. 由此导出了Kirchhoff方程以及Lagrange方程、Nielsen方程和Appell方程，得到

Abstract

A cross section of the rod is taken as object of investigation. The freedom of the section in free or constraint case is analyzed and the definition of virtual displacement of the section is given, which can be expressed by a variational operation. Assuming the variational and partial differential operations has commutativity, based on the hypothesis about surface constraint subjected to the rod, the freedom of the section on constraint surface is discussed and the equations satisfied by virtual displacements of the section are given. Combining D'Alembert principle and the principle of virtual work, D'Alembert-Lagrange principle is established. When constitutive equation of material of the rod is linear, the principle can be transformed to Euler-Lagrange form. From the principle, a dynamical equation in various forms such as Kirchhoff, Lagrange, Nielsen and Appell equation can be derived. For the case when a rod is subjected to a surface or a nonholonomic constraint, Lagrange equation with undetermined multipliers is obtained. Integral variational principle of dynamics of a super-thin elastic rod is also established, from which Hamilton principle formulation is obtained when the material of the rod is linear. Finally, canonical variables to describe the state of the section and Hamilton function are defined, and Hamilton canonical equation is derived. The analytical methods of dynamical modeling of a super-thin elastic rod have been constructed, which can serve as a theoretical framework of analytical dynamics of a super-thin elastic rod with two independent variables.

作者及机构信息

(1)上海大学力学系，上海 200436; (2)上海交通大学工程力学系，上海 200030; (3)上海应用技术学院机械与自动化工程学院，上海 200235
• 基金项目: 国家自然科学基金(批准号：10472067)资助的课题.

施引文献

•  [1] 王鹏, 薛纭, 楼智美. 黏性流体中超细长弹性杆的动力学不稳定性. 物理学报, 2017, 66(9): 094501. doi: 10.7498/aps.66.094501 [2] 刘延柱, 薛纭. 基于高斯原理的Cosserat弹性杆动力学模型. 物理学报, 2015, 64(4): 044601. doi: 10.7498/aps.64.044601 [3] 章新友, L. J. Li, 黄永畅. 一般n阶特征量泛函的Euler-Lagrange方程及与定量因果原理、相对性原理和广义牛顿三定律的统一. 物理学报, 2014, 63(19): 190301. doi: 10.7498/aps.63.190301 [4] 邹丹旦, 杨维紘. 双流体等离子体模型的动力学可容变分. 物理学报, 2014, 63(3): 030401. doi: 10.7498/aps.63.030401 [5] 夏彬凯, 李剑锋, 李卫华, 张红东, 邱枫. 基于离散变分原理的耗散动力学模拟方法：模拟三维囊泡形状. 物理学报, 2013, 62(24): 248701. doi: 10.7498/aps.62.248701 [6] 薛纭, 翁德玮, 陈立群. 精确Cosserat弹性杆动力学的分析力学方法. 物理学报, 2013, 62(4): 044601. doi: 10.7498/aps.62.044601 [7] 周先春, 林万涛, 林一骅, 姚静荪, 莫嘉琪. 一类扰动洛伦兹系统的解法. 物理学报, 2011, 60(11): 110207. doi: 10.7498/aps.60.110207 [8] 吴兆春. 导热几何形状反演的变分原理及边界条件的确立. 物理学报, 2010, 59(9): 6326-6330. doi: 10.7498/aps.59.6326 [9] 葛伟宽, 梅凤翔. 广义Birkhoff系统的时间积分定理. 物理学报, 2009, 58(2): 699-702. doi: 10.7498/aps.58.699 [10] 薛纭, 翁德玮. 超细长弹性杆动力学的Gauss原理. 物理学报, 2009, 58(1): 34-39. doi: 10.7498/aps.58.34 [11] 崔建新, 高海波, 洪文学. 超细长弹性杆的Mei对称性及其Noether守恒量. 物理学报, 2009, 58(11): 7426-7430. doi: 10.7498/aps.58.7426 [12] 刘延柱, 薛纭. 受拉扭弹性细杆超螺旋形态的定性分析. 物理学报, 2009, 58(9): 5936-5941. doi: 10.7498/aps.58.5936 [13] 葛伟宽, 梅凤翔. Birkhoff系统的时间积分定理. 物理学报, 2007, 56(5): 2479-2481. doi: 10.7498/aps.56.2479 [14] 刘延柱, 盛立伟. 圆截面弹性螺旋杆的稳定性与振动. 物理学报, 2007, 56(4): 2305-2310. doi: 10.7498/aps.56.2305 [15] 黄永畅, 李希国. 不同积分变分原理的统一. 物理学报, 2005, 54(8): 3473-3479. doi: 10.7498/aps.54.3473 [16] 江金环, 李子平. 基于全息聚焦机理空间光孤子的相互作用势函数. 物理学报, 2004, 53(9): 2991-2994. doi: 10.7498/aps.53.2991 [17] 薛　纭, 陈立群, 刘延柱. Kirchhoff方程的相对常值特解及其Lyapunov稳定性. 物理学报, 2004, 53(12): 4029-4036. doi: 10.7498/aps.53.4029 [18] 罗绍凯, 傅景礼, 陈向炜. 转动系统相对论性Birkhoff动力学的基本理论. 物理学报, 2001, 50(3): 383-389. doi: 10.7498/aps.50.383 [19] 方建会. 转动变质量系统的相对论性动力学方程和变分原理. 物理学报, 2000, 49(6): 1028-1030. doi: 10.7498/aps.49.1028 [20] 胡海昌. 论弹性体力学与受范性体力学中的一般变分原理. 物理学报, 1954, 10(3): 259-290. doi: 10.7498/aps.10.259
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出版历程
• 收稿日期:  2005-12-27
• 修回日期:  2006-01-19
• 刊出日期:  2006-04-05

Kirchhoff弹性杆动力学建模的分析力学方法

• 1. (1)上海大学力学系，上海 200436; (2)上海交通大学工程力学系，上海 200030; (3)上海应用技术学院机械与自动化工程学院，上海 200235
基金项目: 国家自然科学基金(批准号：10472067)资助的课题.

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