x

## 留言板

 引用本文:
 Citation:

## Greenhill formula for an exact model of elastic rod

Xue Yun, Weng De-Wei
PDF
• #### 摘要

将圆截面Kirchhoff弹性压扭直杆的Greenhill公式推广到精确模型. 基于平面截面假定,在弯扭的基础上增加了拉压和剪切变形,将弹性杆的位形表达为截面的弧坐标历程. 由弹性杆精确模型的平衡微分方程,得到了两端受力螺旋作用时对应于直线平衡状态的特解,导出了线性化扰动方程及其通解,再根据两端为铰支时的边界条件以及积分常数存在非零解的条件导出弹性直杆精确模型的Greenhill公式. 结果表明,由力螺旋表示的稳定域为一对称的封闭区域,拉压和剪切对稳定性的影响取决于拉压柔度与剪切柔度之差、抗弯刚度和杆长这三个因素.

#### Abstract

Greenhill formula for Kirchhoff elastic rod is extended to that of exact model of the rod. Under the assumption of the plane cross section, the configuration of an extensible and shearable elastic rod is expressed as a history of the cross section with arc coordinate. A special solution which describes equilibrium in straight line state of the rod is obtained from a differential equilibrium equation. A linear perturbation equation is derived and its general solution is obtained in which the integral constants are determined by constrained conditions at two ends of the rod. The condition for a non zero solution of the integral constants to exist leads to the Greenhill formula of exact elastic rod model, which shows that the boundary of stable area of the force screw is a closed curve and of symmetry and the inference of extensible and shearable to stability of the rod is dependent on three factors: the difference in flexibility between shear and extension of a section of the rod, the bending stiffness, and the length of the rod.

#### 作者及机构信息

###### 1. 上海应用技术学院机械工程学院,上海 200235
• 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 10972143)和上海应用技术学院科学技术发展基金(批准号: KJ2008-10)资助的课题.

#### 参考文献

 [1] Travers1 A A, Thompson J M T 2004 Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 362 1265 [2] Liu Y Z 2003 Mech. Eng. 25(1) 1 (in Chinese) [刘延柱 2003 力学与实践 25(1) 1] [3] Science Press) p103 (in Chinese)[武际可、 苏先樾 1994 弹性系统的稳定性 (北京: 科学出版社) 第103页] [4] Press) p96 (in Chinese) [刘延柱 2001 高等动力学 (北京: 高等教育出版社) 第96页] [5] Liu Y Z 2009 Chin. Phys. B 18 1 [6] Healey T J, Mehta P G 2005 Int. J. Bifur. Chaos 15 949 [7] Cao D Q, Tucker R W 2008 Int. J. Sol. Struc. 45 460 [8] He X S 2010 Acta Phys. Sin. 59 1428 (in Chinese) [和兴锁 2010 物理学报 59 1428] [9] Liu Y Z, Xue Y, Chen L Q 2004 Acta Phys. Sin. 53 2424 (in Chinese) [刘延柱、 薛 纭、 陈立群 2004 物理学报 53 2424] [10] Xue Y, Chen L Q, Liu Y Z 2004 Acta Phys. Sin. 53 4029 (in Chinese) [薛 纭、 陈立群、 刘延柱 2004 物理学报 53 4029] [11] Liu Y Z 2002 Mech. Eng. 24(4) 56 (in Chinese) [刘延柱 2002 力学与实践 24(4) 56] [12] Xue Y, Chen L Q 2004 Mech. Eng. 26(5)71 (in Chinese)[薛纭、 陈立群 2004 力学与实践 26(5) 71] [13] Timoshenko S P, Gere J M 1965 Theory of Elastic Stability (2nd ed) (Beijing: Science Press ) p169 (in Chinese)[铁摩辛柯 S P、盖莱J M 1965 弹性稳定理论(第二版)(中译本)(北京: 科学出版社) 第169页] [14] Liu Y Z 2006 Nonlinear Mechanics of Thin Elastic Rod: Theoritical Basis of Mechanical Model of DNA (Beijing: Tsinghua University Press, Springer) pp14, 61, 89 (in Chinese) [刘延柱 2006 弹性细杆的非线性力学: DNA力学模型的理论基础 (北京:清华大学出版社, Springer) 第14, 61, 89页] [15] Wu J K, Su X Y 1994 Stability of Elastic System (Beijing: [16] Liu Y Z, Xue Y 2005 Mech. Eng. 27(1) 64 (in Chinese)[刘延柱、 薛 纭 2005 力学与实践 27(1) 64] [17] Xue Y, Chen L Q 2008 J. Dyn. Contr. 6 198 (in Chinese)[薛纭、 陈立群 2008 动力学与控制学报 6 198] [18] Xue Y, Liu Y Z 2009 Acta Phys. Sin. 58 61 (in Chinese)[薛纭、刘延柱 2009 物理学报 58 61] [19] Liu Y Z 2001 Advanced Dynamics (Beijing: Higher Education [20] Xue Y, Weng D W, Chen L Q 2009 Chin. Quart. Mech. 30 116 (in Chinese)[薛 纭、 翁德玮、 陈立群 2009 力学季刊 30 116] [21] Hu H C 1981 Variational Principles of Elastic Mechanics and Their Applications(Beijing: Science Press)p145 (in Chinese) [胡海昌 1981 弹性力学的变分原理及其应用 (北京: 科学出版社) 第145页]

#### 施引文献

•  [1] Travers1 A A, Thompson J M T 2004 Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 362 1265 [2] Liu Y Z 2003 Mech. Eng. 25(1) 1 (in Chinese) [刘延柱 2003 力学与实践 25(1) 1] [3] Science Press) p103 (in Chinese)[武际可、 苏先樾 1994 弹性系统的稳定性 (北京: 科学出版社) 第103页] [4] Press) p96 (in Chinese) [刘延柱 2001 高等动力学 (北京: 高等教育出版社) 第96页] [5] Liu Y Z 2009 Chin. Phys. B 18 1 [6] Healey T J, Mehta P G 2005 Int. J. Bifur. Chaos 15 949 [7] Cao D Q, Tucker R W 2008 Int. J. Sol. Struc. 45 460 [8] He X S 2010 Acta Phys. Sin. 59 1428 (in Chinese) [和兴锁 2010 物理学报 59 1428] [9] Liu Y Z, Xue Y, Chen L Q 2004 Acta Phys. Sin. 53 2424 (in Chinese) [刘延柱、 薛 纭、 陈立群 2004 物理学报 53 2424] [10] Xue Y, Chen L Q, Liu Y Z 2004 Acta Phys. Sin. 53 4029 (in Chinese) [薛 纭、 陈立群、 刘延柱 2004 物理学报 53 4029] [11] Liu Y Z 2002 Mech. Eng. 24(4) 56 (in Chinese) [刘延柱 2002 力学与实践 24(4) 56] [12] Xue Y, Chen L Q 2004 Mech. Eng. 26(5)71 (in Chinese)[薛纭、 陈立群 2004 力学与实践 26(5) 71] [13] Timoshenko S P, Gere J M 1965 Theory of Elastic Stability (2nd ed) (Beijing: Science Press ) p169 (in Chinese)[铁摩辛柯 S P、盖莱J M 1965 弹性稳定理论(第二版)(中译本)(北京: 科学出版社) 第169页] [14] Liu Y Z 2006 Nonlinear Mechanics of Thin Elastic Rod: Theoritical Basis of Mechanical Model of DNA (Beijing: Tsinghua University Press, Springer) pp14, 61, 89 (in Chinese) [刘延柱 2006 弹性细杆的非线性力学: DNA力学模型的理论基础 (北京:清华大学出版社, Springer) 第14, 61, 89页] [15] Wu J K, Su X Y 1994 Stability of Elastic System (Beijing: [16] Liu Y Z, Xue Y 2005 Mech. Eng. 27(1) 64 (in Chinese)[刘延柱、 薛 纭 2005 力学与实践 27(1) 64] [17] Xue Y, Chen L Q 2008 J. Dyn. Contr. 6 198 (in Chinese)[薛纭、 陈立群 2008 动力学与控制学报 6 198] [18] Xue Y, Liu Y Z 2009 Acta Phys. Sin. 58 61 (in Chinese)[薛纭、刘延柱 2009 物理学报 58 61] [19] Liu Y Z 2001 Advanced Dynamics (Beijing: Higher Education [20] Xue Y, Weng D W, Chen L Q 2009 Chin. Quart. Mech. 30 116 (in Chinese)[薛 纭、 翁德玮、 陈立群 2009 力学季刊 30 116] [21] Hu H C 1981 Variational Principles of Elastic Mechanics and Their Applications(Beijing: Science Press)p145 (in Chinese) [胡海昌 1981 弹性力学的变分原理及其应用 (北京: 科学出版社) 第145页]
•  [1] 王鹏, 薛纭, 楼智美. 黏性流体中超细长弹性杆的动力学不稳定性. 物理学报, 2017, 66(9): 094501. doi: 10.7498/aps.66.094501 [2] 高继华, 王宇, 张超, 杨海朋, 戈早川. 复Ginzburg-Landau方程中模螺旋波的稳定性研究. 物理学报, 2014, 63(2): 020503. doi: 10.7498/aps.63.020503 [3] 张磊, 李辉武, 胡梁宾. 二维自旋轨道耦合电子气中持续自旋螺旋态的稳定性的研究. 物理学报, 2012, 61(17): 177203. doi: 10.7498/aps.61.177203 [4] 王炜, 张琪昌, 靳刚. 非对称截面Kirchhoff弹性细杆模型简化方法研究. 物理学报, 2012, 61(6): 064602. doi: 10.7498/aps.61.064602 [5] 杜玉光, 张凯旺, 彭向阳, 金福报, 钟建新. 碳纳米管内Ni纳米线的螺旋度与热稳定性研究. 物理学报, 2012, 61(17): 176102. doi: 10.7498/aps.61.176102 [6] 刘延柱, 薛纭. 受拉扭弹性细杆超螺旋形态的定性分析. 物理学报, 2009, 58(9): 5936-5941. doi: 10.7498/aps.58.5936 [7] 薛纭, 刘延柱. Kirchhoff弹性直杆在力螺旋作用下的稳定性. 物理学报, 2009, 58(10): 6737-6742. doi: 10.7498/aps.58.6737 [8] 刘延柱, 盛立伟. 圆截面弹性螺旋杆的稳定性与振动. 物理学报, 2007, 56(4): 2305-2310. doi: 10.7498/aps.56.2305 [9] 王 涛, 高自友, 赵小梅. 多速度差模型及稳定性分析. 物理学报, 2006, 55(2): 634-640. doi: 10.7498/aps.55.634 [10] 邹　秀, 宫　野, 刘金远, 宫继全. 外加磁场、电流及弧柱半径对电弧螺旋不稳定性的影响. 物理学报, 2004, 53(3): 824-828. doi: 10.7498/aps.53.824 [11] 刘延柱, 薛 纭, 陈立群. 弹性细杆平衡的动态稳定性. 物理学报, 2004, 53(8): 2424-2428. doi: 10.7498/aps.53.2424 [12] 吴俊峰, 叶文华, 张维岩, 贺贤土. 二维不可压流体瑞利-泰勒不稳定性的非线性阈值公式. 物理学报, 2003, 52(7): 1688-1693. doi: 10.7498/aps.52.1688 [13] 宫继全, 宫野, 刘金远, 张鹏云. 气流对电弧螺旋不稳定性的影响. 物理学报, 2002, 51(2): 291-295. doi: 10.7498/aps.51.291 [14] 王永久, 唐智明. 一类宇宙模型的稳定性. 物理学报, 2001, 50(10): 1829-1832. doi: 10.7498/aps.50.1829 [15] 刘金远, 宫野, 王晓刚, 马腾才, 吕文彦. 等离子体放电柱磁螺旋不稳定性的线性理论. 物理学报, 2000, 49(3): 502-507. doi: 10.7498/aps.49.502 [16] 叶文华, 张维岩, 贺贤土. 烧蚀瑞利-泰勒不稳定性线性增长率的预热致稳公式. 物理学报, 2000, 49(4): 762-767. doi: 10.7498/aps.49.762 [17] 张鹏云, 宫野, 李国炳. 轴向磁场中辐射对电弧的螺旋不稳定性的影响. 物理学报, 1997, 46(8): 1525-1534. doi: 10.7498/aps.46.1525 [18] 刘金远, 宫野, 李国炳, 马腾才, 张林. 轴向磁场中线性热势模型电弧的螺旋不稳定性. 物理学报, 1996, 45(4): 608-618. doi: 10.7498/aps.45.608 [19] 王昌标. 自由电子激光中平衡态螺旋轨道的稳定性问题. 物理学报, 1992, 41(7): 1092-1096. doi: 10.7498/aps.41.1092 [20] 胡海昌. 开口截面弹性薄壁杆件的稳定性. 物理学报, 1956, 12(2): 152-169. doi: 10.7498/aps.12.152
• 文章访问数:  7689
• PDF下载量:  840
• 被引次数: 0
##### 出版历程
• 收稿日期:  2010-02-09
• 修回日期:  2010-06-08
• 刊出日期:  2010-06-05

/