x

## 留言板

 引用本文:
 Citation:

## Algorithm for calculating the Lyapunov exponents of switching system and its application

Li Qing-Du, Guo Jian-Li
PDF
• #### 摘要

Lyapunov指数是判定系统非线性行为的重要工具，然而目前的大多算法并不适用于切换系统. 在传统Jacobi法的基础上，提出了一种新算法，可以直接计算得到n维切换系统的n个Lyapunov 指数. 首先，根据切换面处相邻轨线的动态变化规律，从相空间几何推导出切换面处轨线变化的Jacobi 矩阵；然后，对该矩阵进行QR分解，从而利用R的对角线元素实现Lyapunov指数的切换补偿；最后，将新算法应用到平面双螺旋混沌系统、Glass网络和航天器供电系统三个实例中，并将计算结果与Poincaré映射方法的计算结果进行比较，对新算法的有效性进行验证.

#### Abstract

Lyapunov characteristic exponent is significant for analyzing nonlinear dynamics. However, most algorithms are not applicable for the switching system. According to the traditional Jacobi method, in this paper we propose a new algorithm which can be used to compute n Lyapunov exponents for an n-dimensional switching system. We first study the geometric dynamics of two adjacent trajectories near the switching manifold, and obtain a compensation Jacobi matrix caused by switching. Then with QR-decomposition of this matrix, we compensate for the diagonal vector of R to realize the Lyapunov exponent expansion. Finally, we use the algorithm in a two-dimensional double-scrolls system, the Glass network and a spacecraft power system, and show its correctness and effectiveness by comparing the results with the Poincaré-map method.

#### 作者及机构信息

###### 1. 重庆邮电大学工业物联网与网络化控制教育部重点实验室, 重庆 400065
• 基金项目: 国家自然科学基金（批准号：61104150）、重庆市杰出青年科学基金（批准号：cstc2013jcyjjq40001）和重庆市教育委员会科学技术研究计划（批准号：KJ130517）资助的课题.

#### Authors and contacts

###### 1. Key Laboratory of Industrial Internet of Things and Networked Control of Ministry of Education, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China
• Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 61104150), the Science Fund for Distinguished Young Scholars of Chongqing, China (Grant No. cstc2013jcyjjq40001), and the Science and Technology Research Program of Education Committee of Chongqing, China (Grant No. KJ130517).

#### 参考文献

 [1] Yang X S 2009 Int. J. Bifurcat. Chaos 19 1127 [2] Li Q D, Yang X S 2010 Int. J. Bifurcat. Chaos 20 467 [3] Li Q D, Tang S 2013 Acta Phys. Sin. 62 020510 (in Chinese) [李清都, 唐宋 2013 物理学报 62 020510 [4] Kaczyński T, Mischaikow K M, Mrozek M 2004 Comput. Homol. 157 100 [5] Neumann N, Sattel T, Wallaschek J 2007 J. Vib. Control 13 1393 [6] Yang F Y, Hu M, Yao S P 2013 Acta Phys. Sin. 62 100501 (in Chinese) [杨芳艳, 胡明, 姚尚平 2013 物理学报 62 100501] [7] Li Q D, Tan Y L, Yang F Y 2011 Acta Phys. Sin. 60 030206 (in Chinese) [李清都, 谭宇玲, 杨芳艳 2011 物理学报 60 030206] [8] Li Q D, Zhou H W, Yang X S 2012 Acta Phys. Sin. 61 040503 (in Chinese) [李清都, 周红伟, 杨晓松 2012 物理学报 61 040503] [9] Zhang H G, Fu J, Ma T D, Tong S C 2009 Chin. Phys. B 18 969 [10] Wu L F, Guan Y, Liu Y 2013 Acta Phys. Sin. 62 110510 (in Chinese) [吴立峰, 关永, 刘勇 2013 物理学报 62 110510] [11] Ji Y, Bi Q S 2010 Acta Phys. Sin. 59 7612 (in Chinese) [季颖, 毕勤胜 2010 物理学报 59 7612 ] [12] Zhang X F, Chen X K, Bi Q S 2013 Acta Phys. Sin. 62 010502 (in Chinese) [张晓芳, 陈小可,毕勤胜 2013 物理学报 62 010502 ] [13] Gao C, Bi Q S, Zhang Z D 2013 Acta Phys. Sin. 62 020504 (in Chinese) [高超, 毕勤胜, 张正娣 2013 物理学报 62 020504 ] [14] Lin C S, Xiong X, Shi L, Liu Y Z, Jiang C S 2007 Acta Phys. Sin. 56 3107 [林长圣, 熊星, 石磊, 刘扬正, 姜长生 2007 物理学报 56 3107] [15] Li S R, Jian J G, Geng Y F 2009 J. Henan Normal Univ. (Nat. Sci. Ed.) 5 14 (in Chinese) [李圣荣, 蹇继贵, 耿艳峰 2009 河南师范大学学报 (自然学科版) 5 14] [16] Yu Y G, Li H X, Duan J 2009 Chaos Solitons Fract. 41 457 [17] Chen W H, Guan Z H, Lu X M 2008 Asian J. Control 7 135 [18] Wolf A, Swift J B, Swinney H L, Vastano J A 1985 Physica D 16 285 [19] Galvanetto U 2000 Comput. Phys. Commun. 131 1 [20] Stefański A, Kapitaniak T 2003 Chaos Solitons Fract. 15 233 [21] Stefański A 2000 Chaos Solitons Fract. 11 2443 [22] Stefański A, Kapitaniak T 2000 Discrete Dyn. Nat. Soc. 4 207 [23] de Souza S L T, Caldas I L 2004 Chaos Solitons Fract. 19 569 [24] Li Q D, Yang X S 2005 Acta Electron. Sin. 33 1299 (in Chinese) [李清都, 杨晓松 2005 电子学报 33 1299] [25] Kappler K, Edwards R, Glass L 2003 Signal Process. 83 789 [26] Li Q D, Yang X S 2006 Chaos 16 033101 [27] Lim Y H, Hamill D C 1999 Electron. Lett. 35 510 [28] Li Q, Yang X S, Chen S 2011 Int. J. Bifurcat. Chaos 21 1719

#### 施引文献

•  [1] Yang X S 2009 Int. J. Bifurcat. Chaos 19 1127 [2] Li Q D, Yang X S 2010 Int. J. Bifurcat. Chaos 20 467 [3] Li Q D, Tang S 2013 Acta Phys. Sin. 62 020510 (in Chinese) [李清都, 唐宋 2013 物理学报 62 020510 [4] Kaczyński T, Mischaikow K M, Mrozek M 2004 Comput. Homol. 157 100 [5] Neumann N, Sattel T, Wallaschek J 2007 J. Vib. Control 13 1393 [6] Yang F Y, Hu M, Yao S P 2013 Acta Phys. Sin. 62 100501 (in Chinese) [杨芳艳, 胡明, 姚尚平 2013 物理学报 62 100501] [7] Li Q D, Tan Y L, Yang F Y 2011 Acta Phys. Sin. 60 030206 (in Chinese) [李清都, 谭宇玲, 杨芳艳 2011 物理学报 60 030206] [8] Li Q D, Zhou H W, Yang X S 2012 Acta Phys. Sin. 61 040503 (in Chinese) [李清都, 周红伟, 杨晓松 2012 物理学报 61 040503] [9] Zhang H G, Fu J, Ma T D, Tong S C 2009 Chin. Phys. B 18 969 [10] Wu L F, Guan Y, Liu Y 2013 Acta Phys. Sin. 62 110510 (in Chinese) [吴立峰, 关永, 刘勇 2013 物理学报 62 110510] [11] Ji Y, Bi Q S 2010 Acta Phys. Sin. 59 7612 (in Chinese) [季颖, 毕勤胜 2010 物理学报 59 7612 ] [12] Zhang X F, Chen X K, Bi Q S 2013 Acta Phys. Sin. 62 010502 (in Chinese) [张晓芳, 陈小可,毕勤胜 2013 物理学报 62 010502 ] [13] Gao C, Bi Q S, Zhang Z D 2013 Acta Phys. Sin. 62 020504 (in Chinese) [高超, 毕勤胜, 张正娣 2013 物理学报 62 020504 ] [14] Lin C S, Xiong X, Shi L, Liu Y Z, Jiang C S 2007 Acta Phys. Sin. 56 3107 [林长圣, 熊星, 石磊, 刘扬正, 姜长生 2007 物理学报 56 3107] [15] Li S R, Jian J G, Geng Y F 2009 J. Henan Normal Univ. (Nat. Sci. Ed.) 5 14 (in Chinese) [李圣荣, 蹇继贵, 耿艳峰 2009 河南师范大学学报 (自然学科版) 5 14] [16] Yu Y G, Li H X, Duan J 2009 Chaos Solitons Fract. 41 457 [17] Chen W H, Guan Z H, Lu X M 2008 Asian J. Control 7 135 [18] Wolf A, Swift J B, Swinney H L, Vastano J A 1985 Physica D 16 285 [19] Galvanetto U 2000 Comput. Phys. Commun. 131 1 [20] Stefański A, Kapitaniak T 2003 Chaos Solitons Fract. 15 233 [21] Stefański A 2000 Chaos Solitons Fract. 11 2443 [22] Stefański A, Kapitaniak T 2000 Discrete Dyn. Nat. Soc. 4 207 [23] de Souza S L T, Caldas I L 2004 Chaos Solitons Fract. 19 569 [24] Li Q D, Yang X S 2005 Acta Electron. Sin. 33 1299 (in Chinese) [李清都, 杨晓松 2005 电子学报 33 1299] [25] Kappler K, Edwards R, Glass L 2003 Signal Process. 83 789 [26] Li Q D, Yang X S 2006 Chaos 16 033101 [27] Lim Y H, Hamill D C 1999 Electron. Lett. 35 510 [28] Li Q, Yang X S, Chen S 2011 Int. J. Bifurcat. Chaos 21 1719
•  [1] 马召召, 杨庆超, 周瑞平. 一种基于摄动理论的不连续系统Lyapunov指数算法. 物理学报, 2021, 70(24): 240501. doi: 10.7498/aps.70.20210492 [2] 王月娥, 吴保卫, 汪锐. 切换系统的异步镇定: 相邻模型依赖平均驻留时间. 物理学报, 2015, 64(5): 050201. doi: 10.7498/aps.64.050201 [3] 陈章耀, 雪增红, 张春, 季颖, 毕勤胜. 周期切换下Rayleigh振子的振荡行为及机理. 物理学报, 2014, 63(1): 010504. doi: 10.7498/aps.63.010504 [4] 吴浩, 侯威, 王文祥, 颜鹏程. 试用Lyapunov指数探讨气候突变及其前兆信号. 物理学报, 2013, 62(12): 129204. doi: 10.7498/aps.62.129204 [5] 周小勇, 乔晓华, 朱雷, 刘素芬. 一类关联混沌系统及其切换与内同步机理研究. 物理学报, 2013, 62(19): 190504. doi: 10.7498/aps.62.190504 [6] 吴立锋, 关永, 刘勇. 分段线性电路切换系统的复杂行为及非光滑分岔机理. 物理学报, 2013, 62(11): 110510. doi: 10.7498/aps.62.110510 [7] 臧鸿雁, 范修斌, 闵乐泉, 韩丹丹. S-盒的Lyapunov指数研究. 物理学报, 2012, 61(20): 200508. doi: 10.7498/aps.61.200508 [8] 高在瑞, 沈艳霞, 纪志成. 离散时间切换广义系统的一致有限时间稳定性. 物理学报, 2012, 61(12): 120203. doi: 10.7498/aps.61.120203 [9] 刘扬正, 林长圣, 李心朝. 切换统一混沌系统族. 物理学报, 2011, 60(4): 040505. doi: 10.7498/aps.60.040505 [10] 于思瑶, 郭树旭, 郜峰利. 半导体激光器低频噪声的Lyapunov指数计算和混沌状态判定. 物理学报, 2009, 58(8): 5214-5217. doi: 10.7498/aps.58.5214 [11] 杨永锋, 吴亚锋, 任兴民, 秦卫阳, 支希哲, 裘焱. 基于最大Lyapunov指数预测的EMD端点延拓. 物理学报, 2009, 58(6): 3742-3746. doi: 10.7498/aps.58.3742 [12] 何四华, 杨绍清, 石爱国, 李天伟. 基于图像区域Lyapunov指数的海面舰船目标检测. 物理学报, 2009, 58(2): 794-801. doi: 10.7498/aps.58.794 [13] 张勇, 关伟. 基于最大Lyapunov指数的多变量混沌时间序列预测. 物理学报, 2009, 58(2): 756-763. doi: 10.7498/aps.58.756 [14] 刘会师, 忻向军, 尹霄丽, 余重秀, 张琦. 切比雪夫光混沌发生器的优化. 物理学报, 2009, 58(4): 2231-2234. doi: 10.7498/aps.58.2231 [15] 刘扬正, 姜长生. 关联可切换超混沌系统的构建与特性分析. 物理学报, 2009, 58(2): 771-778. doi: 10.7498/aps.58.771 [16] 张晓丹, 刘翔, 赵品栋. 一类延迟混沌系统沿主轴方向上Lyapunov指数的计算方法. 物理学报, 2009, 58(7): 4415-4420. doi: 10.7498/aps.58.4415 [17] 刘扬正, 姜长生, 林长圣, 熊 星, 石 磊. 一类切换混沌系统的实现. 物理学报, 2007, 56(6): 3107-3112. doi: 10.7498/aps.56.3107 [18] 刘扬正, 姜长生, 林长圣, 孙 晗. 四维切换超混沌系统. 物理学报, 2007, 56(9): 5131-5135. doi: 10.7498/aps.56.5131 [19] 马 军, 廖高华, 莫晓华, 李维学, 张平伟. 超混沌系统的间歇同步与控制. 物理学报, 2005, 54(12): 5585-5590. doi: 10.7498/aps.54.5585 [20] 盛利元, 孙克辉, 李传兵. 基于切延迟的椭圆反射腔离散混沌系统及其性能研究. 物理学报, 2004, 53(9): 2871-2876. doi: 10.7498/aps.53.2871
• 文章访问数:  6199
• PDF下载量:  878
• 被引次数: 0
##### 出版历程
• 收稿日期:  2013-12-09
• 修回日期:  2014-01-09
• 刊出日期:  2014-05-05

/