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## Homoclinic bifurcation of the strongly nonlinear oscillation system by the normal form method

Zhang Qi-Chang, Wang Wei, He Xue-Jun
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• #### 摘要

以改进的规范形理论为基础，采用强非线性振动问题的分析方法，拓展了原有弱非线性振动系统同宿分岔判据的适用范围.首先在复规范形求解过程中引入待定固有频率，计算了一类单自由度强非线性振动系统的周期解.然后分别依据系统的待定固有频率趋于零和周期轨道趋近于鞍点两条途径获得了强非线性振动条件下系统同宿分岔的解析判据.最后通过与原有解析结果和数值结果相比较验证了本文方法的有效性.

#### Abstract

The available range of the homoclinic bifurcation criterions are extended from the weakly nonlinear oscillation system to the strongly nonlinear oscillation system. It combines the analysis method of the strongly nonlinear oscillation system with the former criterions based on the improved complex normal form method. The periodic solution of this kind of system with a single degree of freedom is obtained by introducing the fundamental frequency under determination into the complex normal form computation. Then two different analytical criteria to predict the critical values of homoclinic bifurcation are adapted to the new system. It includes the undertermined fundamental frequency approaching zero and the collision of the periodic orbit with the saddle point. The results derived from different methods are compared in the specific systems with numerical simulation to testify the correctness and efficiency of the theoretical results.

#### 作者及机构信息

###### 1. 天津大学机械学院力学系，天津 300072
• 基金项目: 国家自然科学基金(批准号：10372068)和高等学校博士学科点专项科研基金(批准号：20060056005)资助的课题.

#### 施引文献

•  [1] 张利娟, 张华彪, 李欣业. 基础水平运动的弹簧摆的周期解与稳定性. 物理学报, 2018, 67(24): 244302. doi: 10.7498/aps.67.20181676 [2] 李晓静, 严静, 陈绚青, 曹毅. 具有一般非线性弹性力和广义阻尼力的相对转动非线性系统的周期解问题. 物理学报, 2014, 63(20): 200202. doi: 10.7498/aps.63.200202 [3] 刘彬, 赵红旭, 侯东晓, 刘浩然. 一类含时变间隙的强非线性相对转动系统分岔和混沌. 物理学报, 2014, 63(7): 074501. doi: 10.7498/aps.63.074501 [4] 姜海波, 李涛, 曾小亮, 张丽萍. 周期脉冲作用下Logistic映射的复杂动力学行为及其分岔分析. 物理学报, 2013, 62(12): 120508. doi: 10.7498/aps.62.120508 [5] 陈丽娟, 鲁世平. 零维气候系统非线性模式的周期解问题. 物理学报, 2013, 62(20): 200201. doi: 10.7498/aps.62.200201 [6] 李晓静, 陈绚青, 严静. 一类具时滞的厄尔尼诺-南方涛动充电-放电振子模型的Hopf分岔与周期解问题. 物理学报, 2013, 62(16): 160202. doi: 10.7498/aps.62.160202 [7] 李晓静, 陈绚青, 严静. 具时变刚度的相对转动非线性动力系统的周期解问题 . 物理学报, 2013, 62(9): 090202. doi: 10.7498/aps.62.090202 [8] 李晓静, 陈绚青. 具有一般广义阻尼力和强迫周期力的相对转动非线性动力学模型的周期解. 物理学报, 2012, 61(21): 210201. doi: 10.7498/aps.61.210201 [9] 张立森, 蔡理, 冯朝文. 约瑟夫森结中周期解及其稳定性的解析分析. 物理学报, 2011, 60(3): 030308. doi: 10.7498/aps.60.030308 [10] 吴勇旗. 一个（3+1）维孤子方程的周期解. 物理学报, 2010, 59(1): 54-59. doi: 10.7498/aps.59.54 [11] 王炜, 张琪昌, 王雪娇. 待定固有频率法在分析系统混沌临界值问题中的应用. 物理学报, 2009, 58(8): 5162-5168. doi: 10.7498/aps.58.5162 [12] 吴勇旗. (2+1)维Boussinesq方程的新的周期解. 物理学报, 2008, 57(9): 5390-5394. doi: 10.7498/aps.57.5390 [13] 吴国将, 张 苗, 史良马, 张文亮, 韩家骅. 扩展的Jacobi椭圆函数展开法和Zakharov方程组的新的精确周期解. 物理学报, 2007, 56(9): 5054-5059. doi: 10.7498/aps.56.5054 [14] 石玉仁, 许新建, 吴枝喜, 汪映海, 杨红娟, 段文山, 吕克璞. 同伦分析法在求解非线性演化方程中的应用. 物理学报, 2006, 55(4): 1555-1560. doi: 10.7498/aps.55.1555 [15] 刘成仕. 试探方程法及其在非线性发展方程中的应用. 物理学报, 2005, 54(6): 2505-2509. doi: 10.7498/aps.54.2505 [16] 汪 萍, 戴新刚. 外强迫作用下正压大气非线性特征数值模拟. 物理学报, 2005, 54(10): 4961-4970. doi: 10.7498/aps.54.4961 [17] 付遵涛, 刘式适, 刘式达. 非线性波方程求解的新方法. 物理学报, 2004, 53(2): 343-348. doi: 10.7498/aps.53.343 [18] 李画眉. (3+1)维Nizhnik-Novikov-Veselov方程的孤子解和周期解. 物理学报, 2002, 51(3): 465-467. doi: 10.7498/aps.51.465 [19] 刘式适, 付遵涛, 刘式达, 赵强. 一类非线性方程的新周期解. 物理学报, 2002, 51(1): 10-14. doi: 10.7498/aps.51.10 [20] 刘式适, 傅遵涛, 刘式达, 赵强. Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用. 物理学报, 2001, 50(11): 2068-2073. doi: 10.7498/aps.50.2068
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##### 出版历程
• 收稿日期:  2007-11-15
• 修回日期:  2007-12-31
• 刊出日期:  2008-09-20

## 研究强非线性振动系统同宿分岔问题的规范形方法

• 1. 天津大学机械学院力学系，天津 300072
基金项目: 国家自然科学基金(批准号：10372068)和高等学校博士学科点专项科研基金(批准号：20060056005)资助的课题.

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