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含记忆阻尼函数的周期势系统随机共振

许鹏飞 公徐路 李毅伟 靳艳飞

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含记忆阻尼函数的周期势系统随机共振

许鹏飞, 公徐路, 李毅伟, 靳艳飞

Stochastic resonance in periodic potential system with memory damping function

Xu Peng-Fei, Gong Xu-Lu, Li Yi-Wei, Jin Yan-Fei
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  • 研究了外部周期信号和内部噪声共同激励下, 含记忆阻尼函数的周期势系统的随机共振. 针对具有多稳态特征的周期势系统, 推导出适用于一般多稳态模型的系统响应振幅和功率谱放大因子. 研究结果表明, 功率谱放大因子随温度的变化曲线出现单峰, 说明含记忆阻尼函数的周期势系统存在随机共振现象, 并且系统的记忆特性和稳态点数量对共振行为有着显著影响. 此外, 利用随机能量法进一步分析了系统的随机共振现象, 发现共振效应随着记忆时间的增加先减弱再增强. 在适当的温度条件下, 存在最优记忆时间可以最大化外部周期力对系统所做的功.
    The stochastic dynamical system with memory effects describes a non-Markovian process that can happen in some complex systems or disordered media, such as viscoelastic media and living cell. Its velocity yields the memory effects because of the nonlocality in time, giving rise to a generalized Langevin equation for describing the dynamics of the system. In particular, the friction term in generalized Langevin equation is given by the time-dependent memory kernel. Besides, the research of stochastic resonance in periodic potential models emerges as an important subject because such systems have potential applications in diverse areas of natural sciences. However, the analysis of the influence of memory on stochastic resonance has not been reported so far in periodic potential model. In this paper, the phenomenon of stochastic resonance is investigated in the periodic potential system with friction memory kernel driven by an external periodic signal and internal noise. The generalized Langevin equation is converted into the three-dimensional Markovian Langevin equations. Analytical expression for the spectral amplification, together with the amplitude of the response, is derived in the periodic potential with an arbitrary number of simultaneously stable steady states, which can be applied to the general multi-stable dynamical model. The obtained results indicate that the curve of spectral amplification versus temperature exhibits a pronounced peak. Obviously, this typical phenomenon is a signature of stochastic resonance. The stochastic resonance effect is enhanced with the increase of the memory time or the number of stable steady states. For a certain range of the particle motion, the existence of an optimal number of stable steady states for which the output of the system can be maximized is established. Moreover, the phenomenon of stochastic resonance is studied according to the stochastic energetics. The average input energy per period is calculated over all the trajectories for quantifying stochastic resonance. It is found that the stochastic resonance effect is first weakened and then enhanced with increasing memory time. Specifically, under appropriate temperature conditions, there is an optimal memory time, which can maximize the work done by the external periodic force on the system.
      通信作者: 靳艳飞, jinyf@bit.edu.cn
    • 基金项目: 山西省优秀博士来晋工作奖励资金科研项目(批准号: SXBYKY2021081)、山西农业大学博士科研启动项目(批准号: 2021BQ12)、山西农业大学青年科技创新基金(批准号: 2019019, 2020QC04)和北京理工大学研究生教研教改项目资助的课题.
      Corresponding author: Jin Yan-Fei, jinyf@bit.edu.cn
    • Funds: Project supported by the Excellent Talents Coming to Shanxi Reward Scientific Research Project, China (Grant No. SXBYKY2021081), the Starting Foundation of Scientific Research for the Doctor of Shanxi Agricultural University, China (Grant No. 2021BQ12), the Science and Technology Innovation Foundation for Young Scientists of Shanxi Agricultural University, China (Grant Nos. 2019019, 2020QC04), and the Teaching Reform Project for Postgraduate of Beijing Institute of Technology, China.
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  • 图 1  (a)周期势函数; (b)离散的多稳态过程

    Fig. 1.  (a) Periodic potential; (b) discrete multi-stable process.

    图 2  记忆时间$ {\tau _c} $对随机共振的影响 (a) 功率谱放大因子$ {\eta _1} $随温度T的变化曲线($ n = 6 $); (b)第i个稳态点对应的响应振幅$ {r_i} $的变化曲线. 其他参数取值为$\varGamma = 4$, ${\gamma _0} = $$ 1$, $ \omega = 0.001 $$ {m_0} = 1 $

    Fig. 2.  The effects of memory time $ {\tau _c} $ on stochastic resonance: (a) Spectral amplification $ {\eta _1} $versus temperature T; (b) amplitude of the response $ {r_i} $ versus i. Other parameter values are chosen as $\varGamma = 4$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.001 $ and $ {m_0} = 1 $.

    图 3  功率谱密度(PSD)作为频率的函数曲线 (a)不同的温度T$ {\tau _c} = 1 $; (b)不同的记忆时间$ {\tau _c} $$ T = 0.75 $. 其他参数取值为$\varGamma = 4$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ {\varepsilon _0} = 0.3 $, $ \omega = 0.001 $$ {m_0} = 1 $

    Fig. 3.  Power spectrum density (PSD) of the system as a function of frequency with different values of (a) temperature T ($ {\tau _c} = 1 $); (b) memory time $ {\tau _c} $ ($ T = 0.75 $). Other parameter values are chosen as $\varGamma = 4$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ {\varepsilon _0} = 0.3 $, $ \omega = 0.001 $ and $ {m_0} = 1 $.

    图 4  稳态点个数n对随机共振的影响 (a)功率谱放大因子$ {\eta _1} $随温度T的变化曲线; (b)响应振幅$ {r_1} $T的变化曲线; (c)响应振幅$ {r_2} $T的变化曲线. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 3 $, $\varGamma = 5$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.001 $$ {m_0} = 1 $

    Fig. 4.  The effects of the number of stable steady states n on stochastic resonance: (a) Spectral amplification $ {\eta _1} $ versus temperature T; (b) amplitude of the response $ {r_1} $ versus T; (c) amplitude of the response $ {r_2} $ versus T. Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 3 $, $\varGamma = 5$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.001 $ and $ {m_0} = 1 $.

    图 5  功率谱放大因子$ {\eta _1} $作为区间内稳态点个数n的函数曲线 (a)不同的区间长度L$\varGamma = 3$; (b)不同的记忆强度Γ和固定的长度$ L = 10 $. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 4 $, ${\gamma _0} = $$ 1$, $ \omega = 0.002 $$ T = 0.8 $

    Fig. 5.  Spectral amplification $ {\eta _1} $ versus the number of stable steady states n with different values of (a) interval length L ($\varGamma = 3$) and (b) memory strength Γ ($ L = 10 $). Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 4 $, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.002 $ and $ T = 0.8 $.

    图 6  平均输入能量$ \overline W $作为初始位置$ x(0) $的函数随不同温度T的变化情况, 黑色线代表系统的输入信号$ {\varepsilon _0}\cos (\omega t) $ (a) T = 0.001; (b) T = 0.003; (c) T = 0.009; (d) T = 0.018. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $, $\varGamma = 0.02$$ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right.} 4} $

    Fig. 6.  Average input energy $ \overline W $ averaged over an entire trajectory with initial position $ x(0) $ for different values of temperature T, where the black line denotes the input signal $ {\varepsilon _0}\cos (\omega t) $: (a) T = 0.001; (b) T = 0.003; (c) T = 0.009; (d) T = 0.018. Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $, $\varGamma = 0.02$ and $ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $.

    图 7  记忆强度Γ对输入能量的影响 (a)平均输入能量$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $随温度T的变化曲线; (b)相位差$\overline \varPhi$T的变化曲线. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $$ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $

    Fig. 7.  The effects of memory strength Γ on input energy: (a) Average input energy $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $ versus temperature T; (b) phase lag $\overline \varPhi$ versus T. Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $ and $ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $.

    图 8  记忆时间$ {\tau _c} $对输入能量的影响 (a)$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $T的变化曲线; (b)$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $$ {\tau _c} $的变化曲线. 其他参数取值为$ \varGamma = 0.7 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $$ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $

    Fig. 8.  The effects of memory time $ {\tau _{\rm{c}}} $ on input energy: (a) $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $ versus T; (b) $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $ versus $ {\tau _c} $. Other parameter values are chosen as $\varGamma = 0.7$, $ {\gamma _0} = 0.12 $ and $ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $.

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    [18] 宁丽娟, 徐 伟. 光学双稳系统中的随机共振. 物理学报, 2007, 56(4): 1944-1947. doi: 10.7498/aps.56.1944
    [19] 靳艳飞, 徐 伟, 李 伟, 徐 猛. 具有周期信号调制噪声的线性模型的随机共振. 物理学报, 2005, 54(6): 2562-2567. doi: 10.7498/aps.54.2562
    [20] 冷永刚, 王太勇, 郭 焱, 汪文津, 胡世广. 级联双稳系统的随机共振特性. 物理学报, 2005, 54(3): 1118-1125. doi: 10.7498/aps.54.1118
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-09-17
  • 修回日期:  2021-12-22
  • 上网日期:  2022-01-26
  • 刊出日期:  2022-04-20

含记忆阻尼函数的周期势系统随机共振

  • 1. 山西农业大学数学系, 太谷 030801
  • 2. 山西农业大学软件学院, 太谷 030801
  • 3. 北京理工大学力学系, 北京 100081
  • 通信作者: 靳艳飞, jinyf@bit.edu.cn
    基金项目: 山西省优秀博士来晋工作奖励资金科研项目(批准号: SXBYKY2021081)、山西农业大学博士科研启动项目(批准号: 2021BQ12)、山西农业大学青年科技创新基金(批准号: 2019019, 2020QC04)和北京理工大学研究生教研教改项目资助的课题.

摘要: 研究了外部周期信号和内部噪声共同激励下, 含记忆阻尼函数的周期势系统的随机共振. 针对具有多稳态特征的周期势系统, 推导出适用于一般多稳态模型的系统响应振幅和功率谱放大因子. 研究结果表明, 功率谱放大因子随温度的变化曲线出现单峰, 说明含记忆阻尼函数的周期势系统存在随机共振现象, 并且系统的记忆特性和稳态点数量对共振行为有着显著影响. 此外, 利用随机能量法进一步分析了系统的随机共振现象, 发现共振效应随着记忆时间的增加先减弱再增强. 在适当的温度条件下, 存在最优记忆时间可以最大化外部周期力对系统所做的功.

English Abstract

    • 随机共振的概念由Benzi等[1]在研究古气象冰川期问题时提出, 其理论发展及应用已经在不同科学系统中取得显著成果[2-4], 但较少涉及含记忆阻尼的动力系统. 该系统描述了一类处于无序介质或复杂环境下的non-Markovian过程[5-8], 例如处于生物细胞、湍流、生长表面、渗透媒介、黏性材料等背景中的粒子就展示出偏离Brown运动的反常扩散行为, 它的运动速度所产生的记忆效应归因于空间和时间上的非局域特性. 针对这类含记忆效应的随机系统, 广义Langevin方程(generalized Langevin equation, GLE)是研究其动力学行为的主要手段之一[9-14]. 特别地, GLE中的阻尼项取决于随时间变化的记忆核函数, 其中记忆核的类型主要包括了幂函数型[9]、不同形式的指数函数型[10-12]以及Dirac delta函数与指数函数的混合型[13,14]等. 在随机模型中, 外部噪声主要源于系统所处的环境或实验内的噪声发生器, 而GLE中的内部噪声通过涨落耗散关系依赖于系统的记忆阻尼核函数[15], 即内部噪声和耗散产生于同一随机源, 从而使系统处于平衡状态. 在GLE刻画的动力模型中, 噪声诱导行为以及记忆性对动力学现象的影响已经在不同学科领域内受到研究者们的关注, 例如反常扩散[9-11]、信息熵[16]、平均首次穿越时间[17]、随机共振[18-22]等. 其中, 在含不同记忆阻尼函数的线性系统中, 文献[18-20]基于GLE分别详细讨论了时滞、固有频率涨落噪声及Mittag-Leffler噪声作用下的随机共振现象. 在携有指数型记忆核的双稳态系统中, Hasegawa[21]和Srokowski[22]均通过GLE计算了系统的功率谱放大因子, 并分析了不同条件下记忆效应对随机共振的影响. 在非对称三稳态系统中, 研究表明记忆时间抑制相干共振, 却增强随机共振[13]. 由于广义Langevin系统存在着显著的non-Markovian 性质, 故导致它的动力学特性复杂多变, 分析困难. 然而, 在GLE描述的周期势系统中, 尚未出现关于随机共振现象的研究, 尤其记忆效应对共振行为的影响.

      另一方面, 具有多稳态特征的周期势模型已在物理、化学、生物、工程等领域内展示出了广泛的应用, 如Josephson隧道结[23]和分子马达[24]等. 周期势系统中噪声诱导动力学的研究也呈现出丰硕的成果, 例如: 噪声诱导的粒子输运[25]、棘轮效应[26]、稳定性[27]、相干共振[28]等. 此外, Saikia[29]在二阶欠阻尼的周期势动力系统中引入随机能量法作为衡量随机共振的特征指标, 发现随机共振出现在驱动信号的高频区域内, 且两个动力学状态的稳定性与随机共振效应依赖于系统的阻尼参数和信号幅值. Reenbohn等[30]研究了欠阻尼倾斜周期势中的随机共振, 并基于两个具有不同振幅和相位的动力学状态解释了共振行为的发生. Nicolis[3]将随机共振理论拓展至过阻尼多稳态模型中, 解释了系统在初始状态与最终状态的跃迁过程中可以同时存在任意数量的中间稳定状态, 发现适当数量的稳定状态可使周期势系统响应最大化. 在高斯白噪声和输入信号共同作用的周期势模型中, 通过矩方法[31]和仿真实验[32]详细分析了随机共振现象. 周期势系统的随机共振还在多种形式的噪声激励下得到研究, 例如多值噪声[28]、Lévy噪声[33]、高斯色噪声[34]等. 但上述研究都是依据经典的Langevin方程进行, 且多稳态特征导致理论分析尤其缺乏, 主要局限在数值和实验方面的研究.

      本文研究了外部周期信号驱动下含记忆阻尼函数的周期势系统的随机共振. 首先介绍了GLE描述的含记忆阻尼函数的二阶动力学模型. 然后, 在多稳态情形下, 率先推导了系统功率谱放大因子的解析表达式, 并进一步计算了系统的输入能量. 最后, 从这两个角度研究了周期势模型的随机共振现象, 详细分析了记忆效应和多稳态特征对共振行为影响.

    • 本文考虑的模型描述了单位质量的粒子在周期势$ U(x) $中的运动, 其中系统含有依赖于时间变化的记忆阻尼函数, 且受到内部噪声和外部周期信号的共同作用. 该数学模型通过广义Langevin方程表示为如下形式[11]:

      $ \ddot x(t) + \int_0^t {\dot x(t')\gamma (t - t'){\rm{d}}t'} + \frac{{{\rm{d}}U(x)}}{{{\rm{d}}x}} = \zeta (t) + {\varepsilon _0}\cos (\omega t), $

      其中$ x(t) $代表粒子运动的位移; 参数$ {\varepsilon _0} $ω分别表示外部周期信号的振幅和频率. 特别地, 内部噪声$ \zeta (t) $的均值为零, 其自相关函数与系统的记忆阻尼核$ \gamma (t) $之间满足涨落耗散理论[15], 即

      $ \left\langle {\zeta (t)\zeta (t')} \right\rangle = {k_{\rm{B}}}T\gamma \left( {\left| {t - t'} \right|} \right), $

      这里kB是Boltzmann常数, T是环境的绝对温度. 记忆核函数$ \gamma (t) $是由一个Dirac delta函数和一个含记忆时间$ {\tau _c} $的指数型函数构成[13,14]:

      $ \gamma (t) = 2{\gamma _0}\delta (t) + \frac{\varGamma }{{{\tau _c}}}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _c}}}} \right). $

      从记忆核函数方程(3)中容易发现方程(2)中的内部噪声$ \zeta (t) $可看作两个相互独立的噪声项之和, 即Delta关联的高斯白噪声和指数关联的色噪声. 因此, 系统(1)式具有短时间的Markovian特征和相对长时间的non-Markovian特征, 其中记忆效应由方程(3)中随时间演化而指数衰减的函数项来刻画, 这里参数Γ代表系统的记忆强度. 含此类记忆核的广义Langevin方程广泛应用于研究复杂环境下非线性系统的物理现象, 典型案例包括在具有均匀静磁场的平面上, 受双谐方式约束的带电粒子的轨道磁矩[11]; 过阻尼双稳态模型中的随机共振现象[35]; 带电粒子在黑体辐射中的弹道扩散行为[36]. 当记忆性不存在时($ \varGamma = 0 $), 系统(1)式退化成了一个传统的高斯白噪声激励的二阶动力系统模型.

      针对系统(1)式引入新变量$ y(t) $$ z(t) $进行变换, 则原系统等价地描述为具有Markovian特性的Langevin方程组:

      $ \left\{ \begin{aligned} \dot x(t) =\;& y(t), \\ \dot y(t) = \;&- {\gamma _0}y(t) - {{\varGamma [x(t) - z(t)]} {\left/ {\vphantom {{\varGamma [x(t) - z(t)]} {{\tau _c}}}} \right. } {{\tau _c}}}\\ &- \frac{{{\rm{d}}U(x)}}{{{\rm{d}}x}} + \sqrt {2T{\gamma _0}} {\zeta _1}(t) + {\varepsilon _0}\cos (\omega t), \\ \dot z(t) =\;& {{[x(t) - z(t)]} {\left/ {\vphantom {{[x(t) - z(t)]} {{\tau _c}}}} \right. } {{\tau _c}}} + \sqrt {{{2T} {\left/ {\vphantom {{2T} \varGamma }} \right. } \varGamma }} {\zeta _2}(t), \end{aligned} \right. $

      其中噪声项$ {\zeta _1}(t) $$ {\zeta _2}(t) $是两个无关联的高斯白噪声, 满足统计性质: $ \left\langle {{\zeta _i}(t)} \right\rangle = 0 $, $\left\langle {{\zeta _i}(t){\zeta _j}(t')} \right\rangle = $$ {\delta _{i, j}}(t - t')$$ (i, j = 1, 2) $. 特别地, 方程组(4)中的新变量$z(t)$具有如下形式:

      $ z(t) = \frac{1}{{{\tau _c}}}\int_0^t {x(t')\exp \left( { - \frac{{t - t'}}{{{\tau _c}}}} \right){\rm{d}}t'} + x(0)\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _c}}}} \right) + \sqrt {\frac{{2T}}{\varGamma }} \int_0^t {{\zeta _2}(t')\exp \left( { - \frac{{t - t'}}{{{\tau _c}}}} \right){\rm{d}}t'}. $

      $\rho(x, y, z, t)$表示方程(1)在t时刻处于状态$ (x, y, z) $的概率密度函数, 则获得其满足的Fokker-Planck方程:

      $ \begin{split} \frac{{\partial \rho (x,y,z,t)}}{{\partial t}} =\;& - \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {y\rho (x,y,z,t)} \right] - \frac{\partial }{{\partial y}}\left\{ \left[ - {\gamma _0}y - \frac{\varGamma }{{{\tau _c}}}(x - z) - \frac{{{\rm{d}}U(x)}}{{{\rm{d}}x}} + {\varepsilon _0}\cos (\omega t) \right]\rho (x,y,z,t) \right\} \\ &- \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ \frac{1}{{{\tau _c}}}(x - z)\rho (x,y,z,t) \right] + T {\gamma _0}\frac{{{\partial ^2}\rho (x,y,z,t)}}{{\partial {y^2}}} + \frac{T}{\varGamma }\frac{{{\partial ^2}\rho (x,y,z,t)}} {{\partial {z^2}}} . \end{split} $

      对于(6)式中不含外部周期信号的情形(ε0 = 0), 在细致平衡条件下, 获得平稳概率密度函数${\rho_{{\rm{st}}}}(x, y, z) $的解析表达式:

      $ \begin{split} &{\rho }_{\rm{st}}(x,y,z)\\ =\;&N{\rm{exp}}\left\{-\frac{1}{T}\left[\frac{1}{2}{y}^{2}+\frac{1}{2}\frac{\varGamma }{{\tau }_{c}}{(x-z)}^{2}+U(x)\right]\right\}, \end{split} $

      其中N表示全概率归一化的常数.

      当系统(1)式受外部周期信号$ {\varepsilon _0}\cos (\omega t) $作用时, 假定其振幅$ {\varepsilon _0} $充分小以致能够进行小参数展开计算, 且信号为阈下激励. 同时, 限制频率$ \omega \ll 1 $, 使得系统在一个信号周期内有足够长的时间达到局域平衡态, 即满足绝热驱动. 从而可获得Fokker-Planck方程(6)的准稳态解[37], 其中广义势函数结合方程(7)整理为如下形式:

      $ \tilde U(x,y,z) = \frac{1}{2}{y^2} + \frac{1}{2}\frac{\varGamma }{{{\tau _c}}}{(x - z)^2} + U(x) - {\varepsilon _0}x\cos (\omega t) . $

      本文考虑系统(1)为周期势系统, 即势函数$ U(x) = - \cos ({m_0}x) $, 从而确定性系统(4)存在多个稳定平衡点$ {s_n}({x_{{\rm{sn}}}}, 0, {x_{{\rm{sn}}}}) $和不稳定平衡点是$ {u_n}({x_{{\rm{un}}}}, 0, {x_{{\rm{un}}}}) $, 其中${x_{{\rm{sn}}}} = {{2 n{\text{π}}}/{{m_0}}}$, ${x_{{\rm{un}}}} = (2 n + 1){\text{π}} /{m_0}$, $ {m_0} $n均为正整数. 如图1(a)所示, 随着$ {m_0} $的变化, 势阱的宽度发生变化, 设置$ {m_0} $的值可改变给定位移区间内稳态点的个数. 图1(b)给出了离散状态下该周期势系统在n个稳定状态之间跃迁的示意图. 可见, 周期势系统在两端状态之间的噪声诱导跃迁过程中同时存在多个中间稳定状态, 有必要进一步研究稳态点数量、温度及记忆效应对系统输出响应的影响.

      图  1  (a)周期势函数; (b)离散的多稳态过程

      Figure 1.  (a) Periodic potential; (b) discrete multi-stable process.

    • 本节首先依据线性响应理论推导系统关于外部周期信号的响应振幅及功率谱放大因子的解析表达式; 再利用随机能量法进一步计算系统的输入能量; 然后, 从这两个方面分别验证周期势模型(1)式中随机共振现象的产生, 详细讨论记忆效应、温度及系统的多稳态特征对共振行为的影响.

    • 在绝热近似条件下[2], 系统在每个稳定状态的吸引域内达到局域平衡所需的时间远小于系统在不同吸引域之间整体平衡需要的时间, 即单个稳态点处的局域平衡时间可以忽略, 故连续系统(4)式可近似转化为一类离散的多稳态Markov过程. 如图1(b)所示, 系统在稳定状态si处的吸引域内的概率$ {\varphi _i} $可通过方程(6)中的概率密度函数表示为

      $ {\varphi _i}(t) = \int_{{x_{{u_{i - 1}}}}}^{{x_{{u_i}}}} {\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {\rho (x,y,z,t){\rm{d}}z} {\rm{d}}y} {\rm{d}}x} , $

      其满足概率交换的主方程:

      $ \left\{ {\begin{aligned} {{\dot \varphi }_1}(t) =\;& - {{\tilde \alpha }_{1,2}}{\varphi _1}(t) + {{\tilde \alpha }_{2,1}}{\varphi _2}(t), \\ {{\dot \varphi }_i}(t) = \;&{{\tilde \alpha }_{i - 1,i}}{\varphi _{i - 1}}(t) - ({{\tilde \alpha }_{i,i - 1}} + {{\tilde \alpha }_{i,i + 1}}){\varphi _i}(t) \\ &+ {{\tilde \alpha }_{i + 1,i}}{\varphi _{i + 1}}(t) ,~~ (2 \leqslant i \leqslant n - 1), \\ {{\dot \varphi }_n}(t) = \;&{{\tilde \alpha }_{n - 1,n}}{\varphi _{n - 1}}(t) - {{\tilde \alpha }_{n,n - 1}}{\varphi _n}(t), \end{aligned}} \right. $

      其中$ {\tilde \alpha _{i, i \pm 1}} $表示系统从稳定状态$ {s_i} $到相邻稳定状态$ {s_{i \pm 1}} $的概率跃迁速率, 借助方程(4)、方程(6)及广义势函数(8)可获得如下形式[37,38]:

      $ \begin{split} {\tilde \alpha _{i,i + 1}} =\;& \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\left| {\prod\limits_{v = 1}^3 {{\beta _v}({s_i})} } \right|} \sqrt {\frac{{{\lambda _1}({u_i})}}{{{\lambda _2}({u_i}){\lambda _3}({u_i})}}} \exp \left\{ {\frac{{\tilde U({s_i}) - \tilde U({u_i})}}{T}} \right\}, ~~1 \leqslant i \leqslant n - 1,\\ {\tilde \alpha _{i,i - 1}} =\;& \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\left| {\prod\limits_{v = 1}^3 {{\beta _v}({s_i})} } \right|} \sqrt {\frac{{{\lambda _1}({u_{i - 1}})}}{{{\lambda _2}({u_{i - 1}}){\lambda _3}({u_{i - 1}})}}} \exp \left\{ {\frac{{\tilde U({s_i}) - \tilde U({u_{i - 1}})}}{T}} \right\},~~ 2 \leqslant i \leqslant n, \end{split}$

      其中$ {\beta _v}({s_i}) $表示无噪声和信号激励的方程(4)在稳态状态$ {s_i}({{2 i{\text{π}}} {\left/{\vphantom {{2 i{\text{π}}} {{m_0}}}} \right.} {{m_0}}}, 0, {{2 i{\text{π}}} {\left/{\vphantom {{2 i{\text{π}}} {{m_0}}}} \right.} {{m_0}}}) $处的线性化矩阵的特征值; $ {\lambda _1}({u_i}) $$ {\lambda _j}({u_i}) $$ (j = 2, 3) $分别表示无噪声和信号激励的方程(4)在不稳定状态${u_i}({{(2 i + 1)\pi } /{{m_0}}}, $$ 0, {{(2 i + 1)\pi } / {{m_0}}})$处的线性化矩阵的正特征值和负特征值.

      根据线性响应理论[39], 在长时间极限下, 方程(9)的稳态解可分解为如下形式:

      $ {\varphi _i} = \varphi _i^{({\rm{s}})} + {\varepsilon _0} \cdot \delta {\varphi _i}, $

      其中$ \varphi _i^{({\rm{s}})} $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $是系统在无外部周期信号作用下每个稳态点处的概率, 并且一致相等, 即$ \varphi _i^{({\rm{s}})} = {1 {\left/{\vphantom {1 n}} \right.} n} $. $ \delta {\varphi _i} $对应了系统关于外部周期信号的输出响应. 将概率跃迁速率方程(10)在$ {\varepsilon _0} $处的一阶展开式及稳态解方程(11)式代入方程(9)中, 获得关于$ \delta {\varphi _i} $的一阶微分方程组[3]:

      $ \delta {\dot \varphi _i} = \sum\limits_{j = 1}^n {{C_{i,j}}\delta {\varphi _j}} + \Delta {{\boldsymbol{\varphi}} _i}\cos (\omega t), $

      矩阵C$ \Delta {\boldsymbol{\varphi}} $分别满足下列形式:

      $ \begin{split} &{\boldsymbol{C}} = {\alpha _0}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ 1&{ - 2}&1&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&1&{ - 2}&1&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}& \cdots & \cdots & \cdots &{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&1&{ - 2}&1 \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1&{ - 1} \end{array}} \right)_{n \times n}},\\ &\Delta {\boldsymbol{\varphi}} =\frac{2\pi {\alpha }_{0}}{{m}_{0}nT}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 0\\ 1\end{array}\right),\\[-30pt]\end{split} $

      其中$ {\alpha _0} $为方程(9)中无外部周期信号($ {\varepsilon _0} = 0 $)的概率跃迁速率.

      方程(11)中的解$ \delta {\varphi _i} $可以表示为如下形式:

      $ \delta {\varphi _i} = {A_i}\sin (\omega t) + {B_i}\cos (\omega t), $

      其中$ {A_i} $$ {B_i} $决定了系统关于外部周期信号的响应振幅和相位. 替换方程(14)进入方程(12), 再比较方程两边正弦函数和余弦函数的系数得到$ {A_i} $$ {B_i} $的表达式, 从而获得系统关于外部周期信号的响应振幅$ {r_i} = \sqrt {A_i^2 + B_i^2} $, 即

      $\begin{split} {r_i} = \;& \bigg\{{{\left[ {\sum\limits_{k = 1}^n {\omega {{({\boldsymbol{E}}_k^2 + {\omega ^2})}^{ - 1}}{F_k}{{\boldsymbol{\varTheta}} _{k,i}}} } \right]}^2} \\ &+ {{\left[ {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\boldsymbol{E}}_k}{{({\boldsymbol{E}}_k^2 + {\omega ^2})}^{ - 1}}{F_k}{{\boldsymbol{\varTheta}} _{k,i}}} } \right]}^2}\bigg\}^{1/2} , \end{split} $

      其中$ {{\boldsymbol{E}}_k} $$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _k} $分别表示方程(13)中矩阵C的特征值和特征向量, $ {F_k} $是方程(13)中矩阵$ \Delta {\boldsymbol{\varphi}} $在特征向量$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _k} $的展开系数, 即$\Delta {\boldsymbol{\varphi}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^n {{F_k}{{\boldsymbol{\varTheta}} _k}}$. 具体地,

      $ \begin{split} &{{\boldsymbol{E}}_k} = - 2{\alpha _0}\left[ {1 - \cos \frac{{(k - 1){\rm{\pi}}}}{n}} \right], \\ &{{\boldsymbol{\varTheta}} _k} = {\left( {\cos \frac{{(k - 1)(2l - 1)\pi }}{{2n}}} \right)_{n \times 1}},~ (k,l = 1,2, \cdots ,n), \end{split}$

      $ {F}_{k}=\left\{\begin{aligned} &-\frac{8{\rm{\pi}}{\alpha }_{0}}{{m}_{0}{n}^{2}T}\cos\frac{(k-1){\rm{\pi}}}{2n},&k{{为偶数}},\\ &0,&k{{为奇数}}. \end{aligned} \right. $

      当系统在稳定状态时, 根据方程(11)表示出依赖时间变化的位移一阶矩:

      $\begin{split} \left\langle {x(t)} \right\rangle =\;& \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {\rho (x,y,z,t){\rm{d}}z} {\rm{d}}y} {\rm{d}}x}\\ =\;& \sum\limits_{i = 1}^n {{x_{{\rm{s}}i}}[\varphi _i^{({\rm{s}})} + {\varepsilon _0} \cdot \delta {\varphi _i}]} \\ = \;&\sum\limits_{i = 1}^n {{x_{{\rm{s}}i}}\varphi _i^{({\rm{s}})}} + R\cos (\omega t + \psi ), \end{split} $

      其中Rψ分别对应系统位移的振幅和相位. 进一步, 根据方程(15)—方程(17)得到系统功率谱放大因子$ {\eta _1} = {\left[ {{R {\left/{\vphantom {R {{\varepsilon _0}}}} \right.} {{\varepsilon _0}}}} \right]^2} $[40]的解析表达式:

      $ \begin{split} {\eta _1} = \;&\frac{{4{\pi ^2}}}{{m_0^2}}\left\{ {{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {i\omega {{(E_k^2 + {\omega ^2})}^{ - 1}}{F_k}{{\boldsymbol{\varTheta}} _{k,i}}} } } \right]}^2}\right.\\ &\left.+ {{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {i{E_k}{{(E_k^2 + {\omega ^2})}^{ - 1}}{F_k}{{\boldsymbol{\varTheta}} _{k,i}}} } } \right]}^2} \right\}. \end{split} $

      功率谱放大因子(18)式适用于一般的周期势模型, 其依赖于周期势中连续平衡点的个数, 与位置无关. 在真实环境中, 受噪声和信号激励的多稳态系统, 其运动轨迹通常局限在一定的范围内, 如图1(b)所示的多稳态模型. 为分析多稳态特征及固定区间内稳态点数量对随机共振的影响, 本节主要考虑周期势系统(1)式的有限稳态点情形.

      根据方程(15)和方程(18), 图2展示了记忆时间$ {\tau _c} $对周期势模型的功率谱放大因子$ {\eta _1} $和响应振幅$ {r_i} $的影响. 在图2(a)中, $ {\eta _1} $随温度T的变化出现了显著的共振峰, 标志着随机共振现象的发生. 随着$ {\tau _c} $的增大, $ {\eta _1} $的峰值逐渐升高, 共振效应增强, 且共振峰位置向T减小的方向移动, 即噪声表现出对系统响应的建设性角色得到增强. 因此, 在周期势系统(1)中, 记忆时间对关于外部周期信号的输出响应具有积极的增强作用, 而相反的情形发生在含记忆阻尼的双稳态系统中[35], 其中记忆性抑制了随机共振. 该现象可通过图2(b)得到解释, 对于固定的稳态点个数$ n = 30 $和不同的$ {\tau _c} $值, 绘制了各个稳态点对应响应振幅$ {r_i} $的变化曲线. 在两个边界的稳定状态处($ {s_1} $$ {s_n} $), 响应振幅得到最大化, 并且朝向中间的稳定状态对称性减弱, 最终达到最小值. 这是由于处于中间状态的系统会等可能地跃迁到两个相邻的稳态点处, 而在边界的稳态点处跃迁是不对称的. 另外, 各个稳态点的响应振幅均随着$ {\tau _c} $的增加而增大, 即在适当的记忆时间作用下, 外部的弱周期信号在该周期势系统中得到进一步放大. 系统的记忆性是在复杂无序的非均匀环境下粒子运动所引发的, 不同的介质能够使历史速度产生不同的记忆时间, 而在类似于该周期势的多稳态系统中利用记忆效应将有助于增强随机共振行为.

      图  2  记忆时间$ {\tau _c} $对随机共振的影响 (a) 功率谱放大因子$ {\eta _1} $随温度T的变化曲线($ n = 6 $); (b)第i个稳态点对应的响应振幅$ {r_i} $的变化曲线. 其他参数取值为$\varGamma = 4$, ${\gamma _0} = $$ 1$, $ \omega = 0.001 $$ {m_0} = 1 $

      Figure 2.  The effects of memory time $ {\tau _c} $ on stochastic resonance: (a) Spectral amplification $ {\eta _1} $versus temperature T; (b) amplitude of the response $ {r_i} $ versus i. Other parameter values are chosen as $\varGamma = 4$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.001 $ and $ {m_0} = 1 $.

      为分析随机共振和验证理论结果的有效性, 数值计算了系统(1)的功率谱密度, 如图3所示, 其中选择103条样本轨迹, 采样频率$ {F_{\rm{s}}} = 100 $ Hz以及数据长度$ N = {10^7} $. 从图3(a)中看到, 功率谱密度在适中的温度值($ T = 3 $)处呈现出显著的峰值, 且峰值对应的频率值($ f = 0.00101 $)近似等于外部周期信号的驱动频率ω, 而在一定的低温($ T = 0.4 $)和高温($ T = 50 $)下峰结构均减弱甚至消失. 这说明存在最优温度可使得系统出现随机共振现象, 从而导致噪声背景下的信号功率谱明显增加. 由于周期势系统具有无穷多个平衡点, 所以需要足够大的最优温度才能确保粒子连续地穿越势垒, 出现与驱动频率相一致的共振同步现象. 此外, 在给定的温度下, 图3(b)揭示了功率谱密度的峰值随着记忆时间$ {\tau _c} $的增加而逐渐升高, 表明记忆阻尼的存在可优化周期势系统的信号放大性能, 增强随机共振效应, 这与图2中的理论结果相一致.

      图  3  功率谱密度(PSD)作为频率的函数曲线 (a)不同的温度T$ {\tau _c} = 1 $; (b)不同的记忆时间$ {\tau _c} $$ T = 0.75 $. 其他参数取值为$\varGamma = 4$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ {\varepsilon _0} = 0.3 $, $ \omega = 0.001 $$ {m_0} = 1 $

      Figure 3.  Power spectrum density (PSD) of the system as a function of frequency with different values of (a) temperature T ($ {\tau _c} = 1 $); (b) memory time $ {\tau _c} $ ($ T = 0.75 $). Other parameter values are chosen as $\varGamma = 4$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ {\varepsilon _0} = 0.3 $, $ \omega = 0.001 $ and $ {m_0} = 1 $.

      图4中, 分析了周期势函数的稳态点个数n对功率谱放大因子$ {\eta _1} $以及响应振幅$ {r_1} $$ {r_2} $的影响. 从图4(a)中可观察到, 曲线$ {\eta _1} - T $的峰值随着n的增加显著上升, 且共振峰位置向T增加的方向移动. 可见, 稳态点数量的增多能够明显增强随机共振现象. 由于多稳态系统中两个边界稳态点之间的距离随着n的增加而变大, 即粒子运动的位移区间长度$ 2 n\pi $变大, 因此系统在两个最外侧势阱之间可产生更大幅度的阱间响应, 同时需要足够大的温度, 这与图3(a)中的分析一致. 故在多稳态系统中, 通过适当增加稳定状态的数量, 随机共振现象将能够在较大的噪声强度处发生并显著增强, 从而有效提升强噪声环境中弱信号的探测能力. 在图4(b)中, 绘制了边界稳态点$ {s_1} $对应的最大响应振幅$ {r_1} $随温度的变化曲线, 其峰值随着n的增加而下降, 相反于图4(a)中功率谱放大因子的变化趋势. 这是由于在给定的激励条件下, 随着两个边界稳态点之间的距离变大, 粒子到达最外侧势阱的概率逐渐减小, 响应振幅减弱. 但在图4(c)中, 稳态状态$ {s_2} $对应的响应振幅$ {r_2} $, 其峰值随n的增加先上升, 再下降, 即存在最优稳态点个数使得响应振幅最大化. 这表明在噪声和外部周期力的共同作用下, 多稳态系统在不同稳定状态之间的运动出现了更加复杂的动力学现象. 值得注意的是, 对于固定的稳定状态数, 功率谱放大因子和所有响应振幅均在一致的温度值处达到局部最大值, 如图4中标记的峰值. 故在给定的多稳态系统中, 两者均可用于衡量随机共振现象.

      图  4  稳态点个数n对随机共振的影响 (a)功率谱放大因子$ {\eta _1} $随温度T的变化曲线; (b)响应振幅$ {r_1} $T的变化曲线; (c)响应振幅$ {r_2} $T的变化曲线. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 3 $, $\varGamma = 5$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.001 $$ {m_0} = 1 $

      Figure 4.  The effects of the number of stable steady states n on stochastic resonance: (a) Spectral amplification $ {\eta _1} $ versus temperature T; (b) amplitude of the response $ {r_1} $ versus T; (c) amplitude of the response $ {r_2} $ versus T. Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 3 $, $\varGamma = 5$, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.001 $ and $ {m_0} = 1 $.

      考虑粒子在有限的范围内运动时, 稳态点数量对系统响应的影响. 在周期势$ U(x) = - \cos ({m_0}x) $中选择固定的位移区间, 即$x \in [{{(2 i - 1)\pi } /{{m_0}}}, $$ {{(2 i + 2 n - 1)\pi } / {{m_0}}}]$, 其中i是任意整数, 区间长度为$ 2 L{\text{π}} $($ L = {n {\left/{\vphantom {n {{m_0}}}} \right.} {{m_0}}} $). 如图1(a)所示, 通过设置$ {m_0} $的值可控制固定区间内系统稳态点的个数, 且势垒高度保持不变. 图5描述了在给定的区间范围内系统的功率谱放大因子$ {\eta _1} $随区间内稳态点个数n的变化情况. 从图5(a)中观察到, 对于固定的区间长度L, $ {\eta _1} $随区间内稳态点个数的增加展示了一个非单调的变化趋势. 此结果揭示了在粒子运动的区间范围内, 存在最优的稳态数量使得共振强度达到最佳, 优化系统关于驱动信号的输出响应. 随着L的增加, $ {\eta _1} $的峰值依次升高且位置向n增大的方向移动, 即粒子运动的有限区间长度与其内部的稳态点数量对增强系统响应的作用表现出正相关关系. 在实际环境中, 受噪声或外部信号驱动的系统, 其运动通常局限在一定的区间内, 考虑选取最优的稳态数量将有利于增强系统对外部弱信号的响应强度. 此外, 在固定的区间长度下($ L = 10 $), 图5(b)展示了记忆强度Γ对功率谱放大因子的影响. 随着Γ的增加, ${\eta _1} \text{-} n$曲线的峰值下降且形状趋于平缓, 即随机共振效应减弱, 而共振区域变宽, 同时峰值对应的稳态点数量也增多. 因此, 系统关于外部周期信号的响应不仅依赖于多稳态势函数, 而且与记忆性密切相关. 增大的记忆强度对共振行为呈现抑制作用, 但在合适数量的多稳态系统中共振现象又能得到增强. 在无序的媒介或复杂的环境中, 记忆强度反映了介质分子对粒子运动产生的记忆效应, 合理协调记忆强度和多稳态势函数的关系有助于提升系统的输出.

      图  5  功率谱放大因子$ {\eta _1} $作为区间内稳态点个数n的函数曲线 (a)不同的区间长度L$\varGamma = 3$; (b)不同的记忆强度Γ和固定的长度$ L = 10 $. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 4 $, ${\gamma _0} = $$ 1$, $ \omega = 0.002 $$ T = 0.8 $

      Figure 5.  Spectral amplification $ {\eta _1} $ versus the number of stable steady states n with different values of (a) interval length L ($\varGamma = 3$) and (b) memory strength Γ ($ L = 10 $). Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 4 $, $ {\gamma _0} = 1 $, $ \omega = 0.002 $ and $ T = 0.8 $.

    • 周期势系统(1)具有无穷多个平衡点, 当粒子呈现出更加复杂的运动行为时, 可导致系统不满足如图1(b)所示的多个稳态之间的跃迁情形, 此时研究随机共振需借助系统的输入能量进行衡量. 在随机涨落的环境中, 分析外部周期力对系统做的功, 其随温度或噪声强度的变化可反映出能量在不同状态之间的转换.

      依据随机能量公式[29], 外部周期信号在一个周期内$ {\tau _\omega } = {{2{\text{π}}} {\left/{\vphantom {{2{\text{π}}} \omega }} \right.} \omega } $对系统所做的功或输入能量W可计算为

      $ {W_0}({t_0},{t_0} + {\tau _\omega }) = \int_{{t_0}}^{{t_0} + {\tau _\omega }} {\frac{{\partial {U_{\rm{e}}}(x,t)}}{{\partial t}}{\rm{d}}t} , $

      其中有效势函数$ {U_{\rm{e}}}(x, t) = U(x) - {\varepsilon _0}x\cos (\omega t) $, $ U(x) $图1(a)中的周期势函数.

      在给定的初始条件下, 单一轨迹中$ {N_1} $个信号周期的平均输入能量为

      $ \overline W = \frac{1}{{{N_1}}}\sum\limits_{i = 0}^{{N_1}} {{W_0}[i{\tau _\omega },(i + 1){\tau _\omega }]} . $

      采用四阶Runge-Kutta算法对原系统进行离散化, 其中信号的周期个数设置为$ {N_1} = {10^4} $, 时间步长$ {\rm{d}}t = 0.01 $. 在103条不同初始条件的样本轨迹下, 对相应的平均输入能量方程(20)进行平均, 最终得到所有样本轨迹的平均输入能量$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $.

      根据方程(20), 在不同的环境温度T下, 图6展示了单一轨迹的平均输入能量$ \overline W $随初始位置$ x(0) $的变化情况. 在图6(a)中, 当温度较低时(如$ T = 0.001 $), 平均输入能量的值仅分布在两条线附近, 即$ \overline W = 0.092 $$ \overline W = 1.214 $. 这种现象说明广义Langevin方程描述的周期势系统(1)存在两个不同的稳定状态: $ \overline W = 0.092 $对应的动力学状态称为相内状态, $ \overline W = 1.214 $对应的动力学状态称为相外状态[30]. 为进一步理解这两个状态, 图6(a)中的插图画出了两个不同初值的输出信号的时间历程. 从图中可以看出, 初值$ x(0) = 0.16{\text{π}} $的输出信号振幅小, 对应相内状态, 且与输入信号间的相位差近似为$ {\varPhi _1} = - 0.086{\text{π}} $; 初值$ x(0) = 0.83{\text{π}} $的输出信号振幅大, 对应相外状态, 且与输入信号间的相位差近似为$ {\varPhi _2} = - 0.565{\text{π}} $. 然而, 如图6(b)所示, 当温度增加到0.003时, 位于$ \overline W = 1.214 $线上的点逐渐向$ \overline W = 0.092 $靠近, 即系统从输入能量大的相外状态开始向输入能量小的相内状态进行转移. 该现象暗示了粒子在这两个稳定的动力学状态之间可能存在着连续的跃迁行为, 同时为随机共振现象的发生提供了条件. 从图6(c)中看到, 随着温度的继续增加($ T = 0.009 $), 位于$ \overline W = 1.214 $线上的点已经大范围的向$ \overline W = 0.092 $附近移动. 当温度增加到0.018时, 如图6(d)所示, 此时的相外状态已完全转变为相内状态, 系统的输入能量达到最小值. 如果温度进一步增加, 系统又将开始从相内状态向相外状态进行转移, 特别地, 在给定的温度或噪声强度处, 若系统能够在两个稳定状态之间的转移达到一个最佳效应, 则意味着随机能量共振现象的出现.

      图  6  平均输入能量$ \overline W $作为初始位置$ x(0) $的函数随不同温度T的变化情况, 黑色线代表系统的输入信号$ {\varepsilon _0}\cos (\omega t) $ (a) T = 0.001; (b) T = 0.003; (c) T = 0.009; (d) T = 0.018. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $, $\varGamma = 0.02$$ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right.} 4} $

      Figure 6.  Average input energy $ \overline W $ averaged over an entire trajectory with initial position $ x(0) $ for different values of temperature T, where the black line denotes the input signal $ {\varepsilon _0}\cos (\omega t) $: (a) T = 0.001; (b) T = 0.003; (c) T = 0.009; (d) T = 0.018. Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $, $\varGamma = 0.02$ and $ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $.

      通过对所有样本轨迹的平均输入能量$ \overline W $进行平均得到$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $. 在不同的记忆强度Γ下, 图7分别给出了$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $和对应的平均输出信号与输入信号间的相位差$ \overline \varPhi $随温度T的变化情况. 从图7(a)中看到, 当$ \varGamma = 0.02 $时, $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $随着T的增加先快速下降至谷底, 再逐渐上升到峰值, 最后呈现单调递减的趋势. 也就是说, $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $$ T = 0.02 $处达到了最小值, 这是由于系统的相外状态完全转变成了相内状态, 如图6(d)所示. 而$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $$ T = 0.22 $处达到了最大值, 意味着随机共振现象发生. 由此可见, 在温度的变化过程中, 外部周期信号对系统所做的功先后得到抑制和增强, 且在随机共振背景下所做的功达到最大. 当温度进一步升高时, 破坏了系统的有序输出, 外部周期信号对系统所做的功减弱. 随着Γ的增大, $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $的最小值消失, 峰值降低. 这说明在较低的温度下较大的记忆强度导致系统处于相内状态, 随着温度的增加又开始出现相内与相外两个状态之间的转变, 发生随机共振行为. 增加的记忆强度使得共振效应减弱和共振区域变宽, 这与图5(b)中功率谱放大因子的变化一致. 另一方面, 基于线性响应理论, 得到如图7(b)所示的平均输出信号与输入信号之间的相位差$ \overline \varPhi $. 当$ \varGamma = 0.02 $时, $ \overline \varPhi $随着T的增加展示了一个非单调的变化行为, 即在$ T = 0.02 $处存在最大值. 然而, 当Γ增大时, $ \overline \varPhi $随着T的变化单调递减, 最大值消失. 通过对比图7(a)图7(b)发现, 当平均输出信号与输入信号间的相位差达到最大值时, 平均输入能量在相同的温度处达到最小值; 当相位差的最大值不存在时, 平均输入能量的最小值也对应消失.

      图  7  记忆强度Γ对输入能量的影响 (a)平均输入能量$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $随温度T的变化曲线; (b)相位差$\overline \varPhi$T的变化曲线. 其他参数取值为$ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $$ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $

      Figure 7.  The effects of memory strength Γ on input energy: (a) Average input energy $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $ versus temperature T; (b) phase lag $\overline \varPhi$ versus T. Other parameter values are chosen as $ {\tau _c} = 2.3 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $ and $ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $.

      图8分析了记忆时间$ {\tau _c} $对平均输入能量$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $的影响. 从图8(a)中发现, 当$ {\tau _c} $从0.1增加到0.4时, $\left\langle {\overline W } \right\rangle \text{-} T$曲线的峰值呈现下降趋势, 峰的位置向温度T增大的方向移动. 结果说明较短的记忆时间能够减弱周期势系统(1)的输出响应, 对随机共振效应起到抑制作用, 从而降低外部周期信号对系统所做的功. 这不同于记忆时间在如图1(b)所示的多稳态系统中对输出响应的作用, 在图2(a)中该记忆时间对共振行为呈现增强作用. 所以, 若粒子在周期势中出现不同于图1(b)所示的跃迁行为, 即产生了更加复杂无序的运动现象, 则记忆时间对共振行为的影响也会产生差异性. 当$ {\tau _c} $继续增加, 且处于范围$ 0.8 \leqslant {\tau _c} \leqslant 1.3 $时, $\left\langle {\overline W } \right\rangle \text{-} T$曲线的峰形状趋于平缓, 共振区域变宽. 然而, 当$ {\tau _c} $继续增大到2.5时, $\left\langle {\overline W } \right\rangle \text{-} T$曲线重新出现了显著的共振峰. 特别地, 随着$ {\tau _c} $的进一步增大, 其峰值明显上升, 共振区域变窄, 同时共振峰的位置向温度T减小的方向移动, 但在无记忆阻尼的周期势系统中[34], 色噪声相关时间的增大却导致输入能量的共振区域变宽, 诱导共振的最优温度增加. 所以, 较长的记忆时间有利于提升系统对外部周期信号的输出响应强度, 且能够增强噪声在共振行为中的角色. 显然, 不同长短的记忆时间在温度变化过程中对系统的平均输入能量具有显著差异性. 为了直观地分析, 图8(b)给出了$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $作为记忆时间的函数随不同温度的变化曲线. 当温度变得足够低时(比如: $ T = 0.03 $), $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $$ {\tau _c} $的单调递减函数, 故在低温状态下, 记忆时间的增加将引起外部周期信号对系统输入能量的减少. 当T增加到0.2时, $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $随着$ {\tau _c} $的增加先下降, 再上升, 即在$ {\tau _c} = 2.04 $处系统的平均输入能量达到最小值, 从而抑制随机共振效应. 但是, 当温度上升到一定高度时($ T = 1.4 $), $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $作为$ {\tau _c} $的函数展示了一个类似共振的非单调变化行为, 称为记忆时间诱导的共振. 因此, 在给定的较高温度状态下, 存在着最优的记忆时间能够使得外部周期信号对系统的输入能量达到最大值. 针对周期势系统(1)关于外部驱动信号的输出响应, 图8中的结果揭示了记忆时间对它的影响密切依赖于粒子所处的环境温度.

      图  8  记忆时间$ {\tau _c} $对输入能量的影响 (a)$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $T的变化曲线; (b)$ \left\langle {\overline W } \right\rangle $$ {\tau _c} $的变化曲线. 其他参数取值为$ \varGamma = 0.7 $, $ {\gamma _0} = 0.12 $$ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $

      Figure 8.  The effects of memory time $ {\tau _{\rm{c}}} $ on input energy: (a) $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $ versus T; (b) $ \left\langle {\overline W } \right\rangle $ versus $ {\tau _c} $. Other parameter values are chosen as $\varGamma = 0.7$, $ {\gamma _0} = 0.12 $ and $ \omega = {\pi {\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. } 4} $.

    • 针对广义Langevin方程描述的含记忆阻尼的周期势系统, 主要研究了该系统在外部周期力作用下的随机共振. 由于系统的多稳态特征和non-Markovian性质导致理论分析困难, 故引入变量变换将原始的non-Markovian模型等价转化为多维Markovian系统. 根据线性响应理论, 推导出了适用于一般多稳态模型的功率谱放大因子, 揭示了记忆效应和多稳态特征对随机共振的影响, 并得到数值结果的验证. 分析表明, 记忆时间的延长和稳态数量的增多均对共振行为有增强作用, 但诱导共振产生的温度变化不同. 对于固定的系统位移区间, 存在最优稳态点数量使得共振效应最佳, 同时记忆强度对系统输出响应的影响依赖于稳定状态的个数. 然而, 当周期势系统呈现出更加复杂的运动行为时, 通过输入能量发现, 记忆时间对随机共振起着先减弱再增强的作用, 即在适当温度范围内, 合理控制记忆时间可优化外部周期力对系统所做的功.

      本文获得的解析结果为周期势系统中共振现象的研究及应用提供理论指导作用. 具有记忆阻尼的随机动力系统多用于描述粒子在复杂无序的非均匀环境中运动, 接下来可进一步考虑外部噪声及与内部噪声的互关联性对共振行为的影响. 由于周期势系统的多稳态特征, 上述随机共振理论可有效应用于机械故障诊断中微弱信号的检测.

参考文献 (40)

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