非线性系统理论及其前沿应用
探索非线性系统理论并将其应用于物理学的诸多前沿科学领域是当前物理研究的热点课题之一, 其发展为物理学新现象、新概念、新机理提供了基准, 并在物理学发展过程中起到了关键的基础支撑和重要的推动作用. 所有复杂非线性系统都由许多不同的相互作用部分组成, 几个世纪以来,物理学家一直在研究它们, 这些系统很难用数学方法来描述——它们可能被大量的因素影响或者受随机因素的支配. 2021 年的诺贝尔物理学奖授予了 Syukuro Manabe, Klaus Hasselmann 和Giorgio Parisi 三位物理学家, 表彰他们“对我们理解复杂系统的开创性贡献”. 可见, 非线性物理中的复杂系统在我们生活中扮演着重要角色. 虽然非线性系统领域蓬勃发展了几十年, 但是不断有新的非线性系统被发现, 不断有新的解析和数值方法出现. 特别地, 随着实验技术的不断进步, 具有非局域相互作用和李黄杨修正的各类广义非线性系统已在实验室里被成功制备, 这使得理论上的研究更具有现实意义. 目前, 此类研究正处于蓬勃发展的早期阶段, 还存在着许多亟待探索的新奇非线性现象和丰富的动力学行为, 在未来几年仍将是数学物理领域活跃的热点之一. 在这样一个大背景下, 对上述各类非线性系统进行更加深入的研究显得非常及时和必要.
为进一步促进国内同行的交流, 在《物理学报》编辑部的大力支持下, 我们邀请了国内活跃在该领域的部分科学家撰写了 18 篇相关论文, 其中 2 篇综述论文, 其他 16 篇为研究论文. 鉴于非线性物理属于交叉学科, 具有多样性及复杂性的特点, 本专题只能重点介绍其在冷原子物理、可积系统、非线性光学、深度学习等领域的部分研究成果, 内容涉及带隙孤子、多极矢量孤子、高阶怪波、非正则涡旋、淬火动力学、狄拉克磁单极势、非局域孤子、初值问题等典型的非线性拓扑激发及其动力学. 我们希望本专题能够尽可能反映该方向的研究现状, 为青年学者选择科研方向、确定研究课题以及从事相关领域研究的人员提供一点帮助, 促进我国在非线性系统理论及其前沿应用的发展.鉴于非线性物理在量子物理、凝聚态物理、非线性光学等领域中的广泛存在, 其带来的新奇物理现象无法一概而论. 同时, 受水平及时间所限, 本专题对其前沿应用介绍难免挂一漏万, 不足之处恳请各位同仁不吝指正.
2023, 72 (10): 100308.
doi: 10.7498/aps.72.20222195
摘要 +
数值研究了具有三体相互作用的均匀介质界面和半无限雅克比椭圆正弦势下准一维玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose-Einstein condensate, BEC)中的表面带隙孤子及其稳定性. 在平均场近似下, 其动力学行为可用3次-5次Gross-Pitaevskii方程描述. 首先用牛顿-共轭梯度法寻找表面带隙孤子, 发现表面亮孤子仅当化学势小于0时才可于带隙内激发, 但表面扭结孤子和气泡孤子既可存在于带隙中也可存在于能带中. 然后采用线性稳定性分析和非线性动力学演化研究了孤子的稳定性, 结果表明三体相互作用会明显影响表面亮孤子的稳定性, 表面扭结孤子既有稳定的也有不稳定的, 但表面气泡孤子均不稳定.
2023, 72 (10): 100201.
doi: 10.7498/aps.72.20230241
摘要 +
Korteweg-de Vries (KdV)方程是一种数学模型, 用于描述色散介质中长波的传播. 而非线性薛定谔(NLS)方程模拟了由短色散波组成的窄带宽波包的动态, 它是描述许多物理系统的有用模型, 包括玻色-爱因斯坦凝聚、光纤和水波等. 将KdV和NLS方程耦合起来的系统可以模拟长波和短波的相互作用. 这个系统在物理和数学上很有吸引力, 它结合了两个模型的优点. KdV方程描述的长波可以影响NLS方程描述的短波的行为, 而短波反过来也可以影响长波的行为. 这样一个耦合系统在过去的几十年中得到了广泛的研究, 并为许多物理系统带来了重要的影响. 本文在Bernard等工作(Bernard D, Nghiem V N, Benjamin L S 2016 J. Phys. A: Math. Theor. 49 415501 )的基础上考虑了KdV非线性Schrödinger微扰系统柯西问题局部解的存在性, 并给出了解的存在空间.
2023, 72 (10): 100504.
doi: 10.7498/aps.72.20222430
摘要 +
变系数3+1维三次-五次复金兹堡-朗道(CGL)方程作为光孤子传输模型, 不仅用五次项解释了现有模型所没有的物理意义, 还拥有高维系统较低维系统更为丰富的非线性动力学特性. 本文利用修正的Hirota方法, 得到了变系数3+1维三次-五次CGL方程的解析孤子解. 通过对非线性系数和光谱滤波项选取特定的参数, 得到了一种特殊的混合孤子. 分别讨论了改变非线性、光谱滤波和线性损失参数以及其他参数对孤子传输特性的影响, 实现了对亮孤子和混合孤子传输的有效控制. 本文结论对高维CGL系统在理论和实验研究方面具有一定的参考价值.
2023, 72 (10): 100203.
doi: 10.7498/aps.72.20230063
摘要 +
本综述主要介绍了双线性约化方法在可积系统求解中的应用. 这一方法基于双线性方法和解的双Wronskian表示. 对于通过耦合系统约化而获得的可积方程, 先求解未约化的耦合系统, 给出用双Wronskian表示的解; 进而利用双Wronskian的规则结构, 施以适当的约化技巧, 获得约化后的可积方程的解. 以非线性Schrödinger方程族和微分-差分非线性Schrödinger方程为具体例证, 详述此方法的应用技巧. 除了经典可积方程, 该方法也适用于非局部可积系统的求解. 其他例子还包括Fokas-Lenells方程和非零背景的非线性Schrödinger 方程等可积系统的求解.
2023, 72 (10): 100204.
doi: 10.7498/aps.72.20222418
摘要 +
可积系统研究是物理和数学等学科的重要研究课题. 然而, 通常的可积系统研究往往被限制在(1+1)维和(2+1)维, 其原因是高维可积系统极其稀少. 最近, 我们发现利用形变术可以从低维可积系统导出大量的高维可积系统. 本文利用形变术, 将(1+1)维的Kaup-Newell (KN)系统推广到(4+1)维系统. 新系统除了包含原来的(1+1)维的KN系统外, 还包含三种(1+1)维KN系统的互反形式. 模型也包含了许多新的(D+1)维($ D\leqslant3 $ )的互反型可积系统. (4+1)维互反型KN系统的Lax可积性和对称可积性也被证明. 新的互反型高维KN系统的求解非常困难. 本文仅研究(2+1)维互反型导数非线性薛定谔方程的行波解, 并给出薛定谔方程孤子解的隐函数表达式.
2023, 72 (10): 107502.
doi: 10.7498/aps.72.20230345
摘要 +
在亚皮秒到飞秒时间尺度下, 铁磁体中磁化强度的动力学中要考虑惯性效应, 它可以用惯性朗道-利夫希茨-吉尔伯特(inertial Landau-Lifshitz-Gilbert)方程来描述. 本文主要介绍了超快铁磁共振、磁矩翻转和惯性自旋动力学在理论和实验上的一些发展, 这些研究结果将有助于更好地理解超快退磁和翻转的基本机制, 加深对磁惯性微观机制的理解, 揭示未来的实验和理论研究的发展趋势.
2023, 72 (10): 100501.
doi: 10.7498/aps.72.20222416
摘要 +
本文深入研究了孤子干涉过程中的相位演化特性及其背后的拓扑矢势. 基于一维非线性薛定谔方程的双孤子解, 发现波函数密度零点广泛存在于拓展的复平面内, 并且每一个密度零点对应狄拉克磁单极的矢势场. 矢势场是由周期排布的具有相反磁荷的狄拉克磁单极对组成. 通过观察磁单极子的运动, 可以方便地理解干涉过程中的相位演化特征. 特别发现, 一对正负磁单极对在实轴上的碰撞恰好对应波函数相位在节点处的π跃变. 此外，还对比讨论了线性波包干涉动力学中的狄拉克磁单极. 结果表明狄拉克磁单极势广泛存在于波场的干涉现象之中, 并且磁单极在拓展的复平面内分布特征可用于区分线性干涉和非线性干涉过程背后的拓扑性质.
2023, 72 (10): 100306.
doi: 10.7498/aps.72.20222289
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玻色-爱因斯坦凝聚中由于非线性相互作用引起的涡旋激发态一直是超冷原子研究的热点. 然而相关研究都集中在具有整数拓扑荷的正则涡旋态. 本文研究了具有幂指数、新型幂指数和振荡型三种相位分布的非正则涡旋光与凝聚体相互作用而产生的非正则涡旋态凝聚体的动力学性质. 研究表明非正则涡旋具有动力学不稳定性, 其密度分布显著依赖于光场相位结构参数. 不同非正则涡旋衰变形成具有不同分布的正则涡旋簇, 展现出丰富的动力学激发斑图. 特别是新型幂指数非正则涡旋态衰变后会在凝聚体内形成稳定的正多边形正则涡旋簇结构. 由于非正则涡旋光的相位结构破坏了凝聚体的旋转对称性, 凝聚体的角动量不再是量子化的, 且其随光场方位角幂次或振荡频率的变化与相应的非正则涡旋光场自身演化具有明显差别. 在动力学演化过程中, 具有新型幂指数相位的非正则涡旋态凝聚体质心保持不变, 而对于具有幂指数和振荡型相位的非正则涡旋态凝聚体, 两者的质心轨迹是一个中心为坐标原点的非标准椭圆.
2023, 72 (10): 100503.
doi: 10.7498/aps.72.20230172
摘要 +
Whitham调制理论自1965年被首次提出后, 由于其在研究色散流体动力学和处理间断初值问题上的独特优势得到了人们的广泛关注. 本文发展了散焦型非线性薛定谔方程的Whitham调制理论, 研究它的间断初值问题解的分类和演化, 并利用直接数值模拟验证结果的正确性. 具体地, 推导出稀疏波和色散冲击波解及其相应的Whitham方程, 详细讨论了每种分类中黎曼不变量和色散流体的密度分布. 最后, 分析了色散流体的活塞问题, 发现了新奇的波状涌潮结构.
2023, 72 (10): 100202.
doi: 10.7498/aps.72.20222381
摘要 +
近年来, 物理信息神经网络(PINNs)因其仅通过少量数据就能快速获得高精度的数据驱动解而受到越来越多的关注. 然而, 尽管该模型在部分非线性问题中有着很好的结果, 但它还是有一些不足的地方, 如它的不平衡的反向传播梯度计算导致模型训练期间梯度值剧烈振荡, 这容易导致预测精度不稳定. 基于此, 本文通过梯度统计平衡了模型训练期间损失函数中不同项之间的相互作用, 提出了一种梯度优化物理信息神经网络(GOPINNs), 该网络结构对梯度波动更具鲁棒性. 然后以Camassa-Holm (CH)方程、导数非线性薛定谔方程为例, 利用GOPINNs模拟了CH方程的peakon解和导数非线性薛定谔方程的有理波解、怪波解. 数值结果表明, GOPINNs可以有效地平滑计算过程中损失函数的梯度, 并获得了比原始PINNs精度更高的解. 总之, 本文的工作为优化神经网络的学习性能提供了新的见解, 并在求解复杂的CH方程和导数非线性薛定谔方程时用时更少, 节约了超过三分之一的时间, 并且将预测精度提高了将近10倍.
2023, 72 (10): 104202.
doi: 10.7498/aps.72.20230096
摘要 +
实现高维光孤子是非线性光学研究中一个长期的目标. 本文设计了一个里德伯冷原子与贝塞尔晶格势耦合的系统, 发现了一系列稳定的二维空间光孤子簇, 包括基极孤子、二级孤子、四级孤子和涡旋孤子. 研究表明, 光传播系数、非局域非线性系数、贝塞尔晶格常数可以用来调控光孤子的产生、空间分布及演化; 在系统参数的调控下, 该光孤子簇具备空间稳定性, 能够在一定距离内稳定传播. 本研究为高维空间光孤子的产生和调控提供了一种新的思路.
2023, 72 (10): 100307.
doi: 10.7498/aps.72.20222292
摘要 +
里德伯缀饰和自旋轨道耦合的实验实现极大地拓宽了冷原子作为量子模拟平台的研究视野. 本文研究了莫尔晶格中里德伯缀饰自旋轨道耦合玻色气体的基态结构, 探索了非局域里德伯相互作用和自旋轨道耦合强度对该系统基态的影响. 研究发现, 当出现非局域里德伯相互作用时, 系统不再具有平移对称性, 倾向于形成更多更规则的周期性结构; 当存在自旋轨道耦合相互作用时, 系统的基态在此周期性结构的基础上, 将呈现出更加丰富的内部结构.
2023, 72 (10): 106701.
doi: 10.7498/aps.72.20222319
摘要 +
在旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中, 孤子态作为宏观量子效应的典型状态, 可以通过自旋-轨道耦合进行调控, 这使得对自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体中孤子的研究成为近年来超冷原子领域研究的重要课题之一. 本文研究了描述一维自旋-轨道耦合二分量玻色-爱因斯坦凝聚体Gross-Pitaevskii方程的精确求解, 利用直接假设及可积约化方法, 给出了系统多种类型的孤子解, 讨论了相应的孤子动力学以及自旋-轨道耦合效应对系统的量子磁化和自旋-极化态的影响.
2023, 72 (10): 100505.
doi: 10.7498/aps.72.20230425
摘要 +
在非保守非线性系统中, 产生孤子的基本物理机理是系统的动能与非线性、以及增益与耗散达到双动力学平衡. 如何在该系统中产生稳定的自由高维孤子是目前孤子理论具有挑战性的前沿课题. 本文提出了一种在激子极化激元玻色-爱因斯坦凝聚体中实现二维自由亮孤子理论方案, 即通过时间周期调制相互作用以及增益与耗散双平衡的物理机理产生稳定的二维自由空间亮孤子. 为此, 首先通过拉格朗日量变分法得到了二维亮孤子参数的动力学方程, 得到其动力学稳定的参数空间. 其次, 数值模拟广义增益耗散Gross-Pitaveskii方程的含时演化, 验证了二维亮孤子的稳定性. 最后, 加入高斯噪声模拟真实实验环境, 发现在实验可观测的时间范围内, 二维亮孤子是稳定的. 本文的实验方案打开了在非保守系统中研究高维自由空间亮孤子的大门.
2023, 72 (10): 100502.
doi: 10.7498/aps.72.20222284
摘要 +
本文构造了耦合自散焦饱和非线性薛定谔方程, 通过改变势函数参数再利用功率守恒的平方算符法, 得到偶极-偶极、三极-偶极以及偶极-三极矢量孤子解. 随着孤子功率的增大, 这3类矢量孤子均能存在, 它们的存在性明显受到势函数的调制. 本文给出了3类矢量孤子由势函数调制的存在区域. 3类矢量孤子的稳定区域受每个分量的孤子功率调制. 随着两分量孤子功率的增大, 3类矢量孤子的稳定域均逐渐扩大. 当饱和非线性强度增大时, 三极-偶极和偶极-三极矢量孤子由稳定状态到不稳定状态临界点对应的孤子功率值逐渐降低. 而偶极-偶极矢量孤子由稳定状态到不稳定状态临界点对应的孤子功率值并不会因为饱和非线性强度增大而变化.
2023, 72 (10): 104204.
doi: 10.7498/aps.72.20222298
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利用Kadomtsev-Petviashvili (KP)系列约束方法和双线性方法, 构造了空间位移宇称–时间反演($\mathcal{PT}$ )对称非局域非线性薛定谔方程的高阶怪波解. 任意$N$ 阶怪波解的解析表达式是通过舒尔多项式表示的. 首先通过分析一阶怪波解的动力学行为, 发现怪波的最大振幅可以大于背景平面三倍的任意高度. 分析了对称非局域非线性薛定谔方程中的空间位移因子$x_0$ 在一阶怪波解中的影响, 结果表明其仅改变怪波中心的位置. 另外，研究了二阶怪波解的动力学行为以及怪波模式, 然后给出了$N$ 阶怪波模式与$N$ 阶怪波解的解析表达式中参数之间的关系, 进一步展示了高阶怪波的不同模式.
2023, 72 (10): 100309.
doi: 10.7498/aps.72.20222401
摘要 +
研究了在二维自旋-轨道耦合的相互作用超冷玻色气体中存在一维光晶格时, 超流条纹相到超固相的非平衡动力学. 通过研究这一动力学过程中的缺陷(位相空间中的涡旋)及波函数的变化行为, 利用涡旋数及波函数的交叠等描述方法, 确定了考虑光晶格深度随时间线性变化的量子淬火动力学过程的转变时间. 发现在转变时间之前, 体系对于淬火过程没有响应. 当演化时间超过转变时间后, 系统开始迅速响应, 涡旋数及体系的波函数开始迅速变化. 当演化时间足够长时, 系统将达到稳态. 另外还发现, 在上述动力学过程中, 由于体系中自旋-轨道耦合的存在, 系统在空间中的密度分布与自旋在空间中的结构始终相伴生, 即具有拓扑结构的磁斯格明子(反斯格明子)的中心位置始终与体系密度分布的极小值位置相对应.
2023, 72 (10): 104205.
doi: 10.7498/aps.72.20230082
摘要 +
研究了非宇称时间对称复数势下非线性耦合器中多类型非局域孤子的存在性和稳定性, 发现基态孤子、偶极孤子、多极孤子分别从线性谱中不同的离散特征值分叉出来形成孤子族, 其功率受非局域程度和传播常数的影响. 在相变以下, 各个类型孤子均在相对较低功率区间是稳定的. 随着非局域程度的增加, 基态孤子族的稳定区域变小, 其他孤子族的稳定区域则变大. 在相变以上, 基态孤子则在相对中功率区是稳定的, 并且从第二大离散特征值分叉出的偶极孤子不存在稳定区域. 孤子线性稳定性分析结果中的特征值总是以共轭对的形式出现. 此外, 还研究了耦合系数对孤子态的影响.
2023, 72 (18): 180304.
doi: 10.7498/aps.72.20231076
摘要 +
利用高斯变分近似及基于Gross-Pitaevskii方程的数值求解, 研究了一维自旋张量-动量耦合玻色-爱因斯坦凝聚中平面波态的动力学性质, 发现基态为双轴向列态, 其动量随Raman耦合强度的增加而单调递减. 在微扰作用下, 基态具有动力学稳定性, 且展现出3种不同的谐振模激发, 激发频率与Raman耦合强度、谐振子势阱的纵横比及相互作用强度有关. 通过数值求解变分参数满足的运动方程和Gross-Pitaevskii方程, 发现体系随时间演化将展现出周期性振荡行为.
