1.   引　言

量子通信和量子信息处理, 是目前国内外的研究热点和前沿. 我国“十四五”规划中, 将量子通信和量子计算列为国家的重要发展战略. 近些年, 量子通信领域取得了许多优秀的研究成果. 潘建伟院士团队^[1,2] 于2018年实现了冷原子系统内单集体激发态的相干操纵; 又于2019年提出了无需量子存储器的实验量子中继器, 通过操纵12光子干涉仪, 将量子纠缠的产生率提高了89%. 在此基础上, 该团队于2020年成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”; 在发展了量子光源受激放大的理论和实验方法后, 又构建了113个光子144模式的量子计算原型机“九章二号”, 实现了相位可编程功能. 郭光灿院士团队^[3,4]于2020年实现了对高维量子态的直接强测量; 2021年在高阻抗微波谐振腔内, 完成了两个半导体量子比特间的长程耦合, 提出了一种新型谱学方法, 更快速、更直观地表征了量子比特间的耦合关系. 2000年, 龙桂鲁教授团队^[5]提出了量子安全直接通信(quantum secure direct communication, QSDC)方案, 这是一种高安全性的通信模式. 之后, 龙桂鲁教授团队对QSDC进行了更深入的研究, 取得了一系列突破性成果. 2020年, 龙桂鲁教授团队^[6]提出了第一个与设备无关的量子安全直接通信方案; 2021年, 龙桂鲁教授团队^[7]又使用掩盖编码技术, 大幅度增大了量子直接通信的系统容量.

近年来, 国际上有关量子通信的研究, 也取得了一系列突破性成果. 2016年, 美国约翰斯霍普金斯大学量子物质研究所物理与天文学系Pan 等^[8]对量子自旋冰Yb₂Ti₂O₇结构特性进行了研究, 发现磁化率的形式与单极气体的形式一致, 且可以定义和测量磁单极电导率. 2020年, 佛罗里达州国家高磁场实验室Pan 等^[9]研究了增强射频辐射下量子斯格明子霍尔效应(Hall skyrmions)的稳定性, 并讨论了这种稳定性的可能来源. 2021年, 德国帕德博恩大学光子量子系统研究所Jöns团队^[10]进行了量子芯片层面的研究, 通过实验论证了集成光子学与量子技术相结合的可行性, 为下一代集成电路的研发开拓了新的思路. 2021年, 德国马克斯普朗克科学研究所Henke 等^[11]搭建了一个用于探索自由电子的量子光学通用平台, 实现了集成光子学连续束电子相位调制.

2016年8月16日, 中国在酒泉卫星发射中心, 成功发射了世界上第一颗量子科学实验卫星“墨子号”^[12]; 2017年中国在国际上首次实现了千公里级的星地双向量子通信^[13]; 同年9月, 世界首条量子保密通信干线—“京沪干线”正式开通. 结合“京沪干线”与“墨子号”量子卫星的天地链路, 中国首次实现洲际量子保密通信^[14]; 2021年, 在“京沪干线”与“墨子号”对接的基础上, 中国成功组建天地一体化量子通信网络^[15], 这些成果标志着中国构建量子通信天地一体化广域网的技术逐渐成熟.

空中通信组网的构建, 是当前国防、民用航空、无人机通信等领域的研究前沿^[16-20]. 但是, 迄今为止, 国内外对于空中通信组网的研究, 仅局限于经典通信领域. 对于雁群空中飞行阵列, 研究者们取得了一些原创性成果, 并被应用于仿生学领域^[21-24]. 然而, 仿雁群阵列量子空中组网构建策略的研究, 迄今尚未展开. 受到雁群空中飞行阵列的启发, 本文将其与量子卫星通信相结合, 提出了一种仿雁群$\Lambda$型量子空中组网拓扑结构, 构建了相应通信系统. 通过仿真分析误码率、吞吐率和能耗等参数, 研究了该组网结构的各项性能. 希望通过本文, 为量子空中通信组网的研究提供新的思路.

2.   仿雁群Λ型阵列量子空中组网结构特点

2.1   雁群空中飞行阵列特点

大雁在迁徙过程中, 飞行阵列如图1所示, 本文称之为“$\Lambda$型”飞行结构. 在$\Lambda$型阵列中, 头雁带领队伍飞行. 鸟类行为学研究表明^[24], 大雁在飞行过程中, 自身不断地拍打翅膀, 产生上升涡流. 利用这种涡流, 尾随的大雁在飞行过程中会减少自身能量的消耗, 每只尾随的大雁均会获得其前方大雁产生的涡流帮助, 但头雁没有涡流可用, 所以相对于雁群中的其他大雁会消耗更多的能量. 在长途迁徙过程中, 头雁和尾雁周期性地交换位置, 以此来节省飞行的能耗. 相关研究表明, $\Lambda$型阵列飞行的大雁, 比独自飞行的大雁节省70%的能量^[25].

图 1  雁群飞行阵列

Fig. 1.  Geese flying array.

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2.2   仿雁群量子空中组网

根据雁群飞行阵列, 提出仿雁群Λ型量子空中组网(simulated wild goose group Λ-type quantum air networking, SWGGΛ-TQAN), 将组网中的各个成员以节点方式呈现, SWGG$\Lambda$-TQAN由量子卫星(quantum satellite)、头节点(head node)和子节点(child node)组成. 单头节点SWGGΛ-TQAN的构建如图2所示.

图 2  单头节点SWGGΛ-TQAN

Fig. 2.  Single-head node SWGGΛ-TQAN.

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对于单头节点SWGG$\Lambda$-TQAN, 需要考虑当子节点增多时, 若无限制的向两边延伸, 会使整个拓扑结构变得冗余, 且单头节点SWGG$\Lambda$-TQAN通信模型存在严重的安全隐患, 即若头节点发生故障, 该组网中所有子节点也会故障. 以总节点数目21为例, 单头节点SWGGΛ-TQAN模型如图3所示.

图 3  单头节点SWGGΛ-TQAN(总节点数目21)

Fig. 3.  Single-head node SWGGΛ-TQAN (total number of nodes of 21).

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基于上述分析可知, 单头节点SWGGΛ-TQAN不适用于总节点数目过多的情况, 因此提出多头节点SWGGΛ-TQAN, 组网结构如图4所示.

图 4  多头节点SWGGΛ-TQAN

Fig. 4.  Multi-head node SWGGΛ-TQAN.

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多头节点SWGGΛ-TQAN相较于单头节点SWGGΛ-TQAN, 结构不再单调, 且多个头节点的引入可以保证网络不会轻易陷入瘫痪. 多头节点SWGGΛ-TQAN实质上是由多个单头节点SWGGΛ-TQAN组成, 可根据不同的总节点数目, 建立相应的组网结构, 尤其是在总节点数目过多的情况下, 比单头节点SWGGΛ-TQAN表现的更加出色. 图4仅为示意图, 每个单头节点SWGGΛ-TQAN的节点数量应根据具体情况及后续分析结合决定. 为了便于对比, 提出21节点下的多头节点SWGGΛ-TQAN, 如图5所示.

图 5  多头节点SWGGΛ-TQAN(总节点数目21)

Fig. 5.  Multi-head node SWGGΛ-TQAN (total number of nodes of 21).

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21节点下的多头节点SWGGΛ-TQAN模型中共有3个单头节点SWGGΛ-TQAN, 假设头节点1所在自身组网为A, 头节点2所在自身组网为B, 头节点3所在自身组网为C, A中共有11个节点, B中共有7个节点, C中共有3个节点. 正常情况下各头节点会进行通信, 除头节点间相互通信外, 不会进行与其他组网的任何通信. 以B为例, 如果头节点2故障, 头节点1与头节点3在与头节点2通信时发现异常情况, 根据最短通信距离和子节点数目不宜过多原则, 头节点3建立与B内其余节点的通信. 即当某一头节点发生故障, 与之通信的相邻组网头节点在发现问题后, 可建立与该组网子节点的通信, 确保其余节点不会进入失控状态. 以A中的Ex1节点为例, 如果该子节点故障, 组网头节点1发现异常情况, 通过头节点间的通信告知相邻头节点2异常情况, 头节点2收到异常情况后告知头节点3, 头节点2与A中脱节的子节点建立通信. 即当某一组网中子节点发生故障, 该组网头节点发现问题后, 告知相邻组网的头节点, 可通过位置调整等方法回到自身所在原组网, 或在新组网中继续通信, 以确保被影响的子节点尽快恢复通信状态.

SWGGΛ-TQAN的单头节点与多头节点结构适用于多种空中组网情况, 拥有可扩展性强、保密性高、通信效率高等优点, 为量子空中通信组网的研究提供了新的思路.

2.3   SWGGΛ-TQAN抗毁度定量分析

抗毁度是指网络遇到确定性或随机性故障时, 网络维持或恢复一个可接受程度的能力. 对于单头节点SWGGΛ-TQAN通信系统, 其抗毁度较差, 某一子节点故障, 会导致后续子节点的通信均故障, 而头节点的故障会导致整个组网通信系统的故障.

根据相关研究^[26,27], 将多头节点的SWGGΛ-TQAN抗毁度定义为网络效率$E$的变化量, 具体计算公式为

其中${E_1}$和${E_2}$分别表示节点故障前和节点故障后组网的网络效率, $\Delta E$的值越小, 表示网络的性能下降越少, 抗毁度就越高^[27]. 其中, SWGG$\Lambda$-TQAN网络效率$E$为

式中$N$表示网络中的节点个数; ${\varepsilon _{ij}}(D) = {1}/{{{d_{ij}}(D)}}$, 其中${d_{ij}}(D)$表示头节点$i$与子节点$j$的通信距离, 路径唯一, $D$表示两节点间的实际距离.

由上述分析过程, 以图5的21节点SWGGΛ-TQAN为例, 可计算出${E_1}$的值. 若此时故障的节点为头节点2, 结合2.2节分析, 可算出此时多头节点SWGGΛ-TQAN结构${E_2}$的值, 则此时网络的抗毁度为

若此时故障的节点为子节点$Ex1$, 结合2.2节分析, 可得到此时多头节点SWGGΛ-TQAN结构的${E_2}$的值, 此时网络的抗毁度为

从计算过程可以发现, 对于多头节点SWGGΛ-TQAN, 当有其他节点故障时, 不管故障的节点是头节点还是子节点, 只要组网中仍存在正常通信的头节点, 整个组网依然可以保持通信. 计算结果和分析表明, 多头节点SWGGΛ-TQAN具有良好的抗毁性.

3.   SWGGΛ-TQAN通信系统构建

3.1   GHZ-EPR量子卫星-组网隐形传态通信系统

整个网络通信的构建分为卫星与网络和网络与网络两部分, 卫星与网络的通信是由卫星与头节点构成的, 网间的通信是各节点间构成的. 本文将采用量子隐形传态(quantum teleportation, QT)技术来构建卫星与网络的通信, 使用QSDC技术来构建网间通信.

量子物理系统会随着纠缠粒子数量的增加, 提供更大的存储空间和更强大的并行能力, 因此研究者们一直都希望使用更多的纠缠粒子来进行信息处理. 量子纠缠交换基于没有直接相互作用的纠缠粒子上测量实现^[28], EPR对是两个量子态纠缠, Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)态是3个量子纠缠. 纠缠量子比特经常会被用到远程态制备、量子秘钥分发等技术的量子信道中, 量子信道相比于经典信道具有更高的安全性. 刘乾和胡占宁^[29]对理论知识进行相关分析, 本文在完善分析的同时, 进行了通信系统的构建及通信过程的叙述.

GHZ态是一种经典不可分的三量子比特纠缠态, 也是一种最大纠缠态粒子, GHZ型量子纠缠是一种量子叠加系统, 包含3个量子比特. 8种GHZ态粒子如下所示:

在该通信系统中, 通信双方均具有3个量子位粒子和一对Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) 纠缠态, 将本地和远程粒子构成两个GHZ态粒子, 构成的GHZ态粒子将被用于量子信道. 为了便于对通信系统进行说明, 假设卫星为通信方Alice, 头节点为通信方Bob, 则整个通信系统如图6所示.

图 6  GHZ-EPR混合隐形传态系统

Fig. 6.  GHZ-EPR hybrid teleportation system.

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Alice拥有3个量子位比特${A_1}$, ${A_2}$, ${A_3}$和一对EPR纠缠态${p_1}$${p_2}$, Bob拥有3个量子位比特${B_1}$, ${B_2}$, ${B_3}$和一对EPR纠缠态${q_1}$${q_2}$. 在通信过程中, ${A_1}$${B_1}$${B_2}$构成一个GHZ态粒子, ${A_2}$${A_3}$${B_3}$构成一个GHZ态粒子, Alice的纠缠对粒子${p_1}{p_2}$和Bob的纠缠对粒子${q_1}{q_2}$进行信息交换. Alice和Bob的纯EPR对可以表示为${\left| \varPhi \right\rangle _{{p_{\text{1}}}{p_2}}} = {\alpha _0}\left| {00} \right\rangle + {\beta _0}\left| {11} \right\rangle$及${\left| \varPhi \right\rangle _{{q_1}{q_2}}} = {\alpha _1}\left| {00} \right\rangle + {\beta _1}\left| {11} \right\rangle$, 在该表达式中, 有${\text{|}}{\alpha _0}{{\text{|}}^2} + {\text{|}}{\beta _0}{{\text{|}}^2} = 1,\; {\text{|}}{\alpha _1}{{\text{|}}^2} + |{\beta _1}{|^2} = 1$. GHZ态粒子与EPR纠缠对混合的量子隐形传态系统由${\left| Q \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}}},\; {\left| \varPhi \right\rangle _{{p_{\text{1}}}{p_2}}},\; {\left| \varPhi \right\rangle _{{q_{\text{1}}}{q_2}}}$组成, 表达式如下所示:

式中, ${\left| Q \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}}} = {\left| {{\varphi _i}} \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}}} \otimes {\left| {{\varphi _i}} \right\rangle _{{A_2}{A_3}{B_3}}}$, 其中${\left| {{\varphi _i}} \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}}}$和${\left| {{\varphi _i}} \right\rangle _{{A_2}{A_3}{B_3}}}$表示GHZ态, $i \in \{ 0, 1, 2, \cdots, 7\}$. 假设${\left| \phi \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}{{\text{p}}_{\text{1}}}{{\text{p}}_{\text{2}}}{{\text{q}}_{\text{1}}}{{\text{q}}_{\text{2}}}}}$为${\left| {{\phi _0}} \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}{{\text{p}}_{\text{1}}}{{\text{p}}_{\text{2}}}{{\text{q}}_{\text{1}}}{{\text{q}}_{\text{2}}}}}$状态, 对该状态粒子进行CNOT操作, 在计算过程中${p_{\text{1}}}$与${q_1}$作为控制量子位, ${A_1}$与${B_3}$作为目标量子位. 系统进行CNOT计算后, 状态${\left| {{\phi _0}} \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}{{\text{p}}_{\text{1}}}{{\text{p}}_{\text{2}}}{{\text{q}}_{\text{1}}}{{\text{q}}_{\text{2}}}}}$变为${\left| {{\phi _1}} \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}{{\text{p}}_{\text{1}}}{{\text{p}}_{\text{2}}}{{\text{q}}_{\text{1}}}{{\text{q}}_{\text{2}}}}}$, ${\left| {{\phi _1}} \right\rangle _{{A_1}{B_1}{B_2}{A_2}{A_3}{B_3}{{\text{p}}_{\text{1}}}{{\text{p}}_{\text{2}}}{{\text{q}}_{\text{1}}}{{\text{q}}_{\text{2}}}}}$状态粒子表示如下:

该粒子状态进行纠缠变换后得到

通信系统的通信过程如下.

步骤1　通信双方Alice和Bob按照图6所示制备GHZ态粒子和EPR纠缠对, 进行通信前的准备. 通信系统中${A_1}{B_1}{B_2}$形成一个GHZ态粒子, ${A_2}{A_3}{B_3}$形成另外一个GHZ态粒子, 两个GHZ态粒子与两个EPR纠缠对共同构成了该通信系统.

步骤2　Alice和Bob进行CNOT操作, 该过程中${p_1}$和${q_1}$作为控制量子比特, ${A_1}$和${B_3}$作为目标量子比特.

步骤3　通信双方Alice与Bob对${A_1}$, ${B_3}$, ${p_1}$和${q_1}$进行量子测量, 测量方式为Alice在自己侧对${A_1}$进行Z基测量, 对${p_1}$进行X基测量, Bob在自己侧对${B_3}$进行Z基测量, 对${q_1}$进行X基测量. 各自测量结束后, 剩余未被进行测量粒子${B_1}$, ${B_2}$, ${A_2}$, ${A_3}$, ${p_2}$, ${q_2}$状态崩塌, 通信双方Alice和Bob用经典信道相互通知对方测量结果.

步骤4　在分别接收到对方发送的${p_1}$和${q_1}$的测量结果后, Alice和Bob分别在${p_2}$和${q_2}$上进行X基测量.

步骤5　Alice和Bob执行酉操作来进行状态准备, 根据各自在${p_2}$和${q_2}$上得到的测量结果, 分别对${A_2}$, ${A_3}$, ${B_1}$和${B_2}$进行幺正变换, 之后Alice对EPR状态进行重构, Bob对EPR状态进行恢复.

最终得到的结果: ${p_1}$和${p_2}$的初始状态表示形式处于${B_1}$和${B_2}$上, 而${q_1}$和${q_2}$的初始状态表示形式在${A_2}$和${A_3}$上.

对于上述第5步的操作, 假设在第3步结束时, 系统中剩余粒子组成的崩塌状态为

则在第4步结束时Alice的测量值为${\left| 0 \right\rangle _{{A_1}}}{\left| + \right\rangle _{{p_1}}}$, Bob的测量值为${\left| 0 \right\rangle _{{B_3}}}{\left| + \right\rangle _{{q_1}}}$.

在计算双向量子隐形传态的效率时, Shima 和Monireh 等^[30]利用量子信道的传输态, 将协议的效率定义为$\eta = {c}/{{{q_c}}}$, 式中$c$表示量子通道传送的量子态数, ${q_c}$表示用于构造量子通道的量子位. 将本方案与一些典型的双向量子隐形传态的效率对比, 如表1所列, 可观察到具备良好的通信效率.

表 1  双向量子隐形传态协议对比

Table 1.  Comparison of two-way quantum teleportation protocols

协议	传送的量子态	效率/%
文献[31]	单量子态	50
文献[32]	单量子态	40
文献[33]	单量子态	28.5
本方案	纯EPR对	66.7

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3.2   基于GHZ态的可认证QSDC网间通信系统

QSDC可以在量子信道中直接安全的传输经典信息, 且通信过程不需要密钥的生成, 无需分配资源进行密钥的管理, 也无需后续的加密和解密过程. 虽然其发展起步较晚, 但是在20多年的发展历程中, 衍生出了许多通信协议, 在2021年9月30日, 量子安全直接通信首次实现了15个用户间的通信, 传输距离可以达到40 km^[34]. QSDC作为量子领域的研究热点, 也产生了许多通信协议^[35-38], 而王明宇等^[39]提出的量子直接传态使QSDC应用到量子态的信息传输.

SWGG$\Lambda$-TQAN使用QSDC进行通信时, 要考虑窃听和入侵节点等安全问题. 使用基于GHZ态的可认证QSDC协议进行网间通信, 通信双方可以确认对方的安全性后进行通信. 为了便于对协议进行叙述, 将通信双方定义为Alice和Bob, 在通信开始前, Alice和Bob需要共享长度为$n$的密钥q序列, 便于后续双方的身份认证.

步骤1　Alice根据自己需要传输的信息M制备一串单光子序列和一串GHZ态序列. GHZ态序列中每个粒子为(5)式中的一种状态, 每个单光子为$\left| 0 \right\rangle$, $\left| 1 \right\rangle$, $\left| + \right\rangle$, $\left| - \right\rangle$四种状态之一, 其中($\left| 0 \right\rangle$, $\left| 1 \right\rangle$)是一组标准正交基, 称为Z基, ($\left| {\text{ + }} \right\rangle$, $\left| - \right\rangle$)是一组标准正交基, 称为X基. X基与Z基为非正交基, 且具有如下变换关系:

步骤2　Alice将GHZ态序列中的粒子分别抽出构成序列${S_1}$, ${S_2}$和${S_3}$, 随后Alice根据密钥$q$序列对序列${S_1}$按照如下规则操作:

${q_1} = 0$时, 在${S_1}$序列中找到第1个$\left| + \right\rangle$, 记录其位置${L_1}$, 之后当${q_1} = 1$时, 在${S_1}$序列中找到第1个$\left| 1 \right\rangle$, 记录器位置${L_1}$;

${q_2} = 0$时, 在序列${S_1}$中位于${L_1}$位置处之后的粒子中, 找到第1个$\left| {\text{ + }} \right\rangle$, 将该位置标记为${L_2}$; ${q_2} = 1$时, 采取相同操作将${L_1}$后的第1个$\left| 1 \right\rangle$的位置标记为${L_2}$. 根据上述操作, 标记完所有序列, 得到位置序列$L({L}_{1}, {L}_{2}, \cdots , {L}_{n})$.

步骤3　Alice在序列${S_1}$中随机加入单光子序列得到$S_1'$, 将$S_1'$序列发送给Bob, 在确认到Bob接收到序列后, 公布检测粒子的位置与测量基. Bob根据Alice公布的信息对序列进行Z基或X基测量, 并将测量后的结果等信息返还给Alice, Alice拿到这些信息后, 根据计算结果的错误率判断该通信信道是否安全. 若不安全则放弃此次通信, 若信道安全则进行下一步.

步骤4　Alice与Bob进行身份认证. Alice通过无法被修改的经典信道将位置序列L公布给Bob, Bob使用最开始制备的密钥选择对应的测量基进行测量. 对应位置${L_i}$使用${q_i}$测量, 并得到最终的测量结果$q'$. 如果序列$q' = q$, 则身份认证成功, 节点并未发生异常, 不相等则说明存在异常, 此时放弃通信.

步骤5　在验证完信道与通信节点的安全性后, Alice将序列${S_2}$和单光子序列结合得到序列$S_2'$, 将序列${S_2}'$发送给Bob.

步骤6　Bob拿到序列$S_2'$后, Alice公布对应单光子序列位置和测量基信息, Bob根据Alice的信息对序列$S_2'$测量, 根据测量结果分析是否可继续通信.

步骤7　同第5步, Alice将${S_3}$序列和单光子序列结合得到序列$S_3'$, 并将序列$S_3'$发送给Bob.

步骤8　Bob接收到序列$S_3'$后, Alice公布对应单光子序列位置和测量基信息, Bob根据Alice的信息对序列$S_3'$测量, 分析错误率, 如同第6步.

步骤9　整个通信过程均无问题后, Alice将原序列所有需要的信息均发送给Bob, Bob根据Alice发送的消息对序列进行恢复和测量. 最终得到Alice需要传输的信息$M$.

在该协议中, 定义(5)式中的8种GHZ态粒子形式分别对应000—111八种编码. 假设Alice要发送编码信息001, 则在通信开始前, 需要制备的GHZ态粒子为$\left| {{\varphi _2}} \right\rangle = ({1}/{{\sqrt 2 }}){(\left| {001} \right\rangle + \left| {110} \right\rangle )_{123}}$, 同时假设用到的单光子为$\left| - \right\rangle$和$\left| {\text{ + }} \right\rangle$. 则Alice抽出每列粒子构成的序列${S_1}$, ${S_2}$和${S_3}$分别为

进行位置标记后, 假设Alice选取$\left| - \right\rangle$随机加入${S_1}$序列构成${S'_1}$序列, 并发送给Bob, Bob同时进行信道安全性测量和身份认证. 由(10)式和(11)式可得出序列${S'_1}$为

信道确认安全且身份认证通过后, 假设Alice选取$\left| {\text{ + }} \right\rangle$随机加入${S_2}$序列构成${S'_2}$序列, 发送给Bob, Bob接收到序列后, 再进行一次安全验证. 由(10)式和(11)式可得出序列${S'_2}$为

信道没有安全问题时, Alice发送${S_3}$序列, 假设Alice选取$\left| - \right\rangle$随机加入${S_3}$序列构成${S'_3}$序列, 则序列${S'_3}$为

Bob接收到序列后告知Alice, Alice确认无误后, 将原序列中位置等信息经过无法修改的信道传递给Bob, Bob对序列进行恢复, 最终得到Alice想要发送的编码信息001.

该通信协议使用GHZ态粒子, 给信道提供更高的通信容量, 一个量子态可以存储4 bit的信息量. 使用QSDC技术后, 虽然该通信协议涉及到了密钥的使用, 增加了资源的消耗, 但是可以有效抵御第三方的截获攻击或重发攻击, 辅助粒子攻击等多种攻击方式. 即使在通信过程中, 某一通信节点发生异常, 通信协议中的身份认证功能可以有效防止该异常节点对SWGGΛ-TQAN造成进一步的破坏.

量子通信协议的效率是根据量子通信效率和量子比特效率衡量的, 量子传输效率^[40]定义为

式中${m_{\text{s}}}$表示通信过程中传输的信息总量, ${q_{\text{u}}}$表示通信过程中的总量子比特数, ${p_{\text{c}}}$表示通信过程中的总经典比特数. 量子比特效率^[40]定义为

式中${q_{\text{c}}}$为通信过程使用到的量子比特. 网间通信系统中, 为了建立安全的通信信道, 使用了$n = M$个量子比特作为密钥序列, 完成身份认证功能. 当需要传输$8 M$个总信息比特时, 使用到的总量子比特数为$4 M$个, 使用到的经典比特数为$3 M$个, 故该通信系统的量子传输效率为

量子比特效率为

将经典的QSDC方案与网间通信系统方案进行量子传输效率、量子比特效率和编码容量对比分析, 结果如表2所列. 可以看出该网间通信系统的量子比特率并列最高, 且由于GHZ态粒子的使用, 在保证了高编码容量的同时具备良好的传输效率.

表 2  QSDC协议参数比较

Table 2.  Comparison of QSDC protocol parameters.

协议名称	量子传输效率	量子比特效率	编码容量/bits
Ping-Pong协议	0.33	0.33	1
Two-Step QSDC协议	1	1	2
单光子的单向QSDC协议[41]	0.5	1	1
Bell态和单光子混合QSDC协议[42]	1	1	1.5
本方案	1.14	1	4

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4.   性能仿真分析

4.1   SWGGΛ-TQAN传输误码率分析

在实际应用中, 环境噪声、人为干扰等因素都会影响通信性能, 产生通信问题. 针对SWGGΛ-TQAN, 设量子信息传输误码率为P_r^[43], 则在本文中网间误码率$P_{\rm r}$的计算公式为

式中, $\sigma$表示噪声平均功率谱密度, $n$表示头节点的个数, ${n_{\rm{L}}}$表示对应传输距离的子节点个数, L表示网间信息传输距离, λ为光子波长, f_T表示发送端孔径, f_R表示接收端孔径, F_T表示发射端传输因子, F_R表示接收端传输因子, L_p链路损耗.

根据相关分析^[44], 当选择λ = 1550 nm的光波长时, 可以削减自然大气环境对传输链路的衰减. 分析单组网情况$\left( {n = 1} \right)$误码率P_r和网间信息传输距离L间的关系, 在传输距离为L时, 有2个子节点$\left( {{n_L}{\text{ = }}2} \right)$, 误码率公式中的其他变量设置为f_T = f_R = 35 mm, F_T = F_R = 1, ${L_{\text{p}}}$=5% , 噪声平均功率谱密度${\sigma ^2}$分别设置为1, 2和3 dB/m.

如图7所示, ${\sigma ^2}$一定时, 头节点与子节点的通信距离越远, 网间量子误码率越大. 在${\sigma ^2}$ = 1 dB/m环境下, 网间通信距离由300 m增大到800 m时, 误码率由0.026增大到0.187. 当头节点与子节点的通信距离固定时, 随着${\sigma ^2}$增大, 网间量子误码率也会增大. 在头节点与子节点的传输距离为700 m条件下, ${\sigma ^2}$ = 1 dB/m时, 误码率为0.143; ${\sigma ^2}$ = 3 dB/m时, 误码率为0.43.

图 7  头节点和子节点间通信距离与误码率的关系

Fig. 7.  Relationship between bit error rate and communication distance between head node and child node.

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除了上述趋势, 当网间通信距离在400 m内, 随着通信距离的增大, 误码率增长的幅度不大. 以${\sigma ^2} = 2$dB/m环境为例, 当通信距离在0—400 m范围内, 误码率由0增长到0.094, 但当最远通信距离大于400 m, 由400 m增大到1000 m时, 误码率由0.094增大到0.585, ${\sigma ^2} = 1$ dB/m与${\sigma ^2} =$3 dB/m环境下也是同样的趋势. 综上所述, 若头节点与子节点的通信范围在0—400 m内, 误码率的提升缓慢; 当通信距离大于400 m时, 误码率的提升较快, 将400 m定义为“网间敏感距离”.

对于单头节点SWGGΛ-TQAN, 增加子节点时, 只能向两侧延伸, 头节点与处子节点的通信距离一旦超过“网间敏感距离”, 误码率的较快增长会使网络通信质量受到很大影响. 对于多头节点SWGGΛ-TQAN, 即类似于图4的拓扑结构, 总节点个数相同时, 该结构会存在多个单头节点SWGGΛ-TQAN, 对于每一个单头节点SWGGΛ-TQAN, 头节点与最远子节点的通信距离超过“网间敏感距离”的可能性更低, 此时误码率对网络通信质量影响较小.

4.2   SWGGΛ-TQAN能耗分析

SWGGΛ-TQAN中每个节点的能耗均为两部分, 即飞行能耗和通信能耗, 假设 SWGGΛ-TQAN存在$N$个节点, 以持续时间$T$为一个周期. 在该周期内, 每个节点的运动情况分为移动或悬停. 设悬停时的功率为${P_{\text{s}}}$, 移动时的功率为${P_{\rm m}}$, 移动时的速度为$v$, 由于速度加速至$v$或减速过程至$0$的时间极短, 可忽略. 设在$T$内有${t_1}$时间内节点在运动, 则其位移能耗${E_{\text{m}}}$为

则节点在$T$内有$T - {t_1}$时间处于悬停状态, 节点的悬停能耗${E_{\text{s}}}$为

卫星与头节点每次通信过程中, 定义头节点接收单位数据量功率为${P_{\text{a}}}$; 在网内通信中, 定义节点需要接收或传输单位数据量的功率为${P_{\text{b}}}$. 头节点需要完成与卫星及两个子节点的通信, 若头节点数目为${N_{\text{f}}}$, 则头节点的通信能耗${E_{\text{f}}}$为

子节点每次通信均需要一次接收与一次传输, 则总体子节点的通信能耗${E_{\text{c}}}$表示为

因此, 整个组网在时间$T$内的总能耗为

基于上述分析, 给定悬停功率${P_{\text{s}}}$为2 W, 移动功率${P_{\text{m}}}$为4 W, 头节点与卫星通信的数据功率${P_{\text{a}}}$为5 W, 网间通信功率${P_{\text{b}}}$为3 W, 每个持续时间$T$内均有80%的时间在运动, 即$t = 0.8 T$.

以21节点为例, 针对多头节点SWGGΛ-TQAN、单头节点SWGGΛ-TQAN和节点不构成SWGGΛ-TQAN这3种结构, 分析各自能耗. 多头节点SWGGΛ-TQAN共有3个头节点, 18个子节点; 单头节点SWGGΛ-TQAN有1个头节点和20个子节点; 不构成SWGGΛ-TQAN时, 节点间没有联系, 为21个头节点.

图8是3种结构随时间的总能耗变化. 显然, 3种结构的能耗均随时间增大, 且无组网结构的总能耗远大于SWGGΛ-TQAN结构的总能耗. 当$T$为4 h, 无组网结构的总能量消耗为1226 J, 单头节点SWGGΛ-TQAN的总能量消耗为826.4 J, 多头节点SWGGΛ-TQAN的总能量消耗为866.4 J; 当$T$为9 h, 无组网结构的总能量消耗为2759 J, 单头节点SWGGΛ-TQAN的总能量消耗为1859 J, 多头节点SWGGΛ-TQAN的总能量消耗为1949 J. 针对于单头节点SWGGΛ-TQAN和多节点SWGGΛ-TQAN, 在相同总节点数的情况下, 将一些子节点变为头节点, 多头节点SWGGΛ-TQAN的能耗更大是正常现象. 但相同时间内增大的能耗不到5%, 考虑到误码率等其他属性的优势, 该能耗是可以被接受的.

图 8  总能耗随时间变化

Fig. 8.  Variation of total energy consumption with time.

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取上述参数时, 单头节点SWGGΛ-TQAN相较于无组网结构的能量节省为32.6%, 多头节点SWGGΛ-TQAN相较于无组网结构的能量节省为29.3%. 考虑到实际自由空间中, 公式中各参数值会比该仿真条件下参数值更大, 可以预见到SWGGΛ-TQAN在能量节省方面拥有优秀的性能, 即具备雁群阵列的优势.

4.3   SWGGΛ-TQAN吞吐率分析

在SWGGΛ-TQAN中, 设成功制备GHZ态序列和单光子序列的概率为${P_1}$, 通信双方认证成功的概率为${P_2}$, 子节点成功收到量子信息的概率为${P_3}$, 那么成功将一个量子态信息传输至第一个子节点的概率为

若SWGGΛ-TQAN中每一侧有$Y$个子节点, 则对于某一侧最后一个子节点, 成功收到量子态信息的概率为

在头节点与第一个子节点的通信过程中, 制备GHZ态序列和单光子序列的时间为${C_1}$, 双方进行身份认证的时间为${C_2}$, 量子信息通过信道的传输时间为${C_3}$. 因此, 成功将信息传输至第1个子节点的时间为

若SWGGΛ-TQAN中每一侧有$Y$个子节点, 则对于某一侧最后一个子节点, 成功收到信息时需要的时间为

则对于SWGGΛ-TQAN, 吞吐率可以定义为

考虑到节点间的通信与身份认证均在信道, 以及在自由空间传输时不同因素的干扰, 则${C_1}$和${C_2}$相比于${C_3}$很小, 可以忽略不计, 所以

根据文献[45]可知, 自由空间理想条件下的通信概率可以达到0.95, 所以取${P_1}$, ${P_2}$, ${P_3}$的值均为0.95. 自由空间存在噪声等多种影响因素, 会使传输时延不同程度的减慢, 仍以噪声平均功率谱密度${\sigma ^2}$分别为1, 2和3 dB/m情况下讨论, 设${\sigma ^2}$分别为1 dB/m情况下的传输时延为1 μs, 2 dB/m下的时延为1.5 μs , 3 dB/m下的时延为2 μs.

如图9所示, 吞吐率随着噪声功率谱密度的增大而减小, 当单侧子节点数目为3时, 在噪声功率谱密度为${\sigma ^2} = 1$ dB/m的自由空间, 单头节点SWGGΛ-TQAN的吞吐率为245 kb/s, 在噪声功率谱密度为${\sigma ^2} = 3$dB/m的自由空间, 单头节点SWGGΛ-TQAN的吞吐率为122.5 kb/s. 在噪声功率谱密度一定的情况下, 随着单侧子节点数目的增多, 单头节点SWGGΛ-TQAN的吞吐率降低. 在${\sigma ^2} = 2$dB/m的自由空间中, 当单侧子节点数由2增加到7时, 吞吐率由110.6 kb/s下降到46.45 kb/s.

图 9  单头节点SWGGΛ-TQAN中吞吐率与单侧子节点数目的关系

Fig. 9.  Relationship between throughput and the number of single side child nodes in single-head node SWGGΛ-TQAN

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根据上述分析, 发现单头节点SWGGΛ-TQAN的单侧子节点数目为10, 即整体组网数量为21时, 构成如图3所示的结构, 在${\sigma ^2} = 2$ dB/m的自由空间中, 组网的吞吐率只有23.9 kb/s, 但若构成图5所示的多头节点SWGGΛ-TQAN, 总节点数目仍为21, 此时3个单头节点SWGGΛ-TQAN的吞吐率分别为79.83, 163.4和601.7 kb/s.

考虑到组网中节点数量大多情况下不会太少, 故多头节点SWGGΛ-TQAN更加适用, 保证每个单头节点SWGGΛ-TQAN的吞吐率不会太低. 综上所述, 应根据组网需求的总节点数目, 选择构建单头节点SWGGΛ-TQAN或多头节点SWGGΛ-TQAN, 保证量子组网的吞吐率尽可能大.

5.   结　论

本文基于雁群空中飞行阵列的特点, 提出了基于雁群阵列的量子空中组网构建策略, 对该组网构建的可行性进行了理论研究, 提出了组网与卫星、网间的两种通信系统, 并对其性能进行了分析. 仿真结果表明, SWGGΛ-TQAN的构建在理论上是可行的, 且总节点数目过多时, 多头节点SWGGΛ-TQAN具备更好的性能. 针对不同总节点数, SWGGΛ-TQAN可以构建不同的拓扑结构, 具有较强的适应性. 仿雁群阵列量子空中组网的构建策略为量子通信及空中组网领域的研究提供了新的方向, 同时也为后续对该组网的其他研究奠定了理基础.