Solving complex nonlinear problems based on gradient-optimized physics-informed neural networks

Tian Shi-Fang; Li Biao

doi:10.7498/aps.72.20222381

Abstract

Authors and contacts

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1. 引　言
2. GeTe薄膜的相变机理
3. 实验与讨论
3.1 基板材料的影响
3.2 沉积条件的影响
3.3 退火条件的影响
3.4 GeTe薄膜的应用
4. 结　论

References

Abstract

In recent years, physics-informed neural networks (PINNs) have attracted more and more attention for their ability to quickly obtain high-precision data-driven solutions with only a small amount of data. However, although this model has good results in some nonlinear problems, it still has some shortcomings. For example, the unbalanced back-propagation gradient calculation results in the intense oscillation of the gradient value during the model training, which is easy to lead to the instability of the prediction accuracy. Based on this, we propose a gradient-optimized physics-informed neural networks (GOPINNs) model in this paper, which proposes a new neural network structure and balances the interaction between different terms in the loss function during model training through gradient statistics, so as to make the new proposed network structure more robust to gradient fluctuations. In this paper, taking Camassa-Holm (CH) equation and DNLS equation as examples, GOPINNs is used to simulate the peakon solution of CH equation, the rational wave solution of DNLS equation and the rogue wave solution of DNLS equation. The numerical results show that the GOPINNs can effectively smooth the gradient of the loss function in the calculation process, and obtain a higher precision solution than the original PINNs. In conclusion, our work provides new insights for optimizing the learning performance of neural networks, and saves more than one third of the time in simulating the complex CH equation and the DNLS equation, and improves the prediction accuracy by nearly ten times.

Keywords:

physics-informed neural networks /
gradient optimization /
Camassa-Holm equation /
derivative nonlinear Schrödinger equation /
peakon solution /
rogue wave solution

PACS:

07.57.-c	(Infrared, submillimeter wave, microwave and radiowave instruments and equipment)
41.20.Jb	(Electromagnetic wave propagation; radiowave propagation)
44.10.+i	(Heat conduction (see also 66.25.+g and 66.70.-f in nonelectronic transport properties of condensed matter))
44.35.+c	(Heat flow in multiphase systems)

Authors and contacts

School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China

Corresponding author: Li Biao, libiao@nbu.edu.cn

Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 12175111, 12235007) and the K. C. Wong Magna Fund in Ningbo University, China

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1. 引　言

随着5G/6G技术的飞速发展, 推动了通信领域的跨越式进步, 世界各国在无线通信技术方面的竞争也愈加激烈. 新一代无线通信系统在不断更新迭代中, 朝着低成本、集成化、高速率、大带宽、多功能和灵活性等多个方向全面发展与提升. 而作为无线通信系统重要部件的射频前端模块也从未停止前进的步伐, 其性能的优劣会直接影响整个通信系统的数据通讯与传输质量. 在过去几年中, 由于微波射频领域对带宽、功能、性能的需求不断增长, 射频模块的数量持续增加, 在这样的现实驱动下, 研制能实现可重构和多频段操作的射频前端模块成了当前以及未来射频技术重要的发展方向. 而可重构射频技术的实现离不开核心元件射频开关, 这使得射频开关在雷达、通讯、电子对抗系统以及移动通信技术中发挥了不可替代的作用^[1–7].

目前国际上常用的射频开关主要有PIN二极管^[8]、场效应管(field-effect transistor, FET)^[9]以及微机电系统(micro-electro-mechanical system, MEMS)^[10]等. PIN二极管和FET属于半导体开关, 虽然具有成本低、结构紧凑、易集成的优势, 但是普遍存在信号泄漏、非线性和高频性能恶化等问题^[11]. 相比于半导体开关, RF-MEMS开关在射频性能方面更具优势, 然而可靠性问题、激励电压大、成本高仍然给其发展带来了一定的限制^[12]. 为了解决传统开关存在的诸多问题, 开发新的开关技术成为迫切需求. 在这样的背景下, 相变射频开关应运而生. 相变射频开关主要利用相变材料(phased-change material, PCM)在高阻态和低阻态之间的可逆切换实现控制射频信号通断的功能, 因此相变材料的质量直接决定了开关的性能.

常见的相变材料主要分为两类, 一类是由一种或多种硫属元素S, Se或Te组成的硫系化合物, 另一类是钒的氧化物, 主要有VO, VO₂, V₂O₃, V₂O₅, V₃O₅等, 这些钒氧化物均具备相变性质. 在众多钒的氧化物中, 由于二氧化钒(VO₂)的相变温度最接近室温, 其研究最为广泛. 作为射频开关的核心功能层, VO₂的相变温度较低(68 ℃)^[13,14], 在实际应用中极易受到环境温度的影响产生不可控的导通情况, 失去开关的作用. 此外, VO₂属于易失性材料, 需要激励来维持其金属态, 和PIN二极管一样维持状态需要耗能. 而硫系化合物具有天然的非易失性和较高的晶化温度(~190 ℃)^[15–18], 主要包括Ge-Sb-Te, Sb-Te和Ge-Te这3种体系, 其三元相图如图1所示^[19]. 图中伪二元线(GeTe到Sb₂Te₃)上的材料一般具有优良的结晶速度和热稳定性, 通常作为相变射频开关的可选材料. 在众多材料中, GeTe的晶态电阻率是最低的, 并且相变前后阻值的动态范围变化大, 十分契合射频开关的应用^[20]. 然而一方面在比较成熟的相变存储领域中, 针对GeTe本身电性能的要求并不高^[21,22], 特别是晶态电阻率, 因此其制备条件无法直接应用于射频开关领域, 需要进一步优化; 另一方面在射频应用领域, 虽然GeTe相变射频开关已经获得了较为优异的性能, 但是关于GeTe薄膜的制备只有零星的阐述^[23–26], 缺乏比较系统全面的归纳分析, 无法为制备电性能优异的GeTe薄膜提供有效的指导.

$图 1 Ge-Sb-Te系统的三元相图\r\nFig. 1. Ternary phase diagram of Ge-Sb-Te system.$

图 1 Ge-Sb-Te系统的三元相图

Fig. 1. Ternary phase diagram of Ge-Sb-Te system.

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磁控溅射是制备高质量GeTe薄膜常用的方法. 本文利用常规的磁控溅射设备对GeTe薄膜的电性能进行了系统的研究. 我们分别从衬底材料的选择、沉积条件、退火条件3个方面详细阐述了制备条件对GeTe薄膜电性能的影响规律, 探索出低电阻率GeTe薄膜的有效制备条件, 并采用多种表征手段对薄膜的物理特性进行分析研究. 此外, 采用紫外切割的方法将GeTe薄膜晶圆进行切片处理, 并将其应用于一款并联型毫米波射频开关的设计中, 进一步验证了GeTe薄膜的相变特性, 展示了GeTe薄膜在高性能毫米波射频开关领域的应用潜力.

2. GeTe薄膜的相变机理

实现GeTe在晶态和非晶态之间的相变, 需通过热、电、光等方式先将GeTe加热到熔点(T_m)以上, 材料从固态转变为熔融态. 此时, 由于原子键的断裂, 晶体内部规则的晶格结构被破坏. 为了将原子排布固定在无定形状态, GeTe必须被迅速冷却至结晶温度(T_c)以下, 从而保证其完全转化为非晶态. 对于晶化的过程而言, GeTe温度必须高于结晶温度并低于熔点, 并且还需要足够的能量和时间来重新排列原子, 形成规则的晶格结构. 根据经典结晶理论, 在结晶过程中会出现晶粒的成核和生长. 因此, 非晶态GeTe的成核速率I、生长速率δ和结晶时间τ可用如下公式描述:

$I = {I_0}\exp \left( { - \frac{{E + {W_0}}}{{kT}}} \right),$

(1)

$\delta = {\delta _0}\exp \left( - \frac{E}{{kT}}\right)\left[ {1 - \exp \left( - \frac{{\beta \nu }}{{kT}}\right)} \right],$

(2)

$\tau = {\tau _0}\exp \left(\frac{{{E_x}}}{{kT}}\right),$

(3)

其中I₀, E, W₀, k, T, δ₀, β, Γ, τ₀和E_x分别表示成核速率的指前因子、原子扩散的活化能、成核势垒、玻尔兹曼常数、绝对温度、生长速率的指前因子、晶相和非晶相之间的自由能差、黏附在晶粒上的粒子平均体积、结晶时间的指前因子和结晶活化能. 由(1)式和(2)式可知, 成核速率和生长速率在低温(T < 800 K)下表现出阿列纽斯(Arrhenius)行为, 其中两个速率与1/T呈指数关系. 整个相变机制如图2所示.

$图 2 GeTe材料随温度变化的相变机制\r\nFig. 2. Phase transition mechanism in GeTe materials with the variation of temperature.$

图 2 GeTe材料随温度变化的相变机制

Fig. 2. Phase transition mechanism in GeTe materials with the variation of temperature.

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3. 实验与讨论

当GeTe薄膜应用到射频开关设计时, 其质量高低决定了开关的整体性能. 质量高的GeTe薄膜具有高电阻比, 或者更确切地说, 在晶态时具有更低的方阻. 影响GeTe薄膜方阻的因素很多, 包括基板材料、沉积条件和退火条件. 非晶GeTe材料属于p型半导体, 因此GeTe薄膜通过射频磁控溅射沉积在衬底上. 选择纯度为99.99%的3英寸GeTe靶材(原子含量比为50∶50)来降低GeTe薄膜中的杂质含量, 并确保Ge和Te的原子比在50∶50.

3.1 基板材料的影响

考虑到GeTe薄膜与基板直接接触, 选择合适的基板材料才能使GeTe薄膜具有良好的性能. 常用的基板材料有石英玻璃(SiO₂)和C轴晶向蓝宝石(Al₂O₃)两种. 两种类型的基板厚度相等, 均为0.5 mm. 除基板材料外, 所有样品的沉积和退火条件均相同. 为了方便比较, 将所有样品的GeTe薄膜厚度统一为150 nm. 当在室温下溅射时, 得到的样品都是非晶态, 再通过真空退火的方式获得晶态. 薄膜的电性能通常用方阻来表征, 方阻和电阻率的关系如下:

${R_\square } = \frac{\rho }{h},$

(4)

其中ρ和h分别是薄膜的电阻率和厚度. 根据()式, 当h相等时, ${R_\square }$ 和ρ之间存在线性正相关关系. 所有样品的方阻由商用多功能数字四探针方阻仪进行测试. 列出了测试结果. 从可以看出, 在相同条件下, 蓝宝石衬底上晶态的方阻低于石英玻璃衬底上的薄膜方阻. 值得注意的是, 最低的GeTe薄膜方阻达到30 ${\Omega/\square }$ . 主要原因可能是GeTe薄膜的晶格与蓝宝石的晶格匹配度比石英玻璃更高, 导致沉积在蓝宝石衬底上的GeTe薄膜缺陷更少. 在测试中, 所有样品在非晶态下的方阻都在10 ${{\rm M}\Omega/\square}$ 以上, 实现了超过10⁵的高电阻比.

表 1 不同衬底的GeTe薄膜方阻

Table 1. Sheet resistance of GeTe Films for different substrates.

序号	衬底类型	溅射条件	退火条件	方阻/( $\Omega\cdot \square^{-1}$ )
1	SiO₂	120 W, 10 mTorr	350 ℃, 30 min	67.8
2	Al₂O₃	120 W, 10 mTorr	350 ℃, 30 min	66
3	SiO₂	80 W, 4 mTorr	350 ℃, 30 min	37.2
4	Al₂O₃	80 W, 4 mTorr	350 ℃, 30 min	33.8
5	SiO₂	60 W, 3 mTorr	350 ℃, 30 min	36
6	Al₂O₃	60 W, 3 mTorr	350 ℃, 30 min	30

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为了进一步从物理特性的底层探究衬底材料对GeTe薄膜方阻影响的原因, 对5号和6号样品进行了X射线衍射(XRD)图谱分析, 并将两种样品的图谱与标准卡(PDF#47-1049)进行对比, 实验测试结果如图3所示. 从图中的结果可以看到, 两种衬底上溅射生长的GeTe薄膜, 都只在晶格平面(021), (202), (220)和(042)对应的衍射角处出现了衍射峰, 其中较强的衍射峰均出现在(202)和(220)晶格面, 说明两种样品都实现了非晶化到晶化的完全转变, 并没有出现其他的杂质相. 然而两种样品的图谱, 仍然存在差异, 主要体现在(202)和(220)两个较强衍射峰的强度上. 通过对比发现, 在蓝宝石衬底上制备的GeTe薄膜在这两个晶格面处的衍射峰强度高于玻璃衬底上生长的薄膜, 换句话说, 前者在同样的条件下结晶度要高于后者, 而更高的结晶度则对应更高的导电性. 另外, 薄膜表面的粗糙度也是影响方阻的重要因素之一, 因此对两种衬底的样品进一步采用原子力显微镜(AFM)进行表面特性的表征, 实验结果如图4所示. 从图4可以很明显地看到, 蓝宝石衬底上生长的GeTe薄膜粗糙度要明显低于玻璃衬底上的薄膜, 表面平整度会更加优秀, 导致前者在同等条件下的导电性要优于后者.

$图 3 样品5和样品6的XRD图谱\r\nFig. 3. XRD patterns of sample 5 and 6.$

图 3 样品5和样品6的XRD图谱

Fig. 3. XRD patterns of sample 5 and 6.

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$图 4 AFM三维图像　(a) 玻璃衬底; (b) 蓝宝石衬底\r\nFig. 4. The 3D AFM patterns: (a) Glass substrate; (b) sapphire substrate.$

图 4 AFM三维图像　(a) 玻璃衬底; (b) 蓝宝石衬底

Fig. 4. The 3D AFM patterns: (a) Glass substrate; (b) sapphire substrate.

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3.2 沉积条件的影响

对于沉积条件而言, 主要考虑两个关键因素: 溅射功率和压强. 由于是非单一变量, 所以采用变量控制的方法. 为了研究沉积条件对GeTe薄膜晶态方阻的影响, 溅射功率变化范围为30—120 W, 压强变化范围为2—10 mTorr. 所有样品均在真空退火炉中以350 ℃的条件退火30 min, GeTe薄膜的厚度固定在150 nm, 并统一选择石英玻璃作为基板材料.

对于溅射功率而言, 在实验过程中并没有选择过低或者过高的溅射功率, 主要是出于对靶材、沉积速率、成膜质量等方面的考虑. 当溅射功率过低时, 氩原子被电离的数量减少, 真空腔体内的离子浓度降低, 并且离子能量会偏低, 导致轰击到阴极靶材上产生的溅射粒子减少, 沉积速率减小, 最终沉积到基片上的薄膜致密性和附着力较差, 在实际溅射过程中, 过低功率在大多数时候是很难使靶材起辉的, 因而无法完成镀膜操作. 一般在溅射时, 会通过增大功率来提高沉积速率, 两者一般是线性的关系, 但是过高的功率会使氩离子具有很高能量, 轰击在靶材上时, 一方面靶材表面会因温度过高而熔化, 多数情况下产生弧光放电的现象, 导致靶材损坏, 另一方面高能量的离子进入靶材的深度增加, 然而也意味着能量会很快损耗掉, 导致靶原子获得的能量减少, 逸出难度增加, 实际被溅射出的靶原子减少, 最终的沉积速率也会降低. 图5给出了不同溅射功率对GeTe薄膜沉积速率的影响情况. 从图5可以看出, 沉积速率随功率的增大呈现出线性变化, 功率越大, 速率越快, 和前面所述的物理机理吻合, 然而这里有一点值得注意的是, 对于GeTe靶材而言, 实验中采用120 W的功率时已经出现了弧光放电的现象, 说明靶材已经接近承受的功率限制, 应尽量低于该数值.

$图 5 沉积条件对沉积速率的影响\r\nFig. 5. Influence of deposition condition on the deposition rate.$

图 5 沉积条件对沉积速率的影响

Fig. 5. Influence of deposition condition on the deposition rate.

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对于溅射压强而言, 正好与溅射功率对沉积速率和薄膜质量的影响相反, 倾向于采用低气压的设置来获得较高的沉积速率和好的薄膜质量. 当采用过高的溅射压强时, 由于平均自由程的减小, 氩离子和轰击出的靶材原子碰撞的概率将大大增加, 受到撞击后, 靶原子的能量会降低, 沉积速率随之减慢, 最终影响薄膜的致密性、均匀性以及附着力. 而低气压则能获得较大的平均自由程, 降低了靶原子与氩离子的碰撞概率, 减少了能量的损耗, 有利于提升沉积速率和靶原子在衬底上的扩散能力, 薄膜的质量和纯度也进一步提高. 然而过低的溅射压强, 会导致氩离子浓度低, 溅射出的靶原子数量少, 常常会出现不起辉的现象. 如图5所示, 相同的溅射功率下, 低压强获得了更高的沉积速率. 此外, 考虑到GeTe薄膜的电阻率对两种元素的原子比例较为敏感, 理想的原子比为1∶1, 但是不同压强的影响下, 可能会导致原子比的变化进而影响电阻率. 因此, 我们进一步采用EDS能谱仪对不同压强下(3 mTorr, 5 mTorr和10 mTorr, 1 Torr = 133.322 Pa)溅射的3种晶态样品进行Ge和Te元素含量的分析, 测试结果如图6所示. Ge和Te的原子比分别为1.1 (3 mTorr), 1.14 (5 mTorr), 1.18 (10 mTorr), 随着溅射压强的增大, Ge原子的含量进一步提升, 逐渐偏离理想的1∶1, Ge的偏析会导致薄膜的导电性降低, 因此制备低方阻的薄膜以低气压的条件为优.

$图 6 三种样品的EDS能谱分析　(a) 3 mTorr; (b) 5 mTorr; (c) 10 mTorr\r\nFig. 6. EDS mapping for three samples: (a) 3 mTorr; (b) 5 mTorr; (c) 10 mTorr.$

图 6 三种样品的EDS能谱分析　(a) 3 mTorr; (b) 5 mTorr; (c) 10 mTorr

Fig. 6. EDS mapping for three samples: (a) 3 mTorr; (b) 5 mTorr; (c) 10 mTorr.

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通过测量, 样品方阻随功率和压强的变化如图7所示. 当压强固定时, GeTe薄膜的方阻随功率的变化而明显变化. 从图7可以看出, 每条曲线的变化趋势都不是线性的, 最低的方阻主要集中在中等功率附近(50—80 W). 当功率(<100 W)保持不变时, 低压周围往往会出现低方阻(2—3 mTorr). 因此, 在选择溅射条件时, 需要兼顾压强和功率对薄膜的影响进行综合考虑, 目前低方阻薄膜的沉积条件最好选择中等功率和低压强, 这样的结果同时也基本印证了前面的物理分析过程的正确性.

$图 7 沉积条件对薄膜方阻的影响\r\nFig. 7. Sheet resistance with the variation of deposition power and pressure.$

图 7 沉积条件对薄膜方阻的影响

Fig. 7. Sheet resistance with the variation of deposition power and pressure.

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3.3 退火条件的影响

在室温下进行射频磁控溅射后, GeTe薄膜是非晶态. 为了使GeTe薄膜晶化, 非晶态GeTe薄膜需要在真空退火炉中退火. 根据结晶条件, 需要足够的能量和时间来维持GeTe薄膜的温度在结晶温度T_c以上和熔化温度T_m以下. 因此, 阐明退火温度对GeTe薄膜的薄层方阻的影响具有重要意义.

沉积条件与中样品6相同. 随着退火温度的变化, GeTe薄膜的电性能由方阻仪测量. 测量结果如所示. GeTe薄膜在170—200 ℃时从非晶相转变为晶相, 方阻在25—400 ℃内变化超过6个数量级. 值得注意的是, 最低的薄层方阻达到24 $\Omega/\square$ .

$图 8 薄膜方阻随退火温度的变化\r\nFig. 8. Sheet resistance change of GeTe samples with the variation of annealing temperature.$

图 8 薄膜方阻随退火温度的变化

Fig. 8. Sheet resistance change of GeTe samples with the variation of annealing temperature.

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温度对于薄膜方阻的影响机制, 主要体现在粒子微观结构的变化上, 目前常用的理论模型为伞状翻转模型(umbrella-flip)^[27], 整个晶化过程中温度对微观结构的影响如图9所示. 在未施加外部激励时, 非晶GeTe薄膜中的原子排布呈现无序状态, 但是无序中也存在有序的结构, 从整体上看, Te原子的排布会呈现出一种扭曲的面心立方型晶格结构, 而Ge原子则形成复杂的链. 单元结构以Ge原子为中心, 形成四面体结构, 对应配位键的数量为4. 此时, 当外部施加激励, 在这里为退火炉提供的热量, 随着温度的持续升高, 达到了足够的能量, 即相变温度(170—200 ℃), Ge—Ge同极键会断裂, 数量急剧减少, 之后Ge原子会进入八面体中心的空位, 与Te原子配对, 形成6个Ge—Te配位键, 其中3个为长键, 另外3个为短键, 如图9右结构所示, 最终形成斜方六面体结构的亚稳相(α相)GeTe晶体. 随着GeTe的结构形态从非晶相转变为α-GeTe, 对应的带隙宽度从0.8 eV减小到0.56 eV, 更窄的带隙意味着材料更好的导电能力, 这也解释了达到相变温度后GeTe薄膜方阻急剧下降的原因. 从图8的实验结果可以看到, 最低方阻出现在400 ℃, 这里主要是因为GeTe薄膜的温度达到400 ℃时, 晶体结构将转变为立方型, 对应晶相为稳相(β相), 带隙宽度减小到0.37 eV, 说明其导电能力进一步提高. 然而并不是说明退火温度越高越好, 在实验中真空退火炉的温度提高到400 ℃以上时, 基底的热效应导致薄膜内的应力变大, 产生脱落的现象, 薄膜质量受到了严重的影响, 因此退火温度的选择一般不超过400 ℃. 此外, 薄膜方阻随退火温度的变化趋势也可通过载流子浓度和迁移率来解释. 当退火温度低于T_c时, 载流子浓度的增大导致电阻率的缓慢降低. 当温度高于T_c时, 载流子迁移率会快速增加, 从而导致电阻率的快速降低. 图10展示了非晶态和晶态GeTe薄膜的照片. 很明显, 晶态的GeTe薄膜具有像真实金属一样的金属光泽, 从侧面反映了其良好的导电性. 利用AFM对晶态和非晶态的GeTe薄膜表面形貌进行物理表征, 结果如图11所示, 颜色条表示高度. 从形貌对比中可以发现, 由于晶粒的生长导致晶态薄膜的粗糙度要大于非晶态, 并且晶态薄膜的表面出现了裂纹和孔洞, 这些主要是因为晶化过程中体积的变化引起的, 属于正常现象, 不会对薄膜在开关中的应用产生较大的影响.

$图 9 非晶态和晶态GeTe单元\r\nFig. 9. GeTe units for the amorphous state and crystalline state.$

图 9 非晶态和晶态GeTe单元

Fig. 9. GeTe units for the amorphous state and crystalline state.

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$图 10 GeTe薄膜样品照片　(a) 非晶态; (b) 晶态\r\nFig. 10. Photos of GeTe films: (a) Amorphous state; (b) crystalline state.$

图 10 GeTe薄膜样品照片　(a) 非晶态; (b) 晶态

Fig. 10. Photos of GeTe films: (a) Amorphous state; (b) crystalline state.

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$图 11 AFM图谱　(a) 非晶态; (b) 晶态\r\nFig. 11. AFM patterns: (a) Amorphous state; (b) crystalline state.$

图 11 AFM图谱　(a) 非晶态; (b) 晶态

Fig. 11. AFM patterns: (a) Amorphous state; (b) crystalline state.

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采用X射线衍射(XRD)分析了GeTe薄膜在晶态和非晶态下的相. 将GeTe薄膜在350 ℃的氩气气氛中退火30 min. 图12展示了XRD图谱. 在非晶态下, 没有明显的衍射峰. 对于晶态, 可以看出在26°, 30°, 43°和53°处出现了4个衍射峰, 分别对应于斜方六面体的4个晶格平面(021), (202), (220)和(042). 该结果与标准卡(PDF#47-1079)一致, 说明该晶态GeTe薄膜的纯度很高. 从XRD图谱来看, 该样品的最强衍射峰位于30°处, 半高全宽(FWHM)为0.48. 为了估计GeTe薄膜在晶体状态下的晶粒尺寸, 采用Scherrer公式如下:

$图 12 非晶态和晶态下, GeTe的XRD图谱\r\nFig. 12. XRD patterns of GeTe film in the amorphous and crystalline states.$

图 12 非晶态和晶态下, GeTe的XRD图谱

Fig. 12. XRD patterns of GeTe film in the amorphous and crystalline states.

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$D = \frac{{{k_0}\lambda }}{{{\beta _0}\cos \theta}},$

(5)

其中D, k₀, λ, β₀和θ分别是晶粒尺寸、Scherrer常数、X射线波长、FWHM和衍射角. 根据(5)式得到, 该GeTe薄膜样品在结晶状态下的晶粒尺寸约为16.9 nm, 这个尺寸大小在相变开关的设计中不会对开关的可靠性造成影响.

3.4 GeTe薄膜的应用

通过射频磁控溅射和退火工艺, 可以得到晶态GeTe薄膜, 采用的是厚度为0.5 mm的2 in蓝宝石作为衬底. 然而, 整个薄膜不适合应用, 因此需要进一步加工以获得精确的形状和尺寸. 考虑到温度对GeTe薄膜的相态有影响, 因此采用低温紫外激光切割的方法实现GeTe切片, 每个GeTe切片的尺寸为1 mm×2 mm. 图13为GeTe薄膜切片的照片.

$图 13 GeTe薄膜切片照片\r\nFig. 13. Photo of GeTe chips.$

图 13 GeTe薄膜切片照片

Fig. 13. Photo of GeTe chips.

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为了验证GeTe切片的开关特性, 设计并加工了一种基于GeTe切片的并联型开关. 几何形状如图14所示, 图中的参数数值: L = 20 mm, W = 13 mm, w_s = 0.5 mm, g = 0.3 mm, r = 1.05 mm. 从图14可以看出, 所提出的结构由CPW和GeTe切片组成. CPW结构印刷在厚度为1 mm, 介电常数为9.8的耐热氧化铝陶瓷基板上. 倒置的GeTe切片位于整个结构的中心, 通过耐热焊锡膏与信号线和地粘接, 实现电连接. 基于GeTe切片的并联型开关等效电路模型如图15所示. GeTe切片的等效模型由两个RC并联电路组成, 主要参数为晶态GeTe切片的电阻R_on、非晶态电阻R_off和OFF态电容C_off. 除了GeTe切片的电阻外, 两种状态下的电路模型相同. 因此, 整个等效电路的工作状态取决于GeTe切片电阻的变化. 此外, 电路模型中还存在寄生参数, R_s, L_s和C_p分别表示射频传输路径上的寄生电阻、电感和电容. 通过ADS软件进行拟合, 得到对应的参数值: R_s = 0.9 Ω, L_s = 0.4 nH, C_p = 28 fF, C_off = 19 fF, R_off = 1.3 MΩ, R_on = 15 Ω.

$图 14 基于GeTe的并联型开关　(a) 几何结构; (b) 实物样品\r\nFig. 14. Proposed parallel switch using GeTe chip: (a) Geometry; (b) sample.$

图 14 基于GeTe的并联型开关　(a) 几何结构; (b) 实物样品

Fig. 14. Proposed parallel switch using GeTe chip: (a) Geometry; (b) sample.

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$图 15 基于GeTe的并联型开关等效电路\r\nFig. 15. Equivalent circuit model of the proposed parallel switch using GeTe chip.$

图 15 基于GeTe的并联型开关等效电路

Fig. 15. Equivalent circuit model of the proposed parallel switch using GeTe chip.

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上文主要针对不同制备条件对GeTe薄膜电性能(方阻或者电阻率)的影响进行阐述和分析, 然而这并不能与所设计的并联开关器件射频性能产生直接的联系, 为此需要进一步分析与研究. 根据(4)式和(6)式, 建立了方阻、电阻率以及电阻之间的相互关系, 在h, l, s保持一致的情况下, 电阻率、方阻以及电阻是线性正相关的关系. 进一步根据图15中并联GeTe开关的等效电路模型可知, 当开关处于OFF态时, 开关的隔离度取决于导通电阻R_on, 导通电阻越低隔离度越高, 此时的GeTe薄膜为晶态, 因此晶态的电阻率或者方阻决定了开关的隔离度, 而不同制备条件的薄膜会呈现出不同的晶态电阻率或者方阻, 最终建立起不同条件薄膜与开关器件性能之间的关系. 在三维全波仿真软件Ansys HFSS中, 通过将不同制备条件的薄膜转化为材料电阻率的设置, 根据3.3节的分析两者之间是相互对应的, 仿真结果如图16—图19所示. 图16中两种薄膜除了衬底材料不同, 其他条件均保持一致(60 W, 3 mTorr, 退火温度350 ℃), 根据结果可知, 采用蓝宝石衬底的GeTe薄膜可以获得更高的隔离度. 图17和图18中的薄膜均采用玻璃衬底, 退火温度为350 ℃, 如图所示的规律为低压强和中等强度功率相互搭配制备的GeTe薄膜在设计的并联开关中隔离度更高. 图19展示了退火温度对隔离度的影响, 从中可以发现, 在不超过400 ℃的范围内, 随着退火温度的升高, 并联开关的隔离度会增加. 综合上述规律可知, 不同制备条件对GeTe薄膜电性能的影响与不同条件的薄膜对开关隔离度的影响是一致的.

$图 16 衬底材料对隔离度的影响\r\nFig. 16. Effect of the substrate material on isolation.$

图 16 衬底材料对隔离度的影响

Fig. 16. Effect of the substrate material on isolation.

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$图 19 退火温度对隔离度的影响\r\nFig. 19. Effect of the annealing temperature on isolation.$

图 19 退火温度对隔离度的影响

Fig. 19. Effect of the annealing temperature on isolation.

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$图 17 功率对隔离度的影响\r\nFig. 17. Effect of the deposition power on isolation.$

图 17 功率对隔离度的影响

Fig. 17. Effect of the deposition power on isolation.

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$图 18 压强对隔离度的影响\r\nFig. 18. Effect of the deposition pressure on isolation.$

图 18 压强对隔离度的影响

Fig. 18. Effect of the deposition pressure on isolation.

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在测试中, 非晶GeTe切片用很大电脉冲进行激励, 但由于电阻非常高, 它无法实现结晶, 除非信号线和接地之间的间隙很小. 相反, 电脉冲可以很容易地使GeTe切片从晶状态转变为非晶态. 为了解决非周期性相变问题, 采用了一种新的热电混合激励方法. 电阻测试示意图如图20所示. 所有电阻测量均在探针台上进行. 当测量非晶态时, 通过Keithley 2450源表将脉冲信号施加到信号线上, 并将CPW的地连接到直流地. 脉冲激励完成后, 再提供0.5 V直流电压, 由源表读取GeTe切片的电阻. 将脉冲宽度固定为100 ms, 通过探针台测试随着脉冲幅度的变化GeTe切片电阻的变化情况, 测试结果如图21所示. 当GeTe切片的电阻在15 V时从27 Ω急剧增大到1.2 MΩ, 电阻比约为4×10⁴. 为了让薄膜再次晶化, 采用加热台在基板下提供300 ℃的恒定热源. 此外, 根据(6)式, 可以估算GeTe薄膜的电阻率ρ.

$图 20 基于GeTe的并联型开关电阻测试图\r\nFig. 20. Schematic diagram of resistance measurement for GeTe parallel switch.$

图 20 基于GeTe的并联型开关电阻测试图

Fig. 20. Schematic diagram of resistance measurement for GeTe parallel switch.

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$图 21 电阻随脉冲电压的变化\r\nFig. 21. Change curve of the resistance as a function of pulse magnitude.$

图 21 电阻随脉冲电压的变化

Fig. 21. Change curve of the resistance as a function of pulse magnitude.

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$R = {{\rho l}}/{s} ,$

(6)

其中R, l, s分别为GeTe切片的电阻、信号线与地面的距离和截面积. 因此, GeTe薄膜在晶态和非晶态下的电阻率约为1.35×10^–5 Ω·m和0.6 Ω·m.

为了验证模型的传热特性, 采用COMSOL Multiphysics对模型进行了热电仿真. 图22给出了GeTe薄膜的温度随时间的变化. 在晶化和非晶化过程中, 薄膜都能达到相变温度, 而相变时间比许多标准开关的切换时间长, 主要原因在于相变区较大. 通过小型化结构设计可以进一步缩短相变时间.

$图 22 GeTe薄膜温度随时间的变化\r\nFig. 22. Temperature change on the surface of GeTe film as a function of time.$

图 22 GeTe薄膜温度随时间的变化

Fig. 22. Temperature change on the surface of GeTe film as a function of time.

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在射频测试中, 通过两个免焊SMA连接器连接到射频端口. 测试结果由矢量网络分析仪获得. 测试结果如图23所示, 不同的GeTe相态整个开关的|S₂₁|从1 GHz到40 GHz会发生突变. 当GeTe切片处于晶态时, CPW传输线对地短路, 整个开关处于OFF态, 射频端口之间的隔离度优于19 dB. 当GeTe切片处于非晶态时, 开关处于ON态, 在频段内插入损耗低于2.4 dB(平均1.4 dB), 射频信号可以顺利通过CPW线. 通过并联开关设计, 验证了GeTe薄膜在分立式毫米波射频开关领域的应用潜能.

$图 23 并联开关测试结果\r\nFig. 23. Measured results for the proposed parallel switch.$

图 23 并联开关测试结果

Fig. 23. Measured results for the proposed parallel switch.

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虽然该GeTe开关的切换过程有些复杂, 但实现了GeTe开关作为分立元件基本模型的验证, 为后续成熟的分立式GeTe相变射频开关的研究与设计奠定了基础. 此外, 由于GeTe薄膜的非易失性, 该开关可以实现零静态功耗. 在许多需要长期维持某一状态的情景中, 除了状态切换时需要消耗能量外, 维持状态不需要任何激励或能量, 这对于满足低能耗的要求非常有意义. 另外, 对于大尺寸、大规模阵列应用场景, 分立式开关具有比常规集成GeTe射频开关更大的应用潜力.

4. 结　论

本文利用常规磁控溅射设备进行高质量GeTe薄膜的制备, 针对射频开关应用领域, 比较全面地探索了制备条件对GeTe薄膜电性能的影响. 具体从基板材料、沉积条件以及退火条件三个方面, 研究了制备条件对GeTe薄膜电阻率影响规律, 系统总结了低电阻率薄膜的有效制备条件, 并借助多种表征手段评估了制备的GeTe薄膜质量, 验证了制备方法的正确性. 研究结果表明, GeTe薄膜在蓝宝石衬底上通过中等功率(50—80 W)、低压强(2—3 mTorr)溅射, 再以350—400 ℃高温进行真空退火, 可得到较为理想的低电阻率薄膜, 目前的最低值为3.6×10^–6 Ω·m, 但是通过本文获得的规律, 综合考虑三方面的因素, 电阻率还可以进一步降低. 此外, 对本文制备的低电阻率薄膜进行切片处理, 进一步应用到射频开关设计中, 并建立了不同条件薄膜与开关器件性能之间的关系. 最终得到了一款性能良好的非易失并联型毫米波开关, 在1—40 GHz频段内, 隔离度优于19 dB, 插入损耗低于2.4 dB, 为GeTe薄膜在高性能分立式毫米波非易失射频开关领域的推广应用提供了支撑.

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References

[1]	Linβ T 2001 Comput. Math. Math. Phys. 41 898 Google Scholar
[2]	Vulanović R 1988 Z. Angew. Math. Mech. 5 428 Google Scholar
[3]	Vulanović R, Nhan T A 2020 J. Comput. Appl. Math. 386 125495 Google Scholar
[4]	Gowrisankar S, Srinivasan N 2019 Appl. Math. Comput. 346 385 Google Scholar
[5]	Nie F, Wang H, Song Q, Zhao Y, Shen J, Gong M 2022 Int. J. Multiphase Flow 152 104067 Google Scholar
[6]	Lagendijk L R, Biemond J, et al. 1988 International Conference on Acoustics New York, USA, April 11–14, 1988 p60916260
[7]	Simon H 1980 Cognitive Science 4 33 Google Scholar
[8]	Busemeyer J 2015 Cognition 135 43 Google Scholar
[9]	Sharma N, Jain V, Mishra A 2018 Procedia Comput. Sci. 132 377 Google Scholar
[10]	Gu J X, Wang Z H, Jason K, Ma L y, Amir S, Shuai B, et al. 2018 Pattern Recognit. 77 354 Google Scholar
[11]	He K, Zhang X, Ren S, Sun J 2016 Las Vegas Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern RecognitionLas Vegas, USA, June 27–30, 2016 p770
[12]	Dieleman S, Zen H, Simonyan K, Vinyals O, Graves A, et al 2016 arXiv: 1609.03499 [cs.SD]
[13]	Heaton J, Goodfellow I, Bengio Y, Courville A 2018 Genet Program Evolvable Mach. 19 305 Google Scholar
[14]	Alipanahi B, Delong A, Weirauch T M, Frey J B 2015 Nat. Biotechnol. 33 831 Google Scholar
[15]	Han J, Jentzen A, Weinan E 2018 Proc. Natl. Acad. Sci. 115 8505 Google Scholar
[16]	Rudy H S, Brunton L S, Proctor L J, Kutz N 2017 Sci. Adv. 3 e1602614 Google Scholar
[17]	Raissi M, Karniadakis G E 2018 J. Comput. Phys. 357 125 Google Scholar
[18]	Weinan E, Han J Q, Jentzen A 2017 Commun. Math. Stat. 5 349 Google Scholar
[19]	Sirignano J, Spiliopoulos K 2018 J. Comput. Phys. 375 1339 Google Scholar
[20]	Raissi M, Perdikaris P, Karniadakis G E 2019 J. Comput. Phys. 378 686 Google Scholar
[21]	Jagtap A D, Kharazmi E, Karniadakis G E 2020 Proc. R. Soc. A 476 20200334 Google Scholar
[22]	Revanth M, Susanta G 2021 arXiv: 2106 07606 [math.NA]
[23]	Li J, Chen Y 2020 Commun.Theor. Phys. 72 105005 Google Scholar
[24]	Li J, Chen Y 2020 Commun. Theor. Phys. 72 115003 Google Scholar
[25]	Li J, Chen Y 2021 Commun. Theor. Phys. 73 015001 Google Scholar
[26]	Pu J C, Li J, Chen Y 2021 Chin. Phys. B 30 060202 Google Scholar
[27]	Pu J C, Li J, Chen Y 2021 Nonlinear Dyn. 105 1723 Google Scholar
[28]	Pu J C, Chen Y 2022 Chaos, Solitons Fractals 160 112182 Google Scholar
[29]	Lin S N, Chen Y 2022 J. Comput. Phys. 41 898 Google Scholar
[30]	Ling L M, Mo Y F, Zeng D L 2022 Phys. Lett. A 421 127739 Google Scholar
[31]	He J S, Wang J L 2022 Phys. Lett. A 452 128432 Google Scholar
[32]	Wang L, Yan Z Y 2021 Phys. Lett. A 404 127408 Google Scholar
[33]	Wang L, Yan Z Y 2022 Phys. Lett. A 450 128373 Google Scholar
[34]	Fang Y, Wu G Z, Wang Y Y, et al. 2021 Nonlinear Dyn 105 603 Google Scholar
[35]	Zhou Z J, Yan Z Y 2021 Phys. Lett. A 387 127010 Google Scholar
[36]	Wang L, Yan Z Y 2021 Physica D 428 133037 Google Scholar
[37]	Bai Y, Chaolu T, Bilige S 2021 Nonlinear Dyn. 105 3439 Google Scholar
[38]	Wu G Z, Fang Y, Dai C Q, et al. 2021 Chaos, Solitons Fractals 152 111393 Google Scholar
[39]	Li J H, Li B 2021 Commun. Theor. Phys. 73 125001 Google Scholar
[40]	Li J H, Chen J C, Li B 2022 Nonlinear Dyn. 107 781 Google Scholar
[41]	Li J H, Li B 2022 Chaos, Solitons Fractals 164 112712 Google Scholar
[42]	Fang Y, Wu G Z, Dai C Q, et al. 2022 Chaos, Solitons Fractals 158 112118 Google Scholar
[43]	Wu G Z, Fang Y, Dai C Q, et al. 2022 Chaos, Solitons Fractals 159 112143 Google Scholar
[44]	Yuan L, Ni Y Q, Deng X Y, Hao S 2022 J. Comput. Phys. 462 111260 Google Scholar
[45]	Zeng S J, Zhang Z, Zou Q S 2022 J. Comput. Phys. 463 111232 Google Scholar
[46]	Samadi-koucheksaraee A, Ahmadianfar I, Bozorg-Haddad O, et al. 2019 Water Resour. Manage. 33 603 Google Scholar
[47]	Marcucci G, Pierangeli D, Conti C 2020 Phys. Rev. Lett. 125 093901 Google Scholar
[48]	Kingma D P, Jimmy B 2014 arXiv: 1412 6980 [cs.LG]
[49]	Glorot X, Bengio Y 2010 Proceedings of the Thirteenth International Conference on Artificial Intelligence and Statistics Chia Laguna Resort, Sardinia, Italy, March 31, 2010 pp249–256
[50]	Camassa R, Holm D 1993 Phys. Rev. Lett. 71 1661 Google Scholar
[51]	Metin G, Atalay K 1998 J. Math. Phys. 39 2103 Google Scholar
[52]	Takayuki T, Miki W 1999 Phys. Lett. A 257 53 Google Scholar
[53]	Xu S W, He J S, Wang L H 2011 J. Phys. A: Math. Theor. 44 305203 Google Scholar

图 1 GOPINNs模型

Figure 1. GOPINNs model

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图 2 当 $c = 0.5$ 时, CH方程的peakon解((8)式)的三维图

Figure 2. Three-dimensional diagram of peakon solution (Eq. (8)) of the CH equation when $c = 0.5$

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图 3 (a) CH方程的peakon解((8)式); (b)应用PINNs模型模拟的预测解; (c) PINNs模型的绝对误差

Figure 3. (a) Peakon solution of CH equation (Eq. (8)); (b) prediction solution simulated by PINNs model; (c) absolute error of PINNs model

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图 5 应用PINNs模型时, 整个迭代过程中损失函数 ${\rm{MSE}}$ 的值, 其中 ${\cal{L}}_{\rm{r}}$ 表示NPDE的残差的平均值, ${\cal{L}}_{\rm{u}}$ 表示NPDE在初始值和边界上的误差的平均值

Figure 5. When the PINNs model is applied, the value of the function ${\rm{MSE}}$ is lost throughout the iteration, where ${\cal{L}}_{\rm{r}}$ represents the average value of the residual error of NPDE, and ${\cal{L}}_{\rm{u}}$ represents the average value of the error of NPDE at the initial value and the boundary

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图 4 应用PINNs模型时, 每一个隐藏层的梯度分布, 其中绿色、蓝色、黄色曲线分别对应 ${g_{\rm{f}}}, \;{g_{\rm{I}}}$ 和 ${g_{\rm{B}}}$

Figure 4. When PINNs model is applied, the gradient distribution of each hidden layer is ${g_{\rm{f}}},\; {g_{\rm{I}}}$ , and ${g_{\rm{B}}}$ by color (green, blue, yellow)

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图 6 (a) CH方程的peakon解((8)式); (b)应用GOPINNs模型模拟时的预测解; (c) GOPINNs模型的绝对误差

Figure 6. (a) Peakon solution of CH equation (Eq. (8)); (b) predicted solution when using GOPINNs model; (c) absolute error of GOPINNs model

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图 7 应用GOPINNs模型时, 每一个隐藏层的梯度分布, 其中绿色、蓝色、黄色曲线分别对应 ${g_{\rm{f}}}, {g_{\rm{I}}}, {g_{\rm{B}}}$

Figure 7. When GOPINNs model is applied, the gradient distribution of each hidden layer is ${g_{\rm{f}}}, {g_{\rm{I}}}, {g_{\rm{B}}}$ by color (green, blue, yellow)

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图 8 应用GOPINNs模型时, 整个迭代过程中损失函数 ${\rm{MSE}}$ 的值, 其中 ${\cal{L}}_{\rm{r}}$ 表示NPDE的残差的平均值, ${\cal{L}}_{\rm{u}}$ 表示NPDE在初始值和边界上的误差的平均值

Figure 8. When the GOPINNs model is applied, the value of the function ${\rm{MSE}}$ is lost during the whole iteration, where ${\cal{L}}_{\rm{r}}$ represents the average value of residual error of NPDE, and ${\cal{L}}_{\rm{u}}$ represents the average value of the error of NPDE at the initial value and the boundary

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图 9 (a)导数非线性薛定谔方程的有理波解((11)式); (b) 使用GOPINNs模型模拟的预测解; (c) GOPINNs模型的绝对误差

Figure 9. (a) Rational wave solution of the derivative nonlinear Schrödinger equation (Eq. (11)); (b) predicted solution simulated by the GOPINNs model; (c) absolute error of the GOPINNs model

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图 10 (a)导数非线性薛定谔方程的一阶怪波解((12)式); (b)应用GOPINNs模型模拟的预测解; (c) GOPINNs模型的绝对误差

Figure 10. (a) First order strange wave solution of derivative nonlinear Schrödinger equation (Eq. (12)); (b) predicted solution simulated by GOPINNs model; (c) absolute error of GOPINNs model

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表 1 两种模型对导数非线性薛定谔方程的有理波解((11)式)的数值预测结果

Table 1. Numerical prediction results of rational wave solution of derivative nonlinear Schrödinger equation (Eq. (11)) by two models

神经网络信息	PINNs模型的相对 ${L_2}$ 误差	GOPINNs模型的相对 ${L_2}$ 误差	两模型模拟求解的时间消耗/s
6层隐藏层\| 50个神经元	0.237	$4.56 \times 10^{-2}$	24564\|15674.4

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表 2 两种模型对导数非线性薛定谔方程的一阶怪波解((12式))的数值预测结果

Table 2. Numerical prediction results of the first order odd wave solution of derivative nonlinear Schrödinger equation (Eq. (12)) by two models

神经网络信息	PINNs模型的相对 ${L_2}$ 误差	GOPINNs模型的相对 ${L_2}$ 误差	两模型模拟方程求解的时间消耗/s
6层隐藏层\|50个神经元	$0.465$	$8.16 \times 10^{ -2}$	36223.2\|24345.7

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[1]	Linβ T 2001 Comput. Math. Math. Phys. 41 898 Google Scholar
[2]	Vulanović R 1988 Z. Angew. Math. Mech. 5 428 Google Scholar
[3]	Vulanović R, Nhan T A 2020 J. Comput. Appl. Math. 386 125495 Google Scholar
[4]	Gowrisankar S, Srinivasan N 2019 Appl. Math. Comput. 346 385 Google Scholar
[5]	Nie F, Wang H, Song Q, Zhao Y, Shen J, Gong M 2022 Int. J. Multiphase Flow 152 104067 Google Scholar
[6]	Lagendijk L R, Biemond J, et al. 1988 International Conference on Acoustics New York, USA, April 11–14, 1988 p60916260
[7]	Simon H 1980 Cognitive Science 4 33 Google Scholar
[8]	Busemeyer J 2015 Cognition 135 43 Google Scholar
[9]	Sharma N, Jain V, Mishra A 2018 Procedia Comput. Sci. 132 377 Google Scholar
[10]	Gu J X, Wang Z H, Jason K, Ma L y, Amir S, Shuai B, et al. 2018 Pattern Recognit. 77 354 Google Scholar
[11]	He K, Zhang X, Ren S, Sun J 2016 Las Vegas Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern RecognitionLas Vegas, USA, June 27–30, 2016 p770
[12]	Dieleman S, Zen H, Simonyan K, Vinyals O, Graves A, et al 2016 arXiv: 1609.03499 [cs.SD]
[13]	Heaton J, Goodfellow I, Bengio Y, Courville A 2018 Genet Program Evolvable Mach. 19 305 Google Scholar
[14]	Alipanahi B, Delong A, Weirauch T M, Frey J B 2015 Nat. Biotechnol. 33 831 Google Scholar
[15]	Han J, Jentzen A, Weinan E 2018 Proc. Natl. Acad. Sci. 115 8505 Google Scholar
[16]	Rudy H S, Brunton L S, Proctor L J, Kutz N 2017 Sci. Adv. 3 e1602614 Google Scholar
[17]	Raissi M, Karniadakis G E 2018 J. Comput. Phys. 357 125 Google Scholar
[18]	Weinan E, Han J Q, Jentzen A 2017 Commun. Math. Stat. 5 349 Google Scholar
[19]	Sirignano J, Spiliopoulos K 2018 J. Comput. Phys. 375 1339 Google Scholar
[20]	Raissi M, Perdikaris P, Karniadakis G E 2019 J. Comput. Phys. 378 686 Google Scholar
[21]	Jagtap A D, Kharazmi E, Karniadakis G E 2020 Proc. R. Soc. A 476 20200334 Google Scholar
[22]	Revanth M, Susanta G 2021 arXiv: 2106 07606 [math.NA]
[23]	Li J, Chen Y 2020 Commun.Theor. Phys. 72 105005 Google Scholar
[24]	Li J, Chen Y 2020 Commun. Theor. Phys. 72 115003 Google Scholar
[25]	Li J, Chen Y 2021 Commun. Theor. Phys. 73 015001 Google Scholar
[26]	Pu J C, Li J, Chen Y 2021 Chin. Phys. B 30 060202 Google Scholar
[27]	Pu J C, Li J, Chen Y 2021 Nonlinear Dyn. 105 1723 Google Scholar
[28]	Pu J C, Chen Y 2022 Chaos, Solitons Fractals 160 112182 Google Scholar
[29]	Lin S N, Chen Y 2022 J. Comput. Phys. 41 898 Google Scholar
[30]	Ling L M, Mo Y F, Zeng D L 2022 Phys. Lett. A 421 127739 Google Scholar
[31]	He J S, Wang J L 2022 Phys. Lett. A 452 128432 Google Scholar
[32]	Wang L, Yan Z Y 2021 Phys. Lett. A 404 127408 Google Scholar
[33]	Wang L, Yan Z Y 2022 Phys. Lett. A 450 128373 Google Scholar
[34]	Fang Y, Wu G Z, Wang Y Y, et al. 2021 Nonlinear Dyn 105 603 Google Scholar
[35]	Zhou Z J, Yan Z Y 2021 Phys. Lett. A 387 127010 Google Scholar
[36]	Wang L, Yan Z Y 2021 Physica D 428 133037 Google Scholar
[37]	Bai Y, Chaolu T, Bilige S 2021 Nonlinear Dyn. 105 3439 Google Scholar
[38]	Wu G Z, Fang Y, Dai C Q, et al. 2021 Chaos, Solitons Fractals 152 111393 Google Scholar
[39]	Li J H, Li B 2021 Commun. Theor. Phys. 73 125001 Google Scholar
[40]	Li J H, Chen J C, Li B 2022 Nonlinear Dyn. 107 781 Google Scholar
[41]	Li J H, Li B 2022 Chaos, Solitons Fractals 164 112712 Google Scholar
[42]	Fang Y, Wu G Z, Dai C Q, et al. 2022 Chaos, Solitons Fractals 158 112118 Google Scholar
[43]	Wu G Z, Fang Y, Dai C Q, et al. 2022 Chaos, Solitons Fractals 159 112143 Google Scholar
[44]	Yuan L, Ni Y Q, Deng X Y, Hao S 2022 J. Comput. Phys. 462 111260 Google Scholar
[45]	Zeng S J, Zhang Z, Zou Q S 2022 J. Comput. Phys. 463 111232 Google Scholar
[46]	Samadi-koucheksaraee A, Ahmadianfar I, Bozorg-Haddad O, et al. 2019 Water Resour. Manage. 33 603 Google Scholar
[47]	Marcucci G, Pierangeli D, Conti C 2020 Phys. Rev. Lett. 125 093901 Google Scholar
[48]	Kingma D P, Jimmy B 2014 arXiv: 1412 6980 [cs.LG]
[49]	Glorot X, Bengio Y 2010 Proceedings of the Thirteenth International Conference on Artificial Intelligence and Statistics Chia Laguna Resort, Sardinia, Italy, March 31, 2010 pp249–256
[50]	Camassa R, Holm D 1993 Phys. Rev. Lett. 71 1661 Google Scholar
[51]	Metin G, Atalay K 1998 J. Math. Phys. 39 2103 Google Scholar
[52]	Takayuki T, Miki W 1999 Phys. Lett. A 257 53 Google Scholar
[53]	Xu S W, He J S, Wang L H 2011 J. Phys. A: Math. Theor. 44 305203 Google Scholar

[1]	WANG Gangwei, TAN Zixuan. Similarity transformations and exact solutions of the generalized (n + 1)-dimensional Schrödinger equation with (2m + 1)-th order nonlinear terms and spatiotemporally varying coeffcients. Acta Physica Sinica, 2025, 74(10): . doi: 10.7498/aps.74.20250225
[2]	LI Jun, SU Jin, HAN Xiaoxiang, ZHU Weijie, YANG Ruixia, ZHANG Haiyang, YAN Xiang’an, ZHANG Yunjie, WANG Feiran. Research on pulse transmission dynamics in optical fiber based on intelligent algorithms. Acta Physica Sinica, 2025, 74(6): 060201. doi: 10.7498/aps.74.20241473
[3]	Fang Ze, Pan Yong-Quan, Dai Dong, Zhang Jun-Bo. Physics-informed neural networks based on source term decoupled and its application in discharge plasma simulation. Acta Physica Sinica, 2024, 73(14): 145201. doi: 10.7498/aps.73.20240343
[4]	Wen Jia-Mei, Bo Wen-Bo, Wen Xue-Kun, Dai Chao-Qing. Multipole vector solitons in coupled nonlinear Schrödinger equation with saturable nonlinearity. Acta Physica Sinica, 2023, 72(10): 100502. doi: 10.7498/aps.72.20222284
[5]	Rao Ji-Guang, Chen Sheng-An, Wu Zhao-Jun, He Jin-Song. General higher-order rogue waves in the space-shifted $\mathcal{PT}$ -symmetric nonlocal nonlinear Schrödinger equation. Acta Physica Sinica, 2023, 72(10): 104204. doi: 10.7498/aps.72.20222298
[6]	Li Min, Wang Bo-Ting, Xu Tao, Shui Juan-Juan. Study on the generation mechanism of bright and dark solitary waves and rogue wave for a fourth-order dispersive nonlinear Schrödinger equation. Acta Physica Sinica, 2020, 69(1): 010502. doi: 10.7498/aps.69.20191384
[7]	Chen Zhi-Min, Duan Wen-Shan. Rouge waves in fluid-filled elastic tube. Acta Physica Sinica, 2020, 69(1): 014701. doi: 10.7498/aps.69.20191308
[8]	Jiang Tao, Huang Jin-Jing, Lu Lin-Guang, Ren Jin-Lian. Numerical study of nonlinear Schrödinger equation with high-order split-step corrected smoothed particle hydrodynamics method. Acta Physica Sinica, 2019, 68(9): 090203. doi: 10.7498/aps.68.20190169
[9]	Cui Shao-Yan, Lü Xin-Xin, Xin Jie. Collapse and evolution of wave field based on a generalized nonlinear Schrdinger equation. Acta Physica Sinica, 2016, 65(4): 040201. doi: 10.7498/aps.65.040201
[10]	Li Shu-Qing, Yang Guang-Ye, Li Lu. Rogue solution of Hirota equation and its transmision. Acta Physica Sinica, 2014, 63(10): 104215. doi: 10.7498/aps.63.104215
[11]	Song Sha-Sha, Meng Jun-Min, Song Shi-Yan, Wang Jing, Wang Jian-Bu. Numerical simulation of internal waves propagation in deep sea by nonlinear Schr?dinger equation. Acta Physica Sinica, 2010, 59(9): 6339-6344. doi: 10.7498/aps.59.6339
[12]	Song Shi-Yan, Wang Jing, Meng Jun-Min, Wang Jian-Bu, Hu Pei-Xin. Nonlinear Schr?dinger equation for internal waves in deep sea. Acta Physica Sinica, 2010, 59(2): 1123-1129. doi: 10.7498/aps.59.1123
[13]	Hu Xian-Quan, Cui Li-Peng, Luo Guang, Ma Yan. The analytic solution of the radial Schr?dinger equation for the superposed potentials. Acta Physica Sinica, 2009, 58(4): 2168-2173. doi: 10.7498/aps.58.2168
[14]	Cheng Xue-Ping, Lin Ji, Wang Zhi-Ping. Asymptotic solutions of perturbed N-component nonlinear Schr?dinger equations. Acta Physica Sinica, 2007, 56(6): 3031-3038. doi: 10.7498/aps.56.3031
[15]	Gong Lun-Xun. Some new exact solutions of the Jacobi elliptic functions of NLS equation. Acta Physica Sinica, 2006, 55(9): 4414-4419. doi: 10.7498/aps.55.4414
[16]	Ruan Hang-Yu, Li Hui-Jun. Solution of the nonlinear Schr?dinger equation using the generalized Lie group reduction method. Acta Physica Sinica, 2005, 54(3): 996-1001. doi: 10.7498/aps.54.996
[17]	Zhang Jie-Fang, Xu Chang-Zhi, He Bao-Gang. The variable separation approach and study on solving the variable-coefficient nonlinear Schr?dinger equation. Acta Physica Sinica, 2004, 53(11): 3652-3656. doi: 10.7498/aps.53.3652
[18]	Zheng Chun-Long, Zhang Jie-Fang. . Acta Physica Sinica, 2002, 51(11): 2426-2430. doi: 10.7498/aps.51.2426
[19]	TIAN QIANG, MA BEN-KUN. THE FORMATION AND PROPAGATION OF DOMAINS IN SUPERLATTICES DISCUSSED WITH NONLINEAR SCHR¨ODINGER EQUATION. Acta Physica Sinica, 1999, 48(11): 2125-2130. doi: 10.7498/aps.48.2125
[20]	YAN KE-ZHU, TAN WEI-HAN. STATIONARY SOLUTIONS OF THE NONLINEAR SCHR?DINGER EQUATION FOR NEUTRAL ATOMS IN A HARMONIC TRAP. Acta Physica Sinica, 1999, 48(7): 1185-1191. doi: 10.7498/aps.48.1185

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Vol. 72, Issue 10 - 2023-05-20

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