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一个具有共存吸引子的四阶混沌系统动力学分析及FPGA实现

全旭 邱达 孙智鹏 张贵重 刘嵩

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一个具有共存吸引子的四阶混沌系统动力学分析及FPGA实现

全旭, 邱达, 孙智鹏, 张贵重, 刘嵩

Dynamic analysis and FPGA implementation of a fourth-order chaotic system with coexisting attractor

Quan Xu, Qiu Da, Sun Zhi-Peng, Zhang Gui-Zhong, Liu Song
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  • 为进一步探索共存吸引子中复杂的动力学行为, 构建了一个具有4种类型共存吸引子的四阶混沌系统, 该系统具有4个不稳定的平衡点. 采用相轨迹图、时域波形图、庞加莱映射、Lyapunov指数谱和分岔图等方法对新系统的动力学行为进行分析. 实验结果表明: 随着参数的变化, 系统表现出稳定点、倍周期分岔、共存分岔模式、混沌危机等丰富的动力学行为. 当改变系统参数和忆阻参数时, 发现系统具有不同类型的共存吸引子, 例如: 两个周期吸引子共存、两个单涡卷混沌吸引子共存、两个双涡卷混沌吸引子共存、两个点吸引子共存. 特别地, 该系统还存在共存吸引子的旋转现象. 最后设计了一个非线性反馈控制器, 可使新系统在短时间内实现混沌同步. 采用现场可编程门阵列 (field-programmable gate array, FPGA)硬件平台捕捉到的相图与数值仿真结果保持一致, 证明了该系统的可实现性.
    To further explore the complex dynamical behaviors in coexisting attractors, a fourth-order chaotic system with four types of coexisting attractors and four unstable equilibrium points is constructed in this paper. The dynamic behavior of the new system is analyzed by means of phase trajectory diagram, time domain waveform diagram, Poincaré map, Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram. The experimental results show that as the parameters change, the system exhibits rich dynamic behaviors such as stable points, period-doubling bifurcations, coexisting bifurcation modes, and chaotic crises. When the system parameters and memristive parameters change, it is found that the system has different types of coexisting attractors, such as the coexistence of two periodic attractors, the coexistence of two single-scroll chaotic attractors, the coexistence of two double-scroll chaotic attractors, the coexistence of two point attractors. In particular, the system also has the rotation phenomenon of coexisting attractors. Finally, a nonlinear feedback controller is designed, which can make the new system achieve chaos synchronization in a short time. The phase diagram captured by the field-programmable gate array (FPGA) hardware platform is consistent with the numerical simulation results, which proves the feasibility of the system.
      通信作者: 刘嵩, liusong@hbmzu.edu.cn
    • 基金项目: 恩施州科技支撑计划 (批准号: D20220015)资助的课题.
      Corresponding author: Liu Song, liusong@hbmzu.edu.cn
    • Funds: Project supported by the Enshi State Science and Technology Support Plan Project, China (Grant No. D20220015).
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  • 图 1  忆阻器的磁滞回线

    Fig. 1.  Hysteresis loop of memristor.

    图 2  混沌吸引子各平面相图 (a) x-y平面; (b) x-z平面; (c) y-z平面; (d) y-w平面

    Fig. 2.  Phase portraits of chaotic attractor: (a) x-y plane; (b) x-z plane; (c) y-z plane; (d) y-w plane.

    图 3  系统的时域波形图和庞加莱截面 (a)时域波形图; (b)在$ z = 0 $截面上的Poincaré截面

    Fig. 3.  Time domain waveforms and Poincaré cross section of the system: (a) Time domain waveforms; (b) Poincaré map on $ z = 0 $ plane

    图 4  随系统参数$ a $变化的混沌动力学 (a)分岔图; (b) Lyapunov指数谱

    Fig. 4.  Chaotic dynamics varying with system parameters $ a $: (a) Bifurcation diagram; (b) Lyapunov exponential spectra.

    图 5  $ a $的不同值在x-y平面的相位图 (a)周期1吸引子共存(a = 3); (b)周期2吸引子共存(a = 3.2); (c)单涡卷混沌吸引子共存(a = 34.93); (d)周期1吸引子共存 (a = 50)

    Fig. 5.  The phase diagram of different values in x-y plane: (a) Coexistence period 1 attractor coexistence (a = 3); (b) coexistence period 2 attractor coexistence (a = 3.2); (c) coexisting single scroll chaotic attractor (a = 34.93); (d) coexistence period 1 attractor coexistence (a = 50).

    图 6  随系统参数$ b $变化的混沌动力学 (a)分岔图; (b) Lyapunov指数谱

    Fig. 6.  Chaotic dynamics varying with system parameters $ b $: (a) Bifurcation diagram; (b) Lyapunov exponential spectrum.

    图 7  $ b $的不同值在x-y平面的相位图 (a) 周期1吸引子共存(b = 10); (b) 周期2吸引子共存(b = 20.5); (c) 双涡卷混沌吸引子共存(b = 62); (d) 单涡卷吸引子共存(b = 70)

    Fig. 7.  Phase diagram of different values of parameter $ b $ on x-y plane: (a) Coexisting period 1 attractor coexistence (b = 10); (b) coexisting period 2 attractor coexistence (b = 20.5); (c) coexisting double scroll chaotic attractor coexistence (b = 62); (d) coexisting single-scroll attractors coexistence (b = 70).

    图 8  参数ab的动力学地图

    Fig. 8.  Dynamic map of parameters a and b.

    图 9  随系统参数$ {a_1} $变化的混沌动力学 (a) 分岔图; (b) Lyapunov指数谱

    Fig. 9.  Chaotic dynamics varying with system parameters $ {a_1} $: (a) Bifurcation diagram; (b) Lyapunov exponential spectrum.

    图 10  不同$ {a_1} $值在x-y平面的相位图

    Fig. 10.  Phase diagram of different values of parameter $ {a_1} $ on x-y plane.

    图 11  混沌同步的误差收敛曲线 (a) $ {e_1} $; (b) $ {e_2} $; (c) $ {e_3} $; (d) $ {e_4} $

    Fig. 11.  Error convergence curve of chaotic synchronization: (a) $ {e_1} $; (b) $ {e_2} $; (c) $ {e_3} $; (d) $ {e_4} $.

    图 12  FPGA实现设备

    Fig. 12.  FPGA implementation equipment.

    图 13  FPGA硬件实现系统相图 (a) x-y平面; (b) x-z 平面; (c) y-z 平面; (d) y-w平面

    Fig. 13.  Realization of memristive chaotic attractor by FPGA hardware: (a) x-y plane; (b) x-z plane; (c) y-z plane; (d) y-w plane.

    表 1  不同$ {a_1} $值下的共存吸引子类型及图形编号

    Table 1.  Types and figure numbers of coexisting attractors under different $ {a_1} $ values.

    参数$ {a_1} $ 运动状态 图9
    –3.51 周期4 (a)
    –3.30 单涡卷混沌 (b)
    –3.23 单涡卷混沌 (c)
    –2.73 周期1 (d)
    –2.72 周期1 (e)
    –2.75 双涡卷混沌 (f)
    –2.38 周期2 (g)
    1.60 混沌 (h)
    3.01 稳定点 (i)
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出版历程
  • 收稿日期:  2023-05-16
  • 修回日期:  2023-08-07
  • 上网日期:  2023-08-08
  • 刊出日期:  2023-10-05

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