1.   引　言

核电荷半径(nuclear charge radius, CR)的系统研究对核物理、原子物理以及天体物理等相关学科具有重要的意义, 它是原子核最基本的性质之一, 有助于研究原子核的结构(中子皮(neutron skin)、形状相变等^[1-3]). 原子核电荷半径的研究分为实验测量和理论计算两方面: 实验上已经有许多方法可用来测量原子核电荷半径, 如$\text{µ}^{-}$原子X射线^[4,5]、高能电子散射^[6]、原子光谱^[7,8]等技术都可用来测量核电荷半径; 理论上也有许多模型与公式用来计算和预言核电荷半径, 如Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB)理论^[9,10]、唯象公式^[11,12]、Garvey-Kelson (G-K)公式^[13], 原子核的新电荷半径关系^[14,15]、$A^{1/3}$律^[16-18]的单参数公式、朴素贝叶斯概率^[19]等. 目前, 已经有许多核电荷半径实验数据库, 最新的数据库是发表于2013年的CR2013数据库^[20] (约909个实验值), 它比发表于2004年的CR2004^[21]数据库 (约799个实验值)多大约110个实验值, 比发表于1999年的CR1999^[22]数据库(约285个实验值)多大约514个核电荷实验值, 这些数据库有助于系统性地研究原子核电荷半径. 此外, 每年还有大量的核电荷半径^[23-30]方面的科研成果, 可见核电荷半径依然是一个重要的研究方向.

核电荷半径理论研究大概分为两个方向. 第一个方向是在核电荷半径的$A^{1/3}$律和$Z^{1/3}$律的基础上直接得到核电荷半径的计算值, 此外还会添加一些修正项来研究核电荷半径. 基于常用的$A^{1/3}$律单参数公式, 文献[16, 17]的作者研究了同位旋修正对核电荷半径的影响, 文献[18]提出了Casten因子项和奇偶摆动项的修正来研究核电荷半径; 基于曾谨言^[31]提出的$Z^{1/3}$律的单参数公式, 张双全等^[32]研究了同位旋对$Z^{1/3}$律公式得到核电荷半径的影响. 第二个方向是在近似模型或相邻核电荷半径关系的基础上间接得到原子核电荷半径的计算值: HFB理论^[9,10]计算电荷半径的均方根偏差(RMSD)通常在0.027 fm左右; 唯象公式^[11,12]的RMSD大约为0.022 fm; 模拟6个相邻原子核的电荷半径之间的G-K关系^[13]来计算电荷半径, 计算值和实验值之间的RMSD约为0.01 fm; 文献[14, 15]研究质量数$Z, N\geqslant2$的4个相邻原子核的电荷半径, 得到4种共16个关系式, 利用这16个关系式, 结合CR2013数据库得到核电荷半径的计算值, RMSD为0.0078 fm; 此外, 文献[25, 33]也基于相邻原子核电荷半径之间的关系对核电荷半径进行了研究, 尤其是对未知核电荷半径的个数进行了大量的预言, 得到的预言个数分别为830和1647. 由此可知, 利用相邻核电荷半径之间的关系进行研究具有一定的优越性.

本文在文献[13-15, 25, 33]的基础上进行分析, 通过研究3个相邻同位素核的电荷半径得到一个简单的关系式. 利用这个关系式结合CR2013数据库计算质量数$A\geqslant20$ (质子数$Z\geqslant10$和中子数$N\geqslant10$)的核电荷半径, 得到的计算值与实验值之间的RMSD为0.00471 fm, 并且为了得到更精确的核电荷半径, 还研究了奇偶摆动项^[18]的修正对核电荷半径的影响. 接着运用得到的关系式结合CR1999, CR2004和CR2013数据库中的实验值外推得到核电荷半径的预言值, 将预言值和实验值进行比较, 进而来检验这种方法的可靠性和精确性. 最后对这项研究进行了具体的分析和总结.

2.   核电荷半径的研究

由CR2013数据库分析可知, 中质量核和重核的同位素核电荷半径的实验值较多, 且CR2013数据库中一共有909个核电荷半径, 质量数$A\geqslant20$ (质子数$Z\geqslant10$和中子数$N\geqslant10$)的有877个, 占数据库核电荷半径实验值总个数的96.5%. 基于CR2013数据库以上的两个特点, 本文对质量数$A\geqslant20$的原子核相邻同位素核电荷半径之间的关系进行了研究.

由文献[34-36]中三参数的中子奇偶质量差公式很容易类比得到3个相邻同位素核电荷半径的关系式, 称为${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$:

$$\begin{split} {\rm{d}}R_{n}(Z,N)=\;&R(Z,N+1)-2R(Z,N)\\ &+R(Z,N-1), \end{split}$$

(1)

其中$R(Z, N)$代表质子数为Z, 中子数为N的原子核电荷半径. 基于CR2013数据库选取的877个质量数$A\geqslant20$ (质子数$Z\geqslant10$和中子数$N\geqslant10$)核电荷半径的实验值结合(1)式得到600个${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$, 如图1所示, 其中渐变颜色的菱形代表原子核的${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$.

由图1可知, 一些原子核的${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$较大, 统计性较差, 尤其是当$A\geqslant54$时, 有些原子核的${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$绝对值异常大. 研究发现这些${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$异常大是因为有些核电荷半径比较特殊, 不太符合同位素核电荷半径的规律, 这些特殊的核为⁹⁷Rb, ⁹⁸Sr, ⁹⁹Y, ¹⁰⁰Zr, ¹⁰¹Nb, ¹⁵²Eu, ¹⁵⁴Tb, ¹⁵⁶Ho, ¹⁸⁷Au, ¹⁸¹Hg, ¹⁸³Hg, ¹⁸⁵Hg, 可分为两种情况来分析(图2和图3). 图2(a)中的空心圈、 五角星、正方形、菱形和三角形分别代表 Rb(Z = 37), Sr(Z = 38), Y (Z = 39), Zr (Z = 40)和Nb (Z = 41)同位素链核电荷半径的实验值. 由图2(a)可知, 这些同位素链在中子数N = 60时(⁷Rb, ⁹⁸Sr, ⁹⁹Y, ¹⁰⁰Zr, ¹⁰¹Nb)核电荷半径出现了拐点, 导致用这些核电荷半径计算得到的${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$的绝对值比较大, 也就是图1中的那些统计性比较差的菱形. 此外由图2(a)可知, 在N = 50时核电荷半径也有一个拐点, 这是因为中子数是幻数的原因, 但是对于${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$绝对值的影响不是太大, 这里暂不考虑幻数的问题; 图2(b)中的空心圈、五角星和正方形分别代表Eu (Z = 63), Tb (Z = 65)和Ho (Z = 67)同位素链核电荷半径的实验值, 与图2(a)中的情况类似, 同位素链在中子数N = 89时 (¹⁵²Eu, ¹⁵⁴Tb, ¹⁵⁶Ho)核电荷半径出现了拐点, 因而利用这些核电荷半径计算得到的${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$的绝对值也较大, 因此在研究时删除了以上8个原子核电荷半径的实验值.

图3(a)和图3(b)中的情况更为特殊, 某些核电荷半径的跳跃更不符合同位素链核电荷半径的规律. 图3(a)中的空心圈代表Au (Z = 79)同位素链的核电荷半径的实验值, 实心点表示质子数为79和中子数为108的¹⁸⁷Au核电荷半径, 由图3(a)可知, Au的同位素链在中子数为108时核电荷半径呈跳跃式变化; 图3(b)中的空心圈代表Hg (Z = 80)同位素链的核电荷半径, 实心点表示质子数为80和中子数分别为101, 103, 105的(¹⁸¹Hg, ¹⁸³Hg, ¹⁸⁵Hg) 核电荷半径实验值, 图中曲线表明Hg的同位素链中子数为101, 103和105时核电荷半径呈跳跃式变化. 以上这些跳跃式变化的核电荷半径导致有些${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$的绝对值较大, 统计性较差, 因此研究中也删除了这4个核电荷半径的实验值.

由图2和图3的分析可知, 从质量数$A\geqslant20$ (质子数$Z\geqslant10$和中子数$N\geqslant10$)的877个核电荷半径中删除了12个核电荷半径的实验值, 基于剩下的865个核电荷半径的实验值, 结合(1)式计算得到573个${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$, 如图4所示, 其中空心圈表示${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$. 从图4可看出, 当质量数$A\geqslant54$时, ${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$的统计性比较好; 质量数$A < 54$时, ${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$的统计性较差.

本文计算了质量数A相同的原子核电荷半径差的平均值, 图4中的绿色曲线代表利用平均值得到的电荷半径差曲线, 由此曲线的特点研究分析得到3个相邻同位素核电荷半径之间的新关系式:

$$\begin{split} &R(Z,N+1)-2R(Z,N)+R(Z,N-1)\\ =\;&{\rm{d}}R_{n}(Z,N)\approx 0. \end{split}$$

(2)

图4中的粗直线就是利用新关系式${\rm{d}}R_{n}(Z, N) = 0$得到的, 进而, 利用得到的新关系式结合(1)式来计算核电荷半径.

2.1   均方根误差和不确定度

基于新关系式(2)得到核电荷半径的计算公式:

$$R^{{\rm{cal}}}(Z,N)=\frac{R(Z,N+1)+R(Z,N-1)-0}{2}.$$

(3)

由(3)式可知, 一个原子核的电荷半径等于其左右相邻的两个同位素核电荷半径之和的一半, 也可知新关系式在计算过程中仅涉及到2个相邻同位素的核电荷半径, 关系式较为简便, 且CR2013数据库中大量同位素核电荷半径的特点是与我们研究同位素核电荷半径之间关系的思想相符合, 有助于我们更好地对数据库进行研究. 此外, CR2013数据库中有909个实验值, 利用(3)式就可以计算得到573个核电荷半径, 由此可知这一新关系式对NCR2013数据库具有较好的研究能力.

通过(3)式结合CR2013数据库得到核电荷半径的理论计算值, 然后得到计算值与CR2013中的实验测量值之间的RMSD, 公式为

$${\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{(R_i^{{\rm{exp}}} - R_i^{{\rm{cal}}})}^2}} } .}$$

(4)

由(3)式和(4)式计算得到的573个核电荷半径的计算值和实验值之间的RMSD为0.00471 fm; 当研究$Z, N\geqslant$2的原子核电荷半径时, 得到的RMSD为0.0082 fm; 当原子核的范围为$Z < 20$和$Z\geqslant20$时, 得到的RMSD分别为0.0261 fm和0.0041 fm; 当$A\geqslant54$时, 得到518个核电荷半径的计算值和实验值之间的RMSD为0.00337 fm. 其实由图4也可知, 当质量数A较大时, ${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$的统计性更好, 因此RMSD会更小. 文献[14, 15]利用原子核的新电荷半径关系计算$Z, N\geqslant$2原子核电荷半径得到的RMSD为0.0078 fm; 当原子核的范围为$Z < 20$和$Z\geqslant20$时, 得到的RMSD分别为0.0194和 0.0069 fm. 由此可知, 本文的新关系式研究$Z, N\geqslant$2原子核电荷半径得到的RMSD和${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$方法相差不大; 当研究$Z\geqslant20$原子核电荷半径时, RMSD比${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$方法精确一些; 当研究$Z < 20$原子核的电荷半径时, RMSD比${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$方法要大, 由此可知我们的新关系式可以与文献[14, 15]中的方法相媲美. 此外, 利用本文的新关系式研究$Z, N\geqslant$2原子核电荷半径的RMSD要比全局质量关系^[9,10,12]小一些, 文献[9, 10]中利用HFB理论得到的RMSD为0.027 fm, 文献[12]基于WS方法得到的RMSD为0.022 fm. 这里需要说明的是, 由(2)式可以变换出其他两个计算公式: $R(Z, N+1)=2 R(Z, N)- R(Z, N-1)$和$R(Z, N-1)=2 R(Z, N)-R(Z, N+1)$, 当利用这两个公式对不同区域的核电荷半径进行计算时, RMSD变为(3)式的2倍.

另外, 本文简述了核电荷半径理论计算值和预言值不确定度的计算方法. 以(3)式为例, 利用文献[37-39]中的最大似然法程序可以得到573个核电荷半径理论计算公式的不确定度$\sigma_{{\rm{th}}}^{*}(A)$. 由文献[37, 38]可以得到核电荷半径预言值不确定度$\sigma_{{\rm{pred}}}(Z, N)$的表达式:

$$\begin{split} \;& [\sigma_{{\rm{pred}}}(Z, N)]^{2}=\frac{1}{4}[\sigma_{{\rm{exp}}} (Z, N+1)]^{2}\\ &\qquad +\frac{1}{4}[\sigma_{{\rm{exp}}}(Z, N-1)]^{2}+\frac{1}{4}[\sigma_{{\rm{th}}}(A)]^{2}. \end{split}$$

(5)

其中$\sigma_{{\rm{th}}}(A)$的取值为质量数A相同区域时不确定度$\sigma_{{\rm{th}}}^{*}(A)$的值, $\sigma_{{\rm{exp}}}(Z, N+1)$和$\sigma_{{\rm{exp}}}(Z, N-1)$分别代表CR2013数据库中核电荷半径$R(Z, N+1)$与$R(Z, N-1)$实验值的误差或不确定度.

2.2   核电荷半径的修正

上述计算结果表明, 利用相邻3个同位素核电荷半径之间的新关系式(2)得到核电荷半径的计算值与CR2013数据库中的实验值符合得较好. 本文主要利用同位素电荷半径差${\rm{d}}R_{n}^{(3)}(Z, N)$来计算核电荷半径, 所以${\rm{d}}R_{n}^{(3)}(Z, N)$越精确就会得到越精确的核电荷半径, 下面研究奇偶摆动修正项对核电荷半径的影响.

由文献[18]可知, 大多数的同位素链, 偶偶核的电荷半径比相邻两个奇偶核半径之和的平均值还要大, 而奇奇核正好相反, 奇奇核的电荷半径比相邻的两个奇偶核半径之和的平均值要小, 因此接下来研究奇偶摆动修正对核电荷半径的影响, 修正后的${\rm{d}}R_{n}^{\rm cal}(Z, N)$为

$${\rm{d}}R_{n}^{{\rm{cal}}}(Z,N)=d\cdot\frac{\delta}{A^{2/3}},$$

(6)

其中, 当为偶偶核时$\delta$ = 1, 为奇奇核时$\delta$ = –1, 为奇偶核和偶奇核时$\delta$ = 0. 基于最小二乘法得到的最佳拟合参数为: $d$ = 0.11, 计算得到的RMSD为σ = 0.00439 fm, 减小了0.00032 fm, 减小约6.8%. 由此可知, 奇偶摆动项的添加对核电荷半径精确度的提高具有一定的意义.

3.   核电荷半径的预言

所有的模型和公式都是为了系统地研究核电荷半径, 此外, 核电荷半径的精确预言也是一项重要工作. 本节基于CR1999, CR2004和CR2013数据库结合新关系式(2)来外推得到预言值, 然后与已测得的实验值进行比较, 进而来研究本文方法的精确性和可靠性. 由(3)式变换得到核电荷半径的预言公式:

$$R^{{\rm{cal}}}(Z,N)=\frac{R(Z,N+1)+R(Z,N-1)}{2},$$

(7)

$$R^{{\rm{cal}}}(Z,N)=2R(Z,N+1)-R(Z,N+2),$$

(8)

$$\begin{array}{l} R^{{\rm{cal}}}(Z,N)=2 R(Z,N-1)-R(Z,N-2). \end{array}$$

(9)

基于CR1999数据库结合(7)式—(9)式得到核电荷半径的预言值, 这里需要说明的是CR1999数据库中的实验值用CR2013中新测得的实验值进行替换. 如果(7)式—(9)式中的3个公式或其中2个公式得到同一个核电荷半径的预言值, 则取它们的平均值. 基于替换后的CR1999数据库得到约100个预言值, 其中42个核电荷半径的预言值在CR2013数据库中有相应的实验值, 如表1所列, 把这些预言值列出来和实验值进行对比. 其中$2013^{{\rm{Exp}}}$代表CR2013数据库中的实验值, $R_{\rm th1}$代表利用替换后的CR1999数据库得到的预言值, dev1代表CR2013数据库中的实验值与预言值$R_{\rm th1}$的差值.

利用CR2004数据库结合(7)式—(9)式得到核电荷半径的预言值, 这里需要说明的是CR2004数据库中的实验值用CR2013中新测得的实验值进行替换. 如果(7)式—(9)式中的3个公式或其中2个公式得到同一个核电荷半径的预言值, 也取它们的平均值. 由于在CR2004数据库中已知核电荷半径的同位素比CR1999数据库多, 因此基于CR2004数据库得到的预言值要比CR1999更多一些. 研究得到的约168个预言值中, 只有19个核电荷半径在数据库CR2013中有实验值. 把这19个预言值与CR2013数据库中的实验值进行对比, 如表2所列, $2013^{{\rm{Exp}}}$代表CR2013数据库中的实验值, $R_{\rm th2}$代表基于替换后的CR2004数据库得到的预言值, dev2代表CR2013数据库中的实验值与预言值$R_{\rm{{th2}}}$的差值.

由表1和表2可知, 利用数据库CR1999和CR2004结合本文的新关系式得到的预言值与CR2013中的实验值符合得较好. 也可以知道, 中质量核和重核电荷半径的预言值与实验值更接近. 其实由图4也可得到该结论, 因为质量数$A\geqslant54$的原子核的 ${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$统计性更好, 所以未知电荷半径原子核的${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$预言值越精确, 得到的核电荷半径的预言值也越精确.

本文也利用核电荷半径之间的新关系式结合CR2013数据库进行预言, 将得到的预言值与近期主流的一些核电荷半径模型^[25,33]的预言值进行对比. 文献[25]利用原子核的新电荷半径关系得到大量的核电荷半径预言值$R_{\rm{np}}$, 文献[33]利用$\text{δ} R$的经验公式与${\rm{WS}}^*$(Weizsäcker-Skyrme)模型得到的预言值分别为$R _{\mathrm{emp}}$和$R _{\mathrm{ws}}$, 此外文献[33]也利用$\text{δ} R$的经验公式与${\rm{WS}} ^*$模型得到核电荷半径加权平均值$R _{\text{emp-ws}}$. 本文基于CR2013数据库得到核电荷半径的预言值约为200个, 其中与文献[25, 33]有共同预言值的核电荷半径个数为80, 对比结果如图5所示. 图5(a)中的实心圆圈代表本文的预言值$R _{\mathrm{th3}}$与文献[25]中预言值$R_{\mathrm{np}}$之间的差值; 图5(b)—(d)中的实心正方形、实心菱形和实心三角形分别代表文献[33]中的预言值$R _{\mathrm{emp}}$, $R_{\mathrm{ws}}$和$R _{\text{emp-ws}}$与$R_{\mathrm{th3}}$之间的差值.

由图5可知, 本文的预言值与文献[25, 33]中利用几种方法得到预言值的精度可以媲美. 此外, 本文的新公式也比较简单方便, 但是由于是以同位素核为基础进行研究的, 所以只能依靠已知核电荷半径的同位素核个数来预言, 因此可预言的核电荷半径的个数会受到限制.

此外, 近几年实验上对于核电荷半径的研究也很多^{[27,28,40-44]}, 因此有许多新的核电荷半径被测出来, 表3列出一些预言值与实验值进行对比. 其中$R_{{\rm{exp}}}$ 代表近几年新测得的核电荷半径, $R _{{\rm{th}}3}$代表本文基于CR2013得到的预言值, dev3代表新测得的实验值$R_{{\rm{exp}}}$与预言值${R_{{\rm{th}}3}}$之间的差值. 由表3可知, 预言值与新测得的实验值之间的误差比较小, $^{37}{\rm{K}}$和$^{64}{\rm{Cu}}$的精确度甚至可以达到0.0011 fm和0.005 fm. 对比结果进一步表明利用本文的新关系式结合数据库得到核电荷半径的预言值具有一定的可靠性.

以上的对比结果表明本文得到的新关系式可以较好地描述CR2013数据库, 还可以结合CR1999, CR2004和CR2013数据库对未知的核电荷半径进行预言, 而且得到的预言值具有一定的精确性和可靠性.

4.   结　论

利用相邻核电荷半径之间的关系进行研究具有一定的优越性, 因此, 本文在文献[13-15, 25, 33]的基础上对CR2013数据库中质量数$A\geqslant20$ (质子数$Z\geqslant10$和中子数$N\geqslant10$)的同位素链核电荷半径的实验值进行了分析研究, 进而提出一个新的核电荷半径关系式: 原子核的电荷半径等于其左右相邻的两个同位素核电荷半径之和的一半. 利用这个新的关系式结合CR2013数据库对质量数$A\geqslant20$ (质子数$Z\geqslant10$和中子数$N\geqslant10$)的核电荷半径进行计算, RMSD仅为0.00471 fm; 对质量数$A\geqslant54$的核电荷半径进行拟合时, 得到理论值和实验值的RMSD仅为0.00337 fm. 同时, 为了得到更加精确的核电荷半径的计算值, 用文献[18]提及的奇偶摆动对${\rm{d}}R_{n}(Z, N)$进行修正, 计算结果表明, 偶摆动修正项的添加对核电荷半径精确度的提高比较明显, 使得RMSD由0.00471 fm减少到0.00439 fm, 减小约6.8%. 此外, 利用新关系式结合CR1999和CR2004得到的预言值与CR2013数据库中的实验值之间的误差较小, 而且利用新关系式结合CR2013数据库得到的预言值与重要的预言文献[25, 33]中的预言值较符合, 与近几年测得的核电荷半径的实验值^{[27,28,40,41]}也较接近. 以上的研究结果表明, 新的关系式可以较好地对核电荷半径进行计算和预言.

本文提出的核电荷半径新关系在计算和预言的过程中较为简便, 涉及到的原子核仅为2个. 此外, 利用一个关系式结合CR2013数据库就可以得到573个核电荷半径的计算值且RMSD还较小, 得到的预言值与近几年新测得的实验值也较接近. 综上所述, 核电荷半径的新关系式说明相邻3个原子核电荷半径之间的关联性比较高, 同时也说明基于同位素链核电荷半径的新关系计算和预言电荷半径具有一定的精确性和可靠性, 这会为今后的实验提供有意义的参考.