1.   引　言

天文观测表明现在的宇宙正加速膨胀^[1-3]. 在爱因斯坦引力中, 宇宙的加速膨胀被解释为宇宙中暗能量的推动. 暗能量可能是Quintessence能量(Q暗能量), 也可能是其他形式的能量, 如真空能等. 所谓的Q暗能量指宇宙中的正则标量场, 它的态方程参数满足$-1<w_{\rm q}<-2/3$. 对于史瓦西(Schwarzschild)黑洞被Q暗能量包围的情况, 时空中既有黑洞视界也存在宇宙视界, 此类黑洞属于Kiselev黑洞^[4]. 文献[5]研究了$w_{\rm q} = 1/3$情况下的Kiselev黑洞的热力学问题. 文献[6]探讨了一般情况下的Kiselev黑洞的热力学问题, 包括Kiselev黑洞的斯马尔(Smarr)关系等.

粒子被引力场加速, 最终会被天体捕获, 此即所谓的天体吸积现象^[7,8]. 对于史瓦西黑洞, 其吸积性质类似于牛顿理论中孤立球对称天体的吸积性质^[9]. 黑洞的稳态吸积问题已经得到了广泛的研究^[10-23]. 在$w_{\rm q} = -2/3$的情况下, 文献[24]研究了Kiselev黑洞吸积多方流体的问题. 结果显示, 多方流体的吸积速率和吸积临界点都与Q暗能量的能量标度有关. 在文献[24]中, Kiselev黑洞被考虑为带有两个黑洞视界的黑洞. 对于黑洞周围存在暗能量的情况, Kiselev时空存在宇宙视界. 本文研究Kiselev时空中以黑洞视界和宇宙视界为边界的时空区域的热力学性质, 探讨Kiselev黑洞对无压流体物质的吸积特性.

2.   Kiselev时空的热力学性质

对于时空中存在Q暗能量的情况, Kiselev时空度规取下面的形式^[4]:

$${\rm d}s^2 = - f{\rm d}t^2 + f^{-1} {\rm d}r^2 + r^2({\rm d}\theta^2 + {{\rm sin}}^2\theta {\rm d}\varphi^2),$$

(1)

$$f = 1-\dfrac{2M}{r}-\left(\dfrac{r}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)},$$

(2)

其中$\lambda$是具有宇宙尺度的参数, $M \ll \lambda$是黑洞的质量. 该时空有一个黑洞视界(半径$r_{\rm B}$)和宇宙视界(半径$r_{\rm C}$), 其视界半径近似地为

$$r_{\rm B} \approx 2M \left[ 1 + \left(\dfrac{2M}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)} \right],$$

(3)

$$r_{\rm C} \approx \lambda + \dfrac{2M} {3w_{\rm q}+1}.$$

(4)

在上面的计算中, 已经使用了条件$M \ll \lambda$. 恒星级质量的黑洞显然满足这个条件, 即便是超大质量的星系级黑洞, 这一条件也成立.

由$T_{\rm {B, C}} = \left|\dfrac{1}{2{\text{π}}} \kappa_{\rm {B, C}}\right|$, 其中$\kappa_{\rm {B, C}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\left|_{r_{\rm {B, C}}}\right.$是黑洞视界和宇宙视界的表面引力, 得到黑洞视界和宇宙视界的温度

$$T_{\rm {B, C}} = \dfrac{1}{4{\text{π}}}\left| \dfrac{M}{r_{\rm {B, C}}^2} + \dfrac{3w_{\rm q}+1}{2\lambda} \left(\dfrac{r_{\rm {B, C}}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+2)}\right|.$$

(5)

对于宇宙视界, (5)式右边的第一项是小量, 宇宙视界温度近似为$T_{\rm C} = - \dfrac{3w_{\rm q}+1}{8{\text{π}}\lambda} \left(\dfrac{r_{\rm C}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+2)}$. 由度规函数$f = 0$, 得到Kiselev时空(黑洞)的质量$M = \dfrac{1}{2} \left[1-\left(\dfrac{r_{{\rm B, C}}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1))}\right]$, 即

$$M = \dfrac{1}{2} \sqrt{S_{\rm {B, C}}/{\text{π}}} \left[ 1 - \left(\dfrac{\sqrt{S_{\rm {B, C}}/{\text{π}}}} {\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)}\right],$$

(6)

其中$S_{\rm {B, C}} = {\text{π}} r_{\rm {B, C}}^2$是黑洞视界和宇宙视界的熵. Kiselev黑洞质量可表示为斯马尔关系的形式(类似的讨论见文献[6])

$$M = \pm 2T_{\rm {B, C}} S_{\rm {B, C}} + \varTheta_{\rm {B, C}}\lambda,$$

(7)

其中

$$\varTheta_{\rm {B, C}} = - \dfrac{3w_{\rm q}+1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{S_{\rm {B, C}}/{\text{π}}}} {\lambda}\right)^{-3w_{\rm q}}.$$

(8)

(7)式中符号“+”和“–”分别对应到黑洞视界和宇宙视界的情况. 对(6)式两边微分得到微分形式的斯马尔关系

$${\rm d} M = \pm T_{\rm {B, C}} {\rm d}S_{\rm {B, C}} + \varTheta_{\rm {B, C}} {\rm d}\lambda.$$

(9)

在Kiselev黑洞斯马尔关系的表示中, 既可采用定义在黑洞视界上的热力学量, 也可采用定义在宇宙视界上的热力学量. (9)式给出了Kiselev时空的质量增加量与视界熵增加量和参量$\lambda$增加量的关系.

球对称时空(1)中半径为$r$的球面内的爱因斯坦准局域能为^[25]

$$E = \dfrac{1}{2} r (1-f).$$

(10)

将度规函数(2)式代入(10)式给出Kiselev时空中半径为$r$的球面内的能量

$$E = M + \dfrac{1}{2}\lambda \left(\dfrac{r}{\lambda}\right)^{-3w_{\rm q}}.$$

(11)

由$\rho = \dfrac{1}{4{\text{π}} r^2} \dfrac{{\rm d} E}{{\rm d}r}$, 得到Kiselev时空(背景时空)的能量密度

$$\rho = - \dfrac{3w_{\rm q}}{8{\text{π}} r^2} \left(\dfrac{r}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q}+1)}.$$

(12)

Kiselev时空的径向压强和切向压强分别为$p_ r = - \rho$和$p_\tau = \dfrac{3w_{\rm q}+1}{2}\rho$. 对于$w_{\rm q} = -2/3$, 切向压强$p_\tau = - \dfrac{1}{2}\rho$. 态方程$w_{\rm q}$越小, 切向压强与径向压强的比值$p_\tau/p_ r$就越大. 黑洞视界和宇宙视界附近的背景时空能量密度为

$$\rho_{{\rm B, C}} = - \dfrac{3 w_{\rm q}} {8{\text{π}} r_{{\rm B, C}}^2} \left(\dfrac{r_{{\rm B, C}}}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q} + 1)}.$$

(13)

宇宙视界附近的能量密度大致正比于Q能态方程参数的大小, 因此具有相同的量级, 但黑洞视界附近的能量密度却随$w_{\rm q}$增大而迅速增加(表1).

将$r = r_{{\rm B, C}}$代入(10)式得到黑洞视界和宇宙视界内的能量$E_{{\rm B, C}} = \dfrac{1}{2} r_{{\rm B, C}}$. 容易验证, 由黑洞视界和宇宙视界包围的系统满足热力学第一定律

$$\begin{split} {\rm d} E_{{\rm B, C}} =&\; {\rm d}Q_{{\rm B, C}} + {\rm d}w_{{\rm B, C}} \\ =& \pm T_{{\rm B, C}} {\rm d} S_{{\rm B, C}} - p_{{\rm B, C}}{\rm d}V_{{\rm B, C}}, \end{split}$$

(14)

其中${\rm d}Q_{\rm B}$和${\rm d}Q_{\rm C}$分别是流入黑洞和宇宙视界内的热量, ${\rm d}w_{\rm B}$和${\rm d}w_{\rm C}$分别是时空中的流体对黑洞视界和宇宙视界的功, $p_{{\rm B, C}} = p_{r}(r_{{\rm B, C}})$和$V_{{\rm B, C}} = \dfrac{4}{3} {\text{π}} r_{{\rm B, C}}^3$. 考虑到$p_{{\rm B, C}} = -\rho_{{\rm B, C}}$, Kiselev时空中流体对黑洞视界和宇宙视界的功可写为

$${\rm d} w_{{\rm B, C}} = \rho_{{\rm B, C}} {\rm d} V_{{\rm B, C}}.$$

(15)

在视界发生微小改变的过程中, 时空中流体对视界的功等于视界所掠过时空区域的能量$\Delta w_{{\rm B, C}} =$$\rho_{{\rm B, C}} \Delta V_{{\rm B, C}}$ (图1).

3.   Kiselev时空的物质吸积特性

在静态球对称时空中, 沿径向运动的流体四维速度是${ u}^\mu \!=\! \dfrac{{\rm d}{ x}^\mu}{{\rm d}s} \!=\! (u^0, u^1, 0, 0)$, 其中${ x}^\mu \!=\! (t, r, \theta, \varphi)$. 利用归一化条件${ u}_\mu { u}^\mu = -1$, 得到流体四维速度的第0分量

$$u^0 = \dfrac{1}{f}\sqrt{f+u^2},$$

(16)

其中$u = u^1$. 物质的四维流矢量定义为${ J}^\mu = n{ u}^\mu$, 其中$n$是流体的粒子数密度. 四维流守恒律${ J}^\mu_{;\mu} = 0$给出^[24]

$$r^2 n u = C_J,$$

(17)

其中$C_J \neq 0$是常数. 对于流向引力中心的流体, 有$C_J < 0$.

理想流体的四维能量-动量张量取如下形式:

$$T_{\mu\nu} = p_{\rm m} g_{\mu\nu} + (\rho_{\rm m}+p_{\rm m})u_\mu u_\nu,$$

(18)

其中$\rho_{\rm m}$和$p_{\rm m}$分别代表流体的能量密度和压强. 流体四维能量-动量张量守恒方程的零分量方程为

$$\dfrac{1}{r^2} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}r} \left[r^2(\rho_{\rm m} + p_{\rm m}) u (f+u^2)^{1/2}\right] = 0,$$

(19)

即

$$r^2(\rho_{\rm m} + p_{\rm m}) u (f+u^2)^{1/2} = C_1,$$

(20)

其中$C_1$是常数. 对于$p_{\rm m}>-\rho_{\rm m}$的情况, 积分常数$C_1<0$. 方程$u^\nu T_{\nu;\mu}^\mu = 0$给出^[12]

$$\dfrac{1}{u} \dfrac{{\rm d}u}{{\rm d}r} + \dfrac{1}{\rho_{\rm m} + p_{\rm m}} \dfrac{{\rm d}\rho_{\rm m}}{{\rm d}r} + \dfrac{2}{r} = 0.$$

(21)

对(21)式积分得到

$$r^2 u {\rm e}^{\int(\rho_{\rm m} + p_{\rm m})^{-1} {\rm d}\rho_{\rm m}} = C_2,$$

(22)

这里$C_2<0$是积分常数.

若吸积流体是无压的物质, 则(22)和(17)式是同一方程. 由(20)和(22)式得到

$$u^2 + f = (C_1/C_2)^2.$$

(23)

对(23)式求导给出$2u u' = - f'$, 其中$f' =$${\rm d}f/{\rm d}r$. 对于$u \neq 0$, $u' = 0$指$f' = 0$. 方程$f' = 0$给出Kiselev时空度规函数取极大值的位置$r_0$ (图2),

$$r_0 = \lambda \left[- \dfrac{2M}{(3w_{\rm q}+1)\lambda} \right]^{-1/3w_{\rm q}},$$

(24)

它是Kiselev黑洞对无压流体的吸积半径. 对于$w_{\rm q}= -\dfrac{2}{3}$和$w_{\rm q} = -1$, 吸积半径分别为$r_0\approx 1.6\times$$10^{4}$ l.y.和$r_0 \approx 1.2\times 10^{6}$ l.y., 在$r_0$点(吸积临界点)上, 存在下面的关系式:

$$(C_1/C_2)^2 = u_{0}^2 + f_{0},$$

(25)

其中$u_{0} = u(r_0)$为流体的最大速度. (25)式右边的$f_{0}$是$f$在黑洞视界和宇宙视界间的最大取值

$$f_{0} = f(r_0) = 1-\dfrac{2M}{r_0}-\left(\dfrac{r_0}{\lambda}\right)^{-(3w+1)}.$$

(26)

在$r = r_0$附近, Kiselev时空几乎是平直时空(图3). 在$r = r_0$处, 粒子应该有极小速率$(|u_{0}| \ll 1 )$. 在这一假设下, 有$u_{0}^2 + f_{0} \approx f_{0} \approx 1$和$C_2 \approx C_1 = C$. 在接近黑洞视界处($f \approx 0$), 流体四维速度的径向分量$u_{\rm B}$近似地为$- 1$.

Kiselev黑洞对无压理想流体的吸积率为

$$\chi_{\rm B} = -4{\text{π}} r^2 \rho_{\rm m} u = -4{\text{π}} C,$$

(27)

其中常数$C = \rho_{\rm mB} u_{\rm B} r_{\rm B}^2$, 能量密度$\rho_{\rm {mB}} = \rho_{\rm m}(r_{\rm B})$. 黑洞视界附近的流体四维速度${ u}^\mu$的径向分量近似为$-1$, 常数$C$仅依赖黑洞视界半径和吸积流体的能量密度. 假定黑洞视界附近被吸积流体的能量密度与背景能量密度成正比$\rho_{\rm mB} = \eta_{\rm B} \rho_{\rm B}$, 则黑洞的吸积率为

$$\chi_{\rm B} = - \dfrac{3 \eta_{\rm B} w_{\rm q}} {2} \left(\dfrac{2M}{\lambda}\right)^{-(3w_{\rm q} + 1)}.$$

(28)

被吸积流体的能量密度对时空背景的影响是微小的, 因此要求比例系数$\eta_{\rm B} \ll 1$. 对应于$w_{\rm q} =$$- 2/3$和$w_{\rm q} = - 1$, 分别有最大吸积率$\chi_{\rm max}\approx 1.2 \times$$10^{-6}\eta_{\rm B}$和最小吸积率$\chi_{\rm min}\approx1.2\times10^{-8}\eta_{\rm B}$ (图4). 上面的讨论是在假定参数$\eta_{\rm B}$不依赖$w_{\rm q}$的情况下进行的. 假定$\eta_{\rm B}$随$w_{\rm q}$足够缓慢地改变, 则黑洞的吸积率会随$w_{\rm q}$的增大而增大.

4.   结论与讨论

在$M \ll \lambda$的情况下, Kiselev时空中的流体对宇宙视界所做的功和流入宇宙视界的热量近似地为$- \dfrac{3 w_{\rm q}} {2}\Delta r_{\rm C}$和$\dfrac{1+3 w_{\rm q}} {2} \Delta r_{\rm C}$. 在$-1<w_{\rm q} < - 1/3$的范围内, 热量总是从宇宙视界流出($\Delta Q_{\rm C}<0$). 既然$r_{\rm B} \ll \lambda$, 则有$\Delta w_{\rm B} \ll \Delta r_{\rm B}$. 这说明Kiselev黑洞能量的增加量主要是来自于流入黑洞的热量贡献.

现在宇宙中约$1/3$和$2/3$的部分为物质和暗能量. 宇宙加速膨胀要求宇宙有效态方程参数$w_{\rm eff}<-1/3$. 对于由无压的物质和Q能构成的宇宙, 它指暗能量态方程参数的取值被限制在范围$w_{\rm q} < -2/3$之内. Kiselev时空的能量分布明显地依赖它的态方程参数$w_{\rm q}$. 对于$w_{\rm q} = -2/3$和$w_{\rm q} = -1$这两种情况, 黑洞视界附近的Q能密度相差11个量级. 另一方面, 随${\rm Q}$能的态方程参数减小, $r_0$的取值增大. 在$r_{\rm B} \leqslant r < r_0$的区域内的球面上, 表面引力$\kappa>0$; 而在$r_0 < r \leqslant r_{\rm C}$的区域内, 表面引力$\kappa<0$. 对于无压的被吸积理想流体, Kiselev时空的吸积临界点即时空中表面引力为零的球面. Kiselev时空中$r_0$的取值随态方程参数$w_{\rm q}$的减小而增大, 即黑洞吸积范围增大. 对于$w_{\rm q} = -2/3$和$w_{\rm q} = -1$, $r_0$的取值相差2个量级. 假定被吸积流体的能量密度正比于背景能量密度, 则在$-1\leqslant$$w_{\rm q} < -2/3$的范围内Kiselev黑洞吸积率相差2个量级.