1.   引　言

2015年, 欧洲LHCb合作组发现了多种不同的隐粲五夸克候选粒子, 包括在$\varLambda_{\mathrm{b}}^0\to J/\varPsi p K^-$衰变过程中发现的$P_{\mathrm{c}}$(4380), $P_{\mathrm{c}}$(4312), $P_{\mathrm{c}}$(4440),$P_{\mathrm{c}}$(4457)^[1,2], 以及$\varXi_{\mathrm{b}}^-\to J/\varPsi \varLambda K^-$和$B_{\mathrm{s}}\to J/\varPsi p \bar p$衰变过程中发现的$P_{{\mathrm{cs}}}$(4459)和$P_{{\mathrm{cs}}}$(4337)^[3,4]. 自此之后, 五夸克态的研究迅速成为理论与实验的研究热点之一. 关于五夸克态的研究当前已经有许多可行的研究手段^[5–12], 如量子色动力学(QCD)求和规则方法可以有效地计算五夸克态的非微扰量, 非相对论的夸克模型可以较好地计算五夸克态的质量谱. 然而在打开重夸克味道的五夸克态的搜寻(如单粲味五夸克态), 以及五夸克态可能的内部 结构和复杂的非微扰动力学认识等方面还需要进一步努力. 关于五夸克的内部结构, 复合分子态的图像是当前最被广泛接受的假设之一, 文献[13–20]发现$P_{\mathrm{c}}(4440)$,$P_{\mathrm{c}}(4457)$和$P_{\mathrm{c}}(4380)$可以很好地用$\bar D^{(*)}\varSigma_{\mathrm{c}}^{(*)}$分子态来解释, 而$P_{\mathrm{c}}(4459)$和$P_{\mathrm{c}}(4337)$被认为是分子态$\bar{D}^* \varXi_{\mathrm{c}}$和$\varXi_{\mathrm{c}} \bar D$的候选者. 虽然大部分已发现的五夸克态候选者都是通过$\varLambda_{\mathrm{b}}$重子衰变产生, 但$P_{{\mathrm{cs}}}$(4337)^[4]的$B_{\mathrm{s}}$介子产生过程表明, 基于底介子的衰变产生五夸克态也是一种新的途径. 据此本文将尝试利用$B_{\mathrm{s}}$介子的衰变来产生单粲味五夸克态${c\bar suud}$.

文献[19–27]利用不同的研究手段, 研究了自旋宇称$J^P={{1}/{2}}^{-}$的单粲味五夸克态${c\bar suud}$的质量谱, 发现在triquark-diquark模型^[25]、有效拉氏量方法^[19,23]和Quark Delocalization Color Screening模型^[26]中, ${c\bar suud}$的质量接近阈值$ND_{\mathrm{s}}$, 然而在QCD求和规则^[24]和轻介子交换^[28]方法下其质量更接近阈值$ND_{\mathrm{s}}^*$, 这表明了单粲味五夸克态可能具有重子-介子的分子态构型. 故本文将关注具有分子态构型的${c\bar suud}$, 并借助有效拉式量方法, 系统地研究具有分子态$ND_{\mathrm{s}}$或$ND^*_{\mathrm{s}}$的单粲味五夸克态的产生和衰变行为.

有效拉氏量方法可以有效地描述强子间的相互作用, 首先通过建立具有规范不变的唯象层次的有效拉氏量, 来描述分子态与其组分间的相互作用, 利用标准的场算符分别描述分子态和相应的组成粒子, 再通过强子分子态的裸量-复合粒子判据^[29], 确定强子分子与其组分重子-介子之间的耦合强度. 利用强子层次上的相互作用拉氏量, 构造包含强子分子态的跃迁矩阵元, 并通过计算矩阵元最终确定强子的跃迁过程.

本文首先利用复合分子态判据, 给出具有$ND_{\mathrm{s}}$和$ND^*_{\mathrm{s}}$两类分子态构型的单粲味五夸克态${c\bar suud}$与其组成组分之间的耦合值, 之后利用有效拉氏量方法计算出单粲味五夸克态${c\bar suud}$的产生和衰变分支比, 并列出计算结果, 给出结论.

2.   单粲味五夸克

本文主要关注于单粲味五夸克态的产生过程$\bar B^0_{\mathrm{s}}\to P_{c\bar{s}uud}^{++} \bar \varDelta^-$. 根据轻夸克味道对称性分析, 单粲味五夸克可能形成稳定的15重态^[23], 记为$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$. 在考虑其味道空间的波函数, 以及CKM允许的底夸克衰变过程$b\to c\bar u d$下, 利用SU(3)对称性分析, 并根据末态强子的重建效率, 筛选出具有Cabibbo允许且满足相空间的两体衰变过程$\bar B^0_{\mathrm{s}}\to P_{c\bar{s}uud}^{++} \bar \varDelta^-$. 根据对称性分析, 三体末态则有$\bar B^0_{\mathrm{s}}\to P_{c\bar{s}uud}^{++} \bar p \pi^-$过程, 虽然核子$N({{1}/{2}}^+)$相对于Δ(${{3}/{2}}^{+}$), 在实验上更容易被探测到, 但考虑到三体过程的相空间压低效应, 此外由于Δ很容易衰变到$N \pi$, 这便于实验的重建, 因此本文主要关注具有更大分支比的两体$\bar B^0_{\mathrm{s}}\to P_{c\bar{s}uud}^{++} \bar \varDelta^-$过程. 五夸克态系统的内部可能是具有疏松的分子态构型, 也可能是通过紧密强相互作用的束缚态, 而QCD求和规则和夸克模型计算, 暗示其质量更接近$ND_{\mathrm{s}}$或$ND^*_{\mathrm{s}}$阈值^[23,27]. 因此本文主要考虑单粲味五夸克的分子态构型, 并分别研究其具有$ND_{\mathrm{s}}$或$ND^*_{\mathrm{s}}$的分子构型. 一般来说, 在弱的结合能量$\varepsilon$下, 单粲味五夸克分子态的质量可以表示为

$$m_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}=m_{D^{(*)}_{\mathrm{s}}}+m_{N}-{\varepsilon}.$$

(1)

在计算中, $\varepsilon$取5, 20, 50 MeV. 根据单粲味五夸克态的质量, 可以计算其与介子${D^{(*)}_{\mathrm{s}}}$和重子N的耦合.

描述单粲味五夸克态($P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$)与其组分($ND^{(*)}_{\mathrm{s }}$)之间耦合的有效拉氏量为^[16,19]

$$\begin{split} {\cal L}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} N D_{\mathrm{s}}}(x) = \;&g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} N D_{\mathrm{s}}} \, P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}(x) \int {\mathrm{d}}y \, \varPhi(y^2) \, {N}^\dagger\\ &\times\left(x+\frac{y}{2}\right) \, D_{\mathrm{s}}\left(x-\frac{y}{2}\right),\,\end{split}$$

(2)

$$\begin{split} &{\cal L}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}{{N}}{D_{\mathrm{s}}^*}}(x) = g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}{{N}}{D_{\mathrm{s}}^*}} P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}(x){\gamma}^{5}\left(g_{\mu \nu}-\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^2_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}}\right){\gamma}^{\nu}\\ & \qquad \times\int {\mathrm{d}}y \, \varPhi(y^2) \, {{N}}^\dagger\left(x+\frac{y}{2}\right) \, {D_{\mathrm{s}}^{*\mu}}\left(x-\frac{y}{2}\right), \\[-1pt]\end{split}$$

(3)

其中, $\varPhi(y^2)$具有高斯形式^[30]. 弱结合能$\varepsilon$下的截断参数通常取$\bar \varLambda<1.0$GeV^[19]. 耦合常数$g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} {N}D^{(*)}_{\mathrm{s}}}$可以根据复合粒子的判据^[31,32],

$$Z_{P_{{\mathrm{c}} \bar {\mathrm{s}}}} = 1 - \frac{{\mathrm{d}}\varSigma^{(\prime)}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}(p)}{{\mathrm{d}}p /}\bigg|_{p / = m_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}} =0 \,.$$

(4)

具有$ND^{(*)}_{\mathrm{s}}$分子态构型的单粲五夸克$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$的质量算符$\varSigma^{(\prime)}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}(p)$可以用图1自能图来描述, 形式为

$$\begin{split} \varSigma_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}(p)= g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N{D}_{\mathrm{s}}}^2 \int \frac{{\rm d^{4}}k}{(2{\pi})^4}\,\widetilde\varPhi^2(-k^2) \frac{({k} /+ {p /}/{2}+m_{N})}{\left[\left(k+ {p}/{2}\right)^2-m_N^2\right]\left[\left(k- {p}/{2}\right)^2-m_{D_{\mathrm{s}}}^2\right]^2},\end{split}$$

(5)

$$\begin{split} \varSigma^{\prime}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}(p)= \; & g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N{D}_{\mathrm{s}}^*}^2 \int \frac{{\mathrm{d}}^4 k}{(2\pi)^4}\ \widetilde\varPhi^2(-k^2) \frac{ \gamma^\nu \left({k /}+ {p /}{2}-m_p\right) \gamma^{\mathrm{\rho}}}{\left[\left(k + {p}/{2}\right)^2-m_N^2\right]\left[\left(k- {p}/{2}\right)^2-m_{D_{\mathrm{s}}^*}^2\right]}\\ &~~\times\left(g_{\mu\nu}-\frac{p_{\mu} p_{\nu}}{m_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}^2}\right)\left(g_{\sigma\rho}-\frac{p_{\sigma} p_{\rho}}{m_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}^2}\right) \left[{-g^{\mu\sigma}+\frac{\left(k-{p}/{2}\right)^{\mu}\left(k- {p}/{2}\right)^{\sigma}}{m_{D_{\mathrm{s}}^*}^2}}\right]. \end{split}$$

(6)

因此, 耦合常数可以表示为

$$\begin{split} \frac{1}{g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} N D_{\mathrm{s}}}^2}=\;& \frac{1}{16\pi^2 } \int\nolimits_0^1 {\mathrm{d}}\alpha \, \int\nolimits_0^\infty \frac{{\mathrm{d}}\beta \beta}{(1 + \beta)^2} \widetilde\varPhi^2(\varDelta) \Bigg\{ \frac{{1 + 2\beta (1 - \alpha )}}{{2(\beta + 1)}} + \frac{{\beta {p /}(\beta + 1) - {\beta ^2}{p /}{{(2\alpha - 1)}^2}}}{{\varLambda _1^2(\beta + 1)}}\\ &~~\times\left[ {\frac{{{p /} + 2\beta {p /}(1 - \alpha )}}{{2(\beta + 1)}} + {m_N}} \right] \Bigg\},\\ \frac{1}{g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} N{D_{\mathrm{s}}^*}}^2}=\;& \frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}} p /} \int \frac{{\mathrm{d}}^4 k}{(2\pi)^4}\ \widetilde\varPhi^2(-k^2) \frac{{{\gamma ^\nu }\left( {{k /} + \dfrac{{{p /}}}{2} - {m_p}} \right){\gamma ^\rho }}}{{\left[ {{{ \big(k + {p}/{2}\big)}^2} - m_N^2} \right]\left[ {{{\left( {k - {p}/{2}} \right)}^2} - m_{D_{\mathrm{s}}^*}^2} \right]}}\\ &~~\times\left( {{g_{\mu \nu }} - \frac{{{p_\mu }{p_\nu }}}{{m_{{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}}^2}}} \right)\left( {{g_{\sigma \rho }} - \frac{{{p_\sigma }{p_\rho }}}{{m_{{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}}^2}}} \right) \left[ { - {g^{\mu \sigma }} + \frac{{{{\left( {k - {p}/{2}} \right)}^\mu }{{\left( {k - {p}/{2}} \right)}^\sigma }}}{{m_{D_{\mathrm{s}}^*}^2}}} \right],\\[-1pt] \end{split}$$

(7)

其中,

$$\begin{split} \varDelta=\;&\beta\Bigg(m^2_{D_{\mathrm{s}}}-\alpha m^2_{D_{\mathrm{s}}}+m^2_{N}- \frac{p^2 }{4} +\frac{\beta p^2 }{4+4\beta}-\frac{4\alpha\beta p^2 }{4+4\beta}+\frac{4\alpha^2 \beta p^2 }{4+4\beta}\Bigg), \end{split}$$

$k\pm{p}/{2}$为重子N和介子${D^{(*)}_{\mathrm{s}}}$的动量.

3.   理论框架

3.1   有效拉氏量和非微扰形状因子

本文采用有效拉氏量方法来研究单粲味五夸克态$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$的产生. 如图2所示, $\bar B_{\mathrm{s}}$介子首先衰变为粲介子$D_{\mathrm{s}}^{(*)}$和轻介子M (π或ρ), 然后与重子N交换产生反十重态重子$\bar{\varDelta}$和单粲味五夸克态$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$, 可以用$\bar B_{\mathrm{s}}\to D_{\mathrm{s}}^{(*)}M \xrightarrow[]{N} P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}\bar{\varDelta}$来描述. 通过插入完备态将两体衰变矩阵元$\langle P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} \bar {\varDelta}|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}| \bar B_{\mathrm{s}}\rangle$进一步拆分为弱衰变跃迁矩阵元$\langle D^{(*)}_{\mathrm{s}} M|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}|\bar B_{\mathrm{s}}\rangle$和强耦合矩阵元$\langle N \bar {\varDelta}|{\cal{L}}_{1}|M\rangle$和$\langle P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} |{\cal{L}}_{2}|ND^{(*)}_{\mathrm{s}}\rangle$, 具体表示如下:

$$\begin{split}&\langle P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} \bar {\varDelta}|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}| \bar B_{\mathrm{s}}\rangle=\sum\nolimits_{\lambda}\langle P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} |{\cal{L}}_{2}|ND^{(*)}_{\mathrm{s}}\rangle\\ &~~~~ \times\langle N \bar {\varDelta}|{\cal{L}}_{1}|\pi(\rho)\rangle\langle D^{(*)}_{\mathrm{s}} M|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}|\bar B_{\mathrm{s}}\rangle, \end{split}$$

(8)

其中, M表示介子π或ρ. ${\cal{L}}_{1}$, ${\cal{L}}_{2}$分别表示强相互作用有效拉氏量${\cal{L}}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}{{N}}{D_{\mathrm{s}}^{(*)}}}$和${\cal{L}}_{N\Delta M}$^[32]:

$$\begin{split} &{\cal{L}}_{N\Delta \pi} = \frac{g_{N\Delta \pi}}{m_{\pi}} (\bar {\varDelta}^\mu N + \bar N {\varDelta}^\mu)\partial_\mu {\pi}, \\ &{\cal{L}}_{N\Delta \rho} = -{\mathrm{i }}\frac{g_{N\Delta \rho}}{m_{\rho}} (\bar {\varDelta}^\mu \gamma^5 \gamma^\nu N - \bar N \gamma^5 \gamma^\nu {\varDelta}^\mu), \end{split}$$

(9)

其中, 耦合常数$g_{N\Delta {\text{π}}}$ = 2.127, $g_{N\Delta {\text{ρ}}}$ = 16.03^[33].

如图3所示, 弱衰变过程$\langle D^{(*)}_{\mathrm{s}} M|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}|\bar B_{\mathrm{s}}\rangle$可以通过${W}$发射过程发生, 有效哈密顿量为

$$\begin{split} {\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}} = \;&\frac{G_{\mathrm{F}}}{\sqrt{2}} V_{cb}^* V_{ud} (C_1(\mu) (\bar c_{\alpha} b_{\beta})_{V-A}(\bar d_{\beta}u_{\alpha})_{V-A}\\ &+C_2(\mu) (\bar c_{\alpha} b_{\alpha})_{V-A}(\bar d_{\beta}u_{\beta})_{V-A})+{\mathrm{h.c.}} \end{split}$$

(10)

其中$G_{\mathrm{F}}$, $C_{1, 2}(\mu)$和$O_{1, 2}(\mu)$分别是费米常数、威尔逊系数和费米子算符.

弱衰变过程的跃迁矩阵元$\langle D^{(*)}_{\mathrm{s}} M|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}|\bar B_{\mathrm{s}}\rangle$可以约化为威尔逊系数、非微扰形状因子和衰变常数的乘积,

$$\langle D^{(*)}_{\mathrm{s}} M|{\cal{H}}_{{\mathrm{eff}}}|\bar B_{\mathrm{s}}\rangle=\frac{G_{\mathrm{F}}}{\sqrt{2}} V_{cb}^* V_{ud}\, a_1 \langle D^{({*})}|(\bar c b)_{V-A} | \bar B_{\mathrm{s}}\rangle \langle M|(\bar du)_{V-A} |0\rangle,$$

(11)

其中有效威尔逊系数$a_1=C_1+C_2/N_{\mathrm{c}}$, $N_{\mathrm{c }}$表示颜色的数目.

非微扰形状因子$\bar B_{\mathrm{s}} \to D_{\mathrm{s}}$^[34]和$\bar B_{\mathrm{s}} \to D_{\mathrm{s}}^*$^[35]的定义为

$$\begin{split} &\left\langle D_{\mathrm{s}}\left(k_2\right)\left|(\bar{c} b)_{V-A}\right| \bar{B}_{\mathrm{s}}(p)\right\rangle =F_1\left(k_1^2\right)\left(p^\mu+k_2^\mu-\frac{m_{B_{\mathrm{s}}}^2-m_{D_{\mathrm{s}}}^2}{k_1^2} k_1^\mu\right)+F_2\left(k_1^2\right)\left(\frac{m_{B_{\mathrm{s}}}^2-m_{D_{\mathrm{s}}{\mathrm{}}}^2}{k_1^2} k_1^\mu\right), \\ &\left\langle D_{\mathrm{s}}^*\left(k_2\right)\left|(\bar{c} b)_{V-A}\right| \bar{B}_{\mathrm{s}}(p)\right\rangle= \frac{2 {\mathrm{i}} A_0\left(k_1^2\right)}{m_{B_{\mathrm{s}}}+m_{D_{\mathrm{s}}^*}} \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \varepsilon_\nu^* k_{2 \rho} p_\sigma-2 m_{D_{\mathrm{s}}^*} A_1\left(k_1^2\right) \frac{\varepsilon^*\left(k_2\right) \cdot k_1}{k_1^2} k_1^\mu -\left(m_{B_{\mathrm{s}}}+m_{D_{\mathrm{s}}^*}\right) \\ & ~~~~\times A_2\left(k_1^2\right)\left(\varepsilon^{* \mu}\left(k_2\right)-\frac{\varepsilon^*\left(k_2\right) \cdot k_1}{k_1^2} k_1^\mu\right) + A_3\left(k_1^2\right) \frac{\varepsilon^*\left(k_2\right) \cdot k_1}{m_{B_{\mathrm{s}}} + m_{D_{\mathrm{s}}^*}}\left(p^\mu+k_2^\mu - \frac{m_{B_{\mathrm{s}}}^2-m_{D_{\mathrm{s}}^*}^2}{k_1^2} k_1^\mu\right) .\end{split}$$

(12)

其中, p和$k_2$分别表示介子$\bar B_{\mathrm{s}}$和$D_{\mathrm{s}}^{(*)}$的动量. $\varepsilon^{*}$表示矢量介子$D_{\mathrm{s}}^*$的极化矢量, 并且转移动量$k_1 = p-k_2$.

介子${\text{π}}$或${\text{ρ}}$与真空之间的矩阵元^[36]定义为

$$\begin{split} \langle {\rho}(k_1,\varepsilon_{\mu}^*)| (\bar du)_{V-A}|0 \rangle=m f_{\text{ρ}} \varepsilon^*_{\mu}, \qquad \langle {\pi}(k_1)|(\bar du)_{V-A} |0\rangle={\mathrm{i}} f_{\text{π}} \, {k_1}_{\mu}. \end{split}$$

(13)

其中$f_{\text{π}}$和$f_{\text{ρ}}$分别为介子${\text{π}}$和${\text{ρ}}$的衰变常数, $\varepsilon_{\mu}^*$为介子${\text{ρ}}$的极化矢量.

3.2   衰变宽度和分支比

利用有效拉氏量方法和非微扰形状因子, 计算出了图2(a)—(d)中$\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}}\bar \varDelta$的振幅:

$$\begin{split} {{\cal{M}}}_{a} = \;& {\mathrm{i}} f_{\text{π}} \int \frac{{\mathrm{d}}^4k_{3}}{(2\pi)^4}g_{{ N \varDelta \pi }}g_{{ P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N D_{\mathrm{s}} }} \dfrac{\bar u_{{ P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} }}(p_{2})(/ k_{3}+m_{{ N }}){k /}_{1}\nu^{\mu}_{{ \bar\varDelta }}(p_{1})}{(k_{1}^2-m_{{ {\text{π}} }}^2)\ (k_{2}^2-m_{{ D_{\mathrm{s}} }}^2)\ (k_{3}^2-m_{{ N }}^2)}{\cal{F}}^2(k_{3}^2)\\ & \times\Big[(2p_{2}+p_{1}-k_{3})\cdot (p_{1}+k_{3}) F_1(k_{1}^2)-(m^2_{{ B_{\mathrm{s}} }}-m^2_{{ D_{\mathrm{s}} }})F_1(k_{1}^2)+(m^2_{{ B_{\mathrm{s}} }}-m^2_{{ D_{\mathrm{s}} }})F_2(k_{1}^2)\Big], \end{split}$$

(14)

$$\begin{split} {{\cal{M}}}_{b} =\;& f_{\text{ρ}}m_{\text{ρ}} \int \dfrac{{\mathrm{d}}^4k_{3}}{(2\pi)^4}g_{{ N \Delta \pi }}g_{{ P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N D_{\mathrm{s}} }} \dfrac{\bar u_{{ {P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}} }}(p_{2})(/ k_{3}+m_{{ N }})(\gamma^{\nu}{k_1}_{\mu}-/ k_{1}g_{n\mu})\nu^{\mu}_{{ \bar \varDelta }}(p_{1})}{(k_{1}^2-m_{{\text{ρ}}}^2)\ (k_{2}^2-m_{{ D_{\mathrm{s}} }}^2)\ (k_{3}^2-m_{N}^2)}\\ &\times\left(-g_{nm}+\dfrac{{k^{n}_1} {k^{m}_1}}{m_{\rho}^2}\right) {\cal{F}}^2(k_{3}^2) \Big[(p+k_{2})_{m}F_1(k_{1}^2)\Big], \end{split}$$

(15)

$$\begin{split} {{\cal{M}}}_{c}=\;& {\mathrm{i}}f_{\text{π}} \int\frac{{\mathrm{d}}^{4}k_{3}}{\left( 2\pi\right) ^{4}}g_{{ N \varDelta \pi }}g_{{ P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N{D^*_{\mathrm{s}}} }}\frac{\bar u_{{ P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} }}\left( p_{2}\right)\gamma^{5}\gamma^{\mu}\left(/ k_3+m_{N} \right){k /}_{1} \nu^{\mu}_{{ \bar \varDelta }}\left(p_{1}\right) \left(g_{\mu\nu}-\dfrac{{p_{2}}_{\mu}{p_{2} }_{\nu}} {m^{2}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}}\right) \left(-g^{\alpha\mu}+\dfrac{k^{\mu}_{2}k^{\alpha}_{2}}{m^{2}_{D^*_{{\mathrm{s}}}}}\right) }{\left(k^{2}_{1}-m^{2}_{\pi} \right)\left(k^{2}_{2}-m^{2}_{D^{*}_{{\mathrm{s}}}}\right)\left(k^{2}_{3}-m^{2}_{N} \right) }\\& \times\Big[-2m_{D^*_{{\mathrm{s}}}}A_{1}(k^{2}_{1}){k_{1}}_{\alpha} +A_{3}( k^{2}_{1}) \frac{{k_{1}}_{\alpha}}{m_{B_{\mathrm{s}}}+m_{D^*_{{\mathrm{s}}}}}(p\cdot k_{1}+k_{2}\cdot k_{1}-m^{2}_{B_{\mathrm{s}}}+m^{2}_{D^*_{{\mathrm{s}}}})\Big]{\cal{F}}^2(k_{3}^2), \end{split}$$

(16)

$$\begin{split} {{\cal{M}}}_{d}=\;& f_{\text{ρ}}m_{\text{ρ}} \int\frac{{\mathrm{d}}^{4}k_{3}}{2\pi ^{4}}g_{{ N \Delta \pi }}g_{{ P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N{D^*_{\mathrm{s}}} }}\frac{\bar u_{{ P_{{\mathrm{c}}} }}( p_{2}) \gamma^{\nu}(/ k_3-m_{N} )(\gamma^{n}{k_1}_{\beta}-/ k_{1}g_{n\beta}) \nu^{\beta}_{{ \bar \varDelta }}(p_{1}) }{(k^{2}_{3}-m^{2}_{N} )(k^{2}_{2}-m^{2}_{D^{*}_{{\mathrm{s}}}} )(k^{2}_{1}-m^{2}_{\text{ρ}})}\\&\times \Bigg[\frac{2{\mathrm{i}}A_0(k^{2}_{1} ) }{m_{B}+m_{D^*_{{\mathrm{s}}}}}\varepsilon_{m\zeta\sigma \nu}{ k^{\text{ρ}}_{2}}p ^{\text{σ}}-A_{2}( k^{2}_{1}) g_{m\zeta} (m_{B_{\mathrm{s}}}+m_{D^*_{{\mathrm{s}}}})+A_{3}( k^{2}_{1})\frac{{ k_{1}}_{\zeta} }{m_{B_{\mathrm{s}}}+m_{D^*_{{\mathrm{s}}}}}(p+k_{2} )_{m}\Bigg]\\ &\times{\cal{F}}^2\left(k_{3}^2\right)\left(g_{\mu\nu}-\frac{{p_2}_{\mu}{p_2}_{\nu}}{m^{2}_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}} \right)\left(-g^{\mu\zeta}+\frac{{k^{\mu}_2}{k^{\zeta}_2}}{m_{D^*_{{\mathrm{s}}}}}\right)\left(-g^{mn}+\frac{{k^{m}_1}{k^{n}_1}}{m^{2}_{\text{ρ}}}\right). \end{split}$$

(17)

其中, $m_{N}$和$k_{3}$表示交换重子N的质量和动量, 动量定义见图2. 由于强子并不是真正的点粒子, 因此在有效拉式量方法中, 引入形状因子来描述强子态在空间中的分布, 并消除圈图计算中的紫外发散的行为. 为了充分考虑形状因子的影响, 分别考虑具有单极点^[19]、双极点^[37]和特殊形式的形状因子^[38]:

$$\begin{split} &{\cal{F}}_1\left(q^2\right)=\frac{m_{q}^2-\varLambda^2}{q^2-\varLambda^2}, {\cal{F}}_2\left(q^2\right)=\bigg(\frac{m_{q}^2-\varLambda^2}{q^2-\varLambda^2}\bigg)^2,\\ &{\cal{F}}_3\left(q^2\right)=\frac{\varLambda^4}{\left(m^2-q^2\right)^2+\varLambda^4},\end{split}$$

(18)

其中Λ表示硬标度, 用来压低强子在短距离的贡献, 并吸收有效拉式量方法中未包含的强子自由度. 通常Λ是没有固定的取值和表示形式的, 实际中, Λ可以用标度参数α来表示($\varLambda=m+\alpha$), 可以利用已知的强子过程来拟合相应的标度参数α, 如对于$\pi NN$和$\varDelta N\pi$的耦合, 通过相关过程拟合得到α分别接近130 MeV与168 MeV. 为了方便讨论, 在当前的工作中对不同的形状因子以及不同的过程, 统一取α从10 MeV变动到200 MeV.

通过重新计算发现, 在相同α的情况下, 通常单极点的形状因子${\cal{F}}_1(q^2)$具有最小的分支比, 而双极点${\cal{F}}_2(q^2)$的分支比会略微增大, 在特殊形状因子的方案下${\cal{F}}_3(q^2)$, 分支比会得到显著增强. 这主要是由于采用了统一的标度参数的缘故, 原则上我们需要在不同的形状因子下, 拟合出相应的不同的标度参数.

$\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} {\bar{\varDelta}}$的两体衰变宽度可以表示为

$$\varGamma(\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}+\bar {\varDelta})=\frac{|{\boldsymbol{P}_f}|}{8\pi m_{B_{\mathrm{s}}}^2}|{\cal{M}}|^2,$$

其中, ${\cal{M}}$表示由$\bar B_{\mathrm{s}}$介子衰变产生单粲味五夸克态$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$的振幅. $|{\boldsymbol{P}_f}|=\dfrac{1}{2 m_{\bar B_{\mathrm{s}}}}\sqrt{\lambda(m_{\bar B_{\mathrm{s}}}^2, m^2_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}}, m^2_{\bar {\varDelta}})}$, 其中$\lambda(a, b, c)=a^2+b^2+c^2-2 ab-2 bc-2 ac$.

4.   数值分析

用Bourrely-Caprini-Lellouch (BCL)方法^[34,35]对非微扰形状因子$F_{1}(k^2)$, $F_{2}(k^2)$和$A_i(k^2)$(i = 1, 2, 3)参数化:

$$\begin{split} F_{1}(k^2)&=\frac{1}{1-k^2/m^2_{B_{{\mathrm{c}}}}}\sum_{n=0}^2 a_n z^n,\;\;\;\; F_{2}(k^2)=\frac{1}{1-k^2/m^2_{B^*_{\mathrm{c}}}}\sum_{n=0}^2 a_n\Big(z^n -\frac{(-1)^{n-3}n}{3}z^3\Big),\\ A_i(k^2)&=\left[\frac{\sqrt{(m_{B}+m_{D^*})^2-k^2}+\sqrt{(m_{B}+m_{D^*})^2-m^2_{{{\mathrm{pole}}}}}}{\sqrt{(m_B+m_{D^*})^2-k^2}-\sqrt{(m_B+m_{D^*})^2-m^2_{{{\mathrm{pole}}}}}}\right]\sum_{n=0}^3 a_n z_1^n, \end{split}$$

(19)

其中$m_{{\mathrm{pole}}}$表示$B_{\mathrm{c}}$介子的物理极值, 拟合的参数$a_{0, 1, 2, 3}$和$m_{{\mathrm{pole}}}$值如表1所列, 系数z和$z_1$的表达式为

$$z = \frac{\sqrt{(m_{B}+m_{D})^2-k^2}-\sqrt{(m_{B}+m_{D})^2}}{\sqrt{(m_{B}+m_{D})^2-k^2}+\sqrt{(m_{B}+m_{D})^2}},\; z_1 = \frac{\sqrt{(m_B+m_{D^*})^2-k^2}-\sqrt{(m_B+m_{D^*})^2-(m_{B_{\mathrm{s}}}-m_{D^*_{\mathrm{s}}})^2}}{\sqrt{(m_B+m_{D^*})^2-k^2}+\sqrt{(m_B+m_{D^*})^2-(m_{B_{\mathrm{s}}}-m_{D^*_{\mathrm{s}}})^2}}.$$

(20)

此外, 介子π和ρ的衰变常数^[33]、CKM矩阵元素、有效威尔逊系数^[39,40]和强耦合系数^[41]为

$$\begin{split} &f_{\text{π}}=0.130\, \text{GeV},\,\,f_{\text{ρ}}=0.216\, \text{GeV},\,\,|V_{cb}|=0.0408,\\ &|V_{ud}|=0.974,\,\,G_{\mathrm{F}}=1.166\times10^{-5},\\ &a_{1}=1.07,\,\,{\tau}_{B_{\mathrm{s}}}=1.520\times10^{-12} \;{\mathrm{s}},\\ &g_{p_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}{\varLambda_{\mathrm{c}}}K}=-0.419,\,\,g_{p_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}{\varSigma_{\mathrm{c}}}K}=-0.419,\\ &g_{p_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}{pD_{\mathrm{s}}}}=-0.419. \end{split}$$

根据复合粒子判据, 单粲味五夸克态与其组分重子-介子的耦合可通过计算(7)式得到: $g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N D_{\mathrm{s}}}$ = 2.209, $g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N D^*_{\mathrm{s}}}$ = 0.293.

在$ND_{\mathrm{s}}$或$ND^*_{\mathrm{s }}$的五夸克态分子构型下, 我们采用标度参数α为$100$MeV, 并考虑结合能$\varepsilon$为5, 20和50 MeV, 来讨论单粲味五夸克的产生$\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}} \bar \varDelta$, 及其强衰变$\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}}(\to {{\cal{B}}}P) \bar \varDelta$, 其中${{\cal{B}}}P$ = ${\varLambda_{\mathrm{c}}}K$, ${\varSigma_{\mathrm{c}}}K$, $pD_{\mathrm{s}}$. 得到的产生分支比如表2所列, 结果表明在$ND_{\mathrm{s}}$分子态的构型下, 从$B_{\mathrm{s}}$介子产生$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$的分支比具有可观的大小($\varepsilon$ = 20 MeV时可以达到$3.137\times10^{-5}$). 其中三角(图2(a))$\bar B_{\mathrm{s}}\to \pi D_{\mathrm{s}} \xrightarrow[]{N}P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}} { \bar \varDelta}$占主导贡献, 分支比为$2.352\times 10^{-5}$. 对于$ND^*_{\mathrm{s}}$分子态构型, 由于受到耦合系数$g_{P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}N D^*_{\mathrm{s}}}$的压低, 当$\varepsilon$取20 MeV时, 其产生分支比仅为$4.08\times 10^{-7}$, 其中图2(c)和图2(d)具有相当的贡献. 此外图4中还绘制了单粲五夸克态$P_{{\mathrm{c}}\bar {\mathrm{s}}}$的分支比随参数α (10—200 MeV范围内)的变化曲线.

5.   结　论

本文关注于$B_{\mathrm{s}}$介子产生单粲味五夸克态$P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}}$的过程, 在单粲五夸克的分子态构型下, 分别以$ND_{\mathrm{s}}$和$ND^*_{\mathrm{s}}$两种不同的分子态假设, 利用有效拉式量方法, 详细计算了产生过程的分支比大小. 在分子态假设下, 首先简单讨论了单粲五夸克态的质量与其分子态组分以及并合能量ε的关系, 再根据复合粒子判据以及单粲味五夸克的有效拉式量, 计算了单粲味五夸克态与其组分粒子之间的耦合常数, 这为五夸克态的强耦合描述提供了支撑. 之后对底介子的弱产生顶点进行了研究, 在简单因子化方案下, 弱过程可以因子化为类时的形状因子与衰变常数两部分, 根据底介子到D或$D^*$的形状因子的定义, 利用BCL 参数化将形状因子延拓到物理区域, 再考虑介子衰变常数的定义, 容易得到底介子弱产生过程的描述. 除此之外, 由于强子在空间中并不是真正的点粒子, 有效拉式量中需要引入交换强子的形状因子, 以吸收有效拉氏量方法中所忽略的强子自由度. 在选择相关标度参数α(10—200 MeV)以及弱的并合能量ε(5, 20, 50 MeV)之后, 可以完成$\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}} \bar \varDelta$三角图的计算, 通过$\bar B_{\mathrm{s}}$介子衰变产生单粲味五夸克$P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}}$的振幅, 并代入输入参数, 最终计算出$\bar B_{\mathrm{s}}$介子产生单粲味五夸克$\bar B_{\mathrm{s}}\to P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}} \bar \varDelta$的分支比. 分析分支比的计算结果, 发现分支比会随着标度参数α和并合能量ε的增大而增大, 具有$ND_{\mathrm{s}}$分子组分的$P_{{\mathrm{c}} \bar{{\mathrm{s}}}}$可以良好地通过$\bar B_{\mathrm{s}}$的衰变产生, 即使在稀松构型的五夸克分子态下, 即并合能量较小, 其分支比仍然能够达到$10^{-5}$, 而在$ND^*_{\mathrm{s}}$的构型下, 该过程的分支比由于受到强耦合常数的压低, 相对较小, 仅为$10^{-8}$量级. 期望本文的研究结果能够为单粲味五夸克态的实验搜寻, 以及五夸克态理论的深入研究提供帮助.