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## METRIC PROPERTIES OF CHAOTIC REGION IN ONE-DIMENSIONAL MAPS

WANG YOU-QIN, CHEN SHI-GANG
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• #### 摘要

本文用数值和分析的办法讨论了:(1)一维映象中的Hausdorff维数与Ляпунов指数的关系d(λ),指出在N(ε)关系中存在反映点集在不同尺度上的结构的多标度区现象,认真分析这个现象对d的计算有重要意义;(2)根据动力系统Poincar映象与一维映象的关系,及一维映象d(λ)在λ=0处的不连续性和多值性,猜测动力系统λ=(0,0,—)处的d(λ)关系也具有不连续性和多值性;(3)在d(λ)关系的基础上,以λ>0为判据,用统计抽样法估计了logistic模型混沌区内混沌轨道在参数轴上的测度,结果为mc=0.893±0.022(归一于混沌区的总测度为1)。

#### Abstract

In this paper, we use numerical and analytical methods to discuss the following problems. (1) The first is the relation between Hausdorff dimension d and Lyapunov exponent λ. We point out that in the relation N(ε) there is a multi-scaling-region phenomena which shows the structure of the point set at different scale. To analyse this phenomena seriously is significant for calculating d. (2) Acorrding to the relation between the one-dimensional map and the Poincare map of dynamic system, and the discontinuity and multivalue property of d( λ ) of one-dimensional map at λ=0, we conjecture that the relation d(λ) at λ= (0,0,-) of the dynamical system is also discontinuous and multivalued. (3) On the base of relation d(λ), we use λ>0 as a criterion to estimate the measure of chaotic solutions, of logistic model in chaotic region, on the axis of parameter. The result is mc= 0.893±0.022 (The total measure of chaotic region is normalized to unity).

#### 施引文献

•  [1] 孙海明. 一维螺旋型Se原子链中的Rashba效应和平带性质. 物理学报, 2022, 0(0): 0-0. doi: 10.7498/aps.71.20220646 [2] 邵士亮, 王挺, 宋纯贺, 崔婀娜, 赵海, 姚辰. 一种新的心率变异性度量方法. 物理学报, 2019, 68(17): 178701. doi: 10.7498/aps.68.20190372 [3] 彭再平, 王春华, 林愿, 骆小文. 一种新型的四维多翼超混沌吸引子及其在图像加密中的研究. 物理学报, 2014, 63(24): 240506. doi: 10.7498/aps.63.240506 [4] 柏小东, 刘锐涵, 刘璐, 唐荣安, 薛具奎. 一维光晶格中超流Fermi气体基态性质的研究. 物理学报, 2010, 59(11): 7581-7585. doi: 10.7498/aps.59.7581 [5] 吕 翎, 李 钢, 柴 元. 单向耦合映象格子的时空混沌同步. 物理学报, 2008, 57(12): 7517-7521. doi: 10.7498/aps.57.7517 [6] 刘小良, 徐 慧, 马松山, 宋招权. 一维无序二元固体中电子局域性质的研究. 物理学报, 2006, 55(6): 2949-2954. doi: 10.7498/aps.55.2949 [7] 王志斌, 胡岗. 二维均匀耦合映象格子中的时空周期图案. 物理学报, 2001, 50(9): 1666-1669. doi: 10.7498/aps.50.1666 [8] 张旭, 沈柯. 耦合映象格子中时空混沌的控制. 物理学报, 2001, 50(4): 624-628. doi: 10.7498/aps.50.624 [9] 王文秀, 马明全, 吴永萍, 竹有章, 何大韧. 若干二维映象中V型阵发层流相区的特征. 物理学报, 2001, 50(7): 1226-1231. doi: 10.7498/aps.50.1226 [10] 马明全, 王文秀, 何大韧. 一个二维分段光滑映象中的边界激变. 物理学报, 2000, 49(9): 1679-1682. doi: 10.7498/aps.49.1679 [11] 何大韧, 吴顺光, 屈世显, 毛翔宇. 一个不连续映象中的混沌稳定或混沌抑制. 物理学报, 1997, 46(8): 1464-1472. doi: 10.7498/aps.46.1464 [12] 杨世平, 田钢, 徐树山, 胡岗. 用截面映象非线性延时反馈控制混沌. 物理学报, 1996, 45(7): 1100-1106. doi: 10.7498/aps.45.1100 [13] 屈世显, B.Christiansen, 何大韧. 一个不连续不可逆映象中的新型激发. 物理学报, 1995, 44(6): 841-852. doi: 10.7498/aps.44.841 [14] 颜晓红, 颜家壬, 钟建新, 游建强. 一族一维准晶的局部电子性质. 物理学报, 1992, 41(10): 1652-1660. doi: 10.7498/aps.41.1652 [15] 陈治融, 陈飞武, 袁慧, 李晓辉, 赵莲青, 牛文章, 陈炳兴, 滕淑兰. 强迫的Oregonator振子混沌维数与立方映象. 物理学报, 1992, 41(7): 1081-1086. doi: 10.7498/aps.41.1081 [16] 王光瑞, 陈式刚. 超临界圆映象的混沌测度及其标度律. 物理学报, 1990, 39(11): 1705-1713. doi: 10.7498/aps.39.1705 [17] 陈瑞熊. 逆轨道分析法确定一维映象的拓扑熵. 物理学报, 1989, 38(9): 1501-1505. doi: 10.7498/aps.38.1501 [18] 刘军贤, 陈光旨, 王光瑞, 陈式刚. 标准映象的周期分岔及其向混沌的过渡. 物理学报, 1988, 37(1): 119-127. doi: 10.7498/aps.37.119 [19] 王光瑞, 陈式刚. 一维单峰映象中高周期序列的普适常数与普适函数. 物理学报, 1986, 35(1): 58-65. doi: 10.7498/aps.35.58 [20] 陈瑞熊, 陈式刚. 一维单峰映象的拓扑熵. 物理学报, 1986, 35(10): 1338-1346. doi: 10.7498/aps.35.1338
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##### 出版历程
• 收稿日期:  1982-11-29
• 刊出日期:  2005-07-20

## 一维映象中混沌区的度量性质

• 1. (1)北京应用物理和计算数学研究所; (2)中国科学院物理研究所

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