1.   引　言

由于热效应和非线性效应的限制, 单一激光器的输出往往是有限的, 难以满足日益增长的应用需求. 激光相干合成技术通过精确控制各路光束的相位, 使具有相同波长、偏振态一致的光束阵列在远场以相互干涉的方式进行叠加, 从而实现高功率密度、高光束质量的激光输出, 已成为激光技术领域的研究热点之一. 以光纤激光相干合成为例, 主要合成方案有分块式能动镜^[1]、六棱台合束器^[2]、光波导自成像^[3]等. 然而, 上述方法均受限于合束和聚焦系统的大菲涅耳数, 难以在保持较好光束质量的前提下获得波长量级尺寸的聚焦光斑.

紧聚焦是指光束通过大数值孔径(numerical aperture, NA)光学元件聚焦的过程, 如透镜、离轴抛物面镜^[4]、超表面器件^[5]和表面等离子体激元透镜^[6]等. 紧聚焦往往用于产生尺寸与波长相当的焦斑或多焦点阵列, 因而广泛应用于光存储、多点微成像、激光微加工和光学操纵与捕获^[7-9]. 紧聚焦一个非常重要的应用就是实现超衍射极限聚焦, 并进一步结合衍射光学元件或偏振元件来避免能量损失, 提高能量利用率, 在光存储和激光微加工领域获得了广泛的应用. 目前, 通过对入射光的调控以实现紧聚焦空间光场分布的控制受到广泛关注, 而紧聚焦未来重要的发展趋势仍然是如何进一步获得小尺度光场, 并实现与新物质、新材料相互作用等方面. 基于紧聚焦方式的阵列光束相干合成不仅能够有效地提升紧聚焦空间的光场功率密度, 甚至还可以通过对阵列光束各个子束的调控来实现对紧聚焦光场的控制, 从而可为小尺度光场与物质相互作用提供新的途径. 此外, 大数值孔径、大口径透镜近年来也得到了飞速发展^[10,11], 为阵列光束的相干合成提供了条件. 然而, 在利用紧聚焦方式实现阵列光束相干合成中, 阵列光束的排布方式、光束参数和NA等对相干合束特性的影响规律尚不明确, 也鲜有相关报道. 本文从矢量衍射理论出发, 建立了阵列光束经紧聚焦方式相干合束的物理模型, 进而分析了排布方式、偏振态、束宽、间距和数值孔径等参数对相干合成的影响及规律, 从而为基于紧聚焦的阵列光束相干合成提供参考.

2.   阵列光束紧聚焦合束的物理模型

图1给出了阵列光束经紧聚焦方式聚焦的光路示意图. 对于一个紧聚焦(NA > 0.7)系统而言, 标量衍射理论中的近似条件, 如傍轴近似、菲涅耳或夫琅禾费衍射近似都不满足, 因而必须采用矢量衍射积分法进行定量分析. 在紧聚焦系统中, NA = $n\sin\alpha$ (n为透镜后介质折射率, α为最大出射角). 在入射光束和透镜口径均不变的前提下, 透镜焦距f与数值孔径NA满足$f = D/\tan[\arcsin(NA)]$, 其中D为透镜口径.

基于电磁场的矢量近似和Debye近似, 紧聚焦衍射积分方程为^[12,13]

$$\begin{split} & {{E}}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right) \\ =\; & - \frac{{{\rm{i}}kf}}{{2{\text{π}}}}\int_0^\alpha {\int_0^{2{\text{π}}} {\sin \theta A\left( {\theta ,\varphi } \right)} } b\left( {\theta ,\varphi } \right){{P}}\left( {\theta ,\varphi } \right)\\ &\times \exp [{\rm{i}}kn({z_2}\cos \theta + {x_2}\sin \theta \cos \varphi \\ & + {y_2}\sin \theta \sin \varphi)]{\rm{d}}\varphi {\rm{d}}\theta , \end{split}$$

(1)

式中A(θ, φ)为入射光束的振幅, $B(\theta, \varphi) \!=\! (\cos\theta)^{1/2}$为消球差透镜的切趾因子, P(θ, φ)表明聚焦光场的偏振态, 通常表示为P(θ, φ) = T(θ, φ)× P₀(θ, φ), 其中P₀(θ, φ)为入射光场的矢量矩阵, T(θ, φ)为透镜对偏振的变换矩阵. n为透镜后传输介质折射率, 比如n_air = 1, n_water = 1.33, n_oil = 1.51. (x, y, z)和(x₂, y₂, z₂)分别为入射光场和聚焦光场的坐标.

入射光场的矢量矩阵P₀(θ, φ)可表示为

$${{{P}}_0} = \left[ \begin{aligned} {p_x}\left( {\theta,\varphi } \right) \\ {p_y}\left( {\theta,\varphi } \right) \\ {p_z}\left( {\theta,\varphi } \right) \end{aligned} \right],$$

(2)

透镜的变换矩阵由下式计算得到:

$$\begin{split} & {{T}}\left( {\theta,\varphi } \right) = {{{R}}^{ - 1}}{{CR}}, \\ & {{R}} = \left[ \begin{array}{l} \;\;\cos \varphi \quad \sin \varphi \quad 0 \\ - \sin \varphi \quad \cos \varphi \quad 0 \\ \quad 0\quad \quad \quad 0\quad \quad 1 \end{array} \right],\\ & {{C}} = \left[ \begin{array}{l} \;\;\cos \theta \quad 0\quad \sin \theta \\ \;\;\;\;\;\;0\;\;\quad 1\;\;\;\;\quad 0 \\ - \sin \theta \quad 0\quad \cos \theta \end{array} \right] \end{split} ,$$

(3)

于是, 聚焦光场的偏振态P(θ, φ)可根据(2)式和(3)式求得.

假设阵列光束由高斯光束组成, 子光束束宽定义为w₀, 以(x_p, y_p)为阵列中第p束光的中心坐标, 则阵列光束在入瞳面的电场分布可表示为

$$\begin{split} & {{{E}}_{{\rm{input}}}}\left( {{x_p},{y_p},{z_0}} \right) \\ =\; & \sum\limits_p {{{P}}_0}\left( {\theta,\varphi } \right) \exp \left[ { - \frac{{{{\left( {x - p{w_{\rm{d}}}} \right)}^2} + {{\left( {y - p{w_{\rm{d}}}} \right)}^2}}}{{w_0^2}}} \right] \\ &\times\exp \left( {{\rm{i}}\omega t + {\rm{i}}{\varphi _p}} \right),\\[-12pt]\end{split}$$

(4)

式中ω为子光束中心角频率, φ_p为子束p的初始相位, w_d为各子束中心的间距.

基于建立的阵列光束紧聚焦物理模型, 分析了关键参数, 如光束排布方式、偏振态、束宽、间距和数值孔径等对相干合束特性的影响及规律. 为便于讨论且不失一般性, 假设中心波长为850 nm, 光束束宽w₀为100 μm, 各子束间无相位差. 本文仅针对x方向线偏振、左旋圆偏振、径向偏振和角向偏振偏振光入射情况进行讨论, 表1列出了其偏振矩阵P₀(θ, φ)^[14].

此外, 采用桶中功率(power in bucket, PIB)曲线来对焦斑能量集中度进行评价. PIB定义为在给定桶中的激光能量占激光束总能量的百分比^[15], 即

$$PIB = \frac{{\displaystyle\int_{ - b}^b {\displaystyle\int_{ - b}^b {\left\langle I \right\rangle {\rm{d}}x{\rm{d}}y} } }}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{\infty} {\displaystyle\int_{ - \infty }^{\infty} {\left\langle I \right\rangle {\rm{d}}x{\rm{d}}y} } }},$$

(5)

式中b为选定桶的宽度. PIB值越大, 光束的聚焦能力越好, 能量集中度越高.

3.   合成光束特性

3.1   光束排布方式和偏振态对合束特性的影响

图2给出了阵列光束两种典型的光路排布方式, 矩形排布和六边形排布. 相比于矩形排布方式, 六边形排布在同等口径内能容纳更多的光束. 图3和图4分别给出了不同排布方式且入射光束偏振态分别为线偏振、左旋圆偏振、径向偏振和角向偏振时, 聚焦光斑的总光强及其各个分量. 图5则进一步给出了对应的PIB曲线. 计算所采用的参数为: 束宽w₀ = 100 μm, 间距w_d = 220 μm, NA = 0.95, n = 1 (空气).

从图3可以看出, 对于矩形排布方式, 线偏振和圆偏振阵列光束入射后相干合成为一个焦斑, 而径向偏振和角向偏振阵列光束的合成焦斑仍为阵列光束. 其中, 径向偏振阵列光束的焦斑中心呈现为亮斑, 相比于角向偏振阵列光束其能量有一定程度上的汇聚. 因此, 就偏振态对相干合成的影响而言, 线偏振、圆偏振的相干合成效果最佳, 径向偏振次之, 角向偏振最差. 此外, 径向偏振阵列光束的聚焦光斑以z方向分量(纵向分量)为主, 这是由径向偏振自身的矢量特性决定的^[16]. 在图4中, 正六边形排布方式下, 线偏振和圆偏振阵列光束经紧聚焦方式后的光强分布呈现一定的合束效果, 而径向偏振和角向偏振的合成焦斑均呈现花瓣形, 且花瓣数目相同. 进一步结合图5可以看出, 在入射光束偏振态相同的情况下, 正六边形排布阵列光束的焦斑能量集中度低于矩形排布阵列光束. 因此, 六边形排布这一方案在合成单一光斑的效果上稍差, 而更适用于产生多焦点阵列.

图5表明, 线偏振、圆偏振阵列光束的相干合成特性一致, 其区别在于圆偏振阵列光束的焦斑的x和y两个分量相等, 而线偏振阵列光束以x分量为主. 从聚焦程度上来说, 线偏振和圆偏振最佳, 与图3和图4所给出的结果一致.

由于角向偏振阵列光束入射情况下难以有效地合成为一个焦斑(呈现中空光强分布), 因而后续重点针对线偏振、圆偏振和径向偏振阵列光束经紧聚焦方式的相干合成特性进行分析. 为进一步比较偏振态对合成效率的影响, 定义合成效率为主瓣占焦斑总能量的百分比, 即:

$$\eta = \frac{{{P_0}}}{{{P_{{\rm{sum}}}}}} = \frac{{\displaystyle\int_0^a {{I_{{\rm{sum}}}}{\rm{d}}s} }}{{\displaystyle\int_0^{\infty} {{I_{{\rm{sum}}}}{\rm{d}}s} }},$$

(6)

式中P₀为中心主瓣功率, P_sum为焦斑总功率, a为中心主瓣尺寸.

图6给出了矩形排布方式下, 不同偏振态阵列光束的焦斑光强. 基于紧聚焦方式的阵列光束相干合成的本质是子光束传输至远场相遇产生相干叠加, 从而在中心主瓣处干涉相长, 而在旁瓣处干涉相消^[17,18]. 当阵列光束仅仅偏振态发生变化时, 焦斑光强相长和相消的位置并不会发生改变. 从图6可以明显看出, 在中心主瓣处光强快速下降, 而在旁瓣处光强呈现缓变的趋势, 进一步结合图3所给出的焦斑光强分布, 可以得出对线偏振、径向偏振阵列光束的中心主瓣与旁瓣的交点位于0.3 μm附近. 因此, 我们以这一主瓣宽度为基准计算出线偏振、圆偏振和径向偏振阵列光束的合成效率分别为75.3%, 75.2%和49%. 可以看出, 这一结果与图5的分析一致, 即线偏振和圆偏振阵列光束经紧聚焦方式合束时能获得较好的相干合成效果, 而径向偏振阵列光束则仅有约一半的能量集中在其紧聚焦焦斑的中心主瓣.

为方便讨论而不失一般性, 我们后面重点针对矩形排布、圆偏振阵列光束, 分析阵列光束束宽和间距比、紧聚焦系统NA和介质折射率对相干合成特性的影响.

3.2   束宽和间距比对合束特性的影响

在分析阵列光束束宽和间距对相干合成特性的影响时, 定义间距和束宽比γ = w_d/w₀. 计算所采用的参数为: NA = 0.95, n = 1 (空气). 图7给出了矩形排布方式下、圆偏振阵列光束入射时, 不同束宽和γ时聚焦光斑的光强分布, 图8给出了与之对应的PIB曲线, 表2则列出了相应的合成效率.

从图7可知, 当束宽和间距比γ一定时, 随着子光束束宽的增大, 阵列光束的聚焦光斑逐步增大. 当子光束束宽不变时, 随着束宽和间距比γ的增大, 阵列光束的聚焦光斑也随之增大. 从图8(a)中不同间距比时焦斑的PIB曲线可知, 当追求中心焦斑能量占比高时, 可在保持入射光束束宽不变的前提下适当增大子束间间距; 而图8(b)则表明, 当追求小尺度的中心焦斑时, 宜采用束宽小的阵列光束入射. 根据表2的相干合成效率的计算结果, 合成效率随着子光束束宽的增大而显著提高, 这是因为在子光束束宽增大的过程中, 中心主瓣尺寸逐步增大, 而能量也更多地汇聚到中心主瓣. 此外, 合成效率也随着间距和束宽比的增大而略微增大, 而这是由于大数值孔径透镜使阵列光束各子束紧聚焦在中心导致的.

3.3   数值孔径和介质折射率对合束特性的影响

在分析数值孔径和介质折射率对阵列光束合成特性的影响时, 由于紧聚焦系统可浸入折射率不同的介质中, 如空气、水和油等, 因而聚焦光斑的尺寸也有所不同. 计算所采用参数为: 光束束宽w₀ = 100 μm, 间距w_d = 220 μm. 图9给出了矩形排布方式、圆偏振阵列光束入射时, 不同NA和介质折射率下聚焦光斑的PIB曲线. 表3则列出了PIB为86.5%所对应的焦斑尺寸.

从图9可以看出, 当紧聚焦系统的工作物质相同时, 焦斑半径随着NA的增大而逐步减小, 最终趋于某一固定值. 当紧聚焦系统浸入在水和油中, 由于折射率的增大, 焦斑半径显著减小(表3). 需要指出的, 阵列光束可包含更多的子光束, 以提高焦斑功率密度, 但其焦斑尺寸却要大于单光束的紧聚焦焦斑. 分析其原因在于: 矩形光路排布方式不能够获得更小的焦斑, 但矩形光路排布可看作对入射光强进行了调制, 从而改变了光束聚焦特性. 此外, 通过改变光路排布方式和偏振态, 既可产生具有不同花瓣的紧聚焦光斑, 也能产生多种偏振态的焦斑^[19,20]. 阵列光束的排布方式、光束质量、位置偏差和指向偏差等因素均会对相干合成特性产生影响, 也是值得深入研究的目标.

4.   结　论

本文通过建立阵列光束经紧聚焦相干合成的物理模型, 分析了阵列光束排布方式、偏振态、束宽和间距以及紧聚焦系统数值孔径和介质折射率等因素对光束相干合成特性的影响. 其中, 矩形光路排布能获得单一、高功率焦斑, 而六边形光路排布能产生花瓣状焦斑. 线偏振、圆偏振阵列光束经紧聚焦方式的相干合成特性最佳, 径向偏振次之, 角向偏振则不能用于产生单个焦斑. 对阵列光束相干合成焦斑的PIB曲线和合成效率的分析表明, 线偏振、圆偏振阵列光束均能获得较好的紧聚焦相干合束效果, 而通过适当增大光束束宽和束间间距, 有利于阵列光束的能量汇聚到其中心主瓣.