1.   引　言

在光学领域, Ge等^[1,2]利用微扰理论研究了边界微弱形变光学微腔的共振特性, 研究表明微腔边界形变导致不同共振模态之间耦合, 使得其共振频率发生偏移, 并在很大程度改变腔内射线动力学特性和输出方向, 且光波的输出方向对边界变形极其灵敏, 在光束控制和高分辨率检测方面具有重要应用前景. 在声学领域, Fawcett^[3]用数值方法计算了外径不变内径微弱形变水中球壳声散射频域特征, 结果显示边界的微弱形变可以使得由于球壳中传播的a₀波与刚性背景耦合形成的中频吻合共振^[4]得到抑制, 但未对抑制中频吻合共振的机理进行研究; 提出了一种时域Kirchhoff/衍射混合算法^[5], 此算法只适用于微弱形变刚性目标高频声散射的计算. Antonio等^[6]提出一种数值曲面积分方法, 可以用来计算不规则表面或随机粗糙表面几何目标的声散射问题, 但此方法只适用于刚性目标. 本文基于微扰法分析了微弱形变弹性圆柱体低频声散射特征, 提出了一种利用微弱形变规则波纹表面结构调控塑料类高分子材料甲基丙烯酸甲酯-亚克力(PMMA)圆柱反向散射低频共振频率的方法.

塑料类高分子聚合物材料PMMA是3D打印领域的一类主要材料, 其密度与水接近, 剪切波速度小于水中声速^[7], 近年来在声学领域逐渐受到关注. Hefner和Marston^[8]通过理论和实验研究了水中PMMA球体低频反向散射增强现象, 研究表明由于亚音速Rayleigh波共振使得PMMA球体目标低频反向散射大幅度增强, 并指出这类PMMA目标在水中低频标准散射体设计等方面具有重要应用价值. PMMA目标低频共振频率的人工调控, 是设计满足不同频率需求的声散射标准体, 是水中被动声学标记体的基础^[9,10]. 本文提出了一种应用于水中PMMA圆柱体低频共振频率调控的规则波纹表面, 第2节基于微扰法推导了无限长微弱形变规则波纹圆柱体声散射共振频率偏移的近似解, 分析了其低频共振频率偏移的机理, 即规则波纹表面导致圆柱中亚音速Rayleigh波传播路径改变, 从而引起传播相位变化, 使得低频共振频率发生偏移. 第3节讨论波纹微扰系数、周期等波纹参数对水中PMMA规则波纹圆柱低频共振散射频率偏移的影响规律. 第4节进行了光滑PMMA圆柱体和规则波纹PMMA圆柱体(相同波纹周期、不同波纹微扰系数)声散射特性水池试验, 获取了其反向散射共振特性, 观察到共振频率偏移特征, 同时验证了第2节规则波纹圆柱共振频率偏移近似公式的有效性和正确性.

2.   无限长微弱变形表面圆柱体声散射

2.1   微扰理论

无限长微弱形变规则波纹表面圆柱体示意如图1所示.

若圆柱表面存在微小变形^[3], 即

$$R\left( {a,\varphi } \right) = a + \varepsilon f\left( \varphi \right),$$

(1)

其中, a为未变形圆柱半径, ε为波纹微扰系数, $f\left( \varphi \right) = {\sin ^2}\left( {m\varphi } \right), m = 0, 1, 2, 3, \cdots$, m是$\left[ {0, {\text{π}}} \right]$的波纹周期. 则波纹圆柱圆周长度S为

$$\begin{split} S\left( {\varepsilon,m} \right) =\; & {\int_{\rm{0}}^{2{\rm{\pi }}} {\left[ {a + \varepsilon {{\sin }^2}\left( {m\varphi } \right)} \right]} ^{\rm{2}}} \\ &+ {\left[ {2m\varepsilon \sin \left( {m\varphi } \right)\cos \left( {m\varphi } \right)} \right]^{\rm{2}}}{\rm{d}}\varphi .\end{split}$$

(2)

由(2)式可以看出, 微弱形变规则波纹圆柱圆周长度与未变形圆柱体半径a、波纹微扰系数ε和波纹周期m有关.

假设$\left| {\varepsilon f\left( \varphi \right)} \right| \ll a$, 入射平面波沿着x轴正向垂直入射到无限长波纹圆柱, 设散射声场具有如下形式^[11,12]:

$$\begin{split}{p_{{\rm{scat}}}}\left( {r,\varphi } \right) =\;& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n}{{\rm{i}}^n}\bigg[{b_n}{\rm H}_n^{\left( 1 \right)}\left( {kr} \right)\cos (n\varphi )\bigg.\\ &\bigg. +\varepsilon \sum\limits_{p \ne n} {{\alpha _{{\rm{b}}p}}{\rm{H}}_p^{\left( 1 \right)}\left( {kr} \right)\cos (p\varphi )} \bigg] ,\end{split}$$

(3)

这里忽略时间因子e^–iωt, 其中k = ω/c是入射平面波波数, ω为角频率, c为水中声速, r为接收点到目标中心的距离, $\varphi$为入射平面波与x轴正向的夹角, ${\varepsilon _n} = \left\{ \begin{array}{l} 1{\kern 1 pt} , {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;\; n = 0,\\ 2, \;\;\;\;{\rm{else}}, \end{array} \right.$ b_n是散射系数, ${\rm{H}}_n^{\left( 1 \right)}\left( {kr} \right)$为第一类汉克尔函数. 则微弱形变规则波纹圆柱外部总声场为

$$\begin{split}{p_{\rm t}}\left( {r,\varphi } \right)= \;&\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n}{{\rm{i}}^n}\bigg\{\left[ {{{\rm{J}}_n}\left( {kr} \right) + {b_n}{\rm{H}}_n^{\left( 1 \right)}\left( {kr} \right)} \right]\cos (n\varphi )\bigg. \\ & \bigg. + \varepsilon \sum\limits_{p \ne n} {{\alpha _{{\rm{b}}p}}{\rm{H}}_p^{\left( 1 \right)}\left( {kr} \right)\cos (p\varphi )} \bigg\} .\\[-20pt]\end{split}$$

(4)

微弱形变规则波纹圆柱内部声场:

$$\begin{split} \varPhi \left( {r,\varphi } \right)=\; &\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n}{{\rm{i}}^n}\bigg[ {c_n}{{\rm{J}}_n}\left( {{k_{\rm{d}}}r} \right)\cos (n\varphi )\bigg.\\ & \bigg. + \varepsilon \sum\limits_{p \ne n} {{\alpha _{{\rm{c}}p}}{{\rm{J}}_p}\left( {{k_{\rm{d}}}r} \right)\cos (p\varphi )} \bigg], \\ \varPsi \left( {r,\varphi } \right)=\; &\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n}{{\rm{i}}^n}\bigg[{e_n}{{\rm{J}}_n}\left( {{k_{\rm{s}}}r} \right)\sin (n\varphi ) \bigg.\\ & \bigg.+ \varepsilon \sum\limits_{p \ne n} {{\alpha _{{\rm{e}}p}}{{\rm{J}}_p}\left( {{k_{\rm{s}}}r} \right)\sin (p\varphi )} \bigg], \end{split}$$

(5)

其中, J_n是n阶Bessel函数, α_bp, α_cp和α_ep是待定的耦合系数, k_d和k_s分别为纵波波数和横波波数, p为耦合阶次.

根据边界条件:

$${\tau _{rr}}\left( {a + \varepsilon f\left( \varphi \right),\varphi } \right){{ = }} - {p_{\rm t}}\left( {a + \varepsilon f\left( \varphi \right),\varphi } \right),\tag{6a}$$

$${u_r}^{\left( 2 \right)}\left( {a{{ + }}\varepsilon f\left( \varphi \right),\varphi } \right) = {u_r}^{\left( 1 \right)}\left( {a{{ + }}\varepsilon f\left( \varphi \right),\varphi } \right),\tag{6b}$$

$${\tau _{r\varphi }}\left( {a{{ + }}\varepsilon f\left( \varphi \right),\varphi } \right) = 0,\tag{6c}$$

其中, ${\tau _{rr}}$是结构中的法向应力, $u_r^{\left( 1 \right)}$和$u_r^{\left( 2 \right)}$分别为结构和水中的法向位移, ${\tau _{r\varphi }}$是结构中的切向应力. 基于微扰理论将(6)式按照ε的一阶泰勒级数展开, 则有

$$\begin{split} &{\tau _{rr}}\left( {a,\varphi } \right) + {p_{\rm t}}\left( {a,\varphi } \right) \\ =\; & - \varepsilon f\left( \varphi \right)\left[ {\frac{{\partial {\tau _{rr}}}}{{\partial r}} + \frac{{\partial {p_{\rm t}}}}{{\partial r}}} \right]\left( {a,\varphi } \right),\end{split}\tag{7a}$$

$$\begin{split} & u_r^{\left( 2 \right)}\left( {a,\varphi } \right) - u_r^{\left( 1 \right)}\left( {a,\varphi } \right)\\ =\; & - \varepsilon f\left( \varphi \right)\left[ {\frac{{\partial u_r^{\left( 2 \right)}}}{{\partial r}} - \frac{{\partial u_r^{\left( 1 \right)}}}{{\partial r}}} \right]\left( {a,\varphi } \right),\end{split}\tag{7b}$$

$${\tau _{r\varphi }}\left( {a,\varphi } \right){{ = }} - \varepsilon f\left( \varphi \right)\frac{{\partial {\tau _{r\varphi }}}}{{\partial r}}\left( {a,\varphi } \right),\tag{7c}$$

由(7)式, 得

$$\begin{split} & \begin{bmatrix} {D_{11}^{\rm{d}}}&{D_{12}^{\rm{d}}}&{D_{13}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {D_{21}^{\rm{d}}}&{D_{22}^{\rm{d}}}&{D_{23}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ 0&{D_{32}^{\rm{d}}}&{D_{33}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {D_{{\rm{41}}}^{\rm{d}}}&{D_{42}^{\rm{d}}}&{D_{43}^{\rm{d}}}&{D_{44}^{\rm{d}}}&{D_{45}^{\rm{d}}}&{D_{46}^{\rm{d}}} \\ {D_{{\rm{51}}}^{\rm{d}}}&{D_{52}^{\rm{d}}}&{D_{{\rm{53}}}^{\rm{d}}}&{D_{{\rm{54}}}^{\rm{d}}}&{D_{{\rm{55}}}^{\rm{d}}}&{D_{{\rm{56}}}^{\rm{d}}} \\ 0&{D_{{\rm{62}}}^{\rm{d}}}&{D_{{\rm{63}}}^{\rm{d}}}&0&{D_{{\rm{65}}}^{\rm{d}}}&{D_{{\rm{66}}}^{\rm{d}}} \end{bmatrix}\\ \; & \times \begin{pmatrix} {b_n} \\ {c_n} \\ {e_n} \\ {\alpha _{{\rm{b}}p}} \\ {\alpha _{{\rm{c}}p}} \\ {\alpha _{{\rm{e}}p}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {A_1}^ * \\ {A_2}^ * \\ 0 \\ A_4^ * \\ A_5^ * \\ 0 \end{pmatrix},\\[-50pt]\end{split}$$

(8)

根据克莱姆法则得到:

$${b_n} = \frac{{B_n^{\rm{d}}}}{{D_n^{\rm{d}}}},\;\;\;\;{\alpha _{{\rm{b}}p}} = \frac{{{A_{{\rm{b}}pn}}}}{{D_n^{\rm{d}}}},$$

(9)

其中$B_n^{\rm{d}}$, ${A_{{\rm{b}}pn}}$和$D_n^{\rm{d}}$为6 × 6的行列式, 行列式具体元素见附录A.

无限长规则波纹圆柱远场反向散射形态函数^[13]表示为

$$\begin{split} f\left( x \right) =\; & \frac{{\rm{2}}}{{\sqrt {{\rm{i\pi }}x} }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n}\Bigg[\frac{{B_n^{\rm{d}}\left( x \right)}}{{D_n^{\rm{d}}\left( x \right)}}{{\left( { - 1} \right)}^n}\Bigg.\\ & \Bigg. + \varepsilon \sum\limits_{p \ne n} {\frac{{{A_{{\rm{b}}pn}}\left( x \right)}}{{D_n^{\rm{d}}\left( x \right)}}{{\left( { - 1} \right)}^p}} \Bigg] .\end{split}$$

(10)

令$x = kR$为无限长微弱形变规则波纹圆柱特征方程$D_n^{\rm{d}}\left( x \right) = 0$的根. 当$\varepsilon {{ = 0}}$时, (10)式为无限长光滑圆柱远场反向散射形态函数, 此时通过文献[14]的方法求解特征方程得到无限长光滑圆柱特征值的实部, 记为${x_{\rm{0}}}$. 根据共振散射理论^[15], 无限长圆柱特征值的实部对应共振峰的频率, 则无限长圆柱共振频率${f_0} = \dfrac{{{x_0}c}}{{2{\text{π}}a}}$, 对应的相速度^[16]:

$${c_{p{\rm{h}}}} = {{2{\rm{\pi }}{f_0}a} / n},\;\;n = 0,1,2,3, \cdot \cdot \cdot .$$

(11)

当$\varepsilon \ne {\rm{0}}$时, 无限长微弱形变规则波纹圆柱共振频率记为f. 将x在${x_{\rm{0}}}$附近按照ε的一阶展开为

$$x = {x_{\rm{0}}} + \varepsilon {x_1}.$$

(12)

将(6)式在${x_{\rm{0}}}$附近按照ε的一阶展开, 具体推导过程见附录A, 经过一系列数学化简得

$${x_1} = - {x_{\rm{0}}}{A_{nn}},$$

(13)

其中

$${A_{nn}} = \frac{{{\varepsilon _n}}}{{\rm{\pi }}}\int\nolimits_0^{\rm{\pi }} {\frac{{f\left( \varphi \right)}}{a}} \cos (n\varphi )\cos (n\varphi ){\rm{d}}\varphi .$$

则微弱形变规则波纹圆柱特征值偏移量为

$$\Delta x = x - {x_{\rm{0}}} = - \varepsilon {x_{\rm{0}}}{A_{nn}}.$$

(14)

对应的微弱形变规则波纹圆柱共振频率偏移量可表示为

$$\Delta f = f - {f_{\rm{0}}} = - \varepsilon {f_{\rm{0}}}{A_{nn}}.$$

(15)

无限长微弱形变规则波纹圆柱共振频率近似为

$$f = {f_{\rm{0}}} - \varepsilon {f_{\rm{0}}}{A_{nn}}.$$

(16)

定义微弱形变规则波纹圆柱归一化波纹微扰系数ξ = ε/a, 利用(10)式计算半径a = 0.05 m材料为PMMA的无限长光滑圆柱和波纹参数m = 6, ξ = –3%的无限长微弱形变规则波纹圆柱反向散射形态函数幅频特性, 所用材料参数见表1. 计算频率范围为1—18 kHz, 频率间隔为5 Hz, 所对应无因次频率ka的范围为0.20—4.19, ka较小, 文中所研究频段为低频.

图2(a)对比了无限长光滑圆柱(黑色实线)和微弱形变规则波纹圆柱(红色点划线)反向散射形态函数幅频特性, 研究发现边界微弱变形使得PMMA圆柱共振频率发生了偏移. 图2(b)是图2(a)蓝色虚线框中共振峰的局部放大图, 无限长光滑圆柱对应的共振峰频率f₀ = 6745 Hz, 微弱形变规则波纹圆柱的共振峰频率f₁ = 6845 Hz与利用(16)式计算的微弱形规则波纹圆柱共振频率f₂ = 6846.2 Hz基本一致. 因此, 可以用(16)式近似估计无限长微弱形变规则波纹圆柱的共振频率.

2.2   微弱形变圆柱低频共振机理

根据(11)式计算得到无限长PMMA圆柱Rayleigh波相速度频散曲线, 如图3所示. 从图3可以看出, Rayleigh波相速度(黑色实线)随着频率的增大逐渐趋于常数${c_{\rm{R}}} \approx {\rm{1060}}$ m/s, 小于水中声速, 为亚音速波. 文献[8,17]利用射线近似理论详细描述了PMMA球体中亚音速Rayleigh波对低频反向散射增强的贡献及传播路径. 对于平面波垂直入射无限长PMMA圆柱, Rayleigh波沿圆柱表面周向传播, 如图4(a)所示. 亚音速Rayleigh波在临界角${\theta _{\rm{l}}} = {\text{π}}/2$的B₁点被激发, 在B₁, B₂点(箭头处)耦合沿圆柱表面周向传播, D₁, D₂点处耦合从D₁点出射进入散射声场. 在焦散线上, Rayleigh波的投影切向速度等于水中的声速. 声场从渐消到传播的转变发生在半径$b = {{ac} / {{c_R}}}$附近. 在$a < r < b$区域为渐消波区域, Rayleigh波通过耦合隧穿此渐消波区域再辐射形成反向散射声场. 因为入射平面波对称激发, 所以环绕波成对出现, 它们的绕行方向相反, 从D₁到B₁方向传播的波这里没有显示.

当圆柱表面具有微弱形变时, Rayleigh波传播过程与光滑圆柱相同, 但传播路径发生改变, 如图4(b)所示. Rayleigh波沿规则波纹表面传播, 由微弱形变表面所确定的焦散半径${b^{\rm{d}}} \!=\! \big[ {a \!+\! \varepsilon {{\sin }^2}({m\varphi })} \big]c/{c_{\rm{R}}}$发生变化. Rayleigh波传播路径的改变引起传播相位变化, 由环绕波分析理论^[18]可知, Rayleigh波沿规则波纹圆柱表面周向传播的圆周数$v = 0, 1, \cdots$, 在接收点形成程差为S的等间隔波列, 这些波列的相位差为

$$\Delta \varphi \left( {f,\xi,m} \right) = \omega \frac{{S\left( {\xi,m} \right)}}{{{c_{\rm{R}}}}}= {\rm{ 2\pi }}f\frac{{S\left( {\xi,m} \right)}}{{{c_{\rm{R}}}}}.$$

(17)

若这些波列的相位差是$2{\text{π}}$的M倍(M为整数), 同相叠加形成共振, 由此得到共振条件

$$\Delta \varphi {{ = }}2M{\rm{\pi }}\;,\;\;M = 1,2,3,\cdots,$$

(18)

由(17)式、(18)式得

$${c_{\rm{R}}} = \frac{{S\left( {\xi,m} \right)}}{M}f.$$

(19)

当$\varepsilon {{ = 0}}$时, ${c_{\rm{R}}} = {{2{\text{π}}a{f_0}} / M}$, 无限长PMMA圆柱中Rayleigh波频散曲线与曲线$2{\text{π}}a{f_0}/M$(图3中蓝色点划线)的交点所对应的横坐标为$f_0^{\prime}$, 无限长PMMA圆柱的共振频率为${f_0}$, 见表2. 当$\varepsilon \ne {\rm{0}}$时, 利用(16)式求得的规则波纹圆柱共振频率为${f_\xi }$, 无限长PMMA圆柱中Rayleigh波频散曲线与曲线$Sf/M$(图3中红色虚线)的交点所对应的横坐标为$f_\xi ^{\prime}$, 这里m = 6, $\xi = 5\%$. 定义由共振条件确定的共振频率相对误差为${\delta _f}{{ = }}{{\left| {f - f'} \right|} / f} \times 100\%$, 由图5可知对于光滑圆柱和规则波纹圆柱, 由共振条件确定的共振频率相对误差均在0.3%以下. 因此, 利用Rayleigh波共振条件可以近似估计无限长PMMA圆柱反向散射低频共振频率. 同时, 这也证明了规则波纹PMMA圆柱中Rayleigh波速度不变, 但Rayleigh波传播路径发生改变引起传播相位的变化, 使得PMMA圆柱低频共振频率发生偏移, 从而实现了对PMMA圆柱反向散射低频共振频率的调控.

3.   波纹参数对低频共振频率的影响

以上研究表明, 边界微弱形变可以使得PMMA圆柱反向散射低频共振频率发生偏移. 由(16)式很直观地看出无限长规则波纹圆柱反向散射低频共振频率与波纹微扰系数、波纹周期有关, 基于微扰法分析边界变形结构参数如波纹微扰系数、波纹周期对无限长PMMA圆柱反向散射低频共振频率的影响. 图6(a)为规则波纹圆柱反向散射波纹微扰系数-频率谱, 颜色表示形态函数幅值, 横轴是频率, 单位为kHz, 纵轴是归一化波纹微扰系数ξ范围–10%—10%, 间隔1%. 图中黑色虚线为根据(16)式获取的各个共振峰频率随波纹微扰系数变化曲线, 当归一化波纹微扰系数ξ > 0时, 波纹在$\left[ {a, a + \varepsilon } \right]$区域内起伏, 规则波纹圆柱反向散射共振频率随着ξ的增大向低频偏移, 且频率偏移量随着ξ的增大而增大; 当归一化波纹微扰系数ξ < 0时, 波纹在$\left[ {a + \varepsilon, a} \right]$区域内起伏, 规则波纹圆柱反向散射共振频率随着ξ的减小向高频偏移, 且频率偏移量随着ξ的减小而增大. 因此可以通过改变波纹微扰系数对水中PMMA圆柱反向散射低频共振频率进行无源调控. 图6(b)为规则波纹圆柱反向散射频率-波纹周期谱, 颜色表示形态函数幅值, 横轴是频率, 单位kHz, 纵轴是波纹周期m范围2—6, 这里ξ = –3%. 图中黑色虚线为根据(16)式获取的共振峰频率随波纹周期变化曲线, 可见当波纹周期比较小时, 波纹周期对无限长规则波纹圆柱反向散射共振频率偏移影响较小. 不同波纹周期所对应相位变化量为$\Delta {\varPhi _m} = \Delta \varphi \left( {{f_0}, \xi, m} \right) - \Delta \varphi \left( {{f_0}, \xi, 1} \right)$, 图7给出共振频率f₀ = 6419 Hz, ξ = –3%, m取值0—20所对应的相位变化量$\Delta {\varPhi _m}$, 可见当m < 10时, m变化引起的相位变化较小, 不足以对共振频率偏移产生重要作用.

4.   实　验

4.1   实验布置

针对PMMA规则波纹圆柱开展声散射特性水池实验, 此次实验是在中国科学院声学研究所北海站消声水池完成. 3个实验模型(一个光滑圆柱, 两个规则波纹圆柱, 波纹周期m = 6, 归一化波纹微扰系数分别为ξ = –3%和ξ = –10%)均为亚克力材料, 密度ρ = 1150 kg/m³, 半径a = 0.05 m, 长度L = 0.5 m. 为了方便吊放, 模型两端各打4个孔, 实验模型垂直置于水池中绕中轴线转动. 发射换能器采用刚性连接吊放位置距离目标3.65 m, 水听器型号为B&K8103, 吊放位置距离目标2.11 m. 发射换能器、水听器和目标三者处于同一深度, 距离水面3.87 m, 实验模型及具体布放如图8和图9所示. 为排除市电干扰, 测量过程中所有设备全程处于UPS直流供电状态.

4.2   实验数据分析

发射信号为线性调频信号, 频率为5—15 kHz, 脉宽0.8 ms, 发射周期为500 ms. 将水听器接收到的时域信号进行宽带信号处理^[17], 截取直达波(即发射阵直接到达水听器的信号)时域信号${p_{\rm{i}}}\left( t \right)$和回波时域信号${p_{\rm{s}}}\left( t \right)$进行傅里叶变换得到其频谱${P_{\rm{i}}}\left( f \right)$和${P_{\rm{s}}}\left( f \right)$, 再将回波信号频谱除以直达波信号频谱并对距离进行修正获得3个实验模型反向散射形态函数幅频特性曲线, 如图10所示. 实验中在所研究频段明显观察到圆柱反向散射形态函数3个共振峰(黑色线), 微弱形变规则波纹圆柱反向散射共振峰明显的向高频偏移, 且ξ = –10%的变形圆柱(蓝色虚线)共振峰频率偏移量大于ξ = –3%的变形圆柱(红色点划线)共振峰偏移量, 与第3节理论分析结果一致.

从图10中3个实验模型的反向散射形态函数中提取共振峰频率, 光滑圆柱共振峰频率记为f₀, 规则波纹圆柱共振峰频率表示为$f_\xi ^{\prime}$, 利用(16)式获取的共振峰频率为${f_\xi }$, 详细数值见表3. 这里定义实验获取的微弱形变规则波纹圆柱共振峰频率相对误差为

$${\delta _\xi } =\frac{{| {f_{\xi l}^{\prime} - {f_{\xi l}}}|}}{{{f_{\xi l}}}} \times 100\% .$$

(20)

为了更为直观地观察各个共振频率, 以图11(a), (b)柱状图形式呈现, 分别对应归一化波纹微扰系数ξ = –3%和ξ = –10%规则波纹的共振频率. 实验获取微弱形变规则波纹圆柱共振峰频率与近似(16)式所估算的结果吻合较好, 相对误差均在5%以内(见图11(c)). 因此, 可以用(16)式快速估计微弱形变规则波纹圆柱的共振频率, 从而实现对PMMA圆柱反向散射低频共振频率的调控.

图12为实验获取的微弱形变规则波纹圆柱的频率-角度谱, 横轴表示入射角度, 纵轴表示频率, 单位为kHz, 颜色表示形态函数幅值, 黑色虚线表示共振峰频率. 从图12可以看出: 微弱形变规则波纹圆柱低频共振频率在各个角度都发生了偏移, 且在各个方位角偏移量基本相同. 主要的原因是归一化微扰系数ξ = –3%和ξ = –10%所对应的微扰系数分别为ε = 0.0015 m和ε = 0.005 m, 在所研究频段内Rayleigh波波长λ > 0.07 m (所对应频率为f = 15 kHz), 此时Rayleigh波波长远大于波纹微扰系数, 对散射起主要作用的仍然是低频Rayleigh波共振, 波纹多镜面反射的影响尚未清晰显示出来^[19], 因此微弱形变规则波纹PMMA圆柱低频共振频率偏移量与入射方向无关.

5.   结　论

本文提出了一种微弱形变的规则波纹表面结构, 可实现PMMA圆柱体反向散射低频共振频率的无源调控. 利用微扰法推导了无限长微弱形变规则波纹圆柱共振频率的近似解, 研究发现由于边界微弱形变Rayleigh波传播路径发生改变, 沿着规则波纹表面传播, 传播路径的改变引起传播相位的变化, 从而导致共振峰频率发生偏移. 讨论了波纹微扰系数、周期对规则波纹圆柱共振频率偏移的影响规律: 当归一化波纹微扰系数ξ > 0时, 规则波纹圆柱反向散射共振频率随着ξ的增大向低频偏移, 当ξ < 0时, 规则波纹圆柱反向散射共振频率随着ξ的减小而向高频偏移, 共振峰频率偏移量随着波纹微扰系数绝对值的增大而增大; 当波纹周期m < 10时, 波纹周期对共振频率偏移影响较小. 最后开展了规则波纹圆柱体声散射特性水池实验, 获取了不同波纹微扰系数规则波纹圆柱体的反向散射共振频率, 明显观察到了规则波纹圆柱共振峰频率偏移现象, 与理论预报结果吻合较好. PMMA圆柱低频亚音速Rayleigh波隧穿共振引起反向散射幅度增强和规则波纹结构引起低频共振频率偏移的特征, 使得规则波纹PMMA圆柱在标准散射体设计、利用“声条形码”进行身份识别方面具有潜在的应用价值.

此外, 文中基于微扰法推导的用于计算无限长规则波纹圆柱声散射的解, 只适用于微弱形变, 即波纹微扰系数和波纹周期较小的情况, 此时忽略了由于法向变化引起的微扰, 只考虑了函数值引起的微扰, 是一种近似解. 若要对本问题或相关问题进行深入探讨, 获取更为精确的解, 可参考文献[20]中规则形腔中简正模式的微扰近似方法.

附录A

对于正横方向入射无限长规则波纹圆柱体, 行列式$D_n^{\rm{d}}$, $B_n^{\rm{d}}$和${A_{{\rm{b}}pn}}$分别为

$$\small D_n^{\rm{d}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {D_{11}^{\rm{d}}}&{D_{12}^{\rm{d}}}&{D_{13}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {D_{21}^{\rm{d}}}&{D_{22}^{\rm{d}}}&{D_{23}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ 0&{D_{32}^{\rm{d}}}&{D_{33}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {D_{41}^{\rm{d}}}&{D_{42}^{\rm{d}}}&{D_{43}^{\rm{d}}}&{D_{44}^{\rm{d}}}&{D_{45}^{\rm{d}}}&{D_{46}^{\rm{d}}} \\ {D_{51}^{\rm{d}}}&{D_{52}^{\rm{d}}}&{D_{53}^{\rm{d}}}&{D_{54}^{\rm{d}}}&{D_{55}^{\rm{d}}}&{D_{56}^{\rm{d}}} \\ 0&{D_{62}^{\rm{d}}}&{D_{63}^{\rm{d}}}&0&{D_{65}^{\rm{d}}}&{D_{66}^{\rm{d}}} \end{array}} \right|,$$

$$\small B_n^{\rm{d}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {A_1^ * }&{D_{12}^{\rm{d}}}&{D_{13}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {A_2^ * }&{D_{22}^{\rm{d}}}&{D_{23}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ 0&{D_{32}^{\rm{d}}}&{D_{33}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {A_4^ * }&{D_{42}^{\rm{d}}}&{D_{43}^{\rm{d}}}&{D_{44}^{\rm{d}}}&{D_{45}^{\rm{d}}}&{D_{46}^{\rm{d}}} \\ {A_5^ * }&{D_{52}^{\rm{d}}}&{D_{53}^{\rm{d}}}&{D_{54}^{\rm{d}}}&{D_{55}^{\rm{d}}}&{D_{56}^{\rm{d}}} \\ 0&{D_{62}^{\rm{d}}}&{D_{63}^{\rm{d}}}&0&{D_{65}^{\rm{d}}}&{D_{66}^{\rm{d}}} \end{array}} \right|,$$

$$\small {A_{{\rm{b}}pn}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {D_{11}^{\rm{d}}}&{D_{12}^{\rm{d}}}&{D_{13}^{\rm{d}}}&{A_1^ * }&0&0 \\ {D_{21}^{\rm{d}}}&{D_{22}^{\rm{d}}}&{D_{23}^{\rm{d}}}&{A_2^ * }&0&0 \\ 0&{D_{32}^{\rm{d}}}&{D_{33}^{\rm{d}}}&0&0&0 \\ {D_{41}^{\rm{d}}}&{D_{42}^{\rm{d}}}&{D_{43}^{\rm{d}}}&{A_4^ * }&{D_{45}^{\rm{d}}}&{D_{46}^{\rm{d}}} \\ {D_{51}^{\rm{d}}}&{D_{52}^{\rm{d}}}&{D_{53}^{\rm{d}}}&{A_5^ * }&{D_{55}^{\rm{d}}}&{D_{56}^{\rm{d}}} \\ 0&{D_{62}^{\rm{d}}}&{D_{63}^{\rm{d}}}&0&{D_{65}^{\rm{d}}}&{D_{66}^{\rm{d}}} \end{array}} \right|,$$

$$\begin{split} &{A}_{1}^{\ast }=-\left[{A}_{1}+\varepsilon \left({A}_{1}'-2{A}_{1}\right){A}_{nn}\right], \;\;\\ &{A}_{2}^{\ast }=-\left[{A}_{2}+\varepsilon \left({A}_{2}'-2{A}_{2}\right){A}_{nn}\right], \\ &{A}_{4}^{\ast }=-\left({A}_{1}'-2{A}_{1}\right){A}_{np}, \;\; {A}_{5}^{\ast }=-\left({A}_{2}'-2{A}_{2}\right){A}_{np}, \end{split}$$

$$\begin{split} &{D}_{11}^{\rm{d}}={d}_{11}+\varepsilon \left({d}_{11}'-2{d}_{11}\right){A}_{nn},\\ &{D}_{12}^{\rm{d}}={d}_{12}+\varepsilon \left({d}_{12}'-2{d}_{12}\right){A}_{nn},\\ &{D}_{13}^{\rm{d}}={d}_{13}+\varepsilon \left({d}_{13}'-2{d}_{13}\right){A}_{nn}, \\ & {D}_{21}^{\rm{d}}={d}_{21}+\varepsilon \left({d}_{21}'-{d}_{21}\right){A}_{nn},\\ &{D}_{22}^{\rm{d}}={d}_{22}+\varepsilon \left({d}_{22}'-{d}_{22}\right){A}_{nn},\\ &{D}_{23}^{\rm{d}}={d}_{23}+\varepsilon \left({d}_{23}'-{d}_{23}\right){A}_{nn}, \\ & D_{32}^{\rm{d}} = {d_{32}} + \varepsilon \left( {d_{32}' - 2{d_{32}}} \right)A_{nn}^1 ,\\ & {D}_{33}^{\rm{d}}={d}_{33}+\varepsilon \left({d}_{33}'-2{d}_{33}\right){A}_{nn}^{1}, \\ & {D}_{41}^{\rm{d}}=\left({d}_{11}'-2{d}_{11}\right){A}_{np},\\ &{D}_{42}^{\rm{d}}=\left({d}_{12}'-2{d}_{12}\right){A}_{np},\\ &{D}_{43}^{\rm{d}}=\left({d}_{13}'-2{d}_{13}\right){A}_{np}, \\ & {D}_{44}^{\rm{d}}={d}_{11p}+\varepsilon \left({d}_{11p}'-2{d}_{11p}\right){A}_{pp}, \;\\ &{D}_{\rm{45}}^{\rm{d}}={d}_{12p}+\varepsilon \left({d}_{12p}'-2{d}_{12p}\right){A}_{pp},\\ & {D}_{\rm{46}}^{\rm{d}}={d}_{13p}+\varepsilon \left({d}_{13p}'-2{d}_{13p}\right){A}_{pp}, \\ &{D}_{\rm{51}}^{\rm{d}}=\left({d}_{21}'-{d}_{21}\right){A}_{np}, \\ &{D}_{52}^{\rm{d}}=\left({d}_{22}'-{d}_{22}\right){A}_{np}, \\ &{D}_{53}^{\rm{d}}=\left({d}_{23}'-{d}_{23}\right){A}_{np}, \\ &{D}_{\rm{54}}^{\rm{d}}={d}_{21p}+\varepsilon \left({d}_{21p}'-{d}_{21p}\right){A}_{pp}, \\ &{D}_{55}^{\rm{d}}={d}_{22p}+\varepsilon \left({d}_{22p}'-{d}_{22p}\right){A}_{pp}, \\ &{D}_{55}^{\rm{d}}={d}_{22p}+\varepsilon \left({d}_{22p}'-{d}_{22p}\right){A}_{pp}, \\ &{D}_{\rm{62}}^{\rm{d}}=\left({d}_{32}'-2{d}_{32}\right){A}_{np}^{1}, \\ &{D}_{\rm{63}}^{\rm{d}}=\left({d}_{33}'-2{d}_{33}\right){A}_{np}^{1}, \\ &{D}_{65}^{\rm{d}}={d}_{32p}+\varepsilon \left({d}_{32p}'-2{d}_{32p}\right){A}_{pp}^{1},\\ &{D}_{\rm{66}}^{\rm{d}}={d}_{33p}+\varepsilon \left({d}_{33p}'-2{d}_{33p}\right){A}_{pp}^{1}, \end{split}$$

$$\begin{split} &{A_1} = \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}k_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{{\rm{J}}_n}\left( {ka} \right)\;,~~~{A_2} = - \dfrac{{ka}}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}{\rm{J}}_n^{\prime}\left( {ka} \right),\\ &{A_1'} = \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\left[ {2k_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{{\rm{J}}_n}\left( {ka} \right) + kak_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{\rm{J}}_n^{\prime}\left( {ka} \right)} \right] ,\\ &{A_2'} = - \dfrac{{ka}}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}{\rm{J}}_n^{\prime}\left( {ka} \right) - \dfrac{{{k^2}{a^2}}}{{\rho {\omega ^2}}}{\rm{J}}_n^{\prime\prime}\left( {ka} \right), \end{split}$$

$$\begin{array}{l} {d_{11}} = \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}k_{\rm{s}}^2{a^2}{\rm{H}}_n^{\left( 1 \right)}\left( {ka} \right),\\ {d_{12}} = \left( {2{n^2} - k_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}} \right){{\rm{J}}_n}\left( {{k_{\rm{d}}}a} \right) - {\rm{2}}{k_{\rm{d}}}a{\rm{J}}_n^{\prime}\left( {{k_{\rm{d}}}a} \right),\\ {d_{13}} = 2n\left[ {{k_{\rm{s}}}a{\rm{J}}_n^{\prime}\left( {{k_s}a} \right) - {{\rm{J}}_n}\left( {{k_{\rm{s}}}a} \right)} \right],\\ {d_{11}'}= \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\left[ {2k_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{\rm{H}}_n^{\left( 1 \right)}\left( {ka} \right) + kak_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{\rm{H}}{{_n^{\left( 1 \right)}}^{\prime} }\left( {ka} \right)} \right],\\ {d_{12}'} = - 2k_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{{\rm{J}}_n}\left( {{k_{\rm{d}}}a} \right) + {k_{\rm{d}}}a\left( {2{n^2} - k_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2} - 2} \right){{\rm{J}}_n'} \left( {{k_{\rm{d}}}a} \right) \\ \qquad\;\;\;- {\rm{2}}k_{\rm{d}}^{\rm{2}}{a^2}{\rm{J}_n''}\left( {{k_{\rm{d}}}a} \right),\\ {d_{13}'} = 2nk_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a^2}{\rm{J}}_n^{\prime\prime}\left( {{k_{\rm{s}}}a} \right), \end{array}$$

$$\begin{array}{l}{d}_{21}=-\dfrac{ka}{{\rho }_{1}{\omega }^{2}}{\rm{H}}_{n}^{\left(1\right)}{'}\left(ka\right), \\ {d}_{22}={k}_{\rm{d}}a{\rm{J}}_{n}'\left({k}_{\rm{d}}a\right),~~~ {d}_{23}=n{\rm{J}}_{n}\left({k}_{\rm{s}}a\right), \\ {d}_{21}'=-\dfrac{ka}{{\rho }_{1}{\omega }^{2}}{\rm{H}}_{n}^{(1)'}\left(ka\right)-\dfrac{{k}^{2}{a}^{2}}{{\rho }_{1}{\omega }^{2}}{\rm{H}}_{n}^{\left(1\right)''}\left(ka\right), \\ {d}_{22}'={k}_{\rm{d}}a{\rm{J}}_{n}'\left({k}_{\rm{d}}a\right)+{k}_{\rm{d}}^{2}{a}^{2}{\rm{J}}_{n}''\left({k}_{\rm{d}}a\right), ~~ {d}_{23}'=n{k}_{\rm{s}}a{\rm{J}}_{n}'\left({k}_{\rm{s}}a\right), \end{array}$$

$$\begin{array}{l}{d}_{32}=2n\left[{\rm{J}}_{n}\left({k}_{\rm{d}}a\right)-{k}_{\rm{d}}a{\rm{J}}_{n}'\left({k}_{\rm{d}}a\right)\right], \\ {d}_{33}=2{k}_{\rm{s}}a{\rm J}_{n}'\left({k}_{\rm{s}}a\right)+\left({k}_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a}^{2}-2{n}^{2}\right){\rm{J}}_{n}\left({k}_{\rm{s}}a\right), \\ {d}_{32}'=-2n{k}_{\rm{d}}^{\rm{2}}{a}^{2}{\rm{J}}_{n}''\left({k}_{\rm{d}}a\right), \\ {d}_{33}'=2{k}_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a}^{2}{\rm{J}}_{n}''\left({k}_{\rm{s}}a\right)+2{k}_{\rm{s}}^{\rm{2}}{a}^{2}{\rm{J}}_{n}\left({k}_{\rm{s}}a\right) \\ \qquad\;\;\;+{k}_{\rm{s}}a\left[{\left({k}_{\rm{s}}a\right)}^{2}-2{n}^{2}+2\right]{\rm{J}}_{n}'\left({k}_{\rm{s}}a\right), \end{array}$$

$$\begin{array}{l} A_{nn}^1 = \dfrac{{{\varepsilon _n}}}{{\rm{\pi }}}\displaystyle\int\nolimits_0^{\rm{\pi }} {\dfrac{{f\left( \varphi \right)}}{a}} \sin (n\varphi )\sin (n\varphi ){\rm{d}}\varphi ,\\ A_{pp}^1 = \dfrac{{{\varepsilon _p}}}{{\rm{\pi }}}\displaystyle\int\nolimits_0^{\rm{\pi }} {\dfrac{{f\left( \varphi \right)}}{a}} \sin (p\varphi )\sin \left( {p\varphi } \right){\rm{d}}\varphi ,\\ {A_{pp}} = \dfrac{{{\varepsilon _p}}}{{\rm{\pi }}}\displaystyle\int\nolimits_0^{\rm{\pi }} {\dfrac{{f\left( \varphi \right)}}{a}} \cos \left( {p\varphi } \right)\cos (p\varphi ){\rm{d}}\varphi , \end{array}$$

其中, ${d_{11 p}}$, ${d_{12 p}}$, ${d_{13 p}}$, ${d_{21 p}}$, ${d_{22 p}}$, ${d_{23 p}}$, ${d_{32 p}}$, ${d_{33 p}}$和${d_{11 p}'}$, ${d_{12 p}'}$, ${d_{13 p}'}$, ${d_{21 p}'}$, ${d_{22 p}'}$, ${d_{23 p}'}$, ${d_{32 p}'}$, ${d_{33 p}'}$分别等于${d_{11}}$, ${d_{12}}$, ${d_{13}}$, ${d_{21}}$, ${d_{22}}$, ${d_{23}}$, ${d_{32}}$, ${d_{33}}$和${d_{11}'}$, ${d_{12}'}$, ${d_{13}'}$, ${d_{21}'}$, ${d_{22}'}$, ${d_{23}'}$, ${d_{32}'}$, ${d_{33}'}$中将阶次n替换成p的值. ${{\rm{J}}_n'}$和${{\rm{J}}_n''}$分别代表贝塞尔函数的一阶和二阶导数.

将${k_{\rm{d}}}R = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x$, ${k_{\rm{s}}}R = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x$代入(6a)式, 化简得

$$\begin{split} {\tau _{rrn}}\left( x \right) + {p_{tn}}\left( x \right) =\;& \mu {k^2}\left( \left\{ \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{\rm{H}}_n^{\left( 1 \right)}\left( x \right){B_n} \left[ {\left( {\dfrac{{2{n^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \right){{\rm{J}}_n}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right) - {\rm{2}}\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_n'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right)} \right]{C_n} \right.\right.\\ &\left.+ 2n\left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_n'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right) - \dfrac{1}{{{x^2}}}{{\rm{J}}_n}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right)} \right]{E_n} + \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{{\rm{J}}_n}\left( x \right) \right\}\cos (n\varphi ) \\ &+ \varepsilon \sum\limits_{p \ne n} \left\{ \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{\rm{H}}_p^{\left( 1 \right)}\left( x \right){\alpha _{{\rm{b}}p}}\left[ {\left( {\dfrac{{2{p^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \right){{\rm{J}}_p}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right) - {\rm{2}}\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_p'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right)} \right]{\alpha _{{\rm{c}}p}}\right. \\ & \left.\left.+ 2p\left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_p'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right) - \dfrac{1}{{{x^2}}}{{\rm{J}}_p}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right)} \right]{\alpha _{{\rm{e}}p}} \right\} \cos (p\varphi ) \right), \end{split} \tag{A1}$$

将(A1)式中x在x₀处按照ε的一阶展开得

$$\begin{split} & {\tau _{rrn}}\left( {{x_0}} \right){{ + }}{p_{tn}}\left( {{x_0}} \right) \\ =\;& \mu {k^2}\Bigg[ \varepsilon {x_1}\left\{ \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{\rm{H}}{_n^{\left( 1 \right){\prime}} }\left( {{x_0}} \right){B_n}\right. + \left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}\left( {\dfrac{{2{n^2}}}{{{x_0}^2}} - \dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}} + \dfrac{2}{{{x_0}^2}}} \right){{\rm{J}}_n'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}{x_0}} \right) - \dfrac{{4{n^2}}}{{x_0^3}}{{\rm{J}}_n}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}{x_0}} \right) - 2\dfrac{{{c_1}^2}}{{{c_{\rm{d}}}^2}}\dfrac{1}{{{x_0}}}{{\rm{J}}_n''}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_d}}}{x_0}} \right)} \right]{C_n} \\ &\left.+ 2n\left[ {\dfrac{{{c_1}^2}}{{{c_{\rm{s}}}^2}}\dfrac{1}{{{x_0}}}{{\rm{J}}_n''}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}{x_0}} \right) - \dfrac{{{c_1}}}{{{c_s}}}\dfrac{2}{{{x_0}^2}}{{\rm{J}}_n'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}{x_0}} \right) + \dfrac{2}{{{x_0}^3}}{{\rm{J}}_n}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}{x_0}} \right)} \right]{E_n} + \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_s^2}}{{\rm{J}}_n'} \left( {{x_0}} \right) \right\}\cos (n\varphi ) \\ &+ \varepsilon \Bigg( \sum\limits_{p \ne n} \bigg\{ \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{\rm{H}}_p^{\left( 1 \right)}\left( {{x_0}} \right){\alpha _{{\rm{b}}p}} \left[ {\left( {\dfrac{{2{p^2}}}{{x_0^2}} - \dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \right){{\rm{J}}_p}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}{x_0}} \right) - {\rm{2}}\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}\dfrac{1}{{{x_0}}}{{\rm{J}}_p'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}{x_0}} \right)} \right]{\alpha _{{\rm{c}}p}} \\ & + 2p\left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}\dfrac{1}{{{x_0}}}{{\rm{J}}_p'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}{x_0}} \right) - \dfrac{1}{{x_0^2}}{{\rm{J}}_p}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}{x_0}} \right)} \right]{\alpha _{{\rm{e}}p}} \bigg\} \Bigg) \cos (p\varphi ) \Bigg], \end{split}\tag{A2}$$

$$\begin{split} & \dfrac{{\partial {\tau _{rrn}}}}{{\partial r}} + \dfrac{{\partial {p_{tn}}}}{{\partial r}} \\ =\;& \mu {k^3}\left[ \left( \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{\rm{H}}{_n^{\left( 1 \right)'} }\left( x \right){B_n}\right.\right. + \left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}\left( {2{n^2}\dfrac{1}{{x_{}^2}} - \dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}} + 2\dfrac{1}{{x_{}^2}}} \right){{\rm{J}}_n'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right) - 2\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{d}}^2}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_n''}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right) - 4{n^2}\dfrac{1}{{x_{}^3}}{{\rm{J}}_n}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right)} \right] {C_n} \\ &\left.+ \left\{ {2n\dfrac{{c_1^2}}{{c_s^2}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_n''}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right) - 4n\left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_s}}}\dfrac{1}{{{x^2}}}{{\rm J}}_n'\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right) - \dfrac{1}{{x_{}^3}}{{\rm{J}}_n}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right)} \right]} \right\}{E_n} + \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{{\rm{J}}_n'} \left( x \right) \right)\cos (n\varphi ) \\ &+ \varepsilon \sum\limits_{p \ne n} \left( \dfrac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\dfrac{1}{{{\rho _1}{\omega ^2}}}\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{\rm{H}}{_p^{\left( 1 \right){^\prime}} }\left( x \right){\alpha _{{\rm{b}}p}}\right. + \left\{ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}\left( {2{p^2}\dfrac{1}{{x_{}^2}} - \dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}} + 2\dfrac{1}{{x_{}^2}}} \right){{\rm{J}}_p'} \left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right) - 2\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{d}}^{\rm{2}}}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_p''}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right) - 4{p^2}\dfrac{1}{{x_{}^3}}{{\rm{J}}_p}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{d}}}}}x} \right)} \right\}{\alpha _{{\rm{c}}p}} \\ &\left.\left.+ \left\{ {2p\dfrac{{c_1^2}}{{c_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}\dfrac{1}{x}{{\rm{J}}_p''}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right) - 4p\left[ {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_s}}}\dfrac{1}{{x_{}^2}}{{\rm{J}}_p'}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right) - \dfrac{1}{{x_{}^3}}{{\rm{J}}_p}\left( {\dfrac{{{c_1}}}{{{c_{\rm{s}}}}}x} \right)} \right]} \right\}{\alpha _{{\rm{e}}p}} \right) \cos (p\varphi ) \right],\\ \end{split}\tag{A3}$$

$${\tau _{rrn}}\left( {{x_0}} \right) + {p_{tn}}\left( {{x_0}} \right) = - \varepsilon f\left( \varphi \right)\left[ {\frac{{\partial {\tau _{rrn}}}}{{\partial r}}\left( {{x_0}} \right) + \frac{{\partial {p_{tn}}}}{{\partial r}}\left( {{x_0}} \right)} \right].\tag{A4}$$

将(A2)式和(A3)式代入(A4)式得到(13)式.