1.   引　言

随着社会的快速发展, 突发性污染事故的发生日趋频繁, 例如火灾、化工厂爆炸污染、毒气泄漏等事件使得有毒有害污染气体向大气排放. 而传统的光学遥感和现场采样检测方式无法满足事故处置部门对污染现场快速定性和定量远程遥测的需求^[1-4]. 近年来, 红外多光谱相机以其快速识别、远距离、低成本等显著优势成为气体检测领域的研究热点之一^[5].

由于红外多光谱相机需要在不同温度条件下工作, 温度变化产生的热差会导致成像质量下降, 这严重影响了仪器在不同温度条件下的使用效果^[6]. 相比于可见光光学系统, 红外光学系统的材料热系数高、波段范围大、热差与轴向色差导致的像面偏移更加明显^[7]. 国内外学者针对红外光学系统的无热化设计进行了大量研究: 1943年, Perry^[8]对均匀温度场中光学系统的热效应进行了研究, 首次提出了无热化的概念; 1994年, Tamagawa等^[9]建立无热图挑选材料实现了密接多透镜组的无热化设计, 并在1996年拓展了这一理论, 给出了分离多透镜组的无热化设计实例^[10]; 2012年, Schwertz等^[11]在图解法的基础上, 提出一种扩展的图解法来选择光学材料组合, 适用于特定膨胀系数的外壳. 随着加工技术的进步和衍射光学元件(diffractive optical element, DOE)特性的深入研究, 折衍混合光学系统被越来越多地应用于高质量红外光学系统的无热化设计^[12-15]. 但这些设计方法是普适的, 针对长后焦距红外光学系统的无热化设计缺乏具体理论分析, 毫无目的地选取材料会极大增加无热化设计的难度. 鉴于此, 本文基于红外多光谱相机分析了长后焦距对无热化设计的影响, 通过对材料的选择范围进行约束, 可以实现长后焦距红外光学系统材料的快速选择. 同时, 本文提供了一个长后焦距大相对孔径红外多光谱相机的设计实例, 通过仿真分析以及实验结果验证了设计方法的可行性.

2.   红外多光谱相机无热化模型

2.1   无热化原理

对于一个具有K块薄透镜的光学系统, 分割出K－1个空间, 如图1所示, ${L_i}$为第i块透镜, ${M_i}$为第i块透镜的材料, h_i为近轴光线在第i块透镜上的高度.

将热差方程通过后焦距${f_{\rm{b}}}$随温度T变化的形式表现出来, 可以得到

$$\begin{split} \;&\frac{{\partial {f_{\rm{b}}}}}{{\partial T}} = - {\left( {\frac{1}{{{h_1}\phi }}} \right)^2}\left\{ \sum\limits_{i = 1}^k (h_i^2{\gamma _i}{\phi _i})\right. \\ &~~~~\left.+ \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {\left[ {{{({h_i} - {h_{i + 1}})}^2}\left( {{\alpha _{\alpha i}} - \frac{{\partial {n_{\alpha i}}}}{{\partial T}}} \right)\frac{1}{{{d_i}}}} \right]} \right\}, \end{split}$$

(1)

式中, ${d_i}$为第i块透镜与第$i{{ + }}1$块透镜之间的距离, ${n_{\alpha i}}$为空气的折射率, ${\alpha _{\alpha i}}$为空气的线膨胀系数, ${\phi _i}$为第i块透镜的光焦度, ${\gamma _i}$为${M_i}$的热系数, ${\omega _i}$为${M_i}$的色散系数. 其中, ${\gamma _i}$和${\omega _i}$的表达式为^[9]

$${\omega _i} = - \Delta {\phi _i}/{\phi _i} = - (\partial {n_i}/\partial \lambda )\Delta \lambda /({n_i} - 1),$$

(2)

$${\gamma _i} = (\partial {\phi _i}/\partial T)/{\phi _i} = (\partial {n_i}/\partial T)/({n_i} - 1) - {\alpha _{{i}}},$$

(3)

式中, $\Delta \lambda$是所选的波长范围, ${\alpha _i}$和${n_i}$分别是透镜材料的线膨胀系数以及中心波长处的折射率. (1)式中, 大括号内的第1项表示透镜光焦度随温度的变化, 第2项表示随着${d_i}$的变化光学系统光程的变化. 一般来说, 透镜的光焦度变化远大于光学系统的光程变化, 为了便于计算, 大括号内的第2项可以忽略不计^[10].

机械件材料的热胀冷缩同样会导致后焦距${f_{\rm{b}}}$发生变化:

$$\frac{{\partial {f_{\rm{b}}}}}{{\partial T}} = {\alpha _{\text{h}}}{f_{\rm{b}}},$$

(4)

式中, ${\alpha _{\text{h}}}$为镜筒材料的线膨胀系数. 所以消热差的本质就是通过材料的合理搭配使光学系统本身热效应引起的热差与机械件材料热胀冷缩引起的热差相抵消, 再结合光学系统总光焦度ϕ方程和轴向色差方程可以获得无热化方程组:

$$\left\{ {\begin{aligned} &{\sum\limits_{i = 1}^K {\phi _i'} {{ = }}1,} \\ & {\Delta {f_{\rm{b}}} = \sum\limits_{i = 1}^K {\omega _i'\phi _i'} = 0,} \\ &{\frac{{\partial {f_{\rm{b}}}}}{{\partial T}} = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _i'\phi _i'} = - {\alpha _{\text{h}}}{f_{\rm{b}}}\phi,} \end{aligned}} \right.$$

(5)

式中, ${\phi }_{i}'=\dfrac{({h}_{i}/{h}_{1}){\phi }_{i}}{\phi }$, ${\omega }_{i}'=({h}_{i}/{h}_{1}){\omega }_{i}$, ${\gamma }_{i}'=({h}_{i}/{h}_{1}){\gamma }_{i}$. $\phi _i'$为归一化后的光焦度值, $\omega _i'$为加权后的色散系数, $\gamma _i'$为加权后的色热系数, $({h}_{i}/{h}_{1})$为各透镜的权值.

2.2   无热化方程组求解

由于长波红外波段光线能量弱, 像面照度公式为^[16]

$$E_0' = {\left( {1 - {\rho _1}} \right)^{{N_1}}}{{\text{e}}^{ - \alpha {N_2}}}{\rm{\pi }}G{\sin ^2}{U'},$$

(6)

式中, ${N_1}$为空气和材料的透射界面数, ${N_2}$为光学材料中心厚度总和, ${\rho _1}$为投射界面的反射损失系数, α为光学材料的吸收系数, G为物方光束亮度, ${\sin ^2}{U^{\prime}}$为光学系统的数值孔径. 通过(6)式可以得出结论: 增大相对孔径、减少透镜数量、减小透镜厚度有利于像面照度的提高.

取K = 3, 对无热化方程组进行求解:

$$\left\{ \begin{aligned} &{\phi }_{1}'=\frac{{\omega }_{2}'({\gamma }_{3}'+{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )-{\omega }_{3}'({\gamma }_{2}'+{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )}{({\omega }_{1}'{\gamma }_{2}'-{\omega }_{2}'{\gamma }_{1}')+({\omega }_{2}'{\gamma }_{3}'-{\omega }_{3}'{\gamma }_{2}')+({\omega }_{3}'{\gamma }_{1}'-{\omega }_{1}'{\gamma }_{3}')},\\ &{\phi }_{2}'=\frac{{\omega }_{3}'({\gamma }_{1}'+{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )-{\omega }_{1}'({\gamma }_{3}'+{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )}{({\omega }_{1}'{\gamma }_{2}'-{\omega }_{2}'{\gamma }_{1}')+({\omega }_{2}'{\gamma }_{3}'-{\omega }_{3}'{\gamma }_{2}')+({\omega }_{3}'{\gamma }_{1}'-{\omega }_{1}'{\gamma }_{3}')},\\ &{\phi }_{3}'=\frac{{\omega }_{1}'({\gamma }_{2}'+{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )-{\omega }_{2}'({\gamma }_{1}'+{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )}{({\omega }_{1}'{\gamma }_{2}'-{\omega }_{2}'{\gamma }_{1}')+({\omega }_{2}'{\gamma }_{3}'-{\omega }_{3}'{\gamma }_{2}')+({\omega }_{3}'{\gamma }_{1}'-{\omega }_{1}'{\gamma }_{3}')},\end{aligned} \right.$$

(7)

其中, 各分式分母的绝对值是无热图中以$( {\omega _1', \gamma _1'} )$, $( {\omega _2', \gamma _2'} )$, $( {\omega _3', \gamma _3'} )$为顶点的三角形面积的两倍, 各分式分子的绝对值是无热图中以$(0, -{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi )$分别与$[({\omega }_{2}', {\gamma }_{2}'), ({\omega }_{3}', {\gamma }_{3}')]$, $[({\omega }_{1}', {\gamma }_{1}'),({\omega }_{3}', {\gamma }_{3}')]$, $[({\omega }_{1}', {\gamma }_{1}'), ({\omega }_{2}',$${\gamma }_{2}')]$为顶点的三角形面积的两倍^[17]. 以${\phi }_{1}^{\prime}$为例, 如图2(a)所示.

在无热化设计中, 在任选材料的情况下, 通过无热化方程组求出的光焦度正负值可能与初始结构的光焦度分配情况不一致, 需要对材料的选择范围进行约束. 假设选用库克三分离物镜作为红外多光谱相机的初始结构, 库克三分离物镜将单凸透镜分为L1, L3, 各安装在单凹透镜L2的前后一定距离处, 形成大体对称式的结构^[18]. 随机挑选材料Ge, ZnSe, ZnS作为L1, L2, L3的材料, 各透镜的权值为1, 0.9, 0.8, 镜筒材料的线膨胀系数为23.6 × 10^–6 /℃, 后焦距为40 mm, 焦距为50 mm, 表1列出了常用长波红外材料在8—14 μm波段的热系数及色散系数, 通过无热化方程组求出的$({\phi }_{1}', {\phi }_{2}', {\phi }_{3}')$为$\left( { - 0.6624, + 2.8833, - 1.2208} \right)$, 与初始结构的光焦度分配情况相反.

令${R_i} \;=\; \gamma _i' \;+\; {\alpha _{\text{h}}}{f_{\rm{b}}}\phi$, ${S}_{\text{T}}\;=\;({\omega }_{1}'{\gamma }_{2}'\;-\;{\omega }_{2}'{\gamma }_{1}')+$$({\omega }_{2}'{\gamma }_{3}'- {\omega }_{3}'{\gamma }_{2}')+({\omega }_{3}'{\gamma }_{1}'-{\omega }_{1}'{\gamma }_{3}')$, 对方程组(5)进行简化:

$$\left\{ {\begin{aligned} &{\phi _1'=\frac{{R_3'/\omega _3' - R_2'/\omega _2'}}{{{S_T}}}\omega _2'\omega _3',} \\ & {\phi _2'=\frac{{R_1'/\omega _1' - R_3'/\omega _3'}}{{{S_T}}}\omega _1'\omega _3',} \\ & {\phi _3'=\frac{{R_2'/\omega _2' - R_1'/\omega _1'}}{{{S_T}}}\omega _1'\omega _2'.} \end{aligned}} \right.$$

(8)

假设, $R_1'/\omega _1' > R_2'/\omega _2' > R_3'/\omega _3'$, 连接$\left( {\omega _1', \gamma _1'} \right)$与$\left( {\omega _3', \gamma _3'} \right)$作为三角形的底边, 当$\left( {\omega _2', \gamma _2'} \right)$位于$( \omega _1',$$\gamma _1' )$与$\left( {\omega _3', \gamma _3'} \right)$连线的左侧或下侧时, 三角形朝向坐标轴, ${S_{\text{T}}}$是正值, 则${\phi }_{1}' < 0$, ${\phi }_{2}' > 0$, ${\phi }_{3}' < 0$; 当$( \omega _2',$$\gamma _2' )$位于$\left( {\omega _1', \gamma _1'} \right)$与$\left( {\omega _3', \gamma _3'} \right)$连线的右侧或上侧时, 三角形远离坐标轴, ${S_{\text{T}}}$是负值, 则${\phi }_{1}' > 0$, ${\phi }_{2}' < 0$, ${\phi }_{3}' > 0$, 如图2(b)所示.

当$({\phi }_{1}', {\phi }_{2}', {\phi }_{3}')$的正负值与初始结构光焦度分配情况相同时, 根据几何光学中的光线追迹公式可以推导出$({h}_{i}/{h}_{1})$与${\phi _i}$间的函数关系^[16]:

$$\left\{ {\begin{aligned} &{h_3}/{h_1} = 1 - {d_1}{\phi _1} - {d_2}{\phi _1} - {d_2}{\phi _2} \\ &\;\;\quad\qquad+ {d_1}{d_2}{\phi _1}{\phi _2} = {f_{\rm{b}}}\phi, \\ &{h_2}/{h_1} = 1 - {d_1}{\phi _1}. \end{aligned}} \right.$$

(9)

可以看出, $\left({\phi }_{1}, {\phi }_{2}, {\phi }_{3}\right)$需要找到一组对应的${d_i}$才可以同时满足消热差且后焦距为f_b. 但是在实际光学设计中, 受透镜厚度以及光学系统总长度的限制, ${d_i}$的变化是受限制的, 在随机挑选材料的情况下, (9)式不一定能求解出一组合理的${d_i}$, 需要对材料的选择范围进一步约束. 假设将Ge, ZnSe, ZnS替换为Ge, GaAs, AMTIR1, 此时的$({\phi }_{1}', {\phi }_{2}', {\phi }_{3}')$为$\left( { + 0.4724, - 4.2006, + 2.2738} \right)$, 由于各透镜的权值、焦距以及后焦距可通过初始结构确定, 求出$({\phi }_{1},$${\phi }_{2}, {\phi }_{3})$为$\left( { + 0.0049, - 0.0933, + 0.0568} \right)$, 将${\phi _1}$与${\phi _2}$的值代入(9)式可以求出d₁ = 204.08 mm, d₂ = $- 1.265$ mm. 此时, L1与L2的间隔远大于焦距, L2与L3的间隔变为负值, 不符合实际情况.

2.3   长后焦距对无热化设计的影响

对于长后焦距物镜, 像方主面位于L3附近, 由L3承担主要光焦度. 为了简化分析, 将L1, L2等效为前组透镜L_front, 将L3作为后组透镜L_back, 则原有的系统被等效为分离式双透镜光学系统^[19]. 等效后的消色散方程可以简化为

$$\omega _{{\text{front}}}'\phi _{{\text{front}}}' + \omega _{{\text{back}}}'\phi _{{\text{back}}}' = 0,$$

(10)

$$\left| {\frac{{\phi _{{\text{back}}}'}}{{\phi _{{\text{front}}}'}}} \right| = \left| {\frac{{1 - \phi _{{\text{front}}}'}}{{\phi _{{\text{front}}}'}}} \right| = \left| {\frac{1}{{\phi _{{\text{front}}}'}} - 1} \right| = \left| {\frac{{\omega _{{\text{front}}}'}}{{\omega _{{\text{back}}}'}}} \right| .$$

(11)

通过消色散方程可以看出, 承担主要光焦度的透镜需要选用较小色散系数的材料且前后组透镜光焦度比例越大, 色散系数比例越小. 分析不同后焦距下光焦度的变化情况, 当后焦距${f_{\rm{b}}}$增大时, 像方主面H后移, 得到如下关系式^[16]:

$${f}_{\rm{b}}={l}_{H}'-{f}'={f}'\left(1-\frac{d}{{f}_{\text{front}}'}\right)={f}'\left(1-{d}'{\phi }_{\text{front}}'\right),$$

(12)

式中, ${d'} = d/{f'}$, 后焦距的长度受${d'}$与$\phi _{{\text{front}}}'$的影响, 且两者成反比例函数关系. 由于后组透镜承担主要光焦度, $\phi _{{\text{back}}}' > \left| {\phi _{{\text{front}}}'} \right|$, 对(12)式的变化量$\phi _{{\text{front}}}'$存在限制关系:

$$\begin{split} &\phi _{{\text{back}}}' = 1 - \phi _{{\text{front}}}' > \left| {\phi _{{\text{front}}}'} \right|, \hfill \\ &\phi _{{\text{front}}}' < 0.5. \end{split}$$

(13)

以${f'} = 50$ mm为例, 结合(12)式与(13)式绘出不同后焦距下前组透镜归一化光焦度的变化情况, 如图3所示.

从图3可以看出, 通过增大或减小$\left| d \right|$可以抑制前组透镜归一化光焦度的变化趋势, 但是需要对$\left| d \right|$进行大幅度的增减, 当$\Delta {f_{\rm{b}}}$取值较大时, $\left| d \right|$的取值不再合理. 所以, 当后焦距小于焦距时, $\left| {\phi _{{\text{front}}}'} \right|$随着后焦距的增大呈减小趋势, 且后焦距越大趋势越明显, 如图3中的A, C区域, 此时$\left| {\dfrac{{\omega _{{\text{front}}}'}}{{\omega _{{\text{back}}}'}}} \right|$变大, 应当选择无热图中相隔较远的两种材料, 如图4(a)所示. 当后焦距大于焦距时, $\left| {\phi _{{\text{front}}}'} \right|$变化情况完全相反, 如图3中的B, D区域, 此时$\left| {\dfrac{{\omega _{{\text{front}}}'}}{{\omega _{{\text{back}}}'}}} \right|$变小, 应当选择无热图中相隔较近的两种材料, 如图4(b)所示.

3.   系统仿真与实验

3.1   设计指标

本文设计的红外多光谱相机选用响应波段为8—14 μm的非制冷型探测器, 此探测器的像元尺寸为17 μm, 像素为640 × 512, 可在–40—+60 ℃环境下工作. 机械材料选用铝合金. 使用红外多光谱相机检测气体时, 待测目标至少需要获得3 × 3个像素. 假设需要在100 m远处检测到直径为0.1 m的气体云团, 红外多光谱相机的设计指标如表2所列.

3.2   设计与仿真

根据2.2节与2.3节的分析, 可以列出长后焦距红外光学系统的无热化设计流程, 如图5所示. 选用库克三分离物镜作为红外多光谱相机的初始结构, 在无热图中选择色散系数小的点$( {\omega _3', \gamma _3'} )$作为L3的材料, 作直线${Z_1}$连接$\left( {\omega _3', \gamma _3'} \right)$, $\left(0, -{\alpha }_{\text{h}}{f}_{\rm{b}}\phi \right)$, 再以无热图中任意两点连接直线${Z_2}$, ${Z_1}$与${Z_2}$的交点是等效透镜L_front的材料. 由于后焦距f_b略小于焦距${f'}$, $\omega _{{\text{front}}}'$要离$\omega _3'$尽量远, 结合2.2节中的约束方法对材料选择范围进行约束, 选择$R_i'/\omega _i'$均大于$R_3'/\omega _3'$的材料, 或$R_i'/\omega _i'$均小于$R_3'/\omega _3'$的材料.

综上, 将IRG204, ZnSe, IRG206分别作为L1, L2, L3的材料, 如图6(a)所示. 由于透镜数量少, 光学系统的高级像差难以校正, 在L1 和L3上各添加一个偶次非球面用来校正高级像差. 利用Zemax软件优化后, 在–40—+60 ℃范围内, 系统的热离焦均小于一倍焦深, 校正了热差. 但是无热图中的三角形面积较为扁平, 光焦度分配不够均匀, 系统依旧存在较大的轴向像差, 如图7(a)所示.

考虑到DOE具有特殊的热系数及色散系数^[20]:

$${\gamma _{{\text{BOE}}}}{{ = }}2{\alpha _{{\text{BOE}}}}{{ + }}\frac{1}{{{n_0}}}\frac{{\rm d}{n_0}}{{\rm d}t},$$

(14)

$${\omega _{{\text{BOE}}}} = \frac{1}{{{v_{{\text{BOE}}}}}} = - \frac{{{\varDelta _\lambda }}}{{{\lambda _{\text{d}}}}},$$

(15)

式中, ${\alpha _{{\text{BOE}}}}$为衍射面基底透镜材料的热膨胀系数, ${n_0}$为环境介质的折射率, ${\lambda _{\text{d}}}$为所选波段的中心波长. 在L3的偶次非球面基底上添加衍射面, 根据(14)式和(15)式求出DOE的热系数和色散系数分别为${\gamma _{{\text{DOE}}}} = 4.14 \times {10^{{{ - 5}}}}$, ${\omega _{{\text{DOE}}}} =0.545$. DOE和IRG206等效成透镜Lj, 等效材料Mj在无热图中的坐标轨迹在DOE和IRG206的连线及其延长线上, 如图6(b)所示, 衍射元件为前组透镜承担一部分正色差, 光焦度分配更加平滑, 在校正色差的同时也减小了轴上点球差. 添加衍射面后, 对系统再次优化, 系统的轴向像差从0.06689 mm减小到0.01604 mm, 如图7(b)所示. 系统的热离焦由–12.46—+10.42 μm减小到–2.52 —+3.86 μm, 远小于一倍焦深, 如图8所示.

3.3   成像质量评价

经过无热化设计后的系统总长为86.53 mm, 后焦距为40.53 mm, 结构紧凑, 如图9所示. 对其通过调制传递函数(modulation transfer function, MTF)和弥散斑均方根(root mean square, RMS)半径来评价成像质量^[21]. 无热化后的红外多光谱相机在–40—+60 ℃范围内, 各视场在奈奎斯特频率(30 lp/mm)处的MTF值均达到0.39, 接近衍射极限, 如图10所示. RMS半径均小于艾里斑半径19.17 μm, 如表3所列. 综上, 该系统成像质量优异, 基本不受环境温度的影响.

3.4   气体成像实验

在实验室中, 采用通道为9.43—11.53 μm的红外多光谱相机对SF6气体进行成像实验, 选用SF₆的原因是其不易燃、无毒、价格适中^[22]. 气体成像实验于2020年12月31日在中国安徽省合肥市的实验室中进行, 实验室的环境温度经温度计测量是5 ℃, 并于2021年01月27日在同一地点对仪器进行温控实验, 依旧采用9.43—11.53 μm的通道分别测试了仪器在20和40 ℃情况下对SF₆的成像结果. 两次实验结果表明, 在未采用任何图像处理的情况下, 自研的红外多光谱相机可以在大温度范围内对SF₆气体清晰成像, 如图11所示, 光学系统性能优良, 达到测试指标.

4.   结　论

本文建立了红外多光谱相机的无热化模型, 此模型将红外多光谱相机等效为分离式双透镜光学系统. 通过分析得出结论: 由于前后组透镜的间隔受到约束, 当后焦距小于焦距时, 前后组透镜材料在无热图中的间隔随着后焦距的增大而增大; 当后焦距小于焦距时, 前后组透镜材料在无热图中的间隔随着后焦距的增大而减小. 设计结果以及实验结果表明, 该模型极大地简化了长后焦距红外光学系统的无热化过程, 能够使红外多光谱相机在不同环境温度下工作.