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球差对高功率激光上行大气传输光束质量的影响

黄梓樾 邓宇 季小玲

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球差对高功率激光上行大气传输光束质量的影响

黄梓樾, 邓宇, 季小玲

Influence of spherical aberration on beam quality of high-power laser beams propagating upwards in the atmosphere

Huang Zi-Yue, Deng Yu, Ji Xiao-Ling
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  • 地基激光空间碎片清除等激光烧蚀推进在太空中的应用中, 激光功率已远超过大气非线性自聚焦临界功率, 因此自聚焦效应是影响光束质量的重要因素. 此外, 由于高功率激光产生过程中的非线性效应, 光束常伴有球差. 本文采用数值模拟方法, 研究了球差对高功率激光上行大气传输光束质量的影响. 研究表明: 对于大尺寸(光束发射尺寸)光束, 利用正球差可提高靶面光强. 然而, 对于小尺寸光束, 则需利用负球差提高靶面光强. 并且, 大尺寸比小尺寸光束更适合地基激光空间碎片清除等应用. 在线性衍射效应和非线性自聚焦效应共同作用下, 存在一个最佳发射功率使得靶面光强最大化, 本文拟合出了大尺寸光束的最佳发射功率的公式. 另一方面, 由于衍射、自聚焦和球差均导致焦移, 这使得靶面光束质量变差. 本文推导出了大尺寸光束情况下透镜修正焦距公式, 这样可把将实际焦点移至靶面, 从而提高靶面光束质量. 本文所得结论具有重要的理论和实际应用意义.
    For laser ablation propulsion’s applications in space (e.g., space-debris removal, etc.), the laser power is well above the critical power for self-focusing in the atmosphere. Therefore, the self-focusing effect on the beam quality is very significant. In addition, a high-power laser beam is usually accompanied with spherical aberration due to nonlinear effects in its generation process. In this paper, the influence of spherical aberration on the beam quality of high-power laser beams propagating upwards in the atmosphere is studied by using numerical simulation. It is shown that for the large beam size case, the target intensity may be improved by applying the positive spherical aberration. However, for the small beam size case, the target intensity may be improved by using the negative spherical aberration. Furthermore, a laser beam with a large size is more suitable for laser ablation propulsion’s applications in space than that with a small size. Owing to the linear diffraction effect and the nonlinear self-focusing effect, there exists optimal beam power to maximize the target intensity. The formula of the optimal beam power is fitted for the large beam size case in this paper. On the other hand, the focal shift appears due to diffraction, self-focusing and spherical aberration, which results in a degradation of the beam quality on the target. For the large beam size case, to move the actual focus to the target and improve the beam quality on the target, the formula of the modified focal length is also derived in this paper. The results obtained in this paper are of important theoretical significance and practical value.
      通信作者: 季小玲, jiXL100@163.com
      Corresponding author: Ji Xiao-Ling, jiXL100@163.com
    • Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 61775152).
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  • 图 1  靶面光强I (r, z = L)分布 (a), (b) 大尺寸光束, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (c), (d) 小尺寸光束, w0 = 0.821 m, β = 1.03

    Fig. 1.  Intensity distributions on the target I (r, z = L): (a), (b) For a large beam size, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (c), (d) for a small beam size, w0 = 0.821 m, β = 1.03.

    图 2  靶面峰值光强I (r = 0, z = L)随相对发射功率P/PcrGs的变化 (a) 大尺寸光束, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (b) 小尺寸光束: w0 = 0.821 m, β = 1.03

    Fig. 2.  Peak intensity on the target I (r = 0, z = L) versus the relative beam power P/PcrGs: (a) For a large beam size, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (b) for a small beam size, w0 = 0.821 m, β = 1.03.

    图 3  (5)式的验证. 相对最佳发射功率Popt/PcrGs随初始束宽w0和球差系数kC4的变化. 黑点: 数值模拟计算结果, 曲面: (5)式计算结果

    Fig. 3.  Confirmation of the formula of Eq. (5). Relative optimal beam power Popt/PcrGs versus the initial beam radius. w0 and the spherical aberration coefficient kC4. Black dots: results by using numerical simulation method; surfaces: results by using Eq. (5).

    图 4  (9)式的验证. 束宽w随距离z的变化

    Fig. 4.  Confirmation of the formula of Eq. (9). Beam width w versus the propagation distance z

    图 5  透镜修正焦距Fmod随球差系数kC4和相对发射功率P/PcrGs的变化, w0 = 1.414 m, β = 5.9275

    Fig. 5.  Modified focal length Fmod versus the spherical aberration coefficient kC4 and the relative beam power P/PcrGs, w0 = 1.414 m, β = 5.9275.

    图 6  靶面光强分布, w0 = 1.414 m, β = 5.9275, P = 2000PcrGs  (a) 修正焦距前; (b) 修正焦距后

    Fig. 6.  Intensity distributions on the target. w0 = 1.414 m, β = 5.9275, P = 2000PcrGs: (a) For the unmodified focal length case; (b) for the modified focal length case.

    表 1  (9)式中各系数的值

    Table 1.  Values of coefficients in Eq. (9).

    系数系数
    u$5.6 \times {10^{ { - }5} }\exp (- 6.121 w_0)$b–2.46
    v$2.351 \times {10^{ { - }5} }\exp (-2.326w_0)$c$1.022 \times {10^{ { - }4} }$
    s$26-35.3w_0-0.00167P /P_{ {\text{crGs} } }$d$1.9 \times {10^{ { - }4} }$
    a–0.2e–0.12
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-06-30
  • 修回日期:  2021-07-21
  • 上网日期:  2021-08-17
  • 刊出日期:  2021-12-05

球差对高功率激光上行大气传输光束质量的影响

  • 四川师范大学物理与电子工程学院, 成都 610068
  • 通信作者: 季小玲, jiXL100@163.com

摘要: 地基激光空间碎片清除等激光烧蚀推进在太空中的应用中, 激光功率已远超过大气非线性自聚焦临界功率, 因此自聚焦效应是影响光束质量的重要因素. 此外, 由于高功率激光产生过程中的非线性效应, 光束常伴有球差. 本文采用数值模拟方法, 研究了球差对高功率激光上行大气传输光束质量的影响. 研究表明: 对于大尺寸(光束发射尺寸)光束, 利用正球差可提高靶面光强. 然而, 对于小尺寸光束, 则需利用负球差提高靶面光强. 并且, 大尺寸比小尺寸光束更适合地基激光空间碎片清除等应用. 在线性衍射效应和非线性自聚焦效应共同作用下, 存在一个最佳发射功率使得靶面光强最大化, 本文拟合出了大尺寸光束的最佳发射功率的公式. 另一方面, 由于衍射、自聚焦和球差均导致焦移, 这使得靶面光束质量变差. 本文推导出了大尺寸光束情况下透镜修正焦距公式, 这样可把将实际焦点移至靶面, 从而提高靶面光束质量. 本文所得结论具有重要的理论和实际应用意义.

English Abstract

    • 大量的空间碎片对宇航员和航天器造成了严重威胁[1]. 地基激光空间碎片清除是减少低轨区域空间碎片的有效方法[2,3]. 其实, 除了地基激光空间碎片清除, 激光烧蚀推进在太空中的应用还包括激光发射小型探测器至近地轨道等[4]. 在这类应用中, 不可避免地会遇到高功率激光在非均匀大气中的传输, 并且激光功率已远超过大气非线性自聚焦临界功率, 因此自聚焦是影响激光光束质量的重要物理因素[5]. Rubenchik等[5]研究发现大气自聚焦效应会降低靶面激光强度, 并指出利用初始光束散焦可以补偿自聚焦效应带来的不利影响. Vaseva等[6]提出可采用“薄窗模型”来研究高功率激光上行大气远程传输中的自聚焦效应. 近年来, 我们研究组也对此也开展了深入研究, 研究了群速度色散效应、光束空间相干性和激光模式等对激光上行大气传输的非线性自聚焦效应和靶面光束质量的影响[7-10], 并提出了非线性自聚焦相位调制函数的二次近似, 实现了解析求解高功率激光上行大气传输问题[11].

      另一方面, 由于高功率激光产生过程中的非线性效应, 光束常伴有球差, 球差是影响激光光束质量的重要物理因素[12-14]. 吕百达研究组[15]研究了球差对光谱开关的影响, 推导出有球差多色高斯光束被硬边光阑衍射后轴上光谱的解析公式. 张蓉竹研究组[16]研究了球差对涡旋光束斜程湍流大气传输特性的影响, 发现球差对光束漂移特性的影响随着传输距离的增大而增强. 我们研究组[17]用实验方法研究了球差光束在大气湍流中传输特性, 研究发现大气湍流会削弱球差效应对光束扩展的影响. 然而, 相关研究大都局限于球差对传输过程中线性效应的影响[15-20].

      激光器中热效应引起的各种像差(如球差、慧差、像散等)要严重影响出射激光的光束质量[21]. 然而, 利用球差也可以达到有利于实际应用的目的. 例如: 在激光加工、激光核聚变等应用领域中, 要求靶面被激光均匀辐照. 蒲继雄研究组[22]研究表明, 利用负球差可实现均匀光强分布. 另一方面, 随着空间光调制技术的发展, 利用精确相位调制技术, 可实现对光束的调控[23]. 例如: 苏亚辉研究组[23]研究了飞秒激光加工中折射率失配引起的像差问题, 并利用空间光调制器产生与像差函数等值相反的相位信息补偿了球差的影响. 我们研究组[17]利用空间光调制器产生不同球差系数的球差光束, 实验研究了球差光束在大气湍流中的传输特性. 空间光调制器由电脑控制, 可以实现加载各种像差并控制像差大小, 它是一种实现光束像差调控的简易且有效的方法.

      近年来, 我们研究组[24]研究了球差对激光下行大气传输非线性自聚焦效应的影响, 研究发现: 当高功率激光从空间轨道经大气下行传输至地面, 利用负球差可使得地面上光斑尺寸小于衍射极限. 然而, 大气非线性折射率随海拔高度增加而减小, 因此非线性自聚焦效应对高功率激光上行与下行传输特性的影响有显著不同, 从而球差对激光上行与下行大气传输非线性自聚焦效应以及靶面光束质量的影响也不相同. 本文围绕如何提高靶面光束质量问题, 研究了球差对高功率激光上行传输的最佳发射功率的影响, 并指出了高功率激光上行与下行大气传输特性的差异. 另一方面, 为了将球差高功率激光实际焦点移至靶面, 本文还研究了透镜修正焦距, 以达到提高靶面光强和改善靶面光束质量的目的. 此外, 本文对主要结论给出了合理的物理解释.

    • 设高功率激光束从地面垂直上行传输至空间轨道. 高功率激光在大气中传输的非线性自聚焦效应和衍射效应可用非线性薛定谔方程描述[5], 即:

      $ 2{\text{i}}{k_{\text{0}}}\frac{{\partial A}}{{\partial z}} + \nabla _ \bot ^2A + 2{k_0}^2\frac{{{n_2}}}{{{n_0}}}{\left| A \right|^2}A = 0 \text{, } $

      其中A为光场分布; $ \nabla _ \bot ^2 $为拉普拉斯算子; 波数k0 = 2πn0/λ, λ为波长; n0n2分别为大气线性折射率和非线性折射率.

      z = 0处(地面), 球差高斯激光束的初始光场可表示为[24]

      $\begin{split} & A ( {r,z = 0} )\\ \;& = \sqrt {\frac{{2P}}{{\pi w_0^2}}} \exp \left[ { - \frac{{\left( {1 + {\text{i}}\beta } \right)}}{{w_0^2}}{r^2}} \right] \exp \left( { - \frac{{{\text{i}}k{C_4}}}{{w_0^4}}{r^4}} \right), \end{split}$

      P为发射功率; w0为初始束宽; $\beta = {kw_0^2}/{(2 F})$, Fz = 0处透镜的焦距; kC4为球差系数.

      线性情况下, 基于激光传输的ABCD定律可知: 聚焦高斯光束在自由空间中传输(仅考虑激光衍射效应)会发生焦移, 其束腰位置$F'$和半径$w'_{\min} $分别为[25]

      $ F' = \frac{F}{{1 + {{\left( {{{{w_{\min }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{w_{\min }}} {{w_0}}}} \right. } {{w_0}}}} \right)}^2}}} \text{, } $

      $ {w'_{\min }} = \frac{{{w_{\min }}}}{{\sqrt {1 + {{\left( {{{{w_{\min }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{w_{\min }}} {{w_0}}}} \right. } {{w_0}}}} \right)}^2}} }} \text{, } $

      其中$ {w_{\min }} = {{\lambda F} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda F} {\pi {w_0}}}} \right. } {\pi {w_0}}} $. 当$\beta \gg 1$(即$ {w_0} \gg {w_{\min }} $)时, 由(3)式和(4)式可分别得到$F'\;=\;F$$w'_{\min}\;= $$ \;w_{\min}$, 即: 光束无焦移, 且几何焦面上光斑尺寸为$ {w_{\min }} = {{\lambda F} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda F} {\pi {w_0}}}} \right. } {\pi {w_0}}} $. 另一方面, β为最小值1 (即$ {w_0}{\text{ = }} $$ {w_{\min }} $)时, 由(3)式和(4)式可分别得到$ F' = {F \mathord{\left/ {\vphantom {F 2}} \right. } 2} $${w'_{\min }} = {{{w_{\min }}}/{\sqrt 2 }}$. 显然, 发射光束尺寸大小决定着发射透镜焦距长短. 当$ \beta \gg 1 $(即$ {w_0} \gg {w_{\min }} $)时, 发射光束被称为大尺寸光束, 例如: 对于轨道高度L = 1000 km, 波长λ=1.06 μm情况下, 当w0 = 1.414 m, F = 1000 km时, 有β = 5.9275 (视为$ \beta \gg 1 $), $ F'\;=\;972\;{\rm{km}} $ (焦斑非常接近靶面). 当β值接近1 (即β ~ 1, w0 ~ wmin)时, 发射光束被称为小尺寸光束, 例如: 当w0 = 0.821 m, F = 1942 km时, 有β = 1.03 (视为β ~ 1), $ F'\;=\;1000.015\;{\rm{km}} $(焦斑非常接近靶面).

      非线性情况下, 大气非线性折射率n2是高度z的函数, 即n2(z) = n20exp[–(z/h)] [5], 其中h = 6 km, n20 = 4.2 × 10–19 cm2/W为地面大气非线性折射率. n2随着高度z的增大而减小, 当离地面足够远时, n2值非常小, 例如: z = 30 km时, n2 = 2.83 × 10–21 cm2/W. 在本文中, 高功率激光上行大气传输模型为: 地面至30 km, 同时考虑自聚焦和衍射效应; 30 km至空间轨道, 仅考虑衍射效应. 对于球差激光束, 非线性薛定谔方程无解析解, 本文采用多层相位屏法和离散快速傅里叶变换, 编制了球差高斯光束从地面垂直上行传输至空间轨道的程序, 数值求解了非线性薛定谔方程. 除特别说明, 本文数值计算例参数如下: λ = 1.06 μm, 轨道高度L = 1000 km (空间碎片最聚集的地方[26]), 且采用高斯光束大气自聚焦临界功率 PcrGs = λ2/(2πn0n20) = 4.3 GW为功率P的归一化因子.

    • 不同球差系数kC4下, 靶面光强I (r, z = L)分布如图1所示. 图1中, 小尺寸光束功率低于大尺寸光束的主要原因是小尺寸光束成丝崩塌的功率阈值低. 对于大尺寸光束(见图1(a)图1(b)), 自由空间中(真空中), |kC4|相同的正、负球差光束的靶面光强分布相同, 且球差使得靶面峰值光强下降, 无球差时峰值光强最大(见图1(a)). 然而, 大气中, 由于大气自聚焦效应, 正球差对应的靶面峰值光强可以大于无球差时的光强(见图1(b)). 其物理原因是: 自聚焦效应使实际焦点(束宽最小值的位置)向地面移动, 使得靶面峰值光强下降[5]. 但是, 正球差的散焦作用使实际焦点远离地面, 导致靶面光斑减小, 从而靶面峰值光强增大. 这结论与大尺寸光束从空间轨道经大气下行传输至地面的结论不同(下行传输时, 无球差光束的靶面峰值光强最大)[24]. 其物理原因是: 自聚焦效应对激光上行与下行传输的影响效果不同. 激光从地面上行大气传输至空间轨道, 自聚焦为不利因素, 它使得光束实际焦点向地面移动, 从而降低空间靶面光强. 然而, 激光从空间轨道下行大气传输至地面, 自聚焦为有利因素, 它使得光束在近地面范围被压缩, 从而导致靶面(地面)光斑尺寸减小和光强增大. 另一方面, 对于小尺寸光束(见图1(c)图1(d)), 无论在自由空间还是大气中, 相较于无球差和正球差光束, 负球差光束的靶面峰值光强最大. 这与小尺寸光束从空间轨道经大气下行传输至地面得到的结论一致[24]. 其原因是上、下行传输两者都是靶面不是几何焦面, 例如: 图1(c)图1(d)中, 几何焦面在F = 1942 km处(远场), 而靶面在L = 1000 km处, 即激光上行与下行传输的不同的光束远场特性还未表现出来.

      图  1  靶面光强I (r, z = L)分布 (a), (b) 大尺寸光束, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (c), (d) 小尺寸光束, w0 = 0.821 m, β = 1.03

      Figure 1.  Intensity distributions on the target I (r, z = L): (a), (b) For a large beam size, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (c), (d) for a small beam size, w0 = 0.821 m, β = 1.03.

    • 众所周知, 线性情况下, 激光发射功率越高, 则靶面光强越大. 但是, 由于非线性自聚焦作用, 情况就不同了. 不同球差系数kC4下, 靶面轴上光强I (r = 0, z = L)随相对发射功率P/PcrGs的变化如图2所示. 其实, 靶面轴上光强即为靶面峰值光强. 由图可知, I (r = 0, z = L)随P/PcrGs变化存在一个极大值Imax. 这意味着存在一个最佳发射功率Popt使靶面光强最大化. 出现最佳发射功率Popt的物理原因分析如下: 当激光发射功率不高时, 光束衍射效应占主导地位, 靶面光强随着入射功率的提高而增大. 但是, 随着激光发射功率的提高, 非线性自聚焦效应逐渐占主导地位, 导致光束焦移加剧(实际焦点向地面移动), 靶面光强减弱, 并且非线性自聚焦效应随着激光发射功率的提高而增强. 这样, 在衍射效应和自聚焦效应的共同作用下, 出现最佳发射功率使得靶面光强达到最大.

      图  2  靶面峰值光强I (r = 0, z = L)随相对发射功率P/PcrGs的变化 (a) 大尺寸光束, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (b) 小尺寸光束: w0 = 0.821 m, β = 1.03

      Figure 2.  Peak intensity on the target I (r = 0, z = L) versus the relative beam power P/PcrGs: (a) For a large beam size, w0 = 1.414 m, β = 5.9275; (b) for a small beam size, w0 = 0.821 m, β = 1.03.

      图2(a)表明: 对于大尺寸光束, 当kC4增大时, 则PoptImax均增大. 图2(b)表明, 对于小尺寸光束, 当kC4增大时, 则Popt增大, 而Imax减小. 其物理原因是: 随着球差系数增大, 光束扩展增大(相当于衍射加剧), 因此需增大激光发射功率(即增强自聚焦效应)才能使靶面光强在衍射效应和自聚焦效应的共同作用下达到最大. 此外, 对于小尺寸光束, Imax随着 Popt增大而减小, 其原因是靶面(非几何焦面)上光斑扩大导致Imax减小.

      对于地基激光空间碎片清除应用, 提高靶面激光强度是非常重要的. 比较图2(a)图2(b)可以看出: 相比小尺寸光束, 大尺寸光束的靶面最大光强Imax更大. 因此, 大尺寸光束更适合地基激光空间碎片清除. 特别地, 对于大尺寸光束, 还可利用正球差进一步提高靶面光强. 另一方面, 对于小尺寸光束, 可利用负球差提高靶面光强.

      值得指出的是: 与高功率激光上行大气传输不同, 高功率激光下行大气传输时并不存在最佳发射功率. 其物理原因是大气自聚焦效应仅在近地面(远场)范围(如0—30 km)才发生, 自聚焦效应仅起到在近地面范围压缩光斑的作用.

      我们已证明大尺寸光束更有利于地基激光空间碎片清除(见图2), 因此本文以下部分仅对大尺寸情况下球差光束进行讨论. 对于不同初始束宽w0、球差系数kC4, 利用数值计算, 可找出其最佳发射功率Popt(见图3中黑点). 从图3可以看出: 随着初始束宽w0和球差系数kC4的增加, 最佳发射功率Popt增加. 基于数值计算结果, 得到了最佳功率Popt的拟合公式, 即

      图  3  (5)式的验证. 相对最佳发射功率Popt/PcrGs随初始束宽w0和球差系数kC4的变化. 黑点: 数值模拟计算结果, 曲面: (5)式计算结果

      Figure 3.  Confirmation of the formula of Eq. (5). Relative optimal beam power Popt/PcrGs versus the initial beam radius. w0 and the spherical aberration coefficient kC4. Black dots: results by using numerical simulation method; surfaces: results by using Eq. (5).

      $\begin{split} P_\text{opt}/P_\text{crGs} = (252w_0^2 + 710k C_4)(w_0 + k{C_4} ) + 404 . \end{split}$

      (5)式中各个系数是在w0单位取米时得到的. 拟合(5)式的适用条件是: L = 1000 km, λ = 1.06 μm, 大尺寸球差光束 (如: 1.4 m < w0 < 1.8 m, –0.2 < kC4 < 0.2).

      根据(5)式, 做出最佳发射功率Popt随初始束宽w0和球差系数kC4的变化曲面(见图3中曲面). 从图3可以看到: 拟合曲面与黑点吻合得十分好. 拟合程度可由Adjusted R-squared ($R^2_{{\rm{Adj}}}$)参数给出, $ R^2_{{\rm{Adj}}} $越接近数值1, 说明拟合程度越高. (5)式的 $ R^2_{{\rm{Adj}}} =0.9927 $ (接近数值1), 这说明(5)式是可靠的.

    • 众所周知, 衍射效应和球差均造成焦移. 高功率激光在大气中的非线性自聚焦效应也会造成焦移[9]. 本文以束宽最小值位置定义为实际焦斑位置, 它与几何焦平面不重合称为焦移.

      B积分可以表示非线性作用引起的相位调制[27]. 省略B积分中常数项, 有$\displaystyle\int_0^L {{n_{20}}} \exp \Big(-\dfrac z h\Big){\text{d}}z \approx {n_{20}}h,$ 因此激光从地面经非均匀大气到空间轨道的传输可等效分为两段: 首先在均匀大气中非线性传输距离h = 6 km (非线性折射率为n20), 然后再在自由空间中线性传输距离L-h. 若不考虑球差, 高斯光束通过均匀大气非线性传输, 在z = h处束宽w1和曲率半径R1的表达式分别为[28]

      $ w_1^2 = \left(1 - \dfrac{P}{P_\text{crGs}}\right) \dfrac{ h^2 \lambda^2}{{\pi ^2}w_0^2} + \Big(1 - \dfrac{h}{F}\Big)^2 w_0^2, $

      $ \dfrac{w_1^2}{R_1} = \left(1-\dfrac{P}{P_\text{crGs}}\right) \dfrac{h\lambda ^2}{\pi^2w_0^2} - \Big(1 - \dfrac h F\Big)^2w_0^2/F . $

      光束继续通过自由空间线性传输, 其束宽w2表达式为[28]

      $ {w_2}^2 = w_1^2 + \frac{{2w_1^2}}{{{R_1}}}\left( {z - h} \right) + \left( {\frac{{{\lambda ^2}}}{{{\pi ^2}w_1^2}} + \frac{{w_1^2}}{{R_1^2}}} \right){\left( {z - h} \right)^2} . $

      值得注意的是, (6)式—(8)式满足的条件是光束为高斯轮廓. 但是, 由于大气自聚焦效应和球差效应, 光束不再是高斯轮廓, 束宽表达式(8)式需要修正. 基于数值模拟结果, 对(8)式进行了修正, 得到了修正后的束宽w表达式为

      $ {w^2} = w_1^2 + \frac{{2Tw_1^2}}{{{R_1}}}\left( {z - h} \right) + \left( {\frac{{A{\lambda ^2}}}{{{\pi ^2}w_1^2}} + \frac{{w_1^2}}{{R_1^2}}} \right){\left( {z - h} \right)^2} \text{, } $

      其中, $A = 1-u(P/P_{\rm crGs})+v(P/P_{\rm crGs})^2+s(kC_4),$$ T = [a(w_0+b)^2+(cw_0+d) P/P_{\rm crGs} + e ] kC_4+1, $各个系数值如表1所列.

      系数系数
      u$5.6 \times {10^{ { - }5} }\exp (- 6.121 w_0)$b–2.46
      v$2.351 \times {10^{ { - }5} }\exp (-2.326w_0)$c$1.022 \times {10^{ { - }4} }$
      s$26-35.3w_0-0.00167P /P_{ {\text{crGs} } }$d$1.9 \times {10^{ { - }4} }$
      a–0.2e–0.12

      表 1  (9)式中各系数的值

      Table 1.  Values of coefficients in Eq. (9).

      值得指出的是: 表1中各个系数是在w0单位取米时得到的. (9)式的验证如图4所示, 可以看出: 不同参数情况下, 图中实线(9)式计算结果)与圆点(数值模拟计算结果)都吻合很好, 从而验证了(9)式的正确性.

      图  4  (9)式的验证. 束宽w随距离z的变化

      Figure 4.  Confirmation of the formula of Eq. (9). Beam width w versus the propagation distance z

      对(9)式求导数, 并令${{{\text{d}}{w^2}}/{{\text{d}}z}} = 0$, 可以得到光束实际焦点的位置zmin(即最小束宽的位置):

      $ {z_{\min }} = \frac{{Tw_0^2{\pi ^2}\left[ {w_0^2/F - h{\lambda ^2}{{\left( {1 - {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right. } {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right. } {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right)} {w_0^2{\pi ^2}}}} \right. } {w_0^2{\pi ^2}}}} \right]}}{{A{\lambda ^2} + {\pi ^2}{{\left[ {w_0^2/F - h{\lambda ^2}{{\left( {1 - {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right. } {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right. } {{P_{{\text{cr}}}}}}} \right)} {w_0^2{\pi ^2}}}} \right. } {w_0^2{\pi ^2}}}} \right]}^2}}} . $

      一般情况下, zminL, 即实际焦点不在靶面上, 发生了焦移. 为了将实际焦点移至靶面, 采用修正发射透镜焦距的方法. 基于(10)式, 令zmin = L , 可以得到修正焦距Fmod应满足:

      $\begin{split} {F_{\boldsymbolod }} =\;& {{2L{{\text{π }}^2}w_0^4}}\Big/ \Big[ T{{\text{π }}^2}w_0^4 + 2hL(1 - P/{P_{{\text{cr}}}}){\lambda ^2} \\ & + w_0^2\sqrt {{T^2}{{\text{π }}^4}w_0^4 - 4A{L^2}{{\text{π }}^2}{\lambda ^2}}\; \Big], \\[-15pt] \end{split} $

      其中${T^2}{{\text{π}}^4}w_0^4 > 4 A{L^2}{{\text{π}}^2}{\lambda ^2}$. (11)式的适用条件是: $\lambda {\text{ = }}1.06\;{{ \text{μ} {\rm{m}}}}$, 大尺寸球差光束(例如: 1.4 m < w0 < 1.8 m, –0.2 < kC4 < 0.2).

      修正焦距Fmod随球差系数kC4和相对发射功率P/PcrGs的变化如图5所示. 由图5可知: 随着kC4的减小或P/PcrGs的增大, Fmod增大. 其物理原因是: 随着球差系数减小, 光束聚集增强, 则实际焦点越接近地面; 另一方面, 激光发射功率越高, 则自聚焦效应越强, 实际焦点向地面移动[9]. 因此需要增大透镜修正焦距Fmod, 才能将其实际焦点移至靶面.

      图  5  透镜修正焦距Fmod随球差系数kC4和相对发射功率P/PcrGs的变化, w0 = 1.414 m, β = 5.9275

      Figure 5.  Modified focal length Fmod versus the spherical aberration coefficient kC4 and the relative beam power P/PcrGs, w0 = 1.414 m, β = 5.9275.

      焦距修正前后靶面光强分布对比如图6所示. 由图6可知: 修正后, 靶面光强增大, 光斑尺寸减小, 且光束轮廓接近高斯分布. 这意味着, 采用本文提出的透镜修正焦距Fmod能够补偿大气自聚焦效应和球差效应带来的不利影响, 从而改善靶面光束质量.

      图  6  靶面光强分布, w0 = 1.414 m, β = 5.9275, P = 2000PcrGs  (a) 修正焦距前; (b) 修正焦距后

      Figure 6.  Intensity distributions on the target. w0 = 1.414 m, β = 5.9275, P = 2000PcrGs: (a) For the unmodified focal length case; (b) for the modified focal length case.

    • 本文采用数值模拟方法, 研究了球差对高功率激光上行大气传输光束质量的影响, 研究表明: 在衍射效应和非线性自聚焦效应的共同作用下, 存在一个最佳发射功率Popt使得靶面光强达到最大. 值得指出的是: 与高功率激光上行大气传输不同, 高功率激光下行大气传输时并不存在最佳发射功率. 本文进一步研究表明: 正、负球差对大尺寸与小尺寸的高功率激光靶面光束质量的影响是不同的. 对于大尺寸光束, 随着球差系数kC4增大, 则Popt增大, 且靶面最大光强Imax增大. 对于小尺寸光束, 随着kC4减小, 则Popt减小, 而Imax增大. 大尺寸光束更适合地基激光空间碎片清除, 且还可利用正球差进一步提高靶面光强. 然而, 对于小尺寸光束, 则需利用负球差提高靶面光强. 此外, 基于数值计算结果, 本文还得到了大尺寸光束Popt的拟合公式. 另一方面, 由于衍射、自聚焦和球差均导致焦移, 这会使得靶面光斑变大, 靶面光束质量下降. 当靶面位置固定时, 可采用修正透镜焦距的方法可将实际焦点移至靶面, 从而提高靶面光束质量. 针对大尺寸光束, 本文拟合出了球差高功率激光上行大气传输的束宽公式, 并推导出了修正焦距公式. 本文所得结论具有重要的理论和实际应用意义.

参考文献 (28)

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