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具有吸引作用的活性布朗粒子的团簇行为和自发速度对齐

陈健丽 李佳健 艾保全

陈健丽, 李佳健, 艾保全. 具有吸引作用的活性布朗粒子的团簇行为和自发速度对齐. 物理学报, 2025, 74(6): 060501. doi: 10.7498/aps.74.20241746
引用本文: 陈健丽, 李佳健, 艾保全. 具有吸引作用的活性布朗粒子的团簇行为和自发速度对齐. 物理学报, 2025, 74(6): 060501. doi: 10.7498/aps.74.20241746
CHEN Jianli, LI Jiajian, AI Baoquan. Cluster behavior and spontaneous velocity alignment of active Brownian particles with attractive interactions. Acta Phys. Sin., 2025, 74(6): 060501. doi: 10.7498/aps.74.20241746
Citation: CHEN Jianli, LI Jiajian, AI Baoquan. Cluster behavior and spontaneous velocity alignment of active Brownian particles with attractive interactions. Acta Phys. Sin., 2025, 74(6): 060501. doi: 10.7498/aps.74.20241746

具有吸引作用的活性布朗粒子的团簇行为和自发速度对齐

陈健丽, 李佳健, 艾保全
cstr: 32037.14.aps.74.20241746

Cluster behavior and spontaneous velocity alignment of active Brownian particles with attractive interactions

CHEN Jianli, LI Jiajian, AI Baoquan
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  • 在活性布朗粒子系统中, 速度的自发对齐是可实现的, 但其机制及影响因素尚需进一步研究. 本文主要探讨了具有吸引性相互作用的活性布朗粒子系统中的团簇行为和自发全局速度对齐现象. 吸引性相互作用和自推进作用的耦合导致粒子趋向于与周围粒子速度对齐. 通过数值模拟, 本文发现自推进作用与吸引性相互作用之间的竞争显著影响团簇的形成及其结构, 系统中会出现网状团簇、块状团簇、粒子离散分布或形成不稳定团簇, 并进而影响自发速度对齐程度. 其中, 块状团簇结构最有利于自发速度对齐的实现. 随着自推进作用在竞争中逐渐占优, 中低填充分数系统中速度对齐程度呈现增加-稳定-下降的趋势, 而高填充分数系统则表现为先稳定后下降的趋势. 系统形成单一块状团簇时, 能够实现自发全局速度对齐.
    Spontaneous velocity alignment can occur in active particle systems. As a fundamental inter-particle interaction, the attractive interaction is shown to significantly affect the collective behavior of active particles. However, the mechanisms by which attractive interactions induce and affect velocity alignment are still unclear. To solve this problem, we conduct numerical simulations by using the stochastic Euler method to investigate cluster behavior and spontaneous global velocity alignment in active particle systems with attractive interactions. The local area fraction of particles and its corresponding probability distribution function are computed to capture the system’s cluster behavior. The global velocity alignment order parameter and the polar average parameter are also calculated to characterize the particle velocity directions. Based on whether motion-induced phase separation and crystallization can be achieved, the system is categorized into low, medium, and high packing fraction regimes, and the cluster behavior and velocity alignment within each regime are systematically investigated.Spontaneous velocity alignment results from the coupling of self-propulsion and attractive interactions. During the persistent time, feedback regulation involving particle velocities, relative positions, and interaction forces operates simultaneously among neighboring particles. This process leads to the alignment of particle velocities with those of their neighbors, ultimately achieving large-scale alignment. The closer the particles’ arrangement, the more conducive it is to the coupling of self-propulsion and spatial interactions, thus promoting large-scale spontaneous velocity alignment. The competition between these two effects governs the formation and structure of clusters, ultimately affecting global velocity alignment.At low and medium packing fractions, when the attractive interaction dominates and self-propulsion is negligible, particles attract each other to form discrete banded clusters due to the strong attraction and limited range of interaction. Over time, these clusters connect to form a network-like cluster. Small differences in particle velocity are amplified by the banded structure, hindering velocity alignment. In the systems with low packing fractions, a thin network-like cluster forms, whereas in systems with medium packing fractions, a thicker network-like cluster forms, leading to lower velocity alignment in the former. As self-propulsion becomes more dominant, the network structure loosens, causing the particle bands to break and reconnect until a more stable block-like cluster structure is formed. The system transitions from a network-like cluster to a block-like cluster, with particles becoming closely packed, resulting in global velocity alignment. When self-propulsion dominates and attraction is negligible, particle motion is mainly driven by self-propulsion, resulting in sparse particle distribution or unstable clusters, leading to disordered velocity. Thus, as self-propulsion competes with attractive interactions and becomes dominant, the global velocity alignment increases from low values to a higher plateau and then decreases, approaching zero.At high packing fractions, the initial distribution of particles is dense. Even when the attractive interaction dominates and self-propulsion is negligible, the system forms a block-like cluster, leading to global velocity alignment. As self-propulsion becomes dominant, the instability of the clusters partially hinders spontaneous velocity alignment. Nevertheless, the particles remain densely packed, resulting in local velocity alignment. Thus, as self-propulsion transitions from weak to dominant in competition with attractive interactions, global velocity alignment first plateaus at a higher value, then decreases, but remains above 0.5.It is important to note that the spontaneous velocity alignment discussed here exhibits a finite size effect. In experimental setups and applications involving active particles, smaller systems are usually studied. By modulating the balance between self-propulsion and attractive interactions in these systems, a broader range of spontaneous velocity alignment can be achieved, which may even lead to global velocity alignment.
      PACS:
      05.40.Jc(Brownian motion)
      05.70.Ln(Nonequilibrium and irreversible thermodynamics)
      45.50.-j(Dynamics and kinematics of a particle and a system of particles)
      通信作者: 艾保全, aibq@scnu.edu.cn
    • 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 12075090, 12475036)和广东省自然科学基金(批准号: 2022A1515010449, 2024A1515012575)资助的课题.
      Corresponding author: AI Baoquan, aibq@scnu.edu.cn
    • Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 12075090, 12475036) and the Natural Science Foundation of Guangdong Province, China (Grant Nos. 2022A1515010449, 2024A1515012575).

    Active matter is a kind of non-equilibrium system composed of self-driven individuals, covering a variety of substances from macro to micro scales, such as birds[1], fish schools[2], bacteria[3] and various synthetic particles[4].Active particles or organisms can convert stored chemical energy or environmental energy into kinetic energy through internal physicochemical mechanisms to achieve self-propulsion[5,6], thus having great application potential in the fields of drug transportation, cardiovascular disease treatment and environmental sustainable development[79].Velocity alignment of active particles is one of the current research hotspots. This phenomenon was originally considered to be the result of explicit alignment or some microscopic symmetry breaking, such as the typical Vicsek model[10,11] and dumbbell, rod-like and slender active particle systems[1214].Inertial effects[15], spatial constraints[16], geometric asymmetry of particles[17], or eccentric particles[18] may all produce alignment effects. In addition, particles connected by chains may also produce velocity alignment[19].

    然而, 近年来的研究表明, 在缺乏明确的对齐作用或微观对称性破缺的情况下, 活性粒子可通过某些特定机制实现自发速度对齐[20,21]. 例如, 在具有纯排斥性相互作用的活性布朗粒子模型(active Brownian particle model, ABP模型)中, 已观察到局部自发速度对齐现象[22,23] . 通过将自推进作用定义为一个时滞反馈力, 可以实现自发全局速度对齐[24], 且系统呈现出均匀相. 对于具有吸引性相互作用的ABP模型, 发现了全局速度对齐程度较高的单一团簇[25]. 此外, 吸引性相互作用在集群 生长与老化[26]、活性粒子的相分离与集群运动[27]、被动与活性粒子的分离[28]、手性活性粒子的集群行为[29]等方面的作用也已受到广泛关注与研究. 吸引性相互作用作为一种基本的粒子间相互作用, 已被证明对活性粒子的集体行为具有重要影响. 然而, 吸引相互作用如何诱导和影响速度对齐仍需进一步探讨.

    为了解决这个问题, 本文研究了具有吸引性相互作用的活性布朗粒子系统中的团簇行为和自发速度对齐. 团簇结构对自发速度对齐程度有重要影响, 而研究表明, 自推进作用与吸引性相互作用之间的竞争显著影响了团簇行为. 随着自推进作用在竞争中的主导作用逐渐增强, 中低填充分数下, 系统依次呈现网状团簇、块状团簇、离散分布或不稳定团簇, 速度对齐程度呈现增大-稳定-减小的趋势; 高填充分数下, 系统从块状团簇向不稳定团簇转变, 速度对齐程度先保持不变后减小. 其中, 自发全局速度对齐现象出现在系统形成单一稳定的块状团簇时.

    考虑N个直径为σ的圆形活性布朗粒子在二维周期矩形空间中的运动, 该空间尺寸为L×L. 粒子运动由质心位置ri(xi,yi)和方向ni(cos(φi),sin(φi))描述, 其中φi是粒子的自推进方向和x轴正方向的夹角. 任意两个粒子之间的空间相互作用由截断的Lennard-Jones势来描述:

    U(rij)={4ϵ[(σrij)12(σrij)6],rij (1)

    其中, {r_{ij}}表示第i个与第j个粒子之间的距离, \epsilon 表示相互作用势的势强度. 粒子i受到的空间相互作用力为{{\boldsymbol{F}}_i} = - {\nabla _i}{U_{{\text{tot}}}}, 其中{U_{{\text{tot}}}} = \displaystyle \sum\nolimits_{i < j} U ({r_{ij}}).

    对于平移热波动可忽略[15]的ABP模型, 描述粒子动力学性行为朗之万方程为

    m\frac{{{{\text{d}}^2}{{\boldsymbol{r}}_i}}}{{{\text{d}}{t^2}}} = \gamma {v_0}{{\boldsymbol{n}}_i} - \gamma \frac{{{\text{d}}{{\boldsymbol{r}}_i}}}{{{\text{d}}t}} + {{\boldsymbol{F}}_i}, (2)
    \frac{{{\text{d}}{\varphi _i}}}{{{\text{d}}t}} = \sqrt {2{D_{\text{r}}}} {\xi _i}, (3)

    其中, {v_0}为自推进速度大小, \gamma 为平移斯托克斯阻力系数, {D_{\text{r}}}为旋转扩散系数, {\xi _i}为具有单位方差和零平均值的高斯白噪声, 满足\left\langle {{\xi _i}(t)} \right\rangle = 0\langle {\xi _i}(t){\xi _i}(t')\rangle = \delta (t - t')的关系.

    为了定量描述系统中粒子速度的全局对齐程度, 引入全局速度对齐序参量:

    P = \frac{1}{N}\sqrt {{{\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\cos {\theta _i}} \right)}^2} + {{\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\sin {\theta _i}} \right)}^2}} , (4)

    其中, {\theta _i}为第i个粒子的速度方向与x轴正方向的夹角. 当P = 1时, 表示系统内粒子的速度方向完全对齐; P = 0则表示粒子的速度方向完全无序.

    引入系统的极性平均参量, 说明粒子取向平均方面的信息:

    Q = \frac{1}{N}\sqrt {\left(\sum\limits_{i = 1}^N \cos {\varphi _i}\right)^2 + \left(\sum\limits_{i = 1}^N \sin {\varphi _i}\right)^2 } . (5)

    Q = 1时, 表示系统内粒子取向是一致的, 即其自推进速度方向完全相同; Q = 0则表明粒子取向是完全无序的.

    为了研究系统的团簇行为, 引入了最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}、局域面积分数{\varPhi _{\text{V}}}及其概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}}). 当两个粒子之间的距离{r_{ij}} < 1.2\sigma , 认为它们属于同一团簇. {\lambda _{{\text{max}}}}表示最大团簇的粒子数与总粒子数之比. {\lambda _{{\text{max}}}} = 1表示所有粒子在同一团簇中, 而{\lambda _{{\text{max}}}} \to 0则表示粒子完全离散. 为了进一步探讨团簇的结构, 采用了Voronoi剖分[30], 定义第i个粒子的局域面积分数\varPhi _{\text{V}}^i

    \varPhi _{\text{V}}^i = \frac{{{\text{π}}{\sigma ^2}}}{{4{S_i}}}, (6)

    其中{S_i}为粒子i所在的泰森多边形的面积. \varPhi _{\text{V}}^i越大, 说明粒子i与其他粒子越紧密. P({\varPhi _{\text{V}}}){\text{d}}{\varPhi _{\text{V}}}表示粒子的局域面积分数在{\varPhi _{\text{V}}}{\varPhi _{\text{V}}} + {\text{d}}{\varPhi _{\text{V}}}之间的概率, 并满足归一化条件\displaystyle\int_0^1 {P({\varPhi _{\text{V}}}){\text{d}}{\varPhi _{\text{V}}} = 1} .

    本文分别以\sigma , \varepsilon = {k_{\text{B}}}T{\tau _{\text{B}}} = \gamma {\sigma ^2}/({k_{\text{B}}}T)作为长度、能量和时间单位. 约化吸引性相互作用势强度为 \tilde{\epsilon}=\epsilon\tau^2/(m\sigma^2) , 为了方便表示, 下文将 \tilde{\epsilon} 写作 \epsilon . 采用随机欧拉算法对方程(2)和方程(3)进行数值积分, 积分步长{\text{d}}t = {10^{ - 4}}, 积分总时长{T_{{\text{all}}}} = 5 \times {1}{{0}^3}, 以{\text{d}}t为间隔时间记录粒子的速度, 并设置粒子的初始位置和速度方向随机. 序参量PQ的计算结果进行了200次平均. 考虑m \ll 1以研究过阻尼系统. 由于惯性效应只影响系统的暂态, 而{T_{{\text{all}}}} \gg {\tau _{\text{I}}} = {m {/ } \gamma }, 因此粒子质量对于研究结果几乎没有影响. 无特殊说明时, 其他参数分别为N = 500, m = 0.01, \gamma = 1{D_{\text{r}}} = 1.

    活性布朗粒子系统的自发速度对齐现象的出现被认为是粒子的自推进作用和空间相互作用耦合的结果[22]. 在持续时间\tau = 1/{D_{\text{r}}}内, 自推进速度方向可视为恒定. 对于具有吸引性相互作用的活性粒子系统, 当团簇中的两个粒子相互靠近至{r_{ij}} < 1.12\sigma 时, 粒子间排斥力增大, 导致粒子的相对速度减小; 当两个粒子相互远离时, 由于彼此间的吸引作用和周围其他粒子的排斥作用的制约, 它们不能无限远离且相对速度和相对位置减小. 这样, 相对速度与其相对位置、相互作用力的反馈调节同时发生在所有粒子与其近邻粒子之间, 从而使粒子趋向于与周围粒子速度对齐, 且粒子间距趋近于平衡距离 r_{ij0}=1.12\sigma . 因此, \tau 越大[31]或粒子排布越紧密, 越有利于粒子通过反馈调节实现更大范围的自发速度对齐. 然而, 在团簇外的粒子或未形成稳定团簇的系统中, 粒子几乎无法实现自推进作用与粒子间相互作用的耦合, 此时粒子运动由自推进作用主导.

    粒子间吸引性相互作用使粒子彼此靠近, 形成具有共同速度的局部微小团簇[25]; 而粒子的自推进作用则为粒子提供了挣脱“牢笼”的动能, 从而使粒子倾向于脱离粒子对. 自推进作用和吸引性相互作用的竞争对粒子的运动产生了显著影响. 因此, 定义约化佩克莱特数 Pe^*=Pe/\epsilon , 即自推进作用强度与吸引性相互作用强度的比值, 用以量化这两者的竞争关系. 其中佩克莱特数Pe = {v_0}\tau /\sigma .

    系统的填充分数\phi = N{\text{π}}{\sigma ^2}/(4{L^2})对粒子的集体行为有重要影响. 随着\phi 的增大, 系统有可能出现运动诱导相分离甚至结晶. 以这两种特殊的集体行为能否实现为划分依据, 将系统划分为低填充分数系统(0 < \phi < 0.4)、中填充分数系统(0.4 \leqslant \phi < 0.7)以及高填充分数系统(\phi \geqslant 0.7), 并分别以\phi = 0.1, \phi = 0.4\phi = 0.7的系统作为代表.

    图1(a)(c)分别展示了系统中几种典型的粒子分布, 图1(d)展示了相应的P({\varPhi _{\text{V}}})图像. 图1(a)中稀疏离散分布的粒子几乎没有近邻粒子, 因此{\varPhi _{\text{V}}}较小, 相应的P({\varPhi _{\text{V}}})曲线出现{\varPhi _{\text{V}}} \in \left( {0, 0.2} \right)的宽峰(低{\varPhi _{\text{V}}}峰). 图1(b)展示了有密排布近邻粒子的粒子, 其近邻粒子形成了正六边形结构. 此时粒子在平衡位置附近有微小振动, {r_{ij}} \approx 1.12\sigma , 因此其{\varPhi _{\text{V}}} \approx 0.72, 相应的P({\varPhi _{\text{V}}})曲线出现{\varPhi _{\text{V}}} \in \left( {0.7, 0.75} \right)的高且窄的峰(高{\varPhi _{\text{V}}}峰). 图1(c)展示了有非密排布近邻粒子的粒子, 其{\varPhi _{\text{V}}}值主要取决于由粒子在带状结构中的位置: 拐角内侧粒子{\varPhi _{\text{V}}} \to 0.72; 拐角外侧粒子{\varPhi _{\text{V}}} \to 0; 其余粒子的{\varPhi _{\text{V}}}值则在中间值附近分布. 因此, 由粒子带连接而形成的网状结构的P({\varPhi _{\text{V}}})曲线呈现为在{\varPhi _{\text{V}}} \in (0, 1)的分布较均匀的曲线.

    图 1 (a)稀疏离散分布的粒子; (b)有密排布近邻粒子的粒子; (c)有非密排布近邻粒子的粒子; (d)三种粒子分布下的概率分布函数$P({\varPhi _{\text{V}}})$图像, 其中黄色圆形表示粒子, 浅蓝色线表示粒子所在泰森多边形的边界\r\nFig. 1. (a) Particles in a sparse state; (b) particles with densely packed neighboring particles; (c) particles with non-densely packed neighboring particles; (d) the probability distribution function $P({\varPhi _{\text{V}}})$ under three particle distributions, the yellow circles indicate the particles, while the light blue lines represent the boundaries of Thiessen polygons.
    图 1  (a)稀疏离散分布的粒子; (b)有密排布近邻粒子的粒子; (c)有非密排布近邻粒子的粒子; (d)三种粒子分布下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})图像, 其中黄色圆形表示粒子, 浅蓝色线表示粒子所在泰森多边形的边界
    Fig. 1.  (a) Particles in a sparse state; (b) particles with densely packed neighboring particles; (c) particles with non-densely packed neighboring particles; (d) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) under three particle distributions, the yellow circles indicate the particles, while the light blue lines represent the boundaries of Thiessen polygons.

    图2(a)描述了低填充分数(\phi = 0.1)的系统在不同 \epsilon 下, 最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}P{e^*}的变化. 对于 \epsilon=100 的系统, 随着P{e^*}的增大, {\lambda _{{\text{max}}}}先保持为1, 然后减小并趋近于0; 对于其他3个系统, {\lambda _{{\text{max}}}}随着P{e^*}的增大而由{\lambda _{{\text{max}}}} < 1增至{\lambda _{{\text{max}}}} = 1并保持不变, 然后减小并趋近于0, 且 \epsilon 越小, {\lambda _{{\text{max}}}}(P{e^*} \to 0)越小. 图2(b)描述了当 \epsilon=100 时, 不同P{e^*}下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})图像. 对于 \epsilon=100 的系统, 当P{e^*} \to 0时, {\lambda _{{\text{max}}}} = 1P({\varPhi _{\text{V}}}){\varPhi _{\text{V}}} \in (0, 1)分布均匀, 表明形成了单一的网状团簇, 如图3(a)所示; 当P{e^*} = 0.2P{e^*} = 0.8时, {\lambda _{{\text{max}}}} = 1P({\varPhi _{\text{V}}})曲线呈现单一的高{\varPhi _{\text{V}}}峰, 表明形成了单一的块状团簇, 如图3(b)所示; 当P{e^*}很大时, {\lambda _{{\text{max}}}} \to 0P({\varPhi _{\text{V}}})曲线呈现单一的低{\varPhi _{\text{V}}}峰, 说明粒子稀疏离散分布, 如图3(c)所示. 图2(c)描述了 \epsilon=2 的系统中不同P{e^*}下的P({\varPhi _{\text{V}}})图像. \epsilon=2 \epsilon=100 的系统的不同在于: \epsilon=2 的系统中, 当P{e^*} \to 0时, {\lambda _{{\text{max}}}} \to 0P({\varPhi _{\text{V}}})曲线分别在{\varPhi _{\text{V}}} \in (0, 0.2){\varPhi _{\text{V}}} \in (0.5, 0.8)存在宽峰, 其快照如图3(d); 当P{e^*} = 0.2时, {\lambda _{{\text{max}}}} \approx 0.2P({\varPhi _{\text{V}}})曲线在{\varPhi _{\text{V}}} \in (0, 1)分布均匀, 其快照如图3(e). 图4对这种差异进行了讨论.

    图 2 低填充分数($\phi = 0.1$)系统中, (a)不同$ \epsilon $下, 最大团簇分数${\lambda _{{\text{max}}}}$与约化佩克莱特数$P{e^*}$的关系; (b), (c) $ \epsilon=100 $和$ \epsilon=2 $的系统中, 不同$P{e^*}$下的概率分布函数$P({\varPhi _{\text{V}}})$\r\nFig. 2. In a low packing fraction system ($\phi = 0.1$), (a) the maximum cluster fraction ${\lambda _{{\text{max}}}}$ as a function of the reduced Peclet number $P{e^*}$ for different $ \epsilon $; (b), (c) the probability distribution function $P({\varPhi _{\text{V}}})$ for different $P{e^*}$ when $ \epsilon=100 $ and $ \epsilon=2 $, respectively.
    图 2  低填充分数(\phi = 0.1)系统中, (a)不同 \epsilon 下, 最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}与约化佩克莱特数P{e^*}的关系; (b), (c) \epsilon=100 \epsilon=2 的系统中, 不同P{e^*}下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})
    Fig. 2.  In a low packing fraction system (\phi = 0.1), (a) the maximum cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}} as a function of the reduced Peclet number P{e^*} for different \epsilon ; (b), (c) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) for different P{e^*} when \epsilon=100 and \epsilon=2 , respectively.
    图 3 低填充分数系统($\phi = 0.1$)的快照 (a)网状团簇结构, $P{e^*} = 0.02$, $ \epsilon=100 $; (b)块状团簇结构, $P{e^*} = 0.8$, $ \epsilon=100 $; (c)—(e)离散结构, 其中(c) $P{e^*} = 3.0$, $ \epsilon=100 $; (d) $P{e^*} = 0.02$, $ \epsilon=2 $; (e) $P{e^*} = 0.2$, $ \epsilon=2 $; 线条意义同图1\r\nFig. 3. Snapshots of systems with a low packing fraction ($\phi = 0.1$): (a) The network-like cluster structure, where $P{e^*} = 0.2$ and $ \epsilon=100 $; (b) the block-like cluster structure, where $P{e^*} = 0.8$ and $ \epsilon=100 $; (c)−(e) the discrete structure, where (c) $P{e^*} = 3.0$ and $ \epsilon=100 $; (d) $P{e^*} = 0.02$ and $ \epsilon=2 $; (e) $P{e^*} = 0.2$ and $ \epsilon=2 $. The line types are the same as those in Fig. 1.
    图 3  低填充分数系统(\phi = 0.1)的快照 (a)网状团簇结构, P{e^*} = 0.02, \epsilon=100 ; (b)块状团簇结构, P{e^*} = 0.8, \epsilon=100 ; (c)—(e)离散结构, 其中(c) P{e^*} = 3.0, \epsilon=100 ; (d) P{e^*} = 0.02, \epsilon=2 ; (e) P{e^*} = 0.2, \epsilon=2 ; 线条意义同图1
    Fig. 3.  Snapshots of systems with a low packing fraction (\phi = 0.1): (a) The network-like cluster structure, where P{e^*} = 0.2 and \epsilon=100 ; (b) the block-like cluster structure, where P{e^*} = 0.8 and \epsilon=100 ; (c)−(e) the discrete structure, where (c) P{e^*} = 3.0 and \epsilon=100 ; (d) P{e^*} = 0.02 and \epsilon=2 ; (e) P{e^*} = 0.2 and \epsilon=2 . The line types are the same as those in Fig. 1.
    图 4 (a)最大团簇分数${\lambda _{{\text{max}}}}$随时间的变化; (b)不同时间下的概率分布函数$P({\varPhi _{\text{V}}})$; 其他参数分别为$\phi = 0.1$, $ \epsilon=2 $和$P{e^*} = 0.02$\r\nFig. 4. (a) Time evolution of the largest cluster fraction ${\lambda _{{\text{max}}}}$; (b) the probability distribution function $P({\varPhi _{\text{V}}})$ at different $t$. The other parameters are $\phi = 0.1$, $ \epsilon=2 $ and $P{e^*} = 0.02$, respectively.
    图 4  (a)最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}随时间的变化; (b)不同时间下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}}); 其他参数分别为\phi = 0.1, \epsilon=2 P{e^*} = 0.02
    Fig. 4.  (a) Time evolution of the largest cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}}; (b) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) at different t. The other parameters are \phi = 0.1, \epsilon=2 and P{e^*} = 0.02, respectively.

    图4展示了当 \epsilon=2 P{e^*} = 0.02时, 最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}和概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})随时间变化的情况. 随着时间的增加, {\lambda _{{\text{max}}}}呈阶梯状增大且P({\varPhi _{\text{V}}})曲线中的两个峰间的峰谷逐渐变浅. 这表明经过足够的长时间后, 将趋向于实现{\lambda _{{\text{max}}}}=1且P({\varPhi _{\text{V}}}){\varPhi _{\text{V}}} \in \left( {0, 1} \right)均匀分布, 即系统将形成网状团簇结构. 这是因为当 \epsilon=2 P{e^*} = 0.02时, 自推进速度{v_0} = 0.04, 系统内粒子运动缓慢且方向随机, 需要很长的时间才能够相遇并形成大团簇. 因此, 当时间足够长时, 图2(b)将趋向于与图2(c)一致, 即不同 \epsilon 的系统都将随着P{e^*}的增大而呈现由网状团簇到块状团簇的转变, 并最终趋向于形成离散态.

    图5描述了全局速度对齐序参量P和极性平均参量Q随约化佩克莱特数P{e^*}的变化. 随着P{e^*}值的增大, Q值始终保持Q \to 0, 表明其粒子取向是无序的; P值则呈现出增大-几乎不变-减小的趋势. 当P{e^*} \to 0时, 系统形成了网状团簇, 粒子与相邻粒子的速度的微小偏差由于带状结构而被放大, 从而使P < 0.5, 如图6(a)所示. 随着P{e^*}的增大, 系统由网状团簇结构向块状团簇结构转变, 粒子排布更紧密, 更容易通过反馈调节机制实现速度对齐, 因此P值随之增大至 P\to0.8 , 出现了较高程度的全局速度对齐, 如图6(b)所示. P{e^*} = 3.0时, 粒子分布稀疏离散, 其运动由自推进作用主导, 因此P \to 0, 如图6(c)所示.

    图 5 全局速度对齐序参量$P$和极性平均参量$Q$随$P{e^*}$的变化, 其他参数分别为$ \phi=0.1 $和$ \epsilon=100 $\r\nFig. 5. Variation of the global velocity alignment order $P$ and the polarity averaged order parameter $Q$ with $P{e^*}$. The other parameters are $ \phi=0.1 $ and $ \epsilon=100 $
    图 5  全局速度对齐序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化, 其他参数分别为 \phi=0.1 \epsilon=100
    Fig. 5.  Variation of the global velocity alignment order P and the polarity averaged order parameter Q with P{e^*}. The other parameters are \phi=0.1 and \epsilon=100
    图 6 粒子的位置及速度的典型快照 (a) $P{e^*} = 0.02$; (b) $P{e^*} = 0.8$; (c) $P{e^*} = 3.0$; 其他参数分别为$\phi = 0.1$和$ \epsilon=100 $, 其中, 粒子颜色表示其速度方向与x轴正方形的夹角, 黑色箭头标注了粒子的速度大小和方向\r\nFig. 6. Typical snapshots of the position and velocity of particles: (a) $P{e^*} = 0.02$; (b) $P{e^*} = 0.8$; (c) $P{e^*} = 3.0$. The other parameters are $\phi = 0.1$ and $ \epsilon=100 $. The color of the particles represents the angle between their velocity direction and the positive x-axis, with black arrows indicating the magnitude and direction of each particle’s velocity.
    图 6  粒子的位置及速度的典型快照 (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0; 其他参数分别为\phi = 0.1 \epsilon=100 , 其中, 粒子颜色表示其速度方向与x轴正方形的夹角, 黑色箭头标注了粒子的速度大小和方向
    Fig. 6.  Typical snapshots of the position and velocity of particles: (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0. The other parameters are \phi = 0.1 and \epsilon=100 . The color of the particles represents the angle between their velocity direction and the positive x-axis, with black arrows indicating the magnitude and direction of each particle’s velocity.

    图7(a)描述了中填充分数(\phi = 0.4)的系统的最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}随约化佩克莱特数P{e^*}的变化. 随着P{e^*}的增大, {\lambda _{{\text{max}}}}先保持为1, 然后减小且{\lambda _{{\text{max}}}} > 0.8. 图7(a)还描述了序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化. 随着P{e^*}值的增大, Q值始终保持Q \to 0, P值则呈现出增大-几乎不变-减小的趋势. 图7(b)展示了在不同P{e^*}值下的P({\varPhi _{\text{V}}})图像. 当P{e^*} \to 0时, {\lambda _{{\text{max}}}} = 1, P({\varPhi _{\text{V}}})曲线中出现一个{\varPhi _{\text{V}}} \in (0.6, 0.8)的宽峰且峰值横坐标{\varPhi _{\text{V}}} > 0.72, 表明出现了网状结构且有较多粒子密排布, 即形成了粗网状结构. 因此, 0.5 < P < 0.8, 呈现局部速度对齐, 如图8(a). 当P{e^*} = 0.8时, {\lambda _{{\text{max}}}} = 1P({\varPhi _{\text{V}}})曲线呈现单一的高{\varPhi _{\text{V}}}峰, 表明形成了单一块状团簇. 因此P \to 0.9, 出现了全局速度对齐, 如图8(b). 当P{e^*} = 3.0时, 即使0.8 < {\lambda _{{\text{max}}}} < 1表明了系统中存在大团簇, 但P({\varPhi _{\text{V}}})曲线出现一个{\varPhi _{\text{V}}} \in (0.6, 0.8)的宽峰且峰值横坐标{\varPhi _{\text{V}}} < 0.72, 表明所形成的团簇中粒子并没有位于平衡位置, 而是更疏松的. 这揭示了系统内由于运动诱导相分离形成了不稳定团簇, 自发速度对齐被团簇的不稳定性破坏, 因此P \to 0, 如图8(c).

    图 7 (a) 最大团簇分数${\lambda _{{\text{max}}}}$、全局速度对齐序参量$P$和极性平均参量$Q$随$P{e^*}$的变化; (b) 不同$P{e^*}$下的概率分布函数$P({\varPhi _{\text{V}}})$; 其他参数分别为$\phi = 0.4$和$ \epsilon=100 $\r\nFig. 7. (a) Variation of the largest cluster fraction ${\lambda _{{\text{max}}}}$, the global velocity alignment order $P$ and the polarity averaged order parameter $Q$ with $P{e^*}$; (b) the probability distribution function $P({\varPhi _{\text{V}}})$ for different $P{e^*}$. The other parameters are $\phi = 0.4$ and $ \epsilon=100 $.
    图 7  (a) 最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}、全局速度对齐序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化; (b) 不同P{e^*}下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}}); 其他参数分别为\phi = 0.4 \epsilon=100
    Fig. 7.  (a) Variation of the largest cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}}, the global velocity alignment order P and the polarity averaged order parameter Q with P{e^*}; (b) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) for different P{e^*}. The other parameters are \phi = 0.4 and \epsilon=100 .
    图 8 粒子的位置及速度的典型快照 (a) $P{e^*} = 0.02$; (b) $P{e^*} = 0.8$; (c) $P{e^*} = 3.0$; 其他参数分别为$\phi = 0.4$和$ \epsilon=100 $, 其中, 粒子的颜色表示其速度方向与x轴正方形的夹角, 黑色箭头标注了每个粒子的速度大小和方向, 浅蓝色线表示粒子所在泰森多边形的边界\r\nFig. 8. Typical snapshots of the position and velocity of particles: (a) $P{e^*} = 0.02$; (b) $P{e^*} = 0.8$; (c) $P{e^*} = 3.0$. The other parameters are $\phi = 0.4$ and $ \epsilon=100 $. The color of the particles indicates the angle between their velocity and the positive x-axis, with black arrows showing the magnitude and direction of particles’ velocity, and light blue lines representing the boundaries of the Thiessen polygons.
    图 8  粒子的位置及速度的典型快照 (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0; 其他参数分别为\phi = 0.4 \epsilon=100 , 其中, 粒子的颜色表示其速度方向与x轴正方形的夹角, 黑色箭头标注了每个粒子的速度大小和方向, 浅蓝色线表示粒子所在泰森多边形的边界
    Fig. 8.  Typical snapshots of the position and velocity of particles: (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0. The other parameters are \phi = 0.4 and \epsilon=100 . The color of the particles indicates the angle between their velocity and the positive x-axis, with black arrows showing the magnitude and direction of particles’ velocity, and light blue lines representing the boundaries of the Thiessen polygons.

    图9(a)描述了高填充分数(\phi = 0.7)的系统的最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}、序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化. 随着P{e^*}的增大, 从{\lambda _{{\text{max}}}} = 1变为{\lambda _{{\text{max}}}} \to 1, Q值始终保持Q \to 0, P值则先在P = 0.9附近几乎不变, 然后减小但保持P > 0.7. 图9(b)展示了在不同P{e^*}值下的P({\varPhi _{\text{V}}})图像. 当P{e^*} \to 0P{e^*} = 0.8时, {\lambda _{{\text{max}}}} = 1P({\varPhi _{\text{V}}})曲线呈现单一的高{\varPhi _{\text{V}}}峰, 表明形成了块状团簇. 因此, 当P{e^*} \leqslant 1.6时, P值几乎不变且 P \gtrsim 0.9 , 出现了全局速度对齐. 当P{e^*} = 3.0时, {\lambda _{{\text{max}}}} \to 1, P({\varPhi _{\text{V}}})曲线呈现{\varPhi _V} \in (0.6, 0.8)的宽峰且峰值横坐标{\varPhi _{\text{V}}} > 0.72, 表明系统中形成不稳定团簇, 但大部分粒子由于高\phi 值而能够维持在平衡位置附近, 形成不稳定的块状团簇. 因此, 即使团簇的不稳定性阻碍了粒子的自发速度对齐, 但粒子之间的距离始终较小, 仍能保持自推进与空间相互作用的较强的耦合, 所以P值的下降幅度较小.

    图 9 (a)最大团簇分数${\lambda _{{\text{max}}}}$、全局速度对齐序参量$P$和极性平均参量$Q$随$P{e^*}$的变化; (b)不同$P{e^*}$下, 概率分布函数$P({\varPhi _{\text{V}}})$的图像; 其他参数分别为$\phi = 0.7$和$ \epsilon=100 $\r\nFig. 9. (a) Variation of the largest cluster fraction ${\lambda _{{\text{max}}}}$, the global velocity alignment order $P$ and the polarity averaged order parameter $Q$ with $P{e^*}$; (b) the probability distribution function $P({\varPhi _{\text{V}}})$ for different $P{e^*}$. The other parameters are $\phi = 0.7$ and $ \epsilon=100 $.
    图 9  (a)最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}、全局速度对齐序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化; (b)不同P{e^*}下, 概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})的图像; 其他参数分别为\phi = 0.7 \epsilon=100
    Fig. 9.  (a) Variation of the largest cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}}, the global velocity alignment order P and the polarity averaged order parameter Q with P{e^*}; (b) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) for different P{e^*}. The other parameters are \phi = 0.7 and \epsilon=100 .

    值得注意的是, 本文结果存在有限尺寸效应, 可以用持续长度{l_{\text{p}}} = {v_0}\tau 和系统尺寸L来衡量. 当{l_{\text{p}}} \gg L时, 系统内趋向于形成全局速度对齐; 当{l_{\text{p}}} \sim L时, 形成局域速度对齐, 且全局速度对齐程度较高; 当{l_{\text{p}}} \ll L时, 则呈现无序态. 然而, 在实验和应用中, 通常研究较小尺寸的系统, 因此有望通过调整参数来实现全局速度对齐. 此外, 本研究还忽略了平动热噪声的影响, 因为平动热噪声增加了粒子运动的随机性, 会扰乱粒子的自发速度对齐. 当平动热噪声很大以至于在粒子运动中占据主导地位时, 系统将呈现速度无序态.

    实际上, 自推进作用与吸引作用在速度对齐效应上同时存在竞争和协同效应. 粒子排布越密集越有利于速度对齐效应的实现. 当吸引性作用趋近于无限大以至于自推进作用可以忽略时, 粒子分布由系统初始状态决定: 当初始粒子分布离散且稀疏时, 由于吸引性作用很强且作用范围有限, 粒子就近相互吸引形成离散的小团簇, 并经过足够长时间后就近连接形成网状结构, 因此全局速度对齐程度趋向于0; 当粒子分布密集时, 离散的小团簇能够结合形成大团簇甚至形成单一块状团簇, 因此全局速度对齐程度相对较高. 当吸引性作用很弱以至于可以忽略时, 粒子的运动由自推进作用主导, 因此全局速度对齐程度也趋向于0. 但当两者的强度相当时, 网状结构由于自推进作用而松动, 导致粒子带断裂并重新连接, 或粒子带转向, 直至形成更稳定的块状团簇结构. 此时大部分粒子有密排布的近邻粒子, 有利于全局速度对齐的实现.

    本文探讨了具有吸引性相互作用的活性布朗粒子系统的团簇行为和自发速度对齐. 粒子排布越紧密, 越有利于粒子与周围粒子实现自推进作用和空间相互作用的耦合, 从而促进大范围的自发速度对齐. 这两种作用的竞争决定了系统的团簇形成及其结构, 进而影响了全局速度对齐程度. 在中低填充分数下, 当吸引性相互作用占主导、自推进作用可忽略时, 由于粒子初始位置随机, 系统形成了网状团簇结构, 粒子速度的微小差异被带状结构放大, 阻碍了速度对齐. 其中, 低填充分数系统形成细网状团簇, 中填充分数系统形成粗网状团簇, 因此前者的速度对齐程度更低. 随着自推进作用逐渐占优, 系统由网状团簇转变为块状团簇, 粒子密排布, 导致全局速度对齐. 当自推进作用占主导、吸引作用可忽略时, 粒子稀疏分布或形成不稳定团簇, 导致系统速度无序. 在高填充分数下, 粒子初始分布密集, 即使吸引性作用占主导、自推进作用可忽略, 系统也能够形成块状团簇而导致全局速度对齐. 当自推进作用占主导时, 尽管团簇的不稳定性在一定程度上阻碍了自发速度对齐, 但粒子依然呈密排布, 导致了局部速度对齐. 因此, 通过调节P{e^*}值, 可以促使系统形成单一稳定的块状团簇, 导致自发全局速度对齐的实现.

    与以往的研究不同, 由吸引性相互作用和自推进作用的耦合而导致的粒子速度对齐机制是一种隐式的对齐效应, 即没有对齐作用力的各向同性的粒子也能够实现自发速度对齐. 并且对比与其他新颖的隐式对齐效应, 具有吸引力的ABP系统中形成的团簇更加单一稳定. 因此, 该工作能够促进人们理解具有吸引性相互作用的活性布朗粒子系统的自发速度对齐现象, 并为研究动物群体运动[32]、细胞迁移[33]等缺乏显式速度对齐相互作用的集群行为提供了新视角. 研究结果还可为活性胶体的设计提供参考, 推动对活性粒子定向运动的深入研究.

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  • 图 1  (a)稀疏离散分布的粒子; (b)有密排布近邻粒子的粒子; (c)有非密排布近邻粒子的粒子; (d)三种粒子分布下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})图像, 其中黄色圆形表示粒子, 浅蓝色线表示粒子所在泰森多边形的边界

    Fig. 1.  (a) Particles in a sparse state; (b) particles with densely packed neighboring particles; (c) particles with non-densely packed neighboring particles; (d) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) under three particle distributions, the yellow circles indicate the particles, while the light blue lines represent the boundaries of Thiessen polygons.

    图 2  低填充分数(\phi = 0.1)系统中, (a)不同 \epsilon 下, 最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}与约化佩克莱特数P{e^*}的关系; (b), (c) \epsilon=100 \epsilon=2 的系统中, 不同P{e^*}下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})

    Fig. 2.  In a low packing fraction system (\phi = 0.1), (a) the maximum cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}} as a function of the reduced Peclet number P{e^*} for different \epsilon ; (b), (c) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) for different P{e^*} when \epsilon=100 and \epsilon=2 , respectively.

    图 3  低填充分数系统(\phi = 0.1)的快照 (a)网状团簇结构, P{e^*} = 0.02, \epsilon=100 ; (b)块状团簇结构, P{e^*} = 0.8, \epsilon=100 ; (c)—(e)离散结构, 其中(c) P{e^*} = 3.0, \epsilon=100 ; (d) P{e^*} = 0.02, \epsilon=2 ; (e) P{e^*} = 0.2, \epsilon=2 ; 线条意义同图1

    Fig. 3.  Snapshots of systems with a low packing fraction (\phi = 0.1): (a) The network-like cluster structure, where P{e^*} = 0.2 and \epsilon=100 ; (b) the block-like cluster structure, where P{e^*} = 0.8 and \epsilon=100 ; (c)−(e) the discrete structure, where (c) P{e^*} = 3.0 and \epsilon=100 ; (d) P{e^*} = 0.02 and \epsilon=2 ; (e) P{e^*} = 0.2 and \epsilon=2 . The line types are the same as those in Fig. 1.

    图 4  (a)最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}随时间的变化; (b)不同时间下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}}); 其他参数分别为\phi = 0.1, \epsilon=2 P{e^*} = 0.02

    Fig. 4.  (a) Time evolution of the largest cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}}; (b) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) at different t. The other parameters are \phi = 0.1, \epsilon=2 and P{e^*} = 0.02, respectively.

    图 5  全局速度对齐序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化, 其他参数分别为 \phi=0.1 \epsilon=100

    Fig. 5.  Variation of the global velocity alignment order P and the polarity averaged order parameter Q with P{e^*}. The other parameters are \phi=0.1 and \epsilon=100

    图 6  粒子的位置及速度的典型快照 (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0; 其他参数分别为\phi = 0.1 \epsilon=100 , 其中, 粒子颜色表示其速度方向与x轴正方形的夹角, 黑色箭头标注了粒子的速度大小和方向

    Fig. 6.  Typical snapshots of the position and velocity of particles: (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0. The other parameters are \phi = 0.1 and \epsilon=100 . The color of the particles represents the angle between their velocity direction and the positive x-axis, with black arrows indicating the magnitude and direction of each particle’s velocity.

    图 7  (a) 最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}、全局速度对齐序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化; (b) 不同P{e^*}下的概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}}); 其他参数分别为\phi = 0.4 \epsilon=100

    Fig. 7.  (a) Variation of the largest cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}}, the global velocity alignment order P and the polarity averaged order parameter Q with P{e^*}; (b) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) for different P{e^*}. The other parameters are \phi = 0.4 and \epsilon=100 .

    图 8  粒子的位置及速度的典型快照 (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0; 其他参数分别为\phi = 0.4 \epsilon=100 , 其中, 粒子的颜色表示其速度方向与x轴正方形的夹角, 黑色箭头标注了每个粒子的速度大小和方向, 浅蓝色线表示粒子所在泰森多边形的边界

    Fig. 8.  Typical snapshots of the position and velocity of particles: (a) P{e^*} = 0.02; (b) P{e^*} = 0.8; (c) P{e^*} = 3.0. The other parameters are \phi = 0.4 and \epsilon=100 . The color of the particles indicates the angle between their velocity and the positive x-axis, with black arrows showing the magnitude and direction of particles’ velocity, and light blue lines representing the boundaries of the Thiessen polygons.

    图 9  (a)最大团簇分数{\lambda _{{\text{max}}}}、全局速度对齐序参量P和极性平均参量QP{e^*}的变化; (b)不同P{e^*}下, 概率分布函数P({\varPhi _{\text{V}}})的图像; 其他参数分别为\phi = 0.7 \epsilon=100

    Fig. 9.  (a) Variation of the largest cluster fraction {\lambda _{{\text{max}}}}, the global velocity alignment order P and the polarity averaged order parameter Q with P{e^*}; (b) the probability distribution function P({\varPhi _{\text{V}}}) for different P{e^*}. The other parameters are \phi = 0.7 and \epsilon=100 .

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出版历程
  • 收稿日期:  2024-12-19
  • 修回日期:  2025-01-09
  • 上网日期:  2025-01-24
  • 刊出日期:  2025-03-20

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