量子非局域关联最早由Einstein-Podolsky-Rosen(EPR)佯谬^[1]引入, 揭示了量子理论与经典局域实在论之间的矛盾. 由于量子非局域关联是量子理论最基本的特性之一, 其也成为了量子信息学发展的关键基础^[2]. 近年来, 量子非局域性关联在量子通信^[3]、量子计算^[4]和量子密码学^[5]等中均发挥了重要的应用价值.

1964年, Bell^[6]提出了著名的Bell不等式, 可用于对量子非局域关联进行检验. 而对于两比特量子纠缠态, 利用Clauser等^[7]提出的Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式, 可更加方便地进行量子非局域关联的实验检验研究. 在CHSH不等式检验方案中, 经典局域论预言CHSH不等式的检验上限为${S_{{\text{c}}\text-\max }} = 2$, 而量子理论可以使该上限值进一步达到${S_{{\text{q}} \text- \max }} = 2\sqrt 2$. 因此, 在量子非局域关联的检验研究中, 只需要通过判断CHSH不等式检验值$S \gt 2$是否成立, 即可证明量子非局域关联的存在.

然而, 量子非局域关联在量子信息领域的实际应用中, 由于量子态不可避免地将与环境(如开放量子系统)相互作用, 进而导致量子态发生退相干现象, 这将导致虽然实验制备出的量子态具有量子非局域关联特性, 但与环境发生相互作用后, 其量子非局域关联特性将会消失, 甚至还会出现所谓的“纠缠突然死亡”的现象^[8]. 因此, 研究量子态在开放量子系统中随时间演化后, 是否还存在量子非局域关联特性, 具有一定的必要性. 通常, 量子态在开放量子系统演化时, 有两种典型的演化环境模型, 即相位阻尼环境和振幅阻尼环境. 例如, 相位阻尼环境可以用来描述量子态通过波导时的随机散射过程, 而振幅阻尼环境可以描述自发辐射过程中量子态的动力学演化过程^[9].

2007年, Yu等^[10]提出了一种典型的量子态, 即“X”态(其密度矩阵可写为如(1)式所示的“X”形状), 并研究了该量子态在开放量子系统中并发度(concurrence)$C$随保真度$F$和时间t的变化情况:

其中$a + b + c + d = 1$, $\left| z \right| \leqslant \sqrt {bc} $, $\left| w \right| \leqslant \sqrt {ad} $. 值得说明的是, 由于“X”态的并发度可写为

因此, 当且仅当$bc \lt {\left| w \right|^2}$或$ad \lt {\left| z \right|^2}$时, (1)式才为一量子纠缠态. 实际上, “X”态具有两方面的特点^[11]: 首先, 它可以在各种物理环境中产生, 且在常见的开放量子系统中演化后, 仍能保持为“X”型, 这为更方便地研究其纠缠和量子非局域关联特性提供了保障; 其次, 其包含了若干重要类型的量子态类别, 如最大纠缠态、部分纠缠态和Werner态等, 都属于“X”态的范畴.

目前, “X”态作为一个重要的量子资源, 其在开放量子系统动力学的研究仍然是量子理论中的研究热点之一. 例如, 2022年, Guo等^[12]研究了一类两比特“X”态的相干和混合的几何图像, 并展示了在相干与混合之间相协调的新的图像和结构. Kelleher等^[13]指出了“X”态的一些性质, 如纠缠性与二阶辛极空间的一类特殊的超几何平面有关. Namitha等^[14]利用“X”态研究了初始的相干对具有偶极相互作用的一个公共真空库中空间分离的两个量子比特系统的纠缠动力学影响. Zhao等^[15]研究了量子相干性和量子纠缠在Bell对角态这种“X”态中的关系, 并进一步提出相干性和纠缠之间的关系. 2021年, 我们课题组^[16]提出了一种基于CHSH不等式几何解释的“X”态量子非局域关联检验方案, 这对任意“X”态的量子非局域关联检验研究提供了理论基础. 虽然胡强等^[17]也利用Hardy-type佯谬对振幅阻尼信道、相位阻尼信道和退极化信道等三种类型的退相干传输信道中的量子态进行了量子非局域关联检验研究, 但是, 到目前为止, 关于“X”态在开放量子系统中, 特别是在Markov环境这种典型环境中, 基于CHSH不等式的量子非局域性的研究还尚未有报道.

基于此, 本文首先给出两种由局部变换关系所关联的“X”态的密度矩阵, 结合Kraus算符, 阐述了在Markov环境中, “X”态通过相位阻尼和振幅阻尼环境时, 密度矩阵随时间和保真度的演化情况. 最后, 基于CHSH不等式, 对两种类型“X”态经过相位阻尼和振幅阻尼环境演化后的量子非局域关联特性进行了检验研究, 最终给出了这两种“X”态在上述两种环境中演化后, 成功地进行量子非局域关联的条件和范围.

考虑如图1所示的一个由腔A和腔B组成的量子系统, 其中每个系统中均存在一个二能级原子. 腔中原子与腔之间存在相互作用, 且这两个腔中的原子之间存在一定的纠缠特性. 此时, 可将总的系统(腔A和腔B组成的整体)看作一个封闭的系统, 它们不与系统外的环境相互作用. 在该情况下, 由该系统组成的量子态的密度矩阵, 可由(1)式进行描述, 其为一典型的“X”态, 且其反对角线一般为实数^[18].

图  1  量子系统示意图, 其中腔A和腔B中各有一个二能级原子, 且其存在纠缠特性

Figure 1.  Schematic diagram of quantum system. Cavity A and cavity B have one two-level atom entanglement down respectively.

如(1)式所示的“X”态, 在Markov环境下随时间演化时, 不失一般性地, 演化后的密度矩阵可写为

式中, 各参数仍然满足如(1)式所述的要求.

在给定密度矩阵的情形下, 根据基于CHSH不等式的量子非局域关联检验方案^[7,16,19], 只需计算该量子态的关联矩阵$K = ({k_{mn}})$(m, n = 1, 2, 3), 即可进行量子非局域关联的检验研究. 其中关联矩阵元$ {k_{mn}} = {\text{tr}}({\rho _X}(t) \cdot {\sigma _m} \otimes {\sigma _n}) $表示关联矩阵中处于第m行、第n列的矩阵元, ${\sigma _{m, n}}$表示泡利算符. 具体而言, 将(3)式所示的密度矩阵, 代入到关联矩阵K的表达式中, 即可得到关联矩阵的具体表达式:

如假设x和y分别表示(4)式中3个对角元绝对值的最大和次大值, 则进行量子非局域关联检验时, CHSH不等式的最大值可写为^[19]

此时, 如${S_{\text{m}}} \gt 2$能够被满足, 即可证明该量子态可成功进行量子非局域检验.

在明确了上述基于CHSH不等式进行的量子非局域关联检验的方案后, 此时即需要得出“X”态在Markov环境下, 密度矩阵随时间的动力学演化结果. 实际上, 图1所示的A和B组成的总系统的哈密顿量可写为${H_{{\text{tot}}}} = {H_{{\text{at}}}} + {H_{{\text{cav}}}} + {H_{{\rm int} }}$, 其中${H_{{\text{at}}}}$表示A和B系统中原子的哈密顿量$H_{{\text{at}}}^{\text{A}}$与$H_{{\text{at}}}^{\text{B}}$之和, ${H_{{\text{cav}}}}$表示腔A和腔B中环境的哈密顿量$H_{{\text{cav}}}^{\text{A}}$与$H_{{\text{cav}}}^{\text{B}}$之和, ${H_{{\rm int} }}$表示每个系统中原子与各自所处环境的相互作用哈密顿量$H_{{\rm int} }^{\text{A}}$与$H_{{\rm int} }^{\text{B}}$之和^[20]. 二能级原子与腔环境的相互作用后, 将导致“X”态的纠缠特性逐渐出现解纠缠现象, 并且不同类型的腔环境对量子态的纠缠特性影响不同. 本文主要考虑Markov环境下, “X”态在振幅阻尼和相位阻尼这两种典型环境演化后, 进行的量子非局域关联检验情况.

将(3)式所示的“X”态和这个封闭系统的总哈密顿量${H_{{\text{tot}}}}$代入Liouville-Von Neumann方程${\text{d}}{{\boldsymbol{\rho}} _X}(t)/ {\text{d}}t = - {\rm{i}}[{H_{{\text{tot}}}}, {{\boldsymbol{\rho}} _X}(t)]$中, 再利用旋波近似和Born-Markov近似, 以及Kraus算符^[9]进行方程求解, 即可得到在Markov环境下, “X”态密度矩阵随时间的演化结果:

其中Kraus算符$ {Z_\mu }(t) $满足$\displaystyle \sum\nolimits_\mu {Z_\mu ^\dagger (t){Z_\mu }(t)} = 1$.

在相位阻尼环境下, 每个子系统的Kraus算符可分别用

进行表示^[21], 其中$\gamma (t) = {{\rm{e}}^{ - \varGamma t/2}}$, $ \omega (t) = \sqrt {1 - {\gamma ^2}(t)} $($\varGamma $表示阻尼率). 将上述Kraus算符表达式代入(6)式, 则可得到量子态在相位阻尼环境演化后, 密度矩阵随时间的演化结果为

同理, 在振幅阻尼环境下, 每个子系统的Kraus算符又可分别用${{\boldsymbol{M}}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&{\gamma (t)} \end{array}} \right)$, ${{\boldsymbol{M}}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\omega (t)} \\ 0&0 \end{array}} \right)$进行表示^[22]. 将Kraus算符代入(6)式中, 即可得到量子态在振幅阻尼环境中, 密度矩阵随时间的演化结果:

在得到如(7)式、(8)式所示的量子态经过Markov环境演化后的密度矩阵后, 即可计算得到如(4)式所示的关联矩阵的具体表达式, 结合基于CHSH不等式的检验方案, 进而可进行“X”态的量子非局域关联检验研究.

实际上, “X”态包含了若干类别的纠缠态, 本文主要研究对象为较为常见的Werner态和将它进行局部变换操作得到的量子态. 由文献[10]可知, 常见的Werner态, 以及其进行局部变换操作后量子态的密度矩阵可分别写为

其中$\left| {{\psi ^ - }} \right\rangle = (\left| {01} \right\rangle - \left| {10} \right\rangle )/\sqrt 2 $为一Bell态, 用局部变换算符$U = {\rm{i}}\sigma _x^{\text{A}} \otimes I_2^{\text{B}}$作用于$\left| {{\psi ^ - }} \right\rangle $后, 即可得到另一个Bell态$\left| {{\phi ^ - }} \right\rangle = (\left| {00} \right\rangle - \left| {11} \right\rangle )/\sqrt 2 $, 其中, ${{\boldsymbol{I}}_n}$表示一$n \times n{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (n = 4, 2)$的单位矩阵, F($ 1/4 \leqslant F \leqslant 1 $)为保真度, 其表征了“X”态和纠缠纯态的相似程度, 当$F \to 1$时, ${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$和${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$趋于一量子纯态.

由并发度的计算表达式(如(2)式所示)和(9)式的具体表达式可知, 这两种“X”态的并发度可均表示为${C_{{{\boldsymbol{\rho}} _{\text{W}}}}} = {C_{{{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\rm{W}}}}} = \max \{ 0, 2 F - 1\}$, 即该两种类型的“X”态在未经Markov环境演化时, 局部变换操作并不改变它们的并发度.

下面, 首先研究“X”态在相位阻尼环境下的量子非局域关联检验情况. 将(9a)式和(9b)式分别代入到(7)式中, 可分别得到“X”态随时间演化后的密度矩阵为

此时, 将(10)式代入到(4)式, 即可进一步计算得到进行量子非局域关联检验时的关联矩阵元${k_{mn}}$值为

从(11)式中可以看出, 两种类型“X”态的关联矩阵对角元的绝对值$|{k_{mm}}|$相等, 且$|{k_{33}}| \gt |{k_{22}}| = |{k_{11}}|$, 因此该两种类型“X”态具有相同的量子非局域关联检验结果, 即

为了更清晰地描述(12)式的量子非局域关联检验结果, 图2给出了$S_{{\text{m}} \text- {\rho _{\text{W}}}}^{{\text{ph}}}$($S_{{\text{m}} \text- {{\tilde \rho }_{\text{W}}}}^{{\text{ph}}}$)随保真度F和演化时间$ \varGamma t $的变化关系曲线.

图  2  相位阻尼环境中, $S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _W}}^{{\text{ph}}}$和$S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_W}}^{{\text{ph}}}$随演化时间$\varGamma t$和保真度F的变化关系图

Figure 2.  $S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _W}}^{{\text{ph}}}$ and $S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_W}}^{{\text{ph}}}$ versus evolution time $\varGamma t$ and fidelity F in a phase damping environment.

从图2可以看出, 在初始时刻(即$t = 0$时), 当保真度$F \gt 0.78$时, 该两种“X”态均可成功进行量子非局域关联检验(即$S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}}^{{\text{ph}}} = S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\rm{W}}}}^{{\text{ph}}} \gt 2$). 而当$F = 1$ 时, 尽管两种“X”态的$S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}}^{{\text{ph}}} = S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\rm{W}}}}^{{\text{ph}}} \gt 2$恒成立(可成功进行量子非局域关联检验), 但随着演化时间的增加, 这两种类型“X”态的$S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}}^{{\text{ph}}} (S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\rm{W}}}}^{{\text{ph}}})$值将非线性地减小. 但不论如何, 保真度越大, 则这两种“X”态在相位阻尼环境中, 可成功进行量子非局域关联性检验的演化时间越长. 同时也表明了对密度矩阵${\rho _{\rm{W}}}$进行局部变换操作得到${\tilde \rho _{\rm{W}}}$后, 实际上并不影响“X”态在相位阻尼环境中进行量子非局域关联检验的能力.

将(9)式分别代入(8)式, 用上述同样的方法, 可得到两种类型“X”态的密度矩阵${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$和${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$在振幅阻尼环境下随时间变化的密度矩阵:

将(13)式分别代入(4)式中, 即可得到在振幅阻尼环境中, 两种“X”态进行量子非局域关联检验时的关联矩阵分别为

从(14)式的关联矩阵可以看出, 在任一保真度F值的情况下, 矩阵对角元$|{k_{mm}}|$值的最大和次大值, 将依赖于演化时间$ \varGamma t $, 因此无法写出进行量子非局域关联检验时$S_{{\text{m-}} {{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}}^{{\text{am}}}$和$S_{{\text{m-}} {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\rm{W}}}}^{{\text{am}}}$的通用表达式. 但不论如何, 在某一保真度下, 随着演化时间的不同, 通过将(14)式中对角元$\left| {{k_{mm}}} \right|$的值进行降序排列, 然后结合(5)式, 即可得到在振幅阻尼环境的演化中, “X”态进行量子非局域关联检验的结果, 如图3所示.

图  3  振幅阻尼环境中, $S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _W}}^{{\text{am}}}$($S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\text{W}}}}^{{\text{am}}}$)随保真度F和演化时间$ \varGamma t $的变化关系图　(a), (b) 保真度在$ 0.25 \leqslant F \leqslant 1 $变化时的情况; (c), (d) $ F = 0.78 $和$ F = 1.00 $时的情况

Figure 3.  $S_{{\text{m}} \text- {{\boldsymbol{\rho}} _W}}^{{\text{am}}}$($S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_W}}^{{\text{am}}}$) versus evolution time $ \varGamma t $ in amplitude damping environment: (a), (b) The situation when the fidelity changes in $ 0.25 \leqslant F \leqslant 1 $ respectively; (c), (d) the situation when $ F = 0.78 $ and $ F = 1.00 $ respectively.

从图3中可以看出, 在振幅阻尼环境下, 当保真度$F \leqslant 0.78$时, 不论演化时间为多少, 两种“X”态均不能成功进行量子非局域关联检验(即${S_{\text{m}}} \lt 2$). 当$F \gt 0.78$时, 在初始时刻(即$t = 0$), 两种“X”态的均可成功进行量子非局域关联检验(即${S_{\text{m}}} \gt 2$), 且保真度越大, ${S_{\text{m}}}$越大. 但是, 随着演化时间的增加, 尽管两种“X”态进行量子非局域关联检验时, 可获得的最大值$S_{{\text{m-}} {{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}}^{{\text{am}}}$和$S_{{\text{m}} \text- {{\tilde {\boldsymbol{\rho}} }_{\rm{W}}}}^{{\text{am}}}$均将呈现先减小后增加的现象, 但是, 两种“X”态的演化关系曲线不同. 特别地, 当保真度$F = 1$时, 对于密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 演化时间$\varGamma t \gt 0.22$后, 则会得到${S_{\text{m}}} \lt 2$的量子非局域关联检验结果, 即此时该“X”态将不能进行量子非局域关联检验. 而对于密度矩阵为${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 演化时间$\varGamma t \gt 0.26$后, 才得到${S_{\text{m}}} \lt 2$的检验结果, 这表明了在振幅阻尼环境下, 密度矩阵为${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 进行量子非局域关联检验能够保持更长的时间.

为了更清楚地显示“X”态在相位阻尼和振幅阻尼环境下, 能够成功进行量子非局域关联检验的范围情况, 图4给出了经局部变化操作后的两种“X”态, 能够成功进行量子非局域关联检验时的最小保真度${F_{\min }}$与演化时间$\varGamma t$的变化关系曲线.

图  4  ${F_{\min }}$与时间$\varGamma t$的变化关系图. 其中蓝色点划线表示密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _W}$的“X”态在振幅阻尼信道下的演化曲线; 红色虚线表示密度矩阵为${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _W}$的“X”态在振幅阻尼信道下的演化曲线; 黑色实线表示两“X”态在相位阻尼信道下的演化曲线

Figure 4.  ${F_{\min }}$ versus time $\varGamma t$. The blue dotted line represents the evolution curve of the “X” state with the density matrix ${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$ under the amplitude damping channel; the red dotted line represents the evolution curve of the “X” state with density matrix ${\tilde{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$ under the amplitude damping channel; the black solid line represents the evolution curve of two “X” states in a phase damped channel.

从图4中可以清晰地看出, 在相同的演化时间下, 使用密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$和${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态进行量子非局域关联检验时, 在相位阻尼环境中所需的最小保真度远小于在振幅阻尼环境中所需的保真度. 这也表明了在相位阻尼环境中, 可成功进行量子非局域关联检验的保真度范围将更大. 同时, 从图4中还可以看出, 在振幅阻尼环境以及相同的演化时间下, 密度矩阵为${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态成功进行量子非局域关联检验的保真度范围大于密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 这也表明了对“X”态的密度矩阵进行局部变换操作, 有助于提高成功进行量子非局域关联检验研究的量子态保真度范围. 特别地, 对于密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 能够成功进行量子非局域关联检验的演化时间为$\varGamma t = 0.22$, 而对于密度矩阵为${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 该演化时间可达到$\varGamma t = 0.26$.

本文研究了两种由局部变换操作所联系的“X”态在Markov环境(相位阻尼和振幅阻尼环境)中随时间演化后, 基于CHSH不等式进行的量子非局域关联检验情况. 结果表明, 两种类型“X”态在相位阻尼环境演化中, 具有相同的量子非局域关联检验结果. 随着演化时间的增加, 两种“X”态的量子非局域关联检验最大值${S_m}$都将非线性减小, 且仅当$F = 1$时(“X”态约化为量子纯态), 两者才能始终成功进行量子非局域关联检验的研究(即${S_m} \gt 2$). 当保真度$0.78 \lt F \lt 1$时, 两种“X”态随着演化时间的增加, 进行量子非局域关联检验时的最大值将由${S_m} \gt 2$逐步过渡到${S_m} \lt 2$, 进而不能成功进行量子非局域关联检验的研究.

两种“X”态在振幅阻尼环境中随时间演化后, 基于CHSH不等式的量子非局域关联检验将具有不同的结果. 研究表明, 当$F \gt 0.78$时, 随着演化时间的增加, 经过局部变换操作后的“X”态, 较操作之前的“X”态量子非局域关联检验结果降低更加缓慢. 特别地, 当$F = 1$时, 密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态在演化时间$\varGamma t \gt 0.22$后, 将不能成功进行量子非局域关联检验. 而对于密度矩阵为${\tilde {\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态, 其在演化时间$\varGamma t \gt 0.26$后, 才不能进行量子非局域关联检验. 这表明经过局部变换操作之后, 更有利于“X”态进行基于CHSH不等式的量子非局域关联检验.

最后, 给出了两种“X”态在相位阻尼环境和振幅阻尼环境下能够进行量子非局域关联时所满足的最小保真度${F_{\min }}$随演化时间$\varGamma t$的变化关系. 研究结果表明, 在能够成功进行量子非局域关联检验的前提下, 两类型“X”态在相位阻尼环境中演化, 可采用的保真度范围较大. 同时, 在相同的演化时间下, 密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} _{\rm{W}}}$的“X”态在经过局部变换操作后有助于提高其在振幅阻尼环境中的量子非局域关联检验的保真度范围.

实际上, 本文的研究结果对基于“X”态在Markov环境演化后进行的量子非局域关联实验检验具有一定的指导意义. 首先, 从本文的研究结果可以看出, “X”态随时间演化后, 保真度对成功进行量子非局域关联检验具有重要的影响. 例如, 当初始时刻$F \lt 0.78$时, 两种“X”态在振幅阻尼和相位阻尼环境中演化后, 均不能成功地进行量子非局域关联检验研究. 其次, 本文的研究结果表明, 尽管在相位阻尼环境演化后, 两种“X”态进行量子非局域关联检验时, 可得到相同的实验检验结果, 但相比振幅阻尼环境, 两种“X”态在相位阻尼环境演化时, 更利于成功进行量子非局关联的实验检验研究. 并且, 在振幅阻尼环境演化后, 经过局部变换操作之后的“X”态, 更有利于量子非局域关联检验的实验检验.

本文的研究结果, 为理论和实验研究“X”态在Markov环境下随时间演化的量子非局域关联检验提供了思路. 相信本文的研究, 可为后续基于其他开放量子系统环境, 甚至基于非Markov环境的量子态量子非局域关联检验研究提供参考.