1.   引　言

阳极层离子源^[1]多用于气体电离, 可产生高密度离子束流, 用于实现离子束辅助沉积、基片清洗和离子注入^[2]等功能. 离子源放电结构的几何特性, 包括阴阳极的大小、形状、相对位置等, 直接决定放电状态和等离子体的输出特性^[3]. 然而, 基于试错原理的实验方法很难建立离子源多种结构与放电特性的系统规律, 等离子体仿真技术便成为研究其放电特性, 并对其结构进行设计与优化的主要手段.

目前, 等离子体仿真领域使用的基础模型主要有流体模型^[4]、等离子体整体模型^[5]和粒子网格/蒙特卡罗(particle in cell/Monte Carlo collision, PIC/MC)模型^[6]等. 其中, 流体模型通过求解连续性方程、泊松方程、反应方程和扩散方程组成的偏微分方程组^[7]来计算等离子体密度分布, 然而阳极层离子源的阴阳极轮廓围成的求解域为复杂的凹多边形, 致使流体模型中的偏微分方程组的计算极难收敛^[8]. 相比而言, 等离子体整体模型根据放电区域内等离子体各组分的反应细节构建常微分方程组, 进而求解各组分的密度变化^[5], 收敛性得到大幅提高^[9]. 然而, 整体模型的计算依赖于放电区域的体积、表面积和在阴极上的投影面积进行^[10], 而阴阳极复杂的多边形轮廓使模型难以对上述关键参数进行估算, 致使仿真精度大幅降低. PIC/MC模型^[6]采用跟踪大量电子和离子运动过程的推演算法^[5], 能够进一步提高模型的收敛性, 并避免参数缺失^[11], 在阳极层离子源的仿真上取得较好的效果^[12]. 但PIC/MC模型是对离子源进行整体建模, 对复杂求解域的适应性依旧非常有限, 主要体现在以下两个方面: 首先, PIC/MC模型本身会耗费巨大的计算资源^[5,11,13,14], 从初始状态到稳定放电需要较长的仿真时间, 因此无法快速对离子源结构变化做出响应, 计算效率极低; 其次, 离子源求解域的复杂边界与带电粒子的相互作用会使得外界噪声增大^[15], 不仅影响模型稳定性, 导致仿真结果失真, 还会进一步增大模型的计算量, 降低计算效率. 故在利用PIC/MC模型研究阳极层离子源等离子体特性的工作中^[16,17], 放电结构的几何参数始终局限于单一变量, 且其可调区间被大幅压缩^[3], 导致仿真结果的适用范围较小, 参考价值不高.

鉴于此, 本文首先利用磁镜原理将离子源的结构几何参数(大小、形状和相对位置)简化为磁镜参数(磁镜比和磁镜中心磁感应强度), 研究了磁镜特性对等离子体特性的影响规律. 并在此基础上, 提出面向复杂求解域的高效PIC/MC模型, 通过求解优化阴极结构下的电子密度分布, 进而进行等离子体放电计算, 加快了模型的收敛过程, 有效提高了模型的计算效率和稳定性. 利用该模型系统研究了阳极层离子源放电结构的几何特性对其等离子体特性的影响规律, 获得了高强度放电与阴极表面刻蚀的平衡条件.

2.   仿真模型的构建

2.1   磁镜模型

根据阳极层离子源的工作原理^[18], 内外阴极为导磁材料并分别与磁铁的NS极联通, 因此无论内外阴极结构的几何特征(形状、大小和相对位置)如何, 穿过内外阴极表面的总磁通量大小始终相等, 且方向始终相反^[19]. 因此, 阳极层离子源内外阴极间的磁场等效于一个磁镜结构^[20], 该结构实现了对等离子体的约束. 为此, 将阳极层离子源的内外阴极近似抽象成两个相同的磁铁相互吸引的简易磁镜模型, 如图1所示. 以两磁铁的对称中心点Q(0, 0)为原点建立平面直角坐标系, 并将点Q定义为磁镜中心, 显然在分析线α上点Q的磁感应强度最小, 而在对称轴β上点Q的磁感应强度最大. 根据矢量场原理^[21], 磁镜特征可通过磁镜中心点Q的磁感应强度B₀ (T)以及磁镜比R_m进行描述, 其中B₀表征磁镜的强度, 而R_m = B_m/B₀表征磁镜的分布形状. 显然, 磁镜特征完全由两磁铁磁极的磁感应强度B_m (T)和几何参数(大小、形状、相对位置)决定. 因此, 在磁铁强度固定的条件下, 磁镜特征等价于内外阴极结构的几何特征, 这就为仿真研究提供了一个变量简化的机会, 即用B₀和R_m两个磁镜特征变量代替复杂的内外阴极结构的几何特征(大小、形状、相对位置).

背景磁场模型通过Comsol Multiphysics 6.1有限元分析软件进行求解. 将磁场求解域设置为边长为1 m的正方形区域, 如图1淡蓝色区域所示, 并假设磁场在求解域内部满足磁通量守恒的条件. 由于等离子体自感磁场远小于永磁体磁场^[22,23], 因此背景磁场可视为完全由永磁体提供, 故满足静磁场Maxwell方程组:

$$\left\{\begin{aligned} &{{\boldsymbol{B}}}={\mu }_{0}{\mu }_{{\rm{r}}}{{\boldsymbol{H}}}\text{, }\\ &\nabla \times {{\boldsymbol{H}}}=0\text{, }\\ &\nabla \cdot {{\boldsymbol{B}}}=0\text{, }\end{aligned}\right.$$

(1)

其中, B (T)为磁感应强度, H (A/m)为磁场强度, μ₀ = 4π×10^–7 N/A²为真空磁导率, μ_r为相对磁导率, 由材料自身性质决定. 本工作中, 设置非导磁材料的相对磁导率为1, 软磁性导磁材料相对磁导率为4000.

2.2   检验电子蒙特卡罗(MC)模型

由于等离子体整体呈电中性^[24], 其电子密度分布即可表征整体等离子体空间密度分布^[25]. 因此, 在不考虑外加电场作用的条件下, 本文采用2d3v检验电子MC方法^[26]仿真电子在磁镜中的运动过程, 用以分析磁镜对等离子体的约束作用, 模型求解域的边长为900 mm, 如图1粉色区域所示. 求解域边界处的磁感应强度介于10^–3—10^–4 mT之间, 对应的电子回旋半径约为5.7—57.0 m, 远大于求解域的尺度, 因此可忽略求解域外磁场对电子的约束作用. 模型采用Matlab 2021a软件编辑实现, 仿真总时长为5 μs, 时间步长∆t = 1×10^–11 s. 检验电子由磁极边界连续释放, 每隔1×10^–9 s释放500个, 设定平均电子温度T_e = 3 eV^[27], 满足Maxwell分布:

$$f\left( v \right) = 4{\text{π}}{{\nu}^2}\sqrt {{{\left( {\dfrac{m}{{2{\text{π}}kT}}} \right)}^3}} {\exp\bigg({ - \dfrac{{m{{\nu}^2}}}{{2kT}}}}\bigg),$$

(2)

其中f为概率密度, ν (m/s)为电子速率, 电子质量m_e = 9.1×10^–31 kg, e = 1.6×10^–19 C为单位电荷量. 检验电子MC模型假设等离子体整体为电中性, 且不考虑外加电场, 因此可忽略等离子体自洽电势的影响, 即忽略电场力的作用, 只考虑电子在磁场力作用下的运动. 故电子的位移r (m)和速度v (m/s)满足:

$$\left\{\begin{aligned}&{{e}}\dfrac{{\rm{d}}{\boldsymbol{v}}}{{\rm{d}}t}=e\times {\boldsymbol{v}}(t)\times {\boldsymbol{B}}({\boldsymbol{r}})\text{, } \\ &\dfrac{{\rm{d}}{\boldsymbol{r}}}{{\rm{d}}t}={\boldsymbol{v}}(t)\text{, } \end{aligned}\right.$$

(3)

式中, B(r)为电子所处位置的磁感应强度. 当检验电子运动至求解域边界或磁铁边界时即直接消失.

检验电子在运动过程中会与背景Ar原子发生弹性碰撞和电离碰撞, 见表1^[28]. 每一个时间步长Δt内的碰撞概率表达式为

$$P = 1 - {\exp}\left[ { - {N_0}\sigma \left( \varepsilon \right){\nu}\Delta t} \right]\text{, }$$

(4)

其中, ε (eV)为带电粒子能量, σ (m²)为带电粒子的碰撞截面, 由ε决定^[29]; N₀ (m^–3)为背景Ar原子的数密度. 模型中设定气压p = 0.5 Pa, 背景温度T = 300 K, 则背景Ar原子数密度可由理想气体状态方程求出:

$${N_0} = \frac{{p{N_{\text{A}}}}}{{RT}} \text{, }$$

(5)

其中, R = 8.314 J/(mol·K)为摩尔气体常数, N_A = 6.02×10²³ mol^–1为阿伏伽德罗常数.

根据MC方法^[6], 通过生成一个随机数R_coll∈[0, 1], 弹性碰撞概率P_{e_el}及电离碰撞概率P_{e_ion}比较来判断碰撞是否发生及相应的碰撞类型.

1) 若R_coll∈[0, P_{e_el}), 则发生弹性碰撞. 此时电子无能量损失, 在碰撞前后其总速度大小保持不变、方向随机, 表达式为

$$\left\{\begin{aligned}&{v}_{x}={\nu}{\rm{sin}}\left({R}_{\theta \text{1}}\right){\rm{cos}}\left({R}_{\theta \text{2}}\right)\text{, }\\ &{v}_{y}={\nu}{\rm{sin}}\left({R}_{\theta \text{1}}\right){\rm{sin}}\left({R}_{\theta 2}\right)\text{, }\\ &{v}_{z}={\nu}{\rm{cos}}\left({R}_{\theta 1}\right)\text{, }\end{aligned}\right.$$

(6)

其中, R_θ1∈[0, π)和R_θ2∈[0, 2π)为球坐标方向角随机数.

2) 若R_coll∈[P_{e_el}, P_{e_el} + P_{e_ion}), 则发生电离碰撞. 此时, 原电子碰撞前的能量一部分用于实现电离(即与Ar原子电离阈值E_iz = 15.76 eV抵消), 剩余部分平分给新电子和原电子, 其能量为

$${\varepsilon _{{\text{new}}}} = {\varepsilon _{{\text{initial\_after}}}} = ({\varepsilon _{{\text{initial}}\_{\text{before}}}} - {E_{{\text{iz}}}})/2 ,$$

(7)

其中, ${\varepsilon _{{\text{initial}}\_{\text{before}}}}$(eV)和${\varepsilon _{{\text{initial}}\_{\text{after}}}}$(eV)分别为电子碰撞前和电子碰撞后的能量, $E_{\text {new }}$(eV)为生成新电子的能量.

3) 若R_coll∈[P_{e_el} + P_{e_ion}, 1], 则电子不发生碰撞.

2.3   检验离子MC模型

基于检验电子MC模型的计算结果建立了检验离子MC模型, 用于计算磁镜对输出束流与溅射强度的影响, 其求解域的边长为80 mm, 如图1灰色区域所示. 求解域边界处磁感应强度小于0.5 mT, 对应的Ar⁺离子回旋半径大于0.82 m, 远大于求解域尺度, 因此可忽略求解域外磁场对离子的约束作用. 由于等离子体整体呈电中性, 离子密度分布与电子密度分布基本相同, 因此初始时刻检验Ar⁺离子根据检验电子的数密度分布生成, 初始平均速度取为玻姆速度^[30], 即

$${u_{{\text{A}}{{\text{r}}^{\text{ + }}},{\text{ Bohm}}}} = \sqrt { {{e{T_{\text{e}}}}}/{{{m_{{\text{A}}{{\text{r}}^{\text{ + }}}}}}}} \text{, }$$

(8)

其中${m_{{\text{A}}{{\text{r}}^ + }}}$= 6.63×10^–26 kg为Ar⁺离子质量, 可计算得出${u_{{\text{A}}{{\text{r}}^{\text{ + }}}, {\text{ Bohm}}}}$= 2.69×10³ m/s. 模型的仿真总时长为100 μs, 时间步长∆t = 1×10^–10 s. 当检验Ar⁺离子运动至求解域边界或磁铁边界时即直接消失. 根据阳极层离子源的工作原理, 运动至求解域上边界的离子形成输出束流(本文定义为输出离子), 而运动到磁铁边界的离子相当于轰击阴极发生溅射(本文定义为溅射离子).

在检验Ar⁺离子运动过程中, 有一定概率与背景Ar原子发生弹性碰撞和电荷交换, 见表2^[28]. 一般原子和离子之间的碰撞可视为硬球碰撞, 同时可忽略离子半径与原子半径的差异^[31], 因此Ar⁺和Ar的碰撞截面${\sigma _{{\text{A}}{{\text{r}}^ + } \text- {\text{Ar}}}}$为^[32]

$${\sigma _{{\text{A}}{{\text{r}}^ + } \text{-} {\text{Ar}}}} = {\text{π}}{\left( {{a_{{\text{A}}{{\text{r}}^ + }}} + {a_{{\text{Ar}}}}} \right)^2} = 4{\text{π}}{a_{{\text{Ar}}}^2} ,$$

(9)

其中, $a_{\rm{{Ar}}}$=1.88 Å (1 Å = 10^–10 m).

通过生成随机数R_coll∈[0, 1]判定其发生的碰撞类型.

1) 若R_coll∈[0, P_{i_el}), 则发生弹性碰撞, P_{i_el}表示弹性碰撞的概率. 检验离子无能量损失, 即速度大小不变, 速度方向由球坐标方向角随机数决定.

2) 若R_coll∈[P_{i_el}, P_{i_el}+P_{i_ex}), 则发生电荷交换, P_{i_ex}表示电荷交换的概率. 原检验离子变成原子, 并根据背景气体温度重新生成一个新的检验离子, 方向由球坐标方向角随机数决定.

3) 若R_coll∈[P_{i_el}+P_{i_ex} , 1], 则不发生碰撞.

2.4   面向复杂求解域的高效PIC/MC模型

阳极层离子源的阴阳极均为复杂的凸多边形, 因此由阴阳极轮廓围成的放电求解域则为复杂的凹多边形, 如图2浅绿色的区域所示. 基于此, 在磁镜仿真的基础上, 建立了面向复杂求解域的高效PIC/MC模型, 来模拟阳极层离子源的放电过程.

在磁场确定的条件下, 进一步建立PIC/MC模型来实现等离子体放电仿真, 并以阳极与外阴极的垂直间距h_ac (mm)和阳极与内阴极的水平间距d_ac (mm)作为变量来控制电场, 如图2所示. PIC/MC模型以检验电子MC方法求出的电子密度作为初始等离子体密度, 带电粒子的速度服从麦克斯韦分布, 每个宏粒子代表1×10⁶个实际粒子^[33]. 在仿真过程中, 设定离子源阴极接地, 阳极电压为1000 V, 背景气体为Ar气, 温度为300 K, 气压为0.5 Pa. 利用有限元方法^[6], 将求解域划分成尺寸为1 mm×1 mm的正方形网格. 由于电子质量远小于Ar⁺质量, 因此电子加速度远大于Ar⁺, 为跟踪二者的速度变化过程, 模型设定电子步长Δt_e = 1×10^–12 s, 离子步长Δt_i = 10Δt_e = 1×10^–11 s. 每经过一个离子步长, 利用泊松方程求解一次等离子体的电势^[34]:

$${\nabla ^2}{{\varPhi }} = - \dfrac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} \text{, }$$

(10)

其中, ρ (C/m³)为净电荷密度, Φ (V)为空间电势, ε₀ = 8.81×10^–12 F/m为真空介电常数. PIC/MC模型仿真完整的Ar气放电过程, 具体反应见表3^[28].

模型中包含3类边界条件, 分别为对称边界, 阴极边界以及开放边界(包括阳极边界): 当仿真粒子运动至对称边界时发生反弹; 当仿真粒子运动至开放边界时直接消失; 当仿真粒子运动至阴极边界时, 电子直接消失, 离子发生溅射. 在离子源放电过程中, 由于溅射离子占比较小, 且二次电子发射系数低于0.1^[35], 因此可忽略溅射时二次电子的释放.

3.   磁镜及其作用仿真

3.1   磁镜比R_m

对阳极层离子源来说, 其内外阴极之间需要合适的磁场强度和磁场域, 才能实现高强度放电的同时保证一定的输出束流. 经调研, 其内外阴极中心磁感应强度一般控制在25—40 mT^[36,37]. 为了增加检验电子聚集的速度, 需要选择区间内较高的磁感应强度, 因此选择固定磁镜中心点Q的磁感应强度B₀ = 36 mT, 并通过改变磁极间距d_mag获得不同的磁镜比, 进而研究磁镜比对等离子体的作用. 在不同磁极间距d_mag条件下, 线α上的磁感应强度大小见图3, 随着d_mag从10 mm增大到30 mm, 维持B₀ = 36 mT所需的磁极强度B_m由52 mT增大到138 mT. 根据磁镜比公式R_m = B_m/B₀, 磁镜比R_m相应地从1.44增大到3.83. 计算不同磁镜比R_m对应的磁镜区域磁感应强度和磁感线分布, 如图4(a)所示, 可见磁感线在磁极处最密集, 在对称轴β上最稀疏, 呈现出x方向的纺锤形分布, 说明其磁感应强度在磁极处最强, 在对称轴β上最弱.

以图4(a)为背景场, 利用检验电子MC模型计算检验电子数密度分布, 如图4(b)所示, 电子被束缚在磁镜的中央, 在对称轴β上密度最大, 向两侧逐渐降低. 为表征磁镜比对电子的约束作用, 将对称轴β上的两对称点P₁(0, 9 mm)和P₂(0, –9 mm)处的磁感线用红线标记(图4(a)). 当R_m = 1.44时, 红色磁感线的曲率较大, 表明磁镜中x方向磁场的作用较弱, 同时y方向磁场的作用较为明显. 此时, 电子产生后容易从y方向溢出, 并沿y方向形成较大的浓度梯度, 而在x方向分布最窄, 仅在β轴附近形成电子聚集区, 检验电子数密度≥1×10⁹ m^–3的区域(红色)面积占比仅有1.12%, 检验电子数密度≥1×10⁸ m^–3的区域(蓝色)呈现近似矩形的分布, 面积占比仅为17.75%. 随着磁镜比的增大, 点P₁和P₂的红色磁感线曲率逐渐减小, 表明磁镜中x方向的磁场作用增强, 同时y方向的磁场作用减弱, 电子从上下边界溢出受到抑制, 更多电子在两磁极之间振荡, 使得放电强度增强. 当R_m = 2.50时, 放电强度和放电面积均达到最大, 电子聚集区沿y方向呈现纺锤形, 蓝色电子聚集区面积占比提高至42.16%, 红色电子聚集区显著拓宽, 面积占比达到2.35%. 当R_m超过2.50并继续增大时, y方向的磁场作用进一步减弱使电子分布范围扩大, 大量电子打在磁极上而损失, 因此高密度电子聚集区逐渐减小, 放电强度逐渐减弱.

对检验电子和检验离子MC模型的计算结果进行统计, 得到不同磁镜比下电子和离子的输运特征参数, 如图5所示. 随着R_m的上升, x方向磁场对电子的束缚能力逐渐增强, 电子逃逸率(黑线)从86.2%(R_m = 1.44)单调下降至31.9%(R_m = 3.83). 在R_m超过2.50后, 电子逃逸率的下降速度减慢, 并基本保持恒定, 表明磁场对电子的约束作用达到饱和. 检验电子数密度峰值(蓝线)随磁镜比的增加先上升后下降, 在R_m = 2.50时达到最大值(5.7×10⁹ m^–3). 输出离子束流密度(绿线)在R_m = 1.94时达到峰值(2.2×10⁷ m^–1), 并随R_m的继续增大而逐渐减小. 当R_m = 2.50时, 尽管等离子体密度更高, 但是磁场约束作用的大幅增强导致更多离子无法输出, 因此输出离子束流密度降低; 而当R_m > 2.50时, 磁场约束作用基本饱和, 但等离子体放电强度的减弱, 使得检验离子的基本数量减少, 故输出离子束流密度进一步下降. 由于内外阴极自身的负电位, 部分离子会被吸引到其表面沉积或对内外阴极表面原子进行溅射, 由于沉积部分较少, 故统一称为溅射离子. 输出离子数与溅射离子数的比值(红线)随R_m的增大呈现出线性上升的趋势, 表明离子溅射减少, 阴极刻蚀逐渐减弱, 这样可以大幅度降低内外阴极材料溅射对输出粒子束流的污染. 可以看出, 将磁镜比R_m控制在2.50, 能够获得较高的输出束流密度, 同时减弱阴极刻蚀强度.

3.2   磁镜中心磁感应强度B₀

固定磁镜比R_m = 2.50, 研究磁镜中心点Q的磁感应强度B₀对等离子体的作用. 磁感应强度B₀可通过不同磁极磁感应强度B_m获得, 如图6线α上的磁感应强度所示, 随着B_m从50 mT增大到130 mT, B₀相应地从20 mT增大到52 mT. 进而计算不同B₀对应的磁镜区域磁感应强度和磁感线分布, 如图7(a)所示, 在相同磁镜比R_m下, 对称轴β上两对称点P₁和P₂的磁感线(红色)的曲率几乎不变, 表明磁镜中磁场对x和y方向的约束作用相对不变. 以图7(a)的磁场为背景场, 利用检验电子MC模型计算得出的电子数密度分布如图7(b)所示. 当B₀ = 20 mT时, 求解域内x和y方向的磁场均非常弱, 对电子难以形成有效的束缚, 导致大量电子从求解域上下边缘溢出或直接打在磁极边界, 此时检验电子数密度≥1×10⁸ m^–3的区域(蓝色)占比仅为15.35%, 其中几乎不存在检验电子数密度≥1×10⁹ m^–3的区域(红色, 仅占0.01%). 随着B₀的增大, 求解域内x方向和y方向的磁场同时增大, 一方面有效抑制了电子从上下边界的溢出, 另一方面促使电子能够在两磁极之间形成振荡, 大幅增强放电强度. 当B₀ = 36 mT时, 电子聚集区被压缩成纺锤形分布, 蓝色面积占比增加到42.16%, 红色区域大幅拓宽, 面积占比增加到2.35%. 由于电子回旋半径与磁感应强度成反比, 故磁感应强度越大, 电子回旋半径越小. 当B₀继续增大时, x方向和y方向的磁场对电子束缚作用进一步加强, 电子进一步向中央聚集, 当B₀ = 52 mT时, 蓝色电子聚集区域的面积占比达到44.31%, 其中红色区域面积占比增加到4.12%.

对检验电子和离子MC模型的计算结果进行统计, 得到不同Q点磁感应强度B₀时, 电子和离子的输运特征参数, 如图8所示. 随着B₀的上升, 电子逃逸率(黑线)从73.7% (B₀ = 20 mT)单调下降至33.3%(B₀ = 52 mT), 表明磁场对电子的束缚能力逐渐增强. 电子逃逸率在B₀ = 36 mT时已达到34.7%, 并在B₀超过36 mT后基本保持恒定, 表明磁场约束作用在此时达到饱和. 检验电子数密度峰值(蓝线)随B₀的增加而单调递增, 因此输出离子束流密度(绿线)也随之逐渐增大, 并在B₀ = 44 mT时达到峰值(2.4×10⁷ m^–1). 当B₀ = 52 mT时, 尽管等离子体密度更高(7.6×10⁹ m^–3), 但由于磁场约束作用过强, 能够输出的离子数量受到抑制. 输出离子数/阴极溅射离子数(红线)随B₀的增大呈现出线性下降的趋势, 表明在中央聚集的离子向内外阴极运动使其表面溅射加剧, 阴极刻蚀逐渐增强. 可以看出, 将Q点磁感应强度B₀控制在36 mT, 可获得较高的输出束流密度, 同时避免内外阴极的过度刻蚀.

4.   等离子体放电仿真

4.1   复杂求解域的PIC/MC仿真

根据磁镜特性的仿真结果可知, 获得最佳等离子体特性所需的磁镜特征为R_m = 2.50且B₀ = 36 mT, 能够在保证较高输出束流密度的同时削弱阴极刻蚀强度. 为实现该特征的磁镜, 选取离子源磁铁的磁极强度为200 mT, 对内外阴极的结构参数进行大范围的调控, 获得磁场特征如图9(a)所示, 其中磁镜中心点Q位于(31.8 mm, 54.7 mm), 磁感应强度B₀ 达到35.6 mT, 同时磁镜比R_m达到2.48, 与最优磁镜特性几乎完全符合. 在此基础上, 利用检验电子MC模型求出电子密度分布如图9(b)所示. 可见, 电子聚集在磁镜的中央, 形成了高密度电子聚集区(峰值数密度超过1×10⁹ m^–3), 表明磁镜对电子形成了有效的束缚, 初步形成了高强度放电区域; 而在其他区域, 检验电子的数密度极低. 因此, 磁镜及其作用仿真将复杂的求解域划分为放电区域和其他区域, 使得电子快速聚集于放电区域, 从而削弱了其他区域带电粒子和复杂边界的相互作用, 减少了其对后续等离子体放电仿真的影响, 提高了PIC/MC模型对复杂求解域的适应性.

设定每个检验粒子代表1×10⁶个实际粒子^[33], 以图9(b)所示的检验电子密度分布作为初始等离子体密度分布, 利用PIC/MC模型计算得到的等离子体密度演变过程见图10(a). 初始时刻(0 μs), 放电区域的等离子体密度约为1×10¹⁴—1×10¹⁵ m^–3,其他区域的等离子体密度为1×10¹³ m^–3及以下. 随着放电的进行, 放电区域的浓度逐渐上升, 并在0.45 μs时达到稳定. 此时, 等离子体密度约为1×10¹⁶—1×10¹⁷ m^–3, 与常规的PIC/MC仿真结果一致^[17].值得注意的是, 稳态时绝大部分放电区域与初始时刻重合, 表明利用检验电子MC模型求出初始放电区域与实际放电区域基本一致. 该处理方式首先忽略电场变化, 利用电子分布替代整体的等离子体密度分布, 进而快速得到电子聚集区来替代等离子体放电区域. 在此基础上, 再引入泊松方程同步计算电场, 利用PIC/MC方法同时仿真电子和离子. 由于此时电子已经形成聚集, 电势可快速收敛到稳态, 因而可基本消除仿真前期因忽略电场作用而引入的误差. 作为对比, 进一步利用传统PIC/MC模型对离子源进行整体仿真, 得到的等离子体密度变化如图10(b)所示. 初始时刻(0 μs), 求解域中的整体等离子体密度设置为1×10¹³ m^–3, 但由于初始宏粒子是随机生成, 局部密度分布并不均匀, 这就在放电区域外带电粒子与复杂边界的相互作用过程中, 引入了一定的外界噪声. 随着放电的进行, 等离子体先是在内外阴极间的磁镜中形成聚集, 随后其密度逐渐上升并形成放电. 可见, 传统的PIC/MC模型仿真得出的等离子体演变过程, 多了从初始随机分布向放电区域聚集的过程, 因此收敛时间更长. 最后在1 μs时, 传统PIC/MC模型仿真的等离子体密度在放电区域内才趋于稳定; 而在其他区域等离子体密度仍为不均匀的分布, 表明外界噪声的影响贯穿整个PIC/MC的仿真过程. 进一步对比图10(a), (b)的稳态放电结果可知, 在放电区域内的稳态等离子体几乎完全一致, 表明两个PIC/MC模型对放电区域等离子体特性的仿真效果相同. 而在放电区域以外, 高效PIC/MC模型求出的等离子体密度分布几乎不存在不均匀的区域, 显著减弱了放电区域外带电粒子与复杂边界的相互作用, 因而大幅降低了外界噪声对模型收敛速度和稳定性的影响. 因此, 高效PIC/MC模型(0.45 μs)的收敛时间远快于高效PIC/MC (1 μs), 使计算效率提高了约55%. 尽管这种处理方式几乎不会影响放电区域中等离子体分布(即放电特性), 但丢失了对扩散区域中等离子体分布(输运特性)的描述. 为此, 本文进一步借助检验离子MC方法仿真离子输出或溅射的行为(即输运特性). 此时, 检验离子从求解域边界的溢出过程即对等离子体边界效应的重新引入, 进而消除了分离简化带来的不利影响.

4.2   阳极与外阴极的垂直间距h_ac对等离子体的影响

当内外阴极形状确定后, 即可形成固定背景磁场的作用, 此时等离子体特性取决于放电行为, 电场的分布取决与阳极和阴极的相对位置, 故阳极的几何特性成为调控离子源等离子体特性的关键. 通过高效PIC/MC模型计算了不同阳极与外阴极的垂直间距h_ac下, 离子密度分布、电子密度分布以及电势分布, 分别见图11(a)—(c). 可见, 放电区域集中于两阴极之间, 正好位于内外阴极形成的磁镜中, 且电子和离子呈现出相同的分布. 当h_ac = 2 mm时, 阴阳极之间的电势梯度最大, 背景电场强度最强, 因此等离子体放电最强烈, 峰值密度达到4.02×10¹⁶ m^–3, 放电区域(等离子体密度 > 10¹⁵ m^–3)面积达到209.3 mm², 见表4. 在强电场作用下, 放电中心点(等离子体密度峰值点)被外推至(31.1 mm, 57.9 mm), 位于磁镜中心点Q (31.8 mm, 54.7 mm)的上方, 此时磁镜对等离子体的约束作用较弱, 大量离子向外溢出, 形成高密度的输出离子束流. 然而, 由于高等离子体密度同时加剧了离子向阴极的扩散, 且较高的电场强度增强了阴极对阳离子的吸引, 因此大部分离子会返回到内外阴极表面并使其发生溅射, 此时输出离子数与阴极溅射离子数之比约为0.81, 表明输出离子束流强度低于溅射离子束流强度, 造成严重的阴极刻蚀现象. 随着h_ac的增大, 阴阳极之间距离增大, 电势梯度随之减小, 背景电场强度减弱, 放电中心点逐渐向下偏移, 并最终移动至磁镜中心点Q与阳极之间, 导致电子向阳极的逃逸, 等离子体放电强度减弱. 当h_ac = 18 mm时, 等离子体峰值密度降至3.40×10¹⁵ m^–3, 同时放电区域面积随之减小至38.4 mm², 大幅延缓了等离子体向阴极的扩散. 此外, 内外阴极之间的电场强度减小也致使阴极对阳离子的吸引作用减弱, 故溅射离子束流大幅降低, 输出离子与溅射离子的数量比则显著上升, 阴极的刻蚀现象得到缓解. 然而, 较低的等离子体密度和较长的扩散路径同样导致输出离子束流密度大幅减弱, 造成离子源工作效率降低. 可见h_ac = 10 mm时, 表现出较强的离子输出束流, 又表现出较高的输出离子和溅射离子的数量比, 表明此时离子源的工作效率较高, 同时刻蚀现象较弱. 值得说明的是, 此时放电中心位于(31.6 mm, 54.8 mm), 基本与磁镜中心点Q重合, 能够使磁镜的作用发挥到极致, 即能够保证高强度放电的顺利进行, 又可以限制离子在阴极表面的溅射.

4.3   阳极与内阴极的水平间距d_ac对等离子体的影响

在h_ac = 10 mm下, 通过高效PIC/MC模型研究阳极与内阴极的水平间距d_ac对等离子体的影响, 计算得出离子密度分布、电子密度分布以及电势分布, 分别见图12(a)—(c). 随着d_ac的增大, 阳极距离内外阴极间的磁镜变远, 导致磁镜中的电势梯度减小, 且背景电场强度减弱, 此时等离子体放电强度弱, 峰值密度从3.72×10¹⁶ m^–3 (d_ac = 2 mm)降低至2.60×10¹⁵ m^–3 (d_ac = 18 mm), 同时放电区域面积(等离子体密度 > 1×10¹⁵ m^–3)由208.4 mm²(d_ac = 2 mm)减小至14.2 mm² (d_ac = 18 mm), 输出离子束流和溅射离子束流都减弱, 见表5. 为避免某一侧的阴极被过度刻蚀, 需要尽量保证离子在内、外阴极的溅射强度相近, 使离子束流尽可能从内、外阴极之间输出. 鉴于此, 统计了不同d_ac时内、外阴极溅射离子数之比, 当d_ac = 10 mm时, 放电中心 (31.6 mm, 54.8 mm)与磁镜中心点Q(31.8 mm, 54.7 mm)基本重合, 内、外阴极溅射强度比为0.99, 表明此时内、外阴极溅射强度相近. 当d_ac < 10 mm时, 内阴极的刻蚀强度强于外阴极, 这是因为内阴极与阳极之间的距离更近, 附近的电场强度较大, 对离子的吸引作用更为强烈; 同时放电中心位于磁镜中心点Q与内阴极之间, 导致离子更容易从内阴极一侧溢出. 而当d_ac > 10 mm时, 外阴极与阳极之间的距离更近, 同时放电中心转移到磁镜中心点Q与外阴极之间, 使得外阴极的刻蚀强度超过了内阴极. 由此可见, 利用高效PIC/MC模型可以针对阳极层离子源结构特性对放电特性的作用规律进行系统研究, 突破了结构参数复杂且变化范围大的仿真瓶颈, 大幅提高了模型对离子源不规则求解域的适应性. 基于仿真结果, 可进一步推断得出使阳极层离子源电磁场匹配的条件: 即控制放电中心的位置, 使其与内外阴极间磁镜中心重合, 不仅能够输出高密度离子束流, 同时还可以大幅减少阴极刻蚀, 并保证内外阴极的刻蚀平衡.

5.   结　论

针对传统等离子体仿真模型对阳极层离子源复杂求解域的收敛性较差、计算效率低的问题, 提出将内外阴极抽象为磁镜, 利用磁镜比R_m和磁镜中心磁感应强度B₀两个磁镜参数替代内外阴极大小、形状和相对位置等一系列复杂阴极几何参数, 发现R_m = 2.50, B₀ = 36 mT时, 内外阴极间磁镜对等离子体放电特性的作用效果达到最佳. 在此基础上, 建立了高效PIC/MC模型对离子源的等离子体特性进行仿真, 发现高效PIC/MC模型的仿真效果与传统PIC/MC模型相似, 但简化了等离子体向放电区域聚集的过程, 减弱了放电区域外带电粒子与复杂边界的相互作用, 将收敛时间由传统的1.00 μs缩短为0.45 μs, 计算效率提高了约55%. 最后利用该模型系统研究了阳极层离子源在优化磁镜下阳极位置对等离子体特性的影响规律, 发现当放电中心的位置与内外阴极间磁镜中心重合时, 不仅能够输出高密度离子束流, 同时可大幅减少阴极刻蚀, 并保证内外阴极的刻蚀平衡.