1.   引　言

在量子光学中, Jaynes-Cummings (JC) 模型是一个描述单模光场与二能级原子相互作用的简单模型^[1]. 当场和原子弱耦合时, 它可以用于理解实验中的一些现象, 如真空劈裂、量子Rabi振荡等^[2-5]. 但随着实验上超强甚至深强耦合区的实现, 反旋波项的影响不可忽略, 由此得到Rabi 模型^[6,7]. 虽然Rabi模型因反旋波项的引入U(1)对称性破缺, 导致激发数不再守恒, 但它仍然可以在Bargmann 空间解析求解^[8,9]. 若场与原子间的相互作用是非线性的, 则JC模型被推广为Buck-Sukumar (BS) 模型. 此时, 更复杂的BS模型反而能够解析地理解 JC 模型中出现的原子翻转的周期自发塌缩恢复现象^[10]. Ng等人^[11]进一步研究了具有反旋波项的BS模型, 发现该模型可以通过引入Casimir算符, 利用幺正变换解耦玻色模和场模来解析求解. 此后, 在BS模型的基础上, 逐渐发展出了形式更为复杂的非线性耦合模型^[12-14], 其能谱的特征极度依赖于非线性耦合的形式. 作为一种描述非线性耦合的基本模型, BS 模型只有在耦合强度小于一个确定的临界值时才有定义, 且在该临界值处能量发生塌缩现象. 而在这个临界值之外, 随着激发数增加, 基态能量不断减小, 系统不再稳定^[11-15]. 而非旋波项不会改变这种性质, 只是减小了这个临界值^[16]. 这种只有在小于临界耦合强度才能有定义的BS模型, 被称为不完备的BS模型. 文献[15]发现, 如果在 BS 模型中引入一个微小的激发数平方项不仅可以消除这种不稳定性, 还能够扩大有定义的耦合区间, 并把这样的模型称为完备的BS模型.

另一方面, 可以用超导量子电路实现的双光子Rabi模型也是一种非线性耦合的例子^[17], 它也会在一个临界耦合强度处发生能谱塌缩现象^[18,19], 而引入非线性光子项可以消除这种能谱塌缩^[20]. 基于上述 BS 模型和双光子Rabi模型都属于非线性耦合的例子, 且都具有能谱塌缩现象, 本文将重点研究非线性光子项对 BS 模型能谱的影响. 研究表明, 非线性光子项也可以消除BS模型能谱塌缩现象, 从而形成一种新的完备的 BS 模型. 我们引入的非线性光子项能使BS模型在整个耦合区间内都有定义. 在原子与场共振情况下, 非线性光子项破坏了BS模型的能谱简谐性, 通过计算二阶关联函数, 发现非线性光子项促进光子阻塞, 而在原子与场失谐的情况下, BS模型的能谱在有定义的耦合区间内非简谐. 非线性光子项使这种非简谐的能谱扩展到整个耦合区间, 而且当非线性光子耦合强度确定时, 原子与场的正失谐更有利于光子阻塞.

2.   模　型

1981年, Buck和Sukumar^[10]提出将JC相互作用转化为一种强度依赖的形式, 从而使原子翻转数能够有封闭的解析形式, 这就是初始的 BS 模型. 作为一种理论模型, BS模型在实验上是很难实现的, 因为它需要一个能把大量场模叠加起来的囚禁离子设备^[21]. 但在2016年, Valverde等人^[22]考虑用库珀对箱与纳米机械共振器间的相互作用来构建BS模型, 为BS模型的实验实现提供了一条可能途径. 本文考虑引入了非线性光子项的BS模型, 其哈密顿量形式 ($\hbar=1$) 为

$$\begin{split} \hat{H}=\;&\omega_{{\rm{f}}}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+ \frac{\omega_{0}}{2}\hat{{\boldsymbol{\sigma}}}_{z}+ g_{{\rm{r}}}(\sqrt{\hat{a}^+\hat{a}}\hat{a}^{\dagger}\hat{{\boldsymbol{\sigma}}}_-+ \hat{a}\sqrt{\hat{a}^+\hat{a}}\hat{{\boldsymbol{\sigma}}}_+)\\ &+U\left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\right)^{2},\\[-15pt] \end{split}$$

(1)

其中$\omega_{{\rm{f}}}$, $\omega_{0}$分别是光场和二能级原子的本征频率; $g_{{\rm{r}}}$是描述光场与二能级原子的非线性耦合强度; U是非线性光子耦合强度; $\hat{a}^{\dagger}$, $\hat{a}$ 分别是光场的产生、湮灭算符; $\hat{{\boldsymbol{\sigma}}}_{i}$($i=z, +, -$)是泡利矩阵. 该系统具有$Z_{2}$对称性, 总激发数$\hat{N}_{{\rm{e}}}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\dfrac{\hat{{\boldsymbol{\sigma}}}_{z}}{2}+\dfrac{1}{2}$和宇称$\hat{\varPi}={\rm{e}}^{{\rm{i}}\pi\hat{N}_{e}}$都守恒. 系统可以在$\vert e\rangle\otimes\vert n\rangle$ 和$\vert g\rangle\otimes\vert n+1\rangle$的子空间进行展开, 即定态波函数$\vert\psi_{n}\rangle$可以写成

$$\vert\psi_{n}\rangle=a_{n}\vert e\rangle\otimes\vert n\rangle+b_{n}\vert g\rangle\otimes\vert n+1\rangle,$$

(2)

其中, $\vert g\rangle$, $\vert e\rangle$分别是二能级原子基态与激发态; $\vert n\rangle$为光子数态, $n=0,\; 1, \;2, \;\cdots$; $a_{n}$, $b_{n}$ 分别是二能级原子占据激发态、基态的概率幅. 将(1)式和(2)式代入定态薛定谔方程 $\hat{H}\vert\psi_{n}\rangle=E_{n}\vert\psi_{n}\rangle$, 可以得到展开系数$a_{n}$, $b_{n}$间的关系为

$$\begin{split} &\left(\omega_{{\rm{f}}}n+\frac{\omega_{0}}{2}+Un^{2}\right)a_{n}+g_{{\rm{r}}}\left(n+1\right)b_{n}=Ea_{n},\\ &\left[\omega_{{\rm{f}}}(n+1)-\frac{\omega_{0}}{2}+U(n+1)^{2}\right]b_{n}\\ &+g_{{\rm{r}}}\left(n+1\right)a_{n}=Eb_{n}. \end{split}$$

(3)

解方程(3), 得到本征能谱 $E_{n}$,

$$\begin{split} \;& E_{n}^{\left(\pm\right)}=\omega_{{\rm{f}}}\left(n+\frac{1}{2}\right)+U\left(n^{2}+n+\frac{1}{2}\right)\\ &\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left[\varDelta+U\left(2n+1\right)\right]^{2}+4g_{{\rm{r}}}^{2}\left(n+1\right)^{2}}. \end{split}$$

(4)

重新整理(3)式, 得到

$$\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{g_{{\rm{r}}}(n+1)}{\theta_{n}},$$

(5)

其中, $\theta_{n}=E_{n}-n\omega_{{\rm{f}}}-\dfrac{\omega_{0}}{2}-Un^{2}$, $\varDelta=\omega_{{\rm{f}}}-\omega_{0}$ 是光场与二能级原子的失谐量. 将 (4) 式代入到 (5) 式, 得到 本征态 $\vert\psi_{n}^{\left(\pm\right)}\rangle$ 的展开系数为

$$\begin{split} &a_{n}^{\left(\pm\right)}=\frac{g_{{\rm{r}}}(n+1)}{\sqrt{g_{{\rm{r}}}^{2}\left(n+1\right)^{2}+\theta_{n}^{\left(\pm\right)2}}},\\ &b_{n}^{\left(\pm\right)}=\frac{\theta_{n}^{\left(\pm\right)}}{\sqrt{g_{{\rm{r}}}^{2}\left(n+1\right)^{2}+\theta_{n}^{\left(\pm\right)2}}}, \end{split}$$

(6)

这里的$\pm$和能谱(方程(4))中的$\pm$对应. $\vert g, 0\rangle$也是系统本征态, 称为暗态 $\vert\psi\rangle_{{\rm{d}}}$. 则有对应的暗态能量为$E_{{\rm{d}}}=- {\omega_{0}}/{2}$. 考虑系统的宇称守恒，即 $[\hat{H},\hat{\varPi}]=0$, 如果此处定义$\hat{\varPi}\vert\psi_{n}\rangle=\kappa\vert\psi_{n}\rangle$, 那么$\kappa=\pm1$分别对应偶、奇宇称态. 又因为$\hat{N}_{e}\vert\psi_{n}\rangle= \left(n+1\right)\vert\psi_{n}\rangle$, 所以当n为偶数时, $\vert\psi_{n}\rangle$为奇宇称态; 当n为奇数时, $\vert\psi_{n}\rangle$为偶宇称态. 暗态$\vert\psi\rangle_{{\rm{d}}}$是一个偶宇称态.

为了判断系统的基态, 这里对最近邻的两条能级作差:

$$\begin{split} \text{δ} E_{{\rm{d}}}= \;& E_{0}^{\left(-\right)}-E_{{\rm{d}}} = \omega_{{\rm{f}}}+\frac{1}{2}U-\frac{1}{2}F_{0}\left(U\right), \end{split}$$

(7)

$$\begin{split} \;& \text{δ} E_{n}= E_{n+1}^{\left(-\right)}-E_{n}^{\left(-\right)} \\ = \;& \omega_{{\rm{f}}}+2\left(n+1\right)U-\frac{1}{2}\left[F_{n+1}\left(U\right)-F_{n}\left(U\right)\right], \\ &n=0,1,2 \cdots, \end{split}$$

(8)

这里$F_{n}\left(U\right)=\sqrt{U^{2}\left(2 n+1\right)^{2}+4 g_{{\rm{r}}}^{2}\left(n+1\right)^{2}}$, 而且为了方便计算, 已经考虑了原子与光场共振 $\varDelta=0$.

当 $U=0$ 时, 系统回到BS模型. 此时, 系统只有在$g_{{\rm{r}}} < \omega_{{\rm{f}}}$时才有很好的定义^[16]. 正如图1(a)所示, 随着$g_{{\rm{r}}}$增加, $E_{n}^{\left(-\right)}$在临界值$\omega_{{\rm{f}}}$处塌缩成一点. 且根据(7)式和(8)式, 当$g_{{\rm{r}}}$ 超过$\omega_{{\rm{f}}}$时, BS模型的基态由$\vert\psi\rangle_{{\rm{d}}}$变为$\vert \psi_{n} \rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}} [\vert e\rangle\otimes\vert n\rangle- \vert g\rangle\otimes\vert n+1\rangle], n\rightarrow \infty$, 激发数也由零变为无穷. 文献[15]已经指出, 这种当耦合强度大于某个临界值后, 随着基态激发数增加, 基态能量不断减小的BS模型称为不完备的BS模型. 文献[15]引入了激发数平方项$\epsilon\left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\sigma_{z}/2\right)^{2}$ 来消除BS 模型的不完备性. 随着$\epsilon$的增大, 临界的耦合强度增大, 相应地, BS 模型有定义的耦合区间也扩大. 本文考虑非线性光子项 $U\left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\right)^{2}$, 可以产生类似的效果并可以使不完备的BS模型在整个耦合区间都有定义, 从而构建了一个完备的BS 模型. 相较于文献[15], 我们引入的非线性光子项更简单.

接下来讨论非线性光子项 $(U\ne0)$ 对BS模型的影响. 当$U\ne0$时, 根据(7)式, 由$\text{δ} E_{{\rm{d}}} > 0$可得

$$g_{{\rm{r}}} < \sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}.$$

(9)

于是, 当$g_{{\rm{r}}} < \sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$时, 基态能量为$E_{{\rm{d}}}$, 基态为暗态$\vert\psi\rangle_{{\rm{d}}}$. 而当 $g_{{\rm{r}}} > \sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$时, 对于$\text{δ} E_{n} > 0$, 即$F_{n+1}\left(U\right)-F_{n}\left(U\right)-4\left(n+1\right)U < 2\omega_{{\rm{f}}}$, 基态能量为$E_{n}^{\left(-\right)}$, 基态为$\vert\psi_{n}^{\left(-\right)}\rangle$. 显然, 能谱塌缩被消除. 通过计算基态激发数$\langle\hat{N}_{{\rm{e}}}\rangle$, 可以发现, 随着耦合强度增大, 超过$g_{{\rm{c}}}=\sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$这个临界点, 激发数从0变为$1$(如图2所示), 这也间接表明了能谱塌缩的消失. 因此, 在BS模型中加入一个非线性光子项可以消除能谱塌缩, 从而产生一个新的完备的BS模型. 进一步地, 非线性光子项U的加入, 可以使激发数出现台阶状. 随着U的增大, 激发数保持不变的平台也变宽(见图2). 这表明, 大的非线性光子项会使能级间的光子跃迁更难.

3.   讨　论

对于确定的频率$\omega_{{\rm{f}}}$和耦合强度$g_{{\rm{r}}}$, 当$U= 0$时, 能级差$\text{δ} E_{n}=\omega_{{\rm{f}}}-g_{{\rm{r}}}$是一个确定的值, 能谱简谐, 也就是说, 对于确定的光场频率$\omega_{{\rm{f}}}$和耦合强度$g_{{\rm{r}}}$, BS 模型相邻两条能级的差完全一样, 如图3(a) 所示. 此时, 系统吸收一个光子的能量$\omega_{{\rm{f}}}$可以从n光子态跃迁到$n+1$光子态. 而当$U\ne0$时, 能级差$\text{δ} E_{n}$不再是一个定值, 即等差的能级被U所破坏(见图3(b)). 除此之外, 图3(b)也给出了$U=0.5$(黑色实线)和$U=1$(红色虚线)时, $\text{δ} E_{n}$随耦合强度$g_{{\rm{r}}}$的变化. 显然, 越大的U项使相邻两条能级间隔更大. 此时, 系统吸收一个光子的能量$\omega_{{\rm{f}}}$从零光子态到单光子态之后, 需要克服能量$\text{δ}E_{0}- \text{δ} E_{{\rm{d}}}$才能再吸收一个光子变成两光子态, 即一个光子排斥另一个光子. 这种光子间的排斥效应称为光子阻塞效应. 可见, 能谱的非简谐性暗示着光子阻塞效应的存在^[23].

为了进一步讨论该模型的光子阻塞, 引入二阶关联函数. 当场是单模的, 二阶关联函数$G_{2}\left(0\right)$

$$G_{2}\left(0\right)=\frac{\langle\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\rangle}{\langle\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\rangle^{2}}$$

(10)

可以写成产生、湮灭算符的形式来简化计算^[23,24]. 对于一个经典场, $G_{2}\left(0\right) > 1$, 而$G_{2}\left(0\right) < 1$可以作为一个量子化光场的证据^[23]. 此外, $G_{2}\left(0\right)$也可以用来衡量同时吸收两个光子的概率. 对于一个Fock态$\vert n\rangle$, $G_{2}\left(0\right)=1-1/n$. 因此, 对于单光子态$\vert 1\rangle$, $G_{2}\left(0\right)=0$, 表明在该态下, 只存在一个光子, 且不能同时被两个探测器观测到, 这就是众所周知的光子阻塞效应. 对于$G_{2}\left(0\right) < 1$, 同时观测到两个光子的概率比较小, 称之为光子反聚束效应. 相似地, 当$G_{2}\left(0\right) > 1$时, 光子更趋向于一起被探测器观测到, 所以称为光子聚束效应. 对于相干态, $G_{2}\left(0\right)=1$. 考虑真空态$\vert0\rangle$是特殊的相干态, 真空态下的二阶关联函数为$1$, 即$G_{2}\left(0\right)=1$^[24].

通常, 光子反聚束就意味着光子阻塞^[23-26]. 但是, 在半导体实验中, 只有当$G_{2}\left(0\right) < 1/2$, 光源才会发射出单光子^[27]. 理论上也已经证实, 在$G_{2}\left(0\right) < 1/2$的态上存在一个非零的单光子投影态^[24], 因此, $G_{2}\left(0\right) < 1/2$可以代表光子阻塞的发生.

对于含有非线性光子项BS模型的基态, 当$g_{{\rm{r}}} < \sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$, 基态是暗态, $G_{2}\left(0\right)=1$. 而当$g_{{\rm{r}}} > \sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$, 基态为$\vert\psi_{n}^{\left(-\right)}\rangle$, 二阶关联函数为

$$G_{2}\left(0\right)=\frac{n^{2}+n\left[\left(b_{n}^{(-)}\right)^{2}-\left(a_{n}^{(-)}\right)^{2}\right]}{\left[n+\left(b_{n}^{(-)}\right)^{2}\right]^{2}}.$$

(11)

已经知道, 当$F_{n+1}(U)-F_{n}(U) < 4(n+1)U+ 2\omega_{{\rm{f}}}$, 基态为$\vert\psi_{n}^{\left(-\right)}\rangle$. 也就是说, 耦合强度$g_{{\rm{r}}}$超过$\sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$, 在$F_{1}\left(U\right)-F_{0}\left(U\right) < 4 U+2\omega_{{\rm{f}}}$的参数区间内, 二阶关联函数为$G_{2}\left(0\right)=0$, 此时基态为$\vert\psi_{0}^{\left(-\right)}\rangle=a_{0}^{\left(-\right)}\vert e\rangle\otimes\vert0\rangle+b_{0}^{\left(-\right)}\vert g\rangle\otimes\vert1\rangle$. 在$F_{1}\left(U\right)- F_{0}\left(U\right) > 4 U+2\omega_{{\rm{f}}}$且$F_{2}\left(U\right)-F_{1}\left(U\right) < 8 U+2\omega_{{\rm{f}}}$的参数区间内, 此时的基态为 $\vert\psi_{1}^{\left(-\right)}\rangle=a_{1}^{\left(-\right)}\vert e\rangle\otimes \vert1\rangle+b_{1}^{\left(-\right)}\vert g\rangle\otimes\vert2\rangle$, 在单光子态上有投影, 故其二阶关联函数应该满足$G_{2}\left(0\right) < 1/2$. 而在其他参数区间, 基态在单光子态上都没有投影, 二阶关联函数大于$1/2$. 因此, 对于有非线性光子项的BS模型的基态, 在共振情况下, 其光子阻塞只发生在有限参数区间内. 图4通过计算非线性光子项对二阶关联函数的影响, 验证了这一事实. 图4(a)给出二阶关联函数随U和$g_{{\rm{r}}}$的变化, 其中颜色代表$\log\left(G_{2}\left(0\right)\right)$的值. 图中蓝色区域是发生光子阻塞$(G_{2}\left(0\right)=0)$的区域. 显然, 随着U的增大, 蓝色区域越来越大, 开始发生阻塞的临界耦合$\sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U}$也越来越大. 这个蓝色区域也对应着$G_{2}\left(0\right)$随$g_{{\rm{r}}}$变化的图4(b)中$G_{2}\left(0\right)=0$的那个平台. 从图4(b)可以看出, U越大, $G_{2}\left(0\right)=0$的平台越宽, 这表明非线性光子项有利于光子阻塞. 除此之外, 图4(b)中也显示了越过$G_{2}\left(0\right)=0$的平台的另一个$G_{2}\left(0\right) < 1/2$的平台, 这对应着有单光子投影的态$\vert\psi_{1}^{\left(-\right)}\rangle$. 这个平台也是随着U的增大处于更大的耦合强度$g_{{\rm{r}}}$范围内, 这进一步证实了非线性光子项有利于光子阻塞效应.

当失谐量$\varDelta\ne0$ 时, $\text{δ} E_{{\rm{d}}}=\omega_{{\rm{f}}}-\dfrac{\varDelta}{2}+\dfrac{1}{2}U- \dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\varDelta+U\right)^{2}+4 g_{{\rm{r}}}^{2}}$, 而$\text{δ} E_{n}$的形式还是如 (6)式所示, 只是$F_{n}\left(U\right)$的形式变为$F_{n}\left(U, \varDelta\right)= \sqrt{\left[\varDelta +U\left(2 n+1\right)\right]^{2}+4 g_{{\rm{r}}}^{2}\left(n+1\right)^{2}}$. 对于不完备的BS模型$U=0$, 非零的失谐量使能谱具有非简谐性. 如果将 $\text{δ} E_{n}$按Δ展开到二阶

$$\begin{align} \text{δ} E_{n}=\omega_{{\rm{f}}}-g_{{\rm{r}}}-\frac{\varDelta^2}{8g_{{\rm{r}}}(n+2)(n+1)}, \end{align}$$

(12)

可以发现, 对于较小的失谐量Δ, n很大的高能级来说, (10)式中$\varDelta^2$项可以忽略. 那么, 高能级可以近似看成简谐的, 且在耦合强度$g_{{\rm{r}}}$超过临界值(约等于$\omega_{{\rm{f}}}$)后, 激发数趋于无穷大, 系统还是不稳定. 加入非线性光子项($U\ne 0$)后, 当 $g_{{\rm{r}}} < \sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U-\varDelta\left(\omega_{{\rm{f}}}+U\right)}$时, 基态是暗态, 对应着基态激发数为零, 超过这个耦合强度$\sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U-\varDelta\left(\omega_{{\rm{f}}}+U\right)}$, 激发数变为有限值, 且出现阶梯状的平台, 如图5(a)所示. 这表明, 失谐情况下, 非线性光子项使BS模型在整个耦合区间内有定义. 而且, 对于负失谐$\varDelta < 0$, 随着Δ的增加, 基态激发数在更小的$g_{{\rm{r}}}$处变为非零. 值得注意的是, 图5(a)显示出, 在正失谐情况下, 即使耦合强度$g_{{\rm{r}}}$很小, 基态也是非零激发的. 这是因为对于同一能级, 同样的失谐量, 正失谐要比负失谐的能量更低, 即$\text{δ} E_{{\rm{d}}}\left(\varDelta > 0\right) < \text{δ} E_{{\rm{d}}}\left(\varDelta < 0\right)$ (见图5(b)). 因此, 对于某一耦合强度$g_{{\rm{r}}}$, 当正失谐$\dfrac{\varDelta}{\omega_{{\rm{f}}}} < 1-\dfrac{\left(g_{{\rm{r}}}/\omega_{{\rm{f}}}\right)^{2}}{1+U/\omega_{{\rm{f}}}}$时, 才能保证基态激发数为零. 显然, 存在一个临界失谐量$\varDelta_{{\rm{c}}}=\omega_{{\rm{f}}}$, 当$\varDelta\geqslant \varDelta_{{\rm{c}}}$, 即使$g_{{\rm{r}}}\rightarrow 0$, 基态也是$\vert\psi_{0}^{\left(-\right)}\rangle$, 对应的基态激发数为$1$. 图5(a)中的紫粉色线显示了正失谐下没有零激发出现的情况. 对于同一能级, 正失谐的能量比负失谐的要更低, 吸收一个光子需要克服的能量要更多. 故正失谐有利于光子阻塞. 失谐量对二阶关联函数的影响可以反映出这一现象(见图5(c)). 图5(c)显示了二阶关联函数在$U=0.1$时随耦合强度$g_{{\rm{r}}}$的变化. 显然, 正失谐会使$G_{2}\left(0\right)=0$的耦合区间变大. 而负失谐情况下, $G_{2}\left(0\right)=0$的区间减少甚至消失. 在$\varDelta=-1$时只存在一个$G_{2}\left(0\right) < 1/2$的小平台(图5(c)蓝色线), 这对应的激发数为$2$ (图5(a)蓝色线)的小平台, 此时基态为$\vert\psi_{1}^{\left(-\right)}\rangle$. 这进一步表明, 负失谐会使基态拥有更高的激发数; 对于失谐量$\vert \varDelta\vert$较大的负失谐, 超过临界耦合$\sqrt{\omega_{{\rm{f}}}^{2}+\omega_{{\rm{f}}}U-\varDelta\left(\omega_{{\rm{f}}}+U\right)}$, 基态直接从激发数为零的态变为拥有更多激发数的态, 且这个态在单光子态上没有投影(图5(a)和图5(c)紫粉色线). 这表明负失谐抑制光子阻塞.

4.   结　论

本文在BS模型的基础上引入非线性光子项, 在旋波近似下, 该项不会破坏激发数与宇称守恒, 可以在$\vert e\rangle\otimes\vert n\rangle$和$\vert g\rangle\otimes\vert n+1\rangle$的子空间进行展开来求解定态薛定谔方程，从而得到本征能谱和本征态, 进一步通过计算激发数及二阶关联函数研究非线性光子项对BS模型能谱性质及光子阻塞效应的影响.

研究表明, 非线性光子项可以消除BS模型的能谱塌缩, 使其变成一个完备的BS模型. 当原子与场共振时, 非线性光子项破坏了BS模型的能谱简谐性, 使它的基态激发数出现了类似JC模型中的阶梯状的平台. 非线性光子项可以在更大的耦合区间内产生单光子投影态, 这是因为大的非线性光子项使光子更难向高能级跃迁. 相应地, 非线性光子项扩大了为零的二阶关联函数所在的耦合区间, 更有利于光子阻塞. 此外, 讨论了失谐量对这个完备的BS模型的影响. 原子与场失谐时, 非线性光子项的加入, 可以使原来能谱非简谐的区域扩大到整个耦合区间. 在确定的非线性光子耦合强度下, 拥有同样失谐量的BS模型, 对于同一能级来说, 正失谐要比负失谐的能量低, 系统再吸收一个光子需要克服更多的能量. 因此, 正失谐促进光子阻塞. 而对于负失谐, 系统更容易吸收光子向更高的能级跃迁; 对于失谐量较大的负失谐, 系统基态在单光子态上不再有投影, 故负失谐抑制光子阻塞.

对拥有非线性光子项的BS模型的研究, 一方面其完备性为全参数空间模拟BS模型的实验实现提供了一种新思路; 另一方面, 其中出现的光子阻塞效应也为实现单光子源提供了新的路径. 最后, 加了非线性光子项的BS模型存在与JC模型类似的能谱非简谐性^[28,29], 当把多个腔通过光子跃迁联系起来时, 这种非简谐性带来的光子阻塞会与光子跃迁项形成竞争, 从而为BS-Hubbard模型的构建提供了可能.