1.   引　言

自1916年爱因斯坦提出受激辐射的基本理论后, 激光在亮度、相干性、超快时间等方面取得了巨大的发展^[1-4], 广泛应用于激光加热、激光同位素分离^[5]、激光材料加工^[6]等方面. 而极紫外到软X射线波段的激光光源由于能实现材料高对比成像^[7]、对活体生物样本进行成像^[8,9]、等离子体诊断^[10]等而备受关注. 在软X射线激光的实际应用中, 激光的去相干化具有重要意义. 例如, 激光较高的相干性会导致X射线激光显微镜成像过程中产生激光散斑, 进而导致成像质量的下降^[11]. 在软X射线激光成像的具体应用中, 干涉效应会影响分辨率^[12,13]. 在进行激光打孔、激光焊接时需要均匀的光强分布, 而激光的高度相干性带来的多光束干涉效应使光斑强度呈点阵化分布, 导致焊接效果不理想^[14-16]. 因此研制适配于软X射线波段激光的调控器件对进一步拓展激光的应用有着十分重要的价值.

目前激光去相干的主要研究工作集中在可见光波段, 从空间相干性上考虑, 去相干的方法主要有增大光源角谱和采用旋转散射器, Hsiao等^[17]设计了一个一维反射式扩散器降低激光光源的相干性, 该方案得到了均匀度高达92%的线束, 然而这种方式会降低激光光强. 从时间相干性上考虑, 通常采用衍射光栅^[18]、随机相位板技术^[19]、微透镜阵列法^[20]等方式. 然而此类方法所适配的激光波长通常在几百纳米, 当需要调制的光线的波长下降至软X射线波段时, 相应光学元件的设计与制造难度会随着目标光源波长的缩短而加大.

基于全反射原理的玻璃管光学器件具有工作能量范围宽和传输效率高等特点. 玻璃管透镜可以设计成非成像型的光学器件, 一定范围内的光源位置变化不影响焦斑位置及大小, 同时还具有加工制造难度低、价格低廉等优势. 本文设计的去相干玻璃管光学透镜(SGTDL)能够在满足去相干需求的同时, 按需调整软X射线激光的束斑大小、增大光强增益. 在X射线激光成像、激光加工等方面具有广泛的应用前景.

2.   SGTDL设计

2.1   原理简介

2.1.1   X射线的全反射理论

作为一种电磁波, X射线在两种介质交界面上的反射与折射强度遵循菲涅耳公式, 即:

$$\frac{{E}_{\rm{r}\rm{s}}}{{E}_{\rm{i}\rm{s}}}=\frac{{n}_{1}{{\rm{cos}}}{\theta }_{1}-{n}_{2}{{\rm{cos}}}{\theta }_{2}}{{n}_{1}{{\rm{cos}}}{\theta }_{1}+{n}_{2}{{\rm{cos}}}{\theta }_{2}} \text{, }$$

(1)

$$\frac{{E}_{\rm{r}\rm{p}}}{{E}_{\rm{i}\rm{p}}}=\frac{{n}_{2}{{\rm{cos}}}{\theta }_{1}-{n}_{1}{{\rm{cos}}}{\theta }_{2}}{{n}_{2}{{\rm{cos}}}{\theta }_{1}+{n}_{1}{{\rm{cos}}}{\theta }_{2}} \text{, }$$

(2)

其中, E_rp为电场平行于反射面的反射光振幅, E_rs为电场垂直于反射面的反射光振幅; E_is为电场垂直于反射面的入射光振幅, E_ip为电场平行于反射面的入射光振幅; ${n}_{1}$为第一种介质的折射率, ${n}_{2}$为第二种介质的折射; ${\theta }_{1}$为入射角, ${\theta }_{2}$为折射角. 当X射线在真空与介质的界面上发生反射和折射时, (1)式和(2)式可表示为

$$\frac{{E}_{\rm{r}\rm{s}}}{{E}_{\rm{i}\rm{s}}}=\frac{\rm{sin}\theta -\sqrt{\varepsilon -{\rm{cos}}^{2}\theta }}{\rm{sin}\theta +\sqrt{\varepsilon -{\rm{cos}}^{2}\theta }} \text{, }$$

(3)

$$\frac{{E}_{\rm{r}\rm{p}}}{{E}_{\rm{i}\rm{p}}}=\frac{\varepsilon \rm{sin}\theta -\sqrt{\varepsilon -{\rm{cos}}^{2}\theta }}{\varepsilon \rm{sin}\theta +\sqrt{\varepsilon -{\rm{cos}}^{2}\theta }} \text{, }$$

(4)

其中, $\theta$是掠射角; $\varepsilon$为介电常数,

$$\varepsilon ={n}^{2}=1-\alpha -\rm{i}\gamma .$$

(5)

由此可推出, X射线的折射率n为

$$n=\sqrt{1-\alpha -\rm{i}\gamma }=1-\delta -\rm{i}\beta .$$

(6)

其中$\alpha$和$\delta$是描述介质的极化特性的参数, $\gamma$和$\beta$是描述介质的吸收特性的参数. 定义X射线的反射系数为

$${R}_{\rm{s}}={\left|\frac{{E}_{\rm{r}\rm{s}}}{{E}_{\rm{i}\rm{s}}}\right|}^{2}{\text{, }R}_{\rm{p}}={\left|\frac{{E}_{\rm{r}\rm{p}}}{{E}_{\rm{i}\rm{p}}}\right|}^{2} .$$

(7)

其中${R}_{\rm{s}}$是电场垂直于反射面的反射系数, ${R}_{\rm{p}}$是电场平行于反射面的反射系数. 在X射线掠入射时, ${R}_{\rm{s}}\approx {R}_{\rm{p}}$. 因此定义反射系数$R={R}_{\rm{s}}={R}_{\rm{p}}$, 这可以根据(7)式得出. 当反射系数R = 1时, 入射的X射线就不会穿过物质, 而是在物质表面上发生反射, 这种反射能量损失很小, 可近似视为没有能量损失. 此时对应的掠入射角度就是临界角, 通常用${\theta }_{\rm{c}}$表示, ${\theta }_{\rm{c}}$不是定值, 其与入射X射线的能量E、反射界面的性质等因素有关. 基于硼硅酸玻璃的玻璃管临界角${\theta }_{\rm{c}}$(单位: mrad)通常可近似通过如下经验公式计算:

$${\theta }_{\rm{c}}=\frac{32}{E} .$$

(8)

其中, E的单位是keV.

2.1.2   光线追迹原理

通过数学推导可知入射光与反射界面的夹角(掠入射角)大小为$\theta ={\rm{sin}}^{-1}(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r})$, 若$\theta > {\theta }_{\rm{c}}$, 则X射线被管壁吸收. 若$\theta \leqslant {\theta }_{\rm{c}}$, 则发生全反射, 反射光的方向向量为

$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{u}-2\boldsymbol{n}\rm{sin}\theta .$$

(9)

在发生全反射的情况下, 求得反射光方向向量后, 将其作为下一次入射光线的方向向量, 循环往复即可得到光线的传播路径. 光线追迹示意图见图1.

2.2   SGTDL的数学模型

以往的单玻璃管光学元件一般都是以竖直中心线作为旋转对称中心, 如圆柱形单管和圆锥型单管等. 但这类单管在出口光线相位是沿离心距离线性变化的, 无法满足去相干的需求. 因此专门应用于去相干条件下的单管采取弯管设计, 弯管的中心线可视为二次曲线:

$$f\left(z\right)={a}_{0}{z}^{2}+{b}_{0}z+{c}_{0} .$$

(10)

在任意z处, 透镜的横截面中心坐标在$x= f\left(z\right)$处, 且同一横截面处管径相等, 可得透镜管径$R\left(z\right)$为

$$R\left(z\right)=\frac{{a}_{0}{z}^{2}+{b}_{0}z+{c}_{0}}{k} \text{, }$$

(11)

其中, k为变化系数, 由透镜入口、出口及长度尺寸决定. 如图2所示建立坐标系, 可得管内壁方程为

$${[x-f\left(z\right)]}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}{\left(z\right)}.$$

(12)

值得注意的是, 相比于以往的圆锥管和椭球管等拥有前后焦距的光学聚焦器件, SGTDL无“真焦点”, 焦斑位置为透镜出口、焦斑大小即出口大小.

3.   光束调控性能模拟研究

3.1   去相干性能模拟

3.1.1   SGTDL去相干原理

模拟采用MATLAB软件, 表1列出了SGTDL输入参数. 由于激光具有较好的单色性和方向性, 将激光器发出的光视为理想单色平行光, 其振动函数表达式为

$$u\left(t\right)=a{{\rm{cos}}}(\omega t+{\varphi }_{0}) \text{, }$$

(13)

其中, $a$是光振幅; $\omega$为激光频率; ${\varphi }_{0}$为初始相位, 对于从激光光源中发出的光子而言, 其初相位相等, 即${\varphi }_{10}$=${\varphi }_{20}$=${\varphi }_{30}\cdots$.

如图3所示, 从激光器发出的激光光束在通过一对并排小孔S₁和S₂后分成两个波列. 由于这两个波列在S₁和S₂处的初相位相同, 那么这一对波列在空间中的某一点P处的合强度为

$$I={2(1+{\rm{cos}}{\Delta }\varPhi )a}^{2} \text{, }$$

(14)

式中, a是两列波的振幅; ΔΦ为二者的相位差,

$${\Delta }\varPhi =\left({r}_{2}-{r}_{1}\right)\frac{2\rm{\pi }}{\lambda } \text{, }$$

(15)

其中, ${r}_{1}{{\rm{和}}}{r}_{2}$为两小孔到P点的空间距离, $\lambda$为激光波长. 对于未调控的激光光束而言, 其初始相位相同. 在观测时间$\tau$内, 两波列在P点处的相位差固定不变. 在叠加区域内, 不同点的光强不同, 会产生干涉效应. 如果在时间$\tau$内, 空间中某点P的波列的相位差ΔΦ无规则地变化, 那么ΔΦ将多次经历$0$与$2\text{π}$的一切数值, 在P点观察到的平均光强度均为叠加光波的强度之和. 因为P点是任意的, 所以叠加区域内处处光强相等, 将不发生干涉现象.

如图4所示, 激光光束进入SGTDL后将会在器件内部发生多次全反射, 不同位置入射的光束在透镜中传输的路径不同, 导致到达透镜出口截面处时彼此之间相位差发生变化, 原本任意两点间的光场振动其完全确定的相位关系被破坏. 在时间$\tau$内, 通过并排小孔S₁和S₂ 的光波相位随机变化, 空间中叠加区域的平均光强度均为叠加光波的强度之和, 将不会发生干涉现象.

3.1.2   SGTDL出口处光线相位分布模拟

设透镜入口处的相位为零相位, 那么可计算出各光子在透镜出口处的相位Φ, 模拟结果如图5所示. 可以看出, 由于入射光子在玻璃管内进行了多次反射, 导致在透镜出口处各光子的相位变得杂乱无序, 激光光束的相干条件被破坏, 空间中任意点处所叠加光波的相位差随机变化, 在透镜出口端获得了非相干光. 结果表明, 在采用SGTDL后相干光束转变为非相干光束.

3.2   传输效率

3.2.1   理论基础

X射线的反常散射和色散理论给出了描述介质对X射线的极化与散射特性及吸收特性的相关关系:

$$\delta \approx \frac{\alpha }{2}=\frac{{\lambda }^{2}{e}^{2}N{f}_{1}\left(\omega \right)}{2{\pi }m{c}^{2}} = \frac{{r}_{\rm{e}}{\lambda }^{2}N{f}_{1}\left(\omega \right)}{2{\pi }} \text{, }$$

(16)

$$\beta \approx \frac{\gamma }{2}=\frac{{r}_{\rm{e}}{\lambda }^{2}N{f}_{2}\left(\omega \right)}{2{\pi }} \text{, }$$

(17)

式中, ${r}_{\rm{e}}$为经典电子半径; $N$为原子密度; $e$为电子电量; $m$为电子静质量; $\lambda$为X射线波长; $f\left(\omega \right)$为原子散射因子, 可表示为

$$f\left(\omega \right)={f}_{1}\left(\omega \right)+{\rm{i}}{f}_{2}\left(\omega \right) .$$

(18)

这里, ${f}_{1}\left(\omega \right)$为原子散射因子的实部, ${f}_{2}\left(\omega \right)$为原子散射因子的虚部. 在远离共振的区域, 有

$$\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \gamma \end{array}\right)=540.17{\lambda }^{2}\frac{\rho }{A}\left(\begin{array}{c}{f}_{1}\\ {f}_{2}\end{array}\right) \text{, }$$

(19)

式中, $\rho$为介质密度, 单位为$\rm{g}{\cdot} {\rm{c}\rm{m}}^{-3}$; $A$为原子量. 通过网上数据库可查得硼硅酸盐玻璃管材料中每种元素在一定能量范围内的${f}_{1}$和${f}_{2}$的值^[21].

由于软X射线激光通常应用于真空环境下, 因此只考虑由于反射过程导致的能量损失. 在玻璃管入口范围内均匀取$T$个点, 确定出$T$条入射光线, 光线光强按照高斯光源的分布取值, 则进入弯管的总光强为

$${I}_{\rm{i}\rm{n}}=\sum _{i=1}^{T}{I}_{i} .$$

(20)

${I}_{i}$为单入射光子光强,

$${I}_{i}={\rm{e}}^{\frac{-2{r}_{i}^{2}}{w\left(z\right)}} ,$$

(21)

式中, ${r}_{i}$为距中心距离, $w\left(z\right)$为高斯光束的束腰半径. 在得出各入射光子的光强和入射向量后即可根据下式获得出射光强,

$${I}_{\rm{o}\rm{u}\rm{t}}=\sum _{i=1}^{T}{I}_{i}\prod _{1}^{M}{R}_{M}\left({\theta }_{M}\right) \text{, }$$

(22)

其中, $M$是第$i$条光线的反射次数, ${R}_{M}\left({\theta }_{M}\right)$是该光线在管壁上发生第$M$次反射的反射系数. X射线在SGTDL中的传输效率为出射光强与入射光强之比, 可表示为

$$\eta =\frac{{I}_{\rm{o}\rm{u}\rm{t}}}{{I}_{\rm{i}\rm{n}}} .$$

(23)

3.2.2   SGTDL长度对传输效率的影响

由于SGTDL采取的是弯管设计, 对于确定的出入口径参数, 器件长度$L$实际上影响了光线在管内的全反射次数及反射角. 随着弯管长度的降低, 透镜内部曲率随之增大, 发生反射的临界角就越大, 全反射系数相应降低, 最终该玻璃管透镜的传输效率也相应降低, 如图6所示. 如果要追求较高的传输效率, 应当将透镜设计得尽可能长. 但在实际的透镜加工过程中, 由于加工工艺的原因, 随着玻璃管尺寸的增加, 加工难度也会持续的增大, 因此需要根据实际需求选取SGTDL的长度.

3.2.3   入射光线波长对传输效率的影响

入射X射线的能量不同, 其在玻璃介质界面的反射临界角就不一样, 反射系数也不一样, 因此对于不同能量的X射线激光光源, 透镜的传输效率会有所不同. 由图7可以看出, 虽然透镜的传输效率在特定的波长附近有所波动, 但从趋势上可以看出透镜的传输效率随着激光波长的降低而减小. 譬如, 当X射线波长下降至1 nm时, SGTDL的传输效率为33%; 而当X射线波长进一步下降至0.1 nm时, 传输效率为0.16%. 产生这种现象的原因是因为光波波长越短, 全反射临界角越小, 从而导致传输效率就越低.

虽然经过多年的发展, X射线玻璃管光学器件的制备工艺已经比较成熟^[22], 但不可避免的是与理论设计相比, 实际制备的器件依然存在一定的粗糙度和面型误差. 和理想情况相比, 由于实际拉制的SGTDL内表面不是绝对光滑, 存在一定的面型误差和粗糙度. 这会导致在各个波长参数下, 实际加工出来的透镜传输效率小于理论模拟值.

3.3   发散度

在X射线衍射及光刻等领域, 对X射线束的发散度有严格的要求, 同时, 在一些特殊的领域对于出射光束的圆度也有要求. 将SGTDL的发散度张角定义为出射光束方向与中心轴线的夹角, 本文选取四个方向的张角${\phi }_{{y}^{+}}$, ${\phi }_{{y}^{-}}$, ${\phi }_{{x}^{+}}$, ${\phi }_{{x}^{-}}$来定量描述SGTDL的发散度. 光束的竖直发散度张角分别为${\phi }_{{y}^{+}}$与${\phi }_{{y}^{-}}$, ${\phi }_{{y}^{-}}$是与${\phi }_{{y}^{+}}$关于中心轴线对称的反方向张角. 光束的水平发散度张角分别为${\phi }_{{x}^{+}}$与${\phi }_{{x}^{-}}$, ${\phi }_{{x}^{-}}$是与${\phi }_{{x}^{+}}$关于中心轴线对称的反方向张角. 如图8所示.

表2列出了不同长度透镜的不同发散度张角, 根据模拟结果可以发现, 随着SGTDL长度的增加, 出口处各个方向的发散度张角会随之增加, 光束发散度不断增大. 同时从水平方向及竖直方向的发散度变化可以发现, 透镜的光斑并不是标准的圆形, 而是圆度随传播距离不断变化的类椭圆形.

3.4   光强增益

光强增益也称功率密度增益, 定义为

$$K\left(E\right)=\frac{{j}_{2}\left(E\right)}{{j}_{1}\left(E\right)} \text{, }$$

(24)

其中, ${j}_{1}\left(E\right)$是无透镜时由X射线光源发射到某一距离时单位面积的X射线光强, ${j}_{2}\left(E\right)$是有透镜时到达同样距离处时单位面积的X射线光强. 本次模拟中, 选取入口端和出口端的截面作为基准进行计算. 表3整理了不同长度SGTDL的光强增益, 结果显示, 随着设计透镜的长度不断增加, 光子在透镜内部传输时所损失的比例不断降低, 光强增益不断增高.

3.5   光斑形貌

图9 为SGTDL出口处光斑形貌. 平行入射的软X射线激光经过弯管传输后, 在出口处的光强分布呈双心的类高斯分布, 如图9(a)所示, 图中纵轴与颜色条均代表相对强度的大小. SGTDL出口处的光斑与以往设计的透镜有很大不同, 以往透镜焦斑处的光强分布通常为圆环或者斑点状, 而SGTDL的光斑更接近蘑菇状, 如图9(b)所示. 与图9(a)一样, 图9(b)中颜色代表相对强度的大小. 形成这种光斑的原因主要是由于光线在玻璃管内处于旋转反射的状态, 光子所处的运动路径是扭曲的, 所以原本入射时在一个圆周上的光子, 出射时会呈“8”字分布.

4.   结　论

本文设计了一种针对软X射线激光去相干的单玻璃管透镜, 并针对此类非轴对称非成像类光学元件的各项性能进行了模拟与仿真. 去相干单玻璃管软X射线激光透镜在保证传输效率的前提下, 有效调控降低激光的相干度, 同时元件还能显著提升光强增益到一个数量级以上, 调控后的光束发散度能够保持在30—50 mrad之间, 可以满足不同应用场景下的需求. 本文还探究了入射光能量、透镜长度与透镜各项性能的关系, 结果表明: 随着入射光线能量的降低, 传输效率随之上升; 透镜尺寸越长、光线反射临界角越小, 越能保证传输效率和发散度在较优的范围中. 下一步将会根据具体的应用场景设计基于玻璃管透镜的光学系统, 以满足不同条件下的应用需求.