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超导转子磁悬浮装置可制作角速度传感器, 超导转子的高速驱动是实现超导转子磁悬浮装置高精度的基础. 超导转子的热损耗和径向质量偏心会使超导转子在驱动过程中热失超和共振, 所以在超导转子的驱动过程中, 超导球腔中需要保持定量的氦气, 以此传递超导转子的产热和抑制超导转子的共振. 但氦气同时会对超导转子产生阻力, 影响超导转子的驱动过程. 基于此开展了超导转子在氦气中的阻力矩研究, 首先引入范德瓦耳斯方程分析了低温氦气的性质, 提出了一种低温氦气对超导转子阻力矩的研究方法, 并进行实验验证. 然后基于有限元方法分析了超导转子旋转驱动的电磁结构和电磁力矩, 并研究了氦气对超导转子加速过程的影响, 包括临界驱动速度、超导转子的加速时间和氦气对超导转子的摩擦热等. 研究结果提供了一种低温气体对旋转超导体阻力矩的研究方法, 为进一步优化超导转子的驱动过程提供参考.The superconducting rotor magnetic levitation device can be used to make an angular velocity sensor, and the high-speed rotating superconducting rotor is the basis for achieving high-precision measurement of the superconducting rotor magnetic levitation device. The heat loss and radial mass eccentricity of the superconducting rotor can cause thermal quenching and resonance in the driving process, which is unfavorable to the driving process of the superconducting rotor. Therefore, it is necessary to maintain a certain quantity of helium gas in the superconducting cavity in the driving process, to transfer the heat generated by the driving process and avoid its resonance. But helium gas also has a drag torque on the rotating superconducting rotor, affecting the driving process of the superconducting rotor. Based on this, the drag torque of the helium on the rotating superconducting rotor is studied. Firstly, the Van der Waals equation is introduced to analyze the properties of low-temperature helium, and a method of studying the drag effect of low-temperature helium on the rotating superconducting rotor is proposed based on Reynolds law and Stoke’s first problem. Then, an experiment on superconducting rotor speed attenuation is conducted to verify the proposed analysis method. Based on the finite element method, the driving electromagnetic structure and driving torque of the superconducting rotor are analyzed. Finally, the influence of helium on the driving process of the superconducting rotor is investigated, including critical driving speed, acceleration time of the superconducting rotor, and frictional heat of the helium on the superconducting rotor. The research results further enrich the study of the drag torque of low-temperature gases on rotating superconductors, providing a reference for further optimizing the driving process of superconducting rotors.
1. 引 言
超导体的迈斯纳效应和零电阻特性可使磁场中的超导体实现近乎零损耗的非接触支撑[1–4]. 超导转子在极低的温度下工作, 其材料具有膨胀系数小、蠕变小和化学活性低的优势[5,6], 因此应用超导磁悬浮技术的仪器具有极高的精度潜力. 高速旋转转子的极轴在惯性坐标系中具有固定的方位, 基于此原理, 超导转子磁悬浮装置可制作高精度角速度传感器. 超导转子的转速越高, 其极轴的定向性越好, 即超导转子的高转速是实现超导转子磁悬浮装置高精度测量的基础. 高速旋转的超导转子由悬浮线圈产生的磁场悬浮, 并由定子线圈产生的脉冲磁场驱动. 超导转子在驱动过程中存在各种热损耗, 同时超导转子的径向质量偏心会使超导转子在驱动过程发生共振[7]. 所以超导转子在加速过程中, 超导球腔需要保持足够量的氦气, 传递超导转子的产热以及抑制超导转子的共振.
然而, 超导球腔中的氦气也会对旋转的超导转子产生阻力矩, 从而影响超导转子的加速过程. 关于气体在旋转转子上的阻力矩已有许多研究. 文献[8]测量了低密度气流中的阻力; 文献[9–12]研究了自由旋转转子在稀薄气体的阻力矩; 文献[13]给出了超导转子在中等压强氦气的阻力矩公式, 但该公式不含压强参数, 因此在高压条件下误差较大. 以上研究大都属于稀薄气体领域的氦气对自由旋转超导转子的阻力矩, 而属于较高压强的氦气对超导转子阻力矩的研究很少. 为确保超导转子加速过程的可靠性, 超导球腔在驱动前需要充入足够量的氦气, 最高可达到一个大气压. 因此研究属于非稀薄气体领域的氦气对超导转子的阻力矩对优化超导转子的驱动过程具有重要意义.
本文在上述研究基础上, 开展了超导转子在属于非稀薄气体的氦气中转动的阻尼特性研究, 引入范德瓦耳斯方程分析了超导低温下气体的克努森数, 结合斯托克斯第一问题和雷诺定律分析了超导转子的阻力矩并进行实验验证, 然后通过有限元方法分析超导转子的驱动电磁力矩, 最后研究超导转子驱动过程中氦气阻力矩的影响, 如驱动临界转速、加速时间和摩擦热等. 分析结果为超导低温下非稀薄气体对旋转体的阻力研究, 以及超导转子驱动结构的优化提供参考.
2. 超导转子的氦气阻力矩分析
2.1 超导球腔的氦气流分析
气体可划分为非稀薄气体和稀薄气体, 非稀薄气体符合连续介质假设, 而稀薄气体可分为滑流、过渡流和自由分子流. 克努森数Kn可作为划分气体种类的依据, 克努森数小于0.01的气体属于非稀薄气体, 克努森数大于0.01的气体属于稀薄气体. 克努森数是分子平均自由程λ与流动特征长度L的比值[14,15], 克努森数Kn的公式:
$$ {K}_{n}=\frac{\lambda }{L}=\frac{1}{\sqrt{2}\text{π}{d}^{2}nL}, $$ (1) 式中, d是气体分子直径, n是分子数密度.
本文主要研究属于非稀薄气体领域的氦气在4.2 K温度下对超导转子的阻力矩. 超导球腔的分子数密度n, 由超导球腔的压强P决定. 在4.2 K的超低温下, 理想气态方程不能正确反映超导球腔的分子数密度和超导球腔压强的关系[16,17], 此时需要引入范德瓦耳斯方程分析超导球腔的气体特性:
$$ \left(P+\frac{{n}^{2}}{{N}_{\text{A}}^{2}}\cdot a\right)\left(1-\frac{n}{{N}_{\text{A}}}\cdot b\right)=\frac{n}{{N}_{\text{A}}}RT, $$ (2) 式中NA是1 mol分子中的分子数, a和b是范德瓦耳斯方程常数, R是理想气体常数, T是绝对温度. 氦气的范德瓦耳斯方程常数a等于0.03412 atm·L2/mol2, b等于0.0237 L/mol[18]. 氦气的分子直径为2.18×10–10 m, 特征尺寸由超导转子磁悬浮系统的标称间隙决定.
图1是超导转子磁悬浮装置的结构示意图, 超导转子磁悬浮结构由超导转子、整形铌块、悬浮线圈和中心柱组成, 其中定子线圈和力矩线圈绕制在中心柱上. 超导体的迈斯纳效应使得悬浮线圈产生的磁场无法穿透超导转子和整形铌块, 被迫流入超导转子和整形铌块之间的狭窄缝隙形成高密磁通, 从而实现对超导转子的悬浮. 力矩线圈产生的磁场使超导转子保持竖直状态, 定子线圈产生的脉冲磁场实现对超导转子的驱动. 超导转子顶部的花纹图案与光纤检测系统用来识别超导转子的旋转位置和旋转速度[19]. 超导转子的直径为50 mm, 由铌块形成的超导球腔直径为51 mm, 则超导球腔的氦气流特征尺寸等于0.5 mm. 结合方程(1)和方程(2)可计算超导球腔不同氦气压强对应的克努森数Kn, 如表1所示.
压强/Pa 克努森数Kn 气体领域 P > 38.4 Kn < 0.01 非稀薄气体 38.4 > P > 3.84 0.01 < Kn < 0.1 滑流 3.84 > P > 0.0384 0.1 < Kn < 10 过渡领域 0.0384 > P 10 < Kn 自由分子流 在超导转子驱动过程中, 超导球腔的氦气属于非稀薄气体, 可用流体力学的边界层理论对超导转子的阻力矩进行分析. 非稀薄气体符合连续介质假设, 所以超导转子表面的气体会随之旋转. 超导转子的工作转速设置在200 Hz以内, 按200 Hz计算超导转子表面边界层气流的最大马赫数:
$$ Ma = {v}/{c} = 0.092, $$ (3) 式中, v是超导转子表层的最大速度, c是声速.
当气体马赫数小于0.3时, 可认为气体是不可压缩流体, 其体积力可被忽略[20]. 在温度4.2 K、压强105 Pa、超导转子的转速200 Hz时, 通过(2)式和(4)式可得出氦气流雷诺数是2060, 则超导转子表面层中的氦流属于层流[20]. 所以超导转子在运行过程中, 其表面的边界层属于不可压缩层流:
$$ {Re} = {{\rho vL}}/{\mu }, $$ (4) 式中, Re为雷诺数, ρ为氦气密度, L为流量特征尺寸.
2.2 氦气对超导转子的阻力矩研究
超导转子的半径为25 mm, 超导球腔中氦气存在的区域可近似看作厚度为0.5 mm的薄球壳. 因为边界层厚度小于球壳厚度, 所以边界层厚度远小于超导转子半径. 因此超导转子表面的面积微元的瞬时运动产生的边界层, 类似于平板在同样的氦气中的瞬时运动产生的边界层. 所以氦气对超导转子表面微元的阻力可类比平板在不可压缩层流中运动的阻力分析. 斯托克斯研究了平板在属于不可压缩层流的黏性流体中突然移动时的阻力, 称为斯托克斯第一问题, 并给出了流体剪切应力的计算公式[20]:
$$ {\tau _{\text{w}}} = {C_{\text{f}}} \cdot {{\rho {U^2}}}/{2}, $$ (5) $$ {C_{\text{f}}} = \frac{{ {2}/{{\sqrt {\text{π }} }}}}{{\sqrt {{Re} } }}, $$ (6) 式中, Re是流体雷诺数, ρ是流体密度, U是边界层外流体相对于板的速度.
参考斯托克斯第一问题的解, 超导转子表面的面积微元ds的氦气阻力可以通过方程(5)计算. 根据雷诺定律, 流体阻力系数Cf只与具有一定形状的物体的雷诺数有关[21]. 所以超导转子表面的面积微元附近区域的阻力系数${C_{{{\text{f}}_1}}}$可以设置:
$$ {C_{{{\text{f}}_1}}} = {\alpha }/{{Re}^\beta}. $$ (7) 超导转子的结构如图2所示. 超导转子由球壳、空心圆柱体和薄圆柱体组成. 超导转子与氦气直接接触的表面主要包括球壳的外表面S1、内表面S21和S22、薄圆柱体的顶面S5和底面S6、空心圆柱体的内表面S4和外表面S3. 结合(5)式和(7)式可计算氦气在转子球表面微元ds的阻力矩:
$$ {\text{d}}T = r{\text{d}}f = r{C_{{{\text{f}}_1}}}\frac{{\rho {U^2}}}{2}{\text{d}}s{.} $$ (8) 超导转子球的外球面半径为25 mm, 薄圆柱顶S5到转子赤道平面的距离为23.29 mm, 则球壳外表面S1的阻力矩可表示为:
$$ {T}_{{S}_{1}}={\displaystyle \iint R\text{sin}\theta \cdot \frac{1}{2}{C}_{{\text{f}}_{1}}\cdot \rho {v}^{2}\text{d}s\text{ }}, $$ (9) 式中, R是超导转子半径, θ是转子表面微元ds与转子坐标系OZ轴的夹角, O是转子球心, OZ轴与旋转轴方向一致.
Schlichting在“边界层理论”中提到, 对于两侧润湿的薄圆盘, 可将其雷诺数统一表示[22],
$$ {{Re}}=\frac{\rho L{R}_{0}w}{\mu }, $$ (10) 式中, R0是圆盘的半径, w是圆盘转子的转速.
所以超导转子也采用统一的雷诺数简化(9)式的计算, 其中L = 0.5 mm, R0 = 25 mm, 则$ {T_{{S_{1}}}} $为
$$ {T_{{S_{1}}}} = {C_{{{\text{f}}_{1}}}} \cdot \rho {w^2} \cdot 3.60608 \times {10^{ - 8}}{.} $$ (11) 图2中超导转子球壳内表面S2包括半径为24.25 mm的球面S21和半径为22 mm、高度为20.96 mm的圆柱形侧面S22; 空心圆柱内表面S4半径为9.08 mm, 外表面S3半径为8.33 mm, 高度为45.96 mm; 薄圆柱体与氦气接触的表面S5和S6的半径为9.11 mm. 参考外球面S1阻力矩的分析方法, 可计算出超导转子的总氦气阻力矩:
$$ \begin{split}{T_S} =\;& {T_S}_{_{1}} + {T_S}_{_{{21}}} + {T_S}_{_{{22}}} + {T_S}_{_{3}} + {T_S}_{_{4}} + {T_S}_{_{5}} + {T_S}_{_{6}}\\ =\;& {C_{{{\text{f}}_{1}}}}\rho {w^2}{k_0}{,}\\[-1pt] \end{split}$$ (12) (12)式中:
$$ {k_0} = 6.40117 \times {10^{ - 8}}{,}\;\;{C_{{{\text{f}}_1}}} = \frac{\alpha }{{R{e^\beta }}}{,} $$ (13) (13)式中α和β属于待定系数, α和β通过拟合氦气阻力矩TS和超导转子角速度w确定.
2.3 超导转子转速衰减试验
超导转子转速w和相应的氦气阻力矩TS可通过超导转子的转速衰减实验获得. 当超导转子被驱动到一定的旋转速度时, 定子线圈断电, 则超导转子的旋转速度在氦气阻力矩作用下逐渐衰减. 通过记录时间t对应的超导转子旋转速度w, 可间接测量超导转子的氦气阻力矩TS:
$$ {T_S} = {J_{\text{z}}}\frac{{{w_1} - {w_2}}}{{{t_1} - {t_2}}}{,} $$ (14) 式中, w1是时刻t1的转速, w2是时刻t2的转速, Jz是超导转子的转动惯量.
通过超导转子转速度衰减实验测量氦气阻力矩的关键是, 确保超导转子转速度衰减的主要因素是氦气. 影响超导转子转速衰减的因素主要有氦气阻尼和径向质量偏心[11]. 力矩器通电产生的磁场使超导转子始终保持竖直状态[23], 可大程度地降低径向质量偏心对超导转子的转速衰减的影响. 图3(a)是超导转子内部的力矩器模型, 力矩器包括8个力矩线圈, 对称分布在超导转子的内开圆柱孔. 基于矢量磁势A方程在有限元软件Ansoft建模超导转子磁悬浮结构, 对超导转子磁悬浮系统的磁场分布和麦斯纳力进行求解[24,25]. 力矩器通电3 A超导转子内壁产生的磁场分布如图3(b)所示, 超导转子在竖直状态时, 超导转子内孔的磁场关于球心对称分布, 此时力矩器磁场对超导转子产生的磁力矩为零; 超导转子倾斜时, 超导转子内孔的磁场不在均匀分布, 从而产生定中力矩, 使超导转子回到竖直状态. 图1中铌环的作用是屏蔽悬浮线圈产生的磁场, 使悬浮线圈的磁场只作用在超导转子的球面上, 而非球面部分没有磁场, 如图4所示. 超导体表面的迈斯纳力垂直于超导体表面并向内, 作用在球面的迈斯纳力均过球心, 因此悬浮线圈磁场在超导球上不产生磁力矩.
图5是超导转子转速衰减实验示意图, 在降温前使超导球腔充入足量的氦气, 使超导球腔在降温过程有足够好的传热性. 超导转子转速衰减实验操作如下.
首先, 将超导转子冷却至4.2 K, 并用真空泵将超导球腔的氦气抽到压强P.
其次, 通过力矩器电流源对力矩线圈通电10 A, 保持超导转子的竖直状态. 通过悬浮电流源对悬浮线圈通电, 将超导转子悬浮在超导球腔中心位置. 然后对超导转子进行驱动, 光纤测控系统向定子电流源发送控制信号, 控制定子线圈的通电和断电, 将超导转子加速到w0.
最后, 关闭定子电流源, 通过示波器记录转子转速w随时间t变化的数据. 在实验过程中力矩线圈一直通电10 A, 对超导转子进行定中, 从而使超导转子转速降低的主要因素是氦气阻力矩. 改变超导球腔的压强P, 并重复上述实验. 在实验中, 超导球腔的压强主要由真空泵改变, 超导球腔的压强通过手动调节阀门的开和关来控制. 因此, 很难将超导球腔压强控制在精确的预设值. 速度衰减实验数据如图6所示. 超导腔的压强设定为0.016, 0.221, 3.27, 20, 200, 4000, 40000 Pa.
2.4 阻力矩方程待定系数的拟合分析
超导球腔中氦气分子数密度n与低温氦的质量密度ρ之间的关系为
$$ \frac{n}{{{N_{\text{A}}}}} = \frac{\rho }{M}{,} $$ (15) 式中, n是分子数密度, NA是1 mol氦的分子数, ρ是氦的密度, M是1 mol氦气分子的质量.
将(15)式代入(2)式得到超导球腔中氦气的质量密度ρ和压强P之间的关系:
$$ \left(P+\frac{{\rho }^{2}}{{M}^{2}}\cdot a\right)\left(1-\frac{\rho }{M}\cdot b\right)=\frac{\rho }{M}RT. $$ (16) 非稀薄气体中, 气体的黏度系数不受气体分子密度的影响, 而是由温度决定[26,27]. 昂纳斯和韦伯研究了氦气的动态黏度, 并给出了用于计算氦气黏度的方程[27]:
$$ \begin{split}&\eta ={\eta }_{0} ( {T}/{{T}_{0}})^{0.647},\\ &{\eta }_{0}{|}_{{T}_{0}=273.15\;\text{K}}=18.87\times {10}^{-6}\;\text{Pa}\cdot \text{s}.\end{split} $$ (17) 通过(17)式可计算出氦气在4.2 K下的动态黏度是1.267×10–6 Pa·s. 图6记录数据中任意两个相邻点的平均氦气阻力矩T可通过方程(14)计算, 然后选择其中一点作为氦气阻力矩T对应的转速w. 变换方程(12):
$$ {C_{{{\text{f}}_{1}}}} = \frac{\alpha }{{{{{Re} }^\beta }}} = \frac{{{T_{\text{S}}}}}{{6.40117 \times {{10}^{ - 8}}\rho {w^2}}}. ^{ } $$ (18) 令
$$ x = {Re} = \frac{{\rho LR}}{\mu }w,~~ y = \frac{{{T_{\text{S}}}}}{{6.40117 \times {{10}^{ - 8}}\rho {w^2}}}. $$ (19) $$ {\log _{10}}y = {\log _{10}}\alpha - \beta {\log _{10}}x, $$ (20) 其中${\log _{10}}y$和${\log _{10}}x$可根据测量数据计算, 然后再将${\log _{10}}y$和${\log _{10}}x$进行最小二乘法拟合可得到待定系数α和β的值. 氦气压强为200, 1000, 4000和40000 Pa时, 氦气属于非稀薄气体. 使用上述压强下的转速衰减实验数据拟合待定系数α和β的结果如图7. 图7中$ {\log _{10}}y $与${\log _{10}}x$线性变化表明, 超导转子阻力矩在不同氦气压强下有相同的系数α和β, 即所得到的阻力矩方程符合实验. 拟合结果为α = 0.96427, β = 0.9569, 则超导转子的阻力矩方程:
$$ {T}_{S}=\frac{0.96427}{\left(\dfrac{\rho LR}{\mu }w\right)^{0.9596}}\cdot \rho {w}^{2}\cdot {k}_{0}. $$ (21) 超导转子在氦气的阻力矩作用下的动力学方程为
$$ {J_z}\dot w = - {T_S}, $$ (22) 式中, Jz是超导转子绕旋转轴的惯性矩, Jz = 4.32×10–5 kg·m2. 联立(21)式和(22)式, 可推导出超导转子在氦气阻力矩作用下的转速衰减方程:
$$ w = \left[-\frac{{\alpha (\beta - 1){k_0}}}{{{J_z} \cdot {{\Big({ {{LR}}/{\mu }}\Big)}^\beta }}}{\rho ^{1 - \beta }} \cdot t + {{\Big( {\dfrac{1}{{{w_0}}}} \Big)}^{1 - \beta}}\right]^{\tfrac{1} {\beta - 1}}, $$ (23) 式中, w0是超导转子的初始转速, ρ是低温氦气密度.
上述方程是基于斯托克斯第一问题和N-S方程的解, 它适用于符合连续介质假设的气体. 克努森数小于0.1的氦气是符合连续介质假设的气体, 使连续介质假设成立的克努森数上限可增加到0.2[14]. 压强3.27, 20, 200, 1000, 4000, 40000 Pa的氦气可以视为连续介质. 图8是在非稀薄气体中超导转子的转速衰减的实验数据和理论计算数据的对比, 图9是稀薄气体中的超导转子转速衰减实验数据与理论计算数据对比. 表2是在不同氦气压强下, 实验结果与(23)式计算结果的平均误差(最大误差)与测试时间的比值. 结果表明在符合连续介质假设的氦气中, 超导转子转速衰减1 h累积的最大误差不超过3.6%, 累积的平均误差不超过1.6%. 而在稀薄气体中, 超导转子转速衰减1 h累积的最大误差可达到27.6%, 累积的平均误差可达到13.08%.
氦气压强/Pa 平均误差(衰减1 h)/% 最大误差(衰减1 h)/% 40000 1.5 3 4000 1.46 2.05 1000 2.14 4.18 200 –1 –2 20 1.6 3.6 3.27 1 2 0.221 –10.34 –20.07 0.016 –13.08 –27.6 通过以上分析表明, (23)式计算的超导转子在非稀薄气体中的转速衰减数据与超导转子转速衰减实验数据是一致的, 则(21)式计算的非稀薄气体阻力矩是正确的. 由于超导转子的加工和装配误差, 超导转子的表面不是理想的球面, 这是计算结果与试验结果之间存在误差的主要原因.
3. 超导转子的驱动力矩分析
超导转子驱动结构主要包括超导转子、超导定子和超导力矩器三部分, 如图10所示, 超导定子产生的脉冲磁场作用在超导转子使其产生加速力矩; 超导力矩器的磁场作用在超导转子使其维持其在加转过程中的竖直状态. 基于矢量磁势A方程的有限元方法可计算超导转子的麦斯纳力矩. 在有限元软件Ansoft中建立超导转子驱动结构模型有限元模型, 其中超导体的相对磁导率设置10–7, 电导率设置107, 其他部分设置为真空条件; 悬浮线圈区域的电流密度J设置为线圈电流与线圈截面积之比, 其他区域的电流密度设置为零; 远大于所建模型的计算域外边界设置Dirichlet边界条件, 其他边界条件设置自然边界条件. 然后便可根据悬浮线圈输入的电流, 计算出超导磁悬浮系统的矢量磁势A的分布, 由麦克斯韦方程可计算出超导转子表面磁场的分布, 由虚功原理可计算出超导转子的迈斯纳力矩[28].
超导转子是内开圆柱孔的空心薄壁球, 并在圆柱孔侧面对称开4个窗口, 所有窗口侧棱面指向球心, 所以超导转子驱动力矩的变化角周期是90°. 图11是定子线圈通电50 A, 超导转子在起始位置的磁场分布. 定子磁场作用在超导转子内开窗口的侧棱实现对超导转子的驱动. 超导转子绕极轴旋转90°, 超导转子的驱动力矩分布如图12(a)所示. 超导定子实际包括两路相同的定子线圈, A路和B路, 两路线圈关于竖直轴45°旋转对称. 在驱动过程中, 两路定子线圈交替作用实现超导转子的连续驱动, 如图12(b)所示. 超导转子在逆时针加速过程中, 0°—45°位置A路作用, 45°—90°位置B路作用. 超导转子转速超过20 Hz后, 每个定子线圈的作用时间只有几个毫秒, 此时超导转子近似均匀加速, 可采用平均力矩分析超导转子的驱动效果. 定子通电10 A, 两路定子同时作用, 一个驱动周期的平均驱动力矩是1.0567×10–5 N·m. 由超导转子的麦斯纳力方程(24)及麦克斯韦方程$\nabla\times H=J $, 可推出作用在超导转子的迈斯纳力矩与电流的平方成正比.
$$ {\text{d}}f = \frac{{{B^2}}}{{2{\mu _0}}}{\text{d}}s, $$ (24) 式中, B微元面积ds处的磁场强度, μ0真空磁导率. 超导转子的驱动力矩T0与定子电流I0的关系:
$$ {T_0} = 1.0567 \times {1}{{0}^{{{ - 7}}}} \cdot I_{0}^{2}. $$ (25) 4. 氦气阻力矩对超导转子驱动过程的影响
超导磁悬浮装置在使用中要求超导转子快速加速到目标转速, 使超导转子磁悬浮装置快速投入使用. 由于超导转子存在径向质量偏心等因素, 在驱动过程中需要对超导转子的磁支承刚度进行调控以避免超导转子的共振[7], 因此超导转子不能加速过快. 所以通过设置氦气阻尼控制超导转子的加速时间等参量, 对优化超导转子的驱动过程具有重要意义. 氦气阻尼对超导转子驱动过程的影响主要包括驱动临界转速、加速时间、氦气与转子之间的摩擦热等. 基于阻力矩公式(21)和驱动力矩公式(25)可以分析驱动过程中的驱动临界速度、加速时间和摩擦热功率.
超导转子在驱动过程中, 力矩线圈通电使超导转子保持竖直状态, 使超导转子的驱动力矩方向与旋转方向一致. 铌环使悬浮线圈产生的磁场只作用在超导转子的球面部分, 除了定子线圈产生的磁场外, 其他磁场几乎不会在超导转子上产生磁转矩. 因此, 在超导转子驱动过程中只考虑驱动力矩T0和氦气阻力矩, 驱动过程的动力学方程如下:
$$ {T_0} - {k_1} \cdot {w^{2 - \beta }} = {J_z}\dot w , ~~ {k_1} = \frac{{\alpha {\rho ^{1 - \beta }} \cdot {k_0}}}{{{{\left({{LR}}/{\mu }\right)}^\beta }}}. $$ (26) 设超导转子的初始角速度为零. (26)式表明氦气阻力矩随着转子角速度的增加而逐渐增大, 超导转子的角加速度随着角速度的增大而减小, 最终达到驱动力矩等于氦气阻力矩, 转子速度达到临界驱动速度wc的状态.
$$ {T}_{0}=\frac{\alpha }{\left( {\rho LR{w}_{\text{c}}}/{\mu }\right)^{\beta }}\cdot \rho {w}_{\text{c}}{}^{2}\cdot {k}_{0}, $$ (27) 式中, 超导转子的临界驱动转速wc由驱动力矩T0和氦气压强P共同决定. 在氦气压强P一定时, T0越大, 超导转子临界驱动转速越大; 在驱动力矩T0一定时, 氦气压强越大, 超导转子的临界驱动转速越小. 图13给出了具体算例, 计算了驱动力矩1×10–5, 2×10–5和5×10–5 N·m. 驱动力矩1×10–5, 2×10–5和5×10–5 N·m对应的驱动电流可由(25)式计算. 图13表明, 氦气压强在100—10000 Pa之间时, 超导转子临界驱动速度随着氦气压强的增大而明显变化. 当驱动转矩T0等于5×10–5 N·m时, 100和10000 Pa的氦气压强之间的临界驱动速度差为167 Hz. 当压强增大超过10000 Pa后, 随着压强的增大, 临界驱动速度变化缓慢.
超导转子的驱动过程中, 转速w随时间t的变化可通过求解微分方程(26)获得. 对方程(26)进行变化得:
$$ \int_0^{{w_0}} {\frac{{{J_{\text{z}}}}}{{{T_0}}} \cdot \dfrac{{{\text{d}}w}}{{1 - \dfrac{{{k_1}}}{{{T_0}}}{w^{2 - \beta }}}}} = \int_0^{{t_0}} {{\text{d}}t} . $$ (28) 超导转子的工作转速设置为200 Hz, 超导球腔的氦气压强设置在100—100000 Pa之间. 根据临界转速的分析, 超导转子的驱动力矩应不小于2×10–5 N·m. 根据上述条件, 可计算出$k_1w^{2-\beta}/T_0$的最大值:
$$ {\left( {\frac{{{k_1}}}{{{T_0}}}{w^{2 - \beta }}} \right)_{\max }} = 0.6655 < 1. $$ (29) 因$k_1w^{2-\beta}/T_0 $的最大值小于1, 可对方程(28)进行泰勒多项式展开:
$$ \frac{{{J_z}}}{{{T_0}}}\int_0^{{w_t}} {\left[1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{{{k_1}}}{{{T_0}}}{w^{2 - \beta }}} \right)}^n}} \right]{\text{d}}w} = t. $$ (30) 取(30)式等号左边的前10项求解方程:
$$ \frac{{{J_z}}}{{{T_0}}}\sum\limits_{n = 0}^{10} {\frac{1}{{2n - \beta n + 1}}\frac{{ k_1^n}}{{ T_0^n}}} {w_t}^{2n - \beta n + 1} = t. $$ (31) 结合(30)式和(25)式可分析超导转子在任意驱动电流和氦气压强下的加速过程. 例如, 当驱动力矩2×10–5 N·m时, 超导转子的加速过程如图14所示. 超导转子将转子驱动到200 Hz的加速时间与压强P之间的对应关系, 如图15所示. 图14表明超导转子转速不超过50 Hz时, 不同压强的氦气阻力矩对超导转子的驱动过程影响很小; 超导转子转速超过50 Hz后, 不同氦气压强开始对超导转子的加速过程产生显著影响. 氦气压强100 Pa时超导转子加速到200 Hz的时间为3663 s, 而氦气压强100000 Pa加速到200 Hz的时间是4293 s, 氦气压强100 Pa与100000 Pa的加速时间相差630 s. 图15显示氦气压强达到10000 Pa后, 压强的增大几乎对加速时间(200 Hz)的影响很小. 在氦气压强100—10000 Pa时, 氦气压强对其加速到200 Hz的时间有明显影响. 当驱动力矩2×10–5 N·m时, 氦气压强100—10000 Pa之间的驱动时间差为629.7 s; 当驱动力矩为5×10–5 N·m时, 氦气压强100—10000 Pa之间的驱动时间差仅为52.9 s. 驱动力矩越大, 氦气阻力矩对加速时间的影响越小.
超导转子的驱动力矩T0的增大通过增大定子电流I0实现. 然而, 由于超导转子临界磁场以及低温系统的限制, 定子线圈中的电流不能过大. 同时超导转子在驱动过程中, 超导球腔的氦气必须保持足够, 使超导转子的热及时传递. 否则, 超导转子在驱动过程中将失去超导性, 导致加速失效, 甚至损坏超导转子. 超导转子在旋转过程中与氦气之间的摩擦热也是驱动过程中的热损失. 氦气对超导转子的摩擦热为
$$ {P_{{w}}} = {T_S} \cdot w, $$ (32) 式中, Pw是转速w下的氦气摩擦热. 将(23)式代入(32)式:
$$ {P_w} = {k_2} \cdot {w^{3 - \beta }}, ~~~~ {k_2} = \frac{{\alpha {\rho ^{1 - \beta }} \cdot {k_0}}}{{{{\left( { {{LR}}/{\mu }} \right)}^\beta }}}. $$ (33) 氦气与超导转子表面的摩擦热随着转速的增大而增大. 超导转子转速200 Hz时, 不同氦气压强产生的摩擦热可通过(32)式计算, 计算结果如图16所示. 计算结果表明, 在符合连续介质假设的氦气中, 摩擦热可达10 mW以上. 在100—10000 Pa之间, 摩擦热变化明显, 其对应的摩擦热功率差为4.5 mW, 当压强大于10000 Pa时, 摩擦热的变化缓慢.
5. 结 论
本文针对一种超导转子磁悬浮结构, 分析了超导转子在非稀薄气体中旋转的阻尼特性. 引入了范德瓦耳斯方程分析了4.2 K低温时不同压强氦气对应的流体特性, 并分析了超导转子在驱动过程中, 其边界层的流体属性.
基于雷诺定律和斯托克斯第一问题, 提出了一种非稀薄气体对超导转子阻力矩的分析方法, 并进行超导转子转速衰减实验验证. 该方法进一步完善了低温氦气对旋转超导体阻力矩的研究.
本文分析了超导转子驱动电磁结构, 基于有限元方法研究了超导转子的驱动力矩与定子电流的关系, 然后结合氦气阻力矩方程分析了超导转子在非稀薄气体中驱动的过程, 主要包括超导转子的临界驱动转速、超导转子的加速时间以及氦气对超导转子的摩擦热等. 可以通过控制氦气压强和定子电流控制超导转子的加速过程及对应的加速时间和摩擦热等. 综合超导转子驱动过程的交流损耗、氦气导热特性等因素, 可进一步优化超导转子的驱动过程.
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表 1 超导球腔压强对应的克努森数
Table 1. Knudsen number corresponding to pressure in superconducting sphere cavity.
压强/Pa 克努森数Kn 气体领域 P > 38.4 Kn < 0.01 非稀薄气体 38.4 > P > 3.84 0.01 < Kn < 0.1 滑流 3.84 > P > 0.0384 0.1 < Kn < 10 过渡领域 0.0384 > P 10 < Kn 自由分子流 表 2 实验数据与理论计算误差对比
Table 2. Comparison of experimental data and theoretical calculation errors.
氦气压强/Pa 平均误差(衰减1 h)/% 最大误差(衰减1 h)/% 40000 1.5 3 4000 1.46 2.05 1000 2.14 4.18 200 –1 –2 20 1.6 3.6 3.27 1 2 0.221 –10.34 –20.07 0.016 –13.08 –27.6 -
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