1.   引　言

电磁超材料吸波体指的是能够吸收电磁波的人工电磁超材料. 最早使用的电磁吸波材料是自然界中存在的具有电磁损耗的材料, 例如: 碳粉、铁氧体或多种吸波材料复合而成的材料等, 其往往具有吸收带宽窄、质量重、剖面高等缺点. 例如Salisbury屏有着1/4λ的厚度和极窄的频带^[1]. 在过去10余年中, 超材料吸波体的发展十分迅速, 自2008年Landy^[2]提出完美吸波体后, 许多研究者在拓宽吸波体带宽、降低吸波体剖面、解决吸波体极化敏感度以及相关理论问题上做了很多贡献^[3-14]. 不同的结构会达到不同的设计效果, 超材料吸波体为吸波材料的设计提供了更大的设计自由度. 理想的电磁吸波材料应该具有宽带、宽角、极化不敏感、剖面低、质量轻等特性. 在自由空间中, 对电磁吸波材料来说, 入射到其表面的电磁波的角度和极化是无法提前预知的, 因此需要其具有很宽的吸收角度和对入射电磁波极化的不敏感度, 以有效吸收未知的入射电磁波. 在已有的研究论文中, 大多数涉及宽角吸波体的论文仍然是设计特殊的结构来达到宽角吸波的目的^[15-20]. 文献[21—23]推导了TM波(横磁波, 磁场方向与入射面垂直的平面电磁波)照射下吸波体的反射系数, 建立了反射系数与等效电磁参数的关系, 通过分析反射系数可以找到实现完美吸波体的等效电磁参数, 设计满足该等效电磁参数的超材料可实现相应的吸波效果^[21-23]. 通过设计特殊结构能够实现相应的等效电磁参数^[24,25], 文献[21]设计了一种双面螺旋环的超材料吸波体验证了该理论的正确性. 需要指出的是, 反射系数还与电磁波入射角度和介质厚度有关, 因此, 可以进一步分析入射角度、厚度与反射系数和等效电磁参数之间的关系, 来指导设计低剖面宽角度吸波材料. 另外, 前面提到吸波体的极化不敏度也非常重要, 入射的任何平面电磁波都可以分解成TE波(横电波, 电场方向与入射面垂直的平面电磁波)和TM波的组合形式, 因此对TE波照射时的理论分析也是有必要的.

本文基于电磁理论推导出了TE波和TM波照射下带反射地板的单层介质实现宽角度吸波材料所需要的等效电磁参数. 推导结果发现, 在该模型下, 介质实现低剖面宽角度吸波效果所需要的等效电磁参数主要与等效磁导率有关而与等效介质常数关系甚微, 而TE波和TM波照射下实现宽角度吸波所需要的等效电磁参数也不同. 因此, 如果要实现TE波和TM波不敏感的宽角度吸波体的设计, 或许需要构建各向异性超材料, 这与常规设计思路有很大不同, 常规设计往往为了极化不敏感度其结构都是轴对称的. 此外, 为了找出TE波照射下和TM波照射下理论上实现宽角度吸收效果的极限角度值, 设定所有角度反射系数小于或等于–10 dB, 可以分析反射系数的等效电磁参数和厚度的取值对吸收角度的影响. 结果表明, 当等效电磁参数和厚度取某些值时, 模型会存在理论上能够达到的最大吸收角度, TE波照射下有效吸收的极限角度为86.56°, TM波照射下有效吸收的吸收角度为86.56°. 另外, 理论分析还发现当介质等效电磁参数按照特殊曲线随频率发生变化, 理论上能实现宽带宽角的吸波效果.

2.   理论分析与结果

2.1   理论模型

吸波体模型如图1所示, 上层是空气层, 设为0层, 下层为介质层, 设为1层, 整个模型在X方向和Y方向是无限延伸的. 假设各向异性介质的相对等效电磁参数为

图 1  理论模型

Fig. 1.  Theoretical model.

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当电磁波从自由空间以θ角度入射到介质表面时, 根据TE波和TM波的特性, 结合边界条件, 可以推导出两种电磁波照射下的反射系数.

假设电磁场时谐因子为${{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega t}}$, 从麦克斯韦方程组出发, TE波和TM波在空气中和介质中的电场和磁场分别可以表示为

其中$E_n^ -$和$H_n^ -$代表在n层中朝上传播的电场和磁场; $E_n^ +$和$H_n^ +$代表在n层中朝下传播的电场和磁场; n为0或1; 在空气中, ${\varepsilon _{r0 x}} = {\varepsilon _{r0 z}} = 1,$${\mu _{r0 x}} =$${\mu _{r0 z}} = 1$, ${k_0}^2 = {\omega ^2}{\mu _0}{\varepsilon _0}$, ${k_{0 z}} = {k_0}\cos \theta$, ${k_x} = {k_0}\sin\theta$. 在各向异性介质中, TE波和TM波的色散关系为

结合边界条件, 可以得到反射系数表达式:

当$\left| {{k_{1 z}}d} \right| < 0.5$, 做如下近似$\tan ({k_{1 z}}d) \approx {k_{1 z}}d$, TE波和TM波照射下的反射系数表达式则为

2.2   理论分析

在满足前面近似条件的情况下, 从(4)式中可以看出, 影响TE波和TM波反射系数的关键参量分别为${\mu _{r1 x}}, \;d, \;\theta$和${\varepsilon _{r1 z}}, \;{\mu _{r1 y}}, \;d, \;\theta$. 本文后面的分析也都是在满足前面近似条件下进行的.

为了进一步明确模型反射系数与相关参数的关系, 改变单一变量并保持其余参数变量不变的情况下, 可以根据(4)式得到反射系数与角度的关系曲线. 这里设置反射系数$R = 10\lg {\left| r \right|^2}$. TE波的情况如下, 将${\mu _{r1 x}}$的实部设置为0, 仅改变其磁导率虚部, 厚度为$d = {1 / {150}}\lambda$. 同理, TM波情况下, 假设${\varepsilon _{r1{\rm{z}}}} = 1$, ${\mu _{r1 y}}$实部设置为0、变化虚部. 当磁导率的虚部不同时, 反射系数与入射角度的关系如图2所示. 可以看出, 当虚部较小时, 在各个角度吸收都很差, 但存在一个吸收效果最佳角度. 当TE波照射时, 随着虚部变大, 最佳吸收角度会朝着大角度方向偏移, 同时, 小角度吸收效果变差; 当TM波照射时, 随着虚部变大, 最佳吸收角度会朝着小角度方向偏移, 同时, 小角度吸收效果变好, 当虚部变得更大时, 最佳吸收角度降到0°, 但此时整体吸收效果较差. 从图2可以看出, 在入射波分别为TE波和TM波的情况下, 都存在某些磁导率使反射系数在宽角度范围内保持在–10 dB以下, 其中, 当磁导率为0–j50时, 对TE波的吸收角度最宽, 为83°; 当磁导率为0–j10时, 对TM波的吸收角度最宽, 为84°. 也就是说, 在TE波和TM波入射的情况下最佳磁导率是不同的. 这点提醒我们, 设计宽角度吸波超材料时, 采用各向异性结构或许更容易实现该目标.

图 2  超材料的反射系数随入射角度和材料电磁参数取值的变化　(a) TE波; (b) TM波

Fig. 2.  The reflection coefficient of metamaterial varies with the angle of incidence and the value of the electromagnetic parameters of the material: (a) TE wave; (b) TM wave.

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为了分析${\mu _{r1 x}}$和${\mu _{r1 y}}$的实部与反射系数的关系, 将${\mu _{r1 x}}$虚部设置为–j50, ${\mu _{r1 y}}$设置为–j10, 厚度同样为$d = {1 / {150}}\lambda$. 当磁导率的实部不同时, 反射系数与入射角度的关系如图3所示. 可以看出, TE波照射时, 随着${\mu _{r1 x}}$实部逐渐变大, 最佳吸收的角度基本不发生变化, 但是最佳吸收角度处的反射系数逐渐变小, 当实部增大到一定程度时, 最佳吸收角度发生偏移, 整体吸收效果迅速恶化; 而TM波照射时, 在${\mu _{r1 y}}$实部大于1的条件下, 变化趋势与TE波一致, 但在${\mu _{r1 y}}$实部为1时最佳角度处凹陷最深. 从图中可以看出, 在入射波分别为TE波和TM波的情况下, ${\mu _{r1 x}}$和${\mu _{r1 y}}$的实部较小时整体吸收效果都较好, TE波的整体吸收效果最好时${\mu _{r1 x}}$实部为0, TM波的整体吸收效果最好时${\mu _{r1 y}}$实部为1. 实际构建磁导率实部为0的超材料十分困难, 故后续分析${\mu _{r1 x}}$和${\mu _{r1 y}}$的实部均取值为1.

图 3  超材料的反射系数随入射角度和材料电磁参数取值的变化　(a) TE波; (b) TM波

Fig. 3.  The reflection coefficient of metamaterial varies with the angle of incidence and the value of the electromagnetic parameters of the material: (a) TE wave; (b) TM wave.

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根据前面的分析, 在入射波分别为TE波和TM波的情况下, 将${\mu _{r1 x}}$取值为1–j50, ${\mu _{r1 y}}$取值为1–j10, 反射系数在厚度为$d = {1 / {150}}\lambda$时在宽角度范围内保持在–10 dB以下. 保持上述磁导率取值不变, 当介质的厚度不同时, 反射系数与入射角度的关系如图4所示. 当TE波照射时, 随着厚度的降低, 最佳吸收角度往小角度偏移, 在宽角度范围内的吸收效果都变好; 当TM波照射时, 随着厚度的降低, 吸收最佳角度往大角度偏移, 在宽角度范围内的吸收效果都变差. TE波和TM波吸收效果随厚度的变化趋势正好相反. 也就是说, 只能在某个折中的厚度下才能同时实现对TE波和TM波较宽角度的吸波效果.

图 4  超材料的反射系数随入射角度和厚度的变化　(a) TE波; (b) TM波

Fig. 4.  The reflection coefficient of metamaterial varies with incident angle and thickness: (a) TE wave; (b) TM wave.

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此外, TM波照射下${\varepsilon _{r1 z}}$对反射系数也有影响. 将${\mu _{r1 y}}$取值为1–j10, 厚度为$d = {1 / {150}}\lambda$. 保持磁导率和厚度不变, 当改变${\varepsilon _{r1 z}}$时, 反射系数与入射角度的关系如图5所示. 随着${\varepsilon _{r1 z}}$逐渐增大, 吸收角度逐渐变宽; 当${\varepsilon _{r1 z}}$增大到1时, 与前面分析一致, 出现最佳吸收角度, 吸收角度达到最宽; 当${\varepsilon _{r1 z}}$大于1时, 吸收角度基本不再发生变化, 只是最佳吸收角度处的反射系数变小, 对其他角度的吸收率影响也较小. 从图中可以看出, 当${\varepsilon _{r1 z}}$取值为1时, 最佳角度处反射系数最小. 当${\varepsilon _{r1 z}}$取值为于0时, 反射系数为–1. 故而在分析磁导率和厚度对反射曲线的影响时都将${\varepsilon _{r1 z}}$设置为1.

图 5  TM波照射下超材料的反射系数随入射角度和z方向介电常数的关系

Fig. 5.  The relationship among the reflection coefficient of metamaterials and incident angle and the dielectric constant of z direction under TM wave irradiation.

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从前面的分析结果来看, 影响TE波和TM波照射时宽角度吸收情况的等效电磁参数主要是${\mu _{r1 x}}$, ${\mu _{r1 y}}$的虚部以及厚度d, 其余参数的对宽角度吸收情况影响较小, 故而后续分析中其余等效电磁参数均设置为1, 例如${\varepsilon _{r1 z}} = 1$, ${\mu _{r1 x}} = 1 - {\rm{j}}\mu'' _{r1 x}$, ${\mu _{r1 y}} = 1 - {\rm{j}}\mu''_{r1 y}$. 为了找出TE波和TM波照射下理论上能实现宽角度吸收效果的极限角度值, 首先设定所有角度反射系数小于或等于–10 dB, 分析反射系数中磁导率的虚部和厚度的取值对吸收角度的影响. 在保证所有角度反射系数小于–10 dB的情况下, 此时可以得到一组数据图, 如图6所示, 横轴为磁导率的虚部, 纵轴为厚度, 颜色柱为最大的吸收角度值. TE波照射下, 在d为0.012λ、磁导率${\mu _{r1 x}} = 1 - {\rm{j}}54$时, 最大吸收角度为86.56°. 图中没有标出具体数值, 但实际上编写的Matlab程序可以为我们提供实现宽角度吸波的厚度和磁导率虚部的具体数值. 最大吸收角度的相关参数值会因为取值的采样率的问题而有所变化, 但是最宽吸收角度值变化微小. 从图6可以看出最大吸收角度与d和磁导率的取值关系趋势, 大致呈现一种反比例函数的关系.

图 6  超材料吸波体的吸收角度与介质厚度和${\mu _{r1 x}}$虚部的关系

Fig. 6.  The relationship among the absorbing angle of the metamaterial absorber and the substrate thickness and imaginary part of ${\mu _{r1 x}}$.

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同样地, TM波照射下, 在d为0.003λ、磁导率${\mu _{r1 y}} = 1 - {\rm{j}}13$时, 最大吸收角度为86.56°. 从该结果中可以看出TE波和TM波照射下所能实现的最宽吸收角度相同, 都能实现接近掠入射的最佳吸收效果. 从理论分析的结果来看, 如果要实现具有极宽角度的吸波材料, 可以使用各向异性的结构实现相对应的大角度的磁导率. 这与我们常规思维略有不同, 此前几乎所有的超材料吸波体为了解决极化敏感度问题, 其设计的结构都是轴对称的, 但是他们并未考虑大角度入射的问题. 但是, 这并不是说只有各向异性结构才能实现宽角度吸波, 从图6和图7中可以看出, 当x和y方向上的磁导率相同时在某些厚度下也能实现宽角度吸波.

图 7  超材料吸波体吸收角度与介质厚度和${\mu _{r1 y}}$虚部的关系

Fig. 7.  The relationship among the absorbing angle of the metamaterial absorber and the substrate thickness and imaginary part of ${\mu _{r1 y}}$.

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图6和图7展示了TE波和TM波下磁导率、厚度和吸收角度的关系, 黄色区域是吸收角度较大的区域, 因此可以根据吸波材料的设计需求来选择相应的厚度和磁导率. 例如若需要吸波材料具有宽的吸收角度同时要求有较低剖面, 可以选取厚度较小时对应的磁导率. 图中宽角度吸收的区域是连续的, 邻近磁导率和厚度的吸波材料的吸收角度相差无几, 这为实际吸波材料的设计提供了一定的弹性, 并不会因为实际设计的吸波材料的等效磁导率出现误差而导致预计吸波效果不一致.

2.3   宽带化的理论分析

前面的分析是在窄频带的情况下进行的, 那么宽带宽角度吸波材料的磁导率应该满足什么关系, 也是一个值得研究的问题. 实际上, 在设计具体的吸波材料的时候, 介质实际厚度在物理上是固定值, 其与频率没有关系, 但电尺寸厚度与频率关系为$d = ({{{d'} \cdot f}})/{c}$, 其中${d'}$是介质实际厚度, 可见电尺寸厚度与频率成正比, 即频率越高电尺寸厚度越厚. 图6和图7的纵轴其实可以替换成频率, 如此就可以推测, 当介质的磁导率虚部随频率变化的曲线落在两幅图中的黄色区域, 理论上就可以实现宽带宽角度吸波. 为了检验该结论, 从前面得到的数据中, 提取一条落在黄色区域的磁导率虚部与频率的关系曲线. 这里设定介质的实际厚度为3 mm, 即$d = 0.01 f$, 频率f单位为GHz, 当TE波照射时, 选取磁导率虚部和频率关系为$f \!=\! - 0.1\mu'' _{r1 x}$+3.7, 所得到的反射系数与频率的关系为如图8所示, 图中红蓝青绿黑曲线分别代表0°, 20°, 40°, 60°, 80°入射角度下的反射系数, 在0.8—2.1 GHz频段内反射系数都在–10 dB以下. 当TM波照射时, 选取的磁导率虚部和频率的关系式为$f = - 0.1\mu'' _{r1 y} + 1.7$, 所得到的反射系数与频率的关系如图9所示, 图中红蓝青绿黑曲线分别代表0°, 20°, 40°, 60°, 80°入射角度下的反射系数, 在0.3—1.4 GHz频段内反射系数都在–10 dB以下. 由此可见, 满足特定情况的磁性色散材料是可以实现宽带宽角吸波效果的. 而且TE波和TM波满足的色散曲线可以不同. 如果要在同频段内实现宽带宽角吸波并且对TE波和TM波不敏感, 所需要的色散关系曲线也可以由编写的Matlab程序获得的数据中得到. 此外, 需要特别说明的是介质色散关系曲线只要落在图7和图8的黄色区域内理论上就能实现宽带宽角度吸波, 并不仅限于前面所选取的线性关系.

图 8  TE波　(a) 实现宽带化${\mu _{r1 x}}$虚部和d的关系; (b) 带地板色散介质的反射系数随入射角度和频率的变化

Fig. 8.  TE wave: (a) The relationship between imaginary part of ${\mu _{r1 x}}$ and d for achieving broadband; (b) reflection properties of dispersive media backed with ground vary with incidence angle and frequency.

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图 9  TM波　(a) 实现宽带化${\mu _{r1 y}}$虚部和d的关系; (b)带地板色散介质的反射性能随入射角度和频率的变化

Fig. 9.  TM wave: (a) The relationship between imaginary part of ${\mu _{r1 y}}$ and d for achieving broadband; (b) reflection properties of dispersive media backed with ground vary with angle of incidence and frequency.

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3.   讨　论

宽角度极化不敏感吸波材料(无论宽带还是窄带)的设计一直都是吸波材料设计的难点. 在目前吸波材料的设计中, 为解决极化不敏感的问题, 其结构都具有轴称性的特点, 吸波材料的吸收角度更依赖于经验调试然后得到较为理想的结果, 但都没有逼近本文的理论极限值. 其根本原因是TE波和TM波在斜入射情况下电场和磁场不再具有对称性, 对称的结构也就难以对非对称的电磁场产生同样的响应. 尤其在大角度入射下, 对称结构的吸波体对两种极化波的响应的差异性就更加明显.

4.   结　论

推导了TE波和TM波照射下带有反射地板的单层介质的反射系数, 详细分析了介质的等效电磁参数和厚度对反射系数的影响, 并得出实现宽角吸波体所需要的等效电磁参数和介质厚度的取值. TE波照射下吸收角度的理论极限值为86.56°, TM波照射下吸收角度的极限值为86.56°. 从结果中可以看出, 如果要实现具有对TE波和TM波不敏感的超宽角度的吸波材料的设计, 其等效电磁参数取值在x和y方向上是不同的, 因此需构建各向异性的超材料才能达到设计的目的. 此外, 前面的分析都是在窄带情况下进行的, 如果要实现宽带宽角的吸波效果, 所需的等效电磁参数则与窄带情况不同. 文中宽角吸波材料的宽带化的理论分析结果说明, 在介质的等效电磁参数随频率变化具有某种关系(不唯一)的情况下, 理论上能实现宽带宽角的吸波材料. 设计人员可以根据设计需求在图6和图7的数据中选取相应的厚度和磁导率来达到相应的设计目的. 本文的理论分析结果为实现窄带、宽带超宽角度的吸波材料提供了理论基础; 虽然是基于等效介质理论, 并未与实际结构构建关联, 但确实为宽角吸波体的设计提供了理论指引.