1.   引　言

Hong-Ou-Mandel (HOM)干涉仪^[1,2]自提出以来, 就被广泛应用在量子精密测量、量子相干层析以及量子通信等领域中^[3-11]. 基于HOM干涉仪的时延测量主要是探测光子对的时间关联特性, 且具有更宽的测量范围. 利用纠缠光子对作为HOM干涉仪的输入光源, 可以使时延测量精度突破散粒噪声极限达到海森伯极限, 同时纠缠特性能够有效地抵御传输路径介质的色散效应^[12-16]. 因此, 基于纠缠光子对的HOM干涉仪作为一种高测量精度、抗干扰且结构简单的时延测量装置, 在量子精密测量和量子定位系统中具有重要地位.

在标准HOM干涉仪中, 纠缠光子对分别经过不同的传输路径入射到50∶50分束器, 当干涉仪的两路传输路径平衡时, 在50∶50分束器的输出端口通过符合测量装置记录纠缠光子对的二阶量子干涉图谱, 观察得到纠缠光子对符合计数率最小值与传输路径中时延参数零值之间存在唯一对应关系, 表现为二阶量子干涉图谱中存在一个凹陷, 其宽度和干涉可见度是与纠缠光子对的相干时间和不可分性相关^[1,2]. 迄今为止, 基于HOM干涉仪的量子精密时延测量方法, 已经受到了国内外学者的广泛关注. Branning等^[17]和Dauler等^[18]利用正交偏振光子对的HOM干涉效应测量偏振模色散, 获得了亚飞秒量级的时延测量精度. 进一步地, Lyons等^[19]通过统计学理论, 将HOM干涉仪的时延测量精度提升到了阿秒量级, 并将其应用到生物细胞和材料样品检测领域. 上述研究验证了HOM干涉仪的超高时延测量精度并扩展了其应用领域.

随着量子精密测量系统的进一步发展, 基于标准HOM干涉仪的单个时延测量方案已经无法满足多参量系统的应用需求. 为了实现多个独立时延参数的测量, 基于两个50∶50分束器的Mach-Zehnder (MZ)干涉模型^[20,21]和基于多个50∶50分束器及消色差波片级联的二阶量子干涉模型^[22]相继被提出. 然而, 基于HOM干涉仪后级联多个50∶50分束器的纠缠光子对二阶量子干涉研究, 即级联HOM干涉效应及其应用实验研究暂未见报道.

本文对基于HOM干涉仪级联多级50∶50分束器实现的多个时延参数测量方案进行了研究, 理论分析了标准HOM干涉仪后分别级联一个和两个50∶50分束器时所获得的二级级联HOM干涉仪和三级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱中各个凹陷位置与传输路径中独立时延参数间的多点对应关系; 进一步在实验上基于频率一致纠缠光子对和符合测量, 分析了二级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 并实现了两个独立时延参数的同时测量.

2.   理论模型

基于频率纠缠光源的多级级联HOM干涉仪装置如图1所示, 级联HOM干涉仪由HOM干涉仪后级联n个50∶50分束器(BS1, BS2, ···, BSn)组成. 偏振相互正交的频率纠缠光子对经过偏振分束器分开, 信号光s和闲置光i (其湮灭算符分别为${\hat{a}}_{\mathrm{s}}\left(\omega \right)$和${\hat{a}}_{\mathrm{i}}\left(\omega \right)$)先后经过HOM干涉仪和级联的n个50∶50分束器后, 到达单光子探测器D1和D2前的湮灭算符可以表示为${\hat{a}}_{{\mathrm{s}}_{n}}\left(\omega \right)$和${\hat{a}}_{{\mathrm{i}}_{n}}\left(\omega \right)$. 假定各级传输路径中存在的独立时延参数分别记为${\tau }_{1}$, ${\tau }_{2}$, ···, ${\tau }_{n}$, 第$k(\in n)$个50∶50分束器前后双光子的传输矩阵可表示为${{M}}_{k}\! = \! \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega {\tau }_{k+1}}& 1\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega {\tau }_{k+1}}& -1\end{array}\right)$, 当$n\geqslant 1$, 到达单光子探测器D1和D2前的湮灭算符${\hat{a}}_{{\mathrm{s}}_{n}}\left(\omega \right)$和${\hat{a}}_{{\mathrm{i}}_{n}}\left(\omega \right)$可以表示为^[20,21]

$$\begin{split} \;&\left(\begin{array}{c}{\hat{a}}_{{\mathrm{s}}_{n}}\left(\omega \right) {\hat{a}}_{{\mathrm{i}}_{n}}\left(\omega \right)\end{array}\right)= {{M}}_{n} \cdots{{M}}_{1} \\ \;&~~ \times\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega (\tau -{\tau }_{1})}& 1\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega (\tau -{\tau }_{1})}& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{a}}_{\mathrm{s}}\left(\omega \right)\\ {\hat{a}}_{\mathrm{i}}\left(\omega \right)\end{array}\right). \end{split}$$

(1)

随可调时延$\tau$变化的纠缠光子对符合计数率$P\left(\tau \right)$可以写为^[23]

$$P\left(\tau \right)\propto \int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{1}}{2\mathrm{\pi }}\int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{2}}{2\mathrm{\pi }}{\left|\left.\left\langle 0\right|{\widehat{a}}_{{\mathrm{s}}_{n}}\left({\omega }_{1}\right){\widehat{a}}_{{\mathrm{i}}_{n}}\left({\omega }_{2}\right)\left|\psi \right. \right\rangle \right|}^{2},$$

(2)

其中$\left| \psi \right\rangle = \displaystyle\int \dfrac{{{\rm{d}}{\omega _{\rm{s}}}}}{{2{\text{π}}}} \displaystyle\int \dfrac{{{\rm{d}}{\omega _{\rm{i}}}}}{{2{\text{π}}}}A\left( {{\omega _{\rm{s}}}, {\omega _{\rm{i}}}} \right)\hat a_{\rm{s}}^\dagger \left( {{\omega _{\rm{s}}}} \right)\hat a_{\rm{i}}^\dagger \left( {{\omega _{\rm{i}}}} \right)\left| 0 \right\rangle$表征纠缠光子对的态函数, $A({\omega }_{\mathrm{s}}, {\omega }_{\mathrm{i}})$是纠缠光子对的频谱函数.

当$n=1$时, 信号光s和闲置光i分别经过一个可调时延$\tau$和未知独立时延参数${\tau }_{1}$后入射到50∶50分束器(BS1)进行二阶量子干涉, 此时为标准HOM干涉仪(HOM interferometer, HOMI), 其纠缠光子对符合计数率可以写为

$$\begin{split} & {P}_{\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{M}\mathrm{I}}\left(\tau \right)\\ \propto\;& \int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{s}}}{2\mathrm{\pi }}\int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{i}}}{2\mathrm{\pi }}{\left|\left.\left\langle 0\right|{\widehat{a}}_{{\mathrm{s}}_{1}}\left({\omega }_{\mathrm{s}}\right){\widehat{a}}_{{\mathrm{i}}_{1}}\left({\omega }_{\mathrm{i}}\right)\left|\psi \right. \right\rangle \right|}^{2} \\ \propto\;& \int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{s}}}{2\mathrm{\pi }}\int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{i}}}{2\mathrm{\pi }}{\left|A\left({\omega }_{\mathrm{s}},{\omega }_{\mathrm{i}}\right)\right|}^{2}-A\left({\omega }_{\mathrm{s}},{\omega }_{\mathrm{i}}\right) \\ & \times A\left({\omega }_{\mathrm{i}},{\omega }_{\mathrm{s}}\right)\mathrm{cos}[({\omega }_{\mathrm{s}}-{\omega }_{\mathrm{i}})(\tau -{\tau }_{1})]. \end{split}$$

(3)

当$n=2$时, 信号光s和闲置光i经过级联了两个50∶50分束器(BS2)的HOM干涉仪后进行二阶量子干涉, 期间经过可调时延$\tau$和未知独立时延参数${\tau }_{1}$和${\tau }_{2}$, 将$n=2$代入(1)式得出${\hat{a}}_{{\mathrm{s}}_{2}}\left({\omega }_{\mathrm{s}}\right)$和${\hat{a}}_{{\mathrm{i}}_{2}}\left({\omega }_{\mathrm{i}}\right)$, 并代入(2)式中, 则经过二级级联HOM干涉仪(second-cascaded HOMI, s-HOMI)后的纠缠光子对符合计数率可以写为

$$\begin{split} & {P}_{\mathrm{s}\text-\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{M}\mathrm{I}}\left(\tau \right) \\ \propto\;& \int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{s}}}{2\mathrm{\pi }}\int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{i}}}{2\mathrm{\pi }}{\left|A\left({\omega }_{\mathrm{s}},{\omega }_{\mathrm{i}}\right)\right|}^{2}-\frac{1}{4}A({\omega }_{\mathrm{s}},{\omega }_{\mathrm{i}})A({\omega }_{\mathrm{i}},{\omega }_{\mathrm{s}}) \\ & \times \{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[({\omega }_{\mathrm{s}} -{\omega }_{\mathrm{i}})(\tau -{\tau }_{1})]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[\left({\omega }_{\mathrm{s}}-{\omega }_{i}\right){\tau }_{2}\right]\}. \\[-12pt] \end{split}$$

(4)

当$n=3$时, 信号光s和闲置光i经过级联了3个50∶50分束器(BS2和BS3)的HOM干涉仪后进行二阶量子干涉, 期间经过可调时延$\tau$和未知独立时延参数${\tau }_{1}$, ${\tau }_{2}$和${\tau }_{3}$, 将$n=3$代入(1)式得出${\hat{a}}_{{\mathrm{s}}_{3}}\left({\omega }_{\mathrm{s}}\right)$和${\hat{a}}_{{\mathrm{i}}_{3}}\left({\omega }_{\mathrm{i}}\right)$, 并代入(2)式中, 则经过三级级联HOM干涉仪(third-cascaded HOMI, t-HOMI)后的纠缠光子对符合计数率可以写为

$$\begin{split} & {P}_{\mathrm{t}\text-\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{M}\mathrm{I}}\left(\tau \right)\\ \propto\;& \int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{s}}}{2\mathrm{\pi }}\int \frac{\mathrm{d}{\omega }_{\mathrm{i}}}{2\mathrm{\pi }}{\left|A\left({\omega }_{\mathrm{s}},{\omega }_{\mathrm{i}}\right)\right|}^{2}-\frac{1}{8}A\left({\omega }_{\mathrm{s}},{\omega }_{\mathrm{i}}\right)A\left({\omega }_{\mathrm{i}},{\omega }_{\mathrm{s}}\right)\\ & \times (\mathrm{cos}[({\omega }_{\mathrm{s}} -{\omega }_{\mathrm{i}})(\tau -{\tau }_{1})]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[\left({\omega }_{\mathrm{s}}-{\omega }_{\mathrm{i}}\right){\tau }_{3}\right]\\ & \times \{-2-\mathrm{cos}\left[\left({\omega }_{\mathrm{s}}-{\omega }_{\mathrm{i}}\right){\tau }_{2}\right]\}).\\[-12pt] \end{split}$$

(5)

根据上述得到的纠缠光子对符合计数率公式, 通过扫描传输路径中的可调时延$\tau$, 可以得到随可调时延$\tau$变化的纠缠光子对的符合计数率, 也就是多级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 见图2. 其中, 理论模拟中采用的纠缠光子对参数是实验中制备的频率一致纠缠光子对参数^[24], 因其不是完全不可分的频率一致纠缠态, 因此对应的HOM干涉可见度不是理想情况下的“1”, 为0.67. 图2(a)是根据(3)式扫描$\tau$得到的标准HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 当纠缠光子对符合计数率最低时, 表示HOM干涉仪的两路传输路径平衡, 也就是说$\tau ={\tau }_{1}$时, 二阶量子干涉图谱中存在一个凹陷, 此凹陷位置处的时延值对应的是标准HOM干涉仪中的未知时延参数${\tau }_{1}$. 因此, 利用标准HOM干涉仪可以进行单个独立时延参数${\tau }_{1}$的量子测量. 图2(b)是根据(4)式, 通过假定${\tau }_{2}=$$5\;\mathrm{p}\mathrm{s}$, 扫描$\tau$得到的二级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 可以看到存在两个对称的凹陷, 其位置对应的时延值分别是${\tau }_{2}$和${-\tau }_{2}$. 同时, 两个对称凹陷位置的中间点时延值对应的是时延参数${\tau }_{1}$. 因此, 基于一个二级级联HOM干涉仪, 就可以实现两个独立时延参数(${\tau }_{1}$, ${\tau }_{2}$)的同时测量. 图2(c)是根据(5)式, 通过假定${\tau }_{2}=7\;\mathrm{p}\mathrm{s}{\text{和}}{\tau }_{3}=10\;\mathrm{p}\mathrm{s}$, 扫描$\tau$得到的三级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 可以看到存在6个对称的凹陷, 其位置对应的时延值分别是$\pm {\tau }_{3}$, $\pm ({\tau }_{3}-{\tau }_{2})$, $\pm ({\tau }_{3}+{\tau }_{2})$, 同时, 对称的凹陷中间点时延值对应的也是时延参数${\tau }_{1}$. 因此, 基于三级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 就可实现3个独立时延参数(${\tau }_{1}$, ${\tau }_{2}$, ${\tau }_{3}$)的同时测量.

以此类推, 当信号光s和闲置光i经过n个50∶50分束器, 构成n级级联HOM干涉仪, 通过扫描时延$\tau$得到的二阶量子干涉图谱中存在的凹陷对应的时延位置与传输路径中多个独立时延参数${\tau }_{1}$, ${\tau }_{2}$, ${\tau }_{3}$, ···, ${\tau }_{n}$有关, 通过测量多个凹陷位置处的时延值, 就可以间接得到多个独立时延参数, 从而实现基于一个HOM干涉仪对多个独立时延参数的同时测量. 对于$n\geqslant 3$的更多级级联HOM二阶量子干涉理论模型, 由于数学推导具有一定的复杂性, 本文未进一步给出, 但可以借助于纠缠光子对的干涉费曼图(见附录A), 更方便有效地分析二阶量子干涉图谱中的各个凹陷与多个独立时延参数之间存在的多点对应关系, 从而实现多个时延参数的同时测量.

3.   实验装置

为了验证频率纠缠光子对的级联HOM干涉仪理论模型, 本文搭建了频率一致纠缠光子对的二级级联HOM干涉仪实验装置, 如图3所示. 超短飞秒脉冲(中心波长为791 nm, 3 dB带宽为24 nm)激光抽运PPKTP晶体, 在满足扩展相位匹配条件下, 通过自发参量下转换过程产生频率一致纠缠光子对, 其中信号光s和闲置光i的偏振相互正交. 纠缠光子对经过透镜(聚焦光斑)及滤波片(过滤剩余抽运光)输入到单模光纤中, 利用光纤偏振分束器(FPBS)将信号光s和闲置光i分开. 信号光s经过${t}_{1}$路径, 闲置光i经过${t}_{2}$路径, 到达光纤分束器1 (FBS1), 输出光子再分别经过路径${t}_{3}$和${t}_{4}$到达光纤分束器2 (FBS2)中, 之后通过超导纳米线单光子探测器D1和D2 (探测效率～50%, 时间抖动～70 ps)对单光子进行探测, 产生的干涉信号送入到符合测量装置(TCSPC)中, 进行纠缠光子对的符合测量. 在实验中, 为了对传输路径中的时延值进行粗略控制, 引入一个手动可调光学延迟线ODL, 其路径时延长度可达600 ps, 且低插入损耗. 为了对传输路径时延值进行精准控制, 引入一个电动可调光学延迟线MDL, 用来实现时延$\tau$的扫描, 由带集成编码器的直流电机驱动, 可与计算机通信, 并利用计算机的LabView程序进行实时控制, 其时延扫描范围为10—560 ps, 分辨率小于1 fs. 通过程序控制自动扫描MDL的时延值$\tau$, 得到级联HOM干涉仪中纠缠光子对符合计数率随时延值$\tau$变化的二阶量子干涉图谱.

4.   实验结果及分析

基于上述频率一致纠缠光子对和符合测量实验系统, 对标准HOM干涉仪和二级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱进行了测量. 扫描$\tau$得到标准HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 如图4(a)所示, 实验测量的是纠缠光子对符合计数率随时延$\tau$的变化曲线, 与理论模拟符合良好, 在时延值175 ps处存在一个凹陷, 此时该时延值对应的就是传输路径${t}_{1}$和${t}_{2}$的时延差${\tau }_{1}$. 在此基础上级联第二级50∶50分束器后得到二级级联HOM干涉仪, 扫描$\tau$得到二级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 如图4(b)所示, 可以看到图谱中存在两个凹陷, 根据对应的时延值, 可以得出传输路径${t}_{3}$和${t}_{4}$的时延差${\tau }_{2}=5.02\;\mathrm{p}\mathrm{s}$, 同时, 两个对称凹陷中心位置的时延值也是传输路径${t}_{1}$和${t}_{2}$的时延差${\tau }_{1}=$$175.14\;\mathrm{p}\mathrm{s}$, 实验结果与理论模拟符合良好. 因此, 基于二级级联HOM干涉仪的二阶量子干涉图谱, 可以同时测量两个独立时延参数${\tau }_{1}$和${\tau }_{2}$.

图5进一步给出了基于二级级联HOM干涉仪对独立时延参数${\tau }_{1}$和${\tau }_{2}$多次测量后得到的测量精度, 可以看到, 时延参数测量精度随着平均测量时间呈下降趋势, 在平均测量时间达到3000 s时, 时延参数${\tau }_{1}$和${\tau }_{2}$的测量精度分别达到109 fs和98 fs. 图6是测量过程中实时监测实验室环境温度与时延参数测量值的波动对比图, 可以看出, 时延参数测量值的移动趋势与实验室环境温度的变化趋势一致, 实验室中环境温度的变化是由于实验室空调的调频周期决定, 其变化周期近似为33 min, 与时延测量值的变化周期基本一致, 说明了环境温度的变化会影响时延参数的测量精度.

5.   结　论

本文提出了一种基于一个多级级联HOM干涉仪实现多个独立时延参数的同时测量方案. 以频率纠缠光子对作为标准HOM干涉仪的输入光源, 通过在标准HOM干涉仪后级联多个50∶50分束器, 将基于HOM干涉仪的单个时延参数测量方案扩展为多个时延参数的同时测量方案, 通过记录频率纠缠光子对多级干涉后的二阶量子干涉图谱中凹陷位置处的时延值, 就可以同时得到不同传输路径中的多个独立时延参数. 实验上搭建了基于频率一致纠缠光子对的二级HOM干涉仪, 结合单光子探测器和符合测量装置实现了两个独立时延参数的同时测量, 测量精度分别达到109 fs和98 fs, 与理论模拟结果符合良好. 上述研究结果为HOM干涉仪在量子精密测量等领域的拓展应用奠定了坚实的基础.

附录A.   纠缠光子对的干涉费曼图

对于纠缠光子对的多级级联HOM干涉仪的理论分析, 当级联50∶50分束器的个数越多, 纠缠光子对符合计数率的计算推导越复杂, 此时, 可以借助纠缠光子对干涉的费曼图进行分析, 如图A1所示. 图A1(a)—(c)分别对应的是标准HOM干涉仪、二级级联HOM干涉仪和三级级联HOM干涉仪的纠缠光子对干涉费曼图, 信号光s和闲置光i经过不同的传输路径, 在不同的时间到达50∶50分束器上进行二阶量子干涉, 产生的干涉相消现象出现在不同的时延位置, 且与传输路径中的多个独立时延参数存在着对应关系, 可以看到, 利用费曼图进行二阶量子干涉图谱中凹陷位置的分析, 与上述理论计算和实验测量结果符合良好. 因此, 在之后$n\geqslant 3$的更多级级联HOM二阶量子干涉理论模型分析中, 就可以根据费曼图更快速地得出多级级联HOM干涉仪的凹陷位置与传输路径中独立时延参数的关系, 从而进一步实现更多独立时延参数的同时测量.