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基于太赫兹脉冲加速及扫描电子束的高时间分辨探测器

李杭 陈萍 田进寿 薛彦华 王俊锋 缑永胜 张敏睿 何凯 徐向晏 赛小锋 李亚晖 刘百玉 王向林 辛丽伟 高贵龙 汪韬 王兴 赵卫

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基于太赫兹脉冲加速及扫描电子束的高时间分辨探测器

李杭, 陈萍, 田进寿, 薛彦华, 王俊锋, 缑永胜, 张敏睿, 何凯, 徐向晏, 赛小锋, 李亚晖, 刘百玉, 王向林, 辛丽伟, 高贵龙, 汪韬, 王兴, 赵卫

High time-resolution detector based on THz pulse accelerating and scanning electron beam

Li Hang, Chen Ping, Tian Jin-Shou, Xue Yan-Hua, Wang Jun-Feng, Gou Yong-Sheng, Zhang Min-Rui, He Kai, Xu Xiang-Yan, Sai Xiao-Feng, Li Ya-Hui, Liu Bai-Yu, Wang Xiang-Lin, Xin Li-Wei, Gao Gui-Long, Wang Tao, Wang Xing, Zhao Wei
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-05-08
  • 修回日期:  2021-09-14
  • 上网日期:  2022-01-09
  • 刊出日期:  2022-01-20

基于太赫兹脉冲加速及扫描电子束的高时间分辨探测器

  • 1. 中国科学院西安光学精密机械研究所, 超快诊断技术重点实验室, 西安 710119
  • 2. 中国科学院大学, 北京 100049
  • 3. 山西大学, 极端光学协同创新中心, 太原 030006
  • 通信作者: 陈萍, chenping@opt.cn ; 田进寿, tianjs@opt.ac.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11805267, 12075311)、中国科学院青年创新促进会(批准号: 2021402)、中国科学院科研仪器设备研制项目(批准号: GJJSTD20190004)、中国科学院战略性先导科技专项A类(批准号: XDA25030900)、企业创新争先青年人才托举计划项目和激光等离子体教育部重点实验室资助的课题

摘要: 与传统条纹相机加速和偏转电子束的方法相比, 太赫兹强场的加速梯度和扫描偏转梯度有明显优势, 具备实现飞秒级超高时间分辨的能力. 本文基于这一新技术设计了一款基于太赫兹场操控电子束的超小型高时间分辨探测器. 从理论上分析了加速区的时间弥散与电子脉冲发射时刻以及初始时间弥散的关系, 并讨论了空间电荷效应对时间弥散的影响; 设计并优化了加速区和偏转区的太赫兹脉冲耦合增强装置, 太赫兹脉冲电场在该装置中的增强系数最高可达9.39. 最终通过计算和分析本探测器的时间弥散, 得到了时间分辨率优于50 fs的结果.

English Abstract

    • 条纹相机是同时具备超高时间分辨(飞秒-皮秒级)与高空间分辨(微米级)的高端科学测量与诊断仪器, 核心原理是将超快时间信息转换为空间信息, 通过反演得到超快信号的时间-强度特性. 目前, 超快光脉冲已经可以达到100 fs (1 fs = 10–15 s)甚至阿秒(1 as=10–18 s)量级[1,2], 然而对这种时间尺度的脉冲测量仍面临着挑战. 对于X射线自由电子激光种子源及电子在原子中的二次散射实验等, 全面了解光/电子脉冲的时间特性是进一步推进这些科学装置和仪器的先决条件[3]. 在惯性约束核聚变(ICF)实验中, 飞秒条纹相机能够对快点火多路激光精确同步提供实时在线检测, 也为点火过程中靶丸的物理变化过程提供更高时间分辨率的诊断[4]. 此外, 飞秒激光脉冲使磁性薄膜表面退磁的过程发生在几十飞秒, 在飞秒尺度上研究轨道和自旋磁化动力学过程, 是推动下一代超高密度磁存储器件发展的重要途径. 飞秒条纹相机也是生物医学、光物理和光化学研究中测量荧光寿命的重要工具[5-8], 可通过测量生物切片的荧光寿命对疾病进行早期诊断.

      提升条纹相机时间分辨的关键在于减小电子束的物理时间弥散和提高扫描速度, 其中电子束的物理时间弥散与其加速电场的场强成反比, 扫描速度与动态扫描电场的斜率成正比, 因此提高加速场强和扫描斜率是提升条纹相机时间分辨能力的主要技术途径. 然而过高的静态加速电场会导致电极间打火[5], 造成条纹管失效甚至损坏, 前人提出用脉冲加速场替代静电加速场的方案以降低打火概率. 日本滨松公司的Kinoshita[9]在阴极与栅极(加速极)间距50—100 μm、加速电压3 kV的情况下, 采用脉冲加压将阴极附近的电场强度提升到30—60 kV/mm, 理论时间分辨达到50 fs. 全苏光学与物理研究所的Lebedev等[10]研制的短磁聚焦飞秒条纹相机阴极与栅极距离为1 mm, 施加 ≥ 10 kV的脉冲电压, 时间分辨率达到500 fs@400 nm. 脉冲电压是兼顾加速电场和可靠性的有效途径, 但电学方法产生高压脉冲的上升速度有限, 且涉及的电路系统庞大复杂. 上述限制导致传统条纹管的时间分辨无法突破100 fs[11].

      随着太赫兹技术的不断发展, 加速器领域的科学家也在研究如何利用太赫兹场将粒子加速到兆电子伏量级[12,13]. 美国麻省理工大学(MIT)和德国电子同步加速器(DESY)合作组于2015和2016年报道了太赫兹电子枪的理论和实验研究[14,15], 研究结果显示平行波导做成的小型太赫兹电子枪可以有效增强太赫兹电场, 当峰值场强为350 MV/m时, 该单周期太赫兹电子枪可以在25 μm之内将电子加速到0.5 keV. 太赫兹脉冲高场强、快上升的特点使其有潜力同时作为传统条纹管中的加速场和扫描场来提升时间分辨, 然而目前未见此类器件的报道. 本文提出并设计了一种用太赫兹脉冲加速和扫描偏转电子束的全太赫兹脉冲驱动的高时间分辨探测器, 其脉冲耦合增强结构能将太赫兹电场增强系数提高至9.39. 为了选取合适的脉冲工作点, 通过理论和仿真分析了加速区的时间弥散与电子脉冲发射时刻及初始时间弥散的关系, 并进一步讨论了空间电荷效应对时间弥散的影响. 最终获得了一种时间分辨优于50 fs的高时间分辨探测器.

    • 传统条纹管电子光学系统包括光电阴极、栅极、聚焦极、阳极、偏转板和荧光屏. 其中, 栅极与阴极组成加速系统, 阴栅加速电场用来加速从阴极出射的光电子以减小时间弥散; 聚焦极控制电子束聚焦; 偏转板间施加动态扫描电场将不同时刻的电子偏转至荧光屏的不同位置, 从而将电子脉冲的时间信息转换成空间信息. 而太赫兹脉冲驱动的探测器可以仅由加速腔和扫描腔组成. 在阴极和栅极构成的加速腔内, 太赫兹脉冲形成极高的阴栅加速场能将电子能量在几皮秒内提升近兆电子伏, 电子束横向发散极小以至于可以舍弃聚焦结构. 无聚焦极能有效缩短电子渡越时间, 遏制时间弥散. 为了进一步缩短渡越时间, 在加速区后紧接太赫兹驱动的扫描偏转腔.

      鉴于现有太赫兹脉冲源功率有限, 本文特别为加速腔与偏转腔设计了一种太赫兹脉冲耦合增强结构, 它由宽度渐变的耦合喇叭和平行板波导组成, 太赫兹脉冲通过耦合喇叭馈入平行板波导将场强增强数倍. 如图1所示, 图1(a)1(c)分别是加速腔的三维图、俯视图和正视图. 平行板内间距H设置为150 μm, 喇叭口半张角θ为11.3°, 喇叭长L为5 mm, 入口处边长S为4 mm, 连接平行波导的边长D为0.5 mm. 借助三维电磁仿真软件CST (computer simulation technology)微波工作室计算, 加速腔平行板波导中心电场增益达到7.03. 扫描腔的结构参数分别是: H为150 μm, θ为11.3°, L为5 mm, S为0.4 mm, D为0.05 mm, 电场增益达到9.39. MIT和DESY合作组通过优化耦合喇叭张角θ实现了5.3倍的太赫兹增强系数[13], 然而本文作者发现耦合喇叭宽度D同样是增强太赫兹电场的关键因素, 在张角一定时, 宽度沿太赫兹脉冲入射方向收缩的喇叭能显著提高入射脉冲在此装置中的强度.

      图  1  加速腔太赫兹脉冲耦合增强结构 (a) 三维图; (b) 俯视图; (c) 正视图

      Figure 1.  THz pulse coupling and enhancing device of accelerating cavity: (a) Perspective; (b) top view; (c) front view.

      加速腔耦合增强装置的两块平行波导板作用分别是光电阴极和栅极, 栅极开孔作为电子束离开加速腔、进入扫描腔的通道. 在加速腔内, 太赫兹脉冲电场方向平行于电子出射方向, 实现电子的加速; 在扫描腔内, 电场垂直于电子入射方向, 实现对电子的偏转. 探测器整体结构示意图如图2所示, 图2(a)图2(b)分别是探测器加速及扫描结构的三维图和俯视图. 另外, 输入的太赫兹脉冲波形和在加速腔和扫描腔中心的波形如图3所示.

      图  2  太赫兹加速腔及扫描腔 (a) 三维图; (b) 俯视图

      Figure 2.  THz accelerating and scanning cavity: (a) Perspective; (b) top view.

      图  3  太赫兹脉冲输入波形、以及在加速腔和扫描腔中心处的波形

      Figure 3.  Wave form of THz pulse at the entrance and the center of accelerating cavity and scanning cavity.

    • 激光在铌酸锂晶体内差频振荡产生一个低频振荡的电极化场, 这种低频振荡的电极化场可以辐射太赫兹频段的电磁波. 实际采用铌酸锂晶体产生的太赫兹电场波形如图4(a)所示. 仿真采用的太赫兹脉冲波形在前者基础上进行降噪和平滑, 如图4(b)所示. A点(0 ps)为电场正半个脉冲的起始时刻, B点(0.588 ps)为正半脉冲峰值, 幅度350 MV/m, 正半个脉冲的全宽AC为1.311 ps, E点之后电场强度为0.

      图  4  (a) 实际太赫兹脉冲电场波形及频谱; (b) 计算时采用的太赫兹脉冲电场强度波形

      Figure 4.  (a) Actual wave form of THz pulse’s electric field and spectrum; (b) wave form of THz pulse’s electric field in the calculation.

      在加速腔, 电场正向与电子出射方向一致. 从太赫兹脉冲的波形可以预判, 电子脉冲发射时刻以及电子脉冲的初始时间弥散将共同影响电子脉冲到达栅极的时间弥散. 为了让分析清晰明了, 这里做出一些合理的限定: 1)电子发射时刻在A—B段内, 在B点后发射的电子的加速时间短, 导致飞行时间增大并产生严重的时间弥散; 2) 本节仅考虑太赫兹加速电场对时间弥散的贡献, 在第4节讨论空间电荷效应影响; 3)用电子脉冲的首尾两个电子间的时间展宽代表电子脉冲整体的弥散.

      为了表示零时刻发射的多个具有不同初始时间弥散Tn的电子脉冲, 首尾两个电子分别在零时刻(A点, 图4(b))和Tn时刻发射(Tn = n × 13 fs, n = 0, 1, 2, ···). 计算各电子位移与时间的关系(图5(a))和到达栅极处的时间弥散(图5(b)蓝色曲线). 图5(a)内嵌放大图展示了Tn时刻发射的电子到达栅极(位于150 μm)的时刻.

      图  5  (a)电子随时间的位移, 位移为150 μm(栅极)的区域展示于嵌入图中; (b) 电子到达栅极的相对延迟

      Figure 5.  (a) Displacement with time of electrons, displacement of 150 μm (grid) is shown in embedded graph; (b) relative delay among the electrons.

      图5(b)的横轴是不同的初始时间弥散Tn, 纵轴是不同初始时间弥散Tn对应的栅极时间弥散$T_n' $. 从蓝色曲线可以发现, 初始弥散较小的电子束被压缩($ T_n' $ < Tn), 初始弥散较大的电子束被拉长($ T_n' $ > Tn), 转折点为第9个电子(初始弥散104 fs, 栅极弥散100 fs, 图5(b)红圈标记). 另外, 如图5(a)红色曲线, 尽管初始时间弥散的差别Tn+1Tn都是13 fs, 但栅极时间弥散差别$T_{n+1}'- $$ T_n'$不断增长, 即电子脉冲在飞行过程中产生了时间畸变.

      为解释上述现象, 将结合物理过程和数学公式进行分析. 栅极时间弥散Δt

      $ \Delta t=\frac1\eta\bigg[{\displaystyle\int _{0}^{T}{\rm{d}}\tau \left({v}_{1}+\eta \displaystyle\int _{0}^{\tau }E\left(t\right){\rm{d}}t\right)-\displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}{\rm{d}}\tau \left({v}_{2}+\eta \displaystyle\int _{{\tau }_{0}}^{\tau }E\left(t\right){\rm{d}}t\right)}\bigg] {\displaystyle\int _{{\tau }_{0}}^{T}E\left(t\right){\rm{d}}t}, $

      式中$ {\tau }_{0} $是初始时间弥散, T是阴栅间的飞行时间, $ E\left(t\right) $是随时间变化的电场强度, η为电子的荷质比. $ {v}_{1} $为第1个电子的初速度, $ {v}_{2} $为第2个电子的初速度.

      太赫兹脉冲正向增强阶段(A—B段, 图4(b))类似于线性增强加速场, 可以起到压缩电子束的作用. 在$ E\left(t\right)=kt $(k > 0)的线性增强加速场内先后发射2个电子, 初始弥散$ {\tau }_{0} $为(见附录A)

      $ \Delta t=\frac{{{\tau }_{0}}^{2}(3T-2{\tau }_{0})}{3({T}^{2}-{{\tau }_{0}}^{2})} < {\tau }_{0} \text{, } $

      后发射电子比先发射电子所受加速场大, 电子束被压缩, 因此栅极时间弥散Δt总小于初始弥散$ {\tau }_{0} $. 电子束在线性增强加速场会被压缩, 且电子束加速时间T越长, 时间弥散Δt越小; 同理, 太赫兹脉冲的B—C段和C—D段导致电子束拉长, D—E段导致电子束缩短. 具体公式推导见附录A. 另外, 电子的飞行时间大于4 ps(图5(a)嵌入图), 即太赫兹场消失(图4(b)E点)之后电子才到达栅极, 这样所有的电子都将受到B—D段拉伸作用.

      因此, 当电子脉冲初始弥散增大, 脉冲尾部电子较头部电子相对更晚进入加速场(发射时刻都在A—B范围内)、加速时间变短、速度滞后, 造成电子脉冲拉长. 另外, 在A—B范围内发射时刻越晚的电子束加速时长越短, B—D段拉伸作用会更加凸显, 整个电子束趋向于拉长.

      这种压缩或拉长的结果不仅存在于一个电子束内部, 同样的原理还能推广至不同电子束之间的伸缩. 例如, 若两个电子脉冲在A-B时间范围内发射较晚, 不仅两个电子脉冲自身拉长, 二者的间距也会拉长, 这说明了, 发射间隔一定的两个电子脉冲在栅极的时间间隔与发射时刻相关, 两个电子脉冲发射越晚(在A—B范围内), 它们在栅极的时间间隔就越大, 呈现出非线性的时间分辨, 即时间畸变. 此外, 一定程度地推迟发射时刻会导致加速时长减少, 电子束能量增益降低, 不利于控制后续漂移区的时间弥散.

    • 根据Niu等[16]的研究, 传统条纹管电子光学系统存在固有时间弥散, 突破50 fs时间分辨的基本条件是电子脉冲初始能量弥散低于0.1 eV、初始时间弥散低于10 fs, 这对阴极提出极高的要求. 太赫兹脉冲驱动电子束具有低时间弥散的特点, 能降低对阴极的要求. 因此本文放宽了对阴极出射电子初始能量弥散和初始时间弥散的要求, 设置初始发射能量弥散服从0—0.2 eV的β分布、初始时间弥散服从标准差为10 fs的高斯分布. 对于发射时间间隔50 fs的两束电子, 由图5(b)红色曲线可知, 如果发射点在0点, 电子束内部时间畸变将与脉冲长度相当, 造成时间轮廓变形. 因此应将发射时间推迟, 选定第1束电子在0点后100 fs发射, 第2束电子在150 fs发射. 另外, 两束电子于阴极表面中心发射, 每束包含1500个电子.

      空间电荷效应产生的时间弥散采用平均场(mean-field, MF)模型进行分析[17-19]. 平均场模型的原理是将电子束简化为一个圆盘以便求解空间电荷力, 电子束两端的电子受到的空间电荷力为

      $ F=\frac{N{e}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}{\rm{\pi }}{r}^{2}}\left(1-\frac{l}{\sqrt{{l}^{2}+4{r}^{2}}}\right), $

      式中, N为电子数量, e为电子电荷, $ {\varepsilon }_{0} $为真空介电常数, r为电子束半径, l为电子束长度. 电子束长度随时间变化规律为

      $ \frac{{{\rm{d}}}^{2}l}{{{\rm{d}}t}^{2}}=\frac{N{e}^{2}}{m{\varepsilon }_{0}{\rm{\pi }}{r}^{2}}\left(1-\frac{l}{\sqrt{{l}^{2}+4{r}^{2}}}\right), $

      式中, m为电子静止质量. 电子束长度变化公式不是解析式, 需要利用空间电荷力F估算空间电荷效应导致的束长变化. 模拟的电子束束长随时间从100 nm变到4 μm, (3)式中的束长l取二者的平均并近似为2.1 μm, 电子束半径r为150 nm. 当电子束到达栅极时速度约为${c}/{5}$ (c为光速), 相对论效应不明显. 空间电荷力产生的加速度:

      $ a= {F}/{m} . $

      电子在阴栅间的飞行时间约4 ps, 空间电荷效应造成的束长半宽增长量为

      $ \Delta l=\frac{1}{2}a{t}^{2}, $

      $\Delta l\approx 1.8 \; \text{μ}{\rm{ m}}$, 脉宽半宽增长量$\Delta t= {\Delta l}/{v}$约为30 fs.

      用CST粒子工作室仿真, 得到电子束在栅极、探测屏(偏转板后1 mm)的时间弥散分别如图6(a)图6(b)所示, 两束电子在栅极的时间弥散(FWHM)分别为25 fs和40 fs, 在探测屏处的FWHM约为30 fs和45 fs, 均由红细箭头标出. 栅极和探测屏处的时间弥散差别很小, 用(6)式计算发现偏转板后的空间电荷效应仅让时间弥散增加了6 fs, 原因是偏转板后电子飞行速度快、渡越时间短. 另外, 如图6(a)中由红色粗箭头标出的, 第1个电子束在栅极的弥散(首尾电子)半宽约为45 fs. 采用第3节理论计算发现加速场贡献约10 fs, 采用平均场模型计算发现空间电荷效应贡献约30 fs, 二者之和约为40 fs, 基本与仿真一致.

      图  6  (a) 栅极处两束电子的时间弥散; (b) 探测屏处两束电子的时间弥散

      Figure 6.  (a) Time dispersion of the two electron pulses at the grid; (b) time dispersion of the two electron pulses at the screen.

      在探测屏处两束电子的扫描图像如图7(a)所示, 两束电子可以清晰地分开. 扫描方向(时间方向)电子密度统计分布如图7(b)所示, 谷底分布概率小于瑞利判据所要求的0.7, 因此判定可以区分间隔为50 fs的电子束, 即时间分辨优于50 fs. 电子散斑在非扫描方向(空间方向)尺寸小于0.4 μm, 空间分辨率极高.

      图  7  (a) 两束发射间隔50 fs电子束的扫描图像; (b) 扫描方向电子分布概率

      Figure 7.  (a) Sweeping image of electron pulses with interval of 50 fs; (b) electron distribution probability in sweeping direction.

    • 本文提出并设计了一种基于太赫兹强场来加速及偏转电子束的高时间分辨探测器, 通过理论和模拟计算分析了利用太赫兹强场脉冲加速及偏转电子束时, 电子束初始时间弥散、发射时刻及空间电荷效应对探测器时间分辨的影响. 设计的太赫兹脉冲耦合装置可以使太赫兹脉冲电场增强因子高达9.39, 很大程度上降低了实际运用时对太赫兹源功率的要求. 分析发现, 在太赫兹波正半脉冲上升沿内一定程度地推迟电子发射能够减小时间畸变, 但代价是电子束能量增益降低. 最后, 经过合理设计太赫兹脉冲的工作点, 在全太赫兹驱动的探测器上得到了时间分辨优于50 fs的结果. 得益于高时空分辨能力以及微型结构等优良特性, 这种利用太赫兹驱动的探测器具备探测飞秒微观过程的应用潜力.

    • 间隔$ {\tau }_{0} $发射先后发射电子在时变加速电场$ E\left(t\right) $中飞行, 飞行时间为T. $ {v}_{1} $为第一个电子的初速度, $ {v}_{2} $为第二个电子的初速度, η为电子荷质比, $ E\left(t\right) $是随时间变化的电场强度. 两个电子经过时间T后的时间弥散为

      $\begin{split} & \Delta t=\\ & \frac{\displaystyle\int_{0}^{T}{\rm{d}}\tau \bigg({v}_{1}+\eta \displaystyle\int_{0}^{\tau }E\left(t\right){\rm{d}}t\bigg)-\displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}{\rm{d}}\tau \bigg({v}_{2}+\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{\tau }E\left(t\right){\rm{d}}t\bigg)}{\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}E\left(t\right){\rm{d}}t}. \end{split}$

      对于AB段, 初速度$ {v}_{1} $, $ {v}_{1} $近似为0, 电场近似为$ E\left(t\right)=kt $(k为正常量), 在AB段内先后间隔$ {\tau }_{0} $发射2个电子的时间弥散:

      $ \Delta t=\frac{\eta \displaystyle\int_{0}^{T}{\rm{d}}\tau \displaystyle\int_{0}^{\tau }kt{\rm{d}}t-\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}{\rm{d}}\tau \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}kt{\rm{d}}t}{\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}kt{\rm{d}}t}=\frac{{{\tau }_{0}}^{2}(3T-2{\tau }_{0})}{3({T}^{2}-{{\tau }_{0}}^{2})} < {\tau }_{0} . $

      对于BC段, $ E\left(t\right)={E}_{0}-kt $($ {E}_{0} $k为正常量). 在BC段内先后间隔$ {\tau }_{0} $发射2个电子的时间弥散为

      $ \begin{split}\Delta t=\;&\frac{\displaystyle\int_{0}^{T}{\rm{d}}\tau \left({v}_{1}+\eta \displaystyle\int_{0}^{\tau }({E}_{0}-kt){\rm{d}}t\right)-\displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}{\rm{d}}\tau \left({v}_{2}+\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{\tau }({E}_{0}-kt){\rm{d}}t\right)}{\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}\left({E}_{0}-kt\right){\rm{d}}t}\\ =\;&\dfrac{{v}_{1}T-{v}_{2}\left(T-{\tau }_{0}\right)+\eta \left[{E}_{0}\left({T\tau }_{0}-\dfrac{1}{2}{{\tau }_{0}}^{2}\right)-\dfrac{1}{6}{{k\tau }_{0}}^{3}-\dfrac{1}{2}k{{\tau }_{0}}^{2}\left(T-{\tau }_{0}\right)\right]}{\eta \left[{E}_{0}\left(T-{\tau }_{0}\right)-\dfrac{1}{2}k\left({T}^{2}-{{\tau }_{0}}^{2}\right)\right]} > {\tau }_{0} \end{split}$

      对于CD下降沿, 电场近似为$ E\left(t\right)=-kt $(k为正常量). 在CD下降沿内先后间隔$ {\mathrm{\tau }}_{0} $发射2个电子的时间弥散:

      $ \begin{split} \Delta t=\;&\frac{\displaystyle\int_{0}^{T}{\rm{d}}\tau \left({v}_{1}+\eta \displaystyle\int_{0}^{\tau }-kt{\rm{d}}t\right)-\displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}{\rm{d}}\tau \left({v}_{2}+\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{\tau }-kt{\rm{d}}t\right)}{\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}-kt{\rm{d}}t}\\ =\;&\dfrac{{v}_{1}T-{v}_{2}\left(T-{\tau }_{0}\right)-\eta \left[\dfrac{1}{6}{{k\tau }_{0}}^{3}+\dfrac{1}{2}k{{\tau }_{0}}^{2}\left(T-{\tau }_{0}\right)\right]}{-\dfrac{1}{2}\eta k\left({T}^{2}-{{\tau }_{0}}^{2}\right)} > {\tau }_{0} . \end{split}$

      对于CD上升沿, 电场近似为$ E\left(t\right)={-E}_{0}+kt $($ {E}_{0} $k为正常量), 在CD上升沿内先后间隔$ {\tau }_{0} $发射2个电子的时间弥散:

      $\begin{split} \Delta t=\;&\frac{\displaystyle\int_{0}^{T}{\rm{d}}\tau \left[{v}_{1}+\eta \displaystyle\int_{0}^{\tau }(-{E}_{0}+kt){\rm{d}}t\right]-\displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}{\rm{d}}\tau \left[{v}_{2}+\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{\tau }({-E}_{0}+kt){\rm{d}}\mathrm{t}\right]}{\eta \displaystyle\int_{{\tau }_{0}}^{T}\left(-{E}_{0}+kt\right){\rm{d}}t}\\ =\;&\dfrac{{v}_{1}T-{v}_{2}\left(T-{\tau }_{0}\right)+\eta \left[{-E}_{0}\left({T\tau }_{0}-\dfrac{1}{2}{{\tau }_{0}}^{2}\right)+\dfrac{1}{6}{{k\tau }_{0}}^{3}+\dfrac{1}{2}k{{\tau }_{0}}^{2}\left(T-{\tau }_{0}\right)\right]}{\eta \left[{-E}_{0}\left(T-{\tau }_{0}\right)+\dfrac{1}{2}k\left({T}^{2}-{{\tau }_{0}}^{2}\right)\right]} < {\tau }_{0} .\end{split} $

参考文献 (19)

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