图 1  (a)一维耦合腔晶格模型图, $ J_{n} $是晶胞$ a_{n-1} $和$ a_{n} $之间的耦合; (b) $ a_n $和$ m_n $分别表示腔场和磁子的模式, 其中沿腔z 方向施加磁场H, 可以使磁子模式与腔场模式耦合

Fig. 1.  (a) Schematic of the one-dimensional coupled cavity lattice system, $ J_{n} $ is the coupling strength between cavities $ a_{n-1} $ and $ a_{n} $; (b) $ a_n $ and $ m_n $ represent the modes of the cavity field and the magnon, an uniform bias magnetic field (H along the z direction) that establishes the magnon-photon coupling.

图 2  n = 36时, 系统能谱与相位$\phi $的关系图, 其中红色和蓝色线条是系统的两个边缘态模式　(a)$ g=0 $; (b)$ g=1 $; (c) $ g=2$; (d) $ g=3 $. 其他参数为$ J=1 $, $ \phi \in $[$ 0 $, $ 2 \pi $]

Fig. 2.  Energy spectrum of the system via the phase $\phi $, the red and blue lines are the two edge state modes of the system at n = 36: (a) $ g=0 $; (b) $ g=1 $; (c) $ g=2 $; (d) $ g=3 $. Other parameters are set as $ J=1 $ and $ \phi \in $[$ 0 $, $ 2 \pi $].

图 3  $ n=37 $时, 系统能谱与相位$\phi $的关系图, 其中红色线条是系统零模边缘态　(a) $ g=0 $; (b) $ g=1 $; (c) $ g=2 $; (d) $ g= 3 $. 其他参数为$ J=1 $, $ \phi \in $[$ 0 $, $ 2 \pi $]

Fig. 3.  Energy spectrum of the system via the phase $\phi $, the red line is the zero mode edge state of the system, n = 37 sites: (a) $ g=0 $; (b) $ g=1 $; (c) $ g=2 $; (d) $ g=3 $. Other parameters are set as $ J=1 $ and $ \phi \in $[$ 0 $, $ 2 \pi $].

图 4  系统能谱与晶格数关系图　(a)—(d) $ n=36 $, $ g=0, 1, 2, 3 $; (e)—(h) $ n=37 $, $ g=0, 1, 2, 3 $. 其他参数为$ J=1 $, $ \phi = \pi $

Fig. 4.  Energy spectrum of the system via the lattice numbers: (a)–(d)$ n=36 $, $ g=0, 1, 2, 3 $; (e)–(h)$ n=37 $, $ g=0, 1, 2, 3 $. Other parameters are set as $ J=1 $ and $ \phi = \pi $.

图 5  n = 37时, 边缘态(第19模式)的概率分布图　(a)$ \phi =0.7\pi, 1.5\pi $, $ g=1 $, $ J=1 $; (b)$ \phi =1.37 \pi $, $ g=0, 1 $, $ J=1 $

Fig. 5.  State distribution of the 19 mode is plotted at n = 37: (a) $ \phi =0.7\pi, 1.5\pi $, $ g=1 $, $ J=1 $; (b) $ \phi =1.37 \pi $, $ g=0, 1 $, $ J=1 $

图 6  边缘态概率分布与晶格数和相位$\phi $的关系图　(a) $ g=0 $; (b) $ g=1 $; (c) $ g=2 $; (d) $ g=3 $; (e) $ g=4 $; (f) $ g=5 $. 其他参数为$ n=37 $, $ J=1 $

Fig. 6.  State distribution of edge state via the lattice numbers and the phase $\phi $: (a) $ g=0 $; (b) $ g=1 $; (c) $ g=2 $; (d) $ g=3 $; (e) $ g=4 $; (f) $ g=5 $. Other parameters are set as $ n=37 $ and $ J=1 $.

图 7  系统能谱与相位$\phi $和随机缺陷的关系图　(a) $ W_{{\mathrm{r}}}=0.1 $; (b) $ W_{{\mathrm{r}}}=0.5 $; (c) $ W_{{\mathrm{r}}}=1 $; (d) $ W_{{\mathrm{r}}}=3 $; (e) $ W_{{\mathrm{r}}}=5 $; (f) $ W_{{\mathrm{r}}}=7 $. 其他参数参考图2(b)

Fig. 7.  Energy spectrum as a function of the phase $\phi $ for different degrees of defect: (a) $ W_{{\mathrm{r}}}=0.1 $; (b) $ W_{{\mathrm{r}}}=0.5 $; (c) $ W_{{\mathrm{r}}}=1 $; (d)$ W_{{\mathrm{r}}}=3 $; (e) $ W_{{\mathrm{r}}}=5 $; (f) $ W_{{\mathrm{r}}}=7 $. Other parameters are set as Fig. 2(b).

图 8  系统能谱与相位$\phi $和无序的关系图　(a) $ \delta=-0.3 $ (蓝色实线), $ \delta=0.3 $ (黑色虚线); (b)$ \delta=0.1 $ (蓝色实线), $ \delta=0.3 $ (黑色虚线); (c)$ \delta=-0.1 $ (蓝色实线), $ \delta=-0.3 $ (黑色虚线). 其他参数参考图2(b)

Fig. 8.  Energy spectrum as a function of the phase $\phi $ for different degrees of disorder and the dissipation: (a) $ \delta=-0.3 $ (blue line), $ \delta=0.3 $ (black dotted line); (b) $ \delta=0.1 $ (blue line), $ \delta=0.3 $ (black dotted line); (c) $ \delta=-0.1 $ (blue line), $ \delta=-0.3 $ (black dotted line). Other parameters are set as Fig. 2(b).