搜索

x

留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

线性塞曼劈裂对自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体中亮孤子动力学的影响

文林 梁毅 周晶 余鹏 夏雷 牛连斌 张晓斐

引用本文:
Citation:

线性塞曼劈裂对自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体中亮孤子动力学的影响

文林, 梁毅, 周晶, 余鹏, 夏雷, 牛连斌, 张晓斐

Effects of linear Zeeman splitting on the dynamics of bright solitons in spin-orbit coupled Bose-Einstein condensates

Wen Lin, Liang Yi, Zhou Jing, Yu Peng, Xia Lei, Niu Lian-Bin, Zhang Xiao-Fei
PDF
HTML
导出引用
  • 利用变分近似及基于Gross-Pitaevskii方程的直接数值模拟方法, 研究了自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体中线性塞曼劈裂对亮孤子动力学的影响, 发现线性塞曼劈裂将导致体系具有两个携带有限动量的静态孤子, 以及它们在微扰下存在一个零能的Goldstone激发模和一个频率与线性塞曼劈裂有关的谐振激发模. 同时给出了描述孤子运动的质心坐标表达式, 发现线性塞曼劈裂明显影响孤子的运动速度和振荡周期.
    Solitons as self-supported solitary waves are one of the most fundamental objects in nonlinear science. With the realization of Bose-Einstein condensate, matter-wave solitons have aroused enormous interest due to their potential applications in atomic transport and atomic interferometer. In recent years, the artificial spin-orbit coupling has been realized in ultracold atoms, thus providing a new platform to study the nonlinear matter wave solitons under a gauge field, and a variety of novel soliton phenomena have been successively predicted. In this paper, we analyze the effects of linear Zeeman splitting on the dynamics of bright-bright solitons in spin-orbit coupled two-component Bose-Einstein condensate, via the variational approximation and the numerical simulation of Gross-Pitaevskii (GP) equations. For the SU(2) spin-rotational invariant attractive atomic interaction in a uniform case without external trap, we take a hyperbolic secant function as the variational Ansatz for bright soliton in variational approximation, and derive the Euler-Lagrange equations describing the evolution of the Ansatz parameters. By solving the time-independent Euler-Lagrange equations, we find two stationary solitons each with a finite momentum for a weak spin-orbit coupling due to the linear Zeeman splitting. Linearizing the Euler-Lagrange equations around these stationary solitons, we further obtain a zero-energy Goldstone mode and an oscillation mode with frequency related to linear Zeeman splitting: the former indicates that the continuous translational symmetry of the stationary solitons will be broken under a perturbation, and the later shows that the stationary solitons will oscillate under a perturbation. Furthermore, by solving the time-dependent Euler-Lagrange equations, we also obtain the exact full dynamical solutions of Ansatz parameters, and observe that the linear Zeeman splitting affects the period and velocity of soliton's oscillation and linear motion, which may provide a new method to control the dynamics of solitons. All the variational calculations are also confirmed directly by the numerical simulation of GP equations.
      通信作者: 张晓斐, xfzhang@ntsc.ac.cn
    • 基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11875010, 11504037, 11775253, 11504038, 61874016, 11504035)、重庆市教委科学技术研究项目(批准号: KJ1500411, KJ1600307)、 重庆市前沿与应用基础研究计划一般项目(批准号: cstc2015jcyjA00013)、 重庆市高等教育创新群体项目(批准号: CXTDX201601016)和重庆市科技领军人才支持计划(批准号: cstc2018kjcxljrc0050)资助的课题.
      Corresponding author: Zhang Xiao-Fei, xfzhang@ntsc.ac.cn
    • Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11875010, 11504037, 11775253, 11504038, 61874016, 11504035), and the Foundation of Education Committees of Chongqing (Grant Nos. KJ1500411, KJ1600307), the Chongqing Research Program of Basic Research and Frontier Technology (Grant No. cstc2015jcyjA00013), the Foundation for the Creative Research Groups of Higher Education of Chongqing (Grant No. CXTDX201601016), and the Chongqing Science and Technology Innovation Leading Talents Support Plan(Grant No. cstc2018kjcxljrc0050).
    [1]

    Malomed B A 2006 Soliton Management in Periodic Systems (Vol. 1) (Berlin: Springer) p1

    [2]

    Kevrekidis P G, Frantzeskakis D J, Carretero-Gonzalez R 2008 Emergent Nonlinear Phenomena in Bose-Einstein Condensates (Vol. 1)(Berlin: Springer) pp43−96

    [3]

    Burger S, Bongs K, Dettmer S, Ertmer W, Sengstock K, Sanpera A, Shlyapnikov G V, Lewenstein M 1999 Phys. Rev. Lett. 83 5198Google Scholar

    [4]

    Khaykovich L, Schreck F, Ferrari G, Bourdel T, Cubizolles J, Carr L D, Castin Y, Salomon C 2002 Science 296 1290Google Scholar

    [5]

    Strecker K E, Partridge G B, Truscott A G, Hulet R G 2002 Nature 417 150Google Scholar

    [6]

    Cornish S L, Thompson S T, Wieman C E 2006 Phys. Rev. Lett. 96 170401Google Scholar

    [7]

    Marchant A L, Billam T P, Wiles T P, Yu M M H, Gardiner S, Cornish S L 2013 Nat. Commun. 4 1865Google Scholar

    [8]

    Nguyen J H V, Dyke P, Luo D, Malomed B A, Hulet R G 2014 Nat. Phys. 10 918Google Scholar

    [9]

    Yefsah T, Sommer A T, Ku M J H, Cheuk L W, Ji W, Bakr W S, Zwierlein M W 2013 Nature 499 426Google Scholar

    [10]

    Ku M J H, Ji W, Mukherjee B, Guardado-Sanchez E, Cheuk L W, Yefsah T, Zwierlein M W 2014 Phys. Rev. Lett. 113 065301Google Scholar

    [11]

    张蔚曦, 张志强, 冉茂武, 欧永康, 何章明 2014 物理学报 63 200507Google Scholar

    Zhang W X, Zhang Z Q, Ran M W, Ou Y K, He Z M 2014 Acta Phys. Sin. 63 200507Google Scholar

    [12]

    Guo X H, Xu T F, Liu C S 2018 Chin. Rhys. B 27 060307

    [13]

    Wang Q, Wen L, Li Z D 2012 Chin. Phys. B 21 080501Google Scholar

    [14]

    Lin Y J, Jiménez-GarcÍa K, Spielman I B 2011 Nature 471 83Google Scholar

    [15]

    Zhang J Y, Ji S C, Chen Z, Zhang L, Du Z D, Yan B, Pan G S, Zhao B, Deng Y J, Zhai H, Chen S, Pan J W 2012 Phys. Rev. Lett. 109 115301Google Scholar

    [16]

    Wang P, Yu Z Q, Fu Z, Miao J, Huang L, Chai S, Zhai H, Zhang J 2012 Phys. Rev. Lett. 109 095301Google Scholar

    [17]

    Cheuk L W, Sommer A T, Hadzibabic Z, Yefsah T, Bakr W S, Zwierlein M W 2012 Phys. Rev. Lett. 109 095302Google Scholar

    [18]

    Zhai H 2015 Rep. Prog. Phys. 78 026001Google Scholar

    [19]

    Zhou X, Li Y, Cai Z, Wu C J 2013 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 46 134001Google Scholar

    [20]

    Xu Y, Zhang Y, Wu B 2013 Phys. Rev. A 87 013614Google Scholar

    [21]

    Achilleos V, Frantzeskakis D J, Kevrekidis P G, Pelinovsky D E 2013 Phys. Rev. Lett. 110 264101Google Scholar

    [22]

    Achilleos V, Stockhofe J, Kevrekidis P G, Frantzeskakis D J, Schmelcher P 2013 Europhys. Lett. 103 20002Google Scholar

    [23]

    Kartashov Y V, Konotop V V, Abdullaev F K 2013 Phys. Rev. Lett. 111 060402Google Scholar

    [24]

    Liu Y K, Yang S J 2014 Europhys. Lett. 108 30004Google Scholar

    [25]

    Kartashov Y V, Konotop V V, Zezyulin D A 2014 Phys. Rev. A 90 063621Google Scholar

    [26]

    Gautam S, Adhikari S K 2015 Laser Phys. Lett. 12 045501Google Scholar

    [27]

    Gautam S, Adhikari S K 2015 Phys. Rev. A 91 063617Google Scholar

    [28]

    Zhang Y, Xu Y, Busch T 2015 Phys. Rev. A 91 043629Google Scholar

    [29]

    Peotta S, Mireles F, Di Ventra M 2015 Phys. Rev. A 91 021601Google Scholar

    [30]

    Sakaguchi H, Li B, Malomed B A 2014 Phys. Rev. E 89 032920Google Scholar

    [31]

    Sakaguchi H, Sherman E Y, Malomed B A 2016 Phys. Rev. E 94 032202Google Scholar

    [32]

    Salasnich L, Cardoso W B, Malomed B A 2014 Phys. Rev. A 90 033629Google Scholar

    [33]

    Sakaguchi H, Malomed B A 2014 Phys. Rev. E 90 062922Google Scholar

    [34]

    Lobanov V E, Kartashov Y V, Konotop V V 2014 Phys. Rev. Lett. 112 180403Google Scholar

    [35]

    Zhang Y C, Zhou Z W, Malomed B A, Pu H 2015 Phys. Rev. Lett. 115 253902Google Scholar

    [36]

    Beličev P P, Gligorić G, Petrovic J, Maluckov A, Hadžievski L, Malomed B A 2015 J. Phys. B 48 065301Google Scholar

    [37]

    Li Y, Liu Y, Fan Z, Pang W, Fu S, Malomed B A 2017 Phys. Rev. A 95 063613Google Scholar

    [38]

    Liao B, Li S, Huang C, Luo Z, Pang W, Tan H, Malomed B A, Li Y 2017 Phys. Rev. A 96 043613Google Scholar

    [39]

    Sakaguchi H, Malomed B A 2018 Phys. Rev. A 97 013607Google Scholar

    [40]

    Zhong R, Chen Z, Huang C, Luo Z, Tan H, Malomed B A, Li Y 2018 Front. Phys. 13 130311Google Scholar

    [41]

    Xu Y, Mao L, Wu B, Zhang C 2014 Phys. Rev. Lett. 113 130404Google Scholar

    [42]

    Li Y E, Xue J K 2016 Chin. Phys. Lett. 33 100502Google Scholar

    [43]

    Wen L, Sun Q, Chen Y, Wang D S, Hu J, Chen H, Liu W M, Juzeliūnas G, Malomed B A, Ji A C 2016 Phys. Rev. A 94 061602Google Scholar

    [44]

    Wen L, Zhang X F, Hu A Y, Zhou J, Yu P, Xia L, Sun Q, Ji A C 2018 Anns. Phys. 390 181

    [45]

    Sakaguchi H, Malomed B A 2017 Phys. Rev. A 96 043620Google Scholar

    [46]

    Kartashov Y V, Konotop V V 2017 Phys. Rev. Lett. 118 190401Google Scholar

    [47]

    Wen L, Sun Q, Wang H Q, Ji A C, Liu W M 2012 Phys. Rev. A 86 043602Google Scholar

    [48]

    Li Y, Pitaevskii L P, Stringari S 2012 Phys. Rev. Lett. 108 225301Google Scholar

    [49]

    Gong M, Chen G, Jia S T, Zhang C 2012 Phys. Rev. Lett. 109 105302Google Scholar

    [50]

    Qu C L, Zheng Z, Gong M, Xu Y, Mao L, Zou X, Guo G, Zhang C 2013 Nat. Commun. 4 2710Google Scholar

    [51]

    Zhang W, Yi W 2013 Nat. Commun. 4 2711Google Scholar

    [52]

    Zhao D, Song S W, Wen L, Li Z D, Luo H G, Liu W M 2015 Phys. Rev. A 91 013619Google Scholar

    [53]

    宗丰德, 杨阳, 张解放 2009 物理学报 58 3670Google Scholar

    Zong F D, Yang Y, Zhang J F 2009 Acta Phys. Sin. 58 3670Google Scholar

    [54]

    Alotaibi M O D, Carr L D 2017 Phys. Rev. A 96 013601Google Scholar

  • 图 1  (a),(b)$ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 0.5 $时固定点解$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $随线性塞曼劈裂$ \varepsilon $的变化; (c),(d)$ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 1.5 $时固定点解$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $随线性塞曼劈裂$ \varepsilon $的变化; (e)$ \varOmega/k_{\rm R}^2<1 $时临界值$ \varepsilon_{\rm c}$$ \varOmega $的变化

    Fig. 1.  (a) and (b) show the $ \tilde{\theta} $ and $ \tilde{k} $ change with $ \varepsilon $ for $ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 0.5 $; (c) and (d) display $ \tilde{\theta} $ and $ \tilde{k} $ change with $ \varepsilon $ for $ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 1.5 $; (e) shows the critical value $ \varepsilon_{\rm c} $ versus $ \varOmega $ for $ \varOmega/k_{{\rm R}}^2<1 $.

    图 2  (a)和(b)分别展示$ k_{\rm R} = 0.2\varOmega $$ k_{\rm R} = 1.5\varOmega $时, 变分静态孤子解(圆圈)与GP方程(2)静态孤子的数值解(实线)的对比, 其他参数取值为$ \varepsilon = 0.3 $, $ \varOmega = 0.5 $$ g = -10 $; (c)—(f)分别为(a)和(b)中的变分静态孤子解作为初始条件在含时GP方程中的动力学演化

    Fig. 2.  (a), (b) show the comparisons between the variationally predicted stationary soliton solutions (circles) and the numerical solutions (solid lines) of stationary solitons of GP equation (2) for $k_{\rm R}=0.2\varOmega$ and $k_{\rm R}=1.5\varOmega$ with $\varOmega=0.5$, respectively. The other parameters are $\varepsilon=0.3$ and $g=-10$;(c)−(f) are the dynamical evolutions of solitons in time-dependent GP simulations by using the variationally predicted stationary soliton solutions in (a) and (b) as initial wave functions, respectively

    图 3  $ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 0.5$ (a)和$ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 1.5 $(b)时, 频率$ \omega_{\pm} = \pm 2\varOmega/\sin\left(2\tilde{\theta}\right) $随线性塞曼劈裂强度$ \varepsilon $的变化

    Fig. 3.  The frequency $\omega_{\pm}=\pm 2\varOmega/\sin\left(2\tilde{\theta}\right)$ changes with $\varepsilon$ for $\varOmega/k_{\rm R}^2=0.5$ and $\varOmega/k_{\rm R}^2=1.5$ in (a) and (b), respectively.

    图 4  (a)—(f)初始值为$ \theta_{0} = \dfrac{{\text{π}}}{4} $, $ \varphi_{-, 0} = 0 $$ k = 0 $的孤子动力学演化 (a)—(c) $ \varepsilon = 0 $, (d)—(f) $ \varepsilon = 0.35 $; 孤子振荡周期$ T(g) $及速度$ v(h) $随线性塞曼劈裂的变化

    Fig. 4.  (a)−(f) show the dynamical evolutions of initially balanced solitons with $\theta_0=\dfrac{{\text{π}}}{4}$, $k=0$ and $\varphi_{-, 0}=0$ in GP simulations, $\varepsilon=0$ in (a)−(c), and $\varepsilon=0.35$ in (d)−(f); oscillation period $T(g) $ and moving velocity $v(h) $ of solitons change with the linear Zeeman splitting.

  • [1]

    Malomed B A 2006 Soliton Management in Periodic Systems (Vol. 1) (Berlin: Springer) p1

    [2]

    Kevrekidis P G, Frantzeskakis D J, Carretero-Gonzalez R 2008 Emergent Nonlinear Phenomena in Bose-Einstein Condensates (Vol. 1)(Berlin: Springer) pp43−96

    [3]

    Burger S, Bongs K, Dettmer S, Ertmer W, Sengstock K, Sanpera A, Shlyapnikov G V, Lewenstein M 1999 Phys. Rev. Lett. 83 5198Google Scholar

    [4]

    Khaykovich L, Schreck F, Ferrari G, Bourdel T, Cubizolles J, Carr L D, Castin Y, Salomon C 2002 Science 296 1290Google Scholar

    [5]

    Strecker K E, Partridge G B, Truscott A G, Hulet R G 2002 Nature 417 150Google Scholar

    [6]

    Cornish S L, Thompson S T, Wieman C E 2006 Phys. Rev. Lett. 96 170401Google Scholar

    [7]

    Marchant A L, Billam T P, Wiles T P, Yu M M H, Gardiner S, Cornish S L 2013 Nat. Commun. 4 1865Google Scholar

    [8]

    Nguyen J H V, Dyke P, Luo D, Malomed B A, Hulet R G 2014 Nat. Phys. 10 918Google Scholar

    [9]

    Yefsah T, Sommer A T, Ku M J H, Cheuk L W, Ji W, Bakr W S, Zwierlein M W 2013 Nature 499 426Google Scholar

    [10]

    Ku M J H, Ji W, Mukherjee B, Guardado-Sanchez E, Cheuk L W, Yefsah T, Zwierlein M W 2014 Phys. Rev. Lett. 113 065301Google Scholar

    [11]

    张蔚曦, 张志强, 冉茂武, 欧永康, 何章明 2014 物理学报 63 200507Google Scholar

    Zhang W X, Zhang Z Q, Ran M W, Ou Y K, He Z M 2014 Acta Phys. Sin. 63 200507Google Scholar

    [12]

    Guo X H, Xu T F, Liu C S 2018 Chin. Rhys. B 27 060307

    [13]

    Wang Q, Wen L, Li Z D 2012 Chin. Phys. B 21 080501Google Scholar

    [14]

    Lin Y J, Jiménez-GarcÍa K, Spielman I B 2011 Nature 471 83Google Scholar

    [15]

    Zhang J Y, Ji S C, Chen Z, Zhang L, Du Z D, Yan B, Pan G S, Zhao B, Deng Y J, Zhai H, Chen S, Pan J W 2012 Phys. Rev. Lett. 109 115301Google Scholar

    [16]

    Wang P, Yu Z Q, Fu Z, Miao J, Huang L, Chai S, Zhai H, Zhang J 2012 Phys. Rev. Lett. 109 095301Google Scholar

    [17]

    Cheuk L W, Sommer A T, Hadzibabic Z, Yefsah T, Bakr W S, Zwierlein M W 2012 Phys. Rev. Lett. 109 095302Google Scholar

    [18]

    Zhai H 2015 Rep. Prog. Phys. 78 026001Google Scholar

    [19]

    Zhou X, Li Y, Cai Z, Wu C J 2013 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 46 134001Google Scholar

    [20]

    Xu Y, Zhang Y, Wu B 2013 Phys. Rev. A 87 013614Google Scholar

    [21]

    Achilleos V, Frantzeskakis D J, Kevrekidis P G, Pelinovsky D E 2013 Phys. Rev. Lett. 110 264101Google Scholar

    [22]

    Achilleos V, Stockhofe J, Kevrekidis P G, Frantzeskakis D J, Schmelcher P 2013 Europhys. Lett. 103 20002Google Scholar

    [23]

    Kartashov Y V, Konotop V V, Abdullaev F K 2013 Phys. Rev. Lett. 111 060402Google Scholar

    [24]

    Liu Y K, Yang S J 2014 Europhys. Lett. 108 30004Google Scholar

    [25]

    Kartashov Y V, Konotop V V, Zezyulin D A 2014 Phys. Rev. A 90 063621Google Scholar

    [26]

    Gautam S, Adhikari S K 2015 Laser Phys. Lett. 12 045501Google Scholar

    [27]

    Gautam S, Adhikari S K 2015 Phys. Rev. A 91 063617Google Scholar

    [28]

    Zhang Y, Xu Y, Busch T 2015 Phys. Rev. A 91 043629Google Scholar

    [29]

    Peotta S, Mireles F, Di Ventra M 2015 Phys. Rev. A 91 021601Google Scholar

    [30]

    Sakaguchi H, Li B, Malomed B A 2014 Phys. Rev. E 89 032920Google Scholar

    [31]

    Sakaguchi H, Sherman E Y, Malomed B A 2016 Phys. Rev. E 94 032202Google Scholar

    [32]

    Salasnich L, Cardoso W B, Malomed B A 2014 Phys. Rev. A 90 033629Google Scholar

    [33]

    Sakaguchi H, Malomed B A 2014 Phys. Rev. E 90 062922Google Scholar

    [34]

    Lobanov V E, Kartashov Y V, Konotop V V 2014 Phys. Rev. Lett. 112 180403Google Scholar

    [35]

    Zhang Y C, Zhou Z W, Malomed B A, Pu H 2015 Phys. Rev. Lett. 115 253902Google Scholar

    [36]

    Beličev P P, Gligorić G, Petrovic J, Maluckov A, Hadžievski L, Malomed B A 2015 J. Phys. B 48 065301Google Scholar

    [37]

    Li Y, Liu Y, Fan Z, Pang W, Fu S, Malomed B A 2017 Phys. Rev. A 95 063613Google Scholar

    [38]

    Liao B, Li S, Huang C, Luo Z, Pang W, Tan H, Malomed B A, Li Y 2017 Phys. Rev. A 96 043613Google Scholar

    [39]

    Sakaguchi H, Malomed B A 2018 Phys. Rev. A 97 013607Google Scholar

    [40]

    Zhong R, Chen Z, Huang C, Luo Z, Tan H, Malomed B A, Li Y 2018 Front. Phys. 13 130311Google Scholar

    [41]

    Xu Y, Mao L, Wu B, Zhang C 2014 Phys. Rev. Lett. 113 130404Google Scholar

    [42]

    Li Y E, Xue J K 2016 Chin. Phys. Lett. 33 100502Google Scholar

    [43]

    Wen L, Sun Q, Chen Y, Wang D S, Hu J, Chen H, Liu W M, Juzeliūnas G, Malomed B A, Ji A C 2016 Phys. Rev. A 94 061602Google Scholar

    [44]

    Wen L, Zhang X F, Hu A Y, Zhou J, Yu P, Xia L, Sun Q, Ji A C 2018 Anns. Phys. 390 181

    [45]

    Sakaguchi H, Malomed B A 2017 Phys. Rev. A 96 043620Google Scholar

    [46]

    Kartashov Y V, Konotop V V 2017 Phys. Rev. Lett. 118 190401Google Scholar

    [47]

    Wen L, Sun Q, Wang H Q, Ji A C, Liu W M 2012 Phys. Rev. A 86 043602Google Scholar

    [48]

    Li Y, Pitaevskii L P, Stringari S 2012 Phys. Rev. Lett. 108 225301Google Scholar

    [49]

    Gong M, Chen G, Jia S T, Zhang C 2012 Phys. Rev. Lett. 109 105302Google Scholar

    [50]

    Qu C L, Zheng Z, Gong M, Xu Y, Mao L, Zou X, Guo G, Zhang C 2013 Nat. Commun. 4 2710Google Scholar

    [51]

    Zhang W, Yi W 2013 Nat. Commun. 4 2711Google Scholar

    [52]

    Zhao D, Song S W, Wen L, Li Z D, Luo H G, Liu W M 2015 Phys. Rev. A 91 013619Google Scholar

    [53]

    宗丰德, 杨阳, 张解放 2009 物理学报 58 3670Google Scholar

    Zong F D, Yang Y, Zhang J F 2009 Acta Phys. Sin. 58 3670Google Scholar

    [54]

    Alotaibi M O D, Carr L D 2017 Phys. Rev. A 96 013601Google Scholar

  • [1] 陈逸熙, 蔡晓妍, 刘彬, 江迅达, 黎永耀. 准二维空间中的隐秘涡旋量子液滴. 物理学报, 2022, 71(20): 200302. doi: 10.7498/aps.71.20220709
    [2] 马赟娥, 乔鑫, 高瑞, 梁俊成, 张爱霞, 薛具奎. 可调自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体的隧穿动力学. 物理学报, 2022, 71(21): 210302. doi: 10.7498/aps.71.20220697
    [3] 贾瑞煜, 方乒乒, 高超, 林机. 玻色-爱因斯坦凝聚体中的淬火孤子与冲击波. 物理学报, 2021, 70(18): 180303. doi: 10.7498/aps.70.20210564
    [4] 唐娜, 杨雪滢, 宋琳, 张娟, 李晓霖, 周志坤, 石玉仁. 三体相互作用下准一维玻色-爱因斯坦凝聚体中的带隙孤子及其稳定性. 物理学报, 2020, 69(1): 010301. doi: 10.7498/aps.69.20191278
    [5] 郭慧, 王雅君, 王林雪, 张晓斐. 玻色-爱因斯坦凝聚中的环状暗孤子动力学. 物理学报, 2020, 69(1): 010302. doi: 10.7498/aps.69.20191424
    [6] 李吉, 刘斌, 白晶, 王寰宇, 何天琛. 环形势阱中自旋-轨道耦合旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态. 物理学报, 2020, 69(14): 140301. doi: 10.7498/aps.69.20200372
    [7] 李吉, 刘伍明. 梯度磁场中自旋-轨道耦合旋转两分量玻色-爱因斯坦凝聚体的基态研究. 物理学报, 2018, 67(11): 110302. doi: 10.7498/aps.67.20180539
    [8] 贺丽, 余增强. 自旋-轨道耦合作用下玻色-爱因斯坦凝聚在量子相变附近的朗道临界速度. 物理学报, 2017, 66(22): 220301. doi: 10.7498/aps.66.220301
    [9] 何章明, 张志强. 玻色-爱因斯坦凝聚体中的双孤子相互作用操控. 物理学报, 2016, 65(11): 110502. doi: 10.7498/aps.65.110502
    [10] 李志, 曹辉. 自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体在尖端势垒散射中的Klein隧穿. 物理学报, 2014, 63(11): 110306. doi: 10.7498/aps.63.110306
    [11] 张恒, 段文山. 二维玻色-爱因斯坦凝聚中孤立波的调制不稳定性. 物理学报, 2013, 62(4): 044703. doi: 10.7498/aps.62.044703
    [12] 李志, 王建忠. 自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚势垒散射特性的研究. 物理学报, 2013, 62(10): 100306. doi: 10.7498/aps.62.100306
    [13] 石兰芳, 周先春. 一类扰动Burgers方程的孤子同伦映射解. 物理学报, 2010, 59(5): 2915-2918. doi: 10.7498/aps.59.2915
    [14] 严冬, 宋立军, 陈殿伟. 两分量玻色-爱因斯坦凝聚系统的自旋压缩. 物理学报, 2009, 58(6): 3679-3684. doi: 10.7498/aps.58.3679
    [15] 宗丰德, 杨阳, 张解放. 外势场作用下的玻色-爱因斯坦凝聚啁啾孤子的演化与操控. 物理学报, 2009, 58(6): 3670-3678. doi: 10.7498/aps.58.3670
    [16] 李菊萍, 谭 磊, 臧小飞, 杨 科. 偶极旋量玻色-爱因斯坦凝聚体在外场中的自旋混合动力学. 物理学报, 2008, 57(12): 7467-7476. doi: 10.7498/aps.57.7467
    [17] 王冠芳, 刘 红. 扫描磁场中玻色-爱因斯坦凝聚体系的奇异自旋隧穿. 物理学报, 2008, 57(2): 667-673. doi: 10.7498/aps.57.667
    [18] 宗丰德, 张解放. 装载于外势场中的玻色-爱因斯坦凝聚N-孤子间的相互作用. 物理学报, 2008, 57(5): 2658-2668. doi: 10.7498/aps.57.2658
    [19] 何章明, 王登龙. 凝聚体中亮孤子和暗孤子的交替演化. 物理学报, 2007, 56(6): 3088-3091. doi: 10.7498/aps.56.3088
    [20] 沈守枫. (1+1)维广义的浅水波方程的变量分离解和孤子激发模式. 物理学报, 2006, 55(3): 1016-1022. doi: 10.7498/aps.55.1016
计量
  • 文章访问数:  4458
  • PDF下载量:  71
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2018-11-12
  • 修回日期:  2019-02-17
  • 上网日期:  2019-03-23
  • 刊出日期:  2019-04-20

线性塞曼劈裂对自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体中亮孤子动力学的影响

  • 1. 重庆师范大学物理与电子工程学院, 重庆 401331
  • 2. 重庆邮电大学理学院, 重庆 400065
  • 3. 中国科学院国家授时中心, 时间频率基准重点实验室, 西安 710600
  • 通信作者: 张晓斐, xfzhang@ntsc.ac.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11875010, 11504037, 11775253, 11504038, 61874016, 11504035)、重庆市教委科学技术研究项目(批准号: KJ1500411, KJ1600307)、 重庆市前沿与应用基础研究计划一般项目(批准号: cstc2015jcyjA00013)、 重庆市高等教育创新群体项目(批准号: CXTDX201601016)和重庆市科技领军人才支持计划(批准号: cstc2018kjcxljrc0050)资助的课题.

摘要: 利用变分近似及基于Gross-Pitaevskii方程的直接数值模拟方法, 研究了自旋-轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体中线性塞曼劈裂对亮孤子动力学的影响, 发现线性塞曼劈裂将导致体系具有两个携带有限动量的静态孤子, 以及它们在微扰下存在一个零能的Goldstone激发模和一个频率与线性塞曼劈裂有关的谐振激发模. 同时给出了描述孤子运动的质心坐标表达式, 发现线性塞曼劈裂明显影响孤子的运动速度和振荡周期.

English Abstract

    • 孤子作为一种非线性波, 因其独特的传播性质及潜在的应用价值, 已成为非线性科学研究领域的重要研究课题之一. 孤子也是自然界中的一种普遍的非线性现象, 并广泛地存在于各种非线性介质中, 如水波、等离子体、粒子物理、分子生物学及光纤等[1]. 特别地, 随着玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)和简并费米气体的实验实现, 大量的研究结果展示, 超冷原子气体中也存在物质波孤子现象, 实验上已经相继观察到了物质波亮孤子、暗孤子及涡旋孤子等非线性现象[2-13]. 由于物质波孤子在相干原子光学、原子干涉仪及原子输运等领域中存在着潜在的应用价值, 研究超冷原子气体中的孤子动力学性质也成为了近几十年的热点研究课题之一.

      近年来, 人造自旋-轨道耦合在超冷原子气体中的实验实现, 也为探索规范场中孤子的动力学性质提供了平台[14-17]. 一方面, 自旋-轨道耦合使得体系单粒子基态在有限动量处简并[18,19], 自旋-轨道耦合在BEC中将导致许多新奇的静态孤子, 例如条纹孤子和分数涡旋能隙孤子等[20-42]. 另一方面, 在多组分BEC中, 孤子可看作是具有赝自旋的粒子, 自旋-轨道耦合将孤子自旋与质心耦合在一起, 使得孤子的自旋旋进将影响其质心运动. 例如, 孤子自旋周期性翻转将提供一个周期性的力去驱使孤子质心做周期性振荡[43-46]. 由此可见, 自旋-轨道耦合为孤子的宏观量子调控提供了新的手段.

      实验上在超冷原子气体中产生人造自旋-轨道耦合时, 不同分量间的能量差及Raman激光的频率差将产生一个有效的线性塞曼劈裂[14-17], 它使得单粒子能谱的对称结构被破坏, 并导致许多新奇的量子态, 如BEC中的极化平面波态、超冷费米气体中的拓扑超流态和Majorana费米子等[47-51]. 除此以外, 甚至在没有自旋-轨道耦合的旋量BEC中, 塞曼劈裂也会导致一些新奇的拓扑孤子态[52]. 因此, 在具有自旋-轨道耦合的BEC中, 线性塞曼劈裂将对孤子的动力学性质产生明显的影响.

      本文以一维自旋-轨道耦合双组份BEC为研究对象, 深入研究线性塞曼劈裂对亮孤子动力学性质的影响. 假设体系的原子相互作用守恒SU(2)对称性, 并取双曲正弦函数作为亮孤子的试探波函数, 本文首先利用变分法导出了试探波函数中的变分参数(未知参数)随时间演化所满足的欧拉-拉格朗日方程; 然后求解欧拉-拉格朗日方程的固定点解, 在自旋-轨道耦合强度较弱时, 发现了两个近似的静态亮孤子解; 进一步对这两个静态孤子做线性稳定性分析, 获得了一个零能的Goldstone激发模和一个谐振激发模, 前者对应于平移对称性的破缺, 后者的振荡频率与线性塞曼劈裂的强度有关; 最后, 通过求解欧拉-拉格朗日方程, 获得了变分参数的含时精确解, 并发现线性塞曼劈裂明显地影响孤子的运动速度和振荡周期. 这些变分计算结果与基于Gross-Pitaevskii (GP)方程的直接数值模拟结果相吻合.

    • 考虑沿$ z $方向的一维均匀自旋-轨道耦合双组分BEC[14-17]. 在由同一种原子的两种不同超精细态所形成的双组分BEC的实验中, 由于两个分量的种内原子相互作用强度和种间原子相互作用强度通常比较接近, 本文将假设两者相等, 即原子间的相互作用守恒SU(2)对称性. 因此, 在平均场近似下, 系统的动力学性质可用如下的无量纲化GP方程描述:

      ${\rm i}\frac{\partial \psi_{\uparrow}}{\partial t}= -\frac{1}{2}·\frac{\partial^2 \psi_{\uparrow} }{\partial z^2}- {\rm i} k_{\rm R} \frac{\partial \psi_{\uparrow}}{\partial z}+\varepsilon \psi_{\uparrow}+\varOmega\psi_{\downarrow}+g n\psi_{\uparrow},\tag{1a}$

      ${\rm i}\frac{\partial \psi_{\downarrow}}{\partial t}=-\frac{1}{2}·\frac{\partial^2 \psi_{\downarrow} }{\partial z^2}+{\rm i} k_{\rm R}\frac{\partial \psi_{\downarrow}}{\partial z}-\varepsilon \psi_{\downarrow}+\varOmega\psi_{\uparrow}+g n\psi_{\downarrow},\tag{1b}$

      方程中$ \psi_{s}\left(z, t\right) $为描述两个分量的动力学性质的波函数($ s = \uparrow, \downarrow $代表两个不同的分量), 且满足归一化条件$\displaystyle\sum_{s = \uparrow, \downarrow}\int_{-\infty}^{+\infty}\vert\psi_{s}\vert^2 {\rm d}z = 1 $, $ z $$ t $分别为空间坐标和时间; $ n = \vert \psi_{\uparrow}\vert^2+\vert \psi_{\downarrow}\vert^2 $为总密度分布; $ \varepsilon $为线性塞曼劈裂的强度; $ \varOmega $$ k_{\rm R} $分别表示Raman激光强度和自旋-轨道耦合强度; $ g<0 $代表原子间的吸引相互作用强度. 当自旋-轨道耦合存在时, GP方程((1a), (1b))不可积[25], 本文利用变分近似方法解析研究孤子的动力学性质[1]. 在变分近似方法中, 体系所对应的拉格朗日量为

      $\begin{split} & \mathcal{L}(t) \\= & \int_{-\infty}^{+\infty}\bigg[\frac{{\rm i}}{2}\sum_{s = \uparrow, \downarrow}\left(\psi_{s}^{\ast}\frac{\partial \psi_{s}}{\partial t}-\psi_{s}\frac{\partial \psi_{s}^{\ast}}{\partial t}\right)+\!\frac{1}{2}\psi_{\uparrow}^{\ast}\frac{\partial^2 \psi_{\uparrow} }{\partial z^2} \\ & +\frac{1}{2}\psi_{\downarrow}^{\ast}\frac{\partial^2 \psi_{\downarrow} }{\partial z^2}+{\rm i} k_{\rm R}\left(\!\psi_{\uparrow}^{\ast}\frac{\partial \psi_{\uparrow}}{\partial z}-\psi_{\downarrow}^{\ast}\frac{\partial \psi_{\downarrow}}{\partial z}\!\right)-\varepsilon\big(\vert\psi_{\uparrow}\vert^2 \\ & -\vert\psi_{\downarrow}\vert^2\big)-\varOmega\left(\psi_{\uparrow}^{\ast}\psi_{\downarrow}+\psi_{\downarrow}^{\ast}\psi_{\uparrow}\right)-\frac{g}{2}n^4\bigg]{\rm d}z, \end{split} $

      其中$ \ast $代表复共轭.

      对于SU(2)自旋对称的均匀双组分BEC, 假设BEC凝聚在单个准动量为$ k $的态上, 则可以利用双曲正弦函数作为亮孤子的试探波函数, 并取两个分量孤子的宽度$ \eta^{-1} $、质心坐标$ \langle z\rangle $和波矢$ k $相等, 即

      $\left( \begin{aligned} \psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow}\end{aligned} \right) \!=\! \sqrt{\frac{\eta}{2}}\left( \begin{aligned} \sin\theta{\rm e}^{{\rm i}(k z+\varphi_{\uparrow})} \\ \cos\theta {\rm e}^{{\rm i}(k z+\varphi_{\downarrow})} \\ \end{aligned} \right)\mbox{sech}\left[\eta \left(z-\langle z\rangle\right)\right], $

      其中变分参数$ \theta $, $ \eta $, $ \langle z\rangle $, $ k $$ \varphi_s $都是时间的函数; $ \varphi_{s} $代表两个组分中亮孤子的相位; $ \theta $可描述两个亮孤子的振幅比. 将波函数(3)代入拉格朗日量(2)式, 并定义$ \varphi_{\pm} = \left(\varphi_{\uparrow}\pm \varphi_{\downarrow}\right)/2 $$ \beta = k_{\rm R} k+\varepsilon $, 则

      $\begin{split}\mathcal{L}\left(t\right) \!=\! & -\langle z\rangle\frac{{\rm d} k}{{\rm d}t}\!+\!\cos\left(2\theta\right)\frac{{\rm d}\varphi_{-}}{{\rm d}t} \!-\!\frac{{\rm d}\varphi_+}{{\rm d}t} \!+\!\beta\cos\left(2\theta\right) \\ & -\varOmega\sin\left(2\theta\right)\cos\left(2\varphi_{-}\right) \!-\!\frac{\eta\left(\eta \!+\! g\right)}{6} \!-\! \frac{1}{2}k^2.\end{split}$

      然后利用欧拉-拉格朗日方程$ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial A}-\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{ \partial \dot{A}}\right) = $0 ($ A $为变分参数$ \theta $, $ k $, $ \langle z\rangle $, $ \varphi_{\pm} $$ \eta $, 且$ \dot{A} = {{\rm d}A}/{{\rm d}t} $), 可得变分参数随时间演化的运动方程

      $\eta =-g/2,\tag{5a}$

      ${{\rm d}k}/{{\rm d}t}= 0,\tag{5b}$

      $\frac{{\rm d}\langle z\rangle }{{\rm d}t} = k- k_{{\rm R}}\cos \left( 2\theta \right),\tag{5c}$

      $\frac{{\rm d}\theta }{{\rm d}t}= -\varOmega \sin \left( 2\varphi _{-}\right),\tag{5d}$

      $ \frac{{\rm d}\varphi _{-}}{{\rm d}t}= -\beta-\varOmega \cot \left( 2\theta \right) \cos \left( 2\varphi _{-}\right).\tag{5e}$

      方程(5a)和(5b)说明孤子的宽度仅由原子间的相互作用决定, 且两个孤子的动量守恒. 方程(5c)—(5e)表明, 自旋-轨道耦合将$ \theta $$ \langle z\rangle $$ \varphi_{-} $耦合在一起, 并且线性塞曼劈裂也影响这些参数的动力学演化, 这将导致孤子展现出有趣的动力学特征.

    • 通过设$ \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d} \langle z\rangle}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}\varphi_{-}}{{\rm d}t} = 0 $, 首先求解欧拉-拉格朗日方程(5a)—(5e)的固定点解(用符号“$ \sim $”作为上标标记), 它或许对应于静态孤子解[1,53]. 从方程(5c)和(5d)中可看出, $ \tilde{\varphi}_{-} = n\dfrac{{\text{π}}}{2} $ ($ n $为整数)和$ \tilde{\langle z\rangle} = $任意常数, 后者说明静态孤子具有平移对称性. 而固定点解$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $满足非线性方程组$ \tilde{k} \!=\! k_{{\rm R}}\cos(2\tilde{\theta}) $$ 0 \!=\! k_{\rm R}^2\cos(2\tilde{\theta})+\varepsilon+(-1)^{n}\varOmega\cot(2\tilde{\theta}) $. 由于$ n $取奇数和偶数时, $ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $的解仅仅相差一个负号, 因此本文考虑$ n = 0 $的简单情形. 图1给出了固定点解$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $随线性塞曼劈裂强度的变化, 曲线颜色代表不同的解. 从图1(a)(b)中可看出, 当$ \varOmega/k_{\rm R}^2<1 $时, 线性塞曼劈裂存在着一个临界值$ \varepsilon_{{\rm c}} $, 它随Raman耦合强度增加而单调递减(见图1(e)). 如果$ \varepsilon<\varepsilon_{\rm c} $, $ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $分别具有四个不同的解, 否则$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $分别具有两个不同的解. 而对于$ \varOmega/k_{\rm R}^2>1 $, 不论线性塞曼劈裂强度取何值, $ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $都只具有两个不同的解(见图1(c)(d)). 特别的, 如图1(a)— (d)所示, 归咎于线性塞曼劈裂的存在, 这些固定点所对应的孤子总是具有非零的动量, 并且两个分量间的粒子数不相等, 即

      图  1  (a),(b)$ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 0.5 $时固定点解$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $随线性塞曼劈裂$ \varepsilon $的变化; (c),(d)$ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 1.5 $时固定点解$ \tilde{\theta} $$ \tilde{k} $随线性塞曼劈裂$ \varepsilon $的变化; (e)$ \varOmega/k_{\rm R}^2<1 $时临界值$ \varepsilon_{\rm c}$$ \varOmega $的变化

      Figure 1.  (a) and (b) show the $ \tilde{\theta} $ and $ \tilde{k} $ change with $ \varepsilon $ for $ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 0.5 $; (c) and (d) display $ \tilde{\theta} $ and $ \tilde{k} $ change with $ \varepsilon $ for $ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 1.5 $; (e) shows the critical value $ \varepsilon_{\rm c} $ versus $ \varOmega $ for $ \varOmega/k_{{\rm R}}^2<1 $.

      $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\vert\psi_{\uparrow}\vert^2-\vert\psi_{\downarrow}\vert^2\right){\rm d}z = -\tilde{k}/k_{\rm R}\neq 0.$

      变分法仅仅是一种近似方法, 有必要将欧拉-朗格朗日方程(5a)(5e)的固定点解与GP方程的数值解作对比[1]. 一方面, 可利用虚时演化方法求解GP方程的静态孤子数值解, 其结果展示在图2(a)(b)中. 对于弱的自旋-轨道耦合($ \varOmega/k_{\rm R}^2\gg 1 $), 图2(a)展示欧拉-朗格朗日方程(5a)(5e)的固定点解与GP方程的静态孤子数值解相一致. 然而, 对于强自旋-轨道耦合($ \varOmega/k_{\rm R}^2\ll 1 $)的情况, 两者存在着明显的差别(见图2(b)), 图2(a), (b)中变分静态孤子解分别取自于图1(d)1(a)中的蓝色和红色曲线. 因此, 在弱自旋-轨道耦合情况下, 变分法能产生一个较好的静态孤子近似解. 另一方面, 也可以将欧拉-朗格朗日方程(5a)(5e)的固定点解作为初始条件去数值求解含时GP方程, 如果孤子在含时演化中能够保持其初始波形而不运动, 则欧拉-拉格朗日方程(5a)(5e)的固定点解可认作是GP方程的静态孤子近似解. 这些含时演化结果展示在图2(c)—(f)中, 从中可以看出, 对于弱自旋-轨道耦合的情况($ \varOmega/k_{\rm R}^2\gg 1 $), 尽管线性塞曼劈裂导致初始孤子具有一个有限的动量, 但是这些孤子总是能保持其初始的波形而静止在初始位置(见图2(c),(d)). 相反, 对于强自旋-轨道耦合的情形($ \varOmega/k_{\rm R}^2\ll 1 $), GP方程的含时数值演化结果表明, 孤子将偏离初始位置, 它不仅沿着$ z $方向线性运动, 而且运动过程中还会出现振荡运动(见图2(e),(f)).

      图  2  (a)和(b)分别展示$ k_{\rm R} = 0.2\varOmega $$ k_{\rm R} = 1.5\varOmega $时, 变分静态孤子解(圆圈)与GP方程(2)静态孤子的数值解(实线)的对比, 其他参数取值为$ \varepsilon = 0.3 $, $ \varOmega = 0.5 $$ g = -10 $; (c)—(f)分别为(a)和(b)中的变分静态孤子解作为初始条件在含时GP方程中的动力学演化

      Figure 2.  (a), (b) show the comparisons between the variationally predicted stationary soliton solutions (circles) and the numerical solutions (solid lines) of stationary solitons of GP equation (2) for $k_{\rm R}=0.2\varOmega$ and $k_{\rm R}=1.5\varOmega$ with $\varOmega=0.5$, respectively. The other parameters are $\varepsilon=0.3$ and $g=-10$;(c)−(f) are the dynamical evolutions of solitons in time-dependent GP simulations by using the variationally predicted stationary soliton solutions in (a) and (b) as initial wave functions, respectively

      利用线性稳定性理论可进一步分析这些静态孤子在微扰下的稳定性及激发模式[1,53]. 设变分参数$ A(t) = \tilde{A}+{\text{δ}} {\rm e}^{{\rm i}\omega t} $, 其中$ {\text{δ}} A $代表在微扰下变分参数相对于其固定点解$ \tilde{A} $的偏离, $ \omega $为激发的本征频率. 将$ A(t) = \tilde{A}+{\text{δ}} A {\rm e}^{{\rm i}\omega t} $代入欧拉-拉格朗日方程, 并保留至$ {\text{δ}} A $的一阶项, 可得矩阵方程:

      $\left( \begin{aligned} &\;\; {\rm i}\omega \quad\quad\;\; 0 \quad\quad\quad\quad 0 \quad\quad\quad\quad\quad 0 \\ & -1\quad\quad {\rm i}\omega \quad-2k_{\rm R}\sin \left( 2\tilde{\theta}\right) \quad\;\; 0 \\ &\;\; 0 \quad\quad\;\;\;\; 0 \quad\quad\quad\quad {\rm i}\omega \quad\quad\quad \quad 2\varOmega \\ & k_{\rm R} \quad\quad\;\;\; 0 \quad -\frac{2\varOmega }{\sin ^{2}\left( 2\tilde{\theta}\right) } \quad \quad\quad {\rm i}\omega \end{aligned} \right)\left( \begin{aligned} {\text{δ}} k \;\;\\ {\text{δ}}\langle z\rangle \\ {\text{δ}} \theta \;\;\\ {\text{δ}} \varphi_{-} \end{aligned} \right) = 0.\tag{6}$

      解该矩阵方程, 可得到本征频率$ \omega_1 = \omega_2 = 0 $$ \omega_{\pm} = \pm\dfrac{2\varOmega}{\sin\left(2\tilde{\theta}\right)} $, 以及对应的本征矢量${ V}_{1} = $$ \left(0, 0, 0, 0\right)^{\rm T},$ $ { V}_{2} \!=\! \left(0, 1, 0, 0\right)^{\rm T} $$ { V}_{\pm} \!=\! \left(0, \dfrac{k_{\rm R}}{\varOmega}\sin^3(2\tilde{\theta})\right.,$$\left.\pm {\rm i}\sin(2\tilde{\theta})\right)^{\rm T} $, 其中上标“$ {\rm T} $”表示转置. 根据线性稳定性分析理论可知[1], 所有4个本征频率都为实数, 说明静态孤子在微扰下是动力学稳定的. 与本征矢量$ { V}_1 $相对应的零能模表明, 孤子在扰动下将保持不变. 而与本征矢量$ { V}_2 $相对应的零能模就是所谓的Goldstone模. 由于本征矢量${ V}_2 $中的$ {\text{δ}} \langle z\rangle\neq 0 $, 而$ {\text{δ}} k $, $ {\text{δ}} \theta $$ {\text{δ}} \varphi_{-} $均为0, 说明孤子质心坐标在扰动下将偏离其平衡位置而以零频率振动, 即孤子在扰动下将以固定速度做线性运动, 其平移对称性被破缺[54]. 对于频率为$ \omega_{\pm} $的谐振模, 孤子在扰动下将以频率$ \omega_{\pm} $而振荡, 且$ \omega_{\pm} $也与线性塞曼劈裂有关(见图3图3(a), (b)中的$ \tilde{\theta} $分别取图1(a)(c)中的数据).

      图  3  $ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 0.5$ (a)和$ \varOmega/k_{\rm R}^2 = 1.5 $(b)时, 频率$ \omega_{\pm} = \pm 2\varOmega/\sin\left(2\tilde{\theta}\right) $随线性塞曼劈裂强度$ \varepsilon $的变化

      Figure 3.  The frequency $\omega_{\pm}=\pm 2\varOmega/\sin\left(2\tilde{\theta}\right)$ changes with $\varepsilon$ for $\varOmega/k_{\rm R}^2=0.5$ and $\varOmega/k_{\rm R}^2=1.5$ in (a) and (b), respectively.

    • 通过求解含时欧拉-拉格朗日方程的解, 可研究线性塞曼劈裂对孤子的运动的影响. 由于自旋-轨道耦合将变分参数$ \langle z\rangle $$ \theta $$ \varphi_{-} $非线性地耦合在一起, 很难直接求解欧拉-拉格朗日方程的精确解. 为此, 首先引入满足条件$\displaystyle\sum_{s = \uparrow, \downarrow}\vert\chi_{s}\vert^2 = 1 $的复值旋量$ \chi_{s} = \psi_{s}/\sqrt{n} $, 并定义亮孤子自旋

      $ S_x = \chi_{\uparrow}\chi_{\downarrow}^{\ast}+\chi_{\uparrow}^{\ast}\chi_{\downarrow} = \sin\left(2\theta\right)\cos\left(2\varphi_{-}\right) $,

      $ S_y = {\rm i}\left(\chi_{\uparrow}\chi_{\downarrow}^{\ast}-\chi_{\uparrow}^{\ast}\chi_{\downarrow}\right) = -\sin\left(2\theta\right)\sin\left(2\varphi_{-}\right),$

      $ S_z = \vert\chi_{\uparrow}\vert^2-\vert\chi_{\downarrow}\vert^2 = -\cos\left(2\theta\right) $. 结合欧拉-拉格朗日方程, 可导出孤子自旋满足的运动方程

      $\frac{{\rm d} S_x}{{\rm d}t}=-2\beta S_y, \tag{7a}$

      $\frac{{\rm d} S_y}{{\rm d}t}= 2\beta S_x-2\varOmega S_z,\tag{7b}$

      $\frac{{\rm d} S_z}{{\rm d}t}= 2\varOmega S_y.\tag{7c}$

      该方程为常系数线性微分方程组, 其精确解为

      $S_x =\frac{a\beta}{\varpi}\sin\left(2\varpi t-\phi\right)+\frac{\varOmega c}{\varpi^2},\tag{8a}$

      $S_y = a \sin\left(2\varpi t+\phi\right), \tag{8b}$

      $S_z = -\frac{a\varOmega}{\varpi}\sin\left(2\varpi t-\phi\right)+\frac{\beta c}{\varpi^2},\tag{8c}$

      其中

      $ \varpi = \sqrt{\varOmega^2+\beta^2} $,

      $ \phi = \arctan\left(b/S_{y, 0}\right) $,

      $ a = \sqrt{b^2+S_{y, 0}^2} $,

      $ b = \left(\beta S_{x, 0}-\varOmega S_{z, 0}\right)/\omega ,$

      $ c = \varOmega S_{x, 0}+\beta S_{z, 0} $, 下标“0”标记$ S_{x, y, z} $的初始值, 它们由变分参数$ \theta $$ \varphi_{-} $的初始值$ \theta_0 $$ \varphi_{-, 0} $决定. 从解(8a)—(8c)式中可反解得出$ \theta $$ \varphi_{-} $的解, 即

      $ \theta\left(t\right) = \dfrac{1}{2}\arccos\left(S_z\right) $$ \varphi_{-} = -\dfrac{1}{2}\arctan\left(\frac{S_y}{S_x}\right) $.

      对于孤子质心$ \langle z\rangle $, 由于欧拉-拉格朗日方程(5c)可写作$ \dfrac{{\rm d} \langle z\rangle}{{\rm d}t} = k+k_{\rm R} S_z $, 则将$ S_z $的精确解代入, 并积分可得

      $ \begin{split} \left \langle z\right \rangle\left(t\right) =\; & \frac{k_{\rm R}\varOmega}{2 \varpi^{2}} \left[2{S_{y, 0}\sin }^{2}\left( \varpi t\right)-b\sin\left(2\varpi t\right) \right]\\ & + \left(\frac{k_{\rm R}\beta c}{\varpi^2}+k\right) t, \end{split}\tag{9} $

      其中已假设孤子质心的初始值为0. 从精确解中可以看出, 在自旋-轨道耦合、Raman耦合及线性塞曼劈裂的作用下, 孤子的质心运动是周期振荡及线性运动的叠加, 其振荡频率$ 2\varpi $及线性运动速度$ v = k_{\rm R}\beta c/\varpi^2+k $均与线性塞曼劈裂强度有关.

      对于给定的初始条件, 我们数值求解GP方程(1a), (1b), 并将GP方程的数值解与变分精确解做对比. 为了研究线性塞曼劈裂对孤子运动的影响, 本文考虑初始条件$ \theta_{0} = \dfrac{{\text{π}}}{4} $$ \varphi_{-, 0} = 0 $, 并假设BEC的凝聚动量$ k = 0 $. 如果线性塞曼劈裂为零, 变分精确解为$ \theta\left(t\right) = \dfrac{{\text{π}}}{4} $, $ \varphi_{-} = 0 $$ \langle z\rangle\left(t\right) = 0 $, 说明孤子并不会运动, 与GP方程的数值模拟结果一致(见图4(a)—(c)). 图4(a)—(f)其他参数取值为$ g = -10 $, $ \eta = -g/2 $, $ k_{\rm R} = \sqrt{\varOmega/2} $$ \varOmega = 0.5 $. 然而, 当线性塞曼劈裂不为零时, 孤子质心的变分精确解为

      图  4  (a)—(f)初始值为$ \theta_{0} = \dfrac{{\text{π}}}{4} $, $ \varphi_{-, 0} = 0 $$ k = 0 $的孤子动力学演化 (a)—(c) $ \varepsilon = 0 $, (d)—(f) $ \varepsilon = 0.35 $; 孤子振荡周期$ T(g) $及速度$ v(h) $随线性塞曼劈裂的变化

      Figure 4.  (a)−(f) show the dynamical evolutions of initially balanced solitons with $\theta_0=\dfrac{{\text{π}}}{4}$, $k=0$ and $\varphi_{-, 0}=0$ in GP simulations, $\varepsilon=0$ in (a)−(c), and $\varepsilon=0.35$ in (d)−(f); oscillation period $T(g) $ and moving velocity $v(h) $ of solitons change with the linear Zeeman splitting.

      $ \langle z\rangle \left(t\right) = -\dfrac{k_{\rm R}\varOmega\varepsilon}{2\left(\varOmega^2+\varepsilon^2\right)^{3/2}}\sin\left(2\sqrt{\varOmega^2+\varepsilon^2}t\right)+\dfrac{k_{\rm R}\varOmega\varepsilon}{\varOmega^2+\varepsilon^2}t,$

      图4(d)—(f)所示, 孤子沿$ z $方向线性运动的同时将做振荡运动, 振荡周期$ T $及线性运动速度$ v $与线性塞曼劈裂的强度有关(见图4(g),(h), 其中$ k_{\rm R} = \sqrt{\varOmega/2} $, $ \varOmega = 0.5 $). 此外, 我们也选择了其他初始条件进行数值模拟, 并发现线性塞曼劈裂将影响孤子的运动速度及振荡频率, 且变分精确解与GP方程的数值模拟结果相吻合.

    • 本文研究了线性塞曼劈裂对一维自旋-轨道耦合双组份BEC中亮孤子的动力学性质的影响. 通过选择双曲正弦函数作为亮孤子的变分试探波函数, 可运用变分法导出变分参数随时间演化所满足的欧拉-拉格朗日方程. 求解不含时的欧拉-拉格朗日方程, 在弱自旋-轨道耦合情况下, 获得了两个近似的静态孤子解. 基于线性稳定性分析, 进一步发现了一个零能的Goldstone激发模和一个谐振激发模, 前者对应于在外界扰动下静态孤子的平移对称性破缺, 后者表明静态孤子在外界扰动下将做谐振运动, 其谐振频率也与线性塞曼劈裂有关. 最终, 通过求解含时欧拉-拉格朗日方程, 描述孤子质心运动的精确变分解被获得, 并发现线性塞曼劈裂将明显地影响孤子的运动速度和谐振周期. 所有这些变分计算结果都与GP方程的直接数值模拟相吻合.

参考文献 (54)

目录

    /

    返回文章
    返回