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非厄米的描述对于开放系统有重要意义, 满足parity-time对称性的哈密顿量, 其参数在一定范围内可以使能量具有实的本征值. 本文通过模拟, 研究了损耗大小以及结构对称性对条形波导中的parity-time对称性的影响, 并通过实验发现了电注入条件下由parity-time对称破缺导致的脊条波导模式间隔加倍、模式数减半的现象.
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关键词:
- parity-time对称性 /
- 电注入 /
- 半导体激光器 /
- 模式控制
The non-Hermitian description is of great significance for open systems, and the Hamiltonian which satisfies parity-time symmetry can make the energy have real eigenvalue within a certain range. The properties of parity-time symmetry have bright application prospects in optical systems. For semiconductor lasers, the parity-time symmetry can be constructed by adjusting the level of electrical injection to help achieve better mode control. Electric injection is easier to realize than optical pump when the device size is small and the structure is complex. Therefore, we hope to analyze the characteristics of the laser that satisfies the parity-time symmetry condition under the condition of electric injection. In this paper, we simulate the effects of different set loss values on parity-time symmetry. It is found that with the increase of set loss value, the imaginary part of the refractive index of the gain cavity corresponding to the parity-time symmetry breaking point so-called exceptional point will decrease, and the imaginary part of the characteristic frequency corresponding to the exceptional point will also decrease. We also simulate the effect of structural size ratio of gain region and loss region on parity-time symmetry. On condition that the total cavity length and the imaginary part of the refractive index of the loss region remain unchanged, as the gain cavity becomes longer and the loss cavity becomes shorter, the imaginary part of the refractive index of the gain cavity corresponding to the exceptional point will increase, and the imaginary part of the characteristic frequency corresponding to the exceptional point will also increase. And we qualitatively explain the above phenomenon through the coupled mode equations. Through experiments, metal organic chemical vapor deposition (MOCVD) and standard lithography techniques are used to fabricate asymmetric ridge lasers. Under thermoelectric cooler (TEC) refrigeration and by controlling the injection level of the gain area, the doubled mode spacing and halved mode number of ridge waveguide are found for the first time due to the parity-time symmetry breaking under the condition of electric injection. We believe that the study of parity-time symmetry in ridge laser under the condition of electric injection will be of great help in implementing the mode control.-
Keywords:
- parity-time symmetry /
- electric injection /
- semiconductor laser /
- mode control
1. 引 言
能量守恒对于一个闭合系统是很自然的要求, 这就会导致系统所对应的本征能量为实数, 这时所对应的算符就为厄米算符, 描述这个系统的哈密顿量的厄米性可以确保系统能量为实数, 相应的数学表达可写为
$\hat H = {\hat H^\dagger }$ . 非厄米的哈密顿量会产生复的本征值, 这意味着系统不再幺正, 这是非厄米哈密顿量无法被人们接受的原因. 但很多时候, 人们关注的只是闭合系统中一个有限的子空间. 为了唯象地描述这种开放系统, 开始有科学家们引入非厄米的描述方式. 1928年, Gamow[1]使用复的能量本征值来描述粒子隧穿逃离原子核时的速度, 通过量子力学的隧道效应解释了α放射性衰变的随机性. 1943年, Dirac[2]提出通过使用非厄米算符和自洽內积理论来解决场论中的发散问题. 1954年, Feshbach等[3]通过引入非厄米的势来描述中子和原子核的散射相互作用. 此外还有许多通过非厄米理论来讨论实际问题的工作[4-9].早期的非厄米系统中, 哈密顿量的虚部通常被用来描述系统的耗散, 这只是对物理现象的一种非本质的唯象描述, 因为这样的描述并不具备幺正性. 1998年, 基于前人关于非厄米哈密顿量的研究, Bender和Boettcher[10]提出一类满足PT对称性的非厄米哈密顿量, PT对称性中的P是parity, 指的是空间反演变换; T是time, 指的是时间反演变换, 并证明在一定参数的取值范围里, 这类哈密顿量的本征能量为实数, 哈密顿量形式为
$H = {p^2} + {x^2}{\left( {{\rm{i}}x} \right)^\varepsilon }\left( {\varepsilon \geqslant 0} \right)$ , 空间反演变换P的作用是: p → –p, x → –x; 时间反演变换T的作用是: p → –p, i → –i. 由此可以看出, 空间反演算符P是线性算符, 而时间反演算符T是反线性的. 对于哈密顿量H, 若其与PT算符满足对易关系$\left[ {H, PT} \right] = 0$ , 则称这个哈密顿量具有PT对称性, 满足PT对称性的哈密顿量可以表达为$\hat H = {\hat H^{PT}}$ , 当哈密顿量对应的本征函数ψ也满足PT对称性时, 通过简单的推导可以发现, 这种情况下, 能量E的虚部为0, 满足E = E*, 这样的系统具有严格的PT对称性. 同理, 当哈密顿量对应的本征函数不满足PT对称性时, 通过简单的推导可以证明, 如果哈密顿量有本征能量E对应本征函数ψ, 那么存在另一个本征函数ψ′, 其能量本征值为E*, 这意味着系统中的某能量会和它的复共轭同时成对地出现在能谱中. 此时, 哈密顿量依然满足PT对称性, 但系统中仍可能出现复的本征能量, 这种情况称为PT对称性的自发破缺.通过把对哈密顿量的要求从
$\hat H = {\hat H^\dagger }$ 宽松到$\hat H = {\hat H^{PT}}$ , PT对称理论将量子力学的相空间从原本的实空间拓展到了复空间. 后续的很多理论方面的研究也不断完善和证实了这个理论的有效性[11-15]. 关于PT对称的实验实现上也有了很多进展, Guo等[16]观察到了损耗诱导的PT对称破缺导致的光透明; Makris等[17]研究了构造PT对称周期势的可能, 并表明周期结构可以带来例如双折射等性质; Zhen等[18]通过PT对称性实现了能带的简并; Doppler等[19]和Xu等[20]还研究了PT对称破缺点的拓扑特性; 另外, 还有许多对于PT激光器的实验研究[17,21,22], 但都是在光抽运条件下完成的. 在半导体激光器中, 可以通过对电注入水平的调节来构建PT对称, 从而帮助激光器实现更好的模式控制, 电注入在器件尺寸小且结构较为复杂时会比光抽运更加容易实现, 因此我们希望分析电注入条件下满足PT对称条件的激光器的特性.2. 实验设计和模拟分析
首先采用金属有机化学气相沉积法(metal organic chemical vapor deposition, MOCVD)生长了外延晶片, 其中波导层由Al(x)GaAs材料构成, 其折射率n ≈ 3.42, 量子阱由GaAs和GaIn(x)As材料构成, 外延片的详细条件在我们之前的工作中有相应报道[23], 结构如图1所示.
通过标准的光刻工艺制备条形激光器, 为了满足PT对称条件, 使其中一部分能够通过电注入对激光器提供增益, 作为增益区; 另一部分为了避免载流子扩散带来的影响, 将这部分区域的高掺层通过电感耦合等离子体(inductively coupled plasma, ICP)工艺刻蚀掉, 然后由SiO2覆盖, 起到绝缘层的效果, 由于本征吸收的存在, 这部分吸收区可以作为损耗区, 结构如图2所示.
图 2 器件结构图, 其中黄色部分为增益区, 蓝色部分为损耗区Fig. 2. Device structure diagram, the yellow part is the gain region and the blue part is the loss region.其中脊条总长l 3 = 550 μm的条形波导, 增益区长度l 1 = 450 μm, 损耗区长度l 2 = 100 μm, 条宽w 1 = 7 μm, 衬底总宽度w 2 = 300 μm, 红色区域为激光器有源区, 脊条上黄色区域为增益区覆盖电极, 脊条上蓝色部分为损耗区.
激光器测试时由夹具固定不动, 通过控制注入电流来对增益区的增益进行调节, 将产生的激光通过光纤导入光谱仪中, 记录不同电注入水平下, 激光器的光谱特性, 从而分析电注入条件下PT对称对模式调控带来的影响.
首先计算了条形波导有源腔和无源腔中共振模式的本征频率, 波导结构如图3所示. 其中黄色部分为增益区, 蓝色部分为损耗区, 模拟区域的外围通过完美匹配层对泄漏光进行吸收. 通过对共振频率的本征值求解, 得到复数形式的特征频率
$f = {f_{\rm{R}}} + {\rm{i}}{f_{\rm{I}}}$ , 其中fR为特征频率的实部, fI为特征频率的虚部. 波导的折射率$n = {n_{\rm{R}}} + {\rm{i}}{n_{\rm{I}}}$ , 其中nR为折射率实部, nI为折射率虚部. 可以通过对复折射率的设置, 来构建一个满足PT对称性的势, 即要求$n\left( x \right) = {n^*}\left( { - x} \right)$ . 分别设置增益区折射率为${n_{\rm{l}}} = {n_{{\rm{Rl}}}} + {\rm{i}}{n_{{\rm{Il}}}}$ , 损耗区折射率分布为${n_{\rm{r}}} = {n_{{\rm{Rr}}}} + {\rm{i}}{n_{{\rm{Ir}}}}$ . 由于在制备器件后, 损耗往往较为固定, 可以通过增益的调节来分析PT对称的性质. 因此, 设另两部分的折射率实部满足${n_{{\rm{Rl}}}} = {n_{{\rm{Rr}}}} = 3.42$ , 分别固定损耗区折射率虚部为${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ 以及${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ , 调节${n_{{\rm{Il}}}}$ 的大小, 计算模式的变化, 结果如图4、图5所示.
图 4 折射率虚部为${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ ${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ ${n_{{\rm{Il}}}}$ Fig. 4. Relationship between wavelength and${n_{{\rm{Il}}}}$ ${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ ${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ 
图 5 折射率虚部为nIr = –0.01以及nIr = –0.05时, 特征频率虚部与${n_{{\rm{Il}}}}$ Fig. 5. Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and${n_{{\rm{Il}}}}$ ${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ ${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ 图4和图5为固定损耗区虚部为–0.01和–0.05时的模拟结果, 其中图4为
${n_{{\rm{Il}}}}$ 和波长的关系曲线图, 图5为${n_{{\rm{Il}}}}$ 和特征频率虚部的关系曲线图. 可以看到, 随着${n_{{\rm{Il}}}}$ 的增大特征频率的虚部数值首先增大, 达到破缺点后分叉, 其中一个模式的虚部迅速减小, 演化为吸收模式(absorption mode), 另一个模式的虚部增大, 作为发射模式(lasing mode). 发射模式和吸收模式被主要限制在增益区和损耗区[18]. 图中, 黑线和红线是固定虚部为–0.01时发射模式以及吸收模式曲线, 蓝线和绿线是固定虚部为–0.05时发射模式以及吸收曲线. 根据图4可以看出, 随着损耗区损耗的增加, PT对称破缺发生时所对应的的${n_{{\rm{Il}}}}$ 的数值更小, 且破缺点的模式简并度更高. 根据图5还可以看出, 特征频率的虚部在破缺点时的数值还会明显下降.这个现象可以通过耦合模方程来理解[24]:
$${\beta _{\rm{c}}} = \frac{{{\beta _1} + {\beta _2}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{\beta _1} - {\beta _2}}}{2}} \right)}^2} + {\kappa ^2}} , $$ (1) 其中βc为耦合后的传播常数, β1和β2表示两种非耦合模式的无扰动解,
$\kappa $ 为耦合系数, 当损耗腔和增益腔, 除损耗外的参数全都相同时, 可得$${\beta _{\rm{c}}} = {\beta _{\rm{r}}} + {\rm{i}}\frac{{{\gamma _1} + {\gamma _2}}}{2} \pm \sqrt {{\kappa ^2} - {{\left( {\frac{{{\gamma _1} - {\gamma _2}}}{2}} \right)}^2}} , $$ (2) ${\beta _{\rm{r}}}$ 为传播常数的实部, 显然在PT对称破缺点时, 增益损耗$({{{\gamma _{1 - }}{\gamma _2}}})/{2}$ 与耦合系数$\kappa $ 之间要满足一定的比例关系[25,26], 使$ \pm \sqrt {{\kappa ^2} - {{\displaystyle\left( {\frac{{{\gamma _1} - {\gamma _2}}}{2}} \right)}^2}} $ 项带来的虚部刚好为0, 当固定损耗增加时, PT对称破缺点对应的增益数值下降. 并且破缺点处对应的虚部数值$({{{\gamma _1} + {\gamma _2}}})/{2}$ , 由于γ1数值减小以及γ2的减小(固定损耗增大), 也会明显减小.本文还对器件结构对称性的影响进行了模拟分析, 分别模拟了增益区与损耗区长度比例为5∶5, 7∶3以及8∶2时的结果, 如图6—图8所示.
图 6 增益区和损耗区长度比为5∶5, 7∶3以及8∶2时的结构图Fig. 6. Simulation structure of ridged waveguide when length ratio of gain region and loss region is 5∶5, 7∶3, and 8∶2.
图 8 长度比为5∶5, 7∶3以及8∶2时, 特征频率虚部与${n_{{\rm{Il}}}}$ Fig. 8. Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and${n_{{\rm{Il}}}}$ 图6为增益区与损耗区长度比例分别为5∶5, 7∶3以及8∶2时的结构图, 图7和图8为固定损耗区虚部为–0.05时模拟结果. 其中图7为
${n_{{\rm{Il}}}}$ 和波长的关系曲线, 图8为${n_{{\rm{Il}}}}$ 和特征频率虚部的关系曲线. 图中, 黑线和红线、蓝线和绿线、紫线和棕线分别对应增益区与损耗区长度比例为5∶5, 7∶3以及8∶2时的发射模式以及吸收模式. 由于模拟结构的总长度不变, 非对称性的增加, 在这里可以理解为损耗腔损耗的减小, 增益腔带来的增益与损耗腔带来的损耗$({{{\gamma _1} - {\gamma _2}}})/{2}$ 与耦合系数$\kappa $ 之间仍然要满足耦合模方程中PT对称破缺点时对应的关系, 损耗的减小会导致PT对称破缺点处对应增益的变大, 且破缺点处对应的特征频率虚部数值变大.
图 7 长度比为5∶5, 7∶3以及8∶2时, 波长与${n_{{\rm{Il}}}}$ Fig. 7. Relationship between wavelength and${n_{{\rm{Il}}}}$ 3. 实验结果
在激射条件下, 通过对注入电流的控制来实现增益的调制, 将激光器的输出在热电制冷器(thermoelectric cooler, TEC)制冷的条件下由光纤导入光谱仪中, 测试了其腔模(非激射模)与注入电流大小的关系, 发现当电流达到PT对称破缺(约320 mA)后, 发生模式简并现象, 测试结果如图9所示.
图 9 腔模强度与波长关系 (a)注入电流为100 mA; (b)注入电流分别为310 mA(黑线)、320 mA(红线)以及330 mA(蓝线)Fig. 9. Relationship between the normalized intensity and wavelength of cavity modes: (a) The injection current is 100 mA; (b) the injection current is 310 mA (black line), 320 mA (red line) and 330 mA (blue line), respectively.由图9(a)可以看到, 模式间隔0.24 nm与理论计算数值(
$\Delta \lambda \approx {{{\lambda ^2}}/{(2 nL)}} = 0.25\;{\rm{ nm}}$ )基本匹配. 由图9(b)可以明显地发现, 在发生PT对称破缺后, 腔模模式简并, 模式间隔加倍, 并且模式数减半. 这是因为实验制备器件和模拟都是两个腔(gain腔和loss腔), 是两个腔内模式的耦合, PT对称破缺点其实就是传播常数中$\sqrt {{\kappa ^2} - {{\left( {\displaystyle\frac{{{\gamma _1} - {\gamma _2}}}{2}} \right)}^2}} $ 项虚部刚好为0的点, 这就是两个模式简并为一个模式的原因, 表现出来的现象就是模式数减半, 相应地, 模式间隔就会加倍. 当腔的个数改变时, 有可能实现更高阶的模式简并, 比如模式数变为1/3, 模式间隔变为3倍或更多的现象[26].4. 结 论
通过模拟分别分析了损耗的大小和非对称性对于PT对称性的影响, 发现损耗区固定损耗的增加会导致PT对称破缺点所对应的
${n_{{\rm{Il}}}}$ 数值变小, 并且会使破缺点对应特征频率的虚部减小; 激光器总腔长不变的情况下, 非对称性的增加会导致PT对称破缺点所对应的${n_{{\rm{Il}}}}$ 数值变大, 并且会使破缺点对应特征频率的虚部变大. 本文还通过电注入脊条波导实验, 观察到了激射条件下, 腔模发生PT对称破缺的现象, 即腔模的模式间隔加倍以及模式数减半. 电注入条件下PT对称性的引入有利于对半导体激光器实现更好的模式调控, 并且使PT对称性在小尺寸、复杂结构器件中的实现更为容易.[1] Gamow G 1928 Z. Für Phys. 51 204
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[2] Dirac P A M, F R S 1942 Proceedings A 180 1
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[5] Denham S A, Harms B C, Jones S T 1981 Nucl. Phys. B 188 155
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[8] Scholtz F G, Geyer H B, Hahne F J W 1992 Ann. Phys.-New York 213 74
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[9] Caliceti E, Graffi S, Maioli M 1980 Commun. Math. Phys. 75 51
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[10] Bender C M, Boettcher S 1998 Phys. Rev. Lett. 80 5243
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[11] Bender C M, Dunne G V, Meisinger P N 1998 Phys. Lett. A 252 272
[12] Dorey P, Dunning C, Roberto T 2001 J. Phys. A: Gen. Phys. 34 L391
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[13] Ruschhaupt A, Delgado F, Muga J G 2017 J. Phys. A: Gen. Phys. 38 L171
[14] Brandstetter M, Liertzer M, Deutsch C, Klang P, Schöberl J, Türeci H E, Strasser G, Unterrainer K, Rotter S 2014 Nat. Commun. 5 4034
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[15] Gao Z, Fryslie S T M, Thompson B J, Carney P S, Choquette K D 2017 Optica 4 323
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[16] Guo A, Salamo G J, Duchesne D, Morandotti R, Volatierravat M, Aimez V, Siviloglou G A, Christodoulides D N 2009 Phys. Rev. Lett. 103 093902
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[19] Doppler J, Mailybaev A A, Böhm J, Kuhl U, Girschik A, Libisch F, Milburn T J, Rabl P, Moiseyev N, Rotter S 2016 Nature 537 76
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[20] Xu H, Mason D, Jiang L, Harris J G E 2016 Nature 537 80
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[21] Gu Z, Zhang N, Lyu Q, Li M, Xiao S, Song Q 2016 Laser Photonics Rev. 10 588
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[22] Zhang N, Gu Z, Wang K, Li M, Ge L, Xiao S, Song Q 2017 Laser Photonics Rev. 11 1700052
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[23] Zhao S, Qi A, Wang M, Qu H, Lin Y, Dong F, Zheng W 2018 Opt. Express 26 3518
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[24] Coldren L A 2012 Diode Lasers and Photonic Integrated Circuits (America: John Wiley & Sons) pp335–391
[25] Rüter C E, Makris K G, El-Ganainy R, Christodoulides D N, Segev M, Kip D 2010 Nat. Phys. 6 192
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[26] Hodaei H, Hassan A U, Wittek S, Garcia-Gracia H, El-Ganainy R, Christodoulides D N, Khajavikhan M 2017 Nature 548 187
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图 2 器件结构图, 其中黄色部分为增益区, 蓝色部分为损耗区
Fig. 2. Device structure diagram, the yellow part is the gain region and the blue part is the loss region.
图 4 折射率虚部为
${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ 和${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ 时, 波长与${n_{{\rm{Il}}}}$ 的关系图Fig. 4. Relationship between wavelength and
${n_{{\rm{Il}}}}$ when${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ and${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ .
图 5 折射率虚部为nIr = –0.01以及nIr = –0.05时, 特征频率虚部与
${n_{{\rm{Il}}}}$ 的关系图Fig. 5. Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and
${n_{{\rm{Il}}}}$ when${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.01$ and${n_{{\rm{Ir}}}} = - 0.05$ .
图 6 增益区和损耗区长度比为5∶5, 7∶3以及8∶2时的结构图
Fig. 6. Simulation structure of ridged waveguide when length ratio of gain region and loss region is 5∶5, 7∶3, and 8∶2.
图 8 长度比为5∶5, 7∶3以及8∶2时, 特征频率虚部与
${n_{{\rm{Il}}}}$ 的关系图Fig. 8. Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and
${n_{{\rm{Il}}}}$ when the length ratio is 5∶5, 7∶3, and 8∶2.
图 7 长度比为5∶5, 7∶3以及8∶2时, 波长与
${n_{{\rm{Il}}}}$ 的关系图Fig. 7. Relationship between wavelength and
${n_{{\rm{Il}}}}$ when the length ratio is 5∶5, 7∶3, and 8∶2.
图 9 腔模强度与波长关系 (a)注入电流为100 mA; (b)注入电流分别为310 mA(黑线)、320 mA(红线)以及330 mA(蓝线)
Fig. 9. Relationship between the normalized intensity and wavelength of cavity modes: (a) The injection current is 100 mA; (b) the injection current is 310 mA (black line), 320 mA (red line) and 330 mA (blue line), respectively.
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