垂直电场下扭转双层石墨烯光学吸收性质的理论研究

周畅; 龚蕊; 冯小波

doi:10.7498/aps.71.20211406

摘要

Abstract

作者及机构信息

Authors and contacts

文章全文

1. 引　言
2. 实　验
3. 结果与讨论
3.1 物相分析
3.2 电性能分析
3.3 热性能分析
3.4 热电优值
4. 结　论

参考文献

摘要

层间扭转角度是对石墨烯物理性质宽波段可调谐的一个新参量. 本文采用2° < θ < 15°扭转角度下的连续近似模型, 获得了不同扭转角度双层石墨烯分别在有、无电场下的能带结构, 通过电子-光子相互作用跃迁速率, 计算模拟了范霍夫奇点附近电子带内跃迁和带间跃迁所引起的光学吸收谱. 结果表明, 在无外加电场时, 带间跃迁吸收峰的位置随着扭转角度的增大而发生从红外到可见光波段的蓝移, 且吸收系数增大, 带内跃迁的光学吸收系数相对于带间跃迁高出2个数量级; 而存在外加电场时, 两个范霍夫奇点在波矢空间的位置发生偏移, 带间跃迁吸收峰发生分裂, 且两个分裂的吸收峰位置随着电场强度的不断增大而反向行进. 上述研究结果对石墨烯材料在光电器件方面的应用有一定指导作用.

关键词:

Abstract

The interlayer twist angle is an important parameter that can tune the physical properties of graphene in a wide wavelength range. In this paper, we employ an effective continuum model to calculate the band structure of twisted bilayer graphene with different twist angles in the presence and absence of vertical electric field. Based on the transition rate of the electron-photon interaction, we calculate and simulate the optical absorption spectra caused by the interband and intraband transitions around the van Hove singularities. The calculation results show that the optical absorption caused by the interband transitions occurs in the wavelength range from visible light to near-infrared while it appears in far-infrared for intraband transitions. The optical absorption coefficient of the intra-band transitions is almost two orders of magnitude larger than that of inter-band transitions. In the absence of an external electric field, as the twist angle increases, the absorption peak of the inter band transition moves from the infrared light band to the visible light band, but the resonant peak position of its intra-band transition does not change. At the same time, the absorption coefficient values corresponding to the above two transitions will increase. When an electric field is applied perpendicular to the twisted bilayer graphene, the symmetry of the initial band structure of bilayer graphene is destroyed, which results in the splitting of the absorption peaks associated the with interband transitions, and the distance between the two splitting peaks increases with the electric field intensity increasing; while the position and amplitude of the absorption peak associated with the intraband transition are completely unaffected by the applied electric field. The theoretical calculation results in this paper can provide the theoretical guidance for further applying twisted graphene to optoelectronic devices such as tunable dual-band filters.

Keywords:

PACS:

42.81.-i	(Fiber optics)
42.81.Gs	(Birefringence, polarization)

作者及机构信息

1.
云南师范大学物理与电子信息学院, 昆明　650500

2.
云南师范大学, 云南省光电信息技术重点实验室, 昆明　650500

3.
云南师范大学, 可再生能源材料先进技术与制备教育部重点实验室, 昆明　650500

通信作者: 冯小波, fengxiaobo1220@gmail.com

基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 11304275, 11764047)资助的课题

Authors and contacts

1.
School of Physics and Electronic Information, Yunnan Normal University, Kunming 650500, China

2.
Yunnan Key Laboratory of Opto-electronic Information Technology, Yunnan Normal University, Kunming 650500, China

3.
Key Laboratory of Advanced Technique & Preparation for Renewable Energy Materials, Ministry of Education, Yunnan Normal University, Kunming 650500, China

Corresponding author: Feng Xiao-Bo, fengxiaobo1220@gmail.com

Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11304275, 11764047).

文章全文

1. 引　言

含硫双原子体系在天体物理学、大气化学、燃烧化学、分子反应动力学等众多领域承担着重要角色, 因此一直是相关领域的关注对象. 硫化锑(SbS)具备优异的稳定性和丰富的元素储存, 因有较大的吸收系数和1.7 eV的带隙宽度, 作为良好的半导体材料和光敏材料得到了广泛应用^[1-5], 而且锑基硫族化合物也满足叠层太阳能电池的要求, 有助于提高光电转换效率^[6]. Shimauchi和Nishiyama^[7]于1968年对SbS自由基的电子结构与发射电子光谱进行了报道, 他们确定了7个电子激发态至基态的电子跃迁谱带的带头波长, 但没有对激发态进行标识. Ω基态的谐振频率分别为480 cm^–1和470 cm^–1, 而7个激发态的谐振频率介于296—442 cm^–1之间. 除此以外, 其他光谱常数目前仍然未知.

对氮族元素硫化物自由基的研究始于1932年对NS的 ${{\text{B}}^2}{\Sigma ^ + } \to {{\text{X}}^2}\Pi$ 和 ${{\text{A}}^2}\Pi \to {{\text{X}}^2}\Pi$ 谱带的实验探测^[8]. 1951年和1954年, Zeeman等^[9,10]分别对这两个谱带进行了实验光谱转动分析. 此后开展的微波谱^[11]、紫外与可见光^[12-14]实验获得了丰富的电子激发态光谱常数与基态的精细结构常数. 对PS自由基的光谱研究源于对紫外与可见光波段 ${{\text{C}}^2}\Sigma -$ ${{\text{X}}^2}\Pi$ 和 ${{\text{B}}^2}\Pi - {{\text{X}}^2}\Pi$ 谱带的实验探测. 1955—1979年^[15-20], 若干个工作组探测到了这两个谱带的大量谱线, 通过转动分析确定了各电子态的光谱常数. 随后, 该体系的近红外^[21]、毫米波^[22]与亚毫米波^[23]光谱也陆续被探测获得. Shimauchi 研究组^[24-28]在1969—1973年对AsS的光谱开展了系列研究, 获得了 ${{\text{A}}^2}{\Pi _{3/2}} - {{\text{X}}^2}{\Pi _{3/2}}$ 跃迁的大量数据及各电子态的分子常数. 1967年Barrow等^[29]首次对BiS的可见光谱进行了探测. Patiño等^[30]于1984年研究了BiS的 ${{\text{A}}^2}{\Pi _{1/2}} - {{\text{X}}^2}{\Pi _{1/2}}$ 谱带高J量子数跃迁的超精细双分裂结构, 确定了 ${{\text{X}}^2}{\Pi _{1/2}}$ 态的分子常数. 借助傅里叶变换光谱仪, BiS的近红外^[31,32]、微波谱^[31]和可见光光谱^[32]也被探测到, 涉及 ${\text{X}}{}^2{\Pi _{1/2}}$ 和 ${\text{X}}{}^2{\Pi _{3/2}}$ 态的分子常数得以确定.

在理论研究方面, Hartree-Fock方法(HF)^[33]、组态相互作用(CI)^[34]、多参考双重激发组态相互作用(MRDCI)^[35-37]、密度泛函理论(DFT)^[38]、广义价键(GVB)^[39]、二阶Møller-Plesset微扰理论(MP2)^[39]、完全活性空间-平均耦合对泛函(CAS-ACPF)^[40]、单双迭代包括三重激发的耦合簇[CCSD(T)]^[41,42]及其显关联方法CCSD(T)-F12^[43]、Gaussian-3(G3)^[44]、多参考组态相互作用(MRCI)^[45-52]及Rydberg-Klein-Rees (RKR)^[53]等计算方法均被用于确定NS, PS, AsS和BiS等4种含硫双原子体系各电子态的结构参数、光谱常数、振动能级以及跃迁性质等, 将所得计算数据分别与各自的实验数据进行了比较. 并且预测了实验中没有涉及的Λ-S态及Ω激发电子态的特性, 得到了这些态的跃迁偶极矩、弗兰克-康登因子、爱因斯坦系数及自发辐射寿命等数据.

与对氮族元素硫化物自由基的结构和光谱的众多研究所获得的丰富的数据及结论相比, 对SbS自由基的相关研究明显不足. 除了前文提到的一篇实验研究报道^[7]外, 到目前为止还没有相关的理论研究. 因此, 本文对SbS的结构和电子态进行了系统研究, 以填补相关数据的空白.

2. 计算方法

基于完全活性空间自洽场方法^[54]构建了CI波函数, 借助包含Davidson修正的多参考组态相互作用(MRCI+Q)方法^[55], 计算了SbS前三个离解极限27个Λ-S电子态的能量. 对S原子和Sb原子分别选用aug-cc-pwCV5Z全电子基组^[56]与aug-cc-pwCV5 Z-PP标量相对论基组^[57], 其中Sb原子的1s—3d电子用相对论有效原子实势ECP28MDF取代. 计算中将Sb原子的4s4p与S原子的1s电子作为芯电子, Sb原子的4d和S原子的2s2p原子轨道作为闭壳层分子轨道, Sb原子的5s5p与S原子的3s3p原子轨道作为活性分子轨道. 以C_2v群替代SbS的简并对称性C_∞v群, 用其不可约表示a₁, b₁, b₂和a₂表示的双占据闭壳层轨道和活性轨道分别为(4, 2, 2, 1)与(4, 2, 2, 0). 能量点的计算范围是1.7 Å—10.0 Å (1 Å = 0.1 nm), 最小扫描步长为0.05 Å, 每条势能曲线计算了51个数据点.

在考虑核价相关修正和标量相对论修正后, 通过Murrell-Sorbie(M-S)势能函数^[58]拟合单点能得到电子态的势能曲线, 然后通过均方根值(RMS)来评估拟合效果. M-S函数是能够较好地反映双原子体系势能函数的解析表达式之一, 本研究组也已经基于该势能函数研究了NS^–^[59], SCl⁺^[60,61], SCl^– ^[60], SF^±^[62], MgS⁺^[63], SH^–^[64]等若干含硫双原子体系. M-S势能函数定义为:

$V(\rho ) = - {D_{\text{e}}}\left(1 + \sum\limits_{i = 1}^{\text{n}} {{a_i}{\rho ^i}} \right)\exp ( - {a_1}\rho ),$

(1)

其中, $\rho = R - {R_{\text{e}}}$ , $R$ 与 ${R_{\text{e}}}$ 分别是核间距以及平衡核间距, ${D_{\text{e}}}$ 是离解能, ${a_i}$ 是拟合参量.

通过Breit-Pauli算符^[65]考虑自旋-轨道耦合(SOC)效应可以计算得到Ω电子态的能量. 在核价相关修正和标量相对论修正的基础上, 将能量点通过最小二乘拟合法得到势能函数, 并计算出各电子态的光谱常数. 以上所有能量计算均基于MOLPRO软件^[66]完成. 利用Level程序^[67]还计算得出每个电子态的振动能级与转动常数.

鉴于SbS还没有实验数据可做比较, 本文还计算了PS, AsS, BiS这3种氮族元素硫化物的若干电子态. 采用的方法与计算SbS的方法相同, 均通过MRCI+Q方法进行. 对S原子, N原子和P原子采用aug-cc-pwCV5Z基组^[56], 对As原子和Bi原子采用aug-cc-pwCV5Z-PP基组^[57], 其中分别包含ECP10MDF和ECP60MDF相对论有效原子实势. 得到了每一种体系第一离解极限的Λ-S电子态及其对应的Ω电子态能量, 进一步计算出每个电子态的光谱常数与振动能级.

3. 分析与讨论

3.1 Λ-S态的势能曲线与光谱常数

SbS前三个离解极限相对能量的计算值及对应的电子态如表1所列, 本文计算值与实验值相比, 符合得很好. 例如S原子第一激发态¹D_g相对基态³P_g的能量为9346 cm^–1, 与实验值^[68]相差约1.2%, 而Sb原子第一激发态²D_u与基态⁴S_u能量间隔为10022 cm^–1, 高于实验值^[68]约1.7%. 所有Λ-S电子态势能曲线如图1所示, 其中 ${{\text{1}}^4}{\Sigma ^ + }$ , ${{\text{1}}^6}{\Sigma ^ + }$ , ${1^6}\Pi$ , ${2^2}\Delta$ , ${3^4}{\Sigma ^ + }$ , ${3^4}\Delta$ , ${1^4}\Phi$ , $3{}^4\Pi$ , $4{}^4\Pi$ 和 $5{}^4\Pi$ 为排斥态, 其余电子态均为束缚态.

表 1 SbS的Λ-S态离解极限

Table 1. Dissociation relationships of the Λ-S states of SbS.

原子态	Λ-S态	ΔE/cm^–1
原子态	Λ-S态	实验值^[68]	计算值
${\text{Sb}}({}^4{{\text{S}}_{\text{u}}}) + {\text{S}}{(^3}{{\text{P}}_{\text{g}}})$	${{\text{1}}^2}{\Sigma ^ + }$ , ${{\rm X}^2}\Pi$ , ${{\text{1}}^4}{\Sigma ^ + }$ , ${{\text{1}}^4}\prod$ , ${{\text{1}}^6}{\Sigma ^ + }$ , ${1^6}\Pi$	0	0
${\text{Sb}}({}^4{{\text{S}}_{\text{u}}}) + {\text{S}}{(^1}{{\text{D}}_{\text{g}}})$	${1^4}{\Sigma ^ - }$ , ${1^4}\Delta$ , $2{}^4\Pi$	9238.609	9346
${\text{Sb}}({}^2{{\text{D}}_{\text{u}}}) + {\text{S}}{(^3}{{\text{P}}_{\text{g}}})$	${2^2}{\Sigma ^ + }$ , ${3^2}{\Sigma ^ + }$ , ${1^2}{\Sigma ^ - }$ , ${1^2}\Delta$ , ${2^2}\Delta$ , $2{}^2\Pi$ , $3{}^2\Pi$ , $4{}^2\Pi$ , ${1^2}\Phi$ , ${2^4}{\Sigma ^ + }$ , ${3^4}{\Sigma ^ + }$ , ${2^4}{\Sigma ^ - }$ , ${2^4}\Delta$ , ${3^4}\Delta$ , $3{}^4\Pi$ , $4{}^4\Pi$ , $5{}^4\Pi$ , ${1^4}\Phi$	9854.018	10022

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$图 1 SbS的Λ-S态势能曲线　(a)二重、六重态; (b), (c)四重态\r\nFig. 1. Potential energy curves of Λ-S states of SbS: (a) Doublet and sextet states; (b), (c) quartet states.$

图 1 SbS的Λ-S态势能曲线　(a)二重、六重态; (b), (c)四重态

Fig. 1. Potential energy curves of Λ-S states of SbS: (a) Doublet and sextet states; (b), (c) quartet states.

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基态 ${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$ 与第一激发态 ${1^4}\Pi$ 在R_e附近的能量差超过了12800 cm^–1, 并且没有其他电子态势能曲线与基态曲线交叉, 表明与其对应的Ω态不会受到其他Ω = 1/2或Ω = 3/2电子态的影响, 其光谱常数也不会有大的变化. 在R = 2.4—3.4 Å, E = 25000—40000 cm^–1范围内, 激发态势能曲线产生了复杂的曲线(避免)交叉, 预示了在此范围内对其Ω态的分析将具有很大的挑战性.

束缚态完整的光谱常数列于表2. 需要说明的是, 本文所得电子激发态的谐振频率总体上与文献[7]的数据(介于296—442 cm^–1之间)是相符的, 但是由于文献[7]没有标识电子态, 因此无法与其数据进行比较. 拟合的RMS值均较小, 表明拟合质量较高. 基态 ${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$ 主要由15σ^αβ7π_x^αβ_y^αβ8π_x^α电子组态构成, 相比激发态其势阱最深, 但R_e最小. 第一激发态 ${1^4}\Pi$ 通过7π_y→8π_y电子迁移形成, 虽然其R_e与第二、第三激发态 ${{\text{2}}^{\text{2}}}\Pi$ 和 ${{\text{3}}^{\text{2}}}\Pi$ 的R_e非常接近, 但均与基态相差超过9%, 因此可预测这几个低激发态至基态跃迁的弗兰克-康登因子偏小. ${{\text{2}}^{\text{2}}}\Pi$ 和 ${{\text{3}}^{\text{2}}}\Pi$ 均呈现多组态特征, 贡献最大的电子组态分别由自旋取向不同的电子保持自旋方向性, 并从7π_y迁移至8π_y轨道而形成. ${1^4}{\Sigma ^ - }$ 的主要电子组态为15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_x^α_y^α, 所占权重为83%. 8π→16σ的电子迁移形成 ${{\text{1}}^{\text{2}}}{\Sigma ^ + }$ 电子态. 除个别电子态以外, 大多数电子态均表现出较明显的多参考特性.

表 2 SbS的Λ-S态光谱常数

Table 2. Spectroscopic constants of the Λ-S states of SbS.

Λ-S态	R_e/Å	D_e/eV	B_e/cm^–1	ω_e/cm^–1	ω_eχ_e /cm^–1	T_e/cm^–1	RMS/cm^–1	电子组态(组态系数)
${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$	2.2199	3.44	0.1348	479.8	1.51	0	0.57	15σ^αβ7π_x^αβ_y^αβ8π_x^α (72.77)
${1^4}\Pi$	2.4481	1.84	0.1108	343.6	1.17	12884	0.65	15σ^αβ7π_x^αβ_y^α8π_x^α_y^α (84.83)
${{\text{2}}^{\text{2}}}\Pi$	2.4388	2.60	0.1117	356.3	0.89	16721	0.64	15σ^αβ7π_x^αβ_y^β8π_x^α_y^α (52.26)
${{\text{3}}^{\text{2}}}\Pi$	2.4513	2.16	0.1106	341.8	0.97	20306	0.88	15σ^αβ7π_x^αβ_y^α8π_x^α_y^β (31.90)
${1^4}{\Sigma ^ - }$	2.3354	1.88	0.1218	361.1	2.54	21870	1.53	15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_x^α_y^α (83.08)
${4^{\text{2}}}\Pi$	2.4554	1.49	0.1109	341.1	1.97	25796	2.85	15σ^αβ7π_x^α_y^αβ8π_y^αβ (59.44)
${{\text{1}}^{\text{2}}}{\Sigma ^ + }$ 第一势阱	2.4699	0.45	0.1089	254.4	0.88	26185	3.64	15σ^αβ16σ^α7π_x^αβ_y^αβ (52.15)
${1^{\text{2}}}{\Sigma ^ - }$	2.3735	1.17	0.1179	340.1	6.30	28350	7.03	15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_x^β_y^α (61.23)
${1^{\text{2}}}\Delta$	2.3545	1.04	0.1198	343.5	2.51	29271	1.80	15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_x^α_y^β (60.01)
${1^2}\Phi$	2.5497	1.45	0.1022	265.1	1.96	32508	6.63	15σ^αβ7π_x^α_y^α8π_x^αβ_y^β(50.92)
${2^{\text{2}}}{\Sigma ^ + }$	2.3678	0.63	0.1185	337.0	1.73	33250	2.19	15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_y^αβ (38.05)
								15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_x^αβ (38.05)
${1^4}\Delta$	2.8462	0.34	0.0820	188.3	2.40	34389	0.84	15σ^αβ16σ^α7π_x^αβ_y^α8π_y^α (35.39)
								15σ^αβ16σ^α7π_x^α_y^αβ8π_x^α (35.39)
${2^4}\Pi$	3.3555	0.28	0.0590	134.1	1.52	34791	0.38	15σ^α16σ^α7π_x^αβ_y^β8π_x^α_y^α (27.31)
${3^{\text{2}}}{\Sigma ^ + }$	3.0478	0.32	0.0715	189.7	4.99	36554	3.79	15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_y^αβ (16.85)
								15σ^α7π_x^αβ_y^αβ8π_x^αβ (16.85)
${2^4}{\Sigma ^ + }$	3.4574	0.09	0.0556	87.1	1.80	37047	0.84	15σ^α7π_x^α_y^αβ8π_x^α_y^αβ (14.08)
								15σ^α7π_x^αβ_y^α8π_x^αβ_y^α (14.08)
${2^4}{\Sigma ^ - }$ 第一势阱	2.8356	0.06	0.0826	184.4	6.87	37260	1.01	15σ^αβ16σ^α7π_x^α_y^αβ8π_y^α (35.84)
								15σ^αβ16σ^α7π_x^αβ_y^α 8π_x^α (35.84)
${2^4}\Delta$	3.9570	0.05	0.0424	95.3	7.03	37339	0.96	15σ^α16σ^αβ7π_x^α_y^αβ8π_x^α (17.70)
								15σ^α16σ^αβ7π_x^αβ_y^α8π_y^α (17.70)

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表3汇总了氮族元素硫化物自由基的光谱常数. 通过比较, 发现该系列硫化物基态 ${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$ 的光谱常数体现了同族元素代换后的渐变规律性. 随着氮族元素核电荷数的增加, R_e逐渐变大, 这源于氮族元素np³价电子的弥散性渐强, 而氮族元素与S原子之间的化学键减弱则导致谐振频率ω_e逐渐减小.

表 3 XS (X = N, P, As, Sb, Bi)自由基电子基态

${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$

的光谱常数

Table 3. Spectroscopic constants of the ground state

${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$

of XS (X = N, P, As, Sb, Bi) radicals.

		R_e/Å	D_e/eV	ω_e/cm^–1	B_e/cm^–1
	理论值^[35] ^a	1.515	—	1220.5	0.7542
	理论值^{[40] b}	1.5058	—	1202.4	0.742
NS	理论值^{[46] c}	1.4962	4.8504	1216.17	0.77323
	理论值^{[47] d}	1.498	—	1220.9	0.7715
	实验值^[9]	1.495(7)	—	—	0.7736(4)
	实验值^[11]	1.4938(2)	—	—	—
	理论值^{[36] e}	1.944	—	735.6	0.2836
	理论值^[40] ^b	1.9148	—	728.0	0.292
	理论值^{[43] f}	1.879	—	732.0	0.2936
PS	理论值^{[48] g}	1.8972	4.5272	741.0	0.2979
	理论值^{[52] h}	1.918	—	708	—
	实验值^[15]	1.92	—	739.5	0.29
	实验值^[18]	1.900(7)	—	—	—
	实验值^[21]	1.8977405(45)	—	739.13 (42)	0.2975216 (14)
	本文工作	1.9014	4.41	739.5	0.2960
	理论值^{[53] i}	—	4.15(13)	—	—
	理论值^[40] ^b	2.0395	—	559.2	0.181
AsS	理论值^[44] ^j	2.045	3.94	—	—
	理论值^{[49] k}	2.0180	4.0554	565.19	0.18472
	实验值^[28]	2.0174	—	567.94	0.18476
	本文工作	2.0208	3.83	564.4	0.1839
SbS	本文工作	2.2199	3.44	479.8	0.1348
BiS	本文工作	2.3118	3.12	424.9	0.1135
注: ^aMRSDCI/modified basis sets; ^bCAS-ACPF/cc-pVQZ; ^cMRCI+Q/AV5Z+CV+DK; ^dMRCI+Q/aug-cc-pV5Z; ^eMRSDCI/modified basis sets; ^fMRCI/aug-cc-pV5Z; ^gMRCI+Q/56+CV+DK; ^hMRCI/modified basis sets; ⁱObtained from the RKR method; ^jMP2(full)/6-31G(d); ^kMRCI+Q/Q5+CV+DK.

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3.2 Ω态的势能曲线与光谱常数

由于SbS电子态数量多且曲线(避免)交叉复杂, 本文仅对基态及部分低激发Ω态计算与讨论, 其势能曲线如图2所示. 计算涉及的Ω态离解极限, 即S原子³P_2,1,0原子态能级间隔与实验数据^[68]吻合很好, 第二、第三离解极限的计算值与实验值相差约为 3.6%和5.6% (见表4). 各电子态的光谱常数列于表5. 其中, 仅有Ω基态的谐振频率有实验值^[7]可做比较, 本文计算值与实验值相符很好. 各势能曲线拟合的RMS值也比较令人满意.

$图 2 SbS的Ω态势能曲线\r\nFig. 2. Potential energy curves of Ω states of SbS.$

图 2 SbS的Ω态势能曲线

Fig. 2. Potential energy curves of Ω states of SbS.

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表 4 SbS自由基Ω态的离解极限

Table 4. Dissociation relationships of the Ω states of SbS.

原子态	Ω态	ΔE/cm^–1
原子态	Ω态	实验值^[68]	本文计算值
$\rm {{Sb} }({}^4{ {{S} }_{ {3/2} } }) + {{S} }{(^3}{ {{P} }_2})$	7/2, 5/2(2), 3/2(3), 1/2(4)	0	0
$\rm{{Sb} }({}^4{ {{S} }_{ {3/ } 2} }) + {{S} }{(^3}{ {{P} }_1})$	5/2, 3/2(2), 1/2(3)	396.055	410.46
$\rm {{Sb} }({}^4{ {{S} }_{ {3/2} } }) + {{S} }{(^3}{ {{P} }_0})$	3/2, 1/2	573.640	605.81

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表 5 SbS自由基的Ω态光谱常数

Table 5. Spectroscopic constants of the Ω states of SbS.

Ω态	R_e/Å	D_e/eV	B_e/cm^–1	ω_e/cm^–1	ω_eχ_e/cm^–1	T_e/cm^–1	RMS/cm^–1
X(1/2)	2.2195	3.62	0.1348	476.3	1.36	0	2.36
实验值^[7]	—	—	—	480	1.2	—
X(3/2)	2.2201	3.36	0.1348	477.3	1.97	2025	2.25
实验值^[7]	—	—	—	470	1.6	—
2(1/2)	2.4527	1.93	0.1104	341.4	0.43	13646	2.70
3(1/2)	2.4538	1.90	0.1103	342.2	0.62	13888	2.28
2(3/2)	2.4503	1.86	0.1106	346.5	1.17	14123	0.30
1(5/2)	2.4537	1.83	0.1103	344.6	1.16	14346	0.38
3(3/2)	2.4428	2.56	0.1113	364.7	1.46	17632	2.94
4(1/2)	2.4467	2.48	0.1110	367.3	2.46	18340	9.74
4(3/2)	2.4524	2.18	0.1105	339.7	0.41	21413	3.17
5(1/2)	2.4560	2.13	0.1101	342.8	1.03	21610	2.17
6(1/2)	2.3462	1.95	0.1207	352.3	1.41	22947	6.01
5(3/2)	2.3476	1.91	0.1205	356.6	2.74	23268	8.04

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在SOC作用下, Λ-S基态 ${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$ 分裂为X(1/2)与X(3/2), 其中前者能量更低, 并且根据二者间能量差可预计其自旋-轨道耦合常数约为2025 cm^–1. ${1^4}\Pi$ 分裂为2(1/2), 3(1/2), 2(3/2)和1(5/2), 裂距较小, 两相邻Ω态间的裂距只有基态裂距的11%. $2{}^2\Pi$ 分裂为裂距约700 cm^–1的3(3/2)和4(1/2)电子态. 与 ${1^4}{\Sigma ^ - }$ 和 ${{\text{3}}^{\text{2}}}\Pi$ 对应的Ω态势能曲线在约2.25 Å处产生了避免交叉. 对比表2的Λ-S态及表5中对应Ω态的数据, 发现光谱常数的变化不大, 证实了本文的预测. 以R_e为例, Ω基态X(1/2)与X(3/2)相比, Λ-S基态 ${{\text{X}}^{\text{2}}}\Pi$ 的变化分别为0.02%和0.01%, 在表中所列电子态中是最小的, 因此可预测这两个态之间的跃迁会有较大的弗兰克-康登因子. R_e变化率最大的态是6(1/2)和5(3/2), 不过二者也分别只比 ${1^4}{\Sigma ^ - }$ 减小了0.46%和0.52%. 从总体上看, SOC效应对这些电子态光谱常数的影响较小. 此外, 由于Ω基态与激发态R_e相差达到了0.2 Å, 表明这些Ω态间跃迁的弗兰克-康登因子均较小.

表6列出了氮族元素硫化物自由基Ω基态的光谱常数, 由图6可见, 本文计算值与实验值非常相符. 以BiS为例, X(1/2)与X(3/2)态R_e的计算值均只与实验值^[31,32]相差小于0.2%, ω_e则分别高估了5%和2%左右. 计算值与实验值的一致性, 从侧面证明本文对SbS的计算结果具有很高的精度.

表 6 XS (X = N, P, As, Sb, Bi)自由基Ω基态的光谱常数

Table 6. Spectroscopic constants of the ground Ω state of XS (X = N, P, As, Sb, Bi) radicals.

Ω态		R_e/Å	D_e/eV	ω_e/cm^–1	B_e/cm^–1	T_e/cm^–1
NS
X(1/2)	理论值^{[46] a}	1.4962	4.8562	1216.43	0.77320	0
	理论值^{[51] b}	1.4976	4.7586	1213.30	—	0
	实验值^[12]	1.4955	—	1219.14	0.7730	0
	实验值^[13]	1.4955	—	1218.97	0.7730	0
	实验值^[14]	1.4931	—	1218.1	0.7758(11)	0
X(3/2)	理论值^{[46] a}	1.4962	4.8446	1215.93	0.77326	223.64
	理论值^{[51] b}	1.4975	4.7412	1213.02	—	221.67
	实验值^[12]	1.4901	—	1218.90	0.7777	223.15
	实验值^[13]	1.4901	—	1218.90	0.7777	222.98
	实验值^[14]	1.4884	—	1218.0	0.7807(2)	220.4
PS
X(1/2)	实验值^[19]	1.899	—	739.54(2)	0.29724(5)	0
	本文工作	1.9015	4.40	738.8	0.2960	0
X(3/2)	实验值^[19]	1.897	4.566	739.45(2)	0.29765(5)	321.93
	本文工作	1.9014	4.37	738.6	0.2960	324.8
AsS
X(1/2)	实验值^[24]	—	—	567.9(4)	0.18476	0
	本文工作	2.0206	3.89	565.6	0.1839	0
X(3/2)	实验值^[24]	2.0174	—	566.1(3)	0.18492	—
	实验值^[25]	2.0216(3)	—	562.40(16)	0.18408(4)	—
	本文工作	2.0210	3.78	563.3	0.1838	893.3
SbS
X(1/2)	本文工作	2.2195	3.62	476.3	0.1348	0
X(3/2)	本文工作	2.2201	3.36	477.3	0.1348	2025.0
BiS
X(1/2)	理论值^{[45] c}	2.365	—	407	—	0
	实验值^[29]	2.3194	—	408.71	0.11301	0
	实验值^[30]	2.3122(10)	—	404.68(8)	0.11371(10)	0
	实验值^[31]	2.3188(1)	—	408.67(7)	0.113063(10)	0
	实验值^[32]	—	—	408.66(3)	—	0
	本文工作	2.3131	3.58	429.5	0.1134	0
X(3/2)	理论值^{[45] c}	2.361	—	404	—	7076
	实验值^[31]	2.31525(13)	—	403.95(21)	0.113411(13)	6905.02(18)
	实验值^[32]	2.31489(11)	—	404.501(94)	—	—
	本文工作	2.3191	2.87	413.8	0.1128	5781
注: ^a MRCI+Q/AV5Z+CV+DK+SO; ^b MRCI+Q/56+CV+DK+SO; ^c MRDCI+Q/modified basis sets.

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3.3 Λ-S态与Ω态的振动能级和转动常数

通过求解核运动的径向薛定谔方程, 得到了SbS的 ${\text{X}}{}^2\Pi$ , $1{}^4\Pi$ , ${2^2}\Pi$ , ${3^2}\Pi$ , ${1^4}{\Sigma ^ - }$ 电子态及其对应Ω态的全部振动态. 表7列出了v = 0—5的振动能级、转动常数和离心畸变常数. 受SOC效应影响, Ω态中6(1/2)和5(3/2)的振动能级相比Λ-S态均降低了15%左右, 是这些低激发态中变化最大的. 该现象源于这两个态分别与5(1/2)和4(3/2)在R_e附近产生曲线避免交叉, 使得6(1/2)和5(3/2)的势能曲线在R_e处相比 ${1^4}{\Sigma ^ - }$ Λ-S态的绝对能量降低了约300 cm^–1. 总体上看, SOC效应对SbS四重态, 如 $1{}^4\Pi$ 和 ${1^4}{\Sigma ^ - }$ 影响相对更为显著, 而对二重态的影响则不明显.

表 7 SbS的Λ-S及其对应Ω态的振动能级、转动常数和离心畸变常数(单位: cm^–1)

Table 7. Vibrational energy levels, rotational constants and centrifugal distortion constants for the Ω and its respective Λ-S states of SbS (in cm^–1).

v	G_v	B_v	10⁸D_v	G_v	B_v	10⁸D_v	G_v	B_v	10⁸D_v
	X(1/2)			X(3/2)			${\text{X}}{}^2\Pi$
0	205.3	0.1350	4.30	200.7	0.1349	4.37	212.4	0.1351	4.18
1	682.7	0.1345	4.32	673.6	0.1344	4.39	696.4	0.1344	4.38
2	1156.9	0.1340	4.32	1143.1	0.1338	4.40	1171.8	0.1339	4.40
3	1628.2	0.1334	4.33	1609.4	0.1332	4.41	1642.2	0.1334	4.32
4	2096.6	0.1329	4.35	2072.6	0.1327	4.44	2110.0	0.1328	4.28
5	2561.9	0.1323	4.39	2532.6	0.1321	4.48	2575.7	0.1323	4.31
	3(3/2)			4(1/2)			${2^2}\Pi$
0	160.5	0.1118	4.32	165.5	0.1113	4.44	153.7	0.1119	4.42
1	519.5	0.1114	4.31	517.2	0.1109	4.44	508.8	0.1114	4.38
2	876.8	0.1109	4.29	866.9	0.1104	4.42	862.3	0.1108	4.37
3	1232.5	0.1105	4.29	1214.7	0.1100	4.43	1214.1	0.1104	4.33
4	1586.4	0.1101	4.32	1560.6	0.1095	4.46	1564.3	0.1099	4.34
5	1938.3	0.1097	4.34	1904.3	0.1090	4.49	1912.9	0.1095	4.35
	4(3/2)			5(1/2)			${3^2}\Pi$
0	169.7	0.1106	4.58	170.6	0.1103	4.59	163.4	0.1108	4.73
1	512.3	0.1101	4.59	511.8	0.1098	4.60	501.1	0.1102	4.54
2	852.6	0.1096	4.59	850.7	0.1093	4.60	839.6	0.1096	4.57
3	1190.7	0.1091	4.60	1187.4	0.1089	4.61	1176.7	0.1091	4.58
4	1526.5	0.1086	4.62	1521.9	0.1084	4.63	1512.0	0.1086	4.61
5	1860.0	0.1081	4.62	1854.0	0.1079	4.64	1845.0	0.1081	4.64
	6(1/2)			5(3/2)			${1^4}{\Sigma ^ - }$
0	131.6	0.1204	5.73	128.3	0.1203	5.80	151.1	0.1215	5.33
1	479.4	0.1197	5.60	473.6	0.1196	5.72	517.9	0.1214	5.42
2	826.2	0.1190	5.66	817.0	0.1189	5.75	881.0	0.1204	6.22
3	1170.2	0.1183	5.85	1157.7	0.1182	5.86	1230.6	0.1194	6.24
4	1510.2	0.1177	5.91	1494.9	0.1175	5.91	1571.7	0.1186	5.89
5	1846.6	0.1171	5.66	1828.6	0.1169	5.82	1909.2	0.1179	5.87
	2(1/2)			3(1/2)			$1{}^4\Pi$
0	170.1	0.1106	4.55	170.3	0.1106	4.55	160.2	0.1111	4.73
1	514.3	0.1102	4.55	514.0	0.1101	4.56	499.2	0.1104	4.56
2	856.3	0.1097	4.56	855.5	0.1096	4.57	838.7	0.1099	4.63
3	1196.0	0.1092	4.57	1194.7	0.1091	4.58	1176.2	0.1094	4.65
4	1533.5	0.1087	4.58	1531.6	0.1086	4.59	1511.4	0.1089	4.67
5	1868.7	0.1082	4.58	1866.2	0.1081	4.60	1844.2	0.1084	4.69
	2(3/2)			1(5/2)
0	168.8	0.1108	4.56	170.4	0.1105	4.57
1	513.4	0.1103	4.57	513.2	0.1100	4.58
2	855.6	0.1098	4.58	853.6	0.1095	4.58
3	1195.5	0.1093	4.59	1191.7	0.1090	4.60
4	1533.0	0.1088	4.60	1527.5	0.1085	4.61
5	1868.2	0.1083	4.61	1860.8	0.1080	4.62

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为证明本文计算结果的准确性, 对验证计算并已获得光谱常数的PS, AsS和BiS进行了振动分析, 计算数据及相应实验结果列于表8可见, 本文计算得到的PS自由基X(1/2)与X(3/2)的转动常数及离心畸变常数与实验值^[19]符合得非常好, 其中偏差最大的是X(3/2)态v = 7的转动常数(约0.8%), 其他能级转动常数与实验值的偏差均在0.5%左右. 对于AsS, X(3/2)态v = 3—7能级的转动常数与实验值^[25]相差不到0.1%. 对于BiS来讲, 只有X(1/2)的振动能级有实验值^[29], 计算值高估了实验值约0.6%.

表 8 XS (X = P, As, Bi)自由基Ω基态的振动能级、转动常数和离心畸变常数(单位: cm^–1)

Table 8. Vibrational energy levels, rotational constants and centrifugal distortion constants for the ground Ω state of XS (X = P, As, Bi) radicals (in cm^–1).

v	G_v	B_v	10⁷D_v	G_v	B_v	10⁷D_v	v	G_v	B_v	10⁸D_v
	PS X(1/2)			PS X(3/2)				AsS X(3/2)
0	368.4	0.29550	1.91	368.2	0.29551	1.91	3	1952.3	0.18108	7.90
	—	0.29649^a	1.85^a	—	0.29695^a	1.9^a		—	0.18116(8)^b	8.6(5)^b
1	1101.3	0.29394	1.92	1100.8	0.29394	1.92	4	2501.2	0.18024	7.93
	—	0.29469^a	1.7^a	—	0.29543^a	1.8^a		—	0.18033(4)^b	8.7(8)^b
2	1828.2	0.29237	1.92	1827.2	0.29237	1.92	5	3046.0	0.17939	7.93
	—	0.29333^a	1.9^a	—	0.29385^a	2.0^a		—	0.17950(4)^b	8.8(7)^b
3	2549.0	0.29078	1.92	2547.6	0.29078	1.92	6	3587.0	0.17853	7.89
	—	0.29161^a	1.85^a	—	0.29223^a	1.95^a		—	0.17865(5)^b	9.1(9)^b
4	3264.0	0.28918	1.92	3262.2	0.28917	1.93	7	4124.1	0.17765	7.85
	—	0.29015^a	1.9^a	—	0.29065^a	1.8^a		—	0.17782(4)^b	9.7(8)^b
5	3973.2	0.28756	1.93	3971.0	0.28755	1.93
	—	0.28855^a	2.0^a	—	0.28933^a	1.8^a			BiS X(1/2)
6	4676.7	0.28595	1.94	4674.0	0.28594	1.94	0	213.9	0.11344	3.19
	—	0.28710^a	1.9^a	—	0.28740^a	2.0^a		—	0.112764(5)^c	3.34(4)^c
7	5374.2	0.28434	1.95	5371.0	0.28432	1.95	1	641.0	0.11302	3.19
	—	—	—	—	0.28653^a	1.7^a	2	1065.6	0.11260	3.19
8	6065.7	0.28273	1.96	6061.9	0.28271	1.96	3	1488.0	0.11218	3.20
	—	—	—	—	0.28416^a	2.0^a
注: ^a为文献[19]实验值; ^b为文献[25]实验值; ^c为文献[29]实验值.

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3.4 Ω态的振动跃迁

借助Level程序计算了若干Ω激发态至基态振动跃迁的爱因斯坦系数 ${A_{v'J'v''J''}}$ 及跃迁频率 ${v_{v'J'v''J''}}$ . 通过(2)式计算了跃迁强度 ${I_{v'J'v''J''}}$ , 式中 $J'$ 是上态转动量子数, ${E_{v''J''}}$ 是下态能量, Q(T)是对应温度T的配分函数, h, c, k是基本常量.

${I_{v'J'v''J''}} {=} \dfrac{{(2J' {+} 1)\exp \left( - \dfrac{{hc{E_{v''J''}}}}{{kT}}\right)}}{{8{\text{π }}cv_{v'J'v''J''}^2Q}} \times {A_{v'J'v''J''}} .$

(2)

如图3(a)—(c)所示, 在所有计算的谱带中, 2(1/2)→X(1/2)的 $v' \to v'' = 0, 1, 2$ 跃迁强度相对更大, 主要分布在540—750 nm之间. 4(1/2)→X(1/2)与5(1/2)→X(1/2)谱带则主要位于400—550 nm波段, 其中前者除 $v' \to v'' = 0$ 外跃迁强度均较小, 而后者 $v' = 0, 1, 2, 3, 4 \to v''=0$ 跃迁则分布较密集. 6(1/2)→X(1/2)跃迁的最强谱带位于430 nm附近, $v' \to v'' = 0, 1, 2$ 跃迁的强度随 $v''$ 的增加而渐大. 以上4个激发态至Ω基态的跃迁均位于可见光区域.

$图 3 SbS的振动谱带\r\nFig. 3. Vibrational transition bands of SbS.$

图 3 SbS的振动谱带

Fig. 3. Vibrational transition bands of SbS.

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图3(d)绘制了X(3/2)→X(1/2)跃迁的 $\Delta v =$ $- 1, {\text{ }}0, {\text{ }}1$ 谱带(仅绘制出 $v' \leqslant 15$ ). 3个谱带均位于中红外波段, 其分布与位于近红外波段的BiS相应谱带分布(文献[31], 图2)非常相似. 强度最大的 $\Delta v = 0$ 谱带位于 $\Delta v = - 1$ 与 $\Delta v = 1$ 谱带间, $\Delta v = 1$ 谱带的强度最小, 在3个谱带中位于长波长一端. 以上数据与结论均能够对SbS的光谱探测提供理论支持和数据支撑.

4. 结　论

通过MRCI+Q方法计算了SbS电子基态及低激发态的电子结构, 得到了能量最低的三个Λ-S离解极限所有的电子态及部分Ω态的势能曲线. 通过离解极限处的能量计算所得Sb原子与S原子的能级与实验值相符很好. 计算了各电子态的光谱常数、振动能级, 模拟了Ω激发态至基态的振动光谱, 为后续开展光谱探测提供了参考依据. 本文还对PS, AsS, BiS的电子态进行了验证计算, 所得的光谱常数和振动能级均与已有的实验结果相符, 间接证明本文SbS计算结果的可信度.

参考文献

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图 1 (a) tBLG的原子结构图, θ为层间扭转角度; (b) tBLG的第一布里渊区, K 和 K^θ 为来自于上下两个单层石墨烯的狄拉克点

Fig. 1. (a) Atomic structure for tBLG, θ is the twist angle between layers; (b) the first Brillouin region of tBLG, where K and K^θ are the Dirac points of the upper and lower monolayers.

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图 2 无外电场时θ = 3.89°的tBLG三维能带结构图. K和K^θ为两个狄拉克点, VHS₁和VHS₂为两个范霍夫奇点

Fig. 2. The 3D band structure of tBLG at θ = 3.89° without external electric field. K and K^θ are two separate Dirac points, VHS₁ and VHS₂ are two van Hove singularities.

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图 3 无外电场时四个扭转角度下tBLG的能带结构图　(a) θ = 3.89°; (b) θ = 5.09°; (c) θ = 7.34°; (d) θ = 9.43°. 其中红色(蓝色)箭头表示可能发生的带间(带内)跃迁, 蓝色虚线为费米面

Fig. 3. The energy band structure of TBG at four twisted angles without electric field: (a) θ = 3.89°; (b) θ = 5.09°; (c) θ = 7.34°; (d) θ = 9.43°. Red (blue) arrow is the possible interband (intraband) transitions, and the dashed blue line shows the Fermi level.

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图 4 不同扭转角度下tBLG在范霍夫奇点附近的光学吸收谱　(a) 带间跃迁光学吸收谱; (b) 带内跃迁光学吸收谱

Fig. 4. Optical spectrums for tBLG around VHS with 5 different twisted angles: (a) Optical spectrums for interband transitions; (b) optical spectrums for intraband transitions.

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图 5 不同外加电场下tBLG的能带结构图(θ = 3.89°)　(a) U = 0 meV; (b) U = 40 meV; (c) U = 60 meV; (d) U = 100 meV. 其中箭头表示可能发生的带间或者带内跃迁, 蓝色虚线为费米面, 黑色虚线表示范霍夫奇点的位置

Fig. 5. The energy band structure of tBLG at θ = 3.89° with or without electric field: (a) U = 0 meV; (b) U = 40 meV (c) U = 60 meV; (d) U = 100 meV. The arrows are the possible interband (intraband) transitions, and the dashed blue line shows the Fermi level, and the dashed black lines are the positions of VHS.

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图 6 不同电场强度下tBLG范霍夫奇点附近的光学吸收谱, 三种扭转角度下的带间跃迁吸收谱(左列)和带内跃迁吸收谱(右列) (a), (b) θ = 3.89°; (c), (d) θ = 6.01°; (e), (f) θ = 9.43°

Fig. 6. Optical spectra for tBLG around VHS with different perpendicular electric field intensities, and optical spectra for interband transitions (left column) and Optical spectrums for intraband transitions (right column) under three twist angles: (a), (b) θ = 3.89°; (c), (d) θ = 6.01°; (e), (f) θ = 9.43°.

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表 1 不同电场强度下tBLG能带结构几个关键点的位置及带间能级差(θ = 3.89°)

Table 1. Positions of key points and energy level differences (θ = 3.89°) in the band structure of tBLG under different electric field intensities.

U/meV	VHS奇点位置		带间跃迁能级差		带内跃迁能级差
U/meV	k₁/ΔK	k₂/ΔK	ΔE_α1/eV	ΔE_α2/eV	ΔE_β/eV
0	0	0	0.7550	0.7550	0.11
20	–0.015	0.015	0.7511	0.7588	0.1101
40	–0.030	0.030	0.7306	0.7692	0.1101
60	–0.040	0.040	0.7289	0.7810	0.11
80	–0.055	0.055	0.7124	0.7976	0.11
100	–0.065	0.065	0.6977	0.8124	0.11

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[1]	Novoselov K S, Geim A K, Morozov S V, Jiang D, Zhang Y, Dubonos S V, Gregorieva I V, Firsov A A 2004 Science 306 666 Google Scholar
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垂直电场下扭转双层石墨烯光学吸收性质的理论研究