1.   引　言

随着拓扑学从数学应用到物理, 探寻物理系统的拓扑性质成为凝聚态物理和量子物理的研究热点^[1–3]. 作为典型的二维结构, 石墨烯的成功制备为二维体系的研究提供了一个新的方向^[4], 其狄拉克锥的能带结构和独特的电学性质受到了研究者的广泛关注^[5,6]. 此外, 由共角连接的三角形构 成的Kagome结构, 其原子结构会呈现三角形和 六边形在面内交错排列^[7], 导致该材料的电子结 构不仅包括六角晶格具有的线性狄拉克锥, 还具有由于相位相消产生的局域电子平带. 二维SSH (Su-Schrieffer-Heeger) 晶格也是一种典型的拓扑绝缘体, 具有零Berry曲率的非平凡拓扑相, 并且在一维条带能隙中具有局域在系统两侧的简并边缘 态^[8,9]. 实验上, 二维蜂窝状六角晶格和Kagome晶格已经通过光晶格中的超冷原子构建出来^[10,11], 从而为研究此类体系的量子性质提供了更多思路.

非厄米体系是指用非厄米哈密顿量表述的开放系统. 近年来, 研究发现非厄米体系具有许多不同于厄米系统的新奇现象, 例如奇异点、非厄米趋肤效应等^[12–16]. 作为典型的非厄米机制, 宇称-时间反演(parity-time, PT)对称体系因其在非厄米体系中存在纯实能态而被广泛研究^[17–19]. 随着拓扑体系的发展, 研究者将PT对称与拓扑体系结合, 观察PT对称虚势能如何与拓扑之间相互影响从而促成新的物理图像, 例如诱导体系发生拓扑相变, 产生新的边缘态, PT对称破缺相变等^[20–25]. 在实验方面也利用拓扑电路、光晶格等方式实现PT对称体系^[26–28]. 可以肯定, 很有必要研究典型拓扑结构在非厄米机制影响下的物理特性.

近年来, T-型石墨烯晶格结构由于其独特的结构特征吸引了许多研究者的兴趣, 并且得到了很多有趣的结果^[29,30]. 因此, 本文将其与非厄米虚势能相结合, 观察虚势能对T-型石墨烯的能带结构和局域性的调控作用. 研究发现, 当对体系一维条带最外侧单层格点施加虚势能时, 虚势能导致拓扑非平庸发生PT对称自发破缺, 在拓扑平庸区出现PT对称相变过程. 当虚势能达到临界值后, 会诱导出新的具有能量虚部的边缘态. 当对体系一维条带最外侧两层格点施加虚势能时, 双层虚势能还会诱导体系出现两种不同的边缘态. 一种是在顶带和底带会随着虚势能的增大出现局域在系统左侧或者右侧的边缘态, 并且会逐渐进入能隙中. 另一种是在第2条和第3条体态中出现新的边缘态, 且不会随着虚势能的增大进入能隙中. 本工作的结果有助于理解PT对称的边缘虚势能对T-型石墨烯结构的物性调控机制.

2.   厄米T-型石墨烯结构的物理特性

二维T-型石墨烯模型如图1所示, 体系的原胞中具有4种不同的子晶格A, B, C, D. 根据该模型的结构, 实空间中紧束缚近似的哈密顿量可写为

$$\begin{split} H = \;&\sum _{m,n}{t}_{1} \Big[{A}_{m,n}^{†}{B}_{m,n}+{B}_{m,n}^{†}{C}_{m,n}+{C}_{m,n}^{†}{D}_{m,n}\\ &+{D}_{m,n}^{†}{A}_{m,n} \Big] +\sum _{m,n}{t}_{2}\Big[{{C}_{m,n}^{†}A}_{m+1,n}\\ &+{D}_{m,n}^{†}{B}_{m,n+1}\Big]+ \rm h.c. \\[-1pt]\end{split}$$

(1)

其中${\alpha }_{m, n}^{†}\left({\alpha }_{m, n}\right)({\mathrm{\alpha }}\in [A, B, C, D\left]\right)$分别代表${\mathrm{\alpha }}$子晶格的产生和湮灭算符. ${t}_{1}$和${t}_{2}$分别为胞内跃迁和胞间跃迁. 利用傅里叶变换, 可以得到动量空间中哈密顿量:

$$\begin{split} H\left({k}_{x},{k}_{y}\right) = \;&\sum _{{k}_{x},{k}_{y}}{t}_{1}\Big({A}_{{k}_{x},{k}_{y}}^{†}{B}_{{k}_{x},{k}_{y}}+{B}_{{k}_{x},{k}_{y}}^{†}{C}_{{k}_{x},{k}_{y}}\\ &+{C}_{{k}_{x},{k}_{y}}^{†}{D}_{{k}_{x},{k}_{y}}+{D}_{{k}_{x},{k}_{y}}^{†}{A}_{{k}_{x},{k}_{y}}\Big)\\ &+ \sum _{{k}_{x},{k}_{y}}{t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}{k}_{x}}{A}_{{k}_{x},{k}_{y}}^{†}{C}_{{k}_{x},{k}_{y}}\\ &+{{t}_{1}{{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}{k}_{y}}B}_{{k}_{x},{k}_{y}}^{†}{D}_{{k}_{x},{k}_{y}}+ \rm h.c.\\[-1pt]\end{split}$$

(2)

式中${k}_{x}$和${k}_{y}$为波矢. 我们可以将其写成矩阵形式, 即$\boldsymbol{H}\left({k}_{x}, {k}_{y}\right) = {\boldsymbol{\psi }}_{{k}_{x}, {k}_{y}}^{†}\boldsymbol{h}({k}_{x}, {k}_{y}){\boldsymbol{\psi }}_{{k}_{x}, {k}_{y}}$. ${\boldsymbol{\psi }}_{{k}_{x}, {k}_{y}} = {\left({A}_{{k}_{x}, {k}_{y}}{B}_{{k}_{x}, {k}_{y}}{C}_{{k}_{x}, {k}_{y}}{D}_{kx, ky}\right)}^{{\mathrm{T}}}$, $\boldsymbol{h}({k}_{x}, {k}_{y})$表示为

$$\boldsymbol{h}({k}_{x},{k}_{y}) = \left[\begin{array}{cccc}0& {t}_{1}& {t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}{k}_{x}}& {t}_{1}\\ {t}_{1}& 0& {t}_{1}& {t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}{k}_{y}}\\ {t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}{k}_{x}}& {t}_{1}& 0& {t}_{1}\\ {t}_{1}& {t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}{k}_{y}}& {t}_{1}& 0\end{array}\right] .$$

(3)

由此, 可以得到含${k}_{x}, {k}_{y}$的色散关系表达式为

$$\begin{split}&{E}^{4}-2\left({t}_{2}^{2}+2{t}_{1}^{2}\right){E}^{2}-4{t}_{2}{t}_{1}^{2}\left({\mathrm{c}}{\mathrm{o}}{\mathrm{s}}{k}_{x}+{\mathrm{c}}{\mathrm{o}}{\mathrm{s}}{k}_{y}\right)E\\ &-4{t}_{1}^{2}{t}_{2}^{2}{\mathrm{c}}{\mathrm{o}}{\mathrm{s}}{k}_{x}{\mathrm{c}}{\mathrm{o}}{\mathrm{s}}{k}_{y}+{t}_{2}^{4} = 0. \end{split}$$

(4)

图2(a)—(c)所示为厄米情况时动量空间的能带图. 根据(4)式本征能量和${k}_{x}, {k}_{y}$的关系式解出, 在高对称点$\varGamma$(${k}_{x} = 0, {k}_{y} = 0$)处, 取${t}_{1} = 1.2$, ${t}_{2} = 1.0$, 也就是$\left|{t}_{2}/{t}_{1}\right| <$1时, 体系4条能带的结果分别为${E}_{1} = {t}_{2}+2{t}_{1}, \,{E}_{2} = {E}_{3} = -{t}_{2}, \,{E}_{4} = {t}_{2}-2{t}_{1}$, ${E}_{1}- {E}_{4}$分别对应图2(a)中浅蓝色、蓝色、绿色、红色的能带. 在高对称点M(${k}_{x} = {\mathrm{\pi }}, {k}_{y} = {\mathrm{\pi }}$)处, 体系的能带结果分别为${E}_{1} = 2{t}_{1}-{t}_{2},\; {E}_{2} = {E}_{3} = {t}_{2}, \; {E}_{4} = {-t}_{2}-2{t}_{1}$, 此时第2条能带和第3条能带在$\varGamma$和M处闭合, 第1条能带和第2条能带(第3条能带和第4条能带)间打开能隙. 当${t}_{1} = {t}_{2} = 1.0$时[图2(b)], $\varGamma$处的结果为${E}_{1} = {t}_{2}+2{t}_{1},\; {E}_{2} = {E}_{3} = {E}_{4} = -{t}_{2}$, M处的结果为${E}_{1} = {E}_{2} = {E}_{3} = {t}_{2}, \; {E}_{4} = {-t}_{2}-2{t}_{1}$, 此时能带在高对称处闭合. 当$\left|{t}_{2}/{t}_{1}\right| >$1, 取${t}_{1} = 1.0$, ${t}_{2} = 1.2$[图2(c)], 高对称点$\varGamma$处的结果为${E}_{1} = {t}_{2}+2{t}_{1}, {E}_{2} = {t}_{2}-2{t}_{1}, {E}_{3} = {E}_{4} = -{t}_{2}$, M处的结果为${E}_{1} = {E}_{2} = {t}_{2}, \;{E}_{3} = 2{t}_{1}-{t}_{2}, \; {E}_{4} = {-t}_{2}-2{t}_{1}$, 此时体系第2条能带和第3条能带打开.

为了更加准确地描述体系能隙发生闭合、打开的过程中对应的拓扑相变, 可以引入用二维扩展Zak相, 即是如下所示的极化强度^[31]:

$$\boldsymbol{P} = \frac{1}{2{\mathrm{\pi }}}\int {\mathrm{d}}{k}_{x}{\mathrm{d}}{k}_{y}{\mathrm{T}}{\mathrm{r}}\left[\boldsymbol{A}\right({k}_{x},{k}_{y}\left)\right] ,$$

(5)

其中, $\boldsymbol{A}$为Berry联络, 表达式为$\boldsymbol{A} = \langle\phi \left|{\mathrm{i}}{\partial }_{k}\right|\phi\rangle$. 根据以往的工作, $\boldsymbol{P}$的各分量得到两个结果, 分别是0和1/2, 分别对应体系处于拓扑平庸区和拓扑非平庸区. 对于T型石墨烯结构而言, 对$\boldsymbol{P}$的计算式为^[32]

$${(-1)}^{2{P}_{xi}} = \dfrac{{\eta }_{i}\left(X\right)}{{\eta }_{i}\left(\varGamma \right)} ,~~ {(-1)}^{2{P}_{yi}} = \dfrac{{\eta }_{i}\left(Y\right)}{{\eta }_{i}\left(\varGamma \right)} .$$

(6)

这里, $\eta \left[X\left(\varGamma , Y\right)\right]$表示在高对称点$X(\varGamma , Y)$处的奇偶性, $i$表示第$i$条能带. 对于T-型石墨而言, 体系满足${P}_{x} = {P}_{y}$^[33]. 这里主要关注能带I和II(能带III和IV)的带隙. 通过计算每条能带的波函数在原胞内各格点上的极化结果, 得出在$\left|{t}_{2}/{t}_{1}\right| <$1时, ${P}_{xi} = {P}_{yi} = 0$, 体系表现为拓扑平庸区, 在$\left|{t}_{2}/{t}_{1}\right| >$1时, ${P}_{x2} = {P}_{y2} = 1/2$, ${P}_{x4} = {P}_{y4} = 1/2$, 体系表现为拓扑非平庸区.

接下来, 我们将讨论一维的条带结构. 由于体系在在x和y两个方向都具有周期性, 因此在厄米情况下存在两种条带结构, 即图1(b), (c), 具体而言如下.

第1种是当$x$方向满足周期性边界条件, $y$方向满足开边界条件时, y方向为有限原胞数$n = N$, 该体系的哈密顿量写为[图1(b)]

$$\begin{split}H\left({k}_{x}\right) = \;&\sum _{{k}_{x}}\sum _{n} \Big[ t_{1}{(A}_{{k}_{x},n}^{†}{B}_{{k}_{x},n}+{B}_{{k}_{x},n}^{†}{C}_{{k}_{x},n}\\ &+{C}_{{k}_{x},n}^{†}{D}_{{k}_{x},n}+{D}_{{k}_{x},n}^{†}{A}_{{k}_{x},n})\\ &+ {t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}{k}_{x}}{A}_{{k}_{x},n}^{†}{C}_{{k}_{x},n}\\ &+{t}_{2}{D}_{{k}_{x},n}^{†}{B}_{{k}_{x},n+1}+\rm h.c. \Big]. \end{split}$$

(7)

第2种是当$y$方向满足周期性边界条件, $x$方向满足开边界条件时, x方向为有限原胞数$m = N$. 此时, 体系的哈密顿量可以写为[图1(c)]

$$\begin{split} H\left({k}_{y}\right) = \;&\sum _{{k}_{y}}\sum _{m} \Big[t_{1} \Big(A_{{m,k}_{y}}^{†}{B}_{{m,k}_{y}}+{B}_{{m,k}_{y}}^{†}{C}_{{m,k}_{y}}\\ &+{C}_{{m,k}_{y}}^{†}{D}_{{m,k}_{y}}+{D}_{{m,k}_{y}}^{†}{A}_{{m,k}_{y}}\Big)\\ &+ {t}_{2}{{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}{k}_{y}}{B}_{{m,k}_{y}}^{†}{D}_{{m,k}_{y}}\\ &+{t}_{2}{C}_{{m,k}_{y}}^{†}{A}_{{m+1,k}_{y}}+ \rm h.c. \Big].\\[-1pt] \end{split}$$

(8)

根据以往工作可知^[8,9], 拓扑相变必然导致边缘态出现. 因此, 首先讨论第1种情况. 图3(a), (b)分别绘制了在${t}_{1} > {t}_{2}~ ({t}_{1} = 1.2, {t}_{2} = 1$)和${t}_{1} < {t}_{2} ({t}_{1} = 1, {t}_{2} = 1.2$)两种情况下一维条带的能带图. 可以发现, 当胞内跃迁大于胞间跃迁时, 能带没有完全打开的能隙, 对应于体系为拓扑平庸相. 然而, 当胞内跃迁小于胞间跃迁时, 第2条能带和第3条能带之间存在着一个完全打开的带隙, 并且在能隙中存在着一个二重简并的间隙态. 为进一步研究间隙态的性质, 图3(c), (d) 给出了厄米情况下第1种条带结构中边缘态的波函数概率密度谱. 图3(a)为胞内跃迁${t}_{1}$取1.0、胞间跃迁取1.2, 在${k}_{x}$ = 0时的结果. 可以看出, 该量子态有分布在体系两侧的趋势. 图3(b)为${t}_{1} = 1, {t}_{2} = 2$, 在${k}_{x} = 0$时的结果. 随着${t}_{2}/{t}_{1}$的取值越大, 该态分布在系统两侧的局域性更加显著. 波函数概率密度主要分布在第1个原胞的B晶格和第N个原胞的D晶格上.

这种局域性的强弱也可以通过利用逆参与率(IPR)^[34,35]来判断. 具体表达式为

$${{\mathrm{IPR}}}_{n} = \dfrac{\displaystyle\sum\nolimits_{j}{|{\psi }_{n, j}|}^{4}} {{\left(\displaystyle\sum\nolimits_{j}{|{\psi }_{n, j}|}^{2}\right)}^{2}},$$

其中${\psi }_{n, j}$是第n个本征态下第j个位点上${\psi }_{n}$的右特征状态分量, ${\psi }_{n}$满足薛定谔方程$H{\psi }_{n} = {E}_{n}{\psi }_{n}$, 其中H是模型哈密顿, ${E}_{n}$是第n个本征能量, n 是能级指标, j 表示位点指标. IPR值越大说明局域性越强. 通过计算, 分别得到了${t}_{2} = 1.2$和${t}_{2} = 2$情况下边缘态的IPR为IPR = 0.0996, IPR = 0.2460. 可以发现${t}_{2} = 2$的IPR值大于${t}_{2} = 1.2$的情况, 这也说明前者局域性更强, 和我们的现象 一致.

此外, 我们也绘制了在${t}_{1} = 1, {t}_{2} = 1.2$情况下第2种情况的能带结构, 具体结果如图3(e)所示. 我们可以发现, 当y方向为周期性边界条件, x方向为开边界条件时, 体系的能谱与同样参数条件的图3(b)相同, 也在第2和第3条能带之间存在着间隙态, 并存在着二重简并边缘态. 图3(f), (g)所示为与第1种结构同样参数条件下的边缘态的波函数概率密度谱, 可以发现体系存在着相似的局域现象, 呈现局域在条带两侧边界的趋势. 但不同于第1种结构, 第2种结构边缘态主要分布在第1个原胞的A晶格和第N个原胞的C晶格上. 这种差异是源于切割条带的条件不同.

3.   非厄米作用下T-型石墨烯体系的物态性质

接下来, 我们在厄米T-型石墨烯的基础上, 施加两种不同机制的虚势能. 第1种是施加单层虚势能, 即在y方向上最上层原胞n = 1的B晶格上施加增益效果的虚势能${\mathrm{i}}\gamma$, 在最下层原胞n = N的D晶格上施加损耗效果的虚势能$-{\mathrm{i}}\gamma$. 第2种是在边缘两层格点上施加增益和损耗的虚势能, 也就是在$y$方向最上层原胞n = 1的A, B, C子晶格和$y$方向最下层的原胞n = N中A, D, C三个格点上分别施加强度为${\mathrm{i}}\gamma$和$-{\mathrm{i}}\gamma$的虚势能, 构造双层虚势能结构.

根据结构的设置, 第1种非厄米结构的哈密顿量可以写为${H}_{1} = {H}_{0}+{U}_{1}$, 其中${H}_{0}$为(1)式中的$H$, ${U}_{1}$写为

$${U}_{1} = -{\mathrm{i}}\gamma {D}_{m,N}^{†}{D}_{m,N}+{\mathrm{i}}\gamma {B}_{m,1}^{†}{B}_{m,1} .$$

(9)

同样, 第2种非厄米体系的哈密顿量可以写为${H}_{2} = {H}_{0}+{U}_{2}$, 其中${H}_{0}$同样还是(1)式中的$H$, ${U}_{2}$写为

$$\begin{split} {U}_{2} =\,& -{\mathrm{i}}\gamma \big({D}_{m,N}^{†}{D}_{m,N} + {A}_{m,N}^{†}{A}_{m,N} + {C}_{m,N}^{†}{C}_{m,N}\big)\\ &+{\mathrm{i}}\gamma \big({A}_{m,1}^{†}{A}_{m,1} + {B}_{m,1}^{†}{B}_{m,1} + {C}_{m,1}^{†}{C}_{m,1}\big), \\[-1pt]\end{split}$$

(10)

其中$\gamma$为虚势能强度, 且这里令$\gamma > 0$.

从哈密顿量${H}_{1}$和${H}_{2}$可以发现, 虚势能$U$的施加方式破坏了体系y方向的周期性, 但x方向的周期性仍保留. 因此, 在计算一维条带时, 我们仍然取x方向为周期性条件, y方向为开边界条件, 即第1种条带结构.

3.1   施加单层虚势能的影响

接下来, 先讨论单层虚势能对体系物态性质的调控作用. 根据(9)式, 我们可以得到具有单层虚势能的一维T-型石墨烯条带的哈密顿量, 即 ${H}_{1}\left({k}_{x}\right) = {H}_{0}\left({k}_{x}\right)+{U}_{1}\left({k}_{x}\right)$, 其中${H}_{0}\left({k}_{x}\right)$为(7)式中的$H ({k}_{x})$, ${U}_{1} ({k}_{x})$可写为

$${U}_{1}\left({k}_{x}\right) = -{\mathrm{i}}\gamma {D}_{{k}_{x},N}^{†}{D}_{{k}_{x},N}+{\mathrm{i}}\gamma {B}_{{k}_{x},1}^{†}{B}_{{k}_{x},1} .$$

(11)

考虑引入了非厄米项${U}_{1}\left({k}_{x}\right)$后, 可以发现体系具有PT对称性, 即$PTHTP = H$. PT对称性的满足标志着体系可能存在实能的本征态^[17–19].

图4(a) 所示为当胞间跃迁大于胞内跃迁的能带结果, 其中上图为能量的实部, 下图为能量的虚部. 可以看出, 在厄米情况下, ${k}_{x} = 0$处的边缘态是二重简并的, 而虚势能对体态的本征能量没有影响, 仍为实数. 但对边缘态的影响较大. 当引入虚势能后, 体系的边缘态会立即虚化, 呈现复数本征能量. 随着虚势能的虚势能增大, 从能量实部可以看出边缘态逐渐进入体态, 对应的本征能量虚部绝对值增大. 此外, 当虚势能增大到一个临界值之后, 在上体带中会出现新的孤立态(绿色线), 并且随着虚势能增大会析出到能隙中. 同样, 由虚势能诱导出的新的孤立态也具有能量虚部. 图4(b)所示为${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$时的能带结果, 可以发现随着虚势能取值的增大, 体态仍为实数态而且能量没有变化. 当虚势能增大到临界值后, 会在上下体态中都诱导出具有能量虚部的孤立态, 这与${k}_{x} = 0$的情况不同. 对于厄米体系原有的边缘态, 虚势能的出现也导致其出现能量虚部, 但不同于${k}_{x} = 0$的结果, 中间能隙中的边缘态更加稳定, 随着虚势能强度的增大, 虽然边缘态会逐渐向体带靠拢, 但并未进入体带中, 仍然表现为带隙中边缘态的形式.

通过前面的讨论可知, ${k}_{x} = 0$和${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$时体系中新生成的孤立态以及原有边缘态的情况是不同的. 因此, 有必要详细讨论${k}_{x}$变化条件下能量实部和虚部的变化情况. 图4(c), (d)分别所示为在$\gamma = 0.5$和$\gamma = 1.5$时的能量的实部和虚部. 对于$\gamma = 0.5$的情况, 可以发现此时体系中还没有新生成的孤立态, 厄米情况下的拓扑边缘态仍存在于能隙中并出现了虚部. 当虚势能强度$\gamma = 1.5$时, 对于原来厄米的拓扑边缘态, 与虚势能强度较小时的结果对比, 带隙中的边缘态此时在虚势能的影响下会进入体带中. 此外, 还可以发现体态中有新的具有虚能的孤立态生成, 并且先从${k}_{x} = \pm {\mathrm{\pi }}$处进入能隙中.

随后, 讨论虚势能对厄米时拓扑平庸区的能带调控作用. 在厄米情况下, 当胞间跃迁强度小于胞内跃迁强度(${t}_{2} < {t}_{1}$)时, 能隙在${k}_{x} = \pm {\mathrm{\pi }}$和${k}_{x} = 0$时并未打开. 当引入了非厄米项后, 不同取值的虚势能强度能谱如图5所示. 当$\gamma = 0.5$时, 如图5(a)所示, 能隙中的态在靠近${k}_{x} = \pm {\mathrm{\pi }}$和${k}_{x} = 0$位置的部分进入体带中, 未进入体带中的态用红色部分表示, 这部分本征值发生了PT对称破缺, 出现了虚部, 其他态结果仍然为纯实数. 当虚势能强度继续增大, 取$\gamma = 1$时, 如图5(b)所示, 该态进入体带中的范围更大, 但和图5(a)中的结果相同, 虚势能只会影响到存在于带隙中的部分结果, 此部分本征值发生对称破缺, 并且虚部结果随着虚势能强度的增大而增大. 当虚势能强度取值大于1之后, 图5(c)给出了在$\gamma = 1.5$时的结果, 这时的结果和图4中${t}_{1} > {t}_{2}$的结果类似, 隙中的态极大程度上的进入体带, 但整个范围内都发生了破缺. 此外, 绿色的部分代表体带中发生了PT对称破缺的状态, 得到的是较小的虚部结果, 但尚未析出到带隙中, 仍存在于体带中.

从图4和图5的结果可知, 虚势能强度的引入对于体系胞内胞间跃迁关系不同时的能带结构影响不同. 因此, 我们在胞间跃迁取值${t}_{2} = 1$时, 以胞内跃迁为横坐标绘制了能谱图, 如图6所示. 图6(a)为虚势能取$\gamma = 1$时的结果. 在${t}_{1}$取值小于1的部分中, ${t}_{1}/{t}_{2}$的结果越小, 体带打开的能隙越大. 而在加入了虚势能后, 能隙中的边缘态具有虚部, 且边缘态虚部的大小随着${t}_{1}$跃迁耦合强度的增大而逐渐趋于${\mathrm{I}}{\mathrm{m}}\left(E\right) = 0$. 此外, ${t}_{1}$的增大也导致边缘态的本征能量从${\mathrm{R}}{\mathrm{e}}\left(E\right) = 0$趋向与Re(E) $<$0, 并且在靠近${t}_{1}/{t}_{2} = 1$的位置进入体态中. 当${t}_{1}/{t}_{2} > 1$时, 体系中没有边缘态, 所有本征态都是实数. 图6(b)所示为虚势能强度$\gamma = 2$的结果, 对于原有的边缘态, 虚势能的增大导致其出现虚能, 并随着${t}_{1}$的增大而减小. 此外, 与$\gamma = 1$不同, 在系统中存在着新生成的孤立态(绿色线), 并且${t}_{1}$大小不同, 新生成孤立态的数量也不同. 对于${t}_{1} <$1的区域只有上能隙中存在着孤立态, 而${t}_{1} > 1$的区域, 上下能隙中都存在着孤立态, 即存在着两组孤立态, 这一结果和上图中结果符合.

为进一步探究单层虚势能对原有拓扑态和新生成孤立态局域性的影响, 绘制了其对应的本征态和波函数的图像, 如图7所示. 图7(a)显示当$\gamma = 0.5$时, 带隙中的边缘态还未进入体带中, 表现为左侧图像中两个简并的本征态, 右图7(a)(i), (ii)为这两个简并本征态的局域态密度, 它们对应的本征能量值为$E = 0.9023\pm 0.1463{\mathrm{i}}$. 图像显示, 这两个态从厄米情况局域在系统两侧, 变为只局域在一侧边界附近, 主要局域在施加了虚势能的最 上层B原子和最下层D原子上. 此外, 在体系中还发现了一个本征能量为$E = 1.2000\pm 0.0000{\mathrm{i}}$的态, 它的波函数如图7(a)(iii)所示, 这是一个高度局域的态, 只局域在边缘原胞的A和C原子上, 其他位置分布全部为0. 图7(b)中图像为$\gamma = 3.5$时的结果, 相较于$\gamma = 0.5$时的情况, 此时原来边缘态已 经进入体带中, 在本征能谱中也可以体现出来, 右图7(b)(iii)—(iv)对应这两个态的波函数, 它们的本征能量为$E = 0.1833\pm 3.0126{\mathrm{i}}$. 可以看出, 与虚势能取值较小时相比, 这两个态的局域性变好.

同样, 利用IPR比较两种情况的局域性, 当$\gamma =$0.5, 边缘态的IPR = 0.525, 当虚势能增至3.5, 边缘态的IPR = 0.788. 虚势能的增大确实使边缘态的IPR变大, 表现为局域性更强. 之前的结果显示, 当虚势能增大到这个数值时, 带隙中会新析出简并态, 图7(b)(i)—(ii)中为这两个态的波函数, 其本征能量为$E = 2.2975\pm 0.1936{\mathrm{i}}$, 这两个孤立态呈现局域在系统的左侧或者右侧边界附近. 同样, 在该体系中也存在着一个能量$E = 1.2000\pm 0.0000{\mathrm{i}}$的高局域态, 如图7(b)(v)所示. 图7(c)中的结果为${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$的结果, 此时体系虚势能强度取值为$\gamma = 3.5$, 根据此前结果, 在${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$时原本的边缘态仍然存在于能隙中. 图7(c)(iii)—(iv)为这两个态对应的波函数, 其本征能量为$E = 1.8033\pm 0.1024{\mathrm{i}}$. 可见此时边缘态的局域性与图7(c)(iii)—(iv)类似. 对于新生成的孤立态[图7(c)(i)—(ii)], 对应的态的本征能量为$E = 2.0693\pm 0.1534{\mathrm{i}}$, 仍呈现局域在系统左侧或者右侧边界附近, 该结果和${k}_{x} = 0$时一致. 但与前两种情况不同的是, 在${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$时, 没有再出现高度局域在A和C上的态. 图7(d)绘制的是${t}_{1} = 1.2$, ${t}_{2} = 1$时的结果, 其他参数选取为${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$, $\gamma = 3.5$. 右图7(d)(i)—(ii)和7(d)(iii)—(iv)分别为$E = -0.0667\pm 2.7953{\mathrm{i}}$和$E = 2.2716\pm 0.2685{\mathrm{i}}$时的波函数, 此时边缘态也呈现类似于图7(c)的局域现象.

根据以上结果, 可以总结出单层虚势能对能带结构和边缘态局域性的影响效果. 一方面, 虚势能的加入会导致原有的边缘态的本征能量出现虚部, 变成两个复能态, 并且虚势能的增强会导致其进入体态中. 边缘态的局域性也从厄米情况局域在系统两侧变为分别局域在系统左侧或者右侧边界附近. 虚势能强度越强, 局域性越好. 另一方面, 当虚势能达到临界值后, 会在体系的能隙中诱导出新的具有能量虚部的边缘态, 并且跃迁强度的改变会影响体系新生成的边缘态的数量. 对于其概率密度分布, 新生成的边缘态也呈现局域在系统一侧的局域现象.

3.2   施加双层虚势能的影响

同样, 我们将讨论双层虚势能对体系能带结构和局域性的影响. 与单层情况类似, 先讨论一维条带的情况. 根据(10)式, 我们可以写出具有双层虚势能的一维T-型石墨烯条带的哈密顿量, 即${H}_{2}\left({k}_{x}\right) = {H}_{0}\left({k}_{x}\right)+{U}_{2}\left({k}_{x}\right)$, 其中${H}_{0}\left({k}_{x}\right)$为(7)式中的$H\left({k}_{x}\right)$, ${U}_{2}\left({k}_{x}\right)$可写为

$$\begin{split} {U}_{2}\left({k}_{x}\right) =\;& -{\mathrm{i}}\gamma ({D}_{{k}_{x},N}^{†}{D}_{{k}_{x},N}+{A}_{{k}_{x},N}^{†}{A}_{{k}_{x},N}\\ &+{C}_{{k}_{x},N}^{†}{C}_{{k}_{x},N})+{\mathrm{i}}\gamma ({A}_{{k}_{x},1}^{†}{A}_{{k}_{x},1}\\ &+{B}_{{k}_{x},1}^{†}{B}_{{k}_{x},1}+{C}_{{k}_{x},1}^{†}{C}_{{k}_{x},1}) . \end{split}$$

(12)

图8(a)所示为双层虚势能下体系的能谱实部和虚部随虚势能强度变化的结果. 图8(a)所示为${k}_{x}$ = 0的情况, 可以发现原有的边缘态仍然较稳定的存在于带隙中(红色线), 并且本征能量的实部并没有随着虚势能的增大而发生大的变化. 这个现象与同样参数条件下单层虚势能作用是不同的[图4(a)]. 从能谱中还可以发现, 随着虚势能的增强, 顶带中会生成新的具有虚能的孤立态(绿色线), 并且会逐渐进入能隙中. 此外, 在低带中也出现了具有虚能的孤立态(紫色), 但不同的是其不会随着虚势能的增大而进入能隙中. 新生成的两个孤立态的虚部都随着虚势能的增大逐渐增大. 图8(b)所示为在${k}_{x} =$0.4${\mathrm{\pi }}$时的结果. 与${k}_{x} = 0$时原有的边缘态变化相似, 在这种情况下虚势能的增加并没有使原有的边缘态进入体态中, 只是虚部部分值受到虚势能强度的影响. 与${k}_{x} = 0$的情况不同的是, 在顶带和低带中都产生了新的孤立态, 并且都随着虚势能的增加逐渐进入能隙中. 此外, 在第2和第3能带中也产生了第2种新的孤立态. 由此, 可以推断双层虚势能下会产生更多种类的孤立态.

为了更好地理解这些边缘态, 图8(c), (d)所示为随着${k}_{x}$变化下体系的能谱的实部和虚部. 图8(c)中绘制了在虚势能强度$\gamma$取值为2时条带的能带图. 对于原有边缘态而言, 在这种虚势能加入下, 体系的边缘态仍然稳定存在. 此外, 可以观察到在上下两个体带中出现的本征能量为复数的两组新的孤立态. 图8(d)所示为在${t}_{1} = 1.2$, ${t}_{2} = 1$时$\gamma = 2$的情况, 和只施加一层虚势能时相比, 虚势能的加入将隐藏在体态中边缘态相连, 并出现能量虚部. 双层虚势能的加入也同样的导致拓扑平庸区中出现两组新的边缘态.

同样, 图9所示为在施加双层虚势能时体系本征态的本征值谱和局域态密度. 图9(a)中选取的参数为${t}_{1} = 1$, ${t}_{2} = 1.2$, ${k}_{x} = 0$, 虚势能强度$\gamma$取为0.5. 其中图9(a)(i)—(ii)对应的是$E = -2.6918\pm 0.2611{\mathrm{i}}$的孤立态的结果, 对应的是虚势能在第1条体带中诱导出的孤立态(能带中的绿色线). 从概率密度可以发现, 该孤立态态呈现趋向于局域在系统的一侧边界附近. 图9(a)(iii)—(iv)对应的是$E = -0.9369\pm 0.2325{\mathrm{i}}$的态的波函数图像, 对应带隙中的那对简并的边缘态(能谱中红色线), 该边缘态的局域在体系的左边界或者右边界处, 并且相比于由虚势能诱导的边缘态具有更强的局域性. 和施加单层虚势能的情况一致, 在这个情况下, 体带中也出现了一个能量值$E = -1.2000\pm 0.0000{\mathrm{i}}$的孤立态, 只存在在一侧的A和C两个原子上的局域态. 图9(b)选取的参数$\gamma = 3.5$时, 右图波函数和图9(a)中排列一致, 可以得出结论, 当虚势能强度增大到这个取值后, 无论是带隙中的边缘态还是体带中的态, 他们的局域性都会增强, 也同样存在一个高度局域的态. 图9(c)为在同样的跃迁参数下, ${k}_{x} = 0.4{\mathrm{\pi }}$时的结果, 右侧图中从上至下依次对应的是$E = 2.0795\pm 3.2387{\mathrm{i}}$, $E = -0.2190\pm 3.4948{\mathrm{i}}$,$E = -1.1316\pm 0.5838{\mathrm{i}}$. 带隙中边缘态的局域性略微减弱. 而此前双层虚势能情况时在第2个和第3个体带中的诱导出第2种边缘态也呈现局域系统一侧的趋势, 但相比于其他两种态, 其局域性并不明显.

因此, 双层虚势能的加入同样会使原有的边缘态出现虚部, 并且呈现局域在系统一侧边界的局域效果. 但与单层虚势能不同的是, 双层虚势能的增加并不会让原有的拓扑态进入体态中. 此外, 双层虚势能还会诱导体系出现两种不同的边缘态. 具体而言, 在顶带和低带会随着虚势能的增大出现局域在系统左侧或者右侧的边缘态, 并且会逐渐进入能隙中. 而同样会在第2条和第3条体态中出现新的边缘态, 与第1种不同的是其单侧局域的效果较差且不会随着虚势能的增加进入能隙中.

4.   非厄米零维体系的零维本征态分布

接下来, 将研究非厄米机制在完全开放边界条件下对体系本征态的影响. 首先, 构建一个在$x$和$y$方向均为有限个格点的T-型石墨烯结构, 并在$y$方向的最上层和最下层中施加虚势能, 观察体系能谱的变化. 此时体系的实空间哈密顿量表达式在(9)式中已给出.

图10绘制出完全开放性边界条件下的本征能谱和边缘态分布图, 其中图10右图中绘制了这4个零能态的局域分布情况, 图中圆圈的大小代表态密度数值幅值. 从本征能谱可以观察到, 4个零能态中有两个零能态具有虚部, 两个保持纯零能. 而波函数概率密度显示, 对于本征能量为$E = 0.0000\pm 2.9840{\mathrm{i}}$的边缘态呈现局域在$y$方向的最上层和最下层. 另外两个$E = 0.0000\pm 0.0000{\mathrm{i}}$的本征态, 其波函数主要局域在体系$x$方向的左边界或右边界处. 对于施加双层虚势能的情况, 对完全开放性边界条件时的结果影响和单层虚势能情况类似, 但会使本征态的单侧局域性更强.

5.   结　论

本文通过在一维T-型石墨烯条带的两侧分别施加单层和双层增益和损耗的虚势能, 考察了非厄米机制对体系能带结构和边缘态局域性的调控作用. 研究发现, 当对体系一维条带最外侧单层格点施加虚势能时, 虚势能会导致原有边缘态的本征能量出现虚部, 并且边缘态的局域性也从厄米情况局域在系统两侧变为分别局域在系统左侧或者右侧边界附近. 对于拓扑平庸区, 虚势能的增大导致体系出现PT对称相变, 体系出现能量虚部. 当虚势能达到临界值后, 会在体系的能隙中诱导出新的具有能量虚部的边缘态. 当对体系一维条带最外侧两层格点施加虚势能时, 同样会使原有的边缘态出现虚部, 并且呈现局域在系统一侧边界的局域效果. 但与单层虚势能不同的是, 双层虚势能的增大并不会让原有的拓扑态进入体态中. 此外, 双层虚势能还会诱导体系出现两种不同的边缘态. 一种是在顶带和低带会随着虚势能的增大出现局域在系统左侧或者右侧的边缘态, 并且会逐渐进入能隙中. 另一种是在第2条和第3条体态中出现新的边缘态, 且不会随着虚势能的增大进入能隙中. 这项工作的结果可以帮助理解PT对称的边缘虚势能对T-型石墨烯结构的物性调控机制.